Persamaan bidang yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap garis tertentu. Persamaan umum bidang - uraian, contoh, pemecahan masalah Tulis persamaan bidang yang melalui suatu titik tegak lurus

Jika semua bilangan A, B, C, dan D bukan nol, maka persamaan umum bidang tersebut disebut menyelesaikan. Jika tidak, persamaan umum bidang tersebut disebut tidak lengkap.

Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan persamaan umum bidang yang tidak lengkap dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz dalam ruang tiga dimensi.

Misalkan D = 0, maka kita mempunyai persamaan bidang umum yang tidak lengkap berbentuk . Bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz ini melewati titik asal. Memang, ketika mensubstitusikan koordinat suatu titik ke dalam persamaan bidang yang tidak lengkap, kita sampai pada identitasnya.

Untuk , atau , atau kita mempunyai persamaan umum bidang yang tidak lengkap , atau , atau . Persamaan ini mendefinisikan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang koordinat Oxy, Oxz dan Oyz (lihat artikel untuk kondisi bidang sejajar) dan melalui titik-titik dan dengan demikian. Pada. Sejak saat itu termasuk dalam bidang dengan syarat, maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan bidang tersebut, yaitu persamaan harus benar. Dari sini kita temukan. Jadi, persamaan yang diperlukan berbentuk .

Mari kita sajikan cara kedua untuk mengatasi masalah ini.

Karena bidang yang persamaan umum yang perlu kita buat adalah sejajar dengan bidang Oyz, maka sebagai vektor normalnya kita dapat mengambil vektor normal bidang Oyz. vektor biasa bidang koordinat Oyz adalah vektor koordinat. Sekarang kita mengetahui vektor normal bidang dan titik bidang, oleh karena itu, kita dapat menulis persamaan umumnya (kita memecahkan masalah serupa di paragraf sebelumnya artikel ini):
, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan bidang. Oleh karena itu, kesetaraan itu benar dari mana kita menemukannya. Sekarang kita dapat menulis persamaan umum bidang yang diinginkan, berbentuk .

Menjawab:

Bibliografi.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika yang lebih tinggi. Jilid satu: unsur aljabar linier dan geometri analitik.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Garis lurus yang jumlahnya tak terhingga dapat ditarik melalui suatu titik.

Melalui dua titik yang tidak berhimpitan dapat ditarik sebuah garis lurus.

Dua garis divergen pada suatu bidang berpotongan di satu titik atau berpotongan

paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi ada tiga pilihan posisi relatif dua garis lurus:

• garis berpotongan;

• garis sejajar;

• garis lurus berpotongan.

Lurus garis— kurva aljabar orde pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartesian

diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama (persamaan linier).

Persamaan umum garis lurus.

Definisi. Setiap garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan persamaan orde pertama

Kapak + Wu + C = 0,

dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum

persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B Dan DENGAN Kasus-kasus khusus berikut mungkin terjadi:

. C = 0, SEBUAH ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui titik asal

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Kapak + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu kamu

. B = C = 0, SEBUAH ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu kamu

. SEBUAH = C = 0, B ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu Oh

Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada bentuk yang diberikan

kondisi awal.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang kartesius, vektor dengan komponen (A, B)

tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Temukan persamaan garis yang melalui suatu titik SEBUAH(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).

Larutan. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita buat persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Mencari koefisien C

Mari kita substitusikan koordinat titik A ke dalam ekspresi yang dihasilkan, Kita peroleh: 3 - 2 + C = 0, oleh karena itu

C = -1. Total : persamaan yang dibutuhkan: 3x - y - 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua titik diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) Dan M2 (x 2, kamu 2, z 2), Kemudian persamaan suatu garis,

melewati titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol. Pada

bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k ditelepon lereng lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Larutan. Menerapkan rumus yang tertulis di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis Kapak + Wu + C = 0 menuju ke:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut

persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor arah.

Dengan analogi titik dengan mempertimbangkan persamaan garis lurus yang melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas

garis lurus yang melalui suatu titik dan vektor pengarah suatu garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi kondisi tersebut

Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor pengarah suatu garis lurus.

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Larutan. Kita akan mencari persamaan garis yang diinginkan dalam bentuk: Kapak + Oleh + C = 0. Menurut definisinya,

koefisien harus memenuhi ketentuan berikut:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. SEBUAH = B.

Maka persamaan garis lurusnya berbentuk: Kapak + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

pada x = 1, kamu = 2 kita mendapatkan C/A = -3, yaitu. persamaan yang diperlukan:

x + kamu - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka dibagi dengan -С diperoleh:

atau dimana

Arti geometris koefisiennya adalah koefisien a adalah koordinat titik potongnya

lurus dengan sumbu Oh, A B- koordinat titik potong garis dengan sumbu kamu.

Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - kamu + 1 = 0. Temukan persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan garis normal.

Jika kedua sisi persamaan Kapak + Wu + C = 0 bagi dengan nomor yang disebut

faktor normalisasi, lalu kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan garis normal.

Tanda ± faktor normalisasi harus dipilih sedemikian rupa μ*C< 0.

R- panjang garis tegak lurus turun dari titik asal ke garis lurus,

A φ - sudut yang dibentuk tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.

Contoh. Persamaan umum garis diberikan 12x - 5 tahun - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan kemiringannya: (bagi dengan 5)

Persamaan sebuah garis:

karena φ = 12/13; dosa φ= -5/13; hal = 5.

Perlu diperhatikan bahwa tidak semua garis lurus dapat direpresentasikan dengan persamaan dalam segmen-segmen, misalnya garis lurus,

sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Sudut antara garis lurus pada suatu bidang.

Definisi. Jika dua baris diberikan kamu = k 1 x + b 1 , kamu = k 2 x + b 2, Itu sudut tajam antara garis-garis ini

akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2. Dua garis tegak lurus

Jika k 1 = -1/ k 2 .

Dalil.

Langsung Kapak + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sejajar jika koefisiennya proporsional

A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garis-garisnya berhimpitan. Koordinat titik potong dua garis

ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis tersebut.

Persamaan garis yang melaluinya titik ini tegak lurus terhadap garis ini.

Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, kamu 1) dan tegak lurus terhadap garis kamu = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak suatu titik ke suatu garis.

Dalil. Jika suatu poin diberikan M(x 0, kamu 0), maka jarak ke garis lurus Kapak + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:

Bukti. Biarkan intinya M 1 (x 1, kamu 1)- alas tegak lurus dijatuhkan dari suatu titik M untuk tertentu

langsung. Kemudian jarak antar titik M Dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 Dan di 1 dapat dicari solusi sistem persamaannya:

Persamaan kedua sistem ini adalah persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu M 0 secara tegak lurus

diberikan garis lurus. Jika kita mengubah persamaan pertama sistem menjadi bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Kapak 0 + Oleh 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikannya, kita mendapatkan:

Mengganti ekspresi ini ke persamaan (1), kita menemukan:

Teorema tersebut telah terbukti.

Artikel ini memberikan gambaran tentang cara membuat persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi yang tegak lurus terhadap garis tertentu. Mari kita menganalisis algoritma yang diberikan menggunakan contoh penyelesaian masalah umum.

Menemukan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dalam ruang yang tegak lurus terhadap garis tertentu

Misalkan diberikan ruang tiga dimensi dan sistem koordinat persegi panjang O x y z. Titik M 1 (x 1, y 1, z 1), garis a dan bidang yang melalui titik M 1 tegak lurus garis a juga diberikan. Persamaan bidang α perlu dituliskan.

Sebelum kita mulai menyelesaikan soal ini, mari kita ingat teorema geometri dari silabus kelas 10-11, yang berbunyi:

Definisi 1

Melalui suatu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi dilewatkan sebuah bidang tunggal yang tegak lurus terhadap suatu garis lurus tertentu.

Sekarang mari kita lihat bagaimana mencari persamaan bidang tunggal yang melalui titik awal dan tegak lurus terhadap garis tertentu.

Persamaan umum suatu bidang dapat dituliskan jika koordinat suatu titik yang termasuk dalam bidang tersebut diketahui, serta koordinat vektor normal bidang tersebut.

Kondisi soal memberikan kita koordinat x 1, y 1, z 1 dari titik M 1 yang dilalui bidang α. Jika kita menentukan koordinat vektor normal bidang α, maka kita dapat menuliskan persamaan yang diperlukan.

Vektor normal bidang α, karena tidak nol dan terletak pada garis a, tegak lurus terhadap bidang α, akan menjadi vektor arah mana pun dari garis a. Dengan demikian, soal mencari koordinat vektor normal bidang α diubah menjadi soal menentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a.

Penentuan koordinat vektor arah garis lurus a dapat dilakukan dengan berbagai cara: bergantung pada pilihan untuk menentukan garis lurus a pada kondisi awal. Misalnya, jika garis lurus a pada rumusan masalah diberikan persamaan kanonik baik

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 az

atau persamaan parametrik jenis:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

maka vektor arah garis lurus tersebut mempunyai koordinat ax, ay dan az. Jika garis lurus a diwakili oleh dua titik M 2 (x 2, y 2, z 2) dan M 3 (x 3, y 3, z 3), maka koordinat vektor arahnya ditentukan sebagai ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Definisi 2

Algoritma untuk mencari persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis tertentu:

Kita tentukan koordinat vektor arah garis lurus a: a → = (ax, ay, az) ;

Kita definisikan koordinat vektor normal bidang α sebagai koordinat vektor pengarah garis lurus a:

n → = (A , B , C) , dimana A = ax , B = ay , C = az;

Kita tuliskan persamaan bidang yang melalui titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan mempunyai vektor normal n → = (A, B, C) dalam bentuk A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Ini akan menjadi persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang melewati suatu titik tertentu dalam ruang dan tegak lurus terhadap garis tertentu.

