Studi tentang setiap proses fisik dikaitkan dengan pembentukan hubungan antara besaran-besaran yang menjadi ciri proses ini. Untuk proses kompleks, yang mencakup perpindahan panas dengan konduktivitas termal, ketika membangun hubungan antar besaran, akan lebih mudah untuk menggunakan metode fisika matematika, yang mempertimbangkan jalannya proses tidak di seluruh ruang yang diteliti, tetapi dalam volume dasar materi selama periode waktu yang sangat kecil. Hubungan antara besaran-besaran yang terlibat dalam perpindahan panas dengan konduktivitas termal dalam hal ini ditetapkan oleh apa yang disebut persamaan diferensial konduktivitas termal. Dalam batas volume dasar yang dipilih dan periode waktu yang sangat kecil, perubahan dalam besaran tertentu yang menjadi ciri proses dapat diabaikan.

Saat menurunkan persamaan diferensial konduktivitas termal, asumsi berikut dibuat: besaran fisis λ, dengan hal Dan ρ permanen; tidak ada sumber panas internal; tubuhnya homogen dan isotropik; digunakan hukum kekekalan energi, yang untuk hal ini dirumuskan sebagai berikut: selisih antara jumlah kalor yang masuk akibat konduksi termal ke dalam suatu unsur paralelepiped selama waktu tersebut dτ dan meninggalkannya untuk waktu yang sama, dihabiskan untuk mengubah energi internal volume dasar yang dipertimbangkan. Hasilnya, kita sampai pada persamaan:

Besarannya disebut Operator Laplace dan biasanya disingkat 2 T(tandanya bertuliskan “nabla”); ukuran λ /cρ ditelepon koefisien difusivitas termal dan dilambangkan dengan huruf A. Dengan notasi yang ditunjukkan, persamaan kalor diferensial mengambil bentuk

Persamaan (1-10) disebut persamaan diferensial konduktivitas termal, atau persamaan Fourier, untuk bidang suhu tiga dimensi yang tidak stabil tanpa adanya sumber panas internal. Ini adalah persamaan utama dalam studi pemanasan dan pendinginan benda dalam proses perpindahan panas melalui konduktivitas termal dan menetapkan hubungan antara perubahan suhu temporal dan spasial pada titik mana pun di lapangan.

Koefisien difusivitas termal A= λ/cρ merupakan parameter fisika suatu zat dan mempunyai satuan ukuran m 2 / s. Dalam proses termal non-stasioner, nilainya A mencirikan laju perubahan suhu. Jika koefisien konduktivitas termal mencirikan kemampuan suatu benda untuk menghantarkan panas, maka koefisien difusivitas termal A adalah ukuran sifat inersia termal suatu benda. Dari persamaan (1-10) dapat disimpulkan bahwa perubahan suhu terhadap waktu ∂t / ∂τ karena setiap titik pada tubuh sebanding dengan nilainya A Oleh karena itu, pada kondisi yang sama, suhu benda yang memiliki difusivitas termal lebih tinggi akan meningkat lebih cepat. Gas memiliki koefisien difusivitas termal yang kecil, dan logam memiliki koefisien difusivitas termal yang besar.

Persamaan diferensial konduktivitas termal dengan sumber panas di dalam tubuh akan berbentuk

Di mana qv- jumlah panas yang dilepaskan per satuan volume suatu zat per satuan waktu, Dengan- kapasitas panas massa tubuh, ρ - kepadatan tubuh .

Persamaan diferensial konduktivitas termal dalam koordinat silinder dengan sumber panas internal akan berbentuk

Di mana R- vektor radius dalam sistem koordinat silinder; φ - sudut.

Perambatan panas dengan konduktivitas termal pada dinding datar dan silinder dalam mode stasioner (kondisi batas jenis pertama)

Dinding datar satu lapis yang homogen. Mari kita perhatikan perambatan panas melalui konduktivitas termal pada dinding datar satu lapis homogen dengan ketebalan 8 dengan lebar dan panjang tak terbatas.

Sumbu X arahkan tegak lurus ke dinding (Gbr. 7.4). Sepanjang kedua permukaan dinding seperti pada arah sumbu kamu, dan searah dengan sumbunya G Berkat pasokan dan pembuangan panas yang seragam, suhu pun terdistribusi secara merata.

Karena dinding dalam arah sumbu ini memiliki dimensi yang sangat besar, gradien suhu yang sesuai juga akan terjadi F/yu = (k/(k= = 0, dan dengan demikian, tidak ada pengaruh pada proses konduktivitas termal pada permukaan ujung dinding. Dalam kondisi penyederhanaan masalah ini, medan suhu stasioner merupakan fungsi koordinat saja X, itu. masalah satu dimensi dipertimbangkan. Sehubungan dengan hal ini, persamaan diferensial konduktivitas termal akan berbentuk (at d^dh = 0)

Kondisi batas jenis pertama diberikan:

Beras. 7.4.

Mari kita cari persamaan suhu nol dan tentukan aliran panas yang melewati suatu bagian dinding yang mempunyai luas A(pada Gambar. 1L dinding tidak diberi tanda karena letaknya pada bidang yang tegak lurus terhadap bidang gambar). Integrasi pertama memberi

itu. gradien suhu konstan di seluruh ketebalan dinding.

Setelah integrasi kedua kita memperoleh persamaan medan suhu yang diperlukan

Di mana A Dan B - integrasi konstan.

Jadi, perubahan suhu sepanjang ketebalan dinding mengikuti hukum linier, dan permukaan isotermal adalah bidang yang sejajar dengan permukaan dinding.

Untuk menentukan konstanta integrasi sembarang, kami menggunakan kondisi batas:

Karena? > ? ST2, kemudian proyeksi gradien ke sumbu X negatif sebagai

Hal ini diharapkan terjadi pada arah sumbu yang dipilih, yang bertepatan dengan arah vektor kerapatan fluks panas permukaan.

Mengganti nilai konstanta ke dalam (7.24), kita memperoleh ekspresi akhir untuk suhu nol

Garis ab pada Gambar. 7.4, disebut kurva suhu, menunjukkan perubahan suhu tergantung pada ketebalan dinding.

Dengan mengetahui gradien suhu, dengan menggunakan persamaan Fourier (7.10), kita dapat mencari jumlah kalor 8() yang mengalir selama waktu t melalui elemen luas permukaan??4 tegak lurus sumbu T.

dan untuk luas permukaan A

Rumus (7.28) untuk aliran panas dan rapat aliran panas permukaan akan berbentuk

Mari kita perhatikan perambatan panas melalui konduktivitas termal pada dinding datar berlapis-lapis yang terdiri dari beberapa (misalnya, tiga) lapisan yang berdekatan satu sama lain (lihat Gambar 7.5).

Beras. 7.5.

Jelasnya, dalam kasus medan suhu stasioner, aliran panas melewati permukaan dengan luas yang sama A, akan sama untuk semua lapisan. Oleh karena itu, persamaan (7.29) dapat digunakan untuk setiap lapisan.

Untuk lapisan pertama

untuk lapisan kedua dan ketiga

Di mana X 2, A 3 - konduktivitas termal lapisan; 8 1? 8 2, 8 3 - ketebalan lapisan.

Apakah suhu pada batas luar dinding tiga lapis dianggap diketahui? St1 dan? ST4. Apakah suhu terbentuk di sepanjang bidang pemisah antar lapisan? ST2 Dan? ST yang dianggap tidak diketahui. Kami menyelesaikan persamaan (7.31)-(7.33) sehubungan dengan perbedaan suhu:

dan kemudian menjumlahkannya suku demi suku dan dengan demikian menghilangkan suhu antara yang tidak diketahui:

Generalisasi (7.36) untuk dinding lapisan y, kita peroleh

Untuk menentukan suhu antara? ST2, ? STZ pada bidang bagian lapisan kami menggunakan rumus (7.34):

Terakhir, dengan menggeneralisasi penurunan pada dinding lapisan ke-i, kita memperoleh rumus suhu pada batas lapisan ke-i dan (r + 1):

Terkadang konsep konduktivitas termal setara R eq digunakan. Untuk kerapatan fluks panas permukaan yang melewati dinding datar berlapis-lapis,

dimana adalah ketebalan total seluruh lapisan dinding multilayer. Membandingkan ekspresi (7.37) dan (7.40), kami menyimpulkan bahwa

Pada Gambar. Gambar 7.5 menunjukkan grafik perubahan suhu sepanjang ketebalan dinding berlapis-lapis dalam bentuk garis putus-putus. Di dalam lapisan, seperti telah dibuktikan di atas, perubahan suhu mengikuti hukum linier. Garis singgung sudut kemiringan cp, garis lurus suhu terhadap horizontal

itu. sama dengan nilai absolut gradien suhu ^1"ac1 Jadi, menurut kemiringan garis lurus ab, SM dan dengan

Karena itu,

itu. gradien suhu untuk masing-masing lapisan dinding datar multilapis berbanding terbalik dengan konduktivitas termal lapisan tersebut.

Artinya untuk mendapatkan gradien suhu yang besar (yang diperlukan, misalnya saat mengisolasi pipa uap, dll.), diperlukan bahan dengan nilai konduktivitas termal yang rendah.

Dinding silinder satu lapis yang homogen. Mari kita cari mode konduktifitas termal stasioner medan suhu dan kerapatan fluks panas permukaan untuk dinding silinder satu lapis yang homogen (Gbr. 7.6). Untuk menyelesaikan masalah ini kita menggunakan persamaan diferensial konduksi panas dalam koordinat silinder.

Sumbu 2 akan diarahkan sepanjang sumbu pipa. Mari kita asumsikan bahwa panjang pipa dibandingkan dengan diameternya sangatlah besar. Dalam hal ini, kita dapat mengabaikan pengaruh ujung-ujung pipa terhadap distribusi suhu sepanjang sumbu 2. Mari kita asumsikan bahwa, karena suplai dan pembuangan panas yang seragam, suhu pada permukaan bagian dalam sama di semua tempat? ST1, dan di permukaan luar - ? ST2 (kondisi batas jenis pertama). Dengan penyederhanaan ini (k/ = 0, dan karena simetri medan suhu relatif terhadap diameter apa pun?/?/?Ар = 0. Permukaan isotermal dalam hal ini adalah permukaan silinder, koaksial dengan sumbu pipa. Jadi , masalahnya direduksi menjadi menentukan bidang suhu satu dimensi? = / (d), dimana G- radius arus dinding silinder.

Beras. 7.6.

Persamaan panas diferensial (7.19) pada kondisi dt/d t = 0 akan mengambil bentuk

Mari kita perkenalkan variabel baru

yang merupakan gradien suhu (grad?).

Mengganti variabel Dan pada (7.43), kita memperoleh persamaan diferensial orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan

atau

Mengintegrasikan, kita dapatkan

Untuk dinding silinder, gradien suhu merupakan nilai variabel yang meningkat seiring dengan menurunnya radius G. Akibatnya, gradien suhu pada permukaan dalam lebih besar dibandingkan pada permukaan luar.

Mengganti nilainya Dan dari (7.44) hingga (7.45), kita peroleh Dan

Di mana sebuah b- integrasi konstan.

Akibatnya, kurva distribusi suhu pada ketebalan dinding adalah kurva logaritmik (kurva ab pada Gambar. 7.6).

Mari kita definisikan konstanta A Dan B, termasuk dalam persamaan medan suhu, berdasarkan kondisi batas jenis pertama. Mari kita nyatakan jari-jari bagian dalam permukaan gx, eksternal - g 2. Kami menunjukkan diameter yang sesuai (1 liter Dan (1 2 . Kemudian kita memiliki sistem persamaan

Memecahkan sistem persamaan ini, kita mendapatkan

Persamaan suhu nol akan berbentuk Gradien suhu ditentukan oleh rumus (7.45):

Karena? ST1 > ? ST2, dan r, r 2, lalu proyeksi lulusannya? pada vektor radius mempunyai nilai negatif.

Yang terakhir menunjukkan bahwa dalam hal ini aliran panas diarahkan dari pusat ke pinggiran.

Untuk menentukan fluks panas yang melewati suatu bagian permukaan silinder dengan panjang B, mari kita gunakan persamaannya

Dari (7.46) dapat disimpulkan bahwa aliran panas yang melewati permukaan silinder bergantung pada perbandingan jari-jari luar dan dalam r 2 / gx(atau diameter c1 2 / (1 {), dan bukan pada ketebalan dinding.

Kerapatan fluks panas permukaan untuk permukaan silinder dapat dicari dengan menghubungkan fluks panas dengan luas permukaan bagian dalam. Seorang Wakil Presiden atau ke luas permukaan luar Sebuah np. Dalam perhitungan, kerapatan fluks panas linier terkadang digunakan:

Dari (7.47)-(7.49) berikut ini

Dinding silinder multilayer. Mari kita perhatikan perambatan panas melalui konduktivitas termal dalam dinding silinder tiga lapis (pipa) dengan panjang A (Gbr. 7.7) dengan diameter dalam c1x dan diameter luar (1 liter. Diameter menengah dari masing-masing lapisan - c1 2 dan X 2, X 3.

Beras. 7.7.

Apakah suhu dianggap diketahui? ST) internal dan suhu? Permukaan luar ST4. Apakah aliran panas F dan suhu harus ditentukan? ST2 Dan? STz pada batas lapisan. Mari kita buat persamaan bentuk (7.46) untuk setiap lapisan:

Menyelesaikan (7.51)-(7.53) untuk perbedaan suhu, dan kemudian menjumlahkan suku demi suku, kita peroleh

Dari (7.54) kita mempunyai ekspresi perhitungan untuk menentukan aliran panas untuk dinding tiga lapis:

Mari kita menggeneralisasi rumus (7.55) pada dinding pipa lapisan-u:
Di mana Saya- nomor seri lapisan.

Dari (7.51)-(7.53) kita menemukan ekspresi untuk menentukan suhu pada batas lapisan perantara:

Suhu? Seni. +) di perbatasan? (G+ 1)lapisan ke-th dapat ditentukan dengan menggunakan rumus serupa

Literatur memberikan solusi terhadap persamaan panas diferensial untuk bola berongga pada kondisi batas jenis pertama, serta solusi untuk semua benda yang dipertimbangkan pada kondisi batas jenis ketiga. Kami tidak mempertimbangkan masalah-masalah ini. Masalah konduktivitas termal stasioner pada batang (tulang rusuk) dengan penampang konstan dan variabel, serta masalah konduktivitas termal non-stasioner, juga tetap berada di luar cakupan kursus kami.

Menetapkan tujuan TMO

Kami memiliki volume yang dipengaruhi oleh beban termal, maka perlu ditentukan nilai numeriknya q V dan distribusinya berdasarkan volume.

Gambar 2 - Sumber gesekan eksternal dan internal

1. Tentukan geometri volume yang diteliti pada setiap sistem koordinat yang dipilih.

2. Menentukan ciri-ciri fisis volume yang diteliti.

3. Tentukan kondisi yang mengawali proses TMT.

4. Memperjelas hukum-hukum yang menentukan perpindahan panas pada volume yang diteliti.

5. Tentukan keadaan termal awal pada volume yang diteliti.

Masalah yang dipecahkan dalam analisis limbah padat:

1. Tugas “Langsung” dari TMO

Diberikan: 1,2,3,4,5

Tentukan: distribusi suhu dalam ruang dan waktu (selanjutnya 6).

2. Soal TMT “Terbalik” (terbalik):

a) terbalik batas tugas

Diberikan: 1,2,4,5,6

Definisikan: 3;

b) terbalik kemungkinan tugas

Diberikan: 1,3,4,5,6

Definisikan: 2;

c) terbalik retrospektif tugas

Diberikan: 1,2,3,4,6

Definisikan: 5.

3. Tugas “Induktif” TMO

Diberikan: 1,2,3,5,6

Definisikan: 4.

BENTUK PERPINDAHAN PANAS DAN PROSES TERMAL

Ada 3 bentuk perpindahan panas:

1) konduktivitas termal dalam padatan (ditentukan oleh mikropartikel, dan dalam logam oleh elektron bebas);

2) konveksi (ditentukan oleh makropartikel media bergerak);

3) radiasi termal (ditentukan oleh gelombang elektromagnetik).

Konduktivitas termal padatan

Konsep umum

Bidang suhu adalah himpunan nilai suhu dalam volume yang diteliti, yang diambil pada suatu titik waktu tertentu.

t(x, y, z, τ)- fungsi yang menentukan bidang suhu.

Ada bidang suhu stasioner dan non-stasioner:

tidak bergerak - t(x,y,z);

tidak stasioner - t(x, y, z, τ).

Syarat stasioneritas adalah:

Mari kita ambil benda tertentu dan hubungkan titik-titik dengan suhu yang sama

Gambar 3-Gradien suhu dan aliran panas

lulusan t- gradien suhu;

di sisi lain: .

hukum Fourier - Aliran panas dalam padatan sebanding dengan gradien suhu, permukaan yang dilaluinya, dan interval waktu yang dipertimbangkan.

Koefisien proporsionalitas disebut koefisien konduktivitas termal λ , W/m·K.

menunjukkan bahwa kalor merambat dalam arah yang berlawanan dengan vektor gradien suhu.

;

Untuk permukaan dan interval waktu yang sangat kecil:

Persamaan panas (persamaan Fourier)

Pertimbangkan volume yang sangat kecil: dv =dx dy dz

Gambar 4 - Keadaan termal dengan volume yang sangat kecil

Kami memiliki deret Taylor:

Juga:

; ; .

Dalam kasus umum yang kita miliki dalam sebuah kubus q V. Kesimpulannya didasarkan pada hukum umum kekekalan energi:

.

Menurut hukum Fourier:

; ; .

Setelah transformasi kita memiliki:

.

Untuk proses stasioner:

Dimensi spasial permasalahan ditentukan oleh jumlah arah terjadinya perpindahan panas.

Masalah satu dimensi: ;

untuk proses stasioner: ;

Untuk :

Untuk : ;

A- koefisien difusivitas termal, .Sistem Kartesius;

k = 1, ξ = x - sistem silinder;

k = 2, ξ = x - sistem bola.

Kondisi Keunikan

Kondisi keunikan – Ini adalah kondisi yang memungkinkan untuk memilih dari serangkaian solusi yang layak, satu solusi yang sesuai dengan tugas yang ada.

Pemecahan masalah penentuan bidang suhu dilakukan berdasarkan persamaan diferensial konduktivitas termal, yang kesimpulannya diberikan dalam literatur khusus. Manual ini memberikan pilihan persamaan diferensial tanpa kesimpulan.

Saat memecahkan masalah konduktivitas termal dalam fluida bergerak yang mencirikan medan suhu tiga dimensi nonstasioner dengan sumber panas internal, persamaan tersebut digunakan

Persamaan (4.10) merupakan persamaan energi diferensial dalam sistem koordinat kartesius (persamaan Fourier  Kirchhoff). Dalam bentuk ini, digunakan dalam mempelajari proses konduktivitas termal di benda mana pun.

Jika  x = y = z =0, yaitu benda padat dipertimbangkan, dan jika tidak ada sumber panas internal q v =0, maka persamaan energi (4.10) berubah menjadi persamaan konduksi panas untuk benda padat (persamaan Fourier)

(4.11)

Nilai C=a, m 2 detik dalam persamaan (4.10) disebut koefisien difusivitas termal, yang merupakan parameter fisik suatu zat yang mencirikan laju perubahan suhu dalam tubuh selama proses tidak stabil.

Jika koefisien konduktivitas termal mencirikan kemampuan suatu benda untuk menghantarkan panas, maka koefisien difusivitas termal adalah ukuran sifat inersia termal suatu benda. Dari persamaan (4.10) dapat disimpulkan bahwa perubahan suhu terhadap waktu t untuk setiap titik dalam ruang sebanding dengan nilai “a”, yaitu laju perubahan suhu di setiap titik benda akan semakin besar, maka semakin besar koefisien konduktivitas termalnya. Oleh karena itu, jika hal-hal lain dianggap sama, pemerataan suhu di semua titik dalam ruang akan terjadi lebih cepat pada benda yang memiliki koefisien difusivitas termal yang besar. Koefisien difusivitas termal bergantung pada sifat zat. Misalnya, cairan dan gas memiliki inersia termal yang tinggi sehingga koefisien difusivitas termalnya rendah. Logam mempunyai inersia termal yang rendah karena mempunyai koefisien difusivitas termal yang tinggi.

Untuk menyatakan jumlah turunan kedua terhadap koordinat pada persamaan (4.10) dan (4.11), Anda dapat menggunakan simbol  2, yang disebut operator Laplace, dan kemudian dalam sistem koordinat Kartesius

Ekspresi  2 t dalam sistem koordinat silinder memiliki bentuk

Untuk benda padat dalam kondisi stasioner dengan sumber panas internal, persamaan (4.10) diubah menjadi persamaan Poisson

(4.12)

Terakhir, untuk konduktivitas termal stasioner dan tanpa adanya sumber panas internal, persamaan (4.10) berbentuk persamaan Laplace

(4.13)

Persamaan diferensial konduktivitas termal dalam koordinat silinder dengan sumber panas internal

(4.14)

4.2.6. Keunikan kondisi proses konduksi panas

Karena persamaan diferensial konduktivitas termal diturunkan berdasarkan hukum umum fisika, persamaan ini mencirikan fenomena konduktivitas termal dalam bentuk paling umum. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa persamaan diferensial yang dihasilkan mencirikan seluruh kelas fenomena konduksi panas. Untuk memilih proses yang dipertimbangkan secara khusus dari tak terhitung jumlahnya dan memberikan deskripsi matematis lengkapnya, perlu untuk menambahkan deskripsi matematis dari semua fitur khusus dari proses yang sedang dipertimbangkan ke dalam persamaan diferensial. Ciri-ciri khusus ini, yang bersama-sama dengan persamaan diferensial memberikan gambaran matematis lengkap tentang proses konduksi panas tertentu, disebut keunikan atau kondisi batas, yang meliputi:

a) kondisi geometris yang mencirikan bentuk dan ukuran benda tempat proses berlangsung;

b) kondisi fisik yang mencirikan sifat fisik lingkungan dan benda (, C z, , a, dst.);

c) kondisi sementara (awal) yang mencirikan distribusi suhu dalam benda yang diteliti pada saat awal;

d) kondisi batas yang mencirikan interaksi suatu benda dengan lingkungannya.

Kondisi awal diperlukan ketika mempertimbangkan proses non-stasioner dan terdiri dari penentuan hukum distribusi suhu di dalam suatu benda pada saat awal. Secara umum, kondisi awal secara analitis dapat dituliskan sebagai berikut untuk =0:

t =  1 x, y, z. (4.15)

Dalam kasus distribusi suhu yang seragam dalam suatu benda, kondisi awal disederhanakan: pada =0; t=t 0 =idem.

Kondisi batas dapat ditentukan dengan beberapa cara.

A. Kondisi batas jenis pertama, yang menentukan distribusi suhu pada permukaan benda t c untuk setiap momen waktu:

tc =  2 x, y, z, . (4.16)

Dalam kasus tertentu ketika suhu permukaan konstan sepanjang durasi proses perpindahan panas, persamaan (4.16) disederhanakan dan mengambil bentuk t c =idem.

B. Kondisi batas jenis kedua, menentukan nilai kerapatan fluks panas untuk setiap titik di permukaan dan setiap saat dalam waktu. Secara analitis hal ini dapat direpresentasikan sebagai berikut:

q n = x, y, z, , (4.17)

dimana q n  rapat fluks panas pada permukaan benda.

Dalam kasus paling sederhana, kerapatan fluks panas di permukaan dan waktu tetap konstan q n =idem. Kasus pertukaran panas ini terjadi, misalnya, ketika berbagai produk logam dipanaskan dalam tungku bersuhu tinggi.

B. Kondisi batas jenis ketiga, yang menentukan suhu lingkungan tf dan hukum pertukaran panas antara permukaan benda dan lingkungan. Hukum Newton digunakan untuk menggambarkan proses pertukaran panas antara permukaan suatu benda dan lingkungan.

Menurut hukum Newton, banyaknya kalor yang dilepaskan oleh satu satuan permukaan suatu benda per satuan waktu sebanding dengan perbedaan suhu benda t c dan lingkungan t f

q = t c  tf . (4.18)

Koefisien perpindahan panas mencirikan intensitas pertukaran panas antara permukaan tubuh dan lingkungan. Secara numerik, ini sama dengan jumlah panas yang dilepaskan (atau dirasakan) oleh satuan permukaan per satuan waktu ketika perbedaan suhu antara permukaan suatu benda dan lingkungan sama dengan satu derajat.

Menurut hukum kekekalan energi, jumlah panas yang dihilangkan dari suatu satuan permukaan per satuan waktu akibat perpindahan panas (4.18) harus sama dengan panas yang disuplai ke suatu satuan permukaan per satuan waktu karena konduktivitas termal dari permukaan. volume internal tubuh (4.7), mis.

, (4.19)

dimana n  normal terhadap permukaan tubuh; indeks “C” menunjukkan bahwa suhu dan gradien berhubungan dengan permukaan benda (dengan n=0).

Akhirnya syarat batas jenis ketiga dapat ditulis sebagai

. (4.20)

Persamaan (4.20) pada hakikatnya merupakan ekspresi khusus dari hukum kekekalan energi pada permukaan suatu benda.

D. Kondisi batas jenis keempat, mencirikan kondisi pertukaran panas antara suatu sistem benda atau benda dengan lingkungan menurut hukum konduktivitas termal. Diasumsikan bahwa terdapat kontak sempurna antar benda (suhu permukaan yang bersentuhan adalah sama). Dalam kondisi yang dipertimbangkan, terdapat persamaan aliran panas yang melewati permukaan kontak:

. (4.21)