Mencari volume suatu benda dari luas penampang. Cara mencari luas permukaan revolusi menggunakan integral Luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi

11.02.2022 | Lukisan karya seniman

5. Mencari luas permukaan benda revolusi

Misalkan kurva AB adalah grafik fungsi y = f(x) ≥ 0, dimana x [a; b], dan fungsi y = f(x) dan turunannya y" = f"(x) kontinu pada ruas ini.

Mari kita cari luas S permukaan yang dibentuk oleh rotasi kurva AB mengelilingi sumbu Ox (Gbr. 8).

Mari kita terapkan skema II (metode diferensial).

Melalui titik sembarang x [a; b] gambarlah bidang P yang tegak lurus sumbu Ox. Bidang П memotong permukaan rotasi membentuk lingkaran dengan jari-jari y – f(x). Besar kecilnya S permukaan bagian gambar revolusi yang terletak di sebelah kiri bidang adalah fungsi dari x, yaitu. s = s(x) (s(a) = 0 dan s(b) = S).

Mari kita beri argumen x kenaikan Δx = dx. Melalui titik x + dx [a; b] kita juga menggambar bidang yang tegak lurus terhadap sumbu Sapi. Fungsi s = s(x) akan menerima kenaikan sebesar Δs, yang ditunjukkan pada gambar sebagai “sabuk”.

Mari kita cari luas diferensial ds dengan mengganti gambar yang terbentuk antara bagian tersebut dengan kerucut terpotong, yang matriks generatriknya sama dengan dl, dan jari-jari alasnya sama dengan y dan y + dу. Luas permukaan lateralnya adalah: = 2ydl + dydl.

Menolak hasil kali dу d1 sebagai perkalian yang sangat kecil dengan orde yang lebih tinggi daripada ds, kita memperoleh ds = 2уdl, atau, karena d1 = dx.

Mengintegrasikan persamaan yang dihasilkan dalam rentang dari x = a hingga x = b, kita peroleh

Jika kurva AB diberikan persamaan parametrik x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, maka rumus luas permukaan rotasi berbentuk

S=2 dt.

Contoh: Carilah luas permukaan bola yang berjari-jari R.

S=2 =

6. Menemukan pekerjaan gaya variabel

Pekerjaan gaya variabel

Membiarkan poin materi M bergerak sepanjang sumbu Ox di bawah aksi gaya variabel F = F(x) yang diarahkan sejajar dengan sumbu ini. Usaha yang dilakukan suatu gaya ketika titik M berpindah dari posisi x = a ke posisi x = b (a

Berapa usaha yang harus dilakukan untuk meregangkan pegas sebesar 0,05 m jika gaya sebesar 100 N menarik pegas sebesar 0,01 m?

Menurut hukum Hooke, gaya elastis yang meregangkan pegas sebanding dengan tegangan x, yaitu. F = kх, dimana k adalah koefisien proporsionalitas. Berdasarkan kondisi soal, gaya F = 100 N meregangkan pegas sebesar x = 0,01 m; oleh karena itu, 100 = k 0,01, maka k = 10.000; oleh karena itu, F = 10.000x.

Pekerjaan yang diperlukan berdasarkan rumus

SEBUAH=

Temukan usaha yang harus dikeluarkan untuk memompa cairan melewati tepi tangki silinder vertikal dengan tinggi N m dan jari-jari alas R m (Gbr. 13).

Usaha yang dilakukan untuk mengangkat benda bermassa p ke ketinggian h sama dengan p N. Tetapi berbagai lapisan cairan dalam tangki berada pada kedalaman yang berbeda dan ketinggian naik (ke tepi tangki) berbeda. lapisannya tidak sama.

Untuk mengatasi masalah tersebut, kami menerapkan skema II (metode diferensial). Mari kita perkenalkan sistem koordinat.

1) Usaha yang dilakukan untuk memompa keluar lapisan cairan dengan ketebalan x (0 ≤ x ≤ H) dari suatu reservoir adalah fungsi dari x, yaitu. A = A(x), dimana (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Temukan bagian utama dari kenaikan ΔA ketika x berubah sebesar Δx = dx, yaitu. kita mencari diferensial dA dari fungsi A(x).

