Ruang lingkup hak tetrahedron. Tetrahedron biasa (piramida)

Dari rumus dasar volume tetrahedron

Di mana S adalah area wajah mana pun, dan H– ketinggian yang diturunkan padanya, kita dapat memperoleh serangkaian rumus yang menyatakan volumenya berbagai elemen segi empat. Mari kita sajikan rumus tetrahedron berikut ini ABCD.

(2) ,

di mana ∠ ( IKLAN,ABC) – sudut antar tepi IKLAN dan bidang wajah ABC;

(3) ,

di mana ∠ ( ABC,ABD) – sudut antar muka ABC Dan ABD;

dimana | AB,CD| – jarak antara tulang rusuk yang berlawanan AB Dan CD, ∠ (AB,CD) adalah sudut antara sisi-sisinya.

Rumus (2)–(4) dapat digunakan untuk mencari sudut antara garis lurus dan bidang; rumus (4) sangat berguna, yang dengannya Anda dapat mencari jarak antara garis-garis yang berpotongan AB Dan CD.

Rumus (2) dan (3) mirip dengan rumus S = (1/2)ab dosa C untuk luas segitiga. Rumus S = Rp rumus serupa

Di mana R adalah jari-jari bola tetrahedron yang tertulis, Σ adalah total permukaannya (jumlah luas semua permukaannya). Ada juga rumus indah yang menghubungkan volume tetrahedron dengan jari-jari R bidang yang dijelaskannya ( rumus crelet):

di mana Δ adalah luas segitiga yang sisi-sisinya secara numerik sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berhadapan ( AB× CD, AC× BD,IKLAN× SM). Dari rumus (2) dan teorema kosinus untuk sudut segitiga (lihat Trigonometri Bola), kita dapat memperoleh rumus yang mirip dengan rumus Heron untuk segitiga.

Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran soal geometri (bagian stereometri, soal tentang piramida). Jika Anda perlu menyelesaikan soal geometri yang tidak ada di sini, tulislah di forum. Dalam tugas, alih-alih simbol "akar kuadrat", fungsi sqrt() digunakan, dengan sqrt sebagai simbolnya akar pangkat dua, dan ekspresi radikal ditunjukkan dalam tanda kurung.Untuk ekspresi radikal sederhana, tanda "√" dapat digunakan. Tetrahedron biasa- Ini adalah piramida segitiga beraturan yang semua wajahnya berbentuk segitiga sama sisi.

Dalam tetrahedron beraturan, semua sudut dihedral pada tepinya dan semua sudut trihedral pada titik sudutnya adalah sama besar.

Tetrahedron mempunyai 4 muka, 4 simpul dan 6 rusuk.

Rumus dasar tetrahedron beraturan diberikan dalam tabel.

Di mana:
S - Luas permukaan tetrahedron beraturan
V - volume
h - tinggi diturunkan ke alas
r - jari-jari lingkaran pada tetrahedron
R - keliling
a - panjang tepi

Contoh praktis

Tugas.
Temukan luas permukaan limas segitiga yang masing-masing rusuknya sama dengan √3

Larutan.
Karena semua rusuk limas segitiga sama besar, maka piramida tersebut beraturan. Luas permukaan limas segitiga beraturan adalah S = a 2 √3.
Kemudian
S = 3√3

Menjawab: 3√3

Tugas.
Panjang rusuk sebuah limas segitiga beraturan sama dengan 4 cm. Hitunglah volume limas tersebut

Larutan.
Karena pada limas segitiga beraturan tinggi limas diproyeksikan ke pusat alasnya, yang juga merupakan pusat lingkaran yang dibatasi, maka

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Jadi tinggi piramida OM dapat dicari segitiga siku-siku AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Kita mencari volume limas menggunakan rumus V = 1/3 Sh
Dalam hal ini, kita mencari luas alasnya menggunakan rumus S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Menjawab: 16√2 / 3 cm

Definisi tetrahedron

Segi empat– benda polihedral paling sederhana, yang muka dan alasnya berbentuk segitiga.

Kalkulator daring

Tetrahedron memiliki empat sisi, yang masing-masing dibentuk oleh tiga sisi. Tetrahedron memiliki empat simpul, dengan masing-masing tiga sisi keluar.

Tubuh ini terbagi menjadi beberapa tipe. Di bawah ini adalah klasifikasi mereka.

1. Tetrahedron isohedral- semua wajahnya adalah segitiga identik;
2. Tetrahedron ortosentris- semua tinggi yang ditarik dari setiap titik sudut ke sisi yang berlawanan memiliki panjang yang sama;
3. Tetrahedron persegi panjang- sisi-sisi yang berasal dari satu titik sudut membentuk sudut 90 derajat satu sama lain;
4. Bingkai;
5. Sebanding;
6. Tidak terpusat.

Rumus volume tetrahedron

Volume suatu benda dapat diketahui dengan beberapa cara. Mari kita lihat lebih detail.

Melalui produk campuran vektor

Jika sebuah tetrahedron dibangun di atas tiga vektor dengan koordinat:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)A= (A X​ , A kamu​ , A z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)B= (B X​ , B kamu​ , B z​ )
c ⃗ = (cx , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)C= (C X​ , C kamu​ , C z​ ) ,

maka volume tetrahedron tersebut adalah pekerjaan campuran dari vektor-vektor tersebut, yaitu determinan berikut:

Volume tetrahedron melalui determinan

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )V=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ A X​ B X​ C X​ ​ A kamu​ B kamu​ C kamu​ ​ A z​ B z​ C z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Masalah 1

Koordinat keempat simpul segi delapan telah diketahui. SEBUAH(1, 4, 9) SEBUAH(1,4,9) J(1, 4, 9), B (8, 7, 3) B (8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​​​C (1,2,3) C(1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1). Temukan volumenya.

Larutan

SEBUAH(1, 4, 9) SEBUAH(1,4,9) J(1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B (8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​​​C (1,2,3) C(1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1)

Langkah pertama adalah menentukan koordinat vektor tempat benda ini dibangun.
Untuk melakukannya, Anda perlu mencari setiap koordinat vektor dengan mengurangkan koordinat kedua titik yang bersesuaian. Misalnya koordinat vektor A B → \overrightarrow(AB) A B, yaitu vektor yang diarahkan dari suatu titik A A A ke titik B B B, ini adalah perbedaan antara koordinat titik-titik yang bersesuaian B B B Dan A A A:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)AC= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)SEBUAH= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Sekarang kita akan mencari hasil kali campuran dari vektor-vektor ini; untuk ini kita akan membuat determinan orde ketiga, sambil menerimanya A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= A, AC → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)AC= B, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)SEBUAH= C.

a x a y a z b x b z c x c y c z (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\ cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ A X​ B X​ CX​ ​ Akamu​ Bkamu​ Ckamu​ ​ Az​ Bz​ Cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Artinya, volume tetrahedron sama dengan:

$V=61\cdot |$

Menjawab

$44.8\text{cm3 .}$

Rumus volume tetrahedron isohedral sepanjang sisinya

Rumus ini hanya berlaku untuk menghitung volume tetrahedron isohedral, yaitu tetrahedron yang semua mukanya merupakan segitiga beraturan yang identik.

Volume tetrahedron isohedral

$V=12\sqrt{2\cdot A^3}$

A AA- panjang tepi tetrahedron.

Masalah 2

Tentukan volume tetrahedron jika sisinya sama $11\text{cm.}$

Larutan

$A=11$

Mari kita gantikan A AA ke dalam rumus volume tetrahedron:

$V=12\sqrt{2\cdot A^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Menjawab

$156.8\text{cm3 .}$

Perhatikan segitiga sembarang ABC dan titik D yang tidak terletak pada bidang segitiga tersebut. Mari kita hubungkan titik ini dengan titik sudut segitiga ABC menggunakan segmen. Hasilnya, kita mendapatkan segitiga ADC, CDB, ABD. Permukaan yang dibatasi oleh empat segitiga ABC, ADC, CDB dan ABD disebut tetrahedron dan diberi nama DABC.
Segitiga yang membentuk tetrahedron disebut mukanya.
Sisi-sisi segitiga ini disebut tepi tetrahedron. Dan simpulnya adalah simpul tetrahedron

Tetrahedron memiliki 4 wajah, 6 tulang rusuk Dan 4 puncak.
Dua sisi yang tidak mempunyai titik sudut yang sama disebut berhadapan.
Seringkali, untuk kenyamanan, salah satu wajah tetrahedron disebut dasar, dan tiga sisi sisanya adalah sisi samping.

Jadi, tetrahedron adalah polihedron paling sederhana yang mukanya berupa empat segitiga.

Tetapi benar juga bahwa setiap piramida segitiga sembarang adalah tetrahedron. Maka benar juga kalau disebut tetrahedron sebuah piramida dengan segitiga di alasnya.

Ketinggian tetrahedron disebut segmen yang menghubungkan suatu titik sudut dengan suatu titik yang terletak pada sisi berhadapan dan tegak lurus terhadap titik tersebut.
Median tetrahedron disebut segmen yang menghubungkan suatu titik sudut dengan titik potong median sisi yang berhadapan.
Bimedian dari tetrahedron disebut segmen yang menghubungkan titik tengah tepi berpotongan tetrahedron.

Karena tetrahedron adalah piramida dengan alas segitiga, volume tetrahedron apa pun dapat dihitung menggunakan rumus

• S– area wajah mana pun,
• H– tinggi diturunkan ke wajah ini

Tetrahedron biasa - jenis tetrahedron khusus

Tetrahedron yang semua sisinya sama sisi disebut segitiga. benar.
Sifat-sifat tetrahedron beraturan:

• Semua sisinya sama.
• Semua sudut bidang tetrahedron beraturan adalah 60°
• Karena setiap titik sudutnya merupakan titik sudut dari tiga segitiga beraturan, maka jumlah sudut bidang pada setiap titik sudutnya adalah 180°
• Setiap titik sudut dari tetrahedron beraturan diproyeksikan ke ortosenter sisi yang berlawanan (pada titik perpotongan ketinggian segitiga).

Mari kita diberi ABCD tetrahedron beraturan dengan rusuk sama dengan a. DH adalah tingginya.
Mari kita buat konstruksi tambahan BM - tinggi segitiga ABC dan DM - tinggi segitiga ACD.
Ketinggian BM sama dengan BM dan sama dengan
Perhatikan segitiga BDM, dimana DH yang merupakan tinggi tetrahedron juga merupakan tinggi segitiga tersebut.
Ketinggian segitiga yang dijatuhkan ke sisi MB dapat dicari dengan menggunakan rumus

, Di mana
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus tinggi badan. Kita mendapatkan


Mari kita ambil 1/2a. Kita mendapatkan

Mari kita terapkan rumus selisih kuadrat

Setelah transformasi kecil yang kita dapatkan


Volume tetrahedron apa pun dapat dihitung menggunakan rumus
,
Di mana ,

Mengganti nilai-nilai ini, kita mendapatkan

Jadi, rumus volume tetrahedron beraturan adalah

Di mana A–tepi tetrahedron

Perhitungan volume tetrahedron jika koordinat titik-titiknya diketahui

Mari kita diberikan koordinat titik-titik tetrahedron

Dari titik puncak kita menggambar vektor , , .
Untuk mencari koordinat masing-masing vektor, kurangi koordinat awal yang bersesuaian dengan koordinat akhir. Kita mendapatkan