Moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso. Moto di rotazione di un corpo rigido: equazione, formule Il moto di rotazione è assoluto
Cinematica del corpo rigido
A differenza della cinematica del punto, la cinematica dei corpi rigidi risolve due problemi principali:
Specificare il movimento e determinare le caratteristiche cinematiche del corpo nel suo insieme;
Determinazione delle caratteristiche cinematiche dei punti del corpo.
I metodi per specificare e determinare le caratteristiche cinematiche dipendono dai tipi di movimento del corpo.
Questo manuale discute tre tipi di movimento: traslatorio, rotatorio attorno ad un asse fisso e movimento piano parallelo di un corpo rigido.
Moto traslatorio di un corpo rigido
La traslazione è un movimento in cui una linea retta tracciata attraverso due punti del corpo rimane parallela alla sua posizione originale (Fig. 2.8).
Il teorema è stato dimostrato: durante il movimento traslatorio, tutti i punti del corpo si muovono lungo le stesse traiettorie e in ogni momento hanno la stessa grandezza e direzione di velocità e accelerazione (Fig. 2.8).
Conclusione: Il movimento traslatorio di un corpo rigido è determinato dal movimento di uno qualsiasi dei suoi punti e, pertanto, il compito e lo studio del suo movimento sono ridotti alla cinematica del punto.
Riso. 2.8fig. 2.9
Moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso.
Il moto di rotazione attorno ad un asse fisso è il moto di un corpo rigido in cui due punti appartenenti al corpo rimangono immobili durante tutto il tempo del movimento.
La posizione del corpo è determinata dall'angolo di rotazione (Fig. 2.9). L'unità di misura dell'angolo è il radiante. (Un radiante è l'angolo al centro di un cerchio la cui lunghezza dell'arco è uguale al raggio; l'angolo completo del cerchio contiene 2 radianti.)
La legge del moto rotatorio di un corpo attorno ad un asse fisso = (t). Determiniamo la velocità angolare e l'accelerazione angolare del corpo con il metodo di differenziazione
Velocità angolare, rad/s; (2.10)
Accelerazione angolare, rad/s 2 (2.11)
Quando un corpo ruota attorno ad un asse fisso, i suoi punti che non giacciono sull'asse di rotazione si muovono in cerchi con il centro sull'asse di rotazione.
Se sezioni il corpo con un piano perpendicolare all'asse, seleziona un punto sull'asse di rotazione CON e un punto arbitrario M, quindi punto M descriverà attorno a un punto CON raggio del cerchio R(Fig. 2.9). Durante il tempo dt una rotazione elementare avviene attraverso un angolo e il punto M si muoverà lungo la traiettoria per una distanza Determiniamo il modulo della velocità lineare:
Accelerazione del punto M con traiettoria nota, è determinata dalle sue componenti, vedi (2.8)
Sostituendo l'espressione (2.12) nelle formule otteniamo:
dove: - accelerazione tangenziale,
Accelerazione normale.
Piano: movimento parallelo di un corpo rigido
Il movimento piano parallelo è il movimento di un corpo rigido in cui tutti i suoi punti si muovono su piani paralleli a un piano fisso (Fig. 2.10). Per studiare il moto di un corpo è sufficiente studiare il moto di una sua sezione S di questo corpo da un piano parallelo al piano fisso. Movimento della sezione S nel suo piano può essere considerato complesso, costituito da due movimenti elementari: a) traslatorio e rotatorio; b) rotazionale rispetto al centro in movimento (istantaneo).
Nella prima versione il movimento della sezione può essere specificato dalle equazioni del moto di uno dei suoi punti (poli) e dalla rotazione della sezione attorno al polo (Fig. 2.11). Qualsiasi punto della sezione può essere preso come un polo.
Riso. 2.10fig. 2.11
Le equazioni del moto si scriveranno nella forma:
X A = X UN (T)
Y UN =Y UN (T) (2.14)
UN = UN (T)
Le caratteristiche cinematiche del polo sono determinate dalle equazioni del suo moto.
La velocità di un punto qualsiasi di una figura piana che si muove nel suo piano è composta dalla velocità del polo (scelta arbitrariamente nella sezione del punto UN) e la velocità di rotazione attorno al polo (rotazione del punto IN attorno al punto UN).