Persamaan umum bidang yang dihasilkan adalah: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 memungkinkan diperoleh persamaan bidang dalam ruas-ruas atau persamaan normal bidang.

Mari selesaikan beberapa contoh menggunakan algoritma yang diperoleh di atas.

Contoh 1

Diberikan titik M 1 (3, - 4, 5) yang dilalui bidang tersebut, dan bidang tersebut tegak lurus terhadap garis koordinat O z.

Larutan

vektor arah garis koordinat O z adalah vektor koordinat k ⇀ = (0, 0, 1). Oleh karena itu, vektor normal bidang tersebut memiliki koordinat (0, 0, 1). Mari kita tuliskan persamaan sebuah bidang yang melalui suatu titik tertentu M 1 (3, - 4, 5), yang vektor normalnya memiliki koordinat (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Menjawab: z – 5 = 0 .

Mari pertimbangkan cara lain untuk mengatasi masalah ini:

Contoh 2

Sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis O z akan diberikan persamaan bidang umum yang tidak lengkap berbentuk C z + D = 0, C ≠ 0. Mari kita tentukan nilai C dan D: nilai di mana bidang melewati suatu titik tertentu. Mari kita substitusikan koordinat titik ini ke dalam persamaan C z + D = 0, kita peroleh: C · 5 + D = 0. Itu. bilangan, C dan D dihubungkan dengan relasi - D C = 5. Mengambil C = 1, kita mendapatkan D = - 5.

Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan C z + D = 0 dan dapatkan persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang tegak lurus garis lurus O z dan melalui titik M 1 (3, - 4, 5).

Ini akan terlihat seperti: z – 5 = 0.

Menjawab: z – 5 = 0 .

Contoh 3

Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik asal dan tegak lurus garis x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Larutan

Berdasarkan kondisi soal, dapat dikatakan bahwa vektor arah suatu garis lurus tertentu dapat dianggap sebagai vektor normal n → suatu bidang tertentu. Jadi: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Mari kita tulis persamaan bidang yang melalui titik O (0, 0, 0) dan mempunyai vektor normal n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Kita telah memperoleh persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang melalui titik asal koordinat yang tegak lurus terhadap garis tertentu.

Menjawab:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Contoh 4

Sistem koordinat persegi panjang O x y z diberikan dalam ruang tiga dimensi, di dalamnya terdapat dua titik A (2, - 1, - 2) dan B (3, - 2, 4). Bidang α melalui titik A yang tegak lurus garis A B. Perlu dibuat persamaan bidang α dalam segmen-segmen.

Larutan

Bidang α tegak lurus terhadap garis A B, maka vektor A B → akan menjadi vektor normal bidang α. Koordinat vektor ini didefinisikan sebagai selisih antara koordinat titik B (3, - 2, 4) dan A (2, - 1, - 2) yang bersesuaian:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Persamaan umum bidang tersebut akan ditulis sebagai berikut:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sekarang mari kita buat persamaan bidang yang diperlukan dalam segmen-segmen:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Menjawab:x - 9 + kamu 9 + z - 3 2 = 1

Perlu juga diperhatikan bahwa ada soal yang syaratnya adalah menulis persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dan tegak lurus terhadap dua bidang tertentu. Secara umum penyelesaian masalah ini adalah dengan membuat persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis tertentu, karena dua bidang yang berpotongan membentuk suatu garis lurus.

Contoh 5

Diberikan sistem koordinat persegi panjang O x y z, di dalamnya terdapat titik M 1 (2, 0, - 5). Persamaan dua bidang 3 x + 2 y + 1 = 0 dan x + 2 z – 1 = 0, yang berpotongan sepanjang garis lurus a, juga diberikan. Perlu dibuat persamaan bidang yang melalui titik M 1 tegak lurus garis lurus a.

Larutan

Mari kita tentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a. Garis tersebut tegak lurus terhadap vektor normal n 1 → (3, 2, 0) pada bidang n → (1, 0, 2) dan vektor normal 3 x + 2 y + 1 = 0 dari x + 2 z - 1 = 0 bidang.

