Ezhova Elena Sergeevna
Judul pekerjaan: guru matematika
Lembaga pendidikan: Institusi Pendidikan Kota "Sekolah Menengah No. 77"
Lokalitas: Saratov
Nama bahan: pengembangan metodologi
Subjek: Metode rasionalisasi penyelesaian kesenjangan dalam persiapan UN Unified State"
Tanggal penerbitan: 16.05.2018
Bab: menyelesaikan pendidikan

Jelasnya, ketimpangan yang sama dapat diatasi dengan beberapa cara. Berhasil

dengan cara yang dipilih atau, seperti yang biasa kita katakan, dengan cara yang rasional, apa saja

kesenjangan akan teratasi dengan cepat dan mudah, penyelesaiannya akan indah dan menarik.

Saya ingin mempertimbangkan secara lebih rinci apa yang disebut metode rasionalisasi ketika

menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dan eksponensial, serta pertidaksamaan yang mengandung

variabel di bawah tanda modulus.

Ide utama dari metode ini.

Metode penggantian faktor memecahkan pertidaksamaan yang dapat direduksi menjadi bentuk

Dimana simbolnya"

" menunjukkan salah satu dari empat kemungkinan tanda pertidaksamaan:

Saat menyelesaikan pertidaksamaan (1), kita hanya tertarik pada tanda faktor apa pun pada pembilangnya

atau penyebutnya, dan bukan nilai mutlaknya. Oleh karena itu, jika karena alasan tertentu kita

tidak nyaman bekerja dengan pengganda ini, kita bisa menggantinya dengan yang lain

bertepatan tanda dengannya dalam domain definisi ketimpangan dan memiliki domain ini

akar yang sama.

Hal ini menentukan ide pokok dari metode penggantian pengganda. Penting untuk mencatat hal itu

fakta bahwa penggantian faktor-faktor dilakukan hanya dengan syarat terjadinya ketimpangan

untuk membentuk (1), yaitu bila perlu membandingkan produk dengan nol.

Bagian utama dari penggantian ini disebabkan oleh dua pernyataan setara berikut.

Pernyataan 1. Fungsi f(x) meningkat tajam jika dan hanya jika untuk

nilai t apa pun

) bertepatan dengan

tanda tangani dengan selisihnya (f(t

)), yaitu f<=>(T

(↔ berarti tanda kebetulan)

Pernyataan 2. Fungsi f(x) menurun tajam jika dan hanya jika untuk

nilai t apa pun

dari domain definisi perbedaan fungsi (t

) bertepatan dengan

tanda tangani dengan selisihnya (f(t

)), yaitu f ↓<=>(T

Pembenaran atas pernyataan-pernyataan ini mengikuti langsung dari definisi ketat

fungsi monoton. Berdasarkan pernyataan-pernyataan ini, dapat dipastikan bahwa

Perbedaan derajat untuk alas yang sama selalu bertanda sama

produk dari perbedaan antara indeks kekuatan-kekuatan ini dan penyimpangan basis dari kesatuan,

Selisih logaritma dengan basis yang sama selalu bertanda sama

hasil kali selisih antara bilangan-bilangan logaritma ini dan deviasi basis dari kesatuan, maka

Fakta bahwa selisih besaran non-negatif bertanda sama dengan selisihnya

kuadrat dari besaran-besaran ini memungkinkan substitusi berikut:

Selesaikan ketimpangan tersebut

Larutan.

Mari beralih ke sistem yang setara:

Dari pertidaksamaan pertama kita peroleh

Ketimpangan kedua berlaku untuk semua orang

Dari pertidaksamaan ketiga kita peroleh

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan awal adalah:

Selesaikan ketimpangan tersebut

Larutan.

Mari selesaikan pertidaksamaan:

JAWABAN: (−4; −3)

Selesaikan ketimpangan

Mari kita turunkan pertidaksamaan ke bentuk dimana selisih nilai logaritma

Mari kita ganti selisih antara nilai fungsi logaritma dan selisih antara nilai argumen. DI DALAM

pembilangnya fungsi meningkat, dan penyebutnya berkurang, sehingga tandanya pertidaksamaan

akan berubah menjadi sebaliknya. Penting untuk diingat untuk mempertimbangkan domain definisi

fungsi logaritma, oleh karena itu pertidaksamaan ini ekuivalen dengan sistem pertidaksamaan.