L'accelerazione di un punto di una figura piana in movimento consiste nell'accelerazione del polo rispetto a un sistema di riferimento stazionario e nell'accelerazione dovuta al movimento rotatorio attorno al polo.
Nella seconda opzione il movimento della sezione è considerato rotatorio attorno ad un centro mobile (istantaneo). P(Fig. 1.12). In questo caso, la velocità di qualsiasi punto B della sezione sarà determinata dalla formula del moto rotatorio
Velocità angolare attorno al centro istantaneo R può essere determinata se è nota la velocità di qualsiasi punto della sezione, ad esempio il punto A.
Fig.2.12
La posizione del centro di rotazione istantaneo può essere determinata in base alle seguenti proprietà:
Il vettore velocità del punto è perpendicolare al raggio;
La velocità assoluta di un punto è proporzionale alla distanza dal punto al centro di rotazione ( V=R) ;
La velocità al centro di rotazione è zero.
Consideriamo alcuni casi di determinazione della posizione del centro istantaneo.
1. Le direzioni delle velocità di due punti di una figura piatta sono note (Fig. 2.13). Disegniamo le linee del raggio. Il centro di rotazione istantaneo P si trova all'intersezione delle perpendicolari tracciate ai vettori velocità.
2. Le velocità dei punti A e B sono note, i vettori e sono paralleli tra loro e la linea AB perpendicolare (Fig. 2.14). In questo caso il centro di rotazione istantaneo si trova sulla linea AB. Per trovarlo tracciamo una linea di proporzionalità delle velocità in base alla dipendenza V=R.
3. Un corpo rotola senza strisciare sulla superficie stazionaria di un altro corpo (Fig. 2.15). Il punto di contatto dei corpi in questo momento ha velocità zero, mentre le velocità degli altri punti del corpo non sono zero. Il punto tangente P sarà il centro istantaneo di rotazione.
Riso. 2.13fig. 2.14Fig. 2.15
Oltre alle opzioni considerate, la velocità di un punto della sezione può essere determinata in base al teorema sulle proiezioni delle velocità di due punti di un corpo rigido.
Teorema: le proiezioni delle velocità di due punti di un corpo rigido su una retta passante per questi punti sono uguali tra loro e ugualmente dirette.
Prova: la distanza AB non può cambiare, quindi
V E così non può essere più o meno V In cos (Fig. 2.16).
Riso. 2.16
Uscita: V UN cos = V IN cos. (2.19)
Movimento di punti complessi
Nei paragrafi precedenti abbiamo considerato il movimento di un punto rispetto ad un sistema di riferimento fisso, il cosiddetto movimento assoluto. In pratica esistono problemi in cui è noto il moto di un punto rispetto ad un sistema di coordinate, che si muove rispetto ad un sistema fisso. In questo caso è necessario determinare le caratteristiche cinematiche del punto rispetto al sistema stazionario.
Viene comunemente chiamato: lo spostamento di un punto rispetto ad un sistema in movimento - relativo, il movimento di un punto insieme ad un sistema in movimento - portatile, il movimento di un punto rispetto ad un sistema stazionario - assoluto. Le velocità e le accelerazioni si chiamano di conseguenza:
Relativo; - figurato; -assoluto.
Secondo il teorema sulla somma delle velocità, la velocità assoluta di un punto è uguale alla somma vettoriale delle velocità relativa e portatile (Fig.).
Il valore assoluto della velocità è determinato dal teorema del coseno
Fig.2.17
Viene determinata l'accelerazione secondo la regola del parallelogramma solo con movimento traslatorio
Con il movimento traslatorio non traslatorio appare una terza componente dell'accelerazione, chiamata rotazionale o di Coriolis.
L'accelerazione di Coriolis è numericamente uguale a
dove è l'angolo tra i vettori e
La direzione del vettore accelerazione di Coriolis è convenientemente determinata dalla regola di N.E. Zhukovsky: proiettare il vettore su un piano perpendicolare all'asse di rotazione portatile, ruotare la proiezione di 90 gradi nella direzione di rotazione portatile. La direzione risultante corrisponderà alla direzione dell'accelerazione di Coriolis.