Karena kecilnya dx, kita asumsikan bahwa lapisan “dasar” zat cair terletak pada kedalaman yang sama x (dari tepi reservoir). Maka dA = dрх, dimana dр adalah berat lapisan ini; itu sama dengan g АV, di mana g adalah percepatan gravitasi, adalah massa jenis zat cair, dv adalah volume lapisan "dasar" zat cair (disorot pada gambar), mis. dr = g. Volume lapisan cair yang ditunjukkan jelas sama dengan , dimana dx adalah tinggi silinder (lapisan), adalah luas alasnya, yaitu. dv = .

Jadi, dр = . Dan

3) Mengintegrasikan persamaan yang dihasilkan dalam rentang dari x = 0 sampai x = H, kita temukan

8. Perhitungan integral menggunakan paket MathCAD

Ketika menyelesaikan beberapa masalah terapan, perlu menggunakan operasi integrasi simbolik. Dalam hal ini program MathCad dapat berguna baik pada tahap awal (ada baiknya mengetahui jawabannya terlebih dahulu atau mengetahui keberadaannya) maupun pada tahap akhir (ada baiknya mengecek hasilnya menggunakan jawaban dari sumber lain atau solusi orang lain).

Saat memecahkan sejumlah besar masalah, Anda dapat melihat beberapa fitur penyelesaian masalah menggunakan program MathCad. Mari kita coba memahami dengan beberapa contoh cara kerja program ini, menganalisis solusi yang diperoleh dengan bantuannya dan membandingkan solusi tersebut dengan solusi yang diperoleh dengan metode lain.

Permasalahan utama dalam menggunakan program MathCad adalah sebagai berikut:

a) program memberikan jawaban bukan berupa fungsi-fungsi dasar yang sudah dikenal, melainkan berupa fungsi-fungsi khusus yang tidak diketahui semua orang;

b) dalam beberapa kasus “menolak” memberikan jawaban, meskipun ada solusi untuk masalah tersebut;

c) terkadang hasil yang diperoleh tidak dapat digunakan karena rumitnya;

d) tidak menyelesaikan masalah secara tuntas dan tidak menganalisis solusinya.

Untuk mengatasi permasalahan tersebut, maka perlu memanfaatkan kelebihan dan kekurangan program.

Dengan bantuannya, mudah dan sederhana untuk menghitung integral fungsi rasional pecahan. Oleh karena itu, disarankan untuk menggunakan metode penggantian variabel, yaitu. Siapkan terlebih dahulu integral untuk penyelesaiannya. Untuk tujuan ini, substitusi yang dibahas di atas dapat digunakan. Perlu juga diingat bahwa hasil yang diperoleh harus diperiksa kebetulannya domain definisi fungsi asli dan hasil yang diperoleh. Selain itu, beberapa solusi yang diperoleh memerlukan penelitian tambahan.

Program MathCad membebaskan siswa atau peneliti dari pekerjaan rutin, tetapi tidak dapat membebaskannya dari analisis tambahan baik saat menetapkan masalah maupun saat memperoleh hasil apa pun.

Dalam tulisan ini dibahas ketentuan-ketentuan pokok yang berkaitan dengan kajian penerapan integral tertentu dalam mata kuliah matematika.

– analisis landasan teori penyelesaian integral telah dilakukan;

– materinya disistematisasikan dan digeneralisasikan.

Dalam proses penyelesaian tugas mata kuliah, contoh-contoh masalah praktis di bidang fisika, geometri, dan mekanika dipertimbangkan.

Kesimpulan

Contoh soal praktis yang dibahas di atas memberi kita gambaran yang jelas tentang pentingnya integral tertentu untuk solvabilitasnya.

Sulit untuk menyebutkan bidang ilmiah yang tidak menggunakan metode kalkulus integral secara umum dan sifat-sifat integral tertentu pada khususnya. Maka dalam proses penyelesaian tugas mata kuliah, kami mengkaji contoh-contoh soal praktikum di bidang fisika, geometri, mekanika, biologi dan ekonomi. Tentu saja, ini bukan daftar lengkap ilmu-ilmu yang menggunakan metode integral untuk mencari nilai yang mapan ketika memecahkan masalah tertentu dan menetapkan fakta teoretis.