Akar pembilang: 8; 8;

Penyebut akar: 1

Selesaikan ketimpangan

Mari kita ganti pembilangnya selisih antara modulus dua fungsi dengan selisih kuadratnya, dan in

penyebutnya adalah selisih antara nilai fungsi logaritma dan selisih argumennya.

Penyebutnya mempunyai fungsi menurun yang berarti tanda pertidaksamaan berubah menjadi

di depan.

Dalam hal ini, perlu memperhitungkan domain definisi logaritma

Mari selesaikan pertidaksamaan pertama menggunakan metode interval.

Akar pembilang:

Akar penyebut:

Selesaikan ketimpangan

Mari kita ganti selisih nilai fungsi monoton pada pembilang dan penyebutnya dengan selisihnya

nilai argumen, dengan mempertimbangkan domain definisi fungsi dan sifat monotonisitas.

Akar pembilang:

Akar penyebut:

Pengganti yang paling sering digunakan (tidak termasuk O D Z).

a) Penggantian faktor tanda konstan.

b) Penggantian pengali tidak konstan dengan modulus.

c) Mengganti faktor yang tidak diketahui tandanya dengan faktor eksponensial dan logaritma

ekspresi.

Larutan. ODZ:

Mengganti pengganda:

Kami memiliki sistem:

Dalam ketimpangan ini sudah tidak mungkin lagi diperhitungkan

dianggap sebagai selisih besaran non-negatif, karena ekspresi 1

ODZ dapat mengambil nilai positif dan negatif.

Kami memiliki sistem:

Mengganti pengganda:

Kami memiliki sistem:

Mengganti pengganda:

Kami memiliki sistem:

Mengganti pengganda:

Kami memiliki sistem:

Hasilnya kita mendapatkan: x

Metode rasionalisasi(metode dekomposisi, metode penggantian pengali, metode penggantian

fungsi, aturan tanda) terdiri dari penggantian ekspresi kompleks F(x) dengan lebih

ekspresi sederhana G(x), di mana pertidaksamaan G(x)

0 setara dengan pertidaksamaan F (x

0 dalam domain definisi ekspresi F(x).

Otonomi Kota Institusi Pendidikan Umum"Sekolah menengah Yarkovo"

Proyek pendidikan

Larutan pertidaksamaan logaritma metode rasionalisasi

MAOU "Sekolah Menengah Yarkovskaya"

Shanskikh Daria

Kepala: guru matematika

MAOU "Sekolah Menengah Yarkovskaya"

Yarkovo 2013

1) Pendahuluan………………………………………………….2

2) Bagian Utama……………………………………………………………………..3

3) Kesimpulan..................................................................................9

4) Daftar referensi……….10

5) Aplikasi……………………………………………………………11-12

1. Perkenalan

Seringkali, ketika menyelesaikan tugas USE dari bagian "C", dan khususnya dalam tugas C3, Anda menemukan pertidaksamaan yang berisi ekspresi logaritma dengan yang tidak diketahui di basis logaritma. Misalnya, berikut adalah pertidaksamaan standar:

Sebagai aturan, untuk menyelesaikan masalah seperti itu, metode klasik digunakan, yaitu transisi ke himpunan sistem yang setara

Dengan pendekatan standar, contoh diselesaikan menurut skema berikut: hasil kali kurang dari nol jika faktor-faktornya berbeda tanda. Artinya, himpunan dua sistem ketidaksetaraan dipertimbangkan, di mana setiap ketidaksetaraan dibagi menjadi tujuh sistem ketidaksetaraan lainnya. Oleh karena itu, kami dapat mengusulkan metode yang tidak memakan banyak waktu untuk menyelesaikan pertidaksamaan standar ini. Ini adalah metode rasionalisasi yang dikenal dalam literatur matematika sebagai dekomposisi.

Saat menyelesaikan proyek, saya menetapkan tujuan berikut :

1) Kuasai teknik pengambilan keputusan ini

2) Melatih keterampilan memecahkan masalah C3 dari pelatihan dan pekerjaan diagnostik pada tahun 2013.

