Berapakah logaritma satu? Mengonversi ekspresi menggunakan properti logaritma: contoh, solusi

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang berperan dalam penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana Anda perlu menyederhanakan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu bilangan positif) “b” dengan basis “a” dianggap pangkat “c ” dimana basis “a” harus dipangkatkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita analisa logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.

Jenis logaritma

Bagi banyak siswa, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritma yang terpisah:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a yang basisnya 10.
3. Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap dari bilangan negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• Basis “a” harus selalu lebih besar dari nol, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” pada derajat apa pun selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan secara akurat nilai derajat yang tidak diketahui, Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai yang lebih besar, Anda memerlukan tabel pangkat. Hal ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematika yang kompleks. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan memahaminya!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tuliskan sebagai logaritma, kita peroleh log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Ekspresi berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ini adalah pertidaksamaan logaritma, karena nilai “x” yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (misalnya logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, keduanya merupakan rentang yang dapat diterima. nilai dan poin ditentukan dengan melanggar fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaannya nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.

1. Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, kondisi wajibnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.

Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh masalah dan kesenjangan

Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk memasuki universitas atau lulus ujian masuk matematika, Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun aturan tertentu dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau direduksi menjadi bentuk umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritma panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita kenali mereka dengan cepat.

Saat menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk menyelesaikan logaritma natural, Anda perlu menerapkan identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.

1. Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk menguraikan nilai besar dari bilangan b menjadi faktor-faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.

Tugas dari Ujian Negara Bersatu

Logaritma sering ditemukan dalam ujian masuk, terutama banyak soal logaritma pada Unified State Exam (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya, tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (bagian ujian yang paling mudah), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan paling banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik “Logaritma natural”.

Contoh dan solusi masalah diambil dari Unified State Exam versi resmi. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

• Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

Hari ini kita akan membicarakannya rumus logaritma dan kami akan memberikan indikasi contoh solusi.

Mereka sendiri menyiratkan pola solusi berdasarkan sifat dasar logaritma. Sebelum menerapkan rumus logaritma untuk menyelesaikannya, izinkan kami mengingatkan Anda tentang semua properti:

Sekarang, berdasarkan rumus (properti) ini, kami akan menunjukkannya contoh penyelesaian logaritma.

Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan rumus.

Logaritma bilangan positif b ke basis a (dilambangkan dengan log a b) adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.

Menurut definisinya, log a b = x, yang setara dengan a x = b, maka log a a x = x.

Logaritma, contoh:

log 2 8 = 3, karena 2 3 = 8

log 7 49 = 2, karena 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, karena 5 -1 = 1/5

Logaritma desimal- ini adalah logaritma biasa, yang basisnya adalah 10. Dilambangkan sebagai lg.

log 10 100 = 2, karena 10 2 = 100

Logaritma natural- juga logaritma biasa, logaritma, tetapi dengan basis e (e = 2.71828... - bilangan irasional). Dilambangkan sebagai ln.

Rumus atau sifat-sifat logaritma sebaiknya dihafal, karena nanti kita akan membutuhkannya saat menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma, dan pertidaksamaan. Mari kita kerjakan kembali setiap rumus dengan contoh.

• Identitas logaritma dasar
  catatan a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma
  log a (bc) = log a b + log a c

  catatan 3 8.1 + catatan 3 10 = catatan 3 (8.1*10) = catatan 3 81 = 4

• Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Sifat-sifat pangkat bilangan logaritma dan basis logaritma

  Eksponen bilangan logaritma log a b m = mlog a b

  Eksponen basis logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jika m = n, diperoleh log a n b n = log a b

  catatan 4 9 = catatan 2 2 3 2 = catatan 2 3

• Transisi ke yayasan baru
  log a b = log c b/log c a,

  jika c = b, diperoleh log b b = 1

  maka log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Seperti yang Anda lihat, rumus logaritma tidak serumit kelihatannya. Sekarang, setelah melihat contoh penyelesaian logaritma, kita dapat beralih ke persamaan logaritma. Kita akan melihat contoh penyelesaian persamaan logaritma lebih detail di artikel: "". Jangan lewatkan!