Domande per l'autocontrollo sulla sezione
1. Quali sono i compiti principali della cinematica? Assegnare un nome alle caratteristiche cinematiche.
2. Nominare i metodi per specificare il movimento di un punto e determinare le caratteristiche cinematiche.
3. Fornire la definizione di traslazione, rotazione attorno ad un asse fisso, movimento piano parallelo di un corpo.
4. Come viene determinato il movimento di un corpo rigido durante la traslazione, la rotazione attorno ad un asse fisso e il movimento piano parallelo del corpo, e come vengono determinate la velocità e l'accelerazione di un punto durante questi movimenti del corpo?
Questo articolo descrive un'importante sezione della fisica: "Cinematica e dinamica del movimento rotatorio".
Concetti di base della cinematica del moto rotatorio
Il movimento di rotazione di un punto materiale attorno ad un asse fisso è chiamato tale movimento, la cui traiettoria è un cerchio situato su un piano perpendicolare all'asse e il suo centro si trova sull'asse di rotazione.
Il movimento di rotazione di un corpo rigido è un movimento in cui tutti i punti del corpo si muovono lungo cerchi concentrici (i cui centri giacciono sullo stesso asse) secondo la regola del movimento di rotazione di un punto materiale.
Lasciamo che un corpo rigido arbitrario T ruoti attorno all'asse O, che è perpendicolare al piano del disegno. Selezioniamo il punto M su questo corpo. Quando ruotato, questo punto descriverà un cerchio con raggio attorno all'asse O R.
Dopo un po' di tempo, il raggio ruoterà rispetto alla sua posizione originale di un angolo Δφ.
La direzione della vite destra (in senso orario) viene considerata come direzione di rotazione positiva. La variazione dell'angolo di rotazione nel tempo è chiamata equazione del moto rotatorio di un corpo rigido:
φ = φ(t).
Se φ è misurato in radianti (1 rad è l'angolo corrispondente a un arco di lunghezza pari al suo raggio), allora la lunghezza dell'arco circolare ΔS, che il punto materiale M percorrerà nel tempo Δt, è pari a:
ΔS = Δφr.
Elementi di base della cinematica del moto rotatorio uniforme
Misura del movimento di un punto materiale in un breve periodo di tempo dt funge da vettore di rotazione elementare dφ.
La velocità angolare di un punto o corpo materiale è una quantità fisica determinata dal rapporto tra il vettore di una rotazione elementare e la durata di questa rotazione. La direzione del vettore può essere determinata dalla regola della vite destra lungo l'asse O. In forma scalare:
ω = dφ/dt.
Se ω = dφ/dt = cost, allora tale moto si chiama moto rotatorio uniforme. Con esso, la velocità angolare è determinata dalla formula
ω = φ/t.
Secondo la formula preliminare, la dimensione della velocità angolare
[ω] = 1 rad/s.
Il moto rotatorio uniforme di un corpo può essere descritto dal periodo di rotazione. Il periodo di rotazione T è una grandezza fisica che determina il tempo durante il quale un corpo compie un giro completo attorno all'asse di rotazione ([T] = 1 s). Se nella formula per la velocità angolare prendiamo t = T, φ = 2 π (un giro completo di raggio r), allora
ω = 2π/T,
Pertanto, definiamo il periodo di rotazione come segue:
T = 2π/ω.
Il numero di rivoluzioni che un corpo compie nell'unità di tempo è chiamato frequenza di rotazione ν, che è pari a:
ν = 1/T.
Unità di frequenza: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.
Confrontando le formule per la velocità angolare e la frequenza di rotazione, otteniamo un'espressione che collega queste quantità:
ω = 2πν.
Elementi di base della cinematica del moto rotatorio irregolare
Il movimento rotatorio irregolare di un corpo rigido o di un punto materiale attorno a un asse fisso è caratterizzato dalla sua velocità angolare, che cambia nel tempo.
Vettore ε , che caratterizza la velocità di variazione della velocità angolare, è chiamato vettore accelerazione angolare:
ε = dω/dt.
Se un corpo ruota, accelerando, ovviamente dω/dt > 0, il vettore ha una direzione lungo l'asse nella stessa direzione di ω.
Se il movimento rotatorio è lento - dω/dt< 0 , allora i vettori ε e ω hanno direzioni opposte.
Commento. Quando si verifica un movimento rotatorio irregolare, il vettore ω può cambiare non solo in grandezza, ma anche in direzione (quando l'asse di rotazione viene ruotato).