Tujuan proyekadalah mempelajari landasan teori metode rasionalisasi.

RelevansiPekerjaannya terletak pada kenyataan bahwa metode ini memungkinkan Anda untuk berhasil menyelesaikan pertidaksamaan logaritma bagian C3 dari Ujian Negara Bersatu dalam matematika.

2. Bagian utama

Pertimbangkan bentuk pertidaksamaan logaritmik

ukuran font:14.0pt; tinggi garis:150%">, (1)

di mana font-size:14.0pt;line-height:150%"> Metode standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut melibatkan analisis dua kasus ke dalam kisaran nilai pertidaksamaan yang dapat diterima.

Dalam kasus pertama, ketika basis logaritma memenuhi kondisi

ukuran font:14.0pt; line-height:150%">, tanda pertidaksamaan digambar: font-size:14.0pt;line-height:150%">Dalam kasus kedua , ketika basis memenuhi kondisi, tanda pertidaksamaan dipertahankan: .

Sekilas semuanya logis, mari kita pertimbangkan dua kasus dan kemudian gabungkan jawabannya. Benar, ketika mempertimbangkan kasus kedua, ketidaknyamanan tertentu muncul - Anda harus mengulangi 90 persen perhitungan dari kasus pertama (mengubah, menemukan akar persamaan bantu, menentukan interval monotonisitas tanda). Sebuah pertanyaan wajar muncul: apakah mungkin untuk menggabungkan semua ini?

Jawaban atas pertanyaan ini terdapat dalam teorema berikut.

Teorema 1. Ketimpangan logaritmik

font-size:14.0pt;line-height:150%">setara dengan sistem pertidaksamaan berikut :

ukuran font:14.0pt; tinggi garis:150%"> (2)

Bukti.

1. Mari kita mulai dengan fakta bahwa empat pertidaksamaan pertama dari sistem (2) menentukan himpunan nilai yang dapat diterima dari pertidaksamaan logaritma asli. Sekarang mari kita mengalihkan perhatian kita pada ketimpangan kelima. Jika ukuran font:14.0pt; line-height:150%">, maka faktor pertama pertidaksamaan ini akan bernilai negatif. Saat menguranginya, Anda harus mengubah tanda pertidaksamaan menjadi kebalikannya, maka Anda mendapatkan pertidaksamaan tersebut .

Jika , Itu faktor pertama pertidaksamaan kelima positif, kita hilangkan tanpa mengubah tanda pertidaksamaan, kita mendapatkan ketidaksetaraan font-size:14.0pt;line-height: 150%"> Jadi, pertidaksamaan kelima dari sistem mencakup kedua kasus dari metode sebelumnya.

Topiknya sudah terbukti.

Ketentuan pokok teori metode rasionalisasi.

Metode rasionalisasi adalah dengan mengganti ekspresi kompleks F(x ) ke ekspresi yang lebih sederhana G(x ), di mana ketidaksetaraan G(x )EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F(X )0 di area definisi ekspresi F(x).

Mari kita soroti beberapa ekspresi F dan ekspresi rasionalisasi yang sesuai G, dimana u, v, , p, q - ekspresi dengan dua variabel ( kamu > 0; kamu ≠ 1; v > 0, > 0), A - nomor tetap (A > 0, A ≠ 1).

	Ekspresi F	Ekspresi G
		(sebuah –1)( v – φ)
1b
		)
2b

Bukti

1. Biarkan logav - logaφ > 0, itu adalah logav > logaφ, Dan a > 0, a ≠ 1, v > 0,

φ > 0.

Jika 0< A < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем ay < φ . Artinya, sistem kesenjangan tetap berlaku

A -1<0

ay – φ < 0

Dari mana mengikuti pertidaksamaan (A – 1)( ay – φ ) > 0 benar dalam bidang ekspresiF = logav - logaφ.

Jika A > 1, Itu ay > φ . Oleh karena itu, terjadi ketimpangan ( A – 1)( ay – φ )> 0. Sebaliknya jika ketimpangan terus terjadi ( A – 1)( ay – φ )> 0 pada kisaran nilai yang dapat diterima ( A > 0, A ≠ 1, ay> 0, φ > 0),maka di wilayah ini setara dengan kombinasi dua sistem.

A – 1<0 A – 1 > 0

ay – φ < 0 ay – φ > 0

Setiap sistem menyiratkan ketimpanganlogav > logaφ, itu adalah logav - logaφ > 0.

Demikian pula, kami mempertimbangkan kesenjangan F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Biarkan beberapa nomor A> 0 dan A≠ 1, maka kita punya

logu ay- loguφ = EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( kamu- 1)(φ –kamu).

4.Dari ketimpangan sinar UV- kamuφ > 0 sebaiknya sinar UV > kamuφ. Misalkan bilangan a > 1loga sinar UV > logauφ atau

( kamu – φ) loga kamu > 0.

Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan penggantian 1b dan kondisinyaA > 1 kita mendapatkan

( ay – φ)( A – 1)( kamu – 1) > 0, ( ay – φ)( kamu – 1) > 0. Ketimpangan juga terbukti F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Buktinya mirip dengan Bukti 4.

6. Pembuktian substitusi 6 mengikuti persamaan pertidaksamaan | hal | > | q | dan hal 2 > q 2

(|p|< | q | и p 2 < q 2 ).

Mari kita bandingkan volume penyelesaian pertidaksamaan yang mengandung variabel dalam basis logaritma menggunakan metode klasik dan metode rasionalisasi

3. Kesimpulan

Saya percaya bahwa tujuan yang saya tetapkan untuk diri saya sendiri ketika menyelesaikan pekerjaan telah tercapai. Proyek ini memiliki kepentingan praktis, karena metode yang diusulkan dalam penelitian ini dapat secara signifikan menyederhanakan penyelesaian pertidaksamaan logaritmik. Hasilnya, jumlah penghitungan yang menghasilkan jawaban berkurang sekitar setengahnya, sehingga tidak hanya menghemat waktu, namun juga memungkinkan Anda berpotensi membuat lebih sedikit kesalahan aritmatika dan kecerobohan. Sekarang ketika menyelesaikan masalah C3 saya menggunakan metode ini.

4. Daftar literatur bekas

1. , – Metode penyelesaian pertidaksamaan dengan satu variabel. – 2011.

2. – Panduan matematika. – 1972.

3. - Matematika untuk pelamar. Moskow: MTsNMO, 2008.

Metode rasionalisasi memungkinkan Anda beralih dari pertidaksamaan yang mengandung eksponensial kompleks, logaritma, dll. ekspresi ke pertidaksamaan rasional sederhana yang setara.

Oleh karena itu, sebelum kita mulai membicarakan rasionalisasi kesenjangan, mari kita bahas tentang kesetaraan.

Persamaan derajatnya

Setara atau setara disebut persamaan (pertidaksamaan) yang himpunan akar-akarnya berimpit. Persamaan (pertidaksamaan) yang tidak mempunyai akar juga dianggap setara.

Contoh 1. Persamaan dan ekuivalen karena mempunyai akar-akar yang sama.

Contoh 2. Persamaan dan juga ekuivalen, karena penyelesaian masing-masing persamaan tersebut adalah himpunan kosong.

Contoh 3. Pertidaksamaan dan ekuivalen karena penyelesaian keduanya adalah himpunan .

Contoh 4. dan – tidak setara. Penyelesaian persamaan kedua hanya 4, dan penyelesaian persamaan pertama adalah 4 dan 2.

Contoh 5. Pertidaksamaan setara dengan pertidaksamaan, karena penyelesaian kedua pertidaksamaan adalah 6.

Artinya, secara lahiriah, pertidaksamaan (persamaan) yang ekuivalen bisa sangat jauh dari kata serupa.

Faktanya, ketika kita memecahkan persamaan (pertidaksamaan) yang rumit dan panjang, seperti ini, dan mendapatkan jawabannya, yang ada di tangan kita tidak lebih dari sebuah persamaan (pertidaksamaan) yang setara dengan persamaan aslinya. Bentuknya beda, tapi intinya sama!

Contoh 6. Mari kita ingat bagaimana kita mengatasi kesenjangan sebelum berkenalan dengan metode interval. Kami mengganti pertidaksamaan awal dengan dua sistem:

Artinya, ketimpangan dan agregat terakhir adalah setara satu sama lain.

Juga, kita bisa, dengan memiliki totalitas di tangan kita

gantikan dengan pertidaksamaan, yang dapat diselesaikan dalam waktu singkat dengan metode interval.

Kita telah mendekati metode rasionalisasi dalam pertidaksamaan logaritmik.

Metode rasionalisasi dalam pertidaksamaan logaritmik

Mari kita pertimbangkan kesenjangan.

Kami mewakili 4 sebagai logaritma:

Kita berurusan dengan basis logaritma variabel, oleh karena itu, bergantung pada apakah basis logaritma lebih besar dari 1 atau kurang dari 1 (yaitu, kita berurusan dengan fungsi naik atau turun), tanda pertidaksamaan akan tetap sama. sama atau ubah menjadi "". Oleh karena itu, timbullah kombinasi (penyatuan) dua sistem:

Tapi, PERHATIAN, sistem ini harus diputuskan dengan mempertimbangkan DL! Saya sengaja tidak memuat sistem ODZ agar ide pokoknya tidak hilang.

Lihat, sekarang kita akan menulis ulang sistem kita seperti ini (kita akan memindahkan semua yang ada di setiap baris pertidaksamaan ke kiri):

Apakah ini mengingatkanmu pada sesuatu? Dengan analogi dengan contoh 6 Kami akan mengganti rangkaian sistem ini dengan pertidaksamaan berikut:

Setelah menyelesaikan pertidaksamaan di ODZ ini, kita memperoleh solusi pertidaksamaan tersebut.

Mari kita cari dulu ODZ dari pertidaksamaan awal:

Sekarang mari kita putuskan

Penyelesaian pertidaksamaan terakhir dengan memperhatikan ODZ:

Jadi, ini dia, tabel “ajaib” ini:

Perhatikan bahwa tabel berfungsi dalam kondisi tersebut

dimana fungsi dari ,

– fungsi atau nomor,

- salah satu tandanya

Perhatikan juga bahwa baris kedua dan ketiga pada tabel merupakan konsekuensi dari baris pertama. Pada baris kedua, 1 direpresentasikan terlebih dahulu sebagai , dan pada baris ketiga, 0 direpresentasikan sebagai .

Dan beberapa konsekuensi berguna lainnya (saya harap Anda mudah memahami dari mana asalnya):

dimana fungsi dari ,

– fungsi atau nomor,

- salah satu tandanya

Metode rasionalisasi dalam pertidaksamaan eksponensial

Mari kita selesaikan ketimpangan tersebut.

Menyelesaikan pertidaksamaan awal sama dengan menyelesaikan pertidaksamaan

Menjawab: .

Tabel rasionalisasi di ketidaksetaraan eksponensial:

– fungsi dari , – fungsi atau bilangan, – salah satu tanda Tabel berfungsi dengan kondisi . Juga di baris ketiga, keempat – tambahan –

Sekali lagi, pada dasarnya, Anda perlu mengingat baris pertama dan ketiga tabel. Baris kedua adalah kasus khusus dari baris pertama, dan baris keempat adalah kasus khusus dari baris ketiga.

Metode rasionalisasi pada pertidaksamaan yang mengandung modulus

Saat menangani pertidaksamaan bertipe , yang merupakan fungsi dari beberapa variabel, kita dapat dipandu oleh transisi ekuivalen berikut:

Mari kita selesaikan kesenjangan tersebut.”

A Di Sini Saya juga menyarankan Perhatikan beberapa contoh mengenai topik “Rasionalisasi Ketimpangan”.

Bagian: Matematika

Praktek pengecekan kertas ujian menunjukkan bahwa kesulitan terbesar bagi anak sekolah adalah menyelesaikan pertidaksamaan transendental, khususnya pertidaksamaan logaritma dengan basis variabel. Oleh karena itu, ringkasan pelajaran yang menarik perhatian Anda adalah presentasi metode rasionalisasi (nama lain - metode dekomposisi (Modenov V.P.), metode penggantian faktor (Golubev V.I.)), yang memungkinkan Anda mereduksi pertidaksamaan logaritma kompleks, eksponensial, gabungan menjadi sistem yang lebih sederhana kesenjangan rasional. Biasanya, metode interval yang diterapkan pada pertidaksamaan rasional telah dipahami dan dipraktikkan dengan baik pada saat topik “Menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik” dipelajari. Oleh karena itu, siswa dengan penuh minat dan antusias memahami metode-metode yang memungkinkan mereka menyederhanakan solusi, mempersingkatnya, dan, pada akhirnya, menghemat waktu dalam Ujian Negara Bersatu untuk menyelesaikan tugas-tugas lainnya.