Jika Anda masih memiliki pertanyaan tentang solusinya, tulis di komentar artikel.

Catatan: kami memutuskan untuk mengambil kelas pendidikan lain dan belajar di luar negeri sebagai pilihan.

Logaritma suatu bilangan N berdasarkan A disebut eksponen X , yang perlu Anda bangun A untuk mendapatkan nomornya N

Dengan ketentuan
,
,

Dari definisi logaritma berikut ini
, yaitu
- persamaan ini adalah identitas logaritma dasar.

Logaritma dengan basis 10 disebut logaritma desimal. Alih-alih
menulis
.

Logaritma ke basis e disebut alami dan ditunjuk
.

Sifat dasar logaritma.

Logaritma satu sama dengan nol untuk basis apa pun.

Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

3) Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma

Faktor
disebut modulus transisi dari logaritma ke basis A ke logaritma di pangkalan B .

Dengan menggunakan properti 2-5, seringkali dimungkinkan untuk mereduksi logaritma dari ekspresi kompleks menjadi hasil operasi aritmatika sederhana pada logaritma.

Misalnya,

Transformasi logaritma seperti ini disebut logaritma. Transformasi yang berbanding terbalik dengan logaritma disebut potensiasi.

Bab 2. Unsur matematika tingkat tinggi.

1. Batasan

Batasan fungsinya
adalah bilangan berhingga A jika, sebagai xx 0 untuk setiap yang telah ditentukan
, ada nomor seperti itu
itu secepatnya
, Itu
.

Suatu fungsi yang mempunyai limit berbeda dengan suatu jumlah yang sangat kecil:
, dimana- b.m.v., mis.
.

Contoh. Pertimbangkan fungsinya
.

Saat berusaha
, fungsi kamu cenderung nol:

1.1. Teorema dasar tentang limit.

Batas suatu nilai konstanta sama dengan nilai konstanta tersebut

.

Limit jumlah (selisih) sejumlah fungsi berhingga sama dengan jumlah (selisih) limit fungsi-fungsi tersebut.

Limit hasil kali sejumlah fungsi berhingga sama dengan hasil kali limit fungsi-fungsi tersebut.

Limit hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit fungsi tersebut jika limit penyebutnya tidak nol.

Batasan yang Luar Biasa

,
, Di mana

1.2. Contoh Perhitungan Batas

Namun, tidak semua batasan dihitung dengan mudah. Seringkali, penghitungan batas dilakukan untuk mengungkap jenis ketidakpastian: atau .

.

2. Turunan suatu fungsi

Mari kita punya fungsi
, kontinu pada segmen tersebut
.

Argumen mendapat sedikit peningkatan
. Kemudian fungsi tersebut akan menerima kenaikan
.

Nilai argumen sesuai dengan nilai fungsi
.

Nilai argumen
sesuai dengan nilai fungsi.

Karena itu, .

Mari kita cari batas rasio ini di
. Jika limit ini ada, maka disebut turunan dari fungsi tersebut.

Definisi 3 Turunan dari suatu fungsi tertentu
dengan argumen disebut limit rasio pertambahan suatu fungsi terhadap pertambahan argumen, bila pertambahan argumen cenderung nol.

Turunan dari suatu fungsi
dapat ditetapkan sebagai berikut:

; ; ; .

Definisi 4Operasi mencari turunan suatu fungsi disebut diferensiasi.

2.1. Arti mekanis dari turunan.

Mari kita perhatikan gerak lurus suatu benda tegar atau titik material.

Biarkan suatu saat nanti titik bergerak
berada di kejauhan dari posisi awal
.

Setelah beberapa waktu
dia bergerak agak jauh
. Sikap =- kecepatan rata-rata suatu titik material
. Mari kita cari limit rasio ini, dengan mempertimbangkan hal itu
.

