L'elettrone ha un proprio momento angolare meccanico L s, chiamato spin. Lo spin è una proprietà integrale di un elettrone, come la sua carica e massa. Lo spin dell'elettrone corrisponde al proprio momento magnetico P s, proporzionale a L s e diretto nella direzione opposta: P s = g s L s, g s è il rapporto giromagnetico dei momenti di spin. Proiezione del proprio momento magnetico sulla direzione del vettore B: P sB =eh/2m= B , doveh=h/2,  B =magnetone di Bohr. Il momento magnetico totale dell'atomo p a = la somma vettoriale dei momenti magnetici dell'elettrone che entra nell'atomo: P a =p m +p ms. Esperienza di Stern e Gerlach. Misurando i momenti magnetici, hanno scoperto che uno stretto fascio di atomi di idrogeno in un campo magnetico non uniforme si divide in 2 fasci. Sebbene in questo stato (gli atomi erano nello stato S), il momento angolare dell'elettrone sia 0, così come il momento magnetico dell'atomo sia 0, quindi il campo magnetico non influenza il movimento dell'atomo di idrogeno, che è che non dovrebbe esserci alcuna divisione. Tuttavia, ulteriori studi hanno dimostrato che le righe spettrali degli atomi di idrogeno presentano tale struttura anche in assenza campo magnetico. Successivamente si è scoperto che questa struttura delle righe spettrali è spiegata dal fatto che l'elettrone ha un proprio momento meccanico indistruttibile, chiamato spin.

21. Orbitale, spin e momento angolare e magnetico totale dell'elettrone.

L'elettrone ha un proprio momento angolare M S, chiamato spin. Il suo valore è determinato secondo le leggi generali della meccanica quantistica: M S =  h=  h[(1/2)*(3/2)]=(1/2)  h3, M l =  h – momento orbitale. La proiezione può assumere valori quantici che differiscono tra loro di h. M Sz =m S  h, (m s =S), M lz =m l  h. Per trovare il valore del momento magnetico intrinseco, moltiplicare M s per il rapporto  s a M s,  s – momento magnetico intrinseco:

 s =-eM s /m e c=-(e  h/m e c)=- B 3,  B – Bohr Magneton.

Il segno (-) perché M s e  s sono diretti in direzioni diverse. Il momento elettronico è costituito da due: orbitale M l e spin M s. Questa somma viene effettuata secondo le stesse leggi quantistiche con cui vengono sommati i momenti orbitali dei diversi elettroni: Ìj=  h, j è il numero quantico del momento angolare totale.

22. Un atomo in un campo magnetico esterno. Effetto Zeemann .

L'effetto Zeeman è la scissione dei livelli energetici quando gli atomi sono esposti a un campo magnetico. La suddivisione del livello porta alla suddivisione delle righe spettrali in più componenti. La scissione delle linee spettrali quando gli atomi emittenti sono esposti a un campo magnetico è anche chiamata effetto Zeeman. La suddivisione dei livelli di Zeeman è spiegata dal fatto che un atomo con un momento magnetico  j acquisisce energia aggiuntiva E=- jB B in un campo magnetico,  jB è la proiezione del momento magnetico nella direzione del campo.  jB =- B gm j , E= B gm j , ( j =0, 1,…, J). Il livello energetico è suddiviso in sottolivelli e l'entità della suddivisione dipende dai numeri quantici L, S, J di un dato livello.

Momenti meccanici e magnetici intrinseci (spin)

MOTIVAZIONE DELL'ESISTENZA DI SPIN. L'equazione di Schrödinger consente di calcolare lo spettro energetico dell'idrogeno e degli atomi più complessi. Tuttavia, la determinazione sperimentale dei livelli di energia atomica ha dimostrato che non esiste un accordo completo tra teoria ed esperimento. Misurazioni precise hanno rivelato la struttura fine dei livelli. Tutti i livelli, tranne quello principale, sono suddivisi in una serie di sottolivelli molto vicini. In particolare, il primo livello eccitato dell'atomo di idrogeno ( N= 2) suddiviso in due sottolivelli con una differenza energetica di soli 4,5 10 -5 eV. Per gli atomi pesanti, l’entità della scissione fine è molto maggiore che per gli atomi leggeri.

È stato possibile spiegare questa discrepanza tra teoria ed esperimento utilizzando il presupposto (Uhlenbeck, Goudsmit, 1925) che l'elettrone abbia un altro grado di libertà interno: lo spin. Secondo questo presupposto, anche l’elettrone e la maggior parte delle altre particelle elementari, insieme al momento angolare orbitale, hanno una propria momento meccanico impulso. Questo momento intrinseco è chiamato rotazione.