Tujuan pelajaran:

• Pendidikan: memperbarui pengetahuan dasar dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma; pengenalan cara baru untuk mengatasi kesenjangan; meningkatkan keterampilan solusi
• Pembangunan: pengembangan pandangan matematis, pidato matematis, berpikir analitis
• Pendidikan: pendidikan ketelitian dan pengendalian diri.

SELAMA KELAS

1. Momen organisasi. Salam. Menetapkan tujuan pelajaran.

2. Tahap persiapan:

Selesaikan kesenjangan:

3. Memeriksa pekerjaan rumah(No. 11.81*a)

Saat menyelesaikan pertidaksamaan

Anda harus menggunakan skema berikut untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dengan basis variabel:

Itu. Kita perlu mempertimbangkan 2 kasus: basisnya lebih besar dari 1 atau basisnya kurang dari 1.

4. Penjelasan materi baru

Jika Anda memperhatikan rumus-rumus ini dengan cermat, Anda akan melihat tanda perbedaannya G(X) – H(X) bertepatan dengan tanda log selisih F(X) G(X) - catatan F(X) H(X) dalam kasus fungsi meningkat ( F(X) > 1, yaitu F(X) – 1 > 0) dan berlawanan dengan tanda log selisih F(X) G(X) - catatan F(X) H(X) dalam kasus fungsi menurun (0< F(X) < 1, т.е. F(X) – 1 < 0)

Akibatnya, himpunan ini dapat direduksi menjadi sistem pertidaksamaan rasional:

Inilah inti dari metode rasionalisasi - mengganti ekspresi A yang lebih kompleks dengan ekspresi B yang lebih sederhana, yang rasional. Dalam hal ini, pertidaksamaan B V 0 akan ekuivalen dengan pertidaksamaan A V 0 pada domain definisi ekspresi A.

Contoh 1. Mari kita tulis ulang pertidaksamaan tersebut dalam bentuk sistem pertidaksamaan rasional yang ekuivalen.

Perhatikan bahwa kondisi (1)–(4) adalah kondisi untuk domain definisi pertidaksamaan, yang saya sarankan untuk dicari di awal penyelesaian.

Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan dengan menggunakan metode rasionalisasi:

Domain definisi ketimpangan ditentukan oleh ketentuan:

Kita mendapatkan:

Tetap menulis pertidaksamaan (5)

Memperhatikan domain definisi

Jawaban: (3; 5)

5. Konsolidasi materi yang dipelajari

I. Tuliskan pertidaksamaan sebagai sistem pertidaksamaan rasional:

II. Sajikan ruas kanan pertidaksamaan sebagai logaritma ke basis yang diinginkan dan lanjutkan ke sistem ekuivalennya:

Guru memanggil ke papan tulis siswa yang menuliskan sistem dari kelompok I dan II, dan mengajak salah satu siswa terkuat untuk menyelesaikan pertidaksamaan rumah (No. 11.81*a) dengan menggunakan metode rasionalisasi.

6. Uji kerja

Pilihan 1

pilihan 2

1. Tuliskan sistem pertidaksamaan rasional untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut:

2. Menyelesaikan pertidaksamaan dengan menggunakan metode rasionalisasi

Kriteria penilaian:

3-4 poin – “memuaskan”;
5-6 poin – “bagus”;
7 poin – “luar biasa”.

7. Refleksi

Jawab pertanyaannya: metode manakah yang Anda ketahui untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dengan basis variabel yang akan memungkinkan Anda menggunakan waktu Anda dengan lebih efisien selama ujian?