Kemudian, sebagai vektor pengarah α → garis a, kita ambil hasil kali vektor dari vektor n 1 → dan n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Jadi, vektor n → = (4, - 6, - 2) adalah vektor normal bidang yang tegak lurus garis a. Mari kita tuliskan persamaan bidang yang diperlukan:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Menjawab: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Dapat ditentukan dengan cara yang berbeda (satu titik dan satu vektor, dua titik dan satu vektor, tiga titik, dll.). Dengan pemikiran inilah persamaan bidang dapat dimiliki jenis yang berbeda. Selain itu, dalam kondisi tertentu, bidang dapat sejajar, tegak lurus, berpotongan, dll. Kami akan membicarakan hal ini di artikel ini. Kita akan belajar cara membuat persamaan umum bidang dan banyak lagi.

Bentuk persamaan normal

Katakanlah ada ruang R 3 yang mempunyai sistem koordinat XYZ persegi panjang. Mari kita definisikan vektor α yang akan dilepaskan dari titik awal O. Melalui ujung vektor α kita menggambar sebuah bidang P yang tegak lurus terhadapnya.

Mari kita nyatakan titik sembarang di P sebagai Q = (x, y, z). Mari kita tandatangani vektor jari-jari titik Q dengan huruf p. Dalam hal ini, panjang vektor α sama dengan р=IαI dan Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ini adalah vektor satuan yang arahnya ke samping, seperti vektor α. α, β dan γ adalah sudut yang terbentuk antara vektor Ʋ dan arah positif sumbu ruang x, y, z. Proyeksi titik mana pun QϵП ke vektor Ʋ adalah nilai konstan, yang sama dengan p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Persamaan di atas masuk akal ketika p=0. Satu-satunya hal adalah bidang P dalam hal ini akan memotong titik O (α=0), yang merupakan titik asal koordinat, dan vektor satuan Ʋ yang dilepaskan dari titik O akan tegak lurus terhadap P, meskipun arahnya, yaitu berarti vektor Ʋ ditentukan dengan tanda yang tepat. Persamaan sebelumnya adalah persamaan bidang P kita, dinyatakan dalam bentuk vektor. Namun secara koordinat akan terlihat seperti ini:

P di sini lebih besar dari atau sama dengan 0. Kita telah menemukan persamaan bidang di ruang angkasa dalam bentuk normal.

Persamaan umum

Jika kita mengalikan persamaan dalam koordinat dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol, kita memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan ini, yang mendefinisikan bidang tersebut. Ini akan terlihat seperti ini:

Di sini A, B, C adalah bilangan-bilangan yang sekaligus berbeda dari nol. Persamaan ini disebut persamaan bidang umum.

Persamaan pesawat. Kasus khusus

Persamaan dalam bentuk umum dapat dimodifikasi jika ada kondisi tambahan. Mari kita lihat beberapa di antaranya.

Misalkan koefisien A adalah 0. Artinya bidang ini sejajar dengan sumbu Ox tertentu. Dalam hal ini, bentuk persamaannya akan berubah: Ву+Cz+D=0.

Demikian pula, bentuk persamaannya akan berubah pada kondisi berikut:

• Pertama, jika B = 0, maka persamaannya akan berubah menjadi Ax + Cz + D = 0 yang menunjukkan paralelisme terhadap sumbu Oy.
• Kedua, jika C=0, maka persamaan tersebut akan diubah menjadi Ax+By+D=0, yang menunjukkan paralelisme dengan sumbu Oz yang diberikan.
• Ketiga, jika D=0, persamaannya akan terlihat seperti Ax+By+Cz=0, artinya bidang tersebut memotong O (titik asal).
• Keempat, jika A=B=0, maka persamaannya akan berubah menjadi Cz+D=0, yang terbukti sejajar dengan Oxy.
• Kelima, jika B=C=0, maka persamaannya menjadi Ax+D=0, artinya bidang yang menghadap Oyz sejajar.
• Keenam, jika A=C=0, maka persamaannya akan berbentuk Ву+D=0, yaitu akan melaporkan paralelisme ke Oxz.

Jenis persamaan dalam segmen

Dalam hal bilangan A, B, C, D berbeda dengan nol, maka bentuk persamaan (0) dapat berupa sebagai berikut:

x/a + y/b + z/c = 1,

dimana a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Hasilnya, perlu diperhatikan bahwa bidang ini akan memotong sumbu Ox di titik dengan koordinat (a,0,0), Oy - (0,b,0), dan Oz - (0,0,c ).

Dengan mempertimbangkan persamaan x/a + y/b + z/c = 1, tidak sulit untuk membayangkan secara visual penempatan bidang relatif terhadap sistem koordinat tertentu.

Koordinat vektor normal

Vektor normal n terhadap bidang P mempunyai koordinat yang merupakan koefisien persamaan umum bidang tersebut, yaitu n (A, B, C).

Untuk menentukan koordinat n normal, cukup mengetahui persamaan umum suatu bidang tertentu.

