Metodo di Newton (tangenti) per la ricerca delle radici. Approssimazione iniziale. Metodo di Newton: fondamenti teorici

15.02.2024 | Per i bambini

Nel problema di minimizzare una funzione, la scelta vincente dell'approssimazione iniziale è di fondamentale importanza. Naturalmente è impossibile trovare una regola generale che sia soddisfacente per tutti i casi, cioè per tutte le possibili funzioni non lineari. Ogni volta devi cercare la tua soluzione. Di seguito proponiamo una serie di alcuni metodi per trovare approssimazioni iniziali approssimative, che in pratica possono servire come punto di partenza per la ricerca di approssimazioni soddisfacenti in un particolare problema.

9.6.1. Ricerca in griglia. Questo metodo è particolarmente efficace con un numero limitato di parametri non lineari effettivi. Spesso le funzioni sono progettate in modo tale che quando i valori di alcuni parametri (che chiamiamo non lineari) sono fissi, il resto dei parametri diventa lineare.

Specificati poi i limiti inferiore e superiore per i parametri non lineari, con un certo passo è possibile ordinare le opzioni sulla risultante griglia di valori di questi parametri non lineari stessi e individuare la regressione lineare che porta alla somma minima di piazze.

Ad esempio, considera la funzione

Qui il parametro non lineare effettivo sarà . Diciamo che è noto. Sia h il passo per il parametro. Calcoliamo le regressioni lineari

dove troviamo per ciascuno di essi la somma minima dei quadrati. Il più piccolo di essi corrisponde all'approssimazione iniziale ottimale. In linea di principio, il passo da cui dipende la “densità” della griglia può variare, per cui diminuendo il valore di h, i valori dei parametri possono essere trovati con una certa precisione.

9.6.2. Trasformazione del modello.

A volte, mediante qualche trasformazione, il modello può essere ridotto a lineare o il numero di parametri non lineari effettivi può essere ridotto (vedere sezione 6.2.3). Mostriamo come ciò può essere ottenuto utilizzando l'esempio di una curva logistica

Eseguendo la trasformazione inversa sulle corrispondenti equazioni di regressione, otteniamo

Denotando arriviamo a una nuova funzione, il cui numero di parametri lineari è aumentato da uno a due. La stima del parametro nel nuovo modello può essere trovata, ad esempio, utilizzando il metodo precedente.

Qui è opportuno fare la seguente osservazione sulle trasformazioni dei modelli di regressione. Va tenuto presente che l'errore che era additivo nell'equazione originale, in generale, non lo sarà più dopo la trasformazione.

Usando lo sviluppo in serie di Taylor e denotando la trasformazione con, otteniamo, trascurando i termini d'ordine

Ne consegue che

L'ultima uguaglianza può essere presa come base per analizzare il problema con un modello trasformato.

9.6.3. Divisione del campione in sottocampioni.

Per trovare l'approssimazione iniziale, è possibile dividere l'intero campione in sottocampioni (con volumi approssimativamente uguali), dove è il numero di parametri sconosciuti. Per ciascun sottocampione, troviamo le medie su y e su X, che denotiamo rispettivamente con m. Risolviamo il sistema di equazioni non lineari per

La soluzione di questo sistema sarà l'approssimazione iniziale dei parametri. Ovviamente, affinché questo metodo “funzioni”, è necessario che questo sistema di equazioni non lineari sia risolto abbastanza facilmente, ad esempio analiticamente.

9.6.4. Espansione in serie di Taylor in variabili indipendenti.

La base della minimizzazione iterativa della somma dei quadrati è l'espansione della funzione di regressione in una serie di Taylor a termini lineari nei parametri. Per trovare un'approssimazione iniziale approssimativa, a volte è utile la procedura di approssimazione della regressione espandendola in una serie di Taylor in variabili indipendenti. Per semplicità supporremo che sia unidimensionale. Sia il valore medio, quindi approssimativo

Indichiamo , quindi arriviamo al modello lineare

Sia la stima dei minimi quadrati dei parametri di questa regressione lineare. Come prime approssimazioni, prenderemo la soluzione di un sistema di equazioni non lineari rispetto a

Mentre a scuola sono alle prese con la risoluzione di equazioni nelle lezioni di matematica, molti studenti sono spesso convinti di perdere tempo invano, eppure tale abilità sarà utile nella vita non solo a coloro che decidono di seguire le orme di Cartesio, Eulero o Lobachevskij.

In pratica, ad esempio in medicina o in economia, ci sono spesso situazioni in cui uno specialista ha bisogno di sapere quando la concentrazione del principio attivo di un particolare farmaco raggiungerà il livello richiesto nel sangue del paziente o ha bisogno di calcolare il tempo necessario per un particolare attività affinché diventi redditizia.

Molto spesso stiamo parlando della risoluzione di equazioni non lineari di vario tipo. I metodi numerici consentono di farlo il più rapidamente possibile, soprattutto utilizzando un computer. Sono ben studiati e hanno da tempo dimostrato la loro efficacia. Questi includono il metodo della tangente di Newton, che è l'oggetto di questo articolo.

Dichiarazione del problema

In questo caso esiste una funzione g, che è definita sul segmento (a, b) e assume su di esso determinati valori, ovvero ad ogni x appartenente ad (a, b) può essere associato un determinato numero g (X).

È necessario stabilire tutte le radici dell'equazione dall'intervallo tra i punti a e b (comprese le estremità), per cui la funzione è impostata su zero. Ovviamente questi saranno i punti di intersezione di y = g(x) con OX.

In alcuni casi è più conveniente sostituire g(x)=0 con uno simile, ad esempio g 1 (x) = g 2 (x). In questo caso le ascisse (valore x) dei punti di intersezione dei grafici g 1 (x) e g 2 (x) fungono da radici.

La soluzione di un'equazione non lineare è importante anche per problemi di ottimizzazione per i quali la condizione per un estremo locale è che la derivata della funzione diventi 0. In altre parole, tale problema può essere ridotto alla ricerca delle radici dell'equazione p(x) = 0, dove p(x) è identico a g"(x).

Metodi risolutivi

Per alcuni tipi di equazioni non lineari, come le equazioni quadratiche o trigonometriche semplici, le radici possono essere trovate in modi abbastanza semplici. In particolare, ogni scolaro conosce le formule che possono essere utilizzate per trovare facilmente i valori dell'argomento dei punti in cui il trinomio quadratico svanisce.

I metodi per estrarre le radici delle equazioni non lineari sono generalmente divisi in analitici (diretti) e iterativi. Nel primo caso, la soluzione desiderata ha la forma di una formula, mediante la quale, in un certo numero di operazioni aritmetiche, si può trovare il valore delle radici desiderate. Metodi simili sono stati sviluppati per equazioni esponenziali, trigonometriche, logaritmiche e algebriche semplici. Per il resto devono essere utilizzati metodi numerici speciali. Sono facili da implementare utilizzando i computer, che consentono di trovare le radici con la precisione richiesta.

Questi includono il cosiddetto metodo della tangente numerica. Quest'ultimo fu proposto dal grande scienziato Isaac Newton alla fine del XVII secolo. Nei secoli successivi il metodo venne più volte migliorato.

Localizzazione

I metodi numerici per risolvere equazioni complesse che non hanno soluzioni analitiche vengono solitamente eseguiti in 2 fasi. Per prima cosa devi localizzarli. Questa operazione consiste nel trovare su OX i segmenti sui quali è presente una radice dell'equazione da risolvere.

Consideriamo il segmento. Se g(x) non ha discontinuità e assume valori di segni diversi nei punti finali, allora tra a e b o in essi c'è almeno 1 radice dell'equazione g(x) = 0. Per questo essere unico, è necessario che g(x) non sia monotono. Come è noto avrà questa proprietà purché il segno di g’(x) sia costante.

In altre parole, se g(x) non ha discontinuità e cresce o diminuisce monotonicamente, e i suoi valori agli estremi non hanno gli stessi segni, allora esiste 1 e 1 sola radice di g(x).

Tuttavia, dovresti sapere che questo criterio non si applica alle radici di equazioni multiple.

Risolvere un'equazione dimezzando

Prima di considerare le tangenti numeriche più complesse e le loro varietà, vale la pena conoscere il modo più semplice per identificare le radici. Si chiama dicotomia e si riferisce al modo intuitivo di trovare le radici, basato sul teorema che se per g(x), continua, è soddisfatta la condizione di segni diversi, allora sul segmento in esame c'è almeno 1 radice g( x) = 0.

Per trovarlo, devi dividere il segmento a metà e designare il punto medio come x 2. Allora sono possibili due opzioni: g(x 0) * g(x 2) oppure g(x 2) * g(x 1) sono uguali o minori di 0. Scegliamo quello per il quale una di queste disuguaglianze è vera. Ripetiamo la procedura sopra descritta finché la lunghezza non diventa inferiore a un determinato valore preselezionato che determina l'accuratezza della determinazione della radice dell'equazione su .

I vantaggi del metodo includono la sua affidabilità e semplicità, ma lo svantaggio è la necessità di identificare inizialmente i punti in cui g(x) assume segni diversi, quindi non può essere utilizzato per radici anche di molteplicità. Inoltre, non è generalizzabile al caso di un sistema di equazioni o se parliamo di radici complesse.

Esempio 1

Vogliamo risolvere l'equazione g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0. Per non perdere molto tempo nella ricerca di un segmento adatto, costruiamo un grafico utilizzando, ad esempio, il noto programma Excel . Vediamo che è meglio prendere i valori dall'intervallo come segmento per localizzare la radice. Possiamo essere sicuri che su di esso esiste almeno una radice dell'equazione richiesta.

g"(x) = 10x 4 + 1, cioè è una funzione monotonicamente crescente, quindi c'è solo 1 radice sul segmento selezionato.

Sostituiamo i punti finali nell'equazione. Abbiamo rispettivamente 0 e 1. Nel primo passo prendiamo come soluzione il punto 0.5. Quindi g(0,5) = -0,4375. Ciò significa che il segmento successivo per il dimezzamento sarà . Il suo punto medio è 0,75. In esso, il valore della funzione è 0,226. Prendiamo in considerazione il segmento e il suo centro, che si trova nel punto 0,625. Calcoliamo che il valore di g(x) sia 0,625. È pari a -0,11, cioè negativo. Sulla base di questo risultato, selezioniamo il segmento. Otteniamo x = 0,6875. Allora g(x) = -0,00532. Se la precisione della soluzione è 0,01, possiamo supporre che il risultato desiderato sia 0,6875.

Base teorica

Questo metodo per trovare le radici utilizzando il metodo della tangente di Newton è popolare per la sua convergenza molto rapida.

Si basa sul fatto provato che se x n è un'approssimazione alla radice f(x) = 0, tale che f" C 1, allora l'approssimazione successiva sarà nel punto in cui l'equazione della tangente a f(x) è azzerato, cioè

Sostituisci x = x n+1 e imposta y a zero.

Quindi le tangenti appaiono così:

Esempio 2

Proviamo a utilizzare il metodo classico della tangente di Newton e troviamo una soluzione a qualche equazione non lineare che è difficile o impossibile da trovare analiticamente.

Sia necessario identificare le radici per x 3 + 4x - 3 = 0 con una certa precisione, ad esempio 0,001. Come è noto, il grafico di qualsiasi funzione sotto forma di polinomio di grado dispari deve intersecare almeno una volta l'asse OX, cioè non ci sono dubbi sull'esistenza delle radici.

Prima di risolvere il nostro esempio utilizzando il metodo della tangente, costruiamo un grafo f(x) = x 3 + 4x - 3 puntuale. Questo è molto semplice da fare, ad esempio, utilizzando un elaboratore di fogli di calcolo Excel. Dal grafico risultante sarà chiaro che esso non interseca l'asse OX e la funzione y = x 3 + 4x - 3 cresce monotonicamente. Possiamo essere sicuri che l'equazione x 3 + 4x - 3 = 0 ha soluzione ed è unica.

Algoritmo

Qualsiasi soluzione di equazioni con il metodo della tangente inizia con il calcolo di f "(x). Abbiamo:

Allora la derivata seconda sarà x * 6.

Utilizzando queste espressioni, possiamo scrivere una formula per identificare le radici di un'equazione utilizzando il metodo della tangente nella forma:

Successivamente, è necessario scegliere un'approssimazione iniziale, ovvero decidere quale punto considerare come punto di partenza (volume x 0) per il processo iterativo. Consideriamo le estremità del segmento. Useremo quello per il quale è vera la condizione che la funzione e la sua derivata 2a in x 0 abbiano segni diversi. Come possiamo vedere, quando si sostituisce x 0 = 0 si rompe, ma x 0 = 1 è abbastanza adatto.

allora se siamo interessati a risolvere il metodo della tangente con accuratezza e, allora il valore x n può essere considerato conforme ai requisiti del problema, a condizione che la disuguaglianza |f(x n) / f’(x n)|< e.

Al primo passo tangente abbiamo:

x 1 = x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) = 1- 0,2857 = 0,71429;
poiché la condizione non è soddisfatta, si va avanti;
otteniamo un nuovo valore per x 2, che è pari a 0,674;
notiamo che il rapporto tra il valore della funzione e la sua derivata in x 2 è inferiore a 0,0063, interrompiamo il processo.

Metodo della tangente in Excel

Puoi risolvere l'esempio precedente in modo molto più semplice e veloce se non esegui i calcoli manualmente (su una calcolatrice), ma utilizzi le funzionalità di un processore di fogli di calcolo di Microsoft.

Per fare ciò, devi creare una nuova pagina in Excel e riempire le sue celle con le seguenti formule:

in C7 scriviamo “= GRADO (B7;3) + 4 * B7 - 3”;
in D7 inseriamo “= 4 + 3 * GRADO (B7;2)”;
in E7 scriviamo “= (LAUREA (B7;3)- 3 + 4 * B7) / (3* LAUREA (B7;2) + 4)”;
in D7 inseriamo l'espressione “=B7 - E7”;
in B8 inseriamo la formula condizionale “=IF(E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

In un problema specifico, nella cella B10 apparirà la scritta "Completamento iterazioni in corso" e per risolvere il problema dovrai prendere il numero scritto nella cella situata una riga sopra. Puoi anche selezionare una colonna "estensibile" separata per essa inserendo lì una condizione della formula, in base alla quale il risultato verrà scritto lì se il contenuto in una o nell'altra cella della colonna B assume la forma "Completamento delle iterazioni".

Implementazione in Pascal

Proviamo a ottenere una soluzione dell'equazione non lineare y = x 4 - 4 - 2 * x utilizzando il metodo della tangente in Pascal.

Utilizziamo una funzione ausiliaria che aiuterà a eseguire un calcolo approssimativo f"(x) = (f(x + delta) - f(x)) / delta. Come condizione per completare il processo iterativo, scegliamo l'adempimento di la disuguaglianza |x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Il programma si distingue per il fatto che non richiede il calcolo manuale della derivata.

Metodo degli accordi

Consideriamo un altro modo per identificare le radici delle equazioni non lineari. Il processo di iterazione consiste nel fatto che come approssimazioni successive alla radice desiderata per f(x) = 0, si prendono i valori dei punti di intersezione della corda con l'ascissa dei punti finali a e b con OX, indicato come x 1, ..., x n. Abbiamo:

Per il punto in cui la corda interseca l'asse OX, l'espressione verrà scritta come:

Sia la derivata seconda positiva per x £ (il caso opposto si ridurrà a quello in esame se scriviamo f(x) = 0). In questo caso il grafico y = f(x) è una curva, convessa in basso e situata al di sotto della corda AB. Ci possono essere 2 casi: quando la funzione ha valore positivo al punto a oppure è negativo al punto b.

Nel primo caso, scegliamo l'estremità a come fissa e prendiamo il punto b come x 0. Quindi le approssimazioni successive secondo la formula presentata sopra formano una sequenza che decresce monotonicamente.

Nel secondo caso, l'estremità b è fissata a x 0 = a. I valori x ottenuti ad ogni passo dell'iterazione formano una sequenza che aumenta monotonicamente.

Pertanto, possiamo affermare che:

nel metodo degli accordi l'estremità fissa del segmento è quella dove i segni della funzione e della sua derivata seconda non coincidono;
le approssimazioni per la radice x - x m - si trovano dal lato dove f(x) ha un segno che non coincide con il segno di f"" (x).

Le iterazioni possono essere continuate finché non vengono soddisfatte le condizioni per la vicinanza delle radici in questo e nel passo di iterazione precedente modulo abs(x m - x m - 1)< e.

Metodo modificato

Il metodo combinato di accordi e tangenti consente di stabilire le radici dell'equazione avvicinandole da diversi lati. Questo valore, in corrispondenza del quale il grafico f(x) interseca OX, consente di perfezionare la soluzione molto più velocemente rispetto all'utilizzo di ciascuno dei metodi separatamente.

Supponiamo di dover trovare le radici di f(x)=0, se esistono su . È possibile applicare uno qualsiasi dei metodi sopra descritti. Tuttavia, è meglio provare una combinazione di essi, che migliorerà significativamente la precisione della radice.

Consideriamo il caso con un'approssimazione iniziale corrispondente alla condizione che la derivata prima e la seconda abbiano segno diverso in un determinato punto x.

In tali condizioni, la risoluzione di equazioni non lineari con il metodo della tangente consente di trovare una radice con un eccesso se x 0 =b, e il metodo che utilizza accordi con un estremo fisso b porta a trovare una radice approssimativa con una carenza.

Formule utilizzate:

Ora è necessario cercare la radice x richiesta nell'intervallo. Nel passaggio successivo, è necessario applicare il metodo combinato a questo segmento. Procedendo in questo modo si ottengono formule della forma:

Se la derivata prima e la seconda hanno segno diverso, allora, ragionando in modo simile, per chiarire la radice otteniamo le seguenti formule ricorrenti:

La condizione utilizzata è la disuguaglianza stimata| b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Se la disuguaglianza di cui sopra è vera, allora come radice dell'equazione non lineare su un dato segmento, prendi il punto che è esattamente a metà strada tra le soluzioni trovate in uno specifico passo dell'iterazione.

Il metodo combinato è facilmente implementabile in ambiente TURBO PASCAL. Se proprio vuoi, puoi provare a svolgere tutti i calcoli utilizzando il metodo tabellare in Excel.

In quest'ultimo caso, vengono assegnate diverse colonne per risolvere il problema utilizzando accordi e separatamente per il metodo proposto da Isaac Newton.

In questo caso, ciascuna riga viene utilizzata per registrare i calcoli in uno specifico passaggio di iterazione utilizzando due metodi. Quindi, sul lato sinistro dell'area della soluzione, nella pagina di lavoro attiva viene evidenziata una colonna in cui viene inserito il risultato del calcolo del modulo della differenza di valori del passaggio iterativo successivo per ciascuno dei metodi. Un'altra può essere utilizzata per inserire i risultati dei calcoli utilizzando la formula di calcolo del costrutto logico “SE”, utilizzata per scoprire se una condizione è vera oppure no.

Ora sai come risolvere equazioni complesse. Il metodo della tangente, come hai già visto, è implementato in modo abbastanza semplice, sia in Pascal che in Excel. Pertanto, puoi sempre stabilire le radici di un'equazione difficile o impossibile da risolvere utilizzando le formule.

Sia separata sul segmento la radice dell'equazione f(x)=0, con la derivata prima e seconda f’(x) e f""(x) sono continue e di segno costante per xÎ.

Supponiamo che ad un certo punto del raffinamento della radice, si ottenga (selezionata) la successiva approssimazione alla radice x n . Supponiamo allora che l'approssimazione successiva ottenuta utilizzando la correzione h n , porta al valore esatto della radice

x = xn + hn. (1.2.3-6)

Conteggio h n valore piccolo, rappresentiamo f(х n + h n) sotto forma di serie di Taylor, limitandoci a termini lineari

f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)

Considerando che f(x) = f(x n + h n) = 0, otteniamo f(x n) + h n f ’(x n) » 0.

Quindi h n » - f(x n)/ f’(x n). Sostituiamo il valore h n in (1.2.3-6) e invece del valore esatto della radice X otteniamo un'altra approssimazione

La formula (1.2.3-8) permette di ottenere una sequenza di approssimazioni x 1, x 2, x 3 ..., che, in determinate condizioni, converge al valore esatto della radice X, questo è

Interpretazione geometrica del metodo di Newtonè il seguente
(Fig.1.2.3-6). Prendiamo come approssimazione iniziale x 0 l'estremità destra del segmento b e costruiamo una tangente nel punto corrispondente B 0 sul grafico della funzione y = f(x). Il punto di intersezione della tangente con l'asse x viene preso come una nuova e più accurata approssimazione x 1. Ripetendo più volte questa procedura possiamo ottenere una sequenza di approssimazioni x 0, x 1, x 2 , . . ., che tende al valore esatto della radice X.

La formula di calcolo del metodo di Newton (1.2.3-8) può essere ricavata da una costruzione geometrica. Quindi in un triangolo rettangolo x 0 B 0 x 1 gamba
x0x1 = x0V0/tga. Considerando che il punto B 0 è sul grafico della funzione f(x), e l'ipotenusa è formata da una tangente al grafico f(x) nel punto B 0, otteniamo

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Questa formula coincide con la (1.2.3-8) per l'ennesima approssimazione.

Dalla Fig. 1.2.3-6 è chiaro che la scelta del punto a come approssimazione iniziale può portare al fatto che la prossima approssimazione x 1 sarà esterna al segmento su cui è separata la radice X. In questo caso la convergenza del processo non è garantita. Nel caso generale, la scelta dell'approssimazione iniziale viene effettuata secondo la seguente regola: l'approssimazione iniziale deve essere presa come un punto x 0 О, in cui f(x 0)×f''(x 0)>0 , cioè i segni della funzione e della sua derivata seconda coincidono.

Le condizioni per la convergenza del metodo di Newton sono formulate nel seguente teorema.

Se la radice dell'equazione è separata sul segmento, E f’(x 0) e f’’(x) sono diversi da zero e mantengono i segni quando xО, allora se scegliamo un punto come l'approssimazione iniziale x 0 О , Che cosa f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , quindi la radice dell'equazione f(x)=0 può essere calcolato con qualsiasi grado di precisione.

La stima dell'errore del metodo di Newton è determinata dalla seguente espressione:

(1.2.3-11)

dove è il valore più piccolo A

Valore più alto A

Il processo di calcolo si interrompe se ,

dove è la precisione specificata.

Inoltre, le seguenti espressioni possono servire come condizione per ottenere una determinata precisione quando si affina la radice utilizzando il metodo di Newton:

Lo schema dell'algoritmo del metodo di Newton è mostrato in Fig. 1.2.3-7.

Il lato sinistro dell'equazione originale f(x) e la sua derivata f'(x) nell'algoritmo sono progettati come moduli software separati.

Riso. 1.2.3-7. Diagramma dell'algoritmo del metodo Newton

Esempio 1.2.3-3. Perfezionare le radici dell'equazione x-ln(x+2) = 0 utilizzando il metodo di Newton, a condizione che le radici di questa equazione siano separate sui segmenti x 1 О[-1.9;-1.1] e x 2 О [-0,9;2 ].

La derivata prima f’(x) = 1 – 1/(x+2) mantiene il segno su ciascuno dei segmenti:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 in xО [-0,9; 2].

La derivata seconda f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 per ogni x.

Pertanto le condizioni di convergenza sono soddisfatte. Poiché f""(x)>0 sull'intero intervallo di valori consentiti, quindi per chiarire la radice dell'approssimazione iniziale x1 scegliere x 0 = -1.9 (poiché f(-1.9)×f”(-1.9)>0). Otteniamo una sequenza di approssimazioni:

Proseguendo i calcoli otteniamo la seguente sequenza delle prime quattro approssimazioni: -1.9; –1,8552, -1,8421; -1.8414 . Il valore della funzione f(x) nel punto x=-1.8414 è uguale a f(-1.8414)=-0.00003 .

Per chiarire la radice x 2 О[-0.9;2] scegliamo 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) come approssimazione iniziale. Basandosi su x 0 = 2, otteniamo una sequenza di approssimazioni: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. Il valore della funzione f(x) nel punto x=1.1461 è uguale a f(1.1461)= -0.00006.

Il metodo di Newton ha un alto tasso di convergenza, ma ad ogni passaggio richiede il calcolo non solo del valore della funzione, ma anche della sua derivata.

Metodo degli accordi

Interpretazione geometrica del metodo degli accordiè il seguente
(Fig.1.2.3-8).

Disegniamo un segmento di linea attraverso i punti A e B. La prossima approssimazione x 1 è l'ascissa del punto di intersezione della corda con l'asse 0x. Costruiamo l'equazione di un segmento di retta:

Impostiamo y=0 e troviamo il valore x=x 1 (prossima approssimazione):

Ripetiamo il processo di calcolo per ottenere la successiva approssimazione alla radice - x 2 :

Nel nostro caso (Fig. 1.2.11) e la formula di calcolo del metodo degli accordi avrà la forma

Questa formula è valida quando si prende il punto b come punto fisso e il punto a funge da approssimazione iniziale.

Consideriamo un altro caso (Fig. 1.2.3-9), quando .

L'equazione della linea retta per questo caso ha la forma

Prossima approssimazione x 1 in y = 0

Allora la formula ricorrente del metodo degli accordi per questo caso ha la forma

È da notare che nel metodo degli accordi il punto fisso viene scelto come fine del segmento per il quale è soddisfatta la condizione f (x)∙f¢¢ (x)>0.

Pertanto, se si prende il punto a come punto fisso , allora x 0 = b funge da approssimazione iniziale, e viceversa.

Le condizioni sufficienti che garantiscono il calcolo della radice dell'equazione f(x) = 0 utilizzando la formula della corda saranno le stesse del metodo della tangente (metodo di Newton), solo che al posto dell'approssimazione iniziale viene scelto un punto fisso. Il metodo degli accordi è una modifica del metodo di Newton. La differenza è che l'approssimazione successiva nel metodo di Newton è il punto di intersezione della tangente con l'asse 0X, e nel metodo della corda - il punto di intersezione della corda con l'asse 0X - le approssimazioni convergono alla radice da lati diversi .

La stima dell'errore per il metodo degli accordi è data dall'espressione

(1.2.3-15)