8. Pekerjaan rumah: Nomor 11.80* (a,b), 11.81*(a,b), 11.84*(a,b) diselesaikan dengan metode rasionalisasi.

Bibliografi:

1. Aljabar dan awal mula analisis: Buku Ajar. Untuk kelas 11. pendidikan umum Institusi /[S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] – edisi ke-5. – M.: Pendidikan, OJSC “Buku Teks Moskow”, 2006.
2. A.G. Koryanov, A.A. Prokofiev. Materi mata kuliah “Mempersiapkan Siswa yang Baik dan Unggul Menghadapi Ujian Negara Bersatu”: kuliah 1-4. - M.: Universitas Pedagogis"Pertama September", 2012.

Bagian: Matematika

Seringkali, ketika menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, ada masalah dengan basis logaritma variabel. Jadi, terjadi ketimpangan bentuk

adalah ketimpangan sekolah standar. Sebagai aturan, untuk menyelesaikannya, transisi ke serangkaian sistem yang setara digunakan:

Kerugian metode ini adalah kebutuhan untuk menyelesaikan tujuh kesenjangan, tidak termasuk dua sistem dan satu populasi. Dengan fungsi kuadrat ini, penyelesaian populasi bisa memakan banyak waktu.

Ada kemungkinan untuk mengusulkan cara alternatif yang tidak memakan banyak waktu untuk mengatasi ketimpangan standar ini. Untuk melakukan ini, kita memperhitungkan teorema berikut.

Teorema 1. Misalkan ada fungsi yang terus meningkat pada himpunan X. Maka pada himpunan ini tanda kenaikan fungsi tersebut akan bertepatan dengan tanda kenaikan argumen, yaitu. , Di mana .

Catatan: jika fungsi menurun terus menerus pada himpunan X, maka .

Mari kita kembali ke ketimpangan. Mari beralih ke logaritma desimal (Anda dapat beralih ke logaritma apa pun yang basis konstannya lebih besar dari satu).

Sekarang Anda dapat menggunakan teorema tersebut, dengan memperhatikan pertambahan fungsi pada pembilangnya dan di penyebutnya. Jadi itu benar

Hasilnya, jumlah penghitungan yang menghasilkan jawaban berkurang sekitar setengahnya, sehingga tidak hanya menghemat waktu, namun juga memungkinkan Anda berpotensi membuat lebih sedikit kesalahan aritmatika dan kecerobohan.

Contoh 1.

Bandingkan dengan (1) kita temukan , , .

Pindah ke (2) kita akan memiliki:

Contoh 2.

Bandingkan dengan (1) kita temukan , , .

Pindah ke (2) kita akan memiliki:

Contoh 3.

Karena ruas kiri pertidaksamaan merupakan fungsi meningkat sebagai dan , maka jawabannya akan banyak.

Banyaknya contoh penerapan Tema 1 dapat dengan mudah diperluas dengan mempertimbangkan Tema 2.

Biarkan di lokasi syuting X fungsi , , , didefinisikan, dan pada titik ini tanda-tandanya ditetapkan dan bertepatan, yaitu. , maka itu akan adil.

Contoh 4.

Contoh 5.

Dengan pendekatan standar, contoh diselesaikan menurut skema berikut: hasil kali kurang dari nol jika faktor-faktornya berbeda tanda. Itu. sekumpulan dua sistem ketidaksetaraan dipertimbangkan, di mana, seperti yang ditunjukkan di awal, setiap ketidaksetaraan dipecah menjadi tujuh sistem ketidaksetaraan lainnya.

Jika kita memperhatikan teorema 2, maka masing-masing faktor dengan memperhitungkan (2) dapat digantikan oleh fungsi lain yang bertanda sama dalam contoh ini O.D.Z.

Metode mengganti pertambahan suatu fungsi dengan pertambahan argumen, dengan memperhatikan Teorema 2, ternyata sangat mudah digunakan dalam penyelesaian tugas-tugas khas Ujian Negara Bersatu C3.

Contoh 6.

Contoh 7.

. Mari kita nyatakan . Kita mendapatkan

. Perhatikan bahwa penggantian menyiratkan: . Kembali ke persamaan, kita dapatkan .

Contoh 8.

Dalam teorema yang kami gunakan tidak ada batasan kelas fungsi. Dalam artikel ini, sebagai contoh, teorema diterapkan untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik. Beberapa contoh berikut ini akan menunjukkan manfaat dari metode penyelesaian jenis kesenjangan lainnya.