Saat menggunakan persamaan dalam segmen yang berbentuk x/a + y/b + z/c = 1, seperti halnya saat menggunakan persamaan umum, Anda dapat menuliskan koordinat sembarang vektor normal pada bidang tertentu: (1 /a + 1/b + 1/ Dengan).

Perlu dicatat bahwa vektor normal membantu memecahkan berbagai masalah. Masalah yang paling umum mencakup masalah yang melibatkan pembuktian tegak lurus atau paralelisme bidang, masalah mencari sudut antar bidang atau sudut antara bidang dan garis lurus.

Jenis persamaan bidang menurut koordinat titik dan vektor normal

Vektor bukan nol n yang tegak lurus terhadap bidang tertentu disebut normal untuk bidang tertentu.

Mari kita asumsikan bahwa dalam ruang koordinat (sistem koordinat persegi panjang) Oxyz diberikan:

• titik Mₒ dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ);
• vektor nol n=A*i+B*j+C*k.

Perlu dibuat persamaan bidang yang melalui titik Mₒ tegak lurus garis normal n.

Kami memilih titik sembarang dalam ruang dan menyatakannya M (x y, z). Misalkan vektor jari-jari titik M (x,y,z) adalah r=x*i+y*j+z*k, dan vektor jari-jari titik Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Titik M akan termasuk dalam suatu bidang tertentu jika vektor MₒM tegak lurus terhadap vektor n. Mari kita tuliskan kondisi ortogonalitas menggunakan hasil kali skalar:

[MₒM, n] = 0.

Karena MₒM = r-rₒ, persamaan vektor bidang tersebut akan terlihat seperti ini:

Persamaan ini dapat memiliki bentuk lain. Untuk melakukan ini, properti produk skalar digunakan, dan ruas kiri persamaan diubah. = - . Jika kita menyatakannya sebagai c, kita mendapatkan persamaan berikut: - c = 0 atau = c, yang menyatakan keteguhan proyeksi ke vektor normal dari vektor jari-jari titik-titik tertentu yang termasuk dalam bidang.

Sekarang Anda bisa mendapatkan tampilan koordinat dari rekaman tersebut persamaan vektor bidang kita = 0. Karena r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, dan n = A*i+B*j+C*k, kita kita punya:

Ternyata kita mempunyai persamaan bidang yang melewati suatu titik yang tegak lurus garis normal n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Jenis persamaan bidang menurut koordinat dua titik dan vektor yang segaris terhadap bidang

Mari kita definisikan dua titik sembarang M′ (x′,y′,z′) dan M″ (x″,y″,z″), serta sebuah vektor a (a′,a″,a‴).

Sekarang kita dapat membuat persamaan untuk suatu bidang tertentu yang akan melewati titik M′ dan M″ yang ada, serta setiap titik M dengan koordinat (x, y, z) sejajar dengan vektor a yang diberikan.

Dalam hal ini, vektor M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) dan M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) harus koplanar dengan vektor a=(a′,a″,a‴), artinya (M′M, M″M, a)=0.

Jadi persamaan bidang kita di luar angkasa akan terlihat seperti ini:

Jenis persamaan bidang yang memotong tiga titik

Katakanlah kita mempunyai tiga titik: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), yang tidak termasuk dalam garis yang sama. Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu perlu ditulis. Teori geometri menyatakan bahwa bidang semacam ini benar-benar ada, namun merupakan satu-satunya dan unik. Karena bidang ini memotong titik (x′,y′,z′), maka bentuk persamaannya adalah sebagai berikut:

Di sini A, B, C berbeda dari nol pada waktu yang sama. Selain itu, bidang tertentu memotong dua titik lagi: (x″,y″,z″) dan (x‴,y‴,z‴). Dalam hal ini, syarat-syarat berikut harus dipenuhi:

Sekarang kita dapat membuat sistem homogen dengan u, v, w yang tidak diketahui:

Dalam kasus kita, x, y atau z adalah titik sembarang yang memenuhi persamaan (1). Diberikan persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3), sistem persamaan pada gambar di atas dipenuhi oleh vektor N (A,B,C) yang non-trivial. Oleh karena itu determinan sistem ini sama dengan nol.

Persamaan (1) yang kita peroleh adalah persamaan bidang. Ia melewati 3 titik dengan tepat, dan ini mudah untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, kita perlu memperluas determinan kita ke dalam elemen-elemen di baris pertama. Dari sifat-sifat determinan yang ada dapat disimpulkan bahwa bidang kita secara bersamaan memotong tiga titik yang awalnya diberikan (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Artinya, kami telah menyelesaikan tugas yang diberikan kepada kami.

Sudut dihedral antar bidang

Sudut dihedral mewakili spasial sosok geometris, dibentuk oleh dua setengah bidang yang berasal dari satu garis lurus. Dengan kata lain, ini adalah bagian ruang yang dibatasi oleh setengah bidang tersebut.

