Rumus penguraian menjadi faktor linier. Faktorisasi linier beberapa trinomial kuadrat

Diberikan 8 contoh pemfaktoran polinomial. Diantaranya adalah contoh penyelesaian persamaan kuadrat dan bikuadrat, contoh polinomial timbal balik, dan contoh pencarian akar bilangan bulat dari polinomial derajat ketiga dan keempat.

Isi

Lihat juga: Metode pemfaktoran polinomial
Akar persamaan kuadrat
Memecahkan persamaan kubik

1. Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Contoh 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

Kami mengambil x 2 di luar tanda kurung:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Akar persamaan:
, .

.

Contoh 1.2

Faktorkan polinomial derajat ketiga:
X 3+6x2+9x.

Mari kita keluarkan x dari tanda kurung:
.
Memecahkan persamaan kuadrat x 2 + 6 x + 9 = 0:
Diskriminannya: .
Karena diskriminannya nol, akar-akar persamaannya adalah kelipatan: ;
.

Dari sini kita memperoleh faktorisasi polinomial:
.

Contoh 1.3

Faktorkan polinomial derajat kelima:
X 5 - 2x4 + 10x3.

Kami mengambil x 3 di luar tanda kurung:
.
Memecahkan persamaan kuadrat x 2 - 2 x + 10 = 0.
Diskriminannya: .
Karena diskriminannya kurang dari nol, akar-akar persamaannya kompleks: ;
, .

Faktorisasi polinomial berbentuk:
.

Jika kita tertarik pada faktorisasi dengan koefisien riil, maka:
.

Contoh pemfaktoran polinomial menggunakan rumus

Contoh dengan polinomial bikuadrat

Contoh 2.1

Faktorkan polinomial bikuadrat:
X 4 + x 2 - 20.

Mari kita terapkan rumusnya:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Contoh 2.2

Faktorkan polinomial yang tereduksi menjadi polinomial bikuadrat:
X 8 + x 4 + 1.

Mari kita terapkan rumusnya:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Contoh 2.3 dengan polinomial berulang

Faktorkan polinomial timbal balik:
.

Polinomial timbal balik mempunyai derajat ganjil. Oleh karena itu mempunyai akar x = - 1 . Bagilah polinomial tersebut dengan x - (-1) = x + 1. Hasilnya kita mendapatkan:
.
Mari kita lakukan substitusi:
, ;
;


;
.

Contoh pemfaktoran polinomial dengan akar bilangan bulat

Contoh 3.1

Faktorkan polinomialnya:
.

Mari kita asumsikan persamaannya

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Jadi, kami menemukan tiga akar:
X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 3 .
Karena polinomial aslinya berderajat ketiga, maka polinomial tersebut tidak mempunyai lebih dari tiga akar. Karena kami menemukan tiga akar, semuanya sederhana. Kemudian
.

Contoh 3.2

Faktorkan polinomialnya:
.

Mari kita asumsikan persamaannya

memiliki setidaknya satu akar utuh. Maka itu adalah pembagi bilangan tersebut 2 (anggota tanpa x). Artinya, akar bilangan bulat dapat berupa salah satu bilangan:
-2, -1, 1, 2 .
Kami mengganti nilai-nilai ini satu per satu:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Jadi, kami menemukan satu root:
X 1 = -1 .
Bagilah polinomial dengan x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Kemudian,
.

Sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan derajat ketiga:
.
Jika kita berasumsi bahwa persamaan ini memiliki akar bilangan bulat, maka persamaan tersebut adalah pembagi bilangan tersebut 2 (anggota tanpa x). Artinya, akar bilangan bulat dapat berupa salah satu bilangan:
1, 2, -1, -2 .
Mari kita substitusikan x = -1 :
.

Jadi, kami telah menemukan root x lainnya 2 = -1 . Seperti pada kasus sebelumnya, kita dapat membagi polinomial dengan , tetapi kita akan mengelompokkan suku-sukunya:
.

TIGA KOTAK III

§ 54. Penguraian trinomial kuadrat menjadi faktor linier

Pada bagian ini kita akan membahas pertanyaan berikut: dalam hal apa trinomial kuadrat itu kapak 2 + bx+c dapat direpresentasikan sebagai sebuah produk

(A 1 x+b 1) (A 2 x+b 2)

dua relatif linier X pengganda dengan koefisien nyata A 1 , B 1 , A 2 , B 2 (A 1 =/=0, A 2 =/=0) ?

1. Misalkan trinomial kuadrat diberikan kapak 2 + bx+c mari kita nyatakan dalam bentuk

kapak 2 + bx+c = (A 1 x+b 1) (A 2 x+b 2). (1)

Ruas kanan rumus (1) hilang ketika X = - B 1 / A 1 dan X = - B 2 / A 2 (A 1 dan A 2 tidak sama dengan nol dengan syarat). Namun dalam hal ini jumlahnya adalah B 1 / A 1 dan - B 2 / A 2 adalah akar persamaan

kapak 2 + bx+c = 0.