Oleh karena itu, menentukan kecepatan sesaat pergerakan suatu titik material direduksi menjadi mencari turunan jalur terhadap waktu.

2.2. Nilai geometris turunannya

Mari kita memiliki fungsi yang didefinisikan secara grafis
.

Beras. 1. Arti geometris turunan

Jika
, lalu tunjuk
, akan bergerak sepanjang kurva, mendekati titik
.

Karena itu
, yaitu nilai turunan untuk nilai argumen tertentu secara numerik sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung pada suatu titik tertentu dengan arah sumbu positif
.

2.3. Tabel rumus dasar diferensiasi.

Fungsi daya

Fungsi eksponensial

Fungsi logaritma

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri terbalik

2.4. Aturan diferensiasi.

Turunan dari

Turunan dari jumlah (selisih) fungsi

Turunan dari hasil kali dua fungsi

Turunan dari hasil bagi dua fungsi

2.5. Turunan dari fungsi kompleks.

Biarkan fungsinya diberikan
sedemikian rupa sehingga dapat direpresentasikan dalam bentuk

Dan
, dimana variabelnya adalah argumen perantara

Turunan fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tertentu terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara terhadap x.

Contoh 1.

Contoh 2.

3. Fungsi diferensial.

Biarkan disana ada
, terdiferensiasi pada interval tertentu
biarkan saja pada fungsi ini mempunyai turunan

,

barulah kita bisa menulis

(1),

Di mana - jumlah yang sangat kecil,

sejak kapan

Mengalikan semua suku persamaan (1) dengan
kita punya:

Di mana
- bmv tatanan yang lebih tinggi.

Besarnya
disebut diferensial fungsi
dan ditunjuk

.

3.1. Nilai geometri diferensial.

Biarkan fungsinya diberikan
.

Gambar.2. Arti geometris dari diferensial.

.

Jelas sekali, perbedaan fungsinya
sama dengan pertambahan ordinat garis singgung pada suatu titik tertentu.

3.2. Derivatif dan diferensial dari berbagai ordo.

Jika ada
, Kemudian
disebut turunan pertama.

Turunan dari turunan pertama disebut turunan orde kedua dan dituliskan
.

Turunan dari fungsi orde ke-n
disebut turunan orde (n-1) dan ditulis:

.

Diferensial dari diferensial suatu fungsi disebut diferensial kedua atau diferensial orde kedua.

.

.

3.3 Memecahkan masalah biologis dengan menggunakan diferensiasi.

Tugas 1. Penelitian telah menunjukkan bahwa pertumbuhan koloni mikroorganisme mematuhi hukum
, Di mana N – jumlah mikroorganisme (dalam ribuan), T – waktu (hari).

b) Akankah populasi koloni bertambah atau berkurang selama periode ini?

Menjawab. Ukuran koloni akan bertambah.

Tugas 2. Air di danau diuji secara berkala untuk memantau kandungan bakteri patogen. Melalui T hari setelah pengujian, konsentrasi bakteri ditentukan dengan perbandingan

.

Kapan danau akan memiliki konsentrasi bakteri minimum dan apakah mungkin untuk berenang di dalamnya?

Solusi: Suatu fungsi mencapai max atau min ketika turunannya nol.

,

Mari kita tentukan maks atau min dalam 6 hari. Untuk melakukan ini, mari kita ambil turunan kedua.

Menjawab: Setelah 6 hari akan ada konsentrasi minimum bakteri.

Rentang nilai yang dapat diterima (APV) dari logaritma

Sekarang mari kita bicara tentang batasan (ODZ - kisaran nilai variabel yang diizinkan).

Kita ingat bahwa, misalnya, akar kuadrat tidak dapat diambil dari bilangan negatif; atau jika kita mempunyai pecahan, maka penyebutnya tidak boleh sama dengan nol. Logaritma memiliki batasan serupa:

Artinya, baik argumen maupun basisnya harus lebih besar dari nol, namun basisnya belum bisa sama.

Mengapa demikian?