Katakanlah kita mempunyai dua bidang dengan persamaan berikut:

Kita tahu bahwa vektor N=(A,B,C) dan N¹=(A¹,B¹,C¹) tegak lurus terhadap bidang tertentu. Dalam hal ini, sudut φ antara vektor N dan N¹ sama dengan sudut (dihedral) yang terletak di antara bidang-bidang tersebut. Produk skalar mempunyai bentuk:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

justru karena

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Cukup dengan memperhitungkan bahwa 0≤φ≤π.

Faktanya, dua bidang yang berpotongan membentuk dua sudut (dihedral): φ 1 dan φ 2. Jumlahnya sama dengan π (φ 1 + φ 2 = π). Adapun cosinusnya nilai absolutnya sama, tetapi berbeda tandanya, yaitu cos φ 1 = -cos φ 2. Jika pada persamaan (0) kita ganti A, B dan C berturut-turut dengan bilangan -A, -B dan -C, maka persamaan yang kita peroleh akan menentukan bidang yang sama, satu-satunya, sudut φ di persamaan cosφ=NN 1 /|N||N 1 | akan digantikan oleh π-φ.

Persamaan bidang tegak lurus

Bidang yang sudutnya 90 derajat disebut tegak lurus. Dengan menggunakan materi di atas, kita dapat mencari persamaan suatu bidang yang tegak lurus terhadap bidang lainnya. Misalkan kita mempunyai dua bidang: Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Dapat dikatakan keduanya tegak lurus jika cosφ=0. Artinya NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Persamaan bidang paralel

Dua bidang yang tidak mempunyai titik persekutuan disebut sejajar.

Syaratnya (persamaannya sama seperti pada paragraf sebelumnya) vektor N dan N¹ yang tegak lurus terhadap vektor tersebut adalah segaris. Artinya syarat proporsionalitas berikut terpenuhi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jika kondisi proporsionalitas diperluas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ini menunjukkan bahwa bidang-bidang ini bertepatan. Artinya persamaan Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 menggambarkan satu bidang.

Jarak ke pesawat dari titik

Katakanlah kita mempunyai bidang P, yang diberikan oleh persamaan (0). Kita perlu mencari jarak dari suatu titik dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Untuk melakukan ini, Anda perlu membawa persamaan bidang P ke bentuk normal:

(ρ,v)=р (р≥0).

Dalam hal ini, ρ (x,y,z) adalah vektor jari-jari titik Q kita yang terletak di P, p adalah panjang tegak lurus P yang dilepaskan dari titik nol, v adalah vektor satuan yang terletak di arah a.

Selisih vektor jari-jari suatu titik Q = (x, y, z), milik P, serta vektor jari-jari suatu titik Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) adalah vektor seperti itu, nilai mutlak yang proyeksinya ke v sama dengan jarak d, yang perlu dicari dari Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) ke P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, tetapi

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Jadi ternyata

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Jadi, kita akan menemukan nilai absolut dari ekspresi yang dihasilkan, yaitu d yang diinginkan.

Dengan menggunakan bahasa parameter, kita mendapatkan yang jelas:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jika suatu titik Q 0 berada pada sisi lain bidang P, seperti titik asal koordinat, maka antara vektor ρ-ρ 0 dan v maka terdapat:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Dalam hal titik Q 0 bersama dengan titik asal koordinat terletak pada sisi yang sama dengan P, maka sudut yang tercipta adalah lancip, yaitu:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Hasilnya, ternyata pada kasus pertama (ρ 0 ,v)>р, pada kasus kedua (ρ 0 ,v)<р.

Bidang singgung dan persamaannya

Bidang singgung permukaan pada titik kontak Mº adalah bidang yang memuat semua kemungkinan garis singgung kurva yang melalui titik tersebut di permukaan.

Dengan persamaan permukaan seperti ini F(x,y,z)=0, persamaan bidang singgung di titik singgung Mº(xº,yº,zº) akan terlihat seperti ini:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Jika Anda menentukan permukaan dalam bentuk eksplisit z=f (x,y), maka bidang singgung akan dijelaskan dengan persamaan:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Persimpangan dua bidang

Pada sistem koordinat (persegi panjang) Oxyz terletak, diberikan dua bidang П′ dan П″, yang berpotongan dan tidak berimpit. Karena setiap bidang yang terletak pada sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan umum, kita asumsikan bahwa P′ dan P″ diberikan oleh persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x +B″y+ ″z+D″=0. Dalam hal ini, kita mempunyai n′ (A′,B′,C′) normal pada bidang P′ dan n″ normal (A″,B″,C″) pada bidang P″. Karena bidang kita tidak sejajar dan tidak berimpit, maka vektor-vektor ini tidak segaris. Dengan menggunakan bahasa matematika, kita dapat menuliskan kondisi ini sebagai berikut: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Misalkan garis lurus yang terletak pada perpotongan P′ dan P″ dilambangkan dengan huruf a, dalam hal ini a = P′ ∩ P″.