Integral pasti juga digunakan untuk mempelajari matematika itu sendiri. Misalnya, ketika memecahkan persamaan diferensial, yang pada gilirannya memberikan kontribusi yang sangat diperlukan dalam memecahkan masalah praktis. Dapat dikatakan bahwa integral tertentu merupakan landasan tertentu dalam pembelajaran matematika. Oleh karena itu pentingnya mengetahui cara mengatasinya.

Dari uraian di atas, jelas mengapa pengenalan integral tertentu terjadi di sekolah menengah, di mana siswa tidak hanya mempelajari konsep integral dan sifat-sifatnya, tetapi juga beberapa penerapannya.

literatur

1.Volkov E.A. Metode numerik. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Kalkulus diferensial dan integral. M., Integral-Press, 2004. Jilid 1.

3. Shipachev V.S. Matematika yang lebih tinggi. M., Sekolah Tinggi, 1990.

Salam, mahasiswa Universitas Argemona yang terkasih!

Hari ini kita akan terus belajar bagaimana mewujudkan benda. Terakhir kali kita memutar bangun datar dan mendapatkan benda volumetrik. Beberapa di antaranya sangat menggoda dan bermanfaat. Menurutku, sebagian besar penemuan pesulap dapat digunakan di masa depan.

Hari ini kita akan memutar kurva. Jelas bahwa dengan cara ini kita bisa mendapatkan suatu benda dengan tepi yang sangat tipis (kerucut atau botol ramuan, vas bunga, gelas untuk minuman, dll), karena kurva yang berputar dapat menghasilkan benda-benda seperti itu. Dengan kata lain, dengan memutar kurva kita bisa mendapatkan suatu permukaan - tertutup di semua sisi atau tidak. Mengapa saat ini saya teringat cangkir bocor yang selalu diminum Sir Shurf Lonli-Lokli.

Jadi kita akan membuat mangkuk berlubang dan mangkuk tanpa lubang, dan menghitung luas permukaan yang dibuat. Saya pikir itu (luas permukaan secara umum) akan diperlukan untuk sesuatu - setidaknya untuk mengaplikasikan cat ajaib khusus. Di sisi lain, area artefak magis mungkin diperlukan untuk menghitung kekuatan magis yang diterapkan padanya atau sesuatu yang lain. Kita akan belajar menemukannya, dan kita akan menemukan di mana menerapkannya.

Jadi, sepotong parabola bisa memberi kita bentuk seperti mangkuk. Mari kita ambil y=x 2 yang paling sederhana pada interval tersebut. Terlihat ketika diputar mengelilingi sumbu OY, yang didapat hanyalah sebuah mangkuk. Tidak ada dasar.

Mantra untuk menghitung luas permukaan rotasi adalah sebagai berikut:

Di sini |y| - ini adalah jarak dari sumbu rotasi ke titik mana pun pada kurva yang berputar. Seperti yang Anda ketahui, jarak adalah garis tegak lurus.
Sedikit lebih sulit dengan elemen kedua mantra: ds adalah perbedaan busur. Kata-kata ini tidak memberi kita apa-apa, jadi jangan repot-repot, tapi mari kita beralih ke bahasa rumus, di mana perbedaan ini disajikan dengan jelas untuk semua kasus yang kita ketahui:
- Sistem koordinasi cartesian;
- merekam kurva dalam bentuk parametrik;
- sistem koordinat kutub.

Untuk kasus kita, jarak dari sumbu rotasi ke titik mana pun pada kurva adalah x. Kami menghitung luas permukaan mangkuk berlubang yang dihasilkan:

Untuk membuat mangkuk dengan bagian bawah, Anda perlu mengambil bagian lain, tetapi dengan kurva yang berbeda: pada interval ini adalah garis y=1.