La presenza di spin su una microparticella fa sì che per certi aspetti essa sia come una piccola trottola. Tuttavia, questa analogia è puramente formale, poiché le leggi quantistiche modificano significativamente le proprietà del momento angolare. Secondo la teoria quantistica, una microparticella puntiforme può avere un proprio momento. Una proprietà quantistica importante e non banale dello spin è che solo esso può stabilire un orientamento preferito in una particella.

La presenza di un momento meccanico intrinseco nelle particelle elettricamente cariche porta alla comparsa di un proprio momento magnetico (spin), diretto, a seconda del segno della carica, parallelo (carica positiva) o antiparallelo (carica negativa) al vettore di spin. Una particella neutra, ad esempio un neutrone, può anche avere un proprio momento magnetico.

L'esistenza di uno spin in un elettrone fu indicata dagli esperimenti di Stern e Gerlach (1922) osservando la scissione di uno stretto fascio di atomi d'argento sotto l'influenza di un campo magnetico disomogeneo (in un campo omogeneo il momento cambia solo orientamento; solo in un campo disomogeneo si muove traslativamente lungo il campo o contro di esso a seconda della direzione rispetto al campo). Gli atomi d'argento non eccitati si trovano in uno stato s sfericamente simmetrico, cioè con un momento orbitale uguale a zero. Il momento magnetico del sistema, associato al moto orbitale dell'elettrone (come nella teoria classica), è direttamente proporzionale al momento meccanico. Se quest'ultimo è zero, allora anche il momento magnetico deve essere zero. Ciò significa che il campo magnetico esterno non dovrebbe influenzare il movimento degli atomi d'argento nello stato fondamentale. L'esperienza dimostra che tale influenza esiste.

Nell'esperimento, un fascio di atomi d'argento è stato diviso, metalli alcalini e idrogeno, ma Sempre solo osservato due pacchi, ugualmente deviato in direzioni opposte e situato simmetricamente rispetto al raggio in assenza di campo magnetico. Ciò si spiega solo con il fatto che il momento magnetico dell'elettrone di valenza in presenza di un campo può assumere due valori, identici in grandezza e opposti in segno.

I risultati sperimentali portano alla conclusione che che la scissione in un campo magnetico di un raggio di atomi del primo gruppo Tavola periodica, ovviamente nello stato s, in due componenti si spiega con due possibili stati del momento magnetico di spin dell'elettrone di valenza. L'entità della proiezione del momento magnetico sulla direzione del campo magnetico (è questo che determina l'effetto di deflessione), rilevata dagli esperimenti di Stern e Gerlach, si è rivelata pari al cosiddetto Magnetone di Bohr

La struttura fine dei livelli energetici degli atomi aventi un elettrone di valenza è spiegata dalla presenza dello spin nell'elettrone come segue. Negli atomi (escluso S-stati) esistono a causa del movimento orbitale correnti elettriche, il cui campo magnetico influenza il momento magnetico di spin (la cosiddetta interazione spin-orbita). Il momento magnetico di un elettrone può essere orientato lungo il campo o contro il campo. Gli stati con diversi orientamenti di rotazione differiscono leggermente in energia, il che porta alla divisione di ciascun livello in due. Gli atomi con diversi elettroni nel guscio esterno avranno una struttura fine più complessa. Pertanto, nell'elio, che ha due elettroni, ci sono linee singole (camicie) nel caso di spin elettronici antiparalleli (lo spin totale è zero - paraelio) e linee triple (triplette) nel caso di spin paralleli (lo spin totale è H- ortoelio), che corrispondono a tre possibili proiezioni sulla direzione del campo magnetico delle correnti orbitali dello spin totale di due elettroni (+ h, 0, -h).

Pertanto, una serie di fatti hanno portato alla necessità di attribuire agli elettroni un nuovo grado di libertà interno. Per descrivere compiutamente lo stato, insieme alle tre coordinate o qualsiasi altra terna di quantità che compongono l'insieme quantomeccanico, è necessario anche specificare il valore della proiezione dello spin sulla direzione selezionata (non è necessario specificare il modulo di spin , perché come dimostra l'esperienza, non cambia per nessuna particella in quali circostanze).