a adalah garis lurus yang terdiri dari himpunan semua titik pada bidang (bersama) P′ dan P″. Artinya, koordinat titik mana pun yang termasuk dalam garis a harus memenuhi persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x+B″y+C″z+D″=0 secara bersamaan. . Artinya koordinat titik tersebut merupakan solusi parsial dari sistem persamaan berikut:

Hasilnya, penyelesaian (umum) sistem persamaan ini akan menentukan koordinat masing-masing titik garis yang menjadi titik potong P′ dan P″, serta menentukan garis lurus. a dalam sistem koordinat Oxyz (persegi panjang) di ruang angkasa.

Untuk memperoleh persamaan umum suatu bidang, mari kita analisis bidang yang melalui suatu titik tertentu.

Misalkan ada tiga sumbu koordinat yang sudah kita ketahui di luar angkasa - Sapi, Oi Dan Ons. Pegang lembaran kertas tersebut agar tetap rata. Bidang itu akan menjadi lembaran itu sendiri dan kelanjutannya ke segala arah.

Membiarkan P pesawat sewenang-wenang di luar angkasa. Setiap vektor yang tegak lurus terhadapnya disebut vektor biasa ke pesawat ini. Secara alami, kita berbicara tentang vektor bukan nol.

Jika ada titik di pesawat yang diketahui P dan suatu vektor normal terhadapnya, maka dengan kedua kondisi ini bidang dalam ruang terdefinisi sempurna(melalui suatu titik tertentu Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus terhadap vektor tertentu). Persamaan umum bidang tersebut adalah:

Jadi, syarat-syarat yang menentukan persamaan bidang tersebut adalah. Untuk mendapatkan dirimu sendiri persamaan bidang, memiliki formulir di atas, naik pesawat P sewenang-wenang titik M dengan koordinat variabel X, kamu, z. Titik ini hanya menjadi milik pesawat jika vektor tegak lurus terhadap vektor(Gbr. 1). Untuk itu, menurut syarat tegak lurus vektor, hasil kali skalar vektor-vektor tersebut perlu dan cukup sama dengan nol, yaitu

Vektor ditentukan oleh kondisi. Kami menemukan koordinat vektor menggunakan rumus :

.

Sekarang, menggunakan rumus perkalian skalar vektor , kita nyatakan hasil kali skalar dalam bentuk koordinat:

Sejak saat itu M(x; kamu; z) dipilih secara sembarang pada bidang, maka persamaan terakhir dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang terletak pada bidang tersebut P. Untuk satu hal N, tidak berbaring di pesawat tertentu, mis. kesetaraan (1) dilanggar.

Contoh 1. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik dan tegak lurus terhadap vektor.

Larutan. Mari kita gunakan rumus (1) dan lihat lagi:

Dalam rumus ini angka-angkanya A , B Dan C koordinat vektor, dan angka X0 , kamu0 Dan z0 - koordinat titik.

Perhitungannya sangat sederhana: kita substitusikan angka-angka ini ke dalam rumus dan dapatkan

Kita kalikan semua yang perlu dikalikan dan tambahkan angka saja (yang tidak ada hurufnya). Hasil:

.

Persamaan bidang yang diperlukan dalam contoh ini ternyata dinyatakan dengan persamaan umum derajat pertama terhadap koordinat variabel x, kamu, z titik sembarang pesawat.

Jadi, persamaan bentuknya

ditelepon persamaan bidang umum .

Contoh 2. Bangunlah dalam sistem koordinat Kartesius persegi panjang sebuah bidang yang diberikan oleh persamaan .

Larutan. Untuk membangun sebuah bidang, perlu dan cukup mengetahui tiga titiknya yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, misalnya titik potong bidang tersebut dengan sumbu koordinat.

Bagaimana cara menemukan titik-titik tersebut? Untuk mencari titik potong dengan sumbu Ons, Anda perlu mengganti X dan Y dengan angka nol pada persamaan yang diberikan dalam rumusan masalah: X = kamu= 0 . Oleh karena itu kita mendapatkan z= 6. Jadi, bidang tertentu memotong sumbunya Ons pada intinya A(0; 0; 6) .

Dengan cara yang sama kita mencari titik potong bidang dengan sumbunya Oi. Pada X = z= 0 kita dapatkan kamu= −3, itulah intinya B(0; −3; 0) .

