CONFERENZA №4

LEGGI FONDAMENTALI DELLA CINETICA E DELLA DINAMICA

MOVIMENTO ROTANTE. MECCANICO

PROPRIETA' DEI BIOTISCHI. BIOMECCANICA

PROCESSI NEL SISTEMA LOCOMOTORE

UMANO.

1. Leggi di base della cinematica del moto rotatorio.

Il movimento rotatorio del corpo attorno a un asse fisso è il tipo più semplice di movimento. È caratterizzato dal fatto che tutti i punti del corpo descrivono cerchi, i cui centri si trovano su una retta 0 ﺍ 0 ﺍﺍ , che è chiamata asse di rotazione (Fig. 1).

In questo caso, la posizione del corpo in qualsiasi momento è determinata dall'angolo di rotazione φ del raggio vettore R di qualsiasi punto A rispetto alla sua posizione iniziale. La sua dipendenza dal tempo:

(1)

è l'equazione del moto di rotazione. La velocità di rotazione del corpo è caratterizzata dalla velocità angolare ω. La velocità angolare di tutti i punti del corpo rotante è la stessa. È una quantità vettoriale. Questo vettore è diretto lungo l'asse di rotazione ed è correlato al senso di rotazione dalla regola della vite destra:

. (2)

Con moto uniforme di un punto lungo una circonferenza

, (3)

dove Δφ=2π è l'angolo corrispondente a una rotazione completa del corpo, Δt=T è il tempo di una rotazione completa, o il periodo di rotazione. Unità di misura della velocità angolare [ω]=c -1.

Con movimento uniforme, l'accelerazione del corpo è caratterizzata dall'accelerazione angolare ε (il suo vettore si trova in modo simile al vettore della velocità angolare ed è diretto secondo esso in accelerato e nella direzione opposta - al rallentatore):

. (4)

Unità di accelerazione angolare [ε]=c -2 .

Il movimento rotatorio può anche essere caratterizzato dalla velocità lineare e dall'accelerazione dei suoi singoli punti. La lunghezza dell'arco dS, descritto da un punto A (Fig. 1) ruotato di un angolo dφ, è determinata dalla formula: dS=Rdφ. (5)

Quindi la velocità lineare del punto :

. (6)

Accelerazione lineare un:

. (7)

2. Leggi fondamentali della dinamica del moto rotatorio.

La rotazione del corpo attorno all'asse è causata dalla forza F applicata a un punto qualsiasi del corpo, agente in un piano perpendicolare all'asse di rotazione e diretta (o avente una componente in questa direzione) perpendicolare al raggio vettore del punto di applicazione (Fig. 1).

Momento di forza rispetto al centro di rotazione è chiamata una quantità vettoriale numericamente uguale al prodotto della forza dalla lunghezza della perpendicolare d, abbassata dal centro di rotazione alla direzione della forza, detta braccio della forza. In Fig.1 d=R, quindi

. (8)

Momento la forza di rotazione è una grandezza vettoriale. Vettore attaccato al centro del cerchio O e diretto lungo l'asse di rotazione. direzione del vettore è coerente con la direzione della forza secondo la regola della vite destra. Il lavoro elementare dA i , ruotando di un piccolo angolo dφ, quando il corpo percorre un piccolo percorso dS, è uguale a:

Una misura dell'inerzia di un corpo in moto traslatorio è la massa. Quando un corpo ruota, la misura della sua inerzia è caratterizzata dal momento di inerzia del corpo attorno all'asse di rotazione.

Il momento d'inerzia I i di un punto materiale rispetto all'asse di rotazione è un valore uguale al prodotto della massa del punto e del quadrato della sua distanza dall'asse (Fig. 2):

. (10)

Il momento di inerzia del corpo attorno all'asse è la somma dei momenti di inerzia dei punti materiali che compongono il corpo:

. (11)

O nel limite (n→∞):
, (12)

G la de integrazione viene eseguita sull'intero volume V. In modo analogo si calcolano i momenti di inerzia di corpi omogenei di forma geometrica regolare. Il momento d'inerzia è espresso in kg m 2 .

Il momento di inerzia di una persona rispetto all'asse di rotazione verticale passante per il centro di massa (il centro di massa di una persona si trova sul piano sagittale leggermente più avanti della seconda vertebra trasversale), a seconda della posizione della persona, ha i seguenti valori: 1,2 kg m 2 sull'attenti; 17 kg m 2 - in posizione orizzontale.

Quando un corpo ruota, la sua energia cinetica è la somma delle energie cinetiche dei singoli punti del corpo:

Differenziando (14), otteniamo una variazione elementare dell'energia cinetica:

. (15)

Eguagliando il lavoro elementare (formula 9) delle forze esterne alla variazione elementare dell'energia cinetica (formula 15), otteniamo:
, dove:
o considerando questo
noi abbiamo:
. (16)

Questa equazione è chiamata equazione di base della dinamica del moto rotatorio. Questa dipendenza è simile alla II legge di Newton per il moto traslatorio.

Il momento angolare L i di un punto materiale rispetto all'asse è un valore uguale al prodotto della quantità di moto del punto e della sua distanza dall'asse di rotazione:

. (17)

Momento angolare L di un corpo rotante attorno ad un asse fisso:

Il momento angolare è una quantità vettoriale orientata lungo la direzione del vettore velocità angolare.

Ora torniamo all'equazione principale (16):

,
.

Portiamo il valore costante I sotto il segno del differenziale e otteniamo:
, (19)

dove Mdt è chiamato l'impulso del momento di forza. Se le forze esterne non agiscono sul corpo (M=0), anche la variazione del momento angolare (dL=0) è pari a zero. Ciò significa che il momento angolare rimane costante:
. (20)

Questa conclusione è chiamata legge di conservazione del momento angolare attorno all'asse di rotazione. Viene utilizzato, ad esempio, per movimenti di rotazione attorno ad un asse libero negli sport, come acrobazie, ecc. Pertanto, un pattinatore artistico sul ghiaccio, modificando la posizione del corpo durante la rotazione e, di conseguenza, il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione, può regolare la sua velocità di rotazione.

Un corpo rigido che ruota attorno ad alcuni assi passanti per il baricentro, se è libero da influenze esterne, mantiene la rotazione indefinitamente. (Questa conclusione è simile alla prima legge di Newton per il moto traslatorio).

Il verificarsi della rotazione di un corpo rigido è sempre causato dall'azione di forze esterne applicate ai singoli punti del corpo. In questo caso sono inevitabili la comparsa di deformazioni e la comparsa di forze interne, che nel caso di un corpo solido garantiscono la pratica conservazione della sua forma. Quando l'azione delle forze esterne cessa, la rotazione è preservata: le forze interne non possono né causare né distruggere la rotazione di un corpo rigido.

Il risultato dell'azione di una forza esterna su un corpo con un asse di rotazione fisso è un movimento rotatorio accelerato del corpo. (Questa conclusione è simile alla seconda legge di Newton per il moto traslatorio).

La legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio: in un sistema di riferimento inerziale, l'accelerazione angolare acquisita da un corpo rotante attorno ad un asse fisso è proporzionale al momento totale di tutte le forze esterne agenti sul corpo, ed inversamente proporzionale al momento d'inerzia del corpo attorno ad un dato asse :

È possibile dare una formulazione più semplice la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio(chiamato anche Seconda legge di Newton per il moto rotatorio): la coppia è uguale al prodotto del momento d'inerzia per l'accelerazione angolare:

momento angolare(momento angolare, momento angolare) di un corpo è detto prodotto del suo momento d'inerzia per la velocità angolare:

Il momento angolare è una grandezza vettoriale. La sua direzione coincide con la direzione del vettore velocità angolare.

La variazione del momento angolare è definita come segue:

. (I.112)

Una variazione del momento angolare (con momento d'inerzia costante del corpo) può avvenire solo come risultato di una variazione della velocità angolare ed è sempre dovuta all'azione del momento della forza.

Secondo la formula, oltre alle formule (I.110) e (I.112), la variazione del momento angolare può essere rappresentata come:

. (I.113)

Viene chiamato il prodotto in formula (I.113). momento di forza impulsivo o momento di guida. È uguale alla variazione del momento angolare.

La formula (I.113) è valida purché il momento di forza non cambi nel tempo. Se il momento della forza dipende dal tempo, ad es. , poi

. (I.114)

La formula (I.114) mostra che: la variazione del momento angolare è uguale all'integrale temporale del momento della forza. Inoltre, se questa formula è presentata nella forma: , ne seguirà la definizione momento di forza: il momento istantaneo della forza è la derivata prima del momento della quantità di moto rispetto al tempo,

LAVORO DI LABORATORIO №107

Verifica dell'equazione di base della dinamica

moto rotatorio

Obbiettivo:Verifica sperimentale della legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio mediante il pendolo di Oberbeck.

Strumenti e accessori: Pendolo di Oberbeck con millisecondo FRM - 15, calibro a corsoio.

Introduzione teorica

Quando si considera la rotazione di un corpo rigido da un punto di vista dinamico, insieme al concetto di forze viene introdotto il concetto di momenti di forza e, insieme al concetto di massa, il concetto di momento d'inerzia.

Sia un punto materiale con massa t sotto l'azione di una forza esterna, si muove curvilineamente rispetto a un punto fisso O. Un momento di forza agisce su un punto materiale e il punto ha un momento di moto. La posizione di un punto materiale in movimento è determinata dal raggio vettore disegnato dal punto O (Fig. 1). Il momento della forza relativo a un punto fisso O è chiamato quantità vettoriale uguale al prodotto vettoriale del raggio vettore del vettore forza

Il vettore è diretto perpendicolarmente al piano dei vettori e la sua direzione corrisponde alla regola della vite destra. Il modulo del momento delle forze è uguale a

dove un - angolo tra vettori e , h=rsin un - la spalla della forza, uguale alla distanza più breve dal punto O alla linea d'azione (lungo la quale la forza agisce) della forza.

Il momento angolare relativo al punto O è chiamato quantità vettoriale uguale al prodotto vettoriale del raggio del vettore per il vettore momento, cioè

Il vettore è diretto perpendicolarmente al piano dei vettori e (Fig. 2). Il modulo del momento angolare è uguale a

dove b - l'angolo tra la direzione dei vettori e .

La legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio

Lascia che il sistema meccanico composto da N punti materiali sotto l'azione di forze esterne, la cui risultante compie un moto curvilineo rispetto ad un punto fisso O, cioè

dove è il vettore raggio disegnato dal punto O a io esimo punto materiale, è il vettore della forza su cui agisce io-esimo punto materiale.

Puoi anche trovare il momento angolare del sistema

dove è il momento angolare io-esimo punto materiale.

Il momento angolare dipende dal tempo t perché la velocità è funzione del tempo. Prendendo la derivata della quantità di moto del sistema rispetto al tempo t, noi abbiamo

La formula (7) è un'espressione matematica della legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio del sistema, secondo la quale la velocità di variazione del momento angolare del sistema nel tempo è uguale al momento risultante delle forze esterne agenti su il sistema.

La legge (7) vale anche per un corpo rigido, poiché un corpo rigido può essere considerato come un insieme di punti materiali.

In un caso particolare, un corpo rigido ruoti attorno ad un asse fisso passante per il baricentro, sotto l'azione di una forza esterna. Il corpo rigido è diviso in punti materiali. Per un punto materiale con massa m i verrà scritta l'equazione del moto

Momento angolare per io- esimo punto materiale è uguale a

Poiché durante la rotazioneb = 90 0 , allora la velocità lineare è correlata alla velocità angolare dalla formula Allora (9) può essere scritta come

Il valore è il momento d'inerzia del punto materiale attorno all'asse Z. Quindi (10) assume la forma

Tenendo conto della (11), si scrive la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido rispetto ad un asse fisso

dove è il momento d'inerzia del corpo rigido attorno all'asse Z.

In

dove è l'accelerazione angolare. Secondo l'equazione principale dinamica del moto rotatorio (12), il momento risultante della forza esterna agente sul corpo è uguale al prodotto del momento di inerzia J del corpo e della sua accelerazione angolare.

Dall'equazione (12) segue che in j = cost accelerazione angolare del corpo

direttamente proporzionale al momento delle forze esterne rispetto all'asse di rotazione, cioè

In M = cost l'accelerazione angolare è inversamente proporzionale al momento d'inerzia del corpo, cioè

Lo scopo di questo lavoro è verificare le relazioni (13) e (14), e, di conseguenza, l'equazione di base della dinamica del moto rotatorio (12), di cui sono conseguenze.

Descrizione della configurazione operativa e del metodo di misurazione

Per controllare le relazioni (13) e (14), viene utilizzato un pendolo di Oberbeck, che è una ruota inerziale a forma di croce. Su quattro aste 1 tra loro perpendicolari sono applicati quattro carichi cilindrici 2 identici, che possono essere spostati lungo le aste e fissati ad una certa distanza dall'asse. I carichi sono fissati simmetricamente, ad es. in modo che il loro centro di massa coincida con l'asse di rotazione. Sull'asse orizzontale della croce è presente un disco 3 a due stadi, sul quale è avvolto il filo. Un'estremità del filo è fissata al disco e un carico 4 è sospeso dalla seconda estremità del filo, sotto l'azione del quale il dispositivo viene portato in rotazione. Una vista generale del pendolo di Oberbeck FRM-06 è mostrata in Fig.3. Un elettromagnete di frenatura viene utilizzato per mantenere il sistema della traversa insieme ai pesi a riposo. Per leggere l'altezza di caduta delle merci, sulla colonna viene applicata una scala millimetrica 5. Il tempo di caduta del carico 4 è misurato dall'orologio FRM-15 millisecondi, a cui i sensori fotoelettrici n. ) e n. 2 (7) sono collegati. Il sensore fotoelettrico n. 2 (7) genera un impulso elettrico della fine delle misure di tempo e accende l'elettromagnete del freno.

Se si consente al carico 4 di muoversi, questo movimento avverrà con accelerazione un.

dove t- tempo di spostamento del carico dall'alto h. In questo caso, la puleggia con le aste e i carichi posti su di esse ruoteranno con un'accelerazione angolaree .

dove r- raggio della puleggia.

La coppia della forza applicata alla croce e che riporta l'accelerazione angolare della parte rotante del dispositivo, la troviamo dalla formula

dove T- la forza di tensione del cavo. Secondo la seconda legge di Newton per il carico 4 abbiamo

dove

dove g- accelerazione di gravità.

Dalle formule (12), (15), (16), (17) e (19) abbiamo

La procedura per eseguire il lavoro e elaborare i risultati della misurazione

1. Misurare il raggio delle pulegge grande e piccola con un calibro r 1 e r 2 .

2. Determinare la massa del carico 4 pesando con precisione su bilance tecniche± 0,1 g

3. Controllare la relazione (13). Per questo:

- fissare pesi mobili cilindrici sulle aste alla distanza più vicina dall'asse di rotazione in modo che la traversa si trovi in ​​una posizione di equilibrio indifferente;

- avvolgere il filo attorno a una puleggia a raggio largo r1 e misurare il tempo di movimento del carico t dall'alto h orologio millisecondo, perché

- collegare il cavo di alimentazione del misuratore all'alimentazione;

- premere il tasto “RETE” e verificare se tutte le spie del contatore mostrano zero e se tutte le spie di entrambi i sensori fotoelettrici sono accese;

- portare il peso nella posizione più alta e controllare se il circuito è a riposo;

- premere il tasto "START" e misurare il tempo di movimento del carico con un orologio al millisecondo;

- premere il tasto "RESET" e verificare se le letture del contatore sono state azzerate e la serratura è stata sbloccata dall'elettromagnete;

- portare il carico nella posizione superiore, premere il tasto "START" e verificare se il circuito è stato nuovamente bloccato;

- ripetere l'esperimento 5 volte. Altezza h non è consigliabile cambiare durante l'intera operazione;

- utilizzando le formule (15), (16), (20) calcolare i valori un 1 , e 1 , M 1 ;

- senza modificare la posizione dei carichi in movimento e quindi lasciando inalterato il momento di inerzia del sistema, ripetere l'esperimento avvolgendo il filo con il carico su una piccola puleggia a raggio r2;

- utilizzando le formule (15), (16), (20) calcolare i valori un 2 , e 2 , M 2 ;

- verificare la validità della conseguenza della legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio:

, a

- inserire i dati dei risultati delle misurazioni e dei calcoli nelle tabelle 1 e 2.

4. Controllare il rapporto (1 quattro ). Per questo:

- spingere i pesi mobili fino all'arresto alle estremità delle aste, ma in modo che la traversa sia nuovamente in posizione di equilibrio indifferente;

- per puleggia piccola r2 determinare il tempo di spostamento del carico t/ secondo 5 esperimenti;

- utilizzando le formule (15), (20), (21) determinare i valori un / , e / , J1;

- quando si controlla il rapporto quando puoi utilizzare i valori dell'esperienza precedente impostando e ;

- utilizzando la formula (21) determinare il valore J 2 ;

- calcolare i valori di e .

- Registrare i risultati delle misurazioni e dei calcoli nella Tabella 3.

Tabella 1

r1	m	h	t 1	< t 1 >	un 1	e 1	M 1
	kg				m/s 2	da -2	H × m

Tavolo 2

r2	t 2	< t 2 >	un 2	e 2	M 2	M 1 /M 2	e 1 / e 2
			m/s 2	da -2	H × m

Tabella 3

r 2	t /	< t / >	un /	e /	J 1	un //	J 2	e //	e / / e //	J 2 / J 1
			m/s 2	da -2	kg × m2	m/s 2	kg × m2	da -2

Domande per l'ammissione al lavoro

1. Qual è lo scopo del lavoro?

2. Formulare la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio. Spiegare il significato fisico delle grandezze incluse in questa legge, indicare le unità di misura in "SI".

3. Descrivere il dispositivo dell'installazione funzionante.

Domande a tutela del lavoro

1. Dare le definizioni del momento delle forze, il momento della quantità di moto di un punto materiale rispetto a un punto fisso O.

2. Formulare la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido rispetto ad un punto fisso O e ad un asse fisso Z.

3. Definire il momento d'inerzia di un punto materiale e di un corpo rigido.

4. Deriva formule di lavoro.

5. Derivare il rapporto per e per

6. Ci sono critiche a questo lavoro?

Momento di potere

L'azione di rotazione di una forza è determinata dalla sua quantità di moto. Il momento della forza attorno a un punto è il prodotto incrociato

Vettore del raggio tracciato da punto a punto di applicazione della forza (Fig. 2.12). L'unità di misura del momento della forza.

Figura 2.12

L'entità del momento di forza

oppure puoi scrivere

dove è la spalla della forza (la distanza più breve dal punto alla linea d'azione della forza).

La direzione del vettore è determinata dalla regola del prodotto incrociato o dalla regola della "vite destra" (combiniamo i vettori e la traslazione parallela nel punto O, la direzione del vettore è determinata in modo che dalla sua estremità il la rotazione dal vettore a è visibile in senso antiorario - in Fig. 2.12 il vettore è diretto perpendicolarmente al piano che disegna "da noi" (allo stesso modo, secondo la regola del succhiello - il movimento di traslazione corrisponde alla direzione del vettore, la rotazione corrisponde a una svolta da A)).

Il momento di una forza attorno a un punto è zero se la linea d'azione della forza passa per quel punto.

La proiezione di un vettore su qualsiasi asse, ad esempio l'asse z, è chiamata momento di forza attorno a questo asse. Per determinare il momento della forza attorno all'asse, proiettare prima la forza su un piano perpendicolare all'asse (Fig. 2.13), quindi trovare il momento di questa proiezione rispetto al punto di intersezione dell'asse con il piano perpendicolare ad esso . Se la linea d'azione della forza è parallela all'asse o lo attraversa, il momento della forza attorno a questo asse è uguale a zero.

Figura 2.13

momento angolare

Momento di slancio punto materiale una massa che si muove a una velocità relativa a qualsiasi punto di riferimento è chiamata prodotto vettoriale

Il vettore raggio di un punto materiale (Fig. 2.14) è la sua quantità di moto.

Figura 2.14

Il valore del momento angolare del punto materiale

dove è la distanza più breve dalla linea del vettore al punto.

La direzione del momento angolare è determinata in modo simile alla direzione del momento della forza.

Se l'espressione per L 0 viene moltiplicata e divisa per l, otteniamo:

Dove - il momento d'inerzia di un punto materiale - un analogo della massa nel moto di rotazione.

Velocità angolare.

Momento d'inerzia di un corpo rigido

Si può notare che le formule risultanti sono molto simili rispettivamente alle espressioni per la quantità di moto e per la seconda legge di Newton, solo che al posto della velocità lineare e dell'accelerazione vengono utilizzate velocità angolare e accelerazione e, al posto della massa, la quantità io=mR 2, chiamato momento d'inerzia di un punto materiale .

Se il corpo non può essere considerato un punto materiale, ma può essere considerato assolutamente rigido, allora il suo momento di inerzia può essere considerato la somma dei momenti di inerzia delle sue parti infinitamente piccole, poiché le velocità angolari di rotazione di queste parti sono le stesse (Fig. 2.16). La somma degli infinitesimi è l'integrale:

Per ogni corpo esistono assi passanti per il suo centro di inerzia, che hanno la seguente proprietà: quando il corpo ruota attorno a tali assi in assenza di influenze esterne, gli assi di rotazione non cambiano la loro posizione. Tali assi sono chiamati assi liberi del corpo . Si può dimostrare che per un corpo di qualsiasi forma e con qualsiasi distribuzione di densità esistono tre assi liberi tra loro perpendicolari, detti principali assi di inerzia corpo. Si chiamano i momenti di inerzia di un corpo rispetto agli assi principali momenti di inerzia principali (intrinseci). corpo.

Nella tabella sono riportati i principali momenti di inerzia di alcuni corpi:

Teorema di Huygens-Steiner.

Questa espressione è chiamata Teoremi di Huygens-Steiner : momento d'inerzia del corpo attorno ad un asse arbitrario è uguale alla somma il momento d'inerzia del corpo attorno ad un asse parallelo a quello dato e passante per il baricentro del corpo, e il prodotto della massa corporea per il quadrato della distanza tra gli assi.

L'equazione di base della dinamica del moto rotatorio

La legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio può essere ricavata dalla seconda legge di Newton per il moto traslatorio di un corpo rigido

Dove Fè la forza applicata al corpo dalla massa m; unè l'accelerazione lineare del corpo.

Se ad un corpo di massa rigido m al punto A (Fig. 2.15) applicare la forza F, quindi come risultato di una connessione rigida tra tutti i punti materiali del corpo, tutti riceveranno l'accelerazione angolare ε e le corrispondenti accelerazioni lineari, come se una forza F 1 …F n agisse su ciascun punto. Per ogni punto materiale puoi scrivere:

Dove dunque

Dove io- il peso io- esimo punto; ε è l'accelerazione angolare; r ioè la sua distanza dall'asse di rotazione.

Moltiplicando i lati sinistro e destro dell'equazione per r io, noi abbiamo

Dove - il momento della forza - è il prodotto della forza sulla sua spalla.

Riso. 2.15. Un corpo rigido che ruota sotto l'azione di una forza F sull'asse “ОО”.

- momento d'inerzia io esimo punto materiale (analogo alla massa in moto rotatorio).

L'espressione può essere scritta così:

Sommiamo le parti sinistra e destra su tutti i punti del corpo:

L'equazione è la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido. Valore: la somma geometrica di tutti i momenti delle forze, ovvero il momento della forza F, dando accelerazione ε a tutti i punti del corpo. è la somma algebrica dei momenti di inerzia di tutti i punti del corpo. La legge è formulata come segue: "Il momento della forza che agisce su un corpo rotante è uguale al prodotto del momento di inerzia del corpo e dell'accelerazione angolare".

D'altro canto

A sua volta - un cambiamento nel momento angolare del corpo.

Allora la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio può essere riscritta come:

Oppure - l'impulso del momento della forza, che agisce su un corpo rotante, è uguale alla variazione del suo momento angolare.

Legge di conservazione del momento angolare

Simile a ZSI.

Secondo l'equazione di base della dinamica del moto rotatorio, il momento della forza attorno all'asse Z: . Quindi, in un sistema chiuso e, quindi, il momento angolare totale attorno all'asse Z di tutti i corpi inclusi in un sistema chiuso è un valore costante. Esprime legge di conservazione del momento angolare . Questa legge è valida solo nei sistemi di riferimento inerziali.

Tracciamo un'analogia tra le caratteristiche del moto traslatorio e del moto rotatorio.

Basi e fondazioni sono calcolate secondo 2 stati limite

	Per capacità portante:	N- il carico di progetto specificato sulla base nella combinazione più sfavorevole; - capacità portante (carico finale) della fondazione per una determinata direzione del carico N; - coefficiente delle condizioni di lavoro della fondazione (<1); - коэффициент надежности (>1).
	In base alle deformazioni limite:	- insediamento assoluto stimato della fondazione; - differenza relativa calcolata dei cedimenti di fondazione; , - valori limite, rispettivamente, della differenza assoluta e relativa dei cedimenti di fondazione (SNiP 2.02.01-83 *)

Dinamica rotazionale

Prefazione

Attiro l'attenzione degli studenti sul fatto che QUESTO materiale non è stato considerato ASSOLUTAMENTE a scuola (tranne che per il concetto di momento di forza).

1. La legge della dinamica del moto rotatorio

un. Legge della dinamica del moto rotatorio

b. Momento di potere

c. Momento di una coppia di forze

d. Momento d'inerzia

2. Momenti di inerzia di alcuni corpi:

un. Anello (cilindro a parete sottile)

b. Cilindro a parete spessa

c. cilindro solido

e. asta sottile

3. Il teorema di Steiner

4. Momento angolare del corpo. Modifica del momento angolare del corpo. impulso di slancio. Legge di conservazione del momento angolare

5. Operazione rotatoria

6. Energia cinetica di rotazione

7. Confronto di quantità e leggi del moto traslatorio e rotatorio

1a. Si consideri un corpo rigido che può ruotare attorno ad un asse fisso OO (Fig. 3.1). Rompiamo questo corpo solido in masse elementari separate Δ m io . La risultante di tutte le forze applicate a Δ m i , indicato da . Basti considerare il caso in cui la forza giace su un piano perpendicolare all'asse di rotazione: le componenti della forza parallele all'asse non possono influenzare la rotazione del corpo, poiché l'asse è fisso. Quindi l'equazione della seconda legge di Newton per le componenti tangenziali di forza e accelerazione sarà scritta come:

La componente normale della forza fornisce accelerazione centripeta e non influisce sull'accelerazione angolare. Da (1.27): , dove è il raggio di rotazione io- quel punto. Quindi

Moltiplichiamo entrambi i membri della (3.2) per:

notare che

dove α è l'angolo tra il vettore forza e il vettore raggio del punto (Fig. 3.1), è la perpendicolare caduta alla linea d'azione della forza dal centro di rotazione (spalla della forza). Introduciamo il concetto di momento di forza.

1b. Momento di forza rispetto all'asse è chiamato vettore diretto lungo l'asse di rotazione e associato alla direzione della forza dalla regola del succhiello, il cui modulo è uguale al prodotto della forza e del suo braccio: . Spalla della Forza l rispetto all'asse di rotazione è la distanza più breve dalla linea di azione della forza all'asse di rotazione. Dimensione del momento di forza:

In forma vettoriale, il momento della forza su un punto:

Il vettore del momento della forza è perpendicolare sia alla forza che al raggio vettore del punto della sua applicazione:

Se il vettore della forza è perpendicolare all'asse, il vettore del momento della forza è diretto lungo l'asse secondo la regola della vite destra e l'entità del momento della forza rispetto a questo asse (proiezione sull'asse) è determinato dalla formula (3.4):

Il momento della forza dipende sia dall'entità della forza che dal braccio della forza. Se la forza è parallela all'asse, allora .

1c. Coppia di potere - si tratta di due forze uguali in grandezza e opposte in direzione, le cui linee d'azione non coincidono (Fig. 3.2). Il braccio di una coppia di forze è la distanza tra le linee di azione delle forze. Troviamo il momento totale della coppia di forze e () nella proiezione sull'asse passante per il punto O:

Cioè, il momento di una coppia di forze è uguale al prodotto dell'entità della forza e del plccho della coppia:

Torniamo alla (3.3). Tenendo conto (3.4) e (3.6):

1d. Definizione: si dice un valore scalare uguale al prodotto della massa di un punto materiale per il quadrato della sua distanza dall'asse momento d'inerzia di un punto materiale rispetto all'asse OO:

Dimensione del momento d'inerzia

I vettori e coincidono in direzione con l'asse di rotazione, sono correlati al senso di rotazione secondo la regola del succhiello, quindi l'uguaglianza (3.9) può essere riscritta in forma vettoriale:

Sommiamo la (3.10) su tutte le masse elementari in cui è suddiviso il corpo:

Qui si tiene conto che l'accelerazione angolare di tutti i punti di un corpo rigido è la stessa e può essere dedotta dal segno di somma. Sul lato sinistro dell'equazione c'è la somma dei momenti di tutte le forze (sia esterne che interne) applicate a ciascun punto del corpo. Ma secondo la terza legge di Newton, le forze con cui i punti del corpo interagiscono tra loro (forze interne) sono uguali in grandezza e opposte in direzione e giacciono sulla stessa linea retta, quindi i loro momenti si annullano a vicenda. Quindi, nella parte sinistra della (3.11) rimane il momento totale delle sole forze esterne: .

Viene chiamata la somma dei prodotti delle masse elementari e il quadrato delle loro distanze dall'asse di rotazione momento d'inerzia di un corpo rigido su questo asse:

In questo modo, ; - questa è la legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido (analoga alla seconda legge di Newton): l'accelerazione angolare di un corpo è direttamente proporzionale al momento totale delle forze esterne e inversamente proporzionale al momento di inerzia del corpo :

Momento d'inerzia iosolido è una misura delle proprietà inerti di un corpo solido durante il movimento rotatorio ed è simile alla massa di un corpo nella seconda legge di Newton. Dipende essenzialmente non solo dalla massa del corpo, ma anche dalla sua distribuzione rispetto all'asse di rotazione (nella direzione perpendicolare all'asse).

Nel caso di una distribuzione continua della massa, la somma in (3.12) si riduce ad un integrale sull'intero volume del corpo:

2a. Il momento d'inerzia di un anello sottile attorno ad un asse passante per il suo centro perpendicolare al piano dell'anello.

poiché per ogni elemento dell'anello la sua distanza dall'asse è la stessa e uguale al raggio dell'anello: .

2b. Cilindro a pareti spesse (disco) con raggio interno e raggio esterno .

Calcoliamo il momento d'inerzia di un disco omogeneo con densità ρ , altezza h, raggio interno e raggio esterno (Fig.3.3) rispetto all'asse passante per il baricentro perpendicolare al piano del disco. Dividiamo il disco in anelli sottili di spessore e altezza in modo che il raggio interno dell'anello sia , e quello esterno sia . Il volume di un tale anello è , dove si trova l'area della base dell'anello sottile. La sua massa:

Sostituiamo in (3.14) e integriamo sopra r():

Massa del disco, poi infine:

2c. Cilindro pieno (disco).

Nel caso speciale di un disco pieno o di un cilindro con raggio R sostituiamo in (3.17) R 1 =0, R 2 =R e prendi:

Momento d'inerzia di una sfera di raggio R e la massa relativa all'asse passante per il suo centro (Fig. 3.4), è (senza dimostrazione):

2e. Il momento d'inerzia di un'asta sottile con massa e lunghezza rispetto all'asse passante per la sua estremità perpendicolare all'asta (Fig. 3.5).

Dividiamo l'asta in segmenti di lunghezza infinitamente piccoli. La massa di una tale area. Sostituisci nella (3.14) e integra da 0 a :

Se l'asse passa per il centro dell'asta perpendicolarmente ad esso, puoi calcolare il momento d'inerzia di metà dell'asta usando (3.20) e quindi raddoppiare:

3. Se l'asse di rotazione non passa attraverso il baricentro del corpo (Fig.3.6), i calcoli con la formula (3.14) possono essere piuttosto complicati. In questo caso, il calcolo del momento di inerzia è facilitato dall'utilizzo I teoremi di Steiner : il momento d'inerzia del corpo attorno ad un asse arbitrario è uguale alla somma del momento d'inerzia io c corpo attorno a un asse passante per il centro di massa del corpo parallelo a questo asse e il prodotto della massa corporea per il quadrato della distanza tra gli assi:

Vediamo come funziona il teorema di Steiner se lo applichiamo a un'asta:

È facile vedere che si ottiene un'identità, poiché in questo caso la distanza tra gli assi è pari alla metà della lunghezza dell'asta.

4. Momento angolare del corpo. Modifica del momento angolare del corpo. impulso di slancio. Legge di conservazione del momento angolare.

Dalla legge della dinamica del moto rotatorio e dalla definizione di accelerazione angolare, segue:

Se poi . Introduciamo il momento angolare del corpo rigido come

La relazione (3.24) è la legge fondamentale della dinamica dei corpi rigidi per il moto rotatorio. Si può riscrivere così:

e quindi sarà un analogo della seconda legge di Newton per il moto traslatorio in forma impulsiva (2.5)

L'espressione (3.24) può essere integrata:

e formulare la legge di variazione del momento angolare: la variazione del momento della quantità di moto del corpo è uguale alla quantità di moto del momento totale delle forze esterne . La grandezza è chiamata impulso del momento della forza ed è simile all'impulso della forza nella formulazione della seconda legge di Newton per il moto traslatorio (2.2); momento angolare è analogo alla quantità di moto.

Dimensione del momento angolare

Il momento angolare di un corpo rigido attorno al suo asse di rotazione è un vettore diretto lungo l'asse di rotazione secondo la regola del succhiello.

Il momento angolare di un punto materiale rispetto al punto O (Fig. 3.6) è:

dove è il vettore raggio di un punto materiale, è la sua quantità di moto. Il vettore del momento angolare è diretto secondo la regola del succhiello perpendicolare al piano in cui giacciono i vettori e: in Fig. 3.7 - a noi a causa della figura. L'entità del momento angolare

Dividiamo un corpo rigido rotante attorno ad un asse in masse elementari e sommiamo il momento angolare di ciascuna massa sull'intero corpo (lo stesso può essere scritto come integrale; questo non è fondamentale):

Poiché la velocità angolare di tutti i punti è la stessa ed è diretta lungo l'asse di rotazione, può essere scritta in forma vettoriale:

Si dimostra quindi l'equivalenza delle definizioni (3.23) e (3.26).

Se il momento totale delle forze esterne è zero, il momento angolare del sistema non cambia(vedi 3.25):

. Questa è la legge di conservazione della quantità di moto . Ciò è possibile quando:

a) il sistema è chiuso (o);

b) le forze esterne non hanno componenti tangenziali (il vettore delle forze passa per l'asse/centro di rotazione);

c) le forze esterne sono parallele all'asse fisso di rotazione.

Esempi di utilizzo/funzionamento della legge di conservazione del momento angolare:

1. giroscopio;

2. La panchina di Zhukovsky;

3. pattinatore sul ghiaccio.

5. Lavorare con il movimento rotatorio.

Lascia che il corpo ruoti di un angolo sotto l'azione di una forza e l'angolo tra lo spostamento e la forza è ; - il vettore raggio del punto di applicazione della forza (Fig. 3.8), quindi il lavoro della forza è uguale a: