Probabilità e statistica sono fatti fondamentali. Aspettativa e varianza di una variabile casuale Aspettativa di una variabile casuale x
Ci saranno anche compiti per decisione indipendente, a cui puoi vedere le risposte.
Aspettativa e la varianza sono le caratteristiche numeriche più comunemente utilizzate di una variabile casuale. Caratterizzano le caratteristiche più importanti della distribuzione: la sua posizione e il grado di dispersione. Il valore atteso è spesso chiamato semplicemente media. variabile casuale. Dispersione di una variabile casuale - caratteristica della dispersione, diffusione di una variabile casuale sulla sua aspettativa matematica.
In molti problemi pratici, una caratteristica completa ed esaustiva di una variabile casuale - la legge di distribuzione - non può essere ottenuta o non è affatto necessaria. In questi casi ci si limita ad una descrizione approssimativa di una variabile casuale utilizzando caratteristiche numeriche.
Aspettativa di una variabile casuale discreta
Veniamo al concetto di aspettativa matematica. Lascia che la massa di una sostanza sia distribuita tra i punti dell'asse x X1 , X 2 , ..., X N. Inoltre, ogni punto materiale ha una massa corrispondente con una probabilità di P1 , P 2 , ..., P N. È necessario selezionare un punto sull'asse delle ascisse, che caratterizza la posizione dell'intero sistema punti materiali, tenendo conto delle loro masse. È naturale considerare come tale il centro di massa del sistema di punti materiali. Questa è la media ponderata della variabile casuale X, a cui l'ascissa di ciascun punto Xio entra con un “peso” pari alla probabilità corrispondente. Il valore medio della variabile casuale ottenuto in questo modo Xè detta aspettativa matematica.
L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle probabilità di questi valori:
Esempio 1.È stata organizzata una lotteria vantaggiosa per tutti. Ci sono 1000 vincite, di cui 400 sono 10 rubli. 300 - 20 rubli ciascuno. 200 - 100 rubli ciascuno. e 100-200 rubli ciascuno. Qual è la vincita media per chi acquista un biglietto?
Soluzione. Troveremo la vincita media se dividiamo l'importo totale delle vincite, ovvero 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubli, per 1000 (importo totale delle vincite). Quindi otteniamo 50000/1000 = 50 rubli. Ma l'espressione per calcolare la vincita media può essere presentata nella forma seguente:
D'altra parte, in queste condizioni, l'importo della vincita è una variabile casuale, che può assumere valori di 10, 20, 100 e 200 rubli. con probabilità pari rispettivamente a 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Pertanto, il profitto medio atteso pari alla somma prodotti dell'entità delle vincite e della probabilità di riceverle.
Esempio 2. L'editore ha deciso di pubblicare nuovo libro. Ha intenzione di vendere il libro per 280 rubli, di cui lui stesso ne riceverà 200, 50 alla libreria e 30 all'autore. La tabella fornisce informazioni sui costi di pubblicazione di un libro e sulla probabilità di vendere un certo numero di copie del libro.
Trova il profitto atteso dell'editore.
Soluzione. La variabile casuale “profitto” è pari alla differenza tra il ricavo delle vendite e il costo dei costi. Ad esempio, se vengono vendute 500 copie di un libro, il reddito derivante dalla vendita sarà 200 * 500 = 100.000 e il costo di pubblicazione sarà di 225.000 rubli. Pertanto, l'editore subisce una perdita di 125.000 rubli. La tabella seguente riassume i valori attesi della variabile casuale - profitto:
| Numero | Profitto Xio | Probabilità Pio | Xio P io |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Totale: | 1,00 | 25000 |
Pertanto, otteniamo l’aspettativa matematica del profitto dell’editore:
.
Esempio 3. Probabilità di colpire con un colpo P= 0,2. Determinare il consumo di proiettili che forniscono un'aspettativa matematica del numero di colpi pari a 5.
Soluzione. Dalla stessa formula matematica dell'aspettativa che abbiamo usato finora, esprimiamo X- consumo del guscio:
.
Esempio 4. Determinare l'aspettativa matematica di una variabile casuale X numero di colpi con tre colpi, se la probabilità di un colpo con ogni colpo P = 0,4 .
Suggerimento: trova la probabilità di valori di variabili casuali in base a La formula di Bernoulli .
Proprietà dell'aspettativa matematica
Consideriamo le proprietà dell'aspettativa matematica.
Proprietà 1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale a questa costante:
Proprietà 2. Il fattore costante può essere estratto dal segno dell'aspettativa matematica:
Proprietà 3. L'aspettativa matematica della somma (differenza) delle variabili casuali è uguale alla somma (differenza) delle loro aspettative matematiche:
Proprietà 4. L'aspettativa matematica di un prodotto di variabili casuali è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:
Proprietà 5. Se tutti i valori di una variabile casuale X diminuire (aumentare) dello stesso numero CON, allora la sua aspettativa matematica diminuirà (aumenterà) dello stesso numero:
Quando non puoi limitarti solo alle aspettative matematiche
Nella maggior parte dei casi, solo l'aspettativa matematica non può caratterizzare sufficientemente una variabile casuale.
Consideriamo le variabili casuali X E Y sono dati dalle seguenti leggi di distribuzione:
| Senso X | Probabilità |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Senso Y | Probabilità |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Le aspettative matematiche di queste quantità sono le stesse - pari a zero:
Tuttavia, i loro modelli di distribuzione sono diversi. Variabile casuale X può assumere solo valori che differiscono poco dall'aspettativa matematica e dalla variabile casuale Y può assumere valori che si discostano significativamente dall'aspettativa matematica. Un esempio simile: il salario medio non consente di giudicare la quota di lavoratori alto e basso retribuiti. In altre parole, non si può giudicare dalle aspettative matematiche quali deviazioni da esse, almeno in media, siano possibili. Per fare ciò, devi trovare la varianza della variabile casuale.
Varianza di una variabile casuale discreta
Varianza variabile casuale discreta Xè chiamata aspettativa matematica del quadrato della sua deviazione dall'aspettativa matematica:
La deviazione standard di una variabile casuale X il valore aritmetico della radice quadrata della sua varianza si chiama:
.
Esempio 5. Calcolare varianze e deviazioni standard di variabili casuali X E Y, le cui leggi di distribuzione sono riportate nelle tabelle sopra.
Soluzione. Aspettative matematiche delle variabili casuali X E Y, come sopra riscontrato, sono pari a zero. Secondo la formula di dispersione a E(X)=E(sì)=0 otteniamo:
Quindi le deviazioni standard delle variabili casuali X E Y trucco
.
Quindi, con le stesse aspettative matematiche, la varianza della variabile casuale X molto piccola, ma una variabile casuale Y- significativo. Questa è una conseguenza delle differenze nella loro distribuzione.
Esempio 6. L'investitore ne ha 4 progetto alternativo investimenti. La tabella riassume il profitto atteso in questi progetti con la corrispondente probabilità.
| Progetto 1 | Progetto 2 | Progetto 3 | Progetto 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Trova per ciascuna alternativa l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard.
Soluzione. Mostriamo come vengono calcolati questi valori per la 3a alternativa:
La tabella riassume i valori trovati per tutte le alternative.
Tutte le alternative hanno le stesse aspettative matematiche. Ciò significa che nel lungo periodo tutti hanno lo stesso reddito. La deviazione standard può essere interpretata come una misura del rischio: più è alta, maggiore è il rischio dell'investimento. Un investitore che non vuole rischiare molto sceglierà il progetto 1 poiché ha la deviazione standard più piccola (0). Se l'investitore preferisce il rischio e rendimenti elevati in un breve periodo, sceglierà il progetto con la deviazione standard maggiore: progetto 4.
Proprietà di dispersione
Presentiamo le proprietà della dispersione.
Proprietà 1. La varianza di un valore costante è zero:
Proprietà 2. Il fattore costante può essere eliminato dal segno di dispersione elevandolo al quadrato:
.
Proprietà 3. La varianza di una variabile casuale è pari all'aspettativa matematica del quadrato di tale valore, da cui viene sottratto il quadrato dell'aspettativa matematica del valore stesso:
,
Dove 
.
Proprietà 4. La varianza della somma (differenza) delle variabili casuali è uguale alla somma (differenza) delle loro varianze:
Esempio 7.È noto che una variabile casuale discreta X assume solo due valori: −3 e 7. Inoltre, l'aspettativa matematica è nota: E(X) = 4 . Trova la varianza di una variabile casuale discreta.
Soluzione. Indichiamo con P la probabilità con cui una variabile casuale assume un valore X1 = −3 . Quindi la probabilità del valore X2 = 7 sarà 1 − P. Deriviamo l'equazione per l'aspettativa matematica:
E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,
dove otteniamo le probabilità: P= 0,3 e 1 − P = 0,7 .
Legge di distribuzione di una variabile casuale:
| X | −3 | 7 |
| P | 0,3 | 0,7 |
Calcoliamo la varianza di questa variabile casuale utilizzando la formula della proprietà 3 della dispersione:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Trova tu stesso l'aspettativa matematica di una variabile casuale e poi guarda la soluzione
Esempio 8. Variabile casuale discreta X assume solo due valori. Accetta il maggiore dei valori 3 con probabilità 0,4. Inoltre, è nota la varianza della variabile casuale D(X) = 6 . Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale.
Esempio 9. In un'urna ci sono 6 palline bianche e 4 nere. Dall'urna si estraggono 3 palline. Il numero di palline bianche tra quelle estratte è una variabile casuale discreta X. Trova l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale.
Soluzione. Variabile casuale X può assumere valori 0, 1, 2, 3. Le probabilità corrispondenti possono essere calcolate da regola della moltiplicazione delle probabilità. Legge di distribuzione di una variabile casuale:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Da qui l'aspettativa matematica di questa variabile casuale:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
La varianza di una determinata variabile casuale è:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Aspettativa e varianza di una variabile casuale continua
Per una variabile casuale continua, l'interpretazione meccanica dell'aspettativa matematica manterrà lo stesso significato: il centro di massa per un'unità di massa distribuita continuamente sull'asse x con densità F(X). A differenza di una variabile casuale discreta, il cui argomento della funzione Xio cambia bruscamente; per una variabile casuale continua, l'argomento cambia continuamente. Ma l’aspettativa matematica di una variabile casuale continua è legata anche al suo valore medio.
Per trovare l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale continua, è necessario trovare integrali definiti . Se viene data la funzione di densità di una variabile casuale continua, allora entra direttamente nell'integrando. Se viene fornita una funzione di distribuzione della probabilità, differenziandola è necessario trovare la funzione di densità.
La media aritmetica di tutti i possibili valori di una variabile casuale continua è chiamata sua aspettativa matematica, indicato con o .
Caratteristiche dei DSV e loro proprietà. Aspettativa, varianza, deviazione standard
La legge di distribuzione caratterizza pienamente la variabile casuale. Tuttavia, quando è impossibile trovare la legge di distribuzione, o ciò non è richiesto, ci si può limitare a trovare valori chiamati caratteristiche numeriche di una variabile casuale. Questi valori determinano un valore medio attorno al quale sono raggruppati i valori della variabile casuale e il grado in cui sono sparsi attorno a questo valore medio.
Aspettativa matematica Una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i possibili valori della variabile casuale e delle loro probabilità.
L'aspettativa matematica esiste se la serie a destra dell'uguaglianza converge assolutamente.
Dal punto di vista della probabilità, possiamo dire che l'aspettativa matematica è approssimativamente uguale alla media aritmetica dei valori osservati della variabile casuale.
Esempio. La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è nota. Trova l'aspettativa matematica.
| X | ||||
| P | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Soluzione:
9.2 Proprietà dell'aspettativa matematica
1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa.
2. Il fattore costante può essere eliminato come segno dell'aspettativa matematica.
3. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.
Questa proprietà è vera per un numero arbitrario di variabili casuali.
4. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini.
Questa proprietà è vera anche per un numero arbitrario di variabili casuali.
Si effettuino n prove indipendenti, la probabilità che si verifichi l'evento A in cui è pari a p.
Teorema. L'aspettativa matematica M(X) del numero di occorrenze dell'evento A in n prove indipendenti è pari al prodotto del numero di prove e della probabilità del verificarsi dell'evento in ciascuna prova.
Esempio. Trova l'aspettativa matematica della variabile casuale Z se le aspettative matematiche di X e Y sono note: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Soluzione:
9.3 Dispersione di una variabile casuale discreta
Tuttavia, l’aspettativa matematica non può caratterizzare pienamente il processo casuale. Oltre all'aspettativa matematica, è necessario inserire un valore che caratterizzi la deviazione dei valori della variabile casuale dall'aspettativa matematica.
Questa deviazione è uguale alla differenza tra la variabile casuale e la sua aspettativa matematica. In questo caso, l'aspettativa matematica della deviazione è zero. Ciò è spiegato dal fatto che alcune possibili deviazioni sono positive, altre sono negative e, come risultato della loro reciproca cancellazione, si ottiene zero.
Dispersione (scattering) di una variabile casuale discreta è l'aspettativa matematica della deviazione al quadrato della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica.
In pratica, questo metodo di calcolo della varianza è scomodo, perché porta a calcoli complicati per un gran numero di valori di variabili casuali.
Pertanto, viene utilizzato un altro metodo.
Teorema. La varianza è uguale alla differenza tra l'aspettativa matematica del quadrato della variabile casuale X e il quadrato della sua aspettativa matematica.
Prova. Tenendo conto del fatto che il valore atteso matematico M(X) e il quadrato del valore atteso matematico M2(X) sono quantità costanti, possiamo scrivere:
Esempio. Trova la varianza di una variabile casuale discreta data dalla legge di distribuzione.
| X | ||||
| X2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Soluzione: .
9.4 Proprietà di dispersione
1. La varianza di un valore costante è zero. .
2. Il fattore costante può essere eliminato dal segno di dispersione elevandolo al quadrato. .
3. La varianza della somma di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili. .
4. La varianza della differenza tra due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili. .
Teorema. La varianza del numero di occorrenze dell'evento A in n prove indipendenti, in ciascuna delle quali la probabilità p del verificarsi dell'evento è costante, è pari al prodotto del numero di prove per le probabilità di accadimento e non- verificarsi dell'evento in ciascuna prova.
9.5 Deviazione standard di una variabile casuale discreta
Deviazione standard la variabile casuale X è detta radice quadrata della varianza.
Teorema. La deviazione standard della somma di un numero finito di variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale a radice quadrata dalla somma dei quadrati delle deviazioni standard di queste quantità.
La legge di distribuzione caratterizza pienamente la variabile casuale. Spesso però la legge di distribuzione è sconosciuta e ci si deve limitare a meno informazioni. A volte è ancora più vantaggioso utilizzare numeri che descrivono una variabile casuale in totale; caratteristiche numeriche variabile casuale. Una delle caratteristiche numeriche importanti è l'aspettativa matematica.
L'aspettativa matematica, come verrà mostrato di seguito, è approssimativamente uguale al valore medio della variabile casuale. Per risolvere molti problemi è sufficiente conoscere le aspettative matematiche. Ad esempio, se è noto che l'aspettativa matematica del numero di punti segnati dal primo tiratore è maggiore di quella del secondo, allora il primo tiratore, in media, segna più punti del secondo e, quindi, tira meglio rispetto al secondo.
Definizione4.1: Aspettativa matematica Una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle loro probabilità.
Consideriamo la variabile casuale X può assumere solo valori x 1, x 2, … x n, le cui probabilità sono rispettivamente uguali p 1, p 2, … p n. Poi l'aspettativa matematica M(X) variabile casuale Xè determinato dall'uguaglianza
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Se una variabile casuale discreta X accetta un insieme numerabile di possibili valori, quindi
,
Inoltre, l'aspettativa matematica esiste se la serie a destra dell'uguaglianza converge assolutamente.
Esempio. Trova l'aspettativa matematica del numero di occorrenze di un evento UN in una prova, se la probabilità dell'evento UN uguale a P.
Soluzione: Variabile casuale X– numero di occorrenze dell'evento UN ha una distribuzione di Bernoulli, quindi
Così, l'aspettativa matematica del numero di occorrenze di un evento in una prova è uguale alla probabilità di questo evento.
Significato probabilistico dell'aspettativa matematica
Lascia che sia prodotto N test in cui la variabile casuale X accettato m1 valore volte x1, m2 valore volte x2 ,…, m k valore volte xk, E m1 + m2 + …+ mk = n. Quindi la somma di tutti i valori presi X, è uguale x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
La media aritmetica di tutti i valori assunti dalla variabile casuale sarà
Atteggiamento m i/n- frequenza relativa W i valori x io approssimativamente uguale alla probabilità che l’evento si verifichi p i, Dove , Ecco perché
Il significato probabilistico del risultato ottenuto è il seguente: l'aspettativa matematica è approssimativamente uguale(più accurato, maggiore è il numero di test) media aritmetica dei valori osservati di una variabile casuale.
Proprietà dell'aspettativa matematica
Proprietà1:L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa
Proprietà2:Il fattore costante può essere portato oltre il segno dell'aspettativa matematica
Definizione4.2: Due variabili casuali sono chiamati indipendente, se la legge di distribuzione di una di esse non dipende da quali possibili valori ha assunto l'altra quantità. Altrimenti le variabili casuali sono dipendenti.
Definizione4.3: Diverse variabili casuali chiamato reciprocamente indipendenti, se le leggi della distribuzione di un numero qualsiasi di esse non dipendono da quali possibili valori hanno assunto le altre quantità.
Proprietà3:L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.
Conseguenza:L'aspettativa matematica del prodotto di diverse variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.
Proprietà4:L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche.
Conseguenza:L'aspettativa matematica della somma di più variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche.
Esempio. Calcoliamo l'aspettativa matematica di una variabile casuale binomiale X - data in cui si è verificato l'evento UN V N esperimenti.
Soluzione: Numero totale X occorrenze dell'evento UN in queste prove è la somma del numero di occorrenze dell'evento nelle singole prove. Introduciamo le variabili casuali X i– numero di occorrenze dell'evento in io test, che sono variabili casuali di Bernoulli con aspettativa matematica, dove . Per la proprietà dell'aspettativa matematica che abbiamo
Così, l'aspettativa matematica di una distribuzione binomiale con parametri n e p è uguale al prodotto np.
Esempio. Probabilità di colpire il bersaglio quando si spara con una pistola p = 0,6. Trova l'aspettativa matematica del numero totale di colpi se vengono sparati 10 colpi.
Soluzione: Il colpo a segno per ogni colpo non dipende dagli esiti degli altri colpi, pertanto gli eventi presi in considerazione sono indipendenti e, di conseguenza, l'aspettativa matematica desiderata
L'aspettativa è la distribuzione di probabilità di una variabile casuale
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L'aspettativa matematica è la definizione
Uno dei concetti più importanti della statistica matematica e della teoria della probabilità, che caratterizza la distribuzione di valori o probabilità di una variabile casuale. Tipicamente espresso come media ponderata di tutti i possibili parametri di una variabile casuale. Ampiamente usato nell'analisi tecnica e nella ricerca serie di numeri, lo studio dei processi continui e a lungo termine. Ha importante nel valutare i rischi, prevedere gli indicatori di prezzo durante le negoziazioni sui mercati finanziari, viene utilizzato nello sviluppo di strategie e metodi di tattiche di gioco nella teoria del gioco d'azzardo.
L'aspettativa matematica lo è il valore medio di una variabile casuale, la distribuzione di probabilità di una variabile casuale è considerata nella teoria della probabilità.
L'aspettativa matematica lo è una misura del valore medio di una variabile casuale nella teoria della probabilità. Aspettativa di una variabile casuale X indicato da M(x).
L'aspettativa matematica lo è
L'aspettativa matematica lo è nella teoria della probabilità, media ponderata di tutti i possibili valori che può assumere una variabile casuale.
L'aspettativa matematica lo è la somma dei prodotti di tutti i possibili valori di una variabile casuale e le probabilità di questi valori.
L'aspettativa matematica lo è il beneficio medio derivante da una particolare decisione, a condizione che tale decisione possa essere considerata nel quadro della teoria dei grandi numeri e delle lunghe distanze.
L'aspettativa matematica lo è nella teoria del gioco d'azzardo, l'importo delle vincite che un giocatore può guadagnare o perdere, in media, per ciascuna scommessa. Nel gergo del gioco d'azzardo, questo è talvolta chiamato "vantaggio del giocatore" (se è positivo per il giocatore) o "vantaggio della casa" (se è negativo per il giocatore).
L'aspettativa matematica lo è la percentuale di profitto per vincita moltiplicata per il profitto medio, meno la probabilità di perdita moltiplicata per la perdita media.
Aspettativa matematica di una variabile casuale in teoria matematica
Una delle caratteristiche numeriche importanti di una variabile casuale è la sua aspettativa matematica. Introduciamo il concetto di sistema di variabili casuali. Consideriamo un insieme di variabili casuali che sono il risultato dello stesso esperimento casuale. Se è uno dei possibili valori del sistema, allora l’evento corrisponde ad una certa probabilità che soddisfa gli assiomi di Kolmogorov. Una funzione definita per qualsiasi possibile valore di variabili casuali è chiamata legge di distribuzione congiunta. Questa funzione consente di calcolare le probabilità di eventuali eventi da. In particolare, la legge di distribuzione congiunta delle variabili aleatorie e, che assumono valori dall'insieme e, è data dalle probabilità.
Il termine “aspettativa matematica” fu introdotto da Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) e deriva dal concetto di “valore atteso delle vincite”, apparso per la prima volta nel XVII secolo nella teoria del gioco d’azzardo nelle opere di Blaise Pascal e Christiaan. Huygens. Tuttavia, la prima comprensione teorica e valutazione completa di questo concetto fu data da Pafnuty Lvovich Chebyshev (metà del XIX secolo).
La legge di distribuzione delle variabili numeriche casuali (funzione di distribuzione e serie di distribuzione o densità di probabilità) descrive completamente il comportamento di una variabile casuale. Ma in una serie di problemi è sufficiente conoscere alcune caratteristiche numeriche della quantità in esame (ad esempio il suo valore medio e la possibile deviazione da esso) per rispondere alla domanda posta. Le principali caratteristiche numeriche delle variabili casuali sono l'aspettativa matematica, la varianza, la moda e la mediana.
L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti dei suoi possibili valori e delle loro probabilità corrispondenti. A volte l'aspettativa matematica è chiamata media ponderata, poiché è approssimativamente uguale alla media aritmetica dei valori osservati della variabile casuale a gran numero esperimenti. Dalla definizione di aspettativa matematica segue che il suo valore non è inferiore al più piccolo valore possibile di una variabile casuale e non superiore al più grande. L'aspettativa matematica di una variabile casuale è una variabile non casuale (costante).
L'aspettativa matematica ha un significato fisico semplice: se si posiziona un'unità di massa su una linea retta, posizionando una certa massa in alcuni punti (per una distribuzione discreta), o “imbrattandola” con una certa densità (per una distribuzione assolutamente continua) , quindi il punto corrispondente all'aspettativa matematica sarà la coordinata del "centro di gravità" diritta.
Il valore medio di una variabile casuale è un certo numero che è, per così dire, il suo “rappresentante” e lo sostituisce in calcoli approssimativamente approssimativi. Quando diciamo: "il tempo di funzionamento medio della lampada è di 100 ore" o "il punto medio di impatto è spostato rispetto al bersaglio di 2 m a destra", indichiamo una certa caratteristica numerica di una variabile casuale che descrive la sua posizione SU asse dei numeri, cioè. "caratteristiche di posizione".
Tra le caratteristiche di una posizione nella teoria della probabilità, il ruolo più importante è giocato dall'aspettativa matematica di una variabile casuale, che a volte viene chiamata semplicemente valore medio di una variabile casuale.
Consideriamo la variabile casuale X, aventi valori possibili x1, x2, …, xn con probabilità p1, p2, …, p. Dobbiamo caratterizzare con qualche numero la posizione dei valori di una variabile casuale sull'asse x, tenendo conto del fatto che questi valori hanno probabilità diverse. A questo scopo è naturale utilizzare la cosiddetta “media ponderata” dei valori xi, e ciascun valore xi durante la media dovrebbe essere preso in considerazione con un “peso” proporzionale alla probabilità di questo valore. Pertanto, calcoleremo la media della variabile casuale X, che denotiamo M |X|:
Questa media ponderata è chiamata aspettativa matematica della variabile casuale. Pertanto, abbiamo preso in considerazione uno dei concetti più importanti della teoria della probabilità: il concetto di aspettativa matematica. L'aspettativa matematica di una variabile casuale è la somma dei prodotti di tutti i possibili valori di una variabile casuale e delle probabilità di questi valori.
Xè collegato da una peculiare dipendenza con la media aritmetica dei valori osservati della variabile casuale su un gran numero di esperimenti. Questa dipendenza è dello stesso tipo della dipendenza tra frequenza e probabilità, vale a dire: con un gran numero di esperimenti, la media aritmetica dei valori osservati di una variabile casuale si avvicina (converge in probabilità) alla sua aspettativa matematica. Dalla presenza di un collegamento tra frequenza e probabilità si può dedurre di conseguenza la presenza di un analogo collegamento tra media aritmetica e aspettativa matematica. Consideriamo infatti la variabile casuale X, caratterizzato da una serie di distribuzione:
Lascia che sia prodotto N esperimenti indipendenti, in ciascuno dei quali il valore X assume un certo valore. Supponiamo che il valore x1 apparso m1 volte, valore x2 apparso m2 una volta, in senso generale xiè apparso mi volte. Calcoliamo la media aritmetica dei valori osservati del valore X, che, contrariamente all'aspettativa matematica M|X| denotiamo M*|X|:
Con un numero crescente di esperimenti N frequenze pi si avvicinerà (convergerà in probabilità) alle probabilità corrispondenti. Di conseguenza, la media aritmetica dei valori osservati della variabile casuale M|X| con l'aumento del numero di esperimenti si avvicinerà (convergerà in probabilità) alla sua aspettativa matematica. Il collegamento tra media aritmetica e aspettativa matematica sopra formulato costituisce il contenuto di una delle forme della legge dei grandi numeri.
Sappiamo già che tutte le forme della legge dei grandi numeri affermano che alcune medie sono stabili su un gran numero di esperimenti. Qui stiamo parlando sulla stabilità della media aritmetica di una serie di osservazioni della stessa quantità. Con un numero limitato di esperimenti, la media aritmetica dei risultati è casuale; con un sufficiente aumento del numero di esperimenti, diventa “quasi non casuale” e, stabilizzandosi, si avvicina valore costante– aspettativa matematica.
La stabilità delle medie su un gran numero di esperimenti può essere facilmente verificata sperimentalmente. Ad esempio, quando si pesa un corpo in un laboratorio su una bilancia precisa, come risultato della pesatura otteniamo ogni volta un nuovo valore; Per ridurre l'errore di osservazione, pesiamo il corpo più volte e utilizziamo la media aritmetica dei valori ottenuti. È facile vedere che con un ulteriore aumento del numero di esperimenti (pesate), la media aritmetica reagisce sempre meno a questo aumento e, con un numero di esperimenti sufficientemente elevato, praticamente cessa di cambiare.
Va notato che la caratteristica più importante della posizione di una variabile casuale - l'aspettativa matematica - non esiste per tutte le variabili casuali. È possibile comporre esempi di tali variabili casuali per le quali l'aspettativa matematica non esiste, poiché la somma o integrale corrispondente diverge. Tuttavia, tali casi non presentano un interesse significativo per la pratica. Tipicamente, le variabili casuali con cui abbiamo a che fare hanno una gamma limitata di valori possibili e, ovviamente, hanno un’aspettativa matematica.
Oltre alle caratteristiche più importanti della posizione di una variabile casuale - l'aspettativa matematica - in pratica vengono talvolta utilizzate altre caratteristiche della posizione, in particolare la moda e la mediana della variabile casuale.
La moda di una variabile casuale è il suo valore più probabile. Il termine "valore più probabile" in senso stretto si applica solo a quantità discontinue; Per valore continuo La moda è il valore in corrispondenza del quale la densità di probabilità è massima. Le figure mostrano rispettivamente la moda per variabili casuali discontinue e continue.
Se il poligono di distribuzione (curva di distribuzione) ha più di un massimo, la distribuzione è detta “multimodale”.
A volte ci sono distribuzioni che hanno un minimo nel mezzo anziché un massimo. Tali distribuzioni sono chiamate “antimodali”.
Nel caso generale, la moda e l’aspettativa matematica di una variabile casuale non coincidono. Nel caso particolare, quando la distribuzione è simmetrica e modale (cioè ha una moda) e c'è un'aspettativa matematica, allora coincide con la modalità e il centro di simmetria della distribuzione.
Viene spesso utilizzata un'altra caratteristica di posizione: la cosiddetta mediana di una variabile casuale. Questa caratteristica viene solitamente utilizzata solo per variabili casuali continue, sebbene possa essere definita formalmente per una variabile discontinua. Geometricamente la mediana è l'ascissa del punto in cui l'area racchiusa dalla curva di distribuzione è divisa a metà.
Nel caso di una distribuzione modale simmetrica, la mediana coincide con l'aspettativa e la moda matematica.
L'aspettativa matematica è il valore medio di una variabile casuale - una caratteristica numerica della distribuzione di probabilità di una variabile casuale. Nel modo più generale, l'aspettativa matematica di una variabile casuale X(l)è definito come integrale di Lebesgue rispetto alla misura di probabilità R nello spazio di probabilità originale:
L'aspettativa matematica può anche essere calcolata come integrale di Lebesgue X mediante distribuzione di probabilità px quantità X:
Il concetto di variabile casuale con aspettativa matematica infinita può essere definito in modo naturale. Un tipico esempio sono i tempi di ritorno di alcune passeggiate casuali.
Con l'aiuto delle aspettative matematiche, molti numerici e caratteristiche funzionali distribuzioni (come aspettativa matematica delle funzioni corrispondenti da una variabile casuale), ad esempio funzione generatrice, funzione caratteristica, momenti di qualsiasi ordine, in particolare dispersione, covarianza.
L'aspettativa matematica è una caratteristica della posizione dei valori di una variabile casuale (il valore medio della sua distribuzione). In questa veste, l'aspettativa matematica funge da parametro di distribuzione “tipico” e il suo ruolo è simile a quello del momento statico – la coordinata del baricentro della distribuzione di massa – nella meccanica. Dalle altre caratteristiche del luogo con l'aiuto delle quali la distribuzione è descritta in termini generali - mediane, modalità, aspettativa matematica differisce per il valore maggiore che essa e la corrispondente caratteristica di dispersione - la dispersione - hanno nei teoremi limite della teoria della probabilità. Il significato dell'aspettativa matematica è rivelato in modo più completo dalla legge dei grandi numeri (disuguaglianza di Chebyshev) e dalla legge rafforzata dei grandi numeri.
Aspettativa di una variabile casuale discreta
Lascia che ci sia una variabile casuale che può assumere uno dei diversi valori numerici (ad esempio, il numero di punti quando si lancia un dado può essere 1, 2, 3, 4, 5 o 6). Spesso nella pratica, per un valore del genere, sorge la domanda: che valore assume “in media” con un numero elevato di test? Quale sarà il nostro reddito (o perdita) medio da ciascuna delle transazioni rischiose?
Diciamo che esiste una specie di lotteria. Vogliamo capire se conviene o meno parteciparvi (o anche parteciparvi ripetutamente, regolarmente). Diciamo che un biglietto su quattro è un vincitore, il premio sarà di 300 rubli e il prezzo di ogni biglietto sarà di 100 rubli. Con un numero infinitamente grande di partecipazioni, questo è ciò che accade. In tre quarti dei casi perderemo, ogni tre perdite costerà 300 rubli. In ogni quarto caso vinceremo 200 rubli. (premio meno costo), cioè per quattro partecipazioni perdiamo in media 100 rubli, per una - in media 25 rubli. In totale, la tariffa media della nostra rovina sarà di 25 rubli per biglietto.
Lanciamo i dadi. Se non si tratta di imbrogliare (senza spostare il baricentro, ecc.), quanti punti avremo in media alla volta? Poiché ciascuna opzione è ugualmente probabile, prendiamo semplicemente la media aritmetica e otteniamo 3,5. Poiché questo è nella MEDIA, non c'è bisogno di indignarsi per il fatto che nessun tiro specifico darà 3,5 punti - beh, questo cubo non ha una faccia con un numero del genere!
Ora riassumiamo i nostri esempi:
Diamo un'occhiata all'immagine appena fornita. A sinistra c'è una tabella della distribuzione di una variabile casuale. Il valore X può assumere uno degli n valori possibili (riportati nella riga superiore). Non possono esserci altri significati. Sotto ogni valore possibile, la sua probabilità è scritta di seguito. Sulla destra c'è la formula, dove M(X) è chiamata aspettativa matematica. Il significato di questo valore è che con un gran numero di test (con un campione ampio), il valore medio tenderà a questa stessa aspettativa matematica.
Torniamo di nuovo allo stesso cubo da gioco. L'aspettativa matematica del numero di punti durante il lancio è 3,5 (calcolalo tu stesso usando la formula se non mi credi). Diciamo che l'hai lanciato un paio di volte. I risultati sono stati 4 e 6. La media era 5, che è ben lontana da 3,5. L'hanno lanciato ancora una volta e hanno ottenuto 3, cioè in media (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... In qualche modo lontano dalle aspettative matematiche. Ora fai un esperimento pazzesco: lancia il cubo 1000 volte! E anche se la media non è esattamente 3,5, ci si avvicinerà comunque.
Calcoliamo l'aspettativa matematica per la lotteria sopra descritta. La piastra sarà simile a questa:
Quindi l’aspettativa matematica sarà, come stabilito sopra:
Un'altra cosa è che sarebbe difficile farlo “sulle dita” senza una formula se ci fossero più opzioni. Bene, diciamo che ci sarebbero il 75% di biglietti perdenti, il 20% di biglietti vincenti e il 5% soprattutto di biglietti vincenti.
Ora alcune proprietà dell'aspettativa matematica.
È facile da dimostrare:
Il fattore costante può essere preso come segno dell'aspettativa matematica, cioè:
Questo è un caso speciale della proprietà di linearità dell'aspettativa matematica.
Un'altra conseguenza della linearità dell'aspettativa matematica:
cioè, l'aspettativa matematica della somma delle variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche delle variabili casuali.
Siano X, Y variabili casuali indipendenti, Poi:
Anche questo è facile da dimostrare) Lavoro XY stessa è una variabile casuale e se i valori iniziali potrebbero assumere N E M valori di conseguenza, quindi XY può assumere valori nm. La probabilità di ciascun valore viene calcolata in base al fatto che le probabilità eventi indipendenti moltiplicare. Di conseguenza, otteniamo questo:
Aspettativa di una variabile casuale continua
Le variabili casuali continue hanno una caratteristica come la densità di distribuzione (densità di probabilità). Caratterizza essenzialmente la situazione in cui una variabile casuale assume alcuni valori dall'insieme dei numeri reali più spesso e altri meno spesso. Consideriamo ad esempio questo grafico:
Qui X- variabile casuale effettiva, f(x)- densità di distribuzione. A giudicare da questo grafico, durante gli esperimenti il valore X sarà spesso un numero vicino allo zero. Le possibilità sono superate 3 o essere più piccolo -3 piuttosto puramente teorico.
Supponiamo, ad esempio, che la distribuzione sia uniforme:
Ciò è abbastanza coerente con la comprensione intuitiva. Diciamo che se otteniamo molti numeri reali casuali con una distribuzione uniforme, ciascuno dei segmenti |0; 1| , allora la media aritmetica dovrebbe essere circa 0,5.
Anche qui sono applicabili le proprietà dell'aspettativa matematica - linearità, ecc., applicabili alle variabili casuali discrete.
Rapporto tra aspettativa matematica e altri indicatori statistici
Nell'analisi statistica, insieme all'aspettativa matematica, esiste un sistema di indicatori interdipendenti che riflettono l'omogeneità dei fenomeni e la stabilità dei processi. Spesso gli indicatori di variazione non hanno un significato indipendente e vengono utilizzati per ulteriori analisi dei dati. L'eccezione è il coefficiente di variazione, che caratterizza l'omogeneità dei dati, che è una caratteristica statistica preziosa.
Il grado di variabilità o stabilità dei processi nella scienza statistica può essere misurato utilizzando diversi indicatori.
Maggior parte indicatore importante, che caratterizza la variabilità di una variabile casuale, è Dispersione, che è più strettamente e direttamente correlato all'aspettativa matematica. Questo parametro viene utilizzato attivamente in altri tipi di analisi statistica (test di ipotesi, analisi delle relazioni causa-effetto, ecc.). Come la deviazione lineare media, anche la varianza riflette l’entità della diffusione dei dati attorno al valore medio.
È utile tradurre il linguaggio dei segni nel linguaggio delle parole. Risulta che la dispersione è il quadrato medio delle deviazioni. Cioè, viene prima calcolato il valore medio, quindi la differenza tra ciascun valore originale e medio viene presa, elevata al quadrato, aggiunta e quindi divisa per il numero di valori nella popolazione. La differenza tra un valore individuale e la media riflette la misura della deviazione. Al quadrato in modo che tutte le deviazioni diventino esclusive numeri positivi e per evitare la distruzione reciproca delle deviazioni positive e negative nel riassumerle. Quindi, date le deviazioni al quadrato, calcoliamo semplicemente la media aritmetica. Media - quadrato - deviazioni. Le deviazioni vengono quadrati e viene calcolata la media. La risposta alla parola magica “dispersione” è racchiusa in sole tre parole.
Tuttavia, nella sua forma pura, come la media aritmetica o l'indice, la dispersione non viene utilizzata. Si tratta piuttosto di un indicatore ausiliario e intermedio utilizzato per altri tipi di analisi statistiche. Non ha nemmeno una normale unità di misura. A giudicare dalla formula, questo è il quadrato dell'unità di misura dei dati originali.
Misuriamo una variabile casuale N volte, ad esempio, misuriamo la velocità del vento dieci volte e vogliamo trovare il valore medio. In che modo il valore medio è correlato alla funzione di distribuzione?
Oppure lanceremo i dadi un gran numero di volte. Il numero di punti che appariranno sui dadi ad ogni lancio è una variabile casuale e può assumere qualsiasi valore naturale da 1 a 6. Anche la media aritmetica dei punti persi calcolata per tutti i lanci di dado è una variabile casuale, ma per grandi N tende a un numero molto specifico: l'aspettativa matematica Mx. In questo caso Mx = 3,5.
Come hai ottenuto questo valore? Lascia entrare N test n1 1 punto viene lanciato una volta n2 una volta - 2 punti e così via. Quindi il numero di risultati in cui è caduto un punto:
Allo stesso modo per i risultati quando vengono lanciati 2, 3, 4, 5 e 6 punti.
Supponiamo ora di conoscere la legge di distribuzione della variabile casuale x, ovvero di sapere che la variabile casuale x può assumere valori x1, x2, ..., xk con probabilità p1, p2, ..., p.c.
L'aspettativa matematica Mx di una variabile casuale x è pari a:
L'aspettativa matematica non è sempre una stima ragionevole di qualche variabile casuale. Pertanto, per stimare lo stipendio medio, è più ragionevole utilizzare il concetto di mediana, cioè un valore tale che il numero di persone che ricevono uno stipendio inferiore alla media e uno superiore coincidano.
La probabilità p1 che la variabile casuale x sia inferiore a x1/2 e la probabilità p2 che la variabile casuale x sia maggiore di x1/2 sono uguali e pari a 1/2. La mediana non è determinata in modo univoco per tutte le distribuzioni.
Standard o Deviazione Standard nelle statistiche, viene chiamato il grado di deviazione dei dati o degli insiemi osservativi dal valore MEDIA. Indicato con le lettere s o s. Una deviazione standard piccola indica che i dati si raggruppano attorno alla media, mentre una deviazione standard ampia indica che i dati iniziali si trovano lontano da essa. La deviazione standard è uguale alla radice quadrata di una quantità chiamata varianza. È la media della somma dei quadrati delle differenze dei dati iniziali che si discostano dal valore medio. La deviazione standard di una variabile casuale è la radice quadrata della varianza:
Esempio. In condizioni di test quando si spara a un bersaglio, calcolare la dispersione e la deviazione standard della variabile casuale:
Variazione- fluttuazione, mutevolezza del valore di una caratteristica tra unità della popolazione. I singoli valori numerici di una caratteristica riscontrata nella popolazione in studio sono chiamati varianti di valori. Valore medio insufficiente per caratteristiche complete popolazione ci obbliga a integrare i valori medi con indicatori che ci permettono di valutare la tipicità di queste medie misurando la variabilità (variazione) della caratteristica oggetto di studio. Il coefficiente di variazione si calcola utilizzando la formula:
Gamma di variazione(R) rappresenta la differenza tra i valori massimo e minimo dell'attributo nella popolazione oggetto di studio. Questo indicatore dà di più idea generale sulla variabilità della caratteristica studiata, poiché mostra la differenza solo tra i valori limite delle opzioni. La dipendenza dai valori estremi di una caratteristica conferisce all'ambito di variazione un carattere instabile e casuale.
Deviazione lineare media rappresenta la media aritmetica degli scostamenti assoluti (modulo) di tutti i valori della popolazione analizzata dal loro valore medio:
Aspettativa matematica nella teoria del gioco d'azzardo
L'aspettativa matematica lo è quantità media di denaro posseduta da un giocatore gioco d'azzardo può vincere o perdere su una determinata scommessa. Questo è un concetto molto importante per il giocatore perché fondamentale per la valutazione della maggior parte delle situazioni di gioco. L'aspettativa matematica è anche lo strumento ottimale per analizzare i layout di base delle carte e le situazioni di gioco.
Diciamo che stai giocando a un gioco con monete con un amico, scommettendo equamente $ 1 ogni volta, qualunque cosa accada. Croce significa che vinci, testa significa che perdi. Le probabilità che esca testa sono una a uno, quindi scommetti da $ 1 a $ 1. Pertanto, la tua aspettativa matematica è zero, perché Da un punto di vista matematico, non puoi sapere se sarai in vantaggio o perderai dopo due tiri o dopo 200.
Il tuo guadagno orario è zero. Le vincite orarie sono la quantità di denaro che ti aspetti di vincere in un'ora. Puoi lanciare una moneta 500 volte in un'ora, ma non vincerai né perderai perché... le tue possibilità non sono né positive né negative. Se lo guardi, dal punto di vista di un giocatore serio, questo sistema di scommesse non è male. Ma questa è semplicemente una perdita di tempo.
Ma supponiamo che qualcuno voglia scommettere $ 2 contro $ 1 sullo stesso gioco. Quindi hai immediatamente un'aspettativa positiva di 50 centesimi per ogni scommessa. Perché 50 centesimi? In media, vinci una scommessa e perdi la seconda. Scommetti il primo dollaro e perderai $ 1, scommetti il secondo e vincerai $ 2. Scommetti $1 due volte e sei avanti di $1. Quindi ciascuna delle tue scommesse da un dollaro ti ha fruttato 50 centesimi.
Se una moneta appare 500 volte in un'ora, la tua vincita oraria sarà già di $ 250, perché... In media, hai perso un dollaro 250 volte e hai vinto due dollari 250 volte. $ 500 meno $ 250 equivalgono a $ 250, ovvero la vincita totale. Tieni presente che il valore atteso, ovvero l'importo medio vinto per scommessa, è di 50 centesimi. Hai vinto $ 250 scommettendo un dollaro 500 volte, che equivale a 50 centesimi per scommessa.
Le aspettative matematiche non hanno nulla a che fare con i risultati a breve termine. Il tuo avversario, che ha deciso di scommettere $ 2 contro di te, potrebbe batterti nei primi dieci lanci di fila, ma tu, avendo un vantaggio di scommessa di 2 a 1, a parità di altre condizioni, guadagnerai 50 centesimi su ogni $ scommesso in qualsiasi circostanze. Non fa differenza se vinci o perdi una scommessa o più scommesse, purché tu abbia abbastanza soldi per coprire comodamente i costi. Se continui a scommettere allo stesso modo, per un lungo periodo di tempo le tue vincite si avvicineranno alla somma delle aspettative nei singoli lanci.
Ogni volta che effettui una scommessa migliore (una scommessa che potrebbe rivelarsi redditizia a lungo termine), quando le probabilità sono a tuo favore, sei destinato a vincere qualcosa, non importa se la perdi o meno. data la mano. Al contrario, se effettui una scommessa sfavorita (una scommessa che non è redditizia a lungo termine) quando le probabilità sono contro di te, perdi qualcosa indipendentemente dal fatto che tu vinca o perda la mano.
Piazza una scommessa con il miglior risultato se le tue aspettative sono positive, ed è positiva se le probabilità sono dalla tua parte. Quando piazzi una scommessa con il risultato peggiore, hai un'aspettativa negativa, che accade quando le probabilità sono contro di te. I giocatori seri scommettono solo sul risultato migliore; se accade il peggio, abbandonano. Cosa significano le probabilità a tuo favore? Potresti finire per vincere più di quanto portino le probabilità reali. Le probabilità reali che esca testa sono 1 a 1, ma ottieni 2 a 1 a causa del rapporto di probabilità. In questo caso, le probabilità sono a tuo favore. Ottieni sicuramente il miglior risultato con un'aspettativa positiva di 50 centesimi per scommessa.
Ecco di più esempio complesso aspettativa matematica. Un amico scrive i numeri da uno a cinque e scommette $ 5 contro $ 1 che non indovinerai il numero. Dovresti accettare una scommessa del genere? Qual è l'aspettativa qui?
In media sbaglierai quattro volte. Sulla base di ciò, le probabilità che tu non indovini il numero sono 4 a 1. Le probabilità che tu perda un dollaro in un tentativo. Tuttavia, vinci 5 a 1, con la possibilità di perdere 4 a 1. Quindi le probabilità sono a tuo favore, puoi accettare la scommessa e sperare nel miglior risultato. Se effettui questa scommessa cinque volte, in media perderai $ 1 quattro volte e vincerai $ 5 una volta. In base a ciò, per tutti e cinque i tentativi guadagnerai $ 1 con un'aspettativa matematica positiva di 20 centesimi per scommessa.
Un giocatore che si aspetta di vincere più di quanto scommette, come nell'esempio sopra, sta rischiando. Al contrario, rovina le sue possibilità quando si aspetta di vincere meno di quanto scommette. Uno scommettitore può avere un'aspettativa positiva o negativa, a seconda che vinca o rovini le quote.
Se scommetti $ 50 per vincere $ 10 con una possibilità di vincita di 4 a 1, otterrai un'aspettativa negativa di $ 2 perché... In media, vincerai $ 10 quattro volte e perderai $ 50 una volta, il che dimostra che la perdita per scommessa sarà di $ 10. Ma se scommetti $ 30 per vincere $ 10, con le stesse probabilità di vincere 4 a 1, allora in questo caso hai un'aspettativa positiva di $ 2, perché vinci ancora $ 10 quattro volte e perdi $ 30 una volta, per un profitto di $ 10. Questi esempi mostrano che la prima scommessa è sbagliata e la seconda è buona.
L’aspettativa matematica è il centro di ogni situazione di gioco. Quando un bookmaker incoraggia i tifosi di calcio a scommettere 11 dollari per vincere 10 dollari, ha un’aspettativa positiva di 50 centesimi per ogni 10 dollari. Se il casinò paga alla pari i soldi dalla pass line in craps, allora l'aspettativa positiva del casinò sarà di circa $ 1,40 per ogni $ 100, perché Questo gioco è strutturato in modo tale che chi scommette su questa linea perde in media il 50,7% e vince il 49,3% del tempo totale. Indubbiamente, è questa aspettativa positiva apparentemente minima che porta enormi profitti ai proprietari di casinò di tutto il mondo. Come ha osservato Bob Stupak, proprietario del casinò Vegas World, “una probabilità negativa di un millesimo dell’1% su una distanza sufficientemente lunga rovinerà uomo più ricco nel mondo."
Aspettative quando si gioca a poker
Il gioco del poker è l'esempio più illustrativo ed illustrativo dal punto di vista dell'utilizzo della teoria e delle proprietà dell'aspettativa matematica.
Il valore atteso nel poker è il beneficio medio derivante da una particolare decisione, a condizione che tale decisione possa essere considerata nel quadro della teoria dei grandi numeri e della lunga distanza. Un gioco di poker di successo consiste nell'accettare sempre mosse con valore atteso positivo.
Il significato matematico dell'aspettativa matematica quando giochiamo a poker è che spesso incontriamo variabili casuali quando prendiamo decisioni (non sappiamo quali carte ha in mano l'avversario, quali carte arriveranno nei successivi giri di puntate). Dobbiamo considerare ciascuna delle soluzioni dal punto di vista della teoria dei grandi numeri, la quale afferma che con un campione sufficientemente ampio, il valore medio di una variabile casuale tenderà alla sua aspettativa matematica.
Tra le formule particolari per calcolare l'aspettativa matematica, la seguente è più applicabile nel poker:
Quando si gioca a poker, il valore atteso può essere calcolato sia per le puntate che per le chiamate. Nel primo caso bisognerebbe tenere conto della fold equity, nel secondo delle quote proprie della banca. Quando valuti l'aspettativa matematica di una mossa particolare, dovresti ricordare che una piega ha sempre un'aspettativa pari a zero. Pertanto, scartare le carte sarà sempre una decisione più redditizia rispetto a qualsiasi mossa negativa.
Le aspettative ti dicono cosa puoi aspettarti (profitto o perdita) per ogni dollaro che rischi. I casinò guadagnano perché l’aspettativa matematica di tutti i giochi giocati al loro interno è a favore del casinò. Con una serie di giochi sufficientemente lunga, puoi aspettarti che il cliente perda i suoi soldi, poiché le “probabilità” sono a favore del casinò. Tuttavia, i giocatori di casinò professionisti limitano i loro giochi a brevi periodi di tempo, aumentando così le probabilità a loro favore. Lo stesso vale per gli investimenti. Se le tue aspettative sono positive, puoi guadagnare di più effettuando molte operazioni in un breve periodo di tempo. L'aspettativa è la percentuale di profitto per vincita moltiplicata per il profitto medio, meno la probabilità di perdita moltiplicata per la perdita media.
Il poker può essere considerato anche dal punto di vista delle aspettative matematiche. Potresti presumere che una certa mossa sia redditizia, ma in alcuni casi potrebbe non essere la migliore perché un'altra mossa è più redditizia. Diciamo che hai centrato un full nel poker a cinque carte. Il tuo avversario fa una scommessa. Sai che se rilanci la scommessa, lui risponderà. Pertanto, rilanciare sembra essere la tattica migliore. Ma se rilanci la scommessa, i restanti due giocatori lasceranno sicuramente. Ma se chiami, hai piena fiducia che gli altri due giocatori dietro di te faranno lo stesso. Quando rilanci la tua scommessa ottieni una unità, e quando chiami semplicemente ne ottieni due. Pertanto, chiamare ti dà un valore atteso positivo più elevato e sarà la tattica migliore.
L'aspettativa matematica può anche dare un'idea di quali tattiche di poker siano meno redditizie e quali siano più redditizie. Ad esempio, se giochi una certa mano e pensi che la tua perdita sarà in media di 75 centesimi compreso l'ante, allora dovresti giocare quella mano perché questo è meglio che passare quando l'ante è $ 1.
Un altro motivo importante per comprendere il concetto di valore atteso è che ti dà un senso di tranquillità se vinci o meno la scommessa: se hai fatto una buona scommessa o hai passato al momento giusto, saprai di aver guadagnato o meno risparmiato una certa somma di denaro che il giocatore più debole non poteva risparmiare. È molto più difficile passare se sei arrabbiato perché il tuo avversario ha pescato una mano più forte. Con tutto ciò, il denaro che risparmi non giocando invece di scommettere viene aggiunto alle tue vincite della notte o del mese.
Ricorda solo che se avessi cambiato mano, il tuo avversario ti avrebbe chiamato e, come vedrai nell'articolo Il Teorema Fondamentale del Poker, questo è solo uno dei tuoi vantaggi. Dovresti essere felice quando ciò accade. Puoi anche imparare a divertirti nel perdere una mano perché sai che altri giocatori nella tua posizione avrebbero perso molto di più.
Come accennato all’inizio nell’esempio del gioco con le monete, il tasso orario di profitto è correlato all’aspettativa matematica, e questo concetto è particolarmente importante per i giocatori professionisti. Quando vai a giocare a poker, dovresti valutare mentalmente quanto puoi vincere in un'ora di gioco. Nella maggior parte dei casi dovrai fare affidamento sul tuo intuito e sulla tua esperienza, ma puoi anche usare un po' di matematica. Ad esempio, stai giocando a draw lowball e vedi tre giocatori scommettere $ 10 e poi scambiare due carte, che è una pessima tattica, puoi capire che ogni volta che scommettono $ 10, perdono circa $ 2. Ognuno di loro lo fa otto volte all’ora, il che significa che tutti e tre perdono circa 48 dollari all’ora. Tu sei uno dei restanti quattro giocatori che sono approssimativamente uguali, quindi questi quattro giocatori (e tu tra loro) devono dividersi $ 48, ottenendo ciascuno un profitto di $ 12 l'ora. Le tue quote orarie in questo caso sono semplicemente pari alla tua quota della somma di denaro persa da tre giocatori scadenti in un'ora.
Su un lungo periodo di tempo, le vincite totali del giocatore sono la somma delle sue aspettative matematiche nelle singole mani. Più mani giochi con aspettative positive, più vinci e, viceversa, più mani giochi con aspettative negative, più perdi. Di conseguenza, dovresti scegliere un gioco che possa massimizzare le tue aspettative positive o negare le tue aspettative negative in modo da poter massimizzare le tue vincite orarie.
Aspettativa matematica positiva nella strategia di gioco
Se sai contare le carte, puoi avere un vantaggio rispetto al casinò, a patto che non se ne accorgano e ti buttino fuori. I casinò adorano i giocatori ubriachi e non sopportano il conteggio delle carte. Un vantaggio ti consentirà di vincere più volte di quelle che perdi nel tempo. Una buona gestione del denaro utilizzando i calcoli del valore atteso può aiutarti a ottenere maggiori profitti dal tuo vantaggio e a ridurre le perdite. Senza un vantaggio, è meglio dare i soldi in beneficenza. Nel gioco di borsa il vantaggio è dato dal sistema di gioco, che crea profitti maggiori rispetto alle perdite, alle differenze di prezzo e alle commissioni. Nessuna gestione del denaro può salvare un cattivo sistema di gioco.
Un'aspettativa positiva è definita come un valore maggiore di zero. Maggiore è questo numero, più forte è l’aspettativa statistica. Se il valore è inferiore a zero, anche l'aspettativa matematica sarà negativa. Maggiore è il modulo del valore negativo, peggiore è la situazione. Se il risultato è zero, l'attesa è in pareggio. Puoi vincere solo quando hai un'aspettativa matematica positiva e un sistema di gioco ragionevole. Giocare per intuito porta al disastro.
Aspettativa matematica e commercio di azioni
L'aspettativa matematica è un indicatore statistico abbastanza diffuso e popolare quando si effettuano scambi di borsa nei mercati finanziari. Innanzitutto questo parametro viene utilizzato per analizzare il successo del trading. Non è difficile indovinarlo di più dato valore, motivo in più per ritenere che il commercio studiato abbia avuto successo. Naturalmente l’analisi del lavoro di un trader non può essere effettuata utilizzando solo questo parametro. Tuttavia, il valore calcolato, in combinazione con altri metodi di valutazione della qualità del lavoro, può aumentare significativamente l'accuratezza dell'analisi.
L'aspettativa matematica viene spesso calcolata nei servizi di monitoraggio dei conti di trading, che consente di valutare rapidamente il lavoro svolto sul deposito. Le eccezioni includono strategie che utilizzano operazioni non redditizie “sitting out”. Un commerciante può essere fortunato per un po 'di tempo e quindi potrebbero non esserci perdite nel suo lavoro. In questo caso non sarà possibile navigare solo in base alle aspettative matematiche, poiché non verranno presi in considerazione i rischi utilizzati nel lavoro.
Nel trading di mercato, l'aspettativa matematica viene spesso utilizzata quando si prevede la redditività di qualsiasi strategia di trading o quando si prevede il reddito di un trader sulla base dei dati statistici delle sue operazioni precedenti.
Per quanto riguarda la gestione del denaro, è molto importante capire che quando si effettuano operazioni con aspettative negative, non esiste uno schema di gestione del denaro che possa sicuramente portare profitti elevati. Se continui a giocare in borsa in queste condizioni, indipendentemente da come gestisci i tuoi soldi, perderai l'intero conto, non importa quanto fosse grande all'inizio.
Questo assioma è vero non solo per i giochi o le operazioni con aspettative negative, ma anche per i giochi con pari probabilità. Pertanto, l’unica volta in cui hai la possibilità di trarre profitto a lungo termine è se effettui operazioni con valore atteso positivo.
La differenza tra aspettativa negativa e aspettativa positiva è la differenza tra vita e morte. Non importa quanto positiva o negativa sia l'aspettativa; Ciò che conta è se è positivo o negativo. Pertanto, prima di considerare la gestione del denaro, dovresti trovare un gioco con aspettative positive.
Se non hai un gioco del genere, tutta la gestione del denaro del mondo non ti salverà. D’altra parte, se hai un’aspettativa positiva, puoi, attraverso una corretta gestione del denaro, trasformarla in una funzione di crescita esponenziale. Non importa quanto piccola sia l'aspettativa positiva! In altre parole, non importa quanto sia redditizio un sistema commerciale basato su un unico contratto. Se disponi di un sistema che guadagna $ 10 per contratto per operazione (al netto delle commissioni e dello slippage), puoi utilizzare tecniche di gestione del denaro per renderlo più redditizio rispetto a un sistema che guadagna in media $ 1.000 per operazione (al netto delle commissioni e dello slippage).
Ciò che conta non è quanto sia stato redditizio il sistema, ma quanto si possa dire che il sistema produrrà almeno un profitto minimo in futuro. Pertanto, la preparazione più importante che un trader può fare è garantire che il sistema mostri un valore atteso positivo in futuro.
Per avere un valore atteso positivo in futuro, è molto importante non limitare i gradi di libertà del proprio sistema. Ciò si ottiene non solo eliminando o riducendo il numero di parametri da ottimizzare, ma anche riducendo il maggior numero possibile di regole di sistema. Ogni parametro che aggiungi, ogni regola che adotti, ogni piccola modifica che apporti al sistema riduce il numero di gradi di libertà. Idealmente, è necessario costruire un sistema abbastanza primitivo e semplice che genererà costantemente piccoli profitti in quasi tutti i mercati. Ancora una volta, è importante capire che non importa quanto sia redditizio il sistema, purché lo sia. I soldi che guadagni nel trading verranno guadagnati attraverso un’efficace gestione del denaro.
Un sistema di trading è semplicemente uno strumento che ti dà un valore atteso positivo in modo da poter utilizzare la gestione del denaro. I sistemi che funzionano (mostrano almeno profitti minimi) solo in uno o pochi mercati, o hanno regole o parametri diversi per mercati diversi, molto probabilmente non funzioneranno a lungo in tempo reale. Il problema con la maggior parte dei trader orientati alla tecnica è che spendono troppo tempo e sforzi per ottimizzare le varie regole e i valori dei parametri del sistema di trading. Ciò dà risultati completamente opposti. Invece di sprecare energia e tempo del computer per aumentare i profitti del sistema commerciale, indirizza la tua energia per aumentare il livello di affidabilità nell'ottenimento di un profitto minimo.
Sapendo che la gestione del denaro è solo un gioco di numeri che richiede l'uso di aspettative positive, un trader può smettere di cercare il "Santo Graal" del commercio di azioni. Invece, può iniziare a testare il suo metodo di trading, scoprire quanto sia logico questo metodo e se dà aspettative positive. I metodi corretti di gestione del denaro, applicati a qualsiasi metodo di trading, anche molto mediocre, faranno il resto del lavoro da soli.
Per avere successo nel proprio lavoro, qualsiasi trader deve risolvere tre compiti più importanti: . Per garantire che il numero di transazioni riuscite superi gli inevitabili errori e calcoli errati; Imposta il tuo sistema di trading in modo da avere l'opportunità di guadagnare denaro il più spesso possibile; Ottieni risultati positivi e stabili dalle tue operazioni.
E qui, per noi trader professionisti, l’aspettativa matematica può essere di grande aiuto. Questo termine è uno dei più importanti nella teoria della probabilità. Con il suo aiuto, puoi fornire una stima media di un valore casuale. L'aspettativa matematica di una variabile casuale è simile al centro di gravità, se si immaginano tutte le probabilità possibili come punti con masse diverse.
In relazione a una strategia di trading, l'aspettativa matematica di profitto (o perdita) viene spesso utilizzata per valutarne l'efficacia. Questo parametro è definito come la somma dei prodotti di determinati livelli di profitti e perdite e la probabilità del loro verificarsi. Ad esempio, la strategia di trading sviluppata presuppone che il 37% di tutte le transazioni porterà profitti e la parte rimanente, il 63%, non sarà redditizia. Allo stesso tempo, il reddito medio derivante da una transazione andata a buon fine sarà di 7 dollari e la perdita media sarà di 1,4 dollari. Calcoliamo l'aspettativa matematica del trading utilizzando questo sistema:
Cosa significa questo numero? Si dice che, seguendo le regole di questo sistema, in media riceveremo 1.708$ per ogni transazione chiusa. Poiché la stima dell'efficienza risultante è maggiore di zero, è possibile utilizzare un tale sistema vero lavoro. Se, come risultato del calcolo, l'aspettativa matematica risulta negativa, ciò indica già una perdita media e tale negoziazione porterà alla rovina.
L'importo del profitto per transazione può anche essere espresso come valore relativo sotto forma di %. Per esempio:
– percentuale di reddito per 1 transazione - 5%;
– percentuale di operazioni di trading riuscite - 62%;
– percentuale di perdita per 1 transazione - 3%;
– percentuale di transazioni non riuscite - 38%;
Cioè, il commercio medio porterà l'1,96%.
È possibile sviluppare un sistema che, nonostante la predominanza di operazioni non redditizie, produca un risultato positivo, poiché il suo MO>0.
Tuttavia, aspettare da solo non è sufficiente. È difficile fare soldi se il sistema fornisce pochissimi segnali di trading. In questo caso, la sua redditività sarà paragonabile agli interessi bancari. Supponiamo che ogni operazione produca in media solo 0,5 dollari, ma cosa succederebbe se il sistema prevedesse 1000 operazioni all'anno? Si tratterà di una cifra molto significativa in un tempo relativamente breve. Ne consegue logicamente che un'altra caratteristica distintiva di un buon sistema commerciale può essere considerata un breve periodo di mantenimento delle posizioni.
Fonti e collegamenti
dic.academic.ru – dizionario accademico online
mathatematic.ru – sito web educativo in matematica
nsu.ru – sito web educativo di Novosibirsk università statale
webmath.ru – portale educativo per studenti, candidati e scolari.
exponenta.ru sito web educativo matematico
ru.tradimo.com – gratuito scuola on-line commercio
crypto.hut2.ru – risorsa informativa multidisciplinare
poker-wiki.ru – enciclopedia gratuita del poker
sernam.ru – Biblioteca scientifica pubblicazioni selezionate di scienze naturali
reshim.su – sito web RISOLVEREMO i problemi relativi ai corsi di prova
unfx.ru – Forex su UNFX: formazione, segnali di trading, gestione della fiducia
slovopedia.com – Grande Dizionario enciclopedico Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – La tua guida nel mondo del poker
statanaliz.info – blog informativo” Analisi statistica dati"
forex-trader.rf – Portale Forex-Trader
megafx.ru – analisi Forex attuale
fx-by.com – tutto per un trader
– il numero di maschi su 10 neonati.
È assolutamente chiaro che questo numero non è noto in anticipo e che i prossimi dieci bambini nati potrebbero includere:
O ragazzi - uno ed uno solo dalle opzioni elencate.
E, per mantenersi in forma, un po' di educazione fisica:
– salto in lungo (in alcune unità).
Anche un maestro dello sport non può prevederlo :)
Tuttavia, le vostre ipotesi?
2) Variabile casuale continua – accetta Tutto valori numerici da un intervallo finito o infinito.
Nota :V letteratura educativa abbreviazioni popolari DSV e NSV
Innanzitutto, analizziamo la variabile casuale discreta, quindi: continuo.
Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta
- Questo corrispondenza tra i possibili valori di questa quantità e le loro probabilità. Molto spesso, la legge è scritta in una tabella: 
Il termine appare abbastanza spesso riga
distribuzione, ma in alcune situazioni sembra ambiguo, quindi mi atterrò alla "legge".
E ora punto molto importante: poiché la variabile casuale Necessariamente accetterà uno dei valori, quindi si formano gli eventi corrispondenti gruppo completo e la somma delle probabilità del loro verificarsi è pari a uno:
oppure, se scritto in forma condensata:
Quindi, ad esempio, la legge della distribuzione di probabilità dei punti lanciati su un dado ha la seguente forma: 
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Potresti avere l'impressione che una variabile casuale discreta possa assumere solo valori interi "buoni". Dissolviamo l'illusione: possono essere qualsiasi cosa:
Esempio 1
Alcuni giochi hanno la seguente legge di distribuzione vincente: 
...probabilmente sogni questo tipo di compiti da molto tempo :) Ti svelo un segreto, anch'io. Soprattutto dopo aver finito di lavorare teoria del campo.
Soluzione: poiché una variabile casuale può assumere solo uno dei tre valori, si formano gli eventi corrispondenti gruppo completo, il che significa che la somma delle loro probabilità è uguale a uno: 
Smascherare il “partigiano”: 
– quindi, la probabilità di vincere unità convenzionali è 0,4.
Controllo: questo è ciò di cui dovevamo essere sicuri.
Risposta:
Non è raro che tu stesso debba redigere una legge sulla distribuzione. Per questo usano definizione classica di probabilità, teoremi di moltiplicazione/addizione per la probabilità di eventi e altri chip tervera:
Esempio 2
La scatola contiene 50 biglietti della lotteria, di cui 12 vincenti, 2 di essi vincono 1000 rubli ciascuno e il resto 100 rubli ciascuno. Elabora una legge per la distribuzione di una variabile casuale: l'entità della vincita, se un biglietto viene estratto a caso dalla scatola.
Soluzione: come hai notato, i valori di una variabile casuale vengono solitamente inseriti in ordine crescente. Pertanto, iniziamo con la vincita più piccola, ovvero i rubli.
Ci sono 50 biglietti di questo tipo in totale - 12 = 38 e secondo definizione classica:
– la probabilità che un biglietto estratto a caso risulti perdente.
In altri casi tutto è semplice. La probabilità di vincere rubli è:
Controlla: – e questo è un momento particolarmente piacevole di tali compiti!
Risposta: la legge desiderata di distribuzione delle vincite: 
Il seguente compito spetta a te risolverlo da solo:
Esempio 3
La probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio è . Elabora una legge di distribuzione per una variabile casuale: il numero di colpi dopo 2 colpi.
...sapevo che ti era mancato :) Ricordiamolo Teoremi di moltiplicazione e addizione. La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione.
La legge della distribuzione descrive completamente una variabile casuale, ma in pratica può essere utile (e talvolta più utile) conoscerne solo alcune caratteristiche numeriche .
Aspettativa di una variabile casuale discreta
A proposito di in un linguaggio semplice, Questo valore medio atteso quando il test viene ripetuto più volte. Lascia che la variabile casuale assuma valori con probabilità 
rispettivamente. Allora l'aspettativa matematica di questa variabile casuale è uguale a somma di prodotti tutti i suoi valori alle probabilità corrispondenti:
o compresso: 
Calcoliamo, ad esempio, l'aspettativa matematica di una variabile casuale: il numero di dadi punti:
Ora ricordiamo il nostro ipotetico gioco: 
La domanda sorge spontanea: è davvero redditizio giocare a questo gioco? ...chi ha qualche impressione? Quindi non puoi dirlo “disinvolto”! Ma a questa domanda si può facilmente rispondere calcolando l'aspettativa matematica, essenzialmente: media ponderata per probabilità di vincita:
Quindi, l'aspettativa matematica di questo gioco perdere.
Non fidarti delle tue impressioni: fidati dei numeri!
Sì, qui puoi vincere 10 e anche 20-30 volte di seguito, ma alla lunga andremo incontro all'inevitabile rovina. E non ti consiglierei di giocare a giochi del genere :) Beh, forse solo per divertimento.
Da tutto quanto sopra ne consegue che l'aspettativa matematica non è più un valore CASUALE.
Compito creativo per la ricerca indipendente:
Esempio 4
Il signor X gioca alla roulette europea utilizzando il seguente sistema: scommette costantemente 100 rubli sul “rosso”. Elabora una legge di distribuzione di una variabile casuale: le sue vincite. Calcola l'aspettativa matematica di vincita e arrotondala al centesimo più vicino. Quanti in media Il giocatore perde per ogni cento che scommette?
Riferimento : La roulette europea contiene 18 settori rossi, 18 neri e 1 verde (“zero”). Se appare un “rosso”, il giocatore viene pagato il doppio della scommessa, altrimenti va alle entrate del casinò
Esistono molti altri sistemi di roulette per i quali puoi creare le tue tabelle di probabilità. Ma questo è il caso in cui non abbiamo bisogno di leggi o tabelle di distribuzione, perché è stabilito con certezza che l’aspettativa matematica del giocatore sarà esattamente la stessa. L'unica cosa che cambia da sistema a sistema è