Dan terakhir, kita temukan titik potong bidang kita dengan sumbunya Sapi. Pada kamu = z= 0 kita dapatkan X= 2, yaitu satu poin C(2; 0; 0) . Berdasarkan tiga poin yang diperoleh dalam solusi kami A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) dan C(2; 0; 0) buatlah bidang yang diberikan.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus khusus dari persamaan bidang umum. Ini adalah kasus ketika koefisien tertentu dari persamaan (2) menjadi nol.

1. Kapan D= 0 persamaan mendefinisikan bidang yang melalui titik asal, karena koordinat titiknya 0 (0; 0; 0) memenuhi persamaan ini.

2. Kapan SEBUAH= 0 persamaan mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu Sapi, karena vektor normal bidang ini tegak lurus terhadap sumbu Sapi(proyeksinya ke sumbu Sapi sama dengan nol). Demikian pula kapan B= 0 pesawat sejajar dengan sumbu Oi, dan kapan C= 0 pesawat sejajar dengan sumbu Ons.

3. Kapan SEBUAH=D= Persamaan 0 mendefinisikan bidang yang melalui sumbu Sapi, karena sejajar dengan sumbu Sapi (SEBUAH=D= 0). Demikian pula, pesawat melewati porosnya Oi, dan bidang melalui sumbu Ons.

4. Kapan SEBUAH=B= Persamaan 0 mendefinisikan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat xOy, karena sejajar dengan sumbu Sapi (A= 0) dan Oi (B= 0). Begitu pula dengan bidang yang sejajar dengan bidang tersebut kamu Oz, dan pesawat adalah pesawat xOz.

5. Kapan SEBUAH=B=D= 0 persamaan (atau z = 0) mendefinisikan bidang koordinat xOy, karena sejajar dengan bidang xOy (SEBUAH=B= 0) dan melewati titik asal ( D= 0). Demikian pula, Persamaan. kamu = 0 di ruang angkasa mendefinisikan bidang koordinat xOz, dan persamaannya x = 0 - bidang koordinat kamu Oz.

Contoh 3. Buatlah persamaan bidang tersebut P, melewati sumbu Oi dan titik.

Larutan. Jadi pesawat melewati porosnya Oi. Oleh karena itu, dalam persamaannya kamu= 0 dan persamaan ini berbentuk . Untuk menentukan koefisien A Dan C mari kita manfaatkan fakta bahwa titik tersebut milik pesawat P .

Oleh karena itu, diantara koordinatnya ada yang dapat disubstitusikan ke dalam persamaan bidang yang telah kita turunkan (). Mari kita lihat kembali koordinat titiknya:

M0 (2; −4; 3) .

Diantara mereka X = 2 , z= 3 . Kami menggantinya ke dalam persamaan umum dan mendapatkan persamaan untuk kasus khusus kami:

2A + 3C = 0 .

Tinggalkan 2 A di sisi kiri persamaan, pindahkan 3 C ke sisi kanan dan kita dapatkan

A = −1,5C .

Mengganti nilai yang ditemukan A ke dalam persamaan, kita dapatkan

atau .

Ini adalah persamaan yang diperlukan dalam kondisi contoh.

Selesaikan sendiri soal persamaan bidang, lalu lihat solusinya

Contoh 4. Definisikan sebuah bidang (atau bidang-bidang, jika lebih dari satu) terhadap sumbu koordinat atau bidang koordinat jika bidang-bidang tersebut diberikan oleh persamaan.

Solusi untuk masalah umum yang terjadi selama pengujian terdapat dalam buku teks “Masalah pada bidang: paralelisme, tegak lurus, perpotongan tiga bidang pada satu titik.”

Persamaan bidang yang melalui tiga titik

Sebagaimana telah disebutkan, syarat perlu dan cukup untuk membuat sebuah bidang, selain satu titik dan vektor normal, juga terdapat tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama.

Misalkan tiga titik berbeda , dan , tidak terletak pada garis yang sama, diberikan. Karena ketiga titik tersebut tidak terletak pada garis yang sama, maka vektor-vektornya tidak segaris, sehingga setiap titik pada bidang tersebut terletak pada bidang yang sama dengan titik-titik tersebut, dan jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut , dan koplanar, yaitu saat itu dan hanya kapan produk campuran dari vektor-vektor ini sama dengan nol.

Dengan menggunakan ekspresi hasil kali campuran dalam koordinat, kita memperoleh persamaan bidang

(3)

Setelah determinannya terungkap, persamaan ini menjadi persamaan bentuk (2), yaitu. persamaan umum bidang.

Contoh 5. Tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis lurus yang sama:

dan tentukan kasus khusus dari persamaan umum suatu garis, jika ada.

Larutan. Menurut rumus (3) kita memiliki:

Persamaan bidang normal. Jarak dari titik ke bidang

Persamaan normal suatu bidang adalah persamaannya, ditulis dalam bentuk