Calcolatore della disuguaglianza razionale. disuguaglianze

E oggi non tutti possono risolvere le disuguaglianze razionali. Più precisamente, non solo tutti possono decidere. Poche persone possono farlo.
Klitschko

Questa lezione sarà dura. Così duro che solo i Prescelti arriveranno alla fine. Pertanto, prima di leggere, consiglio di rimuovere donne, gatti, bambini in gravidanza e ...

Va bene, in realtà è abbastanza semplice. Supponiamo di aver imparato il metodo dell'intervallo (se non lo hai imparato, ti consiglio di tornare indietro e leggerlo) e di aver imparato a risolvere le disuguaglianze della forma $P\left(x \right) \gt 0$, dove $P \left(x \right)$ è un polinomio o prodotto di polinomi.

Credo che non sarà difficile per te risolvere, ad esempio, un gioco del genere (a proposito, provalo per un riscaldamento):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\sinistra(2((x)^(2))-3x-20 \destra)\sinistra(x-1 \destra)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Ora complichiamo un po' il compito e consideriamo non solo i polinomi, ma le cosiddette frazioni razionali della forma:

dove $P\left(x \right)$ e $Q\left(x \right)$ sono gli stessi polinomi della forma $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, o il prodotto di tali polinomi.

Questa sarà una disuguaglianza razionale. Il punto fondamentale è la presenza della variabile $x$ al denominatore. Ad esempio, ecco le disuguaglianze razionali:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\sinistra(7x+1 \destra)\sinistra(11x+2 \destra))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

E questa non è una disuguaglianza razionale, ma la più comune, che viene risolta con il metodo dell'intervallo:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Guardando al futuro, dico subito: ci sono almeno due modi per risolvere le disuguaglianze razionali, ma tutte in un modo o nell'altro si riducono al metodo degli intervalli a noi già noto. Pertanto, prima di analizzare questi metodi, ricordiamo i vecchi fatti, altrimenti non avrà senso dal nuovo materiale.

Quello che devi già sapere

Non ci sono molti fatti importanti. Ne servono davvero solo quattro.

Formule di moltiplicazione abbreviate

Sì, sì: ci perseguiteranno per tutto il curriculum di matematica della scuola. E anche all'università. Ci sono alcune di queste formule, ma abbiamo solo bisogno di quanto segue:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\sinistra(a-b \destra)\sinistra(a+b \destra); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\sinistra(a+b \destra)\sinistra(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\destra); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\sinistra(a-b \destra)\sinistra(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\destra). \\ \fine(allineamento)\]

Presta attenzione alle ultime due formule: questa è la somma e la differenza dei cubi (e non il cubo della somma o della differenza!). Sono facili da ricordare se si nota che il segno nella prima parentesi è lo stesso del segno nell'espressione originale e nella seconda parentesi è opposto al segno nell'espressione originale.

Equazioni lineari

Queste sono le equazioni più semplici della forma $ax+b=0$, dove $a$ e $b$ sono numeri ordinari e $a\ne 0$. Questa equazione è facile da risolvere:

\[\begin(allineamento) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \fine(allineamento)\]

Noto che abbiamo il diritto di dividere per il coefficiente $a$, perché $a\ne 0$. Questo requisito è abbastanza logico, poiché con $a=0$ otteniamo questo:

Innanzitutto, non esiste una variabile $x$ in questa equazione. Questo, in generale, non dovrebbe confonderci (questo accade, diciamo, in geometria, e abbastanza spesso), ma ancora non siamo più un'equazione lineare.

In secondo luogo, la soluzione di questa equazione dipende esclusivamente dal coefficiente $b$. Se anche $b$ è zero, la nostra equazione è $0=0$. Questa uguaglianza è sempre vera; quindi $x$ è qualsiasi numero (di solito scritto come $x\in \mathbb(R)$). Se il coefficiente $b$ non è uguale a zero, allora l'uguaglianza $b=0$ non è mai soddisfatta, cioè nessuna risposta (scrivi $x\in \varnothing $ e leggi "il set di soluzioni è vuoto").

Per evitare tutte queste complessità, assumiamo semplicemente $a\ne 0$, il che non ci impedisce in alcun modo di ulteriori riflessioni.

Equazioni quadratiche

Lascia che ti ricordi che questa è chiamata equazione di secondo grado:

Qui a sinistra c'è un polinomio di secondo grado, e ancora $a\ne 0$ (altrimenti, invece di un'equazione quadratica, otteniamo un'equazione lineare). Le seguenti equazioni vengono risolte attraverso il discriminante:

1. Se $D \gt 0$, otteniamo due radici diverse;
2. Se $D=0$, allora la radice sarà uno, ma della seconda molteplicità (che tipo di molteplicità è e come tenerne conto - ne parleremo più avanti). Oppure possiamo dire che l'equazione ha due radici identiche;
3. Per $D \lt 0$ non ci sono radici e il segno del polinomio $a((x)^(2))+bx+c$ per ogni $x$ coincide con il segno del coefficiente $a $. Questo, tra l'altro, è un fatto molto utile, che per qualche ragione viene dimenticato di essere raccontato nelle lezioni di algebra.

Le radici stesse sono calcolate secondo la famosa formula:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Da qui, tra l'altro, le restrizioni al discriminante. Dopotutto, la radice quadrata di un numero negativo non esiste. Per quanto riguarda le radici, molti studenti hanno un terribile pasticcio in testa, quindi ho registrato appositamente un'intera lezione: cos'è una radice in algebra e come calcolarla - consiglio vivamente di leggerla. :)

Operazioni con frazioni razionali

Tutto ciò che è stato scritto sopra, lo sai già se hai studiato il metodo degli intervalli. Ma ciò che analizzeremo ora non ha analoghi in passato: questo è un fatto completamente nuovo.

Definizione. Una frazione razionale è un'espressione della forma

\[\frac(P\sinistra(x \destra))(Q\sinistra(x \destra))\]

dove $P\left(x \right)$ e $Q\left(x \right)$ sono polinomi.

È ovvio che è facile ottenere una disuguaglianza da una tale frazione: è sufficiente attribuire il segno "maggiore di" o "minore di" a destra. E un po' più avanti scopriremo che risolvere questi problemi è un piacere, lì è tutto molto semplice.

I problemi iniziano quando ci sono diverse frazioni di questo tipo in un'espressione. Devono essere ridotti a un denominatore comune - ed è in questo momento che si commettono un gran numero di errori offensivi.

Pertanto, per risolvere con successo le equazioni razionali, è necessario padroneggiare saldamente due abilità:

1. Fattorizzazione del polinomio $P\left(x \right)$;
2. In realtà, portare le frazioni a un denominatore comune.

Come fattorizzare un polinomio? Molto semplice. Si abbia un polinomio della forma

Parliamo a zero. Otteniamo l'equazione di $n$-esimo grado:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Diciamo che abbiamo risolto questa equazione e ottenuto le radici $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (non preoccuparti: nella maggior parte dei casi non ci saranno più di due di queste radici) . In questo caso, il nostro polinomio originale può essere riscritto in questo modo:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-(x)_( n)) \right) \end(align)\]

È tutto! Nota: il coefficiente principale $((a)_(n))$ non è scomparso da nessuna parte - sarà un fattore separato prima delle parentesi e, se necessario, può essere inserito in una qualsiasi di queste parentesi (esercitazioni che con $((a)_ (n))\ne \pm 1$ ci sono quasi sempre frazioni tra le radici).

Un compito. Semplifica l'espressione:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Soluzione. Per prima cosa, diamo un'occhiata ai denominatori: sono tutti binomi lineari e non c'è nulla da fattorizzare qui. Quindi fattorizziamo i numeratori:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\sinistra(x-\frac(3)(2) \destra)\sinistra(x-1 \destra)=\sinistra(2x- 3\destra)\sinistra(x-1\destra); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\sinistra(x+2 \destra)\sinistra(x-\frac(2)(5) \destra)=\sinistra(x +2 \destra)\sinistra(2-5x \destra). \\\fine(allineamento)\]

Nota: nel secondo polinomio, il coefficiente senior "2", in piena conformità con il nostro schema, è apparso prima davanti alla parentesi, quindi è stato incluso nella prima parentesi, poiché una frazione è uscita lì.