Oleh karena itu, diskriminan dari trinomial kuadrat kapak 2 + bx+c harus non-negatif.

2. Sebaliknya, anggaplah diskriminan D = B 2 - 4ac trinomial kuadrat kapak 2 + bx+c non-negatif. Maka trinomial ini mempunyai akar real X 1 dan X 2. Dengan menggunakan teorema Vieta, kita memperoleh:

kapak 2 + bx+c =A (X 2 + B / A X + C / A ) = A [X 2 - (X 1 + X 2) X + X 1 X 2 ] =

= A [(X 2 - X 1 X ) - (X 2 X - X 1 X 2)] = A [X (X - X 1) - X 2 (X - X 1) =

=A (X - X 1)(X - X 2).

kapak 2 + bx+c = A (X - X 1)(X - X 2), (2)

Di mana X 1 dan X 2 - akar trinomial kapak 2 + bx+c . Koefisien A dapat dikaitkan dengan salah satu dari dua faktor linier, misalnya,

A (X - X 1)(X - X 2) = (ah - kapak 1)(X - X 2).

Tetapi ini berarti bahwa dalam kasus ini adalah trinomial persegi kapak 2 + bx+c menyatakannya sebagai produk dari dua faktor linier dengan koefisien nyata.

Menggabungkan hasil yang diperoleh pada paragraf 1 dan 2, kita sampai pada teorema berikut.

Dalil. Trinomial persegi kapak 2 + bx+c kemudian dan hanya kemudian dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua faktor linier dengan koefisien nyata,

kapak 2 + bx+c = (ah - kapak 1)(X - X 2),

ketika diskriminan dari trinomial kuadrat ini adalah non-negatif (yaitu, ketika trinomial ini mempunyai akar real).

Contoh 1. Faktorisasi linier 6 X 2 - X -1.

Akar-akar trinomial kuadrat ini adalah sama X 1 = 1/2 dan X 2 = - 1 / 3 .

Oleh karena itu, menurut rumus (2)

6X 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3X + 1).

Contoh 2. Faktorisasi linier X 2 + X + 1. Diskriminan trinomial kuadrat ini negatif:

D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.

Oleh karena itu, trinomial kuadrat ini tidak dapat diperluas menjadi faktor linier dengan koefisien riil.

Latihan

Faktorkan persamaan berikut menjadi faktor linier (No. 403 - 406):

403. 6X 2 - 7X + 2. 405. X 2 - X + 1.

404. 2X 2 - 7Oh + 6A 2 . 406. X 2 - 3Oh + 2A 2 - ab - B 2 .

Pengurangan pecahan (No. 407, 408):

Selesaikan persamaan:

Trinomial persegi dapat difaktorkan sebagai berikut:

Ax 2 + bx + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

dimana a adalah bilangan, koefisien sebelum koefisien terdepan,

x – variabel (yaitu huruf),

x 1 dan x 2 – angka, akar persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0, yang dicari melalui diskriminan.

Jika persamaan kuadrat hanya mempunyai satu akar, maka pemuaiannya seperti ini:

ax 2 + bx + c = a ⋅ (x − x 0) 2

Contoh pemfaktoran trinomial kuadrat:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,  x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

Jika trinomial kuadrat tidak lengkap (b = 0 atau c = 0), maka dapat difaktorkan dengan cara sebagai berikut:

• c = 0 ⇒ ax 2 + bx = x (ax + b)

• b = 0 ⇒ terapkan rumus perkalian yang disingkat untuk selisih kuadrat.

Tugas untuk solusi mandiri

No.1. Trinomial persegi difaktorkan: x 2 + 6 x − 27 = (x + 9) (x − a) . Menemukan sebuah.

Larutan:

Pertama, Anda perlu menyamakan trinomial kuadrat dengan nol untuk mencari x 1 dan x 2.

x 2 + 6 x − 27 = 0

a = 1, b = 6, c = − 27

D = b 2 − 4 ac = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144

D > 0 berarti akan ada dua akar yang berbeda.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9

Mengetahui akar-akarnya, kita memfaktorkan trinomial kuadrat:

x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)

No.2. Persamaan x 2 + p x + q = 0 mempunyai akar-akar − 5; 7. Temukan q.

Larutan:

1 cara:(Anda perlu mengetahui cara memfaktorkan trinomial kuadrat)

Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar trinomial kuadrat a x 2 + b x + c, maka dapat difaktorkan sebagai berikut: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .

Karena dalam suatu trinomial kuadrat tertentu koefisien utamanya (faktor sebelum x 2) sama dengan satu, maka perluasannya menjadi seperti berikut:

x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x − 35 = x 2 − 2 x − 35

x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35

Metode 2: (Anda perlu mengetahui teorema Vieta)

Teorema Vieta:

Jumlah akar-akar trinomial kuadrat tereduksi x 2 + p x + q sama dengan koefisien kedua p yang bertanda berlawanan, dan hasil kali suku bebas q.

( x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q

q = x 1 ⋅ x 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35.

Pertama-tama, mari kita tunjukkan beberapa nama umum. Mari kita perhatikan polinomial yang hanya berisi satu huruf, misalnya huruf x. Maka yang paling sederhana adalah polinomial yang mempunyai dua suku, salah satunya mengandung huruf x sampai derajat pertama, dan yang lainnya tidak mengandung huruf x sama sekali, misalnya 3x – 5 atau 15 – 7x atau 8z + 7 (di sini alih-alih huruf x diambil huruf z), dst. Polinomial seperti itu disebut binomial linier .

3x² – 5x + 7 atau x² + 2x – 1
atau 5y² + 7y + 8 atau z² – 5z – 2, dst.

Polinomial seperti ini disebut trinomial persegi.

Kemudian kita dapat membentuk segiempat kubik, misalnya:

x³ + 2x² – x + 1 atau 3x³ – 5x² – 2x – 3 dst.,

polinomial derajat keempat, misalnya:

x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5, dst.

Koefisien di x, di x², di x³, dst juga dapat dilambangkan dengan huruf, misalnya dengan huruf a, b, c, dst.

1) bentuk umum binomial ax + b, linier terhadap x,

2) bentuk umum trinomial kuadrat (relatif terhadap x): ax² + bx + c,

3) bentuk umum trinomial kubik (relatif terhadap x): ax³ + bx² + cx + d, dst.

Dengan mengganti huruf a, b, c, d... dalam rumus ini dengan bilangan yang berbeda, kita mendapatkan semua jenis binomial linier, trinomial persegi, dll. Misalnya, dalam rumus ax² + bx + c, yang menyatakan persamaan umum bentuk trinomial kuadrat, kita ganti huruf a dengan angka + 3, huruf b dengan angka –2 dan huruf dengan angka –1, kita peroleh trinomial persegi 3x² – 2x – 1. Dalam kasus tertentu, binomial juga dapat diperoleh dengan mengganti salah satu huruf dengan nol, misalnya jika a = +1, b = 0 dan c = –3, maka kita mendapatkan binomial kuadrat x² – 3.

Anda dapat belajar memfaktorkan beberapa trinomial kuadrat dengan cukup cepat menjadi faktor linier. Namun, kami akan membatasi diri untuk hanya mempertimbangkan hal tersebut trinomial persegi, yang memenuhi ketentuan berikut:

1) koefisien suku terdepan (untuk x²) adalah +1,

2) Anda dapat menemukan dua bilangan bulat (dengan tanda, atau dua bilangan bulat relatif) sedemikian rupa sehingga jumlahnya sama dengan koefisien x pangkat pertama dan hasil kali keduanya sama dengan suku bebas x (jika tidak ada huruf x di semua).

Contoh. 1.x² + 5x + 6; Sangat mudah untuk secara mental mencari dua bilangan (yang mempunyai tanda) sehingga jumlahnya sama dengan +5 (koefisien x) dan hasil kali keduanya = +6 (suku bebas dari x) - bilangan-bilangan ini adalah: +2 dan + 3 [sebenarnya +2 ​​+ 3 = +5 dan (+2) ∙ (+3) = +6]. Dengan menggunakan kedua bilangan tersebut, kita ganti suku +5x dengan dua suku, yaitu: +2x + 3x (tentunya +2x + 3x = +5x); maka suku teknis kita akan diubah secara artifisial menjadi suku empat x² + 2x + 3x + 6. Sekarang mari kita terapkan teknik pengelompokan padanya, dengan memasukkan dua suku pertama ke dalam satu kelompok dan dua suku terakhir ke kelompok lain:

x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).

Pada kelompok pertama kita mengeluarkan x dari kurung dan pada kelompok kedua +3, kita mendapatkan dua suku yang memiliki faktor persekutuan (x + 2), yang juga kita keluarkan dari kurung, dan trinomial kita x² + 5x + 6 didekomposisi menjadi 2 faktor linier: x + 2 dan x + 3.

2. x² – x – 12. Di sini Anda perlu mencari dua bilangan (relatif) yang jumlahnya sama dengan –1 dan hasil kali keduanya sama dengan –12. Angka-angka ini adalah: –4 dan +3.

Periksa: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. Dengan menggunakan bilangan-bilangan ini, kita ganti suku –x dengan dua suku: –x = –4x + 3x, – kita peroleh:

x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).

3.x² – 7x + 6; di sini angka yang dibutuhkan adalah: –6 dan –1. [Periksa: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].

x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).