Jelas bahwa ketika diputar mengelilingi sumbu OY, dasar mangkuk akan berbentuk lingkaran dengan jari-jari satuan. Dan kita tahu cara menghitung luas lingkaran (menggunakan rumus pi*r^2. Untuk kasus kita, luas lingkaran akan sama dengan pi), tapi mari kita hitung menggunakan rumus baru - untuk memeriksa.
Jarak dari sumbu rotasi ke titik mana pun pada bagian kurva ini juga sama dengan x.

Ya, perhitungan kami benar, dan ini merupakan kabar baik.

Dan sekarang pekerjaan rumah.

1. Carilah luas permukaan yang diperoleh dengan memutar garis putus-putus ABC, dimana A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), mengelilingi sumbu OX.
Nasihat. Tuliskan semua segmen dalam bentuk parametrik.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Ngomong-ngomong, item yang dihasilkan seperti apa?

2. Nah, sekarang buatlah sesuatu sendiri. Saya pikir tiga item sudah cukup.

Oleh karena itu, saya akan langsung beralih ke konsep dasar dan contoh praktisnya.

Mari kita lihat gambar sederhananya

Dan ingat: apa yang bisa dihitung menggunakan integral tertentu ?

Pertama-tama, tentu saja, luas trapesium melengkung . Akrab sejak masa sekolah.

Jika angka ini berputar di sekitar sumbu koordinat, maka kita berbicara tentang penemuan volume tubuh revolusi . Sederhana juga.

Apa lagi? Telah ditinjau belum lama ini masalah panjang busur .

Dan hari ini kita akan belajar bagaimana menghitung satu lagi karakteristik - luas lainnya. Bayangkan garis itu berputar di sekitar sumbu. Sebagai hasil dari tindakan ini, diperoleh sosok geometris yang disebut permukaan rotasi. Dalam hal ini menyerupai pot tanpa alas. Dan tanpa penutup. Seperti yang dikatakan Eeyore si keledai, pemandangan yang memilukan =)

Untuk menghilangkan interpretasi yang ambigu, saya akan membuat klarifikasi yang membosankan namun penting:

dari sudut pandang geometris, “pot” kita memilikinya sangat tipis dinding dan dua permukaan dengan luas yang sama - eksternal dan internal. Jadi, semua perhitungan lebih lanjut menyiratkan luasnya hanya permukaan luar.

Dalam sistem koordinat persegi panjang, luas permukaan revolusi dihitung dengan rumus:

atau, lebih ringkasnya: .

Persyaratan yang sama dikenakan pada fungsi dan turunannya seperti pada pencarian panjang busur kurva , tetapi, selain itu, kurva harus ditempatkan lebih tinggi sumbu Ini penting! Sangat mudah untuk memahaminya jika garis itu berada di bawah sumbu, lalu integralnya akan negatif : , dan oleh karena itu Anda harus menambahkan tanda minus ke rumus untuk mempertahankan arti geometris dari soal tersebut.

Mari kita lihat angka yang tidak semestinya diabaikan:

Luas permukaan torus

Pendeknya, torus adalah donat. Contoh buku teks yang dibahas di hampir semua buku teks matan dikhususkan untuk menemukan volume torus, dan oleh karena itu, demi variasi, saya akan menganalisis masalah yang lebih jarang terjadi luas permukaannya. Pertama dengan nilai numerik tertentu:

Contoh 1

Hitung luas permukaan torus yang diperoleh dengan memutar lingkaran di sekitar sumbu.

Larutan: seperti yang Anda tahu, persamaannya set lingkaran satuan jari-jari dengan pusat di titik . Dalam hal ini, mudah untuk mendapatkan dua fungsi:

– mengatur setengah lingkaran atas;
– mengatur setengah lingkaran bawah:

Intinya sangat jelas: lingkaran berputar mengelilingi sumbu x dan membentuk permukaan bagel. Satu-satunya hal di sini, untuk menghindari reservasi kasar, adalah berhati-hati dalam terminologi: jika Anda merotasi lingkaran, dibatasi oleh lingkaran , maka itu akan menjadi geometris tubuh, yaitu bagel itu sendiri. Dan sekarang kita berbicara tentang wilayahnya permukaan, yang tentunya perlu dihitung sebagai jumlah luas:

1) Temukan luas permukaan yang diperoleh dengan memutar busur “biru”. di sekitar sumbu absis. Kami menggunakan rumusnya . Seperti yang telah saya sarankan berulang kali, akan lebih mudah untuk melakukan tindakan secara bertahap:

Mari kita ambil fungsinya dan temukan dia turunan :

Dan terakhir, kita memuat hasilnya ke dalam rumus:

Perhatikan bahwa dalam kasus ini ternyata lebih rasional menggandakan integral fungsi genap selama penyelesaian, daripada memikirkan terlebih dahulu tentang simetri bangun relatif terhadap sumbu ordinat.