La stessa cosa è successa nel terzo polinomio, solo che lì si confonde anche l'ordine dei termini. Tuttavia, il coefficiente "−5" è finito per essere incluso nella seconda parentesi (ricorda: puoi inserire un fattore in una e solo una parentesi!), che ci ha risparmiato l'inconveniente associato alle radici frazionarie.

Per quanto riguarda il primo polinomio, lì tutto è semplice: le sue radici si cercano o in modo standard attraverso il discriminante, o usando il teorema di Vieta.

Torniamo all'espressione originaria e la riscriviamo con i numeratori scomposti in fattori:

\[\begin(matrice) \frac(\sinistra(x+5 \destra)\sinistra(x-4 \destra))(x-4)-\frac(\sinistra(2x-3 \destra)\sinistra( x-1 \destra))(2x-3)-\frac(\sinistra(x+2 \destra)\sinistra(2-5x \destra))(x+2)= \\ =\sinistra(x+5 \destra)-\sinistra(x-1 \destra)-\sinistra(2-5x \destra)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \fine(matrice)\]

Risposta: $5x+4$.

Come puoi vedere, niente di complicato. Un po' di matematica tra la settima e l'ottava elementare e basta. Il punto di tutte le trasformazioni è trasformare un'espressione complessa e spaventosa in qualcosa di semplice e facile con cui lavorare.

Tuttavia, questo non sarà sempre il caso. Quindi ora prenderemo in considerazione un problema più serio.

Ma prima, scopriamo come portare due frazioni a un denominatore comune. L'algoritmo è estremamente semplice:

1. Fattorizzare entrambi i denominatori;
2. Considera il primo denominatore e aggiungi ad esso i fattori presenti nel secondo denominatore, ma non nel primo. Il prodotto risultante sarà il denominatore comune;
3. Scopri quali fattori mancano a ciascuna delle frazioni originali in modo che i denominatori diventino uguali a quello comune.

Forse questo algoritmo ti sembrerà solo un testo in cui ci sono "molte lettere". Quindi diamo un'occhiata a un esempio specifico.

Un compito. Semplifica l'espressione:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \destra)\]

Soluzione. Tali compiti voluminosi si risolvono meglio in parti. Scriviamo cosa c'è nella prima parentesi:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

A differenza del problema precedente, qui i denominatori non sono così semplici. Fattorizziamo ciascuno di essi.

Il trinomio quadrato $((x)^(2))+2x+4$ non può essere fattorizzato perché l'equazione $((x)^(2))+2x+4=0$ non ha radici (il discriminante è negativo) . Lo lasciamo invariato.

Il secondo denominatore, il polinomio cubico $((x)^(3))-8$, ad un esame più attento è la differenza di cubi e può essere facilmente scomposto usando le formule di moltiplicazione abbreviate:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(((x) ^(2))+2x+4 \destra)\]

Nient'altro può essere scomposto, poiché la prima parentesi contiene un binomio lineare, e la seconda contiene una costruzione a noi già familiare, che non ha vere radici.

Infine, il terzo denominatore è un binomio lineare che non può essere scomposto. Pertanto, la nostra equazione assumerà la forma:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \destra))-\frac(1)(x-2)\]

È abbastanza ovvio che $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ sarà il denominatore comune, e per ridurre ad esso tutte le frazioni, è necessario moltiplicare la prima frazione per $\left(x-2 \right)$ e l'ultima per $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Quindi resta solo da portare quanto segue:

\[\begin(matrice) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ destra))+\frac(((x)^(2))+8)(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(((x)^(2))+2x+4 \destra))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \destra))= \\ =\frac(x\cdot \sinistra(x-2 \destra)+\sinistra(((x)^(2))+8 \destra)-\sinistra(((x )^(2))+2x+4 \destra))(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(((x)^(2))+2x+4 \destra))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra (((x)^(2))+2x+4 \destra))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\sinistra(x-2 \destra)\ sinistra(((x)^(2))+2x+4 \destra)). \\ \fine(matrice)\]

Presta attenzione alla seconda riga: quando il denominatore è già comune, cioè invece di tre frazioni separate, ne abbiamo scritta una grande, non dovresti sbarazzarti immediatamente delle parentesi. È meglio scrivere una riga in più e notare che, ad esempio, c'era un meno prima della terza frazione - e non andrà da nessuna parte, ma si "bloccherà" nel numeratore davanti alla parentesi. Questo ti farà risparmiare molti errori.

Bene, nell'ultima riga è utile fattorizzare il numeratore. Inoltre, questo è un quadrato esatto e le formule di moltiplicazione abbreviate vengono di nuovo in nostro aiuto. Abbiamo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ora affrontiamo la seconda parentesi allo stesso modo. Qui scriverò semplicemente una catena di uguaglianze:

\[\begin(matrice) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))+\frac(2\cdot \sinistra(x+2 \destra))(\sinistra(x-2 \destra) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra) ). \\ \fine(matrice)\]

Torniamo al problema originale e guardiamo il prodotto:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))=\frac(1)(x+2)\]

Risposta: \[\frac(1)(x+2)\].

Il significato di questo problema è lo stesso del precedente: mostrare quanto le espressioni razionali possono essere semplificate se ci si avvicina con saggezza alla loro trasformazione.

E ora, quando saprai tutto questo, passiamo all'argomento principale della lezione di oggi: risolvere le disuguaglianze razionali frazionarie. Inoltre, dopo tale preparazione, le disuguaglianze stesse scatteranno come matti. :)

Il modo principale per risolvere le disuguaglianze razionali

Ci sono almeno due approcci per risolvere le disuguaglianze razionali. Ora ne considereremo uno, quello generalmente accettato nel corso di matematica della scuola.

Ma prima, notiamo un dettaglio importante. Tutte le disuguaglianze sono divise in due tipi:

1. Rigoroso: $f\sinistra(x \destra) \gt 0$ o $f\sinistra(x \destra) \lt 0$;
2. Non restrittivo: $f\sinistra(x \destra)\ge 0$ o $f\sinistra(x \destra)\le 0$.

Le disuguaglianze del secondo tipo si riducono facilmente al primo, così come l'equazione:

Questa piccola "aggiunta" $f\left(x \right)=0$ porta a una cosa spiacevole come i punti pieni: li abbiamo incontrati nel metodo interval. Altrimenti, non ci sono differenze tra disuguaglianze rigorose e non rigorose, quindi analizziamo l'algoritmo universale:

1. Raccogli tutti gli elementi diversi da zero su un lato del segno di disuguaglianza. Ad esempio, a sinistra;
2. Porta tutte le frazioni a un denominatore comune (se ce ne sono diverse di queste frazioni), porta quelle simili. Quindi, se possibile, fattorizzare nel numeratore e denominatore. In un modo o nell'altro, otteniamo una disuguaglianza della forma $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, dove il segno di spunta è il segno di disuguaglianza.
3. Uguaglia il numeratore a zero: $P\left(x \right)=0$. Risolviamo questa equazione e otteniamo le radici $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Quindi richiediamo che il denominatore non fosse uguale a zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Ovviamente, in sostanza, dobbiamo risolvere l'equazione $Q\left(x \right)=0$, e otteniamo le radici $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (nei problemi reali difficilmente ci saranno più di tre di queste radici).
4. Contrassegniamo tutte queste radici (sia con che senza asterischi) su una singola linea numerica e le radici senza stelle vengono dipinte e quelle con le stelle vengono ritagliate.
5. Posizioniamo i segni più e meno, selezioniamo gli intervalli di cui abbiamo bisogno. Se la disuguaglianza ha la forma $f\left(x \right) \gt 0$, la risposta saranno gli intervalli contrassegnati da un "più". Se $f\left(x \right) \lt 0$, allora esaminiamo gli intervalli con "meno".

La pratica mostra che i punti 2 e 4 causano le maggiori difficoltà: trasformazioni competenti e la corretta disposizione dei numeri in ordine crescente. Bene, nell'ultimo passaggio, stai estremamente attento: posizioniamo sempre i segni in base a l'ultima disuguaglianza scritta prima di passare alle equazioni. Questa è una regola universale ereditata dal metodo interval.

Quindi, c'è uno schema. Facciamo un pò di pratica.

Un compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Soluzione. Abbiamo una stretta disuguaglianza nella forma $f\left(x \right) \lt 0$. Ovviamente i punti 1 e 2 del nostro schema sono già stati completati: tutti gli elementi di disuguaglianza sono raccolti a sinistra, nulla deve essere ridotto a un denominatore comune. Passiamo quindi al terzo punto.

Imposta il numeratore a zero:

\[\begin(allinea) & x-3=0; \\ &x=3. \fine(allineamento)\]

E il denominatore:

\[\begin(allinea) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \fine(allineamento)\]

In questo posto molte persone si bloccano, perché in teoria devi scrivere $x+7\ne 0$, come richiesto dall'ODZ (non puoi dividere per zero, tutto qui). Ma dopotutto, in futuro tireremo fuori i punti che provengono dal denominatore, quindi non dovresti complicare ancora una volta i tuoi calcoli: scrivi un segno di uguale ovunque e non preoccuparti. Nessuno detrarrà punti per questo. :)

Quarto punto. Segnaliamo le radici ottenute sulla linea dei numeri:

Tutti i punti sono forati perché la disuguaglianza è rigorosa

Nota: tutti i punti sono forati perché la disuguaglianza originale è rigorosa. E qui non importa più: questi punti provenivano dal numeratore o dal denominatore.

Bene, guarda i segni. Prendi un numero qualsiasi $((x)_(0)) \gt 3$. Ad esempio, $((x)_(0))=100$ (ma avresti potuto anche prendere $((x)_(0))=3.1$ o $((x)_(0)) = 1\000\000$). Noi abbiamo:

Quindi, a destra di tutte le radici abbiamo un'area positiva. E passando per ogni radice, il segno cambia (non sarà sempre così, ma ne parleremo più avanti). Pertanto, procediamo al quinto punto: posizioniamo i segni e scegliamo quello giusto:

Torniamo all'ultima disuguaglianza, che era prima di risolvere le equazioni. In realtà, coincide con quello originale, perché non abbiamo eseguito alcuna trasformazione in questo compito.

Poiché è necessario risolvere una disuguaglianza della forma $f\left(x \right) \lt 0$, ho ombreggiato l'intervallo $x\in \left(-7;3 \right)$ - è l'unico contrassegnato da un segno meno. Questa è la risposta.

Risposta: $x\in \left(-7;3 \right)$

È tutto! È difficile? No, non è difficile. In effetti, è stato un compito facile. Ora complichiamo un po' la missione e consideriamo una disuguaglianza più "fantasiosa". Quando lo risolverò, non fornirò più calcoli così dettagliati: delineerò semplicemente i punti chiave. In generale, lo organizzeremo come lo avremmo fatto su un lavoro o un esame indipendente. :)

Un compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(\sinistra(7x+1 \destra)\sinistra(11x+2 \destra))(13x-4)\ge 0\]

Soluzione. Questa è una disuguaglianza non rigida della forma $f\left(x \right)\ge 0$. Tutti gli elementi diversi da zero sono raccolti a sinistra, denominatori diversi no. Passiamo alle equazioni.

Numeratore:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Freccia destra ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Freccia destra ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \fine(allineamento)\]

Denominatore:

\[\begin(allinea) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \fine(allineamento)\]

Non so che razza di pervertito abbia creato questo problema, ma le radici non sono venute molto bene: sarà difficile disporle su una linea numerica. E se tutto è più o meno chiaro con la radice $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (questo è l'unico numero positivo— sarà sulla destra), quindi $((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ e $((x)_(2))=-(2)/( 11)\ ;$ necessita di ulteriori ricerche: quale è più grande?

Puoi scoprirlo, ad esempio:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=--\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Spero non sia necessario spiegare perché la frazione numerica $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Se necessario, consiglio di ricordare come eseguire azioni con le frazioni.

E segniamo tutte e tre le radici sulla linea dei numeri:

I punti del numeratore sono ombreggiati, dal denominatore sono ritagliati

Mettiamo dei cartelli. Ad esempio, puoi prendere $((x)_(0))=1$ e scoprire il segno a questo punto:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

L'ultima disuguaglianza prima delle equazioni era $f\left(x \right)\ge 0$, quindi siamo interessati al segno più.

Abbiamo due insiemi: uno è un segmento normale e l'altro è un raggio aperto sulla linea dei numeri.

Risposta: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Una nota importante sui numeri che sostituiamo per trovare il segno sull'intervallo più a destra. Non è necessario sostituire un numero vicino alla radice più a destra. Puoi prendere miliardi o addirittura "più-infinito" - in questo caso, il segno del polinomio tra parentesi, numeratore o denominatore è determinato esclusivamente dal segno del coefficiente principale.

Diamo un'altra occhiata alla funzione $f\left(x \right)$ dall'ultima disuguaglianza:

Contiene tre polinomi:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\sinistra(x \destra)=11x+2; \\ & Q\sinistra(x\destra)=13x-4. \fine(allineamento)\]

Sono tutti binomi lineari e tutti hanno coefficienti positivi (numeri 7, 11 e 13). Pertanto, quando si sostituiscono numeri molto grandi, anche i polinomi stessi saranno positivi. :)

Questa regola può sembrare eccessivamente complicata, ma solo all'inizio, quando analizziamo problemi molto facili. In gravi disuguaglianze, la sostituzione "più-infinito" ci permetterà di capire i segni molto più velocemente dello standard $((x)_(0))=100$.

Affronteremo queste sfide molto presto. Ma prima, diamo un'occhiata a un modo alternativo per risolvere le disuguaglianze razionali frazionarie.

Modo alternativo

Questa tecnica mi è stata suggerita da uno dei miei studenti. Io stesso non l'ho mai usato, ma la pratica ha dimostrato che è davvero più conveniente per molti studenti risolvere le disuguaglianze in questo modo.

Quindi, i dati originali sono gli stessi. Dobbiamo risolvere una disuguaglianza razionale frazionaria:

\[\frac(P\sinistra(x \destra))(Q\sinistra(x \destra)) \gt 0\]

Pensiamo: perché il polinomio $Q\left(x \right)$ è "peggiore" del polinomio $P\left(x \right)$? Perché dobbiamo considerare gruppi separati di radici (con e senza un asterisco), pensare a punti perforati, ecc.? È semplice: una frazione ha un dominio di definizione, secondo il quale la frazione ha senso solo quando il suo denominatore è diverso da zero.

Altrimenti non ci sono differenze tra numeratore e denominatore: lo eguagliamo anche a zero, cerchiamo le radici, quindi le segniamo sulla linea dei numeri. Allora perché non sostituire la barra frazionaria (in effetti, il segno di divisione) con la solita moltiplicazione e scrivere tutti i requisiti del DHS come disuguaglianza separata? Ad esempio, in questo modo:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Freccia destra \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Nota: questo approccio ti consentirà di ridurre il problema al metodo degli intervalli, ma non complicherà affatto la soluzione. Dopotutto, comunque, eguaglieremo il polinomio $Q\left(x \right)$ a zero.

Vediamo come funziona su compiti reali.

Un compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Soluzione. Quindi, passiamo al metodo dell'intervallo:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Freccia destra \sinistra\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

La prima disuguaglianza è risolta in modo elementare. Basta impostare ogni parentesi su zero:

\[\begin(allineamento) & x+8=0\Freccia destra ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Freccia destra ((x)_(2))=11. \\ \fine(allineamento)\]

Con la seconda disuguaglianza, anche tutto è semplice:

Contrassegniamo i punti $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$ sulla linea reale. Tutti loro sono forati perché la disuguaglianza è rigorosa:

Il punto giusto si è rivelato essere perforato due volte. Questo va bene.

Presta attenzione al punto $x=11$. Si scopre che è "cancellato due volte": da un lato, lo eliminiamo a causa della gravità della disuguaglianza, dall'altro, a causa del requisito aggiuntivo di ODZ.

In ogni caso, sarà solo un punto bucato. Pertanto, mettiamo i segni per la disuguaglianza $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - l'ultima che abbiamo visto prima di iniziare a risolvere le equazioni:

Siamo interessati alle regioni positive, poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza della forma $f\left(x \right) \gt 0$, e le coloreremo. Resta solo da scrivere la risposta.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Utilizzando questa soluzione come esempio, vorrei mettervi in ​​guardia contro un errore comune tra gli studenti alle prime armi. Vale a dire: mai aprire parentesi nelle disuguaglianze! Al contrario, prova a calcolare tutto: questo semplificherà la soluzione e ti farà risparmiare molti problemi.

Ora proviamo qualcosa di più difficile.

Un compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(\sinistra(2x-13 \destra)\sinistra(12x-9 \destra))(15x+33)\le 0\]

Soluzione. Questa è una disuguaglianza non rigida della forma $f\left(x \right)\le 0$, quindi qui è necessario monitorare attentamente i punti riempiti.

Passiamo al metodo dell'intervallo:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Passiamo all'equazione:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Freccia destra ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Freccia destra ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Freccia destra ((x)_(3))=-2,2. \\ \fine(allineamento)\]

Prendiamo in considerazione il requisito aggiuntivo:

Segniamo tutte le radici ottenute sulla linea dei numeri:

Se un punto è sia perforato che compilato allo stesso tempo, è considerato perforato.

Ancora una volta, due punti si "sovrappongono" l'un l'altro: è normale, sarà sempre così. È solo importante capire che un punto contrassegnato sia come perforato che come compilato è in realtà un punto perforato. Quelli. La "scriccatura" è un'azione più forte del "dipingere".

Questo è assolutamente logico, perché punendo segniamo punti che influiscono sul segno della funzione, ma non partecipano essi stessi alla risposta. E se a un certo punto il numero smette di adattarsi a noi (ad esempio, non rientra nell'ODZ), lo cancelliamo dalla considerazione fino alla fine dell'attività.

In generale, smettila di filosofare. Disponiamo i segni e dipingiamo su quegli intervalli contrassegnati da un segno meno:

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

E ancora una volta volevo attirare la vostra attenzione su questa equazione:

\[\sinistra(2x-13 \destra)\sinistra(12x-9 \destra)\sinistra(15x+33 \destra)=0\]

Ancora una volta: mai aprire parentesi in tali equazioni! Lo stai solo rendendo più difficile per te stesso. Ricorda: il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Di conseguenza, data equazione semplicemente "si sfalda" in molti altri più piccoli, che abbiamo risolto nel problema precedente.

Tenendo conto della molteplicità delle radici

Dai problemi precedenti, è facile vedere che proprio le disuguaglianze non rigorose sono le più difficili, perché in esse devi tenere traccia dei punti riempiti.

Ma c'è un male ancora più grande nel mondo: queste sono radici multiple nelle disuguaglianze. Qui è già necessario seguire non alcuni punti pieni lì - qui il segno di disuguaglianza potrebbe non cambiare improvvisamente quando si passa per questi stessi punti.

Non abbiamo ancora considerato nulla di simile in questa lezione (sebbene un problema simile sia stato spesso riscontrato nel metodo dell'intervallo). Quindi introduciamo una nuova definizione:

Definizione. La radice dell'equazione $((\left(x-a \right))^(n))=0$ è uguale a $x=a$ ed è chiamata radice della $n$esima molteplicità.

In realtà, non siamo particolarmente interessati al valore esatto della molteplicità. L'unica cosa importante è se questo stesso numero $n$ è pari o dispari. Perché:

1. Se $x=a$ è una radice di molteplicità pari, allora il segno della funzione non cambia al suo passaggio;
2. E viceversa, se $x=a$ è una radice di molteplicità dispari, il segno della funzione cambierà.

Un caso speciale di una radice di molteplicità dispari sono tutti i precedenti problemi considerati in questa lezione: lì la molteplicità è uguale a uno ovunque.

E inoltre. Prima di iniziare a risolvere i problemi, vorrei attirare la vostra attenzione su una sottigliezza che sembra ovvia a uno studente esperto, ma che porta molti principianti allo stupore. Vale a dire:

La radice della molteplicità $n$ si verifica solo quando l'intera espressione è elevata a questa potenza: $((\left(x-a \right))^(n))$, e non $\left(((x)^( n) )-a\destra)$.

Ancora una volta: la parentesi $((\left(x-a \right))^(n))$ ci dà la radice $x=a$ della molteplicità $n$, ma la parentesi $\left(((x)^( n)) -a \right)$ o, come spesso accade, $(a-((x)^(n)))$ ci dà una radice (o due radici, se $n$ è pari) della prima molteplicità , non importa cosa sia uguale a $n$.

Confrontare:

\[((\sinistra(x-3 \destra))^(5))=0\Freccia destra x=3\sinistra(5k \destra)\]

Qui tutto è chiaro: l'intera parentesi è stata innalzata alla quinta potenza, quindi all'uscita abbiamo ottenuto la radice del quinto grado. E adesso:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Freccia destra ((x)^(2))=4\Freccia destra x=\pm 2\]

Abbiamo due radici, ma entrambe hanno la prima molteplicità. Oppure eccone un altro:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Freccia destra ((x)^(10))=1024\Freccia destra x=\pm 2\]

E non lasciarti confondere dal decimo grado. La cosa principale è che 10 è un numero pari, quindi abbiamo due radici in uscita, ed entrambi hanno di nuovo la prima molteplicità.

In generale, attenzione: la molteplicità si verifica solo quando il grado si applica all'intera parentesi, non solo alla variabile.

Un compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(((x)^(2))((\sinistra(6-x \destra))^(3))\sinistra(x+4 \destra))(((\sinistra(x+7) \destra))^(5)))\ge 0\]

Soluzione. Proviamo a risolverlo in modo alternativo - attraverso il passaggio dal particolare al prodotto:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\Giusto.\]

Trattiamo la prima disuguaglianza usando il metodo dell'intervallo:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \destra))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Freccia destra x=0\sinistra(2k \destra); \\ & ((\sinistra(6-x \destra))^(3))=0\Freccia destra x=6\sinistra(3k \destra); \\ & x+4=0\Freccia destra x=-4; \\ & ((\sinistra(x+7 \destra))^(5))=0\Freccia destra x=-7\sinistra(5k \destra). \\ \fine(allineamento)\]

Inoltre, risolviamo la seconda disuguaglianza. In effetti, l'abbiamo già risolto, ma affinché i revisori non trovino difetti nella soluzione, è meglio risolverla di nuovo:

\[((\sinistra(x+7 \destra))^(5))\ne 0\Freccia destra x\ne -7\]

Si noti che non ci sono molteplicità nell'ultima disuguaglianza. Infatti: che differenza fa quante volte barrare il punto $x=-7$ sulla retta dei numeri? Almeno una volta, almeno cinque volte - il risultato sarà lo stesso: un punto forato.

Prendiamo nota di tutto ciò che abbiamo ottenuto sulla linea dei numeri:

Come ho detto, il punto $x=-7$ verrà eventualmente eliminato. Le molteplicità sono disposte in base alla soluzione della disuguaglianza con il metodo dell'intervallo.

Resta da posizionare i segni:

Poiché il punto $x=0$ è una radice di molteplicità pari, il segno non cambia quando lo attraversa. I punti rimanenti hanno una molteplicità dispari e tutto è semplice con loro.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Presta nuovamente attenzione a $x=0$. A causa della molteplicità uniforme, sorge un effetto interessante: tutto a sinistra di esso è dipinto, anche a destra, e il punto stesso è completamente dipinto.

Di conseguenza, non è necessario isolarlo durante la registrazione di una risposta. Quelli. non è necessario scrivere qualcosa come $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (sebbene formalmente anche una risposta del genere sarebbe corretta). Invece, scriviamo immediatamente $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Tali effetti sono possibili solo per radici di una molteplicità pari. E nel prossimo compito, incontreremo la "manifestazione" inversa di questo effetto. Pronto?

Un compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(((\sinistra(x-3 \destra))^(4))\sinistra(x-4 \destra))(((\sinistra(x-1 \destra))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Soluzione. Questa volta seguiremo lo schema standard. Imposta il numeratore a zero:

\[\begin(allineamento) & ((\sinistra(x-3 \destra))^(4))\sinistra(x-4 \destra)=0; \\ & ((\sinistra(x-3 \destra))^(4))=0\Freccia destra ((x)_(1))=3\sinistra(4k \destra); \\ & x-4=0\Freccia destra ((x)_(2))=4. \\ \fine(allineamento)\]

E il denominatore:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\sinistra(x-1 \destra))^(2))=0\Freccia destra x_(1)^(*)=1\sinistra(2k \destra); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Freccia destra x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \fine(allineamento)\]

Poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza non rigida della forma $f\left(x \right)\ge 0$, le radici del denominatore (che hanno asterischi) verranno tagliate e quelle del numeratore verranno sovrascritte .

Sistemiamo la segnaletica e accarezziamo le aree contrassegnate da un "più":

Il punto $x=3$ è isolato. Questo fa parte della risposta

Prima di scrivere la risposta finale, dai un'occhiata da vicino all'immagine:

1. Il punto $x=1$ ha una molteplicità pari, ma è esso stesso perforato. Pertanto, dovrà essere isolato nella risposta: devi scrivere $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, e non $x\in \sinistra(-\ infty ;2\destra)$.
2. Anche il punto $x=3$ ha una molteplicità pari ed è ombreggiato. La disposizione dei segni indica che il punto stesso ci si addice, ma un passo a sinistra ea destra - e ci troviamo in un'area che decisamente non ci si addice. Tali punti sono chiamati isolati e sono scritti come $x\in \left\( 3 \right\)$.

Uniamo tutti i pezzi ottenuti in un set comune e scriviamo la risposta.

Risposta: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definizione. Risolvere la disuguaglianza significa trova l'insieme di tutte le sue soluzioni o dimostrare che questo set è vuoto.

Sembrerebbe: cosa può esserci di incomprensibile qui? Sì, il fatto è che gli insiemi possono essere specificati in diversi modi. Riscriviamo la risposta all'ultimo problema:

Leggiamo letteralmente ciò che è scritto. La variabile "x" appartiene ad un certo insieme, che si ottiene dall'unione (simbolo "U") di quattro insiemi separati:

• L'intervallo $\left(-\infty ;1 \right)$, che letteralmente significa "tutti i numeri minori di uno, ma non uno stesso";
• L'intervallo è $\left(1;2 \right)$, ovvero "tutti i numeri compresi tra 1 e 2, ma non i numeri 1 e 2 stessi";
• L'insieme $\left\( 3 \right\)$, costituito da un unico numero - tre;
• L'intervallo $\left[ 4;5 \right)$ contenente tutti i numeri compresi tra 4 e 5, più 4 stesso, ma non 5.

Il terzo punto è interessante qui. A differenza degli intervalli, che definiscono insiemi infiniti di numeri e denotano solo i limiti di questi insiemi, l'insieme $\left\( 3 \right\)$ definisce esattamente un numero per enumerazione.

Per capire che stiamo elencando i numeri specifici inclusi nel set (e non impostando limiti o altro), vengono utilizzate le parentesi graffe. Ad esempio, la notazione $\left\( 1;2 \right\)$ significa esattamente "un insieme composto da due numeri: 1 e 2", ma non un segmento da 1 a 2. In nessun caso non confondere questi concetti .

Regola di addizione della molteplicità

Bene, alla fine della lezione di oggi, una lattina di Pavel Berdov. :)

Gli studenti attenti si sono probabilmente già posti la domanda: cosa accadrà se si trovano le stesse radici nel numeratore e nel denominatore? Quindi funziona la seguente regola:

Si aggiungono molteplicità di radici identiche. È sempre. Anche se questa radice è presente sia al numeratore che al denominatore.

A volte è meglio decidere che parlare. Pertanto, risolviamo il seguente problema:

Un compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \destra))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -quattro. \\ \fine(allineamento)\]

Finora, niente di speciale. Metti a zero il denominatore:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Freccia destra x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Freccia destra x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \fine(allineamento)\]

Si trovano due radici identiche: $((x)_(1))=-2$ e $x_(4)^(*)=-2$. Entrambi hanno la prima molteplicità. Pertanto, li sostituiamo con una radice $x_(4)^(*)=-2$, ma con una molteplicità di 1+1=2.

Inoltre, ci sono anche radici identiche: $((x)_(2))=-4$ e $x_(2)^(*)=-4$. Sono anche della prima molteplicità, quindi rimane solo $x_(2)^(*)=-4$ di molteplicità 1+1=2.

Nota: in entrambi i casi, abbiamo lasciato esattamente la radice "ritagliata" e abbiamo eliminato quella "dipinta" per considerazione. Perché anche all'inizio della lezione eravamo d'accordo: se un punto è sia fustellato che ridipinto allo stesso tempo, allora lo consideriamo comunque cancellato.

Di conseguenza, abbiamo quattro radici e tutte si sono rivelate scavate:

\[\begin(allineamento) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\sinistra(2k \destra); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\sinistra(2k \destra). \\ \fine(allineamento)\]

Li contrassegniamo sulla linea dei numeri, tenendo conto della molteplicità:

Posizioniamo i segni e dipingiamo sopra le aree di nostro interesse:

Tutto quanto. Nessun punto isolato e altre perversioni. Puoi scrivere la risposta.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

regola di moltiplicazione

A volte si verifica una situazione ancora più spiacevole: un'equazione che ha più radici è essa stessa elevata a un certo potere. Questo cambia le molteplicità di tutte le radici originali.

Questo è raro, quindi la maggior parte degli studenti non ha esperienza nella risoluzione di tali problemi. E la regola qui è:

Quando un'equazione è elevata a una potenza $n$, anche la molteplicità di tutte le sue radici aumenta di un fattore di $n$.

In altre parole, l'elevazione a una potenza porta a moltiplicare le molteplicità per la stessa potenza. Prendiamo questa regola come esempio:

Un compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\sinistra(2-x \destra))^(3))((\sinistra(x-1 \destra))^(2)))\le 0\]

Soluzione. Imposta il numeratore a zero:

Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Tutto è chiaro con il primo moltiplicatore: $x=0$. Ed ecco dove iniziano i problemi:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\sinistra(2k \destra); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\sinistra(2k \destra)\sinistra(2k \destra) \ \ & ((x)_(2))=3\sinistra(4k \destra) \\ \end(allineamento)\]

Come puoi vedere, l'equazione $((x)^(2))-6x+9=0$ ha una radice univoca della seconda molteplicità: $x=3$. L'intera equazione è quindi al quadrato. Pertanto, la molteplicità della radice sarà $2\cdot 2=4$, che alla fine abbiamo annotato.

\[((\sinistra(x-4 \destra))^(5))=0\Freccia destra x=4\sinistra(5k \destra)\]

Nessun problema nemmeno con il denominatore:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\sinistra(2-x \destra))^(3))=0\Freccia destra x_(1)^(*)=2\sinistra(3k \destra); \\ & ((\sinistra(x-1 \destra))^(2))=0\Freccia destra x_(2)^(*)=1\sinistra(2k \destra). \\ \fine(allineamento)\]

In totale, abbiamo ottenuto cinque punti: due eliminati e tre riempiti. Non ci sono radici coincidenti nel numeratore e nel denominatore, quindi le segniamo semplicemente sulla linea dei numeri:

Organizziamo i segni tenendo conto delle molteplicità e dipingiamo negli intervalli che ci interessano:

Ancora un punto isolato e uno bucato

A causa delle radici della molteplicità uniforme, abbiamo ricevuto ancora un paio di elementi "non standard". Questo è $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, non $x\in \left[ 0;2 \right)$, e anche un punto isolato $ x\in \sinistra\( 3 \destra\)$.

Risposta. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Come puoi vedere, tutto non è così difficile. La cosa principale è l'attenzione. L'ultima sezione di questa lezione è dedicata alle trasformazioni, proprio quelle di cui abbiamo discusso all'inizio.

Preconversioni

Le disuguaglianze di cui parleremo in questa sezione non sono complesse. Tuttavia, a differenza dei compiti precedenti, qui dovrai applicare le abilità della teoria delle frazioni razionali: fattorizzazione e riduzione a un denominatore comune.

Abbiamo discusso questo problema in dettaglio proprio all'inizio della lezione di oggi. Se non sei sicuro di aver capito di cosa si tratta, ti consiglio vivamente di tornare indietro e ripetere. Perché non ha senso stipare i metodi per risolvere le disuguaglianze se "nuoti" nella conversione delle frazioni.

Nei compiti, tra l'altro, ci saranno anche molti compiti simili. Sono inseriti in una sottosezione separata. E lì troverai esempi molto non banali. Ma questo sarà nei compiti, ma ora analizziamo un paio di queste disuguaglianze.

Un compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Soluzione. Spostando tutto a sinistra:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Riduciamo a un denominatore comune, apriamo le parentesi, diamo termini simili al numeratore:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ destra))(x\cdot \sinistra(x-1 \destra))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\sinistra(x-1 \destra))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Ora abbiamo una classica disuguaglianza razionale frazionaria, la cui soluzione non è più difficile. Propongo di risolverlo con un metodo alternativo - attraverso il metodo degli intervalli:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \fine(allineamento)\]

Non dimenticare il vincolo che deriva dal denominatore:

Contrassegniamo tutti i numeri e le restrizioni sulla linea dei numeri:

Tutte le radici hanno prima molteplicità. Nessun problema. Mettiamo semplicemente i segni e dipingiamo sulle aree di cui abbiamo bisogno:

È tutto. Puoi scrivere la risposta.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Naturalmente, questo era un esempio molto semplice. Quindi ora diamo un'occhiata più da vicino al problema. E a proposito, il livello di questo compito è abbastanza coerente con il lavoro indipendente e di controllo su questo argomento nell'ottavo anno.

Un compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Soluzione. Spostando tutto a sinistra:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Prima di portare entrambe le frazioni a un denominatore comune, scomponiamo questi denominatori in fattori. Improvvisamente usciranno le stesse parentesi? Con il primo denominatore è facile:

\[((x)^(2))+8x-9=\sinistra(x-1 \destra)\sinistra(x+9 \destra)\]

Il secondo è un po' più difficile. Sentiti libero di aggiungere un moltiplicatore costante alla parentesi in cui è stata trovata la frazione. Ricorda: il polinomio originale aveva coefficienti interi, quindi è molto probabile che la fattorizzazione avrà anche coefficienti interi (infatti, lo farà sempre, tranne quando il discriminante è irrazionale).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\sinistra(x-1 \destra)\sinistra(3x-2 \destra) \end(allineamento)\]

Come puoi vedere, esiste una parentesi comune: $\left(x-1 \right)$. Torniamo alla disuguaglianza e portiamo entrambe le frazioni a un denominatore comune:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ sinistra(3x-2\destra))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\sinistra(3x-2 \destra))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\sinistra(x-1 \destra)\sinistra(x+9 \destra)\sinistra(3x-2 \destra))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\sinistra(x-1 \destra)\sinistra(x+9 \destra)\sinistra(3x-2 \destra))\ge 0; \\ \fine(allineamento)\]

Metti a zero il denominatore:

\[\begin(allineamento) & \sinistra(x-1 \destra)\sinistra(x+9 \destra)\sinistra(3x-2 \destra)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( allineare)\]

Nessuna molteplicità e nessuna radice coincidente. Segniamo quattro numeri su una linea retta:

Posizioniamo i segni:

Scriviamo la risposta.

Risposta: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ giusto)$.

Tutto quanto! Così, ho letto fino a questa riga. :)

Risolvere le disuguaglianze online

Prima di risolvere le disuguaglianze, è necessario capire bene come si risolvono le equazioni.

Non importa se la disuguaglianza è rigorosa () o non rigorosa (≤, ≥), il primo passo è risolvere l'equazione sostituendo il segno di disuguaglianza con l'uguaglianza (=).

Spiega cosa significa risolvere una disuguaglianza?

Dopo aver studiato le equazioni, lo studente ha in testa la seguente immagine: è necessario trovare tali valori della variabile per cui entrambe le parti dell'equazione assumono gli stessi valori. In altre parole, trova tutti i punti in cui vale l'uguaglianza. Tutto è corretto!

Quando si parla di disuguaglianze, si intende trovare gli intervalli (segmenti) su cui vale la disuguaglianza. Se ci sono due variabili nella disuguaglianza, la soluzione non saranno più gli intervalli, ma alcune aree del piano. Indovina quale sarà la soluzione della disuguaglianza in tre variabili?

Come risolvere le disuguaglianze?

Il metodo degli intervalli (noto anche come metodo degli intervalli) è considerato un modo universale per risolvere le disuguaglianze, che consiste nel determinare tutti gli intervalli entro i quali verrà soddisfatta la disuguaglianza data.

Senza entrare nel tipo di disuguaglianza, in questo caso non è l'essenza, è necessario risolvere l'equazione corrispondente e determinarne le radici, seguita dalla designazione di queste soluzioni da parte di asse numerico.

Qual è il modo corretto per scrivere la soluzione di una disuguaglianza?

Dopo aver determinato gli intervalli per risolvere la disuguaglianza, è necessario scrivere correttamente la soluzione stessa. C'è una sfumatura importante: i limiti degli intervalli sono inclusi nella soluzione?

Tutto è semplice qui. Se la soluzione dell'equazione soddisfa l'ODZ e la disuguaglianza non è rigorosa, il limite dell'intervallo è incluso nella soluzione della disuguaglianza. Altrimenti no.

Considerando ogni intervallo, la soluzione alla disuguaglianza può essere l'intervallo stesso, o un semiintervallo (quando uno dei suoi limiti soddisfa la disuguaglianza), o un segmento - un intervallo insieme ai suoi confini.

Punto importante

Non pensare che solo intervalli, semiintervalli e segmenti possano essere la soluzione a una disuguaglianza. No, nella soluzione possono essere inseriti anche singoli punti.

Ad esempio, la disuguaglianza |x|≤0 ha una sola soluzione: il punto 0.

E la disuguaglianza |x|

A cosa serve il calcolatore di disuguaglianza?

Il calcolatore della disuguaglianza fornisce la risposta finale corretta. In questo caso, nella maggior parte dei casi, viene fornita un'illustrazione di un asse o piano numerico. Puoi vedere se i limiti degli intervalli sono inclusi nella soluzione o meno: i punti vengono visualizzati pieni o perforati.

Grazie a calcolatrice online disuguaglianze, puoi verificare di aver trovato correttamente le radici dell'equazione, contrassegnarle sull'asse reale e verificato il soddisfacimento della condizione di disuguaglianza sugli intervalli (e sui confini)?

Se la tua risposta è diversa dalla risposta della calcolatrice, devi assolutamente ricontrollare la tua soluzione e identificare l'errore commesso.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi fortemente "non molto..."
E per chi "molto...")

Che cosa "disuguaglianza quadrata"? Non è una domanda!) Se prendi qualunque equazione quadratica e cambiarne il segno "=" (uguale) a qualsiasi icona di disuguaglianza ( > ≥ < ≤ ≠ ), otteniamo una disuguaglianza quadratica. Per esempio:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Bene, hai un'idea...)

Ho collegato consapevolmente equazioni e disuguaglianze qui. Il fatto è che il primo passo per risolvere qualunque disuguaglianza quadrata - risolvere l'equazione da cui è composta questa disuguaglianza. Per questo motivo, l'incapacità di risolvere equazioni quadratiche porta automaticamente a un completo fallimento nelle disuguaglianze. Il suggerimento è chiaro?) Semmai, guarda come risolvere le equazioni quadratiche. Tutto è dettagliato lì. E in questa lezione ci occuperemo delle disuguaglianze.

La disuguaglianza pronta per la soluzione ha la forma: sinistra - trinomio quadrato ascia 2 +bx+c, a destra - zero. Il segno di disuguaglianza può essere assolutamente qualsiasi cosa. I primi due esempi sono qui sono pronti per una decisione. Il terzo esempio deve ancora essere preparato.

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Ad esempio, l'espressione \(x>5\) è una disuguaglianza.

Tipi di disuguaglianze:

Se \(a\) e \(b\) sono numeri o , viene chiamata la disuguaglianza numerico. In realtà, questo è solo un confronto di due numeri. Queste disuguaglianze sono suddivise in fedele e infedele.

Per esempio:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) è una disuguaglianza numerica non valida perché \(17+3=20\) e \(20\) è minore di \(115\) (non maggiore o uguale a).

Se \(a\) e \(b\) sono espressioni contenenti una variabile, allora abbiamo disuguaglianza con variabile. Tali disuguaglianze sono divise in tipi a seconda del contenuto:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabile solo alla prima potenza
\(3x^2-x+5>0\)				C'è una variabile nella seconda potenza (quadrato), ma nessuna potenza superiore (terza, quarta, ecc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... e così via.

Qual è una soluzione a una disuguaglianza?

Se nella disuguaglianza viene sostituito un numero anziché una variabile, si trasformerà in uno numerico.

Se il valore dato per x rende la disuguaglianza originale vera numerica, allora viene chiamata risolvere la disuguaglianza. In caso contrario, questo valore non è una soluzione. E a risolvere la disuguaglianza- devi trovare tutte le sue soluzioni (o dimostrare che non esistono).

Per esempio, se siamo nella disuguaglianza lineare \(x+6>10\), sostituiamo il numero \(7\) invece di x, otteniamo la disuguaglianza numerica corretta: \(13>10\). E se sostituiamo \(2\), ci sarà una disuguaglianza numerica errata \(8>10\). Cioè, \(7\) è una soluzione alla disuguaglianza originale, ma \(2\) non lo è.

Tuttavia, la disuguaglianza \(x+6>10\) ha altre soluzioni. In effetti, otterremo le disuguaglianze numeriche corrette sostituendo e \(5\), e \(12\) e \(138\) ... E come possiamo trovare tutte le possibili soluzioni? Per fare ciò, usa Per il nostro caso, abbiamo:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Cioè, possiamo usare qualsiasi numero maggiore di quattro. Ora dobbiamo scrivere la risposta. Le soluzioni alle disuguaglianze, di regola, vengono scritte numericamente, contrassegnandole inoltre sull'asse numerico con il tratteggio. Per il nostro caso abbiamo:

Risposta: \(x\in(4;+\infty)\)

Quando cambia il segno in una disuguaglianza?

C'è una grande trappola nelle disuguaglianze, in cui agli studenti "piace davvero" cadere:

Quando si moltiplica (o si divide) la disuguaglianza per un numero negativo, viene invertita ("maggiore di" per "minore", "maggiore o uguale a" per "minore o uguale a" e così via)

Perché sta succedendo? Per capirlo, osserviamo le trasformazioni della disuguaglianza numerica \(3>1\). È corretto, il triplo è davvero più di uno. Per prima cosa, proviamo a moltiplicarlo per qualsiasi numero positivo, ad esempio due:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Come puoi vedere, dopo la moltiplicazione, la disuguaglianza rimane vera. E non importa quale numero positivo moltiplichiamo, otterremo sempre la disuguaglianza corretta. E ora proviamo a moltiplicare per un numero negativo, ad esempio meno tre:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Si è rivelata una disuguaglianza errata, perché meno nove è meno di meno tre! Cioè, affinché la disuguaglianza diventi vera (il che significa che la trasformazione della moltiplicazione per un negativo era "legale"), devi capovolgere il segno di confronto, in questo modo: \(−9<− 3\).
Con la divisione, andrà a finire allo stesso modo, puoi verificarlo tu stesso.

La regola scritta sopra si applica a tutti i tipi di disuguaglianze, e non solo a quelle numeriche.

Esempio: Risolvi la disuguaglianza \(2(x+1)-1<7+8x\)
Soluzione:

\(2x+2-1<7+8x\)	Spostiamo \(8x\) a sinistra e \(2\) e \(-1\) a destra, senza dimenticare di cambiare i segni
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Dividi entrambi i lati della disuguaglianza per \(-6\), senza dimenticare di passare da "minore" a "maggiore"
	Segniamo un intervallo numerico sull'asse. Disuguaglianza, quindi il valore \(-1\) è "punzonato" e non lo prendiamo in risposta
	Scriviamo la risposta come un intervallo

Risposta: \(x\in(-1;\infty)\)

Disuguaglianze e DHS

Le disuguaglianze, così come le equazioni, possono avere restrizioni su , cioè sui valori di x. Di conseguenza, quei valori che sono inaccettabili secondo l'ODZ dovrebbero essere esclusi dall'intervallo di soluzione.

Esempio: Risolvi la disuguaglianza \(\sqrt(x+1)<3\)

Soluzione: È chiaro che affinché il lato sinistro sia minore di \(3\), l'espressione radice deve essere minore di \(9\) (dopo tutto, da \(9\) solo \(3\)). Noi abbiamo:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Tutto? Qualsiasi valore di x inferiore a \(8\) ci andrà bene? Non! Perché se prendiamo, ad esempio, il valore \(-5\) che sembra soddisfare il requisito, non sarà una soluzione alla disuguaglianza originale, poiché ci porterà a calcolare la radice di un numero negativo.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Pertanto, dobbiamo anche tenere conto delle restrizioni sui valori ​​di x: non può essere tale che ci sia un numero negativo sotto la radice. Quindi, abbiamo il secondo requisito per x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

E affinché x sia una soluzione finale, deve soddisfare entrambi i requisiti contemporaneamente: deve essere minore di \(8\) (per essere una soluzione) e maggiore di \(-1\) (per essere valido in linea di principio). Tracciando sulla linea dei numeri, abbiamo la risposta finale:

Risposta: \(\sinistra[-1;8\destra)\)

La forma ax 2 + bx + 0 0, dove (invece del segno > può, ovviamente, esserci qualsiasi altro segno di disuguaglianza). Abbiamo tutti i fatti della teoria necessari per risolvere tali disuguaglianze, che verificheremo ora.

Esempio 1. Risolvi la disuguaglianza:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Soluzione,

a) Considera la parabola y \u003d x 2 - 2x - 3 mostrata in fig. 117.

Risolvere la disuguaglianza x 2 - 2x - 3 > 0 - significa rispondere alla domanda, per cui i valori di x le ordinate dei punti della parabola sono positivi.

Notiamo che y > 0, cioè il grafico della funzione si trova sopra l'asse x, in x< -1 или при х > 3.

Quindi, le soluzioni della disuguaglianza sono tutti punti aperti trave(- 00 , - 1), così come tutti i punti della trave aperta (3, +00).

Usando il segno U (il segno dell'unione degli insiemi), la risposta può essere scritta come segue: (-00 , - 1) U (3, +00). Tuttavia, la risposta può anche essere scritta in questo modo:< - 1; х > 3.

b) Disuguaglianza x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: orario situato sotto l'asse x se -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) La disuguaglianza x 2 - 2x - 3 > 0 differisce dalla disuguaglianza x 2 - 2x - 3 > 0 in quanto la risposta deve includere anche le radici dell'equazione x 2 - 2x - 3 = 0, ovvero punti x = - 1

e x \u003d 3. Pertanto, le soluzioni di questa disuguaglianza non rigorosa sono tutti i punti della trave (-00, - 1], nonché tutti i punti della trave.

I matematici pratici di solito dicono questo: perché noi, risolvendo la disuguaglianza ax 2 + bx + c > 0, costruiamo con cura un grafico a parabola di una funzione quadratica

y \u003d ax 2 + bx + c (come è stato fatto nell'esempio 1)? Basta fare uno schizzo schematico del grafico, per il quale devi solo trovare radici trinomio quadrato (il punto di intersezione della parabola con l'asse x) e determinare dove sono diretti i rami della parabola - verso l'alto o verso il basso. Questo schizzo schematico darà un'interpretazione visiva della soluzione della disuguaglianza.

Esempio 2 Risolvi la disuguaglianza - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Soluzione.

1) Trova le radici del trinomio quadrato - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1.5.

2) La parabola, che funge da grafico della funzione y \u003d -2x 2 + Zx + 9, interseca l'asse x nei punti 3 e - 1,5 e i rami della parabola sono diretti verso il basso, poiché il più vecchio coefficiente- numero negativo - 2. In fig. 118 è uno schizzo di un grafico.

3) Utilizzando la fig. 118, concludiamo:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Risposta: x< -1,5; х > 3.

Esempio 3 Risolvi la disuguaglianza 4x 2 - 4x + 1< 0.
Soluzione.

1) Dall'equazione 4x 2 - 4x + 1 = 0 troviamo.

2) Il trinomio quadrato ha una radice; ciò significa che la parabola che funge da grafico di un trinomio quadrato non interseca l'asse x, ma lo tocca nel punto. I rami della parabola sono diretti verso l'alto (Fig. 119.)

3) Utilizzando il modello geometrico mostrato in fig. 119, stabiliamo che la disuguaglianza specificata è soddisfatta solo nel punto, poiché per tutti gli altri valori di x le ordinate del grafico sono positive.
Risposta: .
Probabilmente avrai notato che in effetti, negli esempi 1, 2, 3, è ben definito algoritmo risolvendo le disuguaglianze quadratiche, lo formalizziamo.

L'algoritmo per risolvere la disuguaglianza quadratica ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Il primo passo di questo algoritmo è trovare le radici di un trinomio quadrato. Ma le radici potrebbero non esistere, quindi cosa fare? Quindi l'algoritmo è inapplicabile, il che significa che è necessario ragionare diversamente. La chiave di queste argomentazioni è data dai seguenti teoremi.

In altre parole, se D< 0, а >0, allora la disuguaglianza ax 2 + bx + c > 0 è soddisfatta per ogni x; al contrario, la disuguaglianza ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Prova. orario funzioni y \u003d ax 2 + bx + c è una parabola i cui rami sono diretti verso l'alto (poiché a > 0) e che non interseca l'asse x, poiché il trinomio quadrato non ha radici per condizione. Il grafico è mostrato in fig. 120. Vediamo che per ogni x il grafico si trova sopra l'asse x, il che significa che per ogni x è soddisfatta la disuguaglianza ax 2 + bx + c > 0, che doveva essere dimostrata.

In altre parole, se D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 non ha soluzioni.

Prova. Il grafico della funzione y \u003d ax 2 + bx + c è una parabola, i cui rami sono diretti verso il basso (poiché a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Esempio 4. Risolvi la disuguaglianza:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Trova il discriminante del trinomio quadrato 2x 2 - x + 4. Abbiamo D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Il coefficiente senior del trinomio (numero 2) è positivo.

Quindi, per il Teorema 1, per ogni x, la disuguaglianza 2x 2 - x + 4 > 0 è soddisfatta, cioè la soluzione della disuguaglianza data è l'intero (-00, + 00).

b) Trova il discriminante del trinomio quadrato - x 2 + Zx - 8. Abbiamo D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Risposta: a) (-00, + 00); b) non ci sono soluzioni.

Nell'esempio seguente, conosceremo un altro modo di ragionare, che viene utilizzato per risolvere le disuguaglianze quadratiche.

Esempio 5 Risolvi la disuguaglianza 3x 2 - 10x + 3< 0.
Soluzione. Decomponiamo trinomio quadrato 3x 2 - 10x + 3 per i moltiplicatori. Le radici del trinomio sono i numeri 3 e, quindi, usando ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), otteniamo Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Notiamo sulla linea dei numeri le radici del trinomio: 3 e (Fig. 122).

Sia x > 3; allora x-3>0 e x->0, e quindi il prodotto 3(x - 3)(x - ) è positivo. Avanti, lascia< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Pertanto, il prodotto 3(x-3)(x-) è negativo. Infine, sia x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) è positivo.

Riassumendo il ragionamento, arriviamo alla conclusione: i segni del trinomio quadrato Zx 2 - 10x + 3 cambiano come mostrato in Fig. 122. Ci interessa per cosa x il trinomio quadrato assume valori negativi. Dalla fig. 122 concludiamo: il trinomio quadrato 3x 2 - 10x + 3 assume valori negativi per qualsiasi valore di x dall'intervallo (, 3)
Risposta (, 3) o< х < 3.

Commento. Il metodo di ragionamento che abbiamo applicato nell'Esempio 5 è solitamente chiamato metodo degli intervalli (o metodo degli intervalli). Viene utilizzato attivamente in matematica per risolvere razionale disuguaglianze. In 9a elementare, studieremo il metodo dell'intervallo in modo più dettagliato.

Esempio 6. A quali valori del parametro p è l'equazione quadratica x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) ha due radici diverse;

b) ha una radice;

c) non ha radici?

Soluzione. Il numero di radici di un'equazione quadratica dipende dal segno del suo discriminante D. In questo caso troviamo D \u003d 25 - 4p 2.

a) Un'equazione quadratica ha due radici diverse, se D> 0, allora il problema si riduce a risolvere la disuguaglianza 25 - 4p 2 > 0. Moltiplichiamo entrambe le parti di questa disuguaglianza per -1 (ricordando di cambiare il segno di disuguaglianza). Otteniamo una disuguaglianza equivalente 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

I segni dell'espressione 4(p - 2.5) (p + 2.5) sono mostrati in fig. 123.

Concludiamo che la disuguaglianza 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) equazione quadrata ha una radice se D è 0.
Come abbiamo detto sopra, D = 0 a p = 2,5 o p = -2,5.

È per questi valori del parametro p che questa equazione quadratica ha solo una radice.

c) Un'equazione quadratica non ha radici se D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Otteniamo 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5) (p + 2.5)> 0, da cui (vedi Fig. 123) p< -2,5; р >2.5. Per questi valori del parametro p, questa equazione quadratica non ha radici.

Risposta: a) in p (-2,5, 2,5);

b) a p = 2,5 o p = -2,5;
c) alla r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A.G., Algebra. Grado 8: Proc. per l'istruzione generale istituzioni - 3a ed., finalizzata. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

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