Di sini anggota kelompok kedua –x + 6 harus diapit tanda kurung, dengan tanda minus di depannya.

4. x² + 8x – 48. Di sini Anda perlu mencari dua bilangan sehingga jumlahnya +8 dan hasil kali –48. Karena hasil perkaliannya harus ada tanda minus, maka bilangan-bilangan yang diminta harus mempunyai tanda yang berbeda-beda, karena jumlah bilangan kita mempunyai tanda +, maka nilai mutlak nomor positif seharusnya ada lebih banyak lagi. Memperluas bilangan aritmatika 48 menjadi dua faktor (dan ini dapat dilakukan dengan cara yang berbeda), kita mendapatkan: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Dari pemuaian tersebut mudah dilakukan untuk memilih yang sesuai dengan kebutuhan kita yaitu: 48 = 4 ∙ 12. Maka bilangan kita adalah: +12 dan –4. Selebihnya sederhana:

x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).

5. x² + 7x – 12. Di sini Anda perlu mencari 2 bilangan sehingga jumlahnya +7 dan hasil kali = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Rupanya, 3 dan 4 adalah bilangan yang cocok, tetapi keduanya harus diambil dengan tanda yang berbeda agar hasil kali keduanya sama dengan –12, dan jumlah keduanya tidak boleh menjadi +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Faktorisasi lain juga tidak memberikan angka yang dibutuhkan; Oleh karena itu, kami sampai pada kesimpulan bahwa kami belum dapat menguraikan trinomial kuadrat ini menjadi faktor linier, karena teknik kami tidak dapat diterapkan padanya (tidak memenuhi kondisi kedua yang ditetapkan di awal).

Bentuknya persegi dan terdiri dari tiga suku (). Jadi ternyata - trinomial persegi.

Contoh Bukan trinomial persegi:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - segi empat kubik
\(2x+1\) - binomial linier

Akar kuadrat dari trinomial:

Contoh:
Trinomial \(x^2-2x+1\) mempunyai akar \(1\), karena \(1^2-2 1+1=0\)
Trinomial \(x^2+2x-3\) mempunyai akar \(1\) dan \(-3\), karena \(1^2+2-3=0\) dan \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

Misalnya: jika Anda perlu mencari akar-akar trinomial kuadrat \(x^2-2x+1\), kita samakan dengan nol dan selesaikan persamaan \(x^2-2x+1=0\).

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Siap. Akarnya adalah \(1\).

Penguraian trinomial kuadrat menjadi:

Trinomial persegi \(ax^2+bx+c\) dapat diperluas menjadi \(a(x-x_1)(x-x_2)\) jika persamaan \(ax^2+bx+c=0\) adalah lebih besar dari nol \ (x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar persamaan yang sama).

Misalnya, pertimbangkan trinomial \(3x^2+13x-10\).
Persamaan kuadrat \(3x^2+13x-10=0\) memiliki diskriminan sama dengan 289 (lebih besar dari nol) dan akar sama dengan \(-5\) dan \(\frac(2)(3)\) . Oleh karena itu \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Sangat mudah untuk memverifikasi kebenaran pernyataan ini - jika kita , maka kita akan mendapatkan trinomial aslinya.

Trinomial persegi \(ax^2+bx+c\) dapat direpresentasikan sebagai \(a(x-x_1)^2\) jika diskriminan dari persamaan \(ax^2+bx+c=0\) adalah nol.

Misalnya, pertimbangkan trinomial \(x^2+6x+9\).
Persamaan kuadrat \(x^2+6x+9=0\) memiliki diskriminan sama dengan \(0\) dan akar unik sama dengan \(-3\). Artinya \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (di sini koefisiennya adalah \(a=1\), jadi tidak ditulis sebelum tanda kurung - tidak perlu). Harap dicatat bahwa konversi yang sama dapat dilakukan dengan .

Trinomial kuadrat \(ax^2+bx+c\) tidak dapat difaktorkan jika diskriminan persamaan \(ax^2+bx+c=0\) kurang dari nol.

Misalnya, trinomial \(x^2+x+4\) dan \(-5x^2+2x-1\) memiliki diskriminan kurang dari nol. Oleh karena itu, tidak mungkin untuk memfaktorkannya.

Contoh . Faktorkan \(2x^2-11x+12\).
Larutan :
Mari kita cari akar-akar persamaan kuadrat \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Jadi, \(2x^2-11x+12=2(x-1.5)(x-4)\)
Menjawab : \(2(x-1.5)(x-4)\)

Jawaban yang dihasilkan mungkin ditulis berbeda: \((2x-3)(x-4)\).

Contoh . (Tugas dari OGE) Trinomial persegi difaktorkan \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Menemukan sebuah\).
Larutan:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Menjawab : \(-1,6\)