2) Temukan luas permukaan yang diperoleh dengan memutar busur “merah”. di sekitar sumbu absis. Semua tindakan sebenarnya akan berbeda hanya dengan satu tanda. Saya akan menulis solusinya dengan gaya berbeda, yang tentu saja juga memiliki hak untuk hidup:

3) Jadi, luas permukaan torus adalah:

Menjawab:

Soal tersebut dapat diselesaikan secara umum - hitung luas permukaan torus yang diperoleh dengan memutar lingkaran mengelilingi sumbu absis, dan dapatkan jawabannya . Namun, untuk kejelasan dan kesederhanaan, saya melakukan penyelesaian pada bilangan tertentu.

Jika Anda perlu menghitung volume donat itu sendiri, silakan merujuk ke buku teks sebagai referensi singkat:

Menurut pernyataan teoretis, kami menganggap setengah lingkaran atas. Itu "ditarik" ketika nilai parameter berubah dalam batas (mudah untuk melihatnya pada interval ini), dengan demikian:

Menjawab:

Jika Anda menyelesaikan soal dalam bentuk umum, Anda akan mendapatkan rumus sekolah luas bola, di mana jari-jarinya.

Itu adalah tugas yang sangat sederhana, saya bahkan merasa malu... Saya sarankan Anda memperbaiki bug ini =)

Contoh 4

Hitung luas permukaan yang diperoleh dengan memutar busur pertama sikloid mengelilingi sumbunya.

Tugasnya kreatif. Cobalah untuk menurunkan atau menebak secara intuitif rumus menghitung luas permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva mengelilingi sumbu ordinat. Dan, tentu saja, keuntungan dari persamaan parametrik harus diperhatikan lagi - persamaan tersebut tidak perlu dimodifikasi dengan cara apa pun; tidak perlu bersusah payah mencari batasan integrasi lainnya.

Grafik sikloid dapat dilihat di halaman Luas dan volume, jika garis ditentukan secara parametrik . Permukaan rotasinya akan menyerupai... Saya bahkan tidak tahu harus membandingkannya dengan apa... sesuatu yang tidak wajar - berbentuk bulat dengan cekungan runcing di tengahnya. Untuk kasus rotasi sikloid di sekitar porosnya, sebuah asosiasi langsung terlintas dalam pikiran - bola rugby berbentuk bujur.

Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Kami menyimpulkan ulasan menarik kami dengan kasus ini koordinat kutub . Ya, sekedar ulasan, jika Anda melihat buku teks tentang analisis matematika (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov, penulis lain), Anda bisa mendapatkan selusin (atau bahkan lebih banyak) contoh standar, di antaranya Anda mungkin menemukan masalah yang Anda butuhkan .

Cara menghitung luas permukaan revolusi,
jika garis diberikan dalam sistem koordinat kutub?

Jika kurva diberikan koordinat kutub persamaan, dan fungsinya mempunyai turunan kontinu pada interval tertentu, maka luas permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva ini mengelilingi sumbu kutub dihitung dengan rumus , dimana adalah nilai sudut yang bersesuaian dengan ujung kurva.

Sesuai dengan makna geometri masalahnya, fungsi integran , dan ini dicapai hanya dengan syarat (dan jelas non-negatif). Oleh karena itu, perlu diperhatikan nilai sudut dari rentang tersebut, dengan kata lain kurva harus ditempatkan lebih tinggi sumbu kutub dan kelanjutannya. Seperti yang Anda lihat, ceritanya sama seperti di dua paragraf sebelumnya.