La proiezione dello spin, come la proiezione del momento orbitale, può cambiare di un multiplo di H. Poiché sono state osservate solo due orientazioni dello spin dell'elettrone, Uhlenbeck e Goudsmit hanno ipotizzato che fosse la proiezione dello spin dell'elettrone S z per ogni direzione può assumere due valori: S z = ±h/2.

Nel 1928 Dirac ottenne un'equazione quantistica relativistica per l'elettrone, dalla quale seguono l'esistenza e lo spin dell'elettrone h/2 senza alcuna ipotesi particolare.

Il protone e il neutrone hanno lo stesso spin 1/2 dell'elettrone. Lo spin del fotone è uguale a 1. Ma poiché la massa del fotone è zero, allora sono possibili due, non tre, delle sue proiezioni +1 e -1. Queste due proiezioni nell'elettrodinamica di Maxwell corrispondono a due possibili polarizzazioni circolari di un'onda elettromagnetica, in senso orario e antiorario rispetto alla direzione di propagazione.

PROPRIETÀ DELL'IMPULSO DI MOMENTO TOTALE. Sia il momento orbitale M che il momento di spin S sono quantità che assumono solo valori quantistici discreti. Consideriamo ora il momento angolare totale, che è la somma vettoriale dei momenti citati.

Definiamo l'operatore del momento angolare totale come la somma degli operatori e

Gli operatori e pendolari, poiché l'operatore agisce sulle coordinate, ma l'operatore non agisce su di esse. Lo si può dimostrare

cioè le proiezioni del momento angolare totale non commutano tra loro allo stesso modo delle proiezioni del momento orbitale. L'operatore commuta con qualsiasi proiezione, il che significa che l'operatore e l'operatore di qualsiasi proiezione (tranne una) corrispondono quantità fisiche e relativo al numero di quelli misurabili simultaneamente. L'operatore fa anche il pendolare con gli operatori e.

Abbiamo determinato lo stato dell'elettrone nel campo della forza centrale mediante tre numeri quantici: n, l, m. Livelli quantistici E N erano generalmente determinati da due numeri quantici n, l. In questo caso non è stato preso in considerazione lo spin dell’elettrone. Se consideriamo anche lo spin, allora ogni stato risulta essere essenzialmente doppio, poiché sono possibili due orientamenti di spin S z = ehm S ; M S = ±1/2. Pertanto, ai tre numeri quantici viene aggiunto un quarto M S, cioè si dovrebbe indicare la funzione d'onda che tiene conto dello spin.

Per ogni termine E n, l abbiamo (2 l+ 1) stati che differiscono nell'orientamento del momento orbitale (numero M), ciascuno dei quali a sua volta si decompone in due stati che differiscono per lo spin. Quindi esiste 2(2 l+ 1) Degenerazione -fold.

Se ora prendiamo in considerazione la debole interazione dello spin con il campo magnetico delle correnti orbitali, l'energia dello stato dipenderà anche dall'orientamento dello spin rispetto al momento orbitale. Il cambiamento di energia durante tale interazione è piccolo rispetto alla differenza di energia tra livelli diversi n, l e quindi le nuove linee che nascono sono vicine tra loro.

Pertanto, la differenza negli orientamenti del momento di spin rispetto al campo magnetico interno dell'atomo può spiegare l'origine della molteplicità delle righe spettrali. Da quanto sopra ne consegue che per gli atomi con un elettrone ottico, sono possibili solo doppietti (doppie linee) a causa dei due orientamenti dello spin dell'elettrone. Questa conclusione è confermata dai dati sperimentali. Passiamo ora alla numerazione dei livelli atomici tenendo conto della struttura multiplettata. Quando si tiene conto dell'interazione spin-orbita, né il momento orbitale né il momento di rotazione hanno un valore specifico in uno stato con un'energia specifica (gli operatori non commutano con l'operatore). Secondo la meccanica classica avremmo la precessione dei vettori e attorno al vettore coppia totale, come mostrato in Fig. 20. Il momento totale rimane costante. Una situazione simile si verifica nella meccanica quantistica. Quando si tiene conto dell'interazione dello spin, solo il momento totale ha un certo valore in uno stato con una data energia (l'operatore commuta con l'operatore). Pertanto, quando si tiene conto dell'interazione spin-orbita, lo stato dovrebbe essere classificato in base al valore del momento totale. Il momento totale viene quantizzato secondo le stesse regole del momento orbitale. Cioè, se introduciamo il numero quantico J, che fissa il momento J, Quello

E la proiezione in una certa direzione è 0 z importa J z = ehm J, Mentre J= l+ l S (l S= S), se lo spin è parallelo al momento orbitale, e J= | l- l S|.se sono antiparalleli. Allo stesso modo M J = m+m S (M S= ±1/2). Poiché l,m sono numeri interi, e l S , l M- metà, allora

J = 1/2, 3/2, 5/2, … ; M J= ±1/2, ±3/2, … , ± J.