Mari kita mulai dengan hal yang sederhana: katakanlah demikian. Lalu misalnya bilangan itu tidak ada, karena berapa pun pangkat yang kita naikkan, bilangan itu selalu muncul. Terlebih lagi, itu tidak ada untuk siapa pun. Tetapi pada saat yang sama, itu bisa sama dengan apa pun (untuk alasan yang sama - sama dengan derajat apa pun). Oleh karena itu, objek tersebut tidak menarik, dan dibuang begitu saja dari matematika.

Kita mempunyai masalah serupa dalam kasus ini: pangkat positif apa pun, tetapi pangkat negatif tidak dapat dipangkatkan sama sekali, karena ini akan menghasilkan pembagian dengan nol (saya ingatkan Anda akan hal itu).

Ketika kita dihadapkan pada masalah menaikkan pangkat pecahan (yang direpresentasikan sebagai akar: . Misalnya, (yaitu), tetapi tidak ada.

Oleh karena itu, lebih mudah membuang alasan negatif daripada mengotak-atiknya.

Nah, karena basis kita a hanya bisa positif, maka berapapun pangkatnya kita naikkan, kita akan selalu mendapatkan bilangan yang benar-benar positif. Jadi argumennya harus positif. Misalnya, bilangan tersebut tidak ada, karena bilangan tersebut tidak akan berupa bilangan negatif sampai derajat apa pun (atau bahkan nol, oleh karena itu bilangan tersebut juga tidak ada).

Dalam soal logaritma, hal pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan ODZ. Izinkan saya memberi Anda sebuah contoh:

Mari kita selesaikan persamaannya.

Mari kita ingat definisinya: logaritma adalah pangkat yang harus dipangkatkan basisnya untuk mendapatkan argumen. Dan menurut syaratnya, derajat ini sama dengan: .

Kami mendapatkan persamaan kuadrat biasa: . Mari kita selesaikan menggunakan teorema Vieta: jumlah akar-akarnya sama, dan hasil kali. Mudah diambil, ini adalah angka dan.

Namun jika Anda segera mengambil dan menuliskan kedua angka tersebut pada jawabannya, Anda bisa mendapatkan 0 poin untuk soal tersebut. Mengapa? Mari kita pikirkan apa yang terjadi jika kita mensubstitusikan akar-akar ini ke dalam persamaan awal?

Ini jelas tidak benar, karena basisnya tidak boleh negatif, yaitu akarnya adalah “pihak ketiga”.

Untuk menghindari kesalahan yang tidak menyenangkan seperti itu, Anda perlu menuliskan ODZ bahkan sebelum mulai menyelesaikan persamaan:

Kemudian, setelah mendapat akar-akarnya dan, kita segera membuang akar-akarnya dan menulis jawaban yang benar.

Contoh 1(coba selesaikan sendiri) :

Temukan akar persamaannya. Jika ada beberapa akar, sebutkan akar terkecil dalam jawabanmu.

Larutan:

Pertama-tama, mari kita tulis ODZ-nya:

Sekarang mari kita ingat apa itu logaritma: pangkat berapa yang perlu dipangkatkan untuk mendapatkan argumen? Untuk yang kedua. Itu adalah:

Tampaknya akar yang lebih kecil adalah sama. Namun tidak demikian: menurut ODZ, akarnya adalah asing, yaitu bukan akar persamaan ini sama sekali. Jadi, persamaan tersebut hanya memiliki satu akar: .

Menjawab: .

Identitas logaritma dasar

Mari kita mengingat kembali definisi logaritma dalam bentuk umum:

Mari kita substitusikan logaritma ke persamaan kedua:

Kesetaraan ini disebut identitas logaritmik dasar. Meskipun pada dasarnya ini adalah kesetaraan - hanya ditulis berbeda definisi logaritma:

Inilah kekuatan yang harus Anda tingkatkan untuk mendapatkannya.

Misalnya:

Selesaikan contoh berikut:

Contoh 2.

Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Larutan:

Mari kita ingat aturan dari bagian ini: yaitu, ketika suatu pangkat dipangkatkan, eksponennya dikalikan. Mari kita terapkan:

Contoh 3.

Buktikan itu.

Larutan:

Sifat-sifat logaritma

Sayangnya, tugasnya tidak selalu sesederhana itu - sering kali Anda perlu menyederhanakan ekspresi terlebih dahulu, membawanya ke bentuk biasanya, dan baru setelah itu nilainya dapat dihitung. Ini paling mudah dilakukan jika Anda mengetahuinya sifat-sifat logaritma. Jadi mari kita pelajari sifat dasar logaritma. Saya akan membuktikannya masing-masing, karena aturan apa pun lebih mudah diingat jika Anda tahu dari mana asalnya.

Semua properti ini harus diingat; tanpanya, sebagian besar masalah logaritma tidak dapat diselesaikan.

Dan sekarang tentang semua sifat logaritma lebih terinci.

Properti 1:

Bukti:

Biarkan saja.

Kami memiliki: , dll.

Properti 2: Jumlah logaritma

Jumlah logaritma dengan basis yang sama sama dengan logaritma hasil kali: .

Bukti:

Biarkan saja. Biarkan saja.

Contoh: Temukan arti dari ungkapan: .

Solusi: .

Rumus yang baru kamu pelajari membantu menyederhanakan jumlah logaritma, bukan selisihnya, sehingga logaritma tersebut tidak bisa langsung digabungkan. Namun Anda dapat melakukan yang sebaliknya - “membagi” logaritma pertama menjadi dua: Dan inilah penyederhanaan yang dijanjikan:
.
Mengapa hal ini perlu? Misalnya: apa artinya?

Sekarang sudah jelas bahwa.

Sekarang sederhanakan sendiri:

Tugas:

Jawaban:

Properti 3: Perbedaan logaritma:

Bukti:

Semuanya sama persis seperti pada poin 2:

Biarkan saja.

Biarkan saja. Kita punya:

Contoh dari paragraf sebelumnya kini menjadi lebih sederhana:

Contoh yang lebih rumit: . Bisakah Anda mengetahui cara menyelesaikannya sendiri?

Di sini perlu dicatat bahwa kita tidak memiliki rumus tunggal tentang logaritma kuadrat. Ini mirip dengan ekspresi - tidak bisa langsung disederhanakan.

Oleh karena itu, mari kita istirahat sejenak dari rumus tentang logaritma dan memikirkan rumus apa yang paling sering kita gunakan dalam matematika? Sejak kelas 7!

Ini - . Anda harus terbiasa dengan kenyataan bahwa mereka ada dimana-mana! Mereka terjadi dalam masalah eksponensial, trigonometri, dan irasional. Oleh karena itu, mereka harus diingat.

Jika Anda mencermati dua istilah pertama, menjadi jelas bahwa ini perbedaan persegi:

Jawaban untuk memeriksa:

Sederhanakan sendiri.

Contoh

Jawaban.

Properti 4: Mengeluarkan eksponen dari argumen logaritma:

Bukti: Dan disini kita juga menggunakan definisi logaritma: biarkan, lalu. Kami memiliki: , dll.

Aturan ini dapat dipahami sebagai berikut:

Artinya, derajat argumen dimajukan ke depan logaritma sebagai koefisien.

Contoh: Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Larutan: .

Putuskan sendiri:

Contoh:

Jawaban:

Properti 5: Mengambil eksponen dari basis logaritma:

Bukti: Biarkan saja.

Kami memiliki: , dll.
Ingat: dari alasan derajatnya dinyatakan sebagai sebaliknya nomor, tidak seperti kasus sebelumnya!

Properti 6: Menghapus eksponen dari basis dan argumen logaritma:

Atau jika derajatnya sama: .

Properti 7: Transisi ke basis baru:

Bukti: Biarkan saja.

Kami memiliki: , dll.

Properti 8: Tukar basis dan argumen logaritma:

Bukti: Ini adalah kasus khusus dari rumus 7: jika kita substitusikan, kita mendapatkan: , dst.

Mari kita lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 4.

Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Kami menggunakan properti logaritma No. 2 - jumlah logaritma dengan basis yang sama sama dengan logaritma produk:

Contoh 5.

Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Larutan:

Kami menggunakan properti logaritma No. 3 dan No. 4:

Contoh 6.

Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Larutan:

Mari kita gunakan properti No. 7 - beralih ke basis 2:

Contoh 7.

Temukan arti dari ekspresi tersebut.

Larutan:

Bagaimana Anda menyukai artikelnya?

Jika Anda membaca baris-baris ini, berarti Anda telah membaca keseluruhan artikel.

Dan itu keren!

Sekarang beri tahu kami bagaimana Anda menyukai artikel tersebut?

Sudahkah Anda mempelajari cara menyelesaikan logaritma? Jika tidak, apa masalahnya?

Tulis kepada kami di komentar di bawah.

Dan ya, semoga sukses dalam ujianmu.

Tentang Ujian Negara Bersatu dan Ujian Negara Bersatu dan dalam kehidupan pada umumnya

Logaritma nomor positif N ke pangkalan(B> 0, B 1 ) disebut eksponen X , yang perlu Anda bangun b untuk mendapatkan N .

Notasi logaritma:

Entri ini setara dengan berikut ini:bx = N .

CONTOH: catatan 3 81 = 4, karena 3 4 = 81;

Catatan 1/3 27 = – 3, karena (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

Definisi logaritma di atas dapat dituliskan sebagai identitas:

Sifat dasar logaritma.

1) catatan B= 1 , Karena B 1 = b.

B

2) catatan 1 = 0 , Karena B 0 = 1 .

B

3) Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor:

catatan( ab) = catatan A+ catatan B.

4) Logaritma hasil bagi sama dengan selisih antara logaritma pembagian dan pembagi:

catatan( A/B) = catatan A-catatan B.

5) Logaritma suatu pangkat sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma basisnya:

catatan (B k ) = k catatan B.

Konsekuensi dari properti ini adalah sebagai berikut:logaritma akar sama dengan logaritma bilangan radikal dibagi pangkat akar:

6) Jika basis logaritma adalah derajat, maka nilainya kebalikan dari eksponen, dapat dikeluarkan dari tanda log sajak:

Dua properti terakhir dapat digabungkan menjadi satu:

7) Rumus modulus transisi (mis. e . transisi dari satu basislogaritma ke basis lain):

Dalam kasus khusus kapan Tidak=sebuah kita punya:

Logaritma desimal ditelepon logaritma dasar 10. Ditunjuk lg, yaitu catatan 10 N = lg N. Logaritma bilangan 10, 100, 1000, ... P bilangan tersebut masing-masing adalah 1, 2, 3,…itu. punya banyak hal positif

satuan, berapa banyak angka nol pada bilangan logaritmik setelah satu. Logaritma angka 0,1, 0,01, 0,001, ... P avna masing-masing –1, –2, –3, …, yaitu. mempunyai bilangan negatif sebanyak jumlah nol sebelum satu pada bilangan logaritmik ( menghitung dan nol bilangan bulat). Logaritma bilangan lain memiliki bagian pecahan yang disebut mantissa. Utuhbagian dari logaritma disebut ciri. Untuk penggunaan praktisLogaritma desimal adalah yang paling mudah digunakan.

Logaritma natural ditelepon logaritma dasar e. Itu ditunjuk dalam, yaitu. catatan eN = dalam N. Nomor etidak rasional, itunilai perkiraan 2.718281828. Dia adalah batas kecenderungan bilangan tersebut(1 + 1 / N) N dengan peningkatan yang tidak terbatasN(cm. batas indah pertama ).
Anehnya, logaritma natural ternyata sangat berguna saat melakukan berbagai jenis operasi yang berkaitan dengan analisis fungsi.Menghitung logaritma ke basisedilakukan jauh lebih cepat dibandingkan alasan lainnya.