Relazione tra grandezze che caratterizzano il moto traslatorio e rotatorio
È noto che la lunghezza dell'arco con l'angolo di rotazione del raggio e il suo valore sono legati dalla relazione
ΔS = Δφr.
Quindi la velocità lineare di un punto materiale che esegue un movimento rotatorio
υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.
L'accelerazione normale di un punto materiale che esegue un movimento rotatorio traslatorio è definita come segue:
a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.
Quindi, in forma scalare
a = ω2r.
Punto materiale accelerato tangenziale che esegue un movimento rotatorio
un = εr.
Momento di un punto materiale
Il prodotto vettoriale del raggio vettore della traiettoria di un punto materiale di massa mi e della sua quantità di moto è chiamato momento angolare di questo punto attorno all'asse di rotazione. La direzione del vettore può essere determinata utilizzando la regola della vite giusta.
Momento di un punto materiale ( L i) è diretto perpendicolarmente al piano tracciato attraverso r i e υ i, e forma con essi una terna destra di vettori (cioè, quando ci si sposta dall'estremità del vettore io A υ la vite destra mostrerà la direzione del vettore l io).
In forma scalare
L = m io υ io r io sin(υ io , r i).
Considerando che quando ci si muove in un cerchio, il vettore del raggio e il vettore della velocità lineare per il punto materiale i-esimo sono reciprocamente perpendicolari,
sin(υ io , r i) = 1.
Quindi il momento angolare di un punto materiale per il movimento rotatorio assumerà la forma
L = m io υ io r io .
Il momento di forza che agisce sull'i-esimo punto materiale
Il prodotto vettoriale del raggio vettore, che viene tracciato fino al punto di applicazione della forza, e questa forza è chiamato momento della forza che agisce sull'i-esimo punto materiale rispetto all'asse di rotazione.
In forma scalare
M i = r i F i sin(r i , F i).
Considerando questo r io sinα = l io ,M io = l io F io .
Grandezza l i, pari alla lunghezza della perpendicolare abbassata dal punto di rotazione alla direzione di azione della forza, è chiamato braccio della forza F i.
Dinamica del moto rotatorio
L'equazione per la dinamica del moto rotatorio è scritta come segue:
M = dL/dt.
La formulazione della legge è la seguente: la velocità di variazione del momento angolare di un corpo che ruota attorno ad un asse fisso è uguale al momento risultante rispetto a questo asse di tutte le forze esterne applicate al corpo.
Momento d'impulso e momento d'inerzia
È noto che per l'i-esimo punto materiale il momento angolare in forma scalare è dato dalla formula
L io = m io υ io r io .
Se al posto della velocità lineare sostituiamo la sua espressione mediante la velocità angolare:
υ io = ωr io ,
allora assumerà la forma l'espressione del momento angolare
L io = m io r io 2 ω.
Grandezza io io = m io r io 2è chiamato momento di inerzia rispetto all'asse dell'i-esimo punto materiale di un corpo assolutamente rigido passante per il suo centro di massa. Quindi scriviamo il momento angolare del punto materiale:
L io = io io ω.
Scriviamo il momento angolare di un corpo assolutamente rigido come la somma del momento angolare dei punti materiali che compongono questo corpo:
L = Iω.
Momento di forza e momento di inerzia
La legge del moto rotatorio afferma:
M = dL/dt.
È noto che il momento angolare di un corpo può essere rappresentato attraverso il momento d'inerzia:
L = Iω.
M = Idω/dt.
Considerando che l'accelerazione angolare è determinata dall'espressione
ε = dω/dt,
otteniamo una formula per il momento di forza, rappresentato attraverso il momento di inerzia:
M = Iε.
Commento. Un momento di forza è considerato positivo se l'accelerazione angolare che lo provoca è maggiore di zero, e viceversa.
Il teorema di Steiner. Legge di addizione dei momenti di inerzia
Se l’asse di rotazione di un corpo non passa per il suo centro di massa, rispetto a questo asse si può trovare il suo momento d’inerzia utilizzando il teorema di Steiner:
io = io 0 + ma 2,
Dove io 0- momento d'inerzia iniziale del corpo; M- peso corporeo; UN- distanza tra gli assi.
Se un sistema che ruota attorno ad un asse fisso è costituito da N corpi, allora il momento di inerzia totale di questo tipo di sistema sarà uguale alla somma dei momenti dei suoi componenti (legge di addizione dei momenti di inerzia).
Rotazionale chiamano tale movimento in cui due punti associati al corpo, quindi la linea retta che passa attraverso questi punti, rimangono immobili durante il movimento (Fig. 2.16). Retta fissa A B chiamato asse di rotazione.
Riso. 2,1 V. Verso la definizione del moto rotatorio di un corpo
La posizione del corpo durante il movimento rotatorio determina l'angolo di rotazione φ, rad (vedi Fig. 2.16). Durante lo spostamento, l'angolo di rotazione cambia nel tempo, ad es. la legge del moto rotatorio di un corpo è definita come la legge di variazione nel tempo del valore dell'angolo diedro Ф = Ф(/) tra un semipiano fisso A () , passante per l'asse di rotazione e mobile n1 un semipiano collegato al corpo e passante anche per l'asse di rotazione.
Le traiettorie di tutti i punti del corpo durante il movimento rotatorio sono cerchi concentrici situati su piani paralleli con centri sull'asse di rotazione.
Caratteristiche cinematiche del moto rotatorio del corpo. Allo stesso modo in cui sono state introdotte le caratteristiche cinematiche per un punto, viene introdotto un concetto cinematico che caratterizza la velocità di variazione della funzione φ(c), che determina la posizione del corpo durante il movimento rotatorio, cioè velocità angolare co = f = s/f/s//, dimensione della velocità angolare [co] = rad /Con.
Nei calcoli tecnici viene spesso utilizzata l'espressione della velocità angolare con una dimensione diversa, in termini di numero di giri al minuto: [i] = giri al minuto, e il rapporto tra N e co può essere rappresentato come: co = 27w/60 = 7w/30.
In generale, la velocità angolare varia con il tempo. La misura della velocità di variazione della velocità angolare è l'accelerazione angolare e = c/co/c//= co = f, la dimensione dell'accelerazione angolare [e] = rad/s 2 .
Le caratteristiche cinematiche angolari introdotte sono completamente determinate specificando una funzione: l'angolo di rotazione in funzione del tempo.
Caratteristiche cinematiche dei punti del corpo durante il moto rotatorio. Considera il punto M corpo situato ad una distanza p dall'asse di rotazione. Questo punto si muove lungo una circonferenza di raggio p (Fig. 2.17).
Riso. 2.17.
punti del corpo durante la sua rotazione
Lunghezza dell'arco M Q M il cerchio di raggio p è definito come S= ptp, dove f è l'angolo di rotazione, rad. Se la legge del moto di un corpo è data come φ = φ(g), allora la legge del moto di un punto M lungo la traiettoria è determinata dalla formula S= рф(7).
Usando le espressioni delle caratteristiche cinematiche con il metodo naturale per specificare il movimento di un punto, otteniamo le caratteristiche cinematiche per i punti di un corpo rotante: velocità secondo la formula (2.6)
V= 5 = rf = rso; (2.22)
accelerazione tangenziale secondo l'espressione (2.12)
io t = K = sor = er; (2.23)
accelerazione normale secondo la formula (2.13)
a„ = E 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2.24)
accelerazione totale usando l'espressione (2.15)
UN = -]UN + a] = px/e2 + co4. (2.25)
La caratteristica della direzione dell'accelerazione totale è considerata p - l'angolo di deviazione del vettore dell'accelerazione totale dal raggio del cerchio descritto dal punto (Fig. 2.18).
Dalla fig. 2.18 otteniamo
tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)
Riso. 2.18.
Si noti che tutte le caratteristiche cinematiche dei punti di un corpo rotante sono proporzionali alle distanze dall'asse di rotazione. Ve-
La loro identità è determinata attraverso i derivati della stessa funzione: l'angolo di rotazione.
Espressioni vettoriali per caratteristiche cinematiche angolari e lineari. Per una descrizione analitica delle caratteristiche cinematiche angolari di un corpo rotante, insieme all'asse di rotazione, il concetto vettore dell'angolo di rotazione(Fig. 2.19): φ = φ(/)A:, dove A- mangiare
vettore dell'asse di rotazione
1; A=sop51 .
Il vettore f è diretto lungo questo asse in modo da poter essere visto dalla “fine”
rotazione che avviene in senso antiorario.
Riso. 2.19.
caratteristiche in forma vettoriale
Se il vettore φ(/) è noto, tutte le altre caratteristiche angolari del movimento rotatorio possono essere rappresentate in forma vettoriale:
- vettore velocità angolare co = f = f A. La direzione del vettore velocità angolare determina il segno della derivata dell'angolo di rotazione;
- vettore accelerazione angolare є = сo = Ф A. La direzione di questo vettore determina il segno della derivata della velocità angolare.
I vettori introdotti ñ e є ci consentono di ottenere espressioni vettoriali per le caratteristiche cinematiche dei punti (vedi Fig. 2.19).
Si noti che il modulo del vettore velocità del punto coincide con il modulo del prodotto vettoriale del vettore velocità angolare e del vettore raggio: |cox G= sogvípa = spazzatura. Tenendo conto delle direzioni dei vettori с e r e della regola per la direzione del prodotto vettoriale, possiamo scrivere un'espressione per il vettore velocità:
V= coxg.
Allo stesso modo è facile dimostrarlo
- ? X
- - ad esempio Bípa= єр = A E
Sosor = co p = i.
(Inoltre, i vettori di queste caratteristiche cinematiche coincidono nella direzione con i corrispondenti prodotti vettoriali.
Pertanto, i vettori dell'accelerazione tangenziale e normale possono essere rappresentati come prodotti vettoriali:
- (2.28)
- (2.29)
un x = g X G
UN= cox V.
Nella natura e nella tecnologia incontriamo spesso la manifestazione del movimento rotatorio di corpi solidi, ad esempio alberi e ingranaggi. Come viene descritto questo tipo di movimento in fisica, quali formule ed equazioni vengono utilizzate per questo, questi e altri problemi sono trattati in questo articolo.
Cos'è la rotazione?
Ognuno di noi sa intuitivamente di che tipo di movimento stiamo parlando. La rotazione è un processo in cui un corpo o un punto materiale si muove lungo un percorso circolare attorno a un determinato asse. Da un punto di vista geometrico, un corpo rigido è una linea retta, la cui distanza rimane invariata durante il movimento. Questa distanza è chiamata raggio di rotazione. Nel seguito lo indicheremo con la lettera r. Se l'asse di rotazione passa attraverso il centro di massa del corpo, viene chiamato asse proprio. Un esempio di rotazione attorno al proprio asse è il corrispondente movimento dei pianeti del sistema solare.
Perché avvenga la rotazione, deve esserci un'accelerazione centripeta, che si verifica a causa della forza centripeta. Questa forza è diretta dal centro di massa del corpo all'asse di rotazione. La natura della forza centripeta può essere molto diversa. Quindi, su scala cosmica, il suo ruolo è svolto dalla gravità; se il corpo è assicurato da un filo, la forza di tensione di quest'ultimo sarà centripeta. Quando un corpo ruota attorno al proprio asse, il ruolo della forza centripeta è svolto dall'interazione elettrochimica interna tra gli elementi che compongono il corpo (molecole, atomi).
È necessario capire che senza la presenza di una forza centripeta il corpo si muoverà in linea retta.
Grandezze fisiche che descrivono la rotazione
Innanzitutto, queste sono caratteristiche dinamiche. Questi includono:
- momento angolare L;
- momento d'inerzia I;
- momento di forza M.
In secondo luogo, queste sono caratteristiche cinematiche. Li elenchiamo:
- angolo di rotazione θ;
- velocità angolare ω;
- accelerazione angolare α.
Descriviamo brevemente ciascuna di queste quantità.
Il momento angolare è determinato dalla formula:
Dove p è la quantità di moto lineare, m è la massa di un punto materiale, v è la sua velocità lineare.
Il momento d'inerzia di un punto materiale si calcola utilizzando l'espressione:
Per qualsiasi corpo di forma complessa, il valore di I viene calcolato come somma integrale dei momenti di inerzia dei punti materiali.
Il momento della forza M si calcola come segue:
Qui F è la forza esterna, d è la distanza dal punto di applicazione all'asse di rotazione.
Il significato fisico di tutte le quantità i cui nomi contengono la parola “momento” è simile al significato delle corrispondenti quantità lineari. Ad esempio, il momento della forza mostra la capacità della forza applicata di essere impartita ad un sistema di corpi rotanti.
Le caratteristiche cinematiche sono determinate matematicamente dalle seguenti formule:
Come si vede da queste espressioni, le caratteristiche angolari hanno significato simile a quelle lineari (velocità v e accelerazione a), solo che sono applicabili per una traiettoria circolare.
Dinamica di rotazione
In fisica, lo studio del moto rotatorio di un corpo rigido viene effettuato utilizzando due rami della meccanica: la dinamica e la cinematica. Cominciamo dalle dinamiche.
La dinamica studia le forze esterne che agiscono su un sistema di corpi rotanti. Scriviamo subito l'equazione del moto rotatorio di un corpo rigido, quindi analizziamo le sue componenti. Quindi questa equazione assomiglia a:
Che agisce su un sistema avente momento d'inerzia I, provocando la comparsa dell'accelerazione angolare α. Quanto più piccolo è il valore di I, tanto più facile sarà, con l'aiuto di un certo momento M, far girare il sistema ad alta velocità in brevi periodi di tempo. Ad esempio, è più facile ruotare un'asta di metallo lungo il proprio asse che perpendicolarmente ad esso. Tuttavia, è più facile ruotare la stessa asta attorno ad un asse perpendicolare ad essa e passante per il centro di massa che attraverso la sua estremità.
Legge di conservazione della quantità L
Questa quantità è stata introdotta sopra; si chiama momento angolare. L'equazione del moto rotatorio di un corpo rigido, presentata nel paragrafo precedente, è spesso scritta in una forma diversa:
Se il momento delle forze esterne M agisce sul sistema durante il tempo dt, allora provoca una variazione del momento angolare del sistema della quantità dL. Di conseguenza, se il momento della forza è zero, allora L = cost. Questa è la legge di conservazione della quantità L. Per essa, utilizzando la relazione tra velocità lineare e angolare, possiamo scrivere:
L = m*v*r = m*ω*r 2 = I*ω.
Pertanto, in assenza di coppia, il prodotto della velocità angolare e del momento di inerzia è un valore costante. Questa legge fisica viene utilizzata dai pattinatori nelle loro esibizioni o dai satelliti artificiali che devono essere ruotati attorno al proprio asse nello spazio.
Accelerazione centripeta
In precedenza, quando si studiava il movimento rotatorio di un corpo rigido, questa quantità era già stata descritta. È stata notata anche la natura delle forze centripete. Qui integreremo solo queste informazioni e forniremo le formule corrispondenti per il calcolo di questa accelerazione. Indichiamolo con una c.
Poiché la forza centripeta è diretta perpendicolarmente all'asse e lo attraversa, non crea una coppia. Cioè, questa forza non ha assolutamente alcun effetto sulle caratteristiche cinematiche della rotazione. Tuttavia, crea un'accelerazione centripeta. Ecco due formule per determinarlo:
Pertanto, maggiori sono la velocità angolare e il raggio, maggiore è la forza che deve essere applicata per mantenere il corpo su un percorso circolare. Un esempio lampante di questo processo fisico è lo sbandamento di un'auto durante una svolta. Si verifica uno slittamento se la forza centripeta, il cui ruolo è svolto dalla forza di attrito, diventa inferiore alla forza centrifuga (caratteristica inerziale).
Tre principali caratteristiche cinematiche sono state elencate sopra nell'articolo. Il corpo solido è descritto dalle seguenti formule:
θ = ω*t => ω = cost., α = 0;
θ = ω 0 *t + α*t 2 /2 => ω = ω 0 + α*t, α = cost.
La prima riga contiene formule per la rotazione uniforme, che presuppone l'assenza di un momento di forza esterno che agisce sul sistema. La seconda riga contiene le formule per il moto uniformemente accelerato in una circonferenza.
Si noti che la rotazione può avvenire non solo con accelerazione positiva, ma anche con quella negativa. In questo caso, nelle formule della seconda riga, dovresti mettere un segno meno prima del secondo termine.
Esempio di soluzione del problema
Sull'albero metallico ha agito per 10 secondi un momento di forza di 1000 N*m. Sapendo che il momento d'inerzia dell'albero è pari a 50 kg*m 2, è necessario determinare la velocità angolare che il citato momento di forza ha impresso all'albero.
Utilizzando l'equazione base della rotazione, calcoliamo l'accelerazione dell'albero:
Poiché tale accelerazione angolare ha agito sull’albero per un tempo t = 10 secondi, per calcolare la velocità angolare utilizziamo la formula del moto uniformemente accelerato:
ω = ω 0 + α*t = M/I*t.
Qui ω 0 = 0 (l'albero non ha ruotato finché non ha agito il momento della forza M).
Sostituiamo i valori numerici delle quantità nell'uguaglianza e otteniamo:
ω = 1000/50*10 = 200 rad/s.
Per convertire questo numero nelle solite rivoluzioni al secondo, è necessario dividerlo per 2*pi greco. Eseguita questa azione, troviamo che l'albero ruoterà ad una frequenza di 31,8 giri al minuto.
La rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso è un movimento in cui due punti del corpo rimangono immobili durante l'intero tempo del movimento. In questo caso rimangono immobili anche tutti i punti del corpo situati su una linea retta passante per i suoi punti fissi. Questa linea si chiama asse di rotazione del corpo .
Siano stazionari i punti A e B. Dirigiamo l'asse lungo l'asse di rotazione. Attraverso l'asse di rotazione disegniamo un piano stazionario e un piano mobile attaccato ad un corpo rotante (in ).
La posizione dell'aereo e del corpo stesso è determinata dall'angolo diedro tra gli aerei e. Indichiamolo. L'angolo si chiama angolo di rotazione del corpo .
La posizione del corpo rispetto al sistema di riferimento scelto è determinata in modo univoco in qualsiasi momento se viene data l'equazione, dove è qualsiasi funzione del tempo due volte differenziabile. Questa equazione si chiama equazione della rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso .
Un corpo che ruota attorno ad un asse fisso ha un grado di libertà, poiché la sua posizione è determinata specificando un solo parametro: l'angolo.
Un angolo è considerato positivo se è disposto in senso antiorario e negativo nella direzione opposta. Le traiettorie dei punti di un corpo durante la sua rotazione attorno ad un asse fisso sono cerchi situati su piani perpendicolari all'asse di rotazione.
Per caratterizzare il moto rotatorio di un corpo rigido attorno ad un asse fisso, introduciamo i concetti di velocità angolare e accelerazione angolare.
Velocità angolare algebrica di un corpo in qualsiasi momento nel tempo è chiamata derivata prima rispetto al tempo dell'angolo di rotazione in quel momento, cioè.
La velocità angolare è positiva quando il corpo ruota in senso antiorario, poiché l'angolo di rotazione aumenta con il tempo, e negativa quando il corpo ruota in senso orario, poiché l'angolo di rotazione diminuisce.
La dimensione della velocità angolare per definizione:
In ingegneria, la velocità angolare è la velocità di rotazione espressa in giri al minuto. In un minuto il corpo ruoterà di un angolo , dove n è il numero di rivoluzioni al minuto. Dividendo questo angolo per il numero di secondi in un minuto, otteniamo
Accelerazione angolare algebrica del corpo è detta derivata prima rispetto al tempo della velocità angolare, cioè derivata seconda dell'angolo di rotazione, cioè
La dimensione dell'accelerazione angolare per definizione:
Introduciamo i concetti di vettori di velocità angolare e accelerazione angolare di un corpo.
E , dov'è il vettore unitario dell'asse di rotazione. I vettori e possono essere rappresentati in qualsiasi punto dell'asse di rotazione; sono vettori scorrevoli.
La velocità angolare algebrica è la proiezione del vettore velocità angolare sull'asse di rotazione. L'accelerazione angolare algebrica è la proiezione del vettore accelerazione angolare della velocità sull'asse di rotazione.
Se è , allora la velocità angolare algebrica aumenta con il tempo e, quindi, il corpo ruota accelerato in quel momento nella direzione positiva. Le direzioni dei vettori coincidono, sono entrambe dirette nella direzione positiva dell'asse di rotazione.
Quando e il corpo ruota rapidamente nella direzione negativa. Le direzioni dei vettori coincidono, sono entrambe dirette nella direzione negativa dell'asse di rotazione.