A seconda dell'orientamento della rotazione, l'energia del termine sarà diversa, ovvero sarà per J = l+½ e J = |l-S|. Pertanto, in questo caso, i livelli energetici dovrebbero essere caratterizzati dai numeri n,l e dal numero j, che determina il momento totale, cioè E = E nlj.

Le funzioni d'onda dipenderanno dalla variabile di spin S z e saranno diverse per diversi j: .

Livelli quantistici a un dato livello l, di significato diverso J, sono vicini tra loro (differiscono nell'energia di interazione spin-orbita). Quattro di numeri n, l, j, m J può assumere i seguenti valori:

N= 1, 2, 3,…; l= 0, 1, 2,…, N- 1; J = l+l S o | LL S |; l S= ±1/2;

-J ? M J ? J.

Il valore del momento orbitale l è indicato in spettroscopia con le lettere s, p, d, f, ecc. Il numero quantico principale è posto davanti alla lettera. Il numero è indicato in basso a destra J. Pertanto, ad esempio, il livello (therm) con N= 3, l = 1, J= 3/2 è designato come 3 R 3/2. La Figura 21 mostra un diagramma dei livelli di un atomo simile all'idrogeno tenendo conto della struttura multiplettata. Righe 5890? e 5896? modulo

famoso doppietto del sodio: linee gialle D2 e ​​D1. 2 S-term è lontano da 2 R-termini, come dovrebbe essere negli atomi simili all'idrogeno ( l-degenerazione rimossa).

Ciascuno dei livelli considerati E n.l appartiene a (2 J+ 1) stati diversi nel numero M J, cioè l'orientamento del momento totale J nello spazio. Solo quando viene applicato un campo esterno questi livelli di fusione possono separarsi. In assenza di tale campo abbiamo (2 J+ 1)-degenerazione delle pieghe. Quindi termine 2 S 1/2 ha degenerazione 2: due stati che differiscono nell'orientamento dello spin. Termine 2 R 3/2 ha una quadruplice degenerazione secondo gli orientamenti del momento J, M J= ±1/2, ±3/2.

EFFETTO ZEEMAN. P. Zeeman, studiando lo spettro di emissione del vapore di sodio posto in un campo magnetico esterno, scoprì la suddivisione delle righe spettrali in più componenti. Successivamente, sulla base dei concetti della meccanica quantistica, questo fenomeno fu spiegato con la scissione dei livelli di energia atomica in un campo magnetico.

Gli elettroni in un atomo possono essere localizzati solo in alcuni stati discreti, cambiando, un quanto di luce viene emesso o assorbito. L'energia del livello atomico dipende dal momento orbitale totale, caratterizzato dal numero quantico orbitale l, e lo spin totale dei suoi elettroni, caratterizzato dal numero quantico di spin S. Numero l può accettare solo numeri interi e un numero S- numeri interi e semiinteri (in unità H). Nella direzione che possono prendere di conseguenza (2 l+1) e (2 S+ 1) posizioni nello spazio. Pertanto, il livello dei dati l E S degenere: è costituito da (2 l+ 1)(2S +1) sottolivelli, le cui energie (se non si tiene conto dell'interazione spin-orbita) coincidono.

L'interazione spin-orbita porta però al fatto che l'energia dei livelli non dipende solo dalle quantità l E S, ma anche da posizione relativa vettori della quantità di moto orbitale e dello spin. Pertanto, l'energia risulta dipendere dalla coppia totale M = M l + M S, determinato dal numero quantico J e il livello con il dato l E S si divide in più sottolivelli (formando un multipletto) con differenti J. Questa suddivisione è chiamata struttura a livello fine. Grazie alla struttura fine anche le righe spettrali vengono divise. Per esempio, D-la linea del sodio corrisponde alla transizione dal livello l = 1 , S= ½ per livello c l = 0, S=S. Il primo di essi (livelli) è un doppietto corrispondente a possibili valori J= 3/2 e J= Ѕ ( J =l + S; S= ±1/2), e il secondo non ha struttura fine. Ecco perché D-la linea è composta da due linee molto vicine con lunghezze d'onda di 5896? e 5890?.

Ogni livello del multipletto rimane ancora degenere a causa della possibilità di orientamento del momento meccanico totale nello spazio lungo (2 J+ 1) direzioni. In un campo magnetico questa degenerazione viene eliminata. Il momento magnetico di un atomo interagisce con il campo e l'energia di tale interazione dipende dalla direzione. Pertanto, a seconda della direzione, l'atomo acquisisce diversa energia aggiuntiva nel campo magnetico e la suddivisione Zeeman del livello in (2 J+ 1) sottolivelli.

Distinguere il normale (semplice) effetto Zeeman quando ogni linea è divisa in tre componenti e l'effetto anomalo (complesso) quando ogni linea è divisa in più di tre componenti.

Per comprendere i principi generali dell'effetto Zeeman, consideriamo l'atomo più semplice: l'atomo di idrogeno. Se un atomo di idrogeno è posto in un campo magnetico esterno uniforme con induzione IN, quindi a causa dell'interazione del momento magnetico R M con un campo esterno l'atomo acquisterà un valore aggiuntivo a seconda dei moduli e dell'orientamento reciproco IN E pm energia

UB= -pmB = -pmBB,

Dove pmB- proiezione del momento magnetico dell'elettrone sulla direzione del campo.

Considerando questo R MB = - ehm l /(2m)(numero quantico magnetico M l= 0, ±1, ±2, …, ±l), otteniamo

Magnetone di Bohr.

Energia totale di un atomo di idrogeno in un campo magnetico

dove il primo termine è l'energia dell'interazione coulombiana tra un elettrone e un protone.

Dall'ultima formula segue che in assenza di campo magnetico (B = 0), il livello di energia è determinato solo dal primo termine. Quando è B? 0, è necessario tenere conto di diversi valori consentiti di m l. Dato che è dato per scontato N E l il numero m l può essere 2 l+ 1 valori possibili, quindi il livello iniziale verrà diviso in 2 l+ 1 sottolivelli.

Nella fig. 22a mostra le possibili transizioni nell'atomo di idrogeno tra gli stati R(l= 1) e S (l= 0). In un campo magnetico, lo stato p si divide in tre sottolivelli (a l = 1 m = 0, ±1), da ciascuno dei quali possono verificarsi transizioni al livello s, e ciascuna transizione è caratterizzata dalla propria frequenza: Di conseguenza, nello spettro appare una tripletta (effetto Zeeman normale). Si noti che durante le transizioni si osservano le regole per la selezione dei numeri quantici:

Nella fig. La Figura 22b mostra la suddivisione dei livelli energetici e delle linee spettrali per la transizione tra gli stati D(l= 2) e P(l= 1). Stato D in un campo magnetico

è suddiviso in cinque sottolivelli, lo stato p in tre. Tenendo conto delle regole di transizione, sono possibili solo le transizioni indicate nella figura. Come si può vedere, nello spettro appare una tripletta (normale effetto Zeeman).

Il normale effetto Zeeman si osserva se le linee originali non hanno una struttura fine (sono singoletti). Se i livelli iniziali hanno una struttura fine, nello spettro appare un numero maggiore di componenti e si osserva un effetto Zeeman anomalo.

MOMENTI MECCANICI E MAGNETICI DELL'ELETTRONE

Momento magnetico orbitale di un elettrone

Ogni corrente, come è noto, genera un campo magnetico. Pertanto, un elettrone il cui momento meccanico orbitale è diverso da zero deve avere anche un momento magnetico.

Dai concetti classici, il momento angolare ha la forma

dove è la velocità e è il raggio di curvatura della traiettoria.

Il momento magnetico di una corrente chiusa con area crea un momento magnetico

è l'unità normale al piano e sono la carica e la massa dell'elettrone.

Confrontando la (3.1) e la (3.2), otteniamo

Il momento magnetico è legato al momento meccanico tramite un moltiplicatore

che è chiamato rapporto magnetomeccanico (giromagnetico) per l'elettrone.

Per le proiezioni del momento abbiamo la stessa connessione

Il passaggio alla meccanica quantistica avviene per sostituzione equazioni numeriche equazioni degli operatori

Le formule (3.5) e (3.6) sono valide non solo per un elettrone in un atomo, ma anche per qualsiasi particella carica che abbia un momento meccanico.

L'autovalore dell'operatore è uguale a

dov'è il numero quantico magnetico (vedi Sezione 2.1)

La costante è chiamata magnetone di Bohr

Nelle unità SI è J/T.

Allo stesso modo si possono ottenere gli autovalori del momento magnetico

dove è il numero quantico orbitale.

Spesso viene utilizzata la registrazione

Dove . Talvolta il segno meno viene omesso.

Momenti meccanici e magnetici intrinseci di un elettrone (spin)

L'elettrone ha un quarto grado di libertà, che è associato al momento meccanico (e, quindi, magnetico) dell'elettrone: lo spin. La presenza di spin deriva dall'equazione relativistica di Dirac

dove è una matrice vettoriale e sono matrici a quattro righe.

Poiché le quantità sono matrici di quattro righe, la funzione d'onda deve avere quattro componenti, che possono essere convenientemente scritte come una colonna. Non effettueremo soluzioni (3.12), ma postuleremo la presenza dello spin (momento intrinseco) dell'elettrone come qualche requisito empirico, senza cercare di spiegarne l'origine.

Soffermiamoci brevemente su quei fatti sperimentali da cui segue l'esistenza dello spin dell'elettrone. Una di queste prove dirette sono i risultati dell'esperienza dei fisici tedeschi Stern e Gerlach (1922) sulla quantizzazione spaziale. In questi esperimenti, fasci di atomi neutri venivano fatti passare attraverso una regione in cui era stato creato un campo magnetico non uniforme (Fig. 3.1). In un tale campo, una particella con un momento magnetico acquisisce energia e su di essa agirà una forza

che può dividere la trave in singoli componenti.

I primi esperimenti esaminarono fasci di atomi d'argento. Il raggio è stato fatto passare lungo l'asse ed è stata osservata la divisione lungo l'asse. La componente principale della forza è uguale a

Se gli atomi d'argento non sono eccitati e si trovano al livello inferiore, cioè nello stato (), allora il raggio non dovrebbe dividersi affatto, poiché il momento magnetico orbitale di tali atomi è zero. Per gli atomi eccitati (), il raggio dovrebbe dividersi in numero dispari componenti in base al numero di possibili valori del numero quantico magnetico ().

Infatti è stato osservato il fascio diviso in due componenti. Ciò significa che il momento magnetico che provoca la scissione ha due proiezioni sulla direzione del campo magnetico, e il corrispondente numero quantico assume due valori. I risultati dell'esperimento spinsero i fisici olandesi Uhlenbeek e Goudsmit (1925) a avanzare un'ipotesi sulla l'elettrone ha i suoi momenti meccanici e magnetici associati.

Per analogia con il numero orbitale, introduciamo il numero quantico, che caratterizza il momento meccanico proprio dell’elettrone. Determiniamo in base al numero di divisioni. Quindi,

Il numero quantico è chiamato numero quantico di spin e caratterizza il momento angolare intrinseco o di spin (o semplicemente “spin”). Il numero quantico magnetico, che determina le proiezioni del momento meccanico di spin e del momento magnetico di spin, ha due significati. Poiché , a , allora non esistono altri valori e, quindi,

Termine rotazione viene da Parola inglese rotazione, che significa girare.

Il momento angolare di spin dell'elettrone e la sua proiezione sono quantizzati secondo le consuete regole:

Come sempre, quando si misura una quantità, si ottiene uno dei due valori possibili. Prima della misurazione è possibile qualsiasi sovrapposizione.

L'esistenza dello spin non può essere spiegata con la rotazione dell'elettrone attorno al proprio asse. Il valore massimo della coppia meccanica può essere ottenuto se la massa dell'elettrone è distribuita lungo l'equatore. Quindi, per ottenere la grandezza del momento d'ordine velocità lineare punti dell'equatore dovrebbero essere m/s (m è il raggio classico dell'elettrone), cioè significativamente maggiore della velocità della luce. Pertanto, una trattazione non relativistica dello spin è impossibile.

Torniamo agli esperimenti di Stern e Gerlach. Conoscendo l'entità della scissione (per ampiezza), possiamo calcolare l'entità della proiezione del momento magnetico di spin sulla direzione del campo magnetico. Costituisce un magnetone di Bohr.

Otteniamo la connessione tra e:

Grandezza

è chiamato rapporto magnetomeccanico di spin ed è il doppio del rapporto magnetomeccanico orbitale.

La stessa connessione esiste tra i momenti magnetici di spin e quelli meccanici:

Troviamo ora il valore:

Tuttavia, è consuetudine dire che il momento magnetico di spin di un elettrone è uguale a un magnetone di Bohr. Questa terminologia si è sviluppata storicamente ed è dovuta al fatto che quando si misura un momento magnetico, solitamente si misura la sua proiezione, ed è esattamente uguale a 1.