Contoh 5

Hitung luas permukaan yang dibentuk dengan memutar cardioid di sekitar sumbu kutub.

Larutan: grafik kurva ini dapat dilihat pada Contoh 6 pelajaran tentang sistem koordinat kutub . Cardioid simetris terhadap sumbu kutub, jadi kami mempertimbangkan bagian atasnya dalam interval (yang sebenarnya disebabkan oleh pernyataan di atas).

Permukaan rotasi akan menyerupai sasaran.

Teknik penyelesaiannya standar. Mari kita cari turunannya terhadap "phi":

Mari kita buat dan sederhanakan root:

Saya berharap dengan yang biasa

Biarkan tubuh diberikan di luar angkasa. Misalkan bagian-bagiannya dibuat oleh bidang-bidang yang tegak lurus terhadap sumbu yang melalui titik-titik tersebut
Pada dia. Luas bangun yang terbentuk pada bagian tersebut bergantung pada titiknya X, mendefinisikan bidang bagian. Biarlah ketergantungan ini diketahui dan diberikan terus menerus fungsi. Kemudian volume bagian tubuh yang terletak di antara bidang-bidang tersebut x=sebuah Dan x=b dihitung dengan rumus

Contoh. Mari kita cari volume benda terikat yang terletak di antara permukaan silinder berjari-jari :, bidang mendatar dan bidang miring z = 2y dan terletak di atas bidang mendatar.

Jelas sekali bahwa benda yang dipertimbangkan diproyeksikan ke segmen sumbu
, dan atx
penampang benda adalah segitiga siku-siku dengan kaki y dan z = 2y, dimana y dapat dinyatakan melalui x dari persamaan silinder:

Oleh karena itu, luas penampang S(x) adalah:

Dengan menggunakan rumus, kita mencari volume benda:

Perhitungan volume benda revolusi

Biarkan di segmen[ A, B] fungsi kontinu dari tanda konstan ditentukan kamu= F(X). Volume suatu benda revolusi yang dibentuk oleh rotasi pada suatu sumbu Oh(atau sumbu kamu) trapesium lengkung yang dibatasi oleh sebuah kurva kamu= F(X) (F(X) 0) dan lurus kamu=0, x=sebuah, x=B, dihitung sesuai dengan menggunakan rumus:

, ( 19)

(20)

Jika suatu benda dibentuk dengan cara memutar pada suatu sumbu kamu trapesium lengkung yang dibatasi oleh suatu kurva
dan lurus X=0, kamu= C, kamu= D, maka volume benda revolusi sama dengan

. (21)

Contoh. Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu Oh.

Menurut rumus (19), volume yang dibutuhkan

Contoh. Misalkan garis y=cosx pada ruas tersebut dianggap berada pada bidang xOy .

E Garis tersebut berputar dalam ruang di sekitar suatu sumbu, dan permukaan rotasi yang dihasilkan membatasi suatu benda revolusi (lihat gambar). Mari kita cari volume benda rotasi ini.

Menurut rumusnya, kita mendapatkan:

Luas permukaan rotasi

,
, berputar mengelilingi sumbu Ox, maka luas permukaan rotasi dihitung dengan rumus
, Di mana A Dan B- absis awal dan akhir busur.

Jika busur suatu kurva ditentukan oleh fungsi non-negatif
,
, berputar mengelilingi sumbu Oy, kemudian luas permukaan rotasi dihitung dengan rumus

dimana c dan d adalah absis awal dan akhir busur.

Jika busur kurva diberikan persamaan parametrik
,
, Dan
, Itu

Jika busur ditentukan dalam koordinat kutub
, Itu

Contoh. Mari kita hitung luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi ruang di sekitar sumbu bagian garis y= terletak di atas bilah pemotong.

Karena
, maka rumusnya memberi kita integral

Mari kita lakukan perubahan t=x+(1/2) pada integral terakhir dan dapatkan:

Pada integral pertama di ruas kanan kita melakukan penggantian z=t 2 -:

Untuk menghitung integral kedua di ruas kanan, kita menyatakannya dan mengintegrasikannya per bagian, sehingga diperoleh persamaan untuk:

Pindah ke sisi kiri dan membaginya dengan 2, kita dapatkan

di mana, akhirnya,

Penerapan integral tertentu pada penyelesaian beberapa permasalahan mekanika dan fisika

Pekerjaan gaya variabel. Mari kita perhatikan pergerakan suatu titik material sepanjang sumbu SAPI di bawah pengaruh kekuatan variabel F, tergantung pada posisi titiknya X pada sumbu, mis. gaya, yang merupakan suatu fungsi X. Kemudian bekerja A, diperlukan untuk memindahkan titik material dari posisinya X = A ke posisinya X = B dihitung dengan rumus:

Menghitung kekuatan tekanan fluida gunakan hukum Pascal, yang menyatakan bahwa tekanan suatu fluida pada suatu platform sama dengan luasnya S, dikalikan dengan kedalaman perendaman H, pada kepadatan ρ dan percepatan gravitasi G, yaitu

1. Momen dan pusat massa kurva bidang. Jika busur kurva diberikan oleh persamaan y=f(x), a≤x≤b, dan mempunyai massa jenis
, Itu momen statis busur ini M x dan M y relatif terhadap sumbu koordinat Ox dan Oy adalah sama

;

momen inersia I X dan I y relatif terhadap sumbu yang sama Ox dan Oy dihitung menggunakan rumus

A koordinat pusat massa Dan - menurut rumus

di mana l adalah massa busur, mis.

Contoh 1. Tentukan momen statik dan momen inersia terhadap sumbu Ox dan Oy busur garis catenary y=chx untuk 0≤x≤1.

Jika kepadatan tidak ditentukan, kurva dianggap seragam dan
. Kita mempunyai: Oleh karena itu,

Contoh 2. Tentukan koordinat pusat massa busur lingkaran x=acost, y=asint, yang terletak pada suku pertama. Kita punya:

Dari sini kita mendapatkan:

Dalam aplikasi, hal berikut sering kali berguna Dalil Rupiah Belanda. Luas permukaan yang dibentuk oleh perputaran busur suatu bidang melengkung pada suatu sumbu yang terletak pada bidang busur dan tidak memotongnya sama dengan hasil kali panjang busur dan panjang lingkaran yang dibatasi. berdasarkan pusat massanya.

Contoh 3. Temukan koordinat pusat massa setengah lingkaran

Karena simetri
. Ketika sebuah setengah lingkaran diputar mengelilingi sumbu Sapi, diperoleh sebuah bola, luas permukaannya sama, dan panjang setengah lingkarannya sama dengan na. Berdasarkan teorema Gulden kita mempunyai 4

Dari sini
, yaitu pusat massa C mempunyai koordinat C
.

2. Tugas fisik. Beberapa penerapan integral tertentu dalam menyelesaikan masalah fisika diilustrasikan pada contoh di bawah ini.

Contoh 4. Kecepatan gerak lurus suatu benda dinyatakan dengan rumus (m/s). Temukan jalur yang ditempuh tubuh dalam waktu 5 detik sejak awal gerakan.

Karena jalur yang dilalui oleh tubuh dengan kecepatan v(t) selama periode waktu tertentu, dinyatakan dengan integral

maka kita punya:

P
contoh. Mari kita cari luas daerah berbatas yang terletak di antara sumbu dan garis y=x 3 -x. Karena

garis memotong sumbu di tiga titik: x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.

Area terbatas antara garis dan sumbu diproyeksikan ke segmen tersebut
,dan pada segmen tersebut
,liney=x 3 -x berada di atas sumbu (yaitu, liney=0, dan seterusnya - di bawah. Oleh karena itu, luas wilayah dapat dihitung sebagai berikut:

P
contoh. Mari kita cari luas daerah yang terletak di antara putaran pertama dan kedua spiral Archimedes r=a (a>0) dan segmen sumbu horizontal
.

Putaran pertama spiral berhubungan dengan perubahan sudut dalam rentang dari 0 hingga, dan putaran kedua - dari. Untuk memberikan perubahan argumen untuk satu celah, kita tulis persamaan putaran kedua spiral dalam bentuk
,

. Kemudian luasnya dapat dicari dengan menggunakan rumus put
Dan
: