Trovare il volume di un corpo dalle aree della sezione trasversale. Come trovare l'area di una superficie di rivoluzione utilizzando l'area integrale della superficie formata dalla rotazione

11.02.2022 | Dipinti di artisti

5. Trovare la superficie dei corpi di rotazione

Sia la curva AB il grafico della funzione y = f(x) ≥ 0, dove x [a; b], e la funzione y = f(x) e la sua derivata y" = f"(x) sono continue su questo segmento.

Troviamo l'area S della superficie formata dalla rotazione della curva AB attorno all'asse del Bue (Fig. 8).

Applichiamo lo schema II (metodo differenziale).

Attraverso un punto arbitrario x [a; b] tracciare un piano P perpendicolare all'asse del Bue. Il piano П interseca la superficie di rotazione in un cerchio di raggio y – f(x). La dimensione S della superficie della parte della figura di rivoluzione situata a sinistra del piano è una funzione di x, cioè s = s(x) (s(a) = 0 e s(b) = S).

Diamo all'argomento x un incremento Δx = dx. Per il punto x + dx [a; b] disegniamo anche un piano perpendicolare all'asse del Bue. La funzione s = s(x) riceverà un incremento di Δs, mostrato in figura come una “cintura”.

Troviamo l'area differenziale ds sostituendo la figura formata tra le sezioni con un tronco di cono, la cui generatrice è uguale a dl, e i raggi delle basi sono uguali a yey + dу. L'area della sua superficie laterale è pari a: = 2ydl + dydl.

Rifiutando il prodotto dу d1 come infinitesimo di ordine superiore a ds, otteniamo ds = 2уdl, ovvero, poiché d1 = dx.

Integrando l'uguaglianza risultante nell'intervallo da x = a a x = b, otteniamo

Se viene fornita la curva AB equazioni parametriche x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, allora la formula per la superficie di rotazione assume la forma

S=2 dt.

Esempio: trova la superficie di una palla di raggio R.

S=2 =

6. Determinazione del lavoro di una forza variabile

Lavoro a forza variabile

Permettere punto materiale M si muove lungo l'asse del Bue sotto l'azione di una forza variabile F = F(x) diretta parallelamente a questo asse. Il lavoro compiuto da una forza quando si sposta il punto M dalla posizione x = a alla posizione x = b (a

Quanto lavoro deve essere fatto per allungare la molla di 0,05 m se una forza di 100 N allunga la molla di 0,01 m?

Secondo la legge di Hooke, la forza elastica che allunga la molla è proporzionale a questo allungamento x, cioè F = kх, dove k è il coefficiente di proporzionalità. Secondo le condizioni del problema, una forza F = 100 N allunga la molla di x = 0,01 m; quindi 100 = k 0,01, da cui k = 10000; quindi F = 10000x.

Il lavoro richiesto in base alla formula

Trovare il lavoro che deve essere speso per pompare liquido oltre il bordo da un serbatoio cilindrico verticale di altezza N m e raggio di base R m (Fig. 13).

Il lavoro speso per sollevare un corpo di peso p ad un'altezza h è uguale a p N. Ma i diversi strati di liquido nel serbatoio si trovano a profondità diverse e l'altezza del rialzo (fino al bordo del serbatoio) dei diversi gli strati non sono gli stessi.

Per risolvere il problema, applichiamo lo schema II (metodo differenziale). Introduciamo un sistema di coordinate.

1) Il lavoro speso per pompare uno strato di liquido di spessore x (0 ≤ x ≤ H) da un serbatoio è una funzione di x, cioè A = A(x), dove (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Trovare la parte principale dell'incremento ΔA quando x cambia della quantità Δx = dx, cioè troviamo il differenziale dA della funzione A(x).

A causa dell'esiguità di dx, assumiamo che lo strato “elementare” di liquido si trovi alla stessa profondità x (dal bordo del serbatoio). Allora dA = dрх, dove dр è il peso di questo strato; è uguale a g АV, dove g è l'accelerazione di gravità, è la densità del liquido, dv è il volume dello strato “elementare” di liquido (è evidenziato in figura), cioè dр = g. Il volume dello strato liquido indicato è ovviamente pari a , dove dx è l'altezza del cilindro (strato), è l'area della sua base, cioè dv = .

Pertanto, dр = . E

3) Integrando l'uguaglianza risultante nell'intervallo da x = 0 a x = H, troviamo

8. Calcolo di integrali utilizzando il pacchetto MathCAD

Quando si risolvono alcuni problemi applicati, è necessario utilizzare l'operazione di integrazione simbolica. In questo caso il programma MathCad può essere utile sia nella fase iniziale (è bene conoscere in anticipo la risposta o sapere che esiste) che in quella finale (è bene verificare il risultato utilizzando una risposta proveniente da un'altra fonte o la soluzione di un'altra persona).

Quando risolvi un gran numero di problemi, puoi notare alcune funzionalità della risoluzione dei problemi utilizzando il programma MathCad. Proviamo a capire con alcuni esempi come funziona questo programma, analizziamo le soluzioni ottenute con il suo aiuto e confrontiamo queste soluzioni con soluzioni ottenute con altri metodi.

I principali problemi quando si utilizza il programma MathCad sono i seguenti:

a) il programma fornisce la risposta non sotto forma di funzioni elementari familiari, ma sotto forma di funzioni speciali che non sono note a tutti;

b) in alcuni casi “si rifiuta” di dare una risposta, nonostante esista una soluzione al problema;

c) talvolta è impossibile utilizzare il risultato ottenuto a causa della sua macchinosità;

d) non risolve completamente il problema e non analizza la soluzione.

Per risolvere questi problemi è necessario sfruttare i punti di forza e di debolezza del programma.

Con il suo aiuto è facile e semplice calcolare gli integrali delle funzioni razionali frazionarie. Pertanto, si consiglia di utilizzare il metodo di sostituzione variabile, ovvero Preparare l'integrale per la soluzione. Per questi scopi, è possibile utilizzare le sostituzioni discusse sopra. Va inoltre tenuto presente che i risultati ottenuti devono essere esaminati per la coincidenza dei domini di definizione della funzione originaria e del risultato ottenuto. Inoltre, alcune delle soluzioni ottenute richiedono ulteriori ricerche.

Il programma MathCad libera lo studente o il ricercatore dal lavoro di routine, ma non può liberarlo da analisi aggiuntive sia quando si pone un problema sia quando si ottengono dei risultati.

In questo contributo vengono esaminate le principali disposizioni relative allo studio delle applicazioni di un integrale definito in un corso di matematica.

– è stata effettuata un’analisi delle basi teoriche per la risoluzione degli integrali;

– il materiale è stato sistematizzato e generalizzato.

Nel processo di completamento del lavoro del corso, sono stati presi in considerazione esempi di problemi pratici nel campo della fisica, della geometria e della meccanica.

Conclusione

Gli esempi di problemi pratici discussi sopra ci danno un'idea chiara dell'importanza dell'integrale definito per la loro risolubilità.

È difficile nominare un campo scientifico in cui i metodi del calcolo integrale, in generale, e le proprietà dell'integrale definito, in particolare, non verrebbero utilizzati. Quindi, nel processo di completamento del lavoro del corso, abbiamo esaminato esempi di problemi pratici nel campo della fisica, geometria, meccanica, biologia ed economia. Naturalmente, questo non è un elenco esaustivo di scienze che utilizzano il metodo integrale per cercare un valore stabilito quando si risolve un problema specifico e si stabiliscono fatti teorici.

L'integrale definito viene utilizzato anche per studiare la matematica stessa. Ad esempio, quando si risolvono equazioni differenziali, che a loro volta danno un contributo insostituibile alla risoluzione di problemi pratici. Possiamo dire che un integrale definito è un fondamento certo per lo studio della matematica. Da qui l’importanza di sapere come risolverli.

Da tutto quanto sopra risulta chiaro perché la conoscenza dell'integrale definito avviene nell'ambito della scuola secondaria, dove gli studenti studiano non solo il concetto di integrale e le sue proprietà, ma anche alcune delle sue applicazioni.

Letteratura

1. Volkov E.A. Metodi numerici. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Calcolo differenziale e integrale. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Matematica superiore. M., Scuola superiore, 1990.

Un saluto, cari studenti dell'Università degli Studi di Argemona!

Oggi continueremo a imparare come materializzare gli oggetti. L'ultima volta abbiamo ruotato figure piatte e ottenuto corpi volumetrici. Alcuni di loro sono molto allettanti e utili. Penso che gran parte di ciò che inventa un mago possa essere utilizzato in futuro.

Oggi ruoteremo le curve. È chiaro che in questo modo possiamo ottenere qualche oggetto dai bordi molto sottili (un cono o una bottiglia per pozioni, un vaso di fiori, un bicchiere per bevande, ecc.), perché una curva rotante può creare proprio questo tipo di oggetti. In altre parole, ruotando la curva possiamo ottenere una sorta di superficie, chiusa su tutti i lati o meno. Perché proprio in questo momento mi sono ricordato della tazza che perde da cui beveva sempre Sir Shurf Lonley-Lokley.

Creeremo quindi una ciotola con i fori e una ciotola senza fori, e calcoleremo l'area della superficie creata. Penso che (la superficie in generale) sarà necessaria per qualcosa - beh, almeno per applicare una vernice magica speciale. D'altra parte, sulle aree degli artefatti magici potrebbe essere necessario calcolare le forze magiche applicate ad essi o qualcos'altro. Impareremo a trovarlo e troveremo dove applicarlo.

Quindi, un pezzo di parabola può darci la forma di una ciotola. Prendiamo il più semplice y=x 2 sull'intervallo. Si può vedere che quando lo ruoti attorno all'asse OY, ottieni solo una ciotola. Nessun fondo.

L'incantesimo per calcolare la superficie di rotazione è il seguente:

Qui |y| è la distanza dall'asse di rotazione a qualsiasi punto della curva che ruota. Come sai, la distanza è una perpendicolare.
Un po' più difficile con il secondo elemento dell'incantesimo: ds è l'arco differenziale. Queste parole non ci dicono nulla, quindi non preoccupiamoci, ma passiamo al linguaggio delle formule, dove questo differenziale è presentato chiaramente per tutti i casi a noi noti:
- Sistema di coordinate cartesiano;
- registrazione della curva in forma parametrica;
- sistema di coordinate polari.

Nel nostro caso, la distanza dall'asse di rotazione a qualsiasi punto della curva è x. Calcoliamo la superficie della ciotola bucata risultante:

Per realizzare una ciotola con fondo bisogna prendere un altro pezzo, ma con una curva diversa: sull'intervallo questa è la linea y=1.

È chiaro che quando ruota attorno all'asse OY, il fondo della ciotola avrà la forma di un cerchio di raggio unitario. E sappiamo come viene calcolata l'area di un cerchio (usando la formula pi*r^2. Nel nostro caso, l'area del cerchio sarà uguale a pi), ma calcoliamola usando una nuova formula - controllare.
Anche la distanza dall'asse di rotazione a qualsiasi punto di questo tratto di curva è uguale a x.

Ebbene, i nostri calcoli sono corretti, il che è una buona notizia.

E adesso compiti a casa.

1. Trova la superficie ottenuta ruotando la linea spezzata ABC, dove A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), attorno all'asse OX.
Consiglio. Annotare tutti i segmenti in forma parametrica.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
A proposito, che aspetto ha l'oggetto risultante?

2. Bene, ora inventa qualcosa tu stesso. Penso che tre elementi saranno sufficienti.

Pertanto passerò subito ai concetti base e agli esempi pratici.

Diamo un'occhiata alla semplice immagine

E ricorda: cosa può essere calcolato utilizzando integrale definito ?

Prima di tutto, ovviamente, area di un trapezio curvo . Familiare dai tempi della scuola.

Se questa figura ruota attorno all'asse delle coordinate, stiamo parlando di ricerca volume di un corpo di rivoluzione . Anche semplice.

Cos'altro? È stato recensito non molto tempo fa problema della lunghezza dell'arco .

E oggi impareremo come calcolare un'altra caratteristica: un'altra area. Immagina quella linea ruota attorno all'asse. Come risultato di questa azione, si ottiene una figura geometrica, chiamata superficie di rotazione. In questo caso assomiglia ad una pentola senza fondo. E senza coperchio. Come direbbe Ih-Oh, uno spettacolo straziante =)

Per eliminare ogni interpretazione ambigua, faccio una noiosa ma importante precisazione:

da un punto di vista geometrico il nostro “vaso” ha infinitamente sottile muro e due superfici con aree uguali: esterne e interne. Quindi, tutti i calcoli successivi implicano l'area sola superficie esterna.

In un sistema di coordinate rettangolari, l'area della superficie di rivoluzione viene calcolata dalla formula:

o, più compatto: .

Alla funzione e alla sua derivata vengono imposti gli stessi requisiti di quando si trova lunghezza dell'arco della curva , ma, inoltre, la curva deve essere localizzata più alto assi Questo è significativo! È facile capirlo se la linea si trova Sotto asse, quindi l'integrando sarà negativo : , e quindi dovrai aggiungere un segno meno alla formula per preservare il significato geometrico del problema.

Consideriamo una figura immeritatamente trascurata:

Area superficiale di un toro

In poche parole, il toro è una ciambella. Un esempio da manuale, discusso in quasi tutti i libri di testo su matan, è dedicato alla ricerca volume torus, e quindi, per ragioni di varietà, analizzerò il problema più raro di la sua superficie. Innanzitutto con valori numerici specifici:

Esempio 1

Calcola l'area della superficie di un toro ottenuta ruotando una circonferenza attorno all'asse.

Soluzione: come sai, l'equazione imposta cerchio raggio unitario con centro nel punto . In questo caso è facile ottenere due funzioni:

– imposta il semicerchio superiore;
– imposta il semicerchio inferiore:

Il punto è chiarissimo: cerchio ruota attorno all'asse x e si forma superficie bagel. L'unica cosa qui, per evitare grossolane riserve, è stare attenti alla terminologia: se si ruota cerchio, delimitato da un cerchio , quindi risulta geometrico corpo, cioè il bagel stesso. E ora parliamo della sua area superfici, che ovviamente va calcolata come somma delle aree:

1) Trova la superficie che si ottiene ruotando l'arco “blu”. attorno all'asse delle ascisse. Usiamo la formula . Come ho più volte consigliato, è più conveniente eseguire le azioni per fasi:

Prendiamo la funzione e trovarla derivato :

E infine, carichiamo il risultato nella formula:

Nota che in questo caso si è rivelato più razionale raddoppiare l'integrale di una funzione pari durante la soluzione, anziché ragionare preliminarmente sulla simmetria della figura rispetto all'asse delle ordinate.

2) Trovare la superficie che si ottiene ruotando l'arco “rosso”. attorno all'asse delle ascisse. Tutte le azioni differiranno infatti solo per un segno. Scriverò la soluzione in uno stile diverso, che, ovviamente, ha anche diritto alla vita:

3) Pertanto, la superficie del toro è:

Risposta:

Il problema potrebbe essere risolto in forma generale: calcola la superficie di un toro ottenuta ruotando un cerchio attorno all'asse delle ascisse e ottieni la risposta . Tuttavia, per chiarezza e maggiore semplicità, ho effettuato la soluzione su numeri specifici.

Se è necessario calcolare il volume della ciambella stessa, fare riferimento al libro di testo come riferimento rapido:

Secondo l'osservazione teorica, consideriamo il semicerchio superiore. Viene “disegnato” quando il valore del parametro cambia entro i limiti (è facile vederlo su questo intervallo), quindi:

Risposta:

Se risolvi il problema in forma generale, otterrai esattamente la formula scolastica per l'area della sfera, dov'è il suo raggio.

È stato un compito così dolorosamente semplice che mi sono persino vergognato... Ti suggerisco di correggere questo bug =)

Esempio 4

Calcola la superficie ottenuta ruotando il primo arco della cicloide attorno all'asse.

Il compito è creativo. Prova a ricavare o indovinare intuitivamente la formula per calcolare la superficie ottenuta ruotando una curva attorno all'asse delle ordinate. E, naturalmente, va notato ancora una volta il vantaggio delle equazioni parametriche: non necessitano di essere modificate in alcun modo; non è necessario preoccuparsi di trovare altri limiti di integrazione.

Il grafico della cicloide può essere visualizzato nella pagina Area e volume, se la linea è specificata parametricamente . La superficie di rotazione assomiglierà a... non so nemmeno con cosa paragonarla a... qualcosa di ultraterreno: di forma rotonda con una depressione appuntita al centro. Nel caso della rotazione di una cicloide attorno ad un asse, mi è venuta subito in mente un'associazione: una palla da rugby oblunga.

La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione.

Concludiamo la nostra affascinante recensione con il caso coordinate polari . Sì, solo una recensione, se guardi i libri di testo sull'analisi matematica (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov, altri autori), puoi ottenere una buona dozzina (o anche molti più) esempi standard, tra i quali potresti trovare il problema di cui hai bisogno .

Come calcolare la superficie di rivoluzione,
se la linea è data in un sistema di coordinate polari?

Se la curva viene fornita coordinate polari equazione e la funzione ha una derivata continua su un dato intervallo, la superficie ottenuta ruotando questa curva attorno all'asse polare viene calcolata con la formula , dove sono i valori angolari corrispondenti agli estremi della curva.

In accordo con il significato geometrico del problema, la funzione integranda , e ciò si ottiene solo sotto la condizione (e sono ovviamente non negativi). Pertanto, è necessario considerare i valori dell'angolo nell'intervallo , in altre parole, la curva dovrebbe essere posizionata più alto asse polare e sua continuazione. Come potete vedere, la stessa storia dei due paragrafi precedenti.

Esempio 5

Calcolare la superficie formata ruotando il cardioide attorno all'asse polare.

Soluzione: il grafico di questa curva può essere visto nell'Esempio 6 della lezione su sistema di coordinate polari . Il cardioide è simmetrico rispetto all'asse polare, quindi consideriamo la sua metà superiore nell'intervallo (il che, in effetti, è dovuto all'osservazione precedente).

La superficie di rotazione assomiglierà ad un occhio di bue.

La tecnica di soluzione è standard. Troviamo la derivata rispetto a "phi":

Componiamo e semplifichiamo la radice:

Spero con regolarità

Sia dato un corpo nello spazio. Si costruiscano le sue sezioni mediante piani perpendicolari all'asse passante per i punti
su di lei. L'area della figura formata nella sezione dipende dal punto X, definendo il piano di sezione. Lascia che questa dipendenza sia conosciuta e data in modo continuo funzione. Quindi il volume della parte del corpo situata tra i piani x=a E x=b calcolato dalla formula

Esempio. Troviamo il volume di un corpo limitato racchiuso tra la superficie di un cilindro di raggio :, un piano orizzontale e un piano inclinato z = 2y e giacente al di sopra del piano orizzontale.

È ovvio che il corpo in esame viene proiettato sul segmento dell'asse
, e in x
la sezione trasversale del corpo è un triangolo rettangolo con le gambe y e z = 2y, dove y può essere espresso tramite x dall'equazione del cilindro:

Pertanto, l’area della sezione trasversale S(x) è:

Usando la formula, troviamo il volume del corpo:

Calcolo dei volumi dei corpi di rotazione

Lasciamo il segmento[ UN, B] viene specificata una funzione continua di segno costante sì= F(X). Volumi di un corpo di rivoluzione formato dalla rotazione attorno ad un asse OH(o assi UO) un trapezio curvo delimitato da una curva sì= F(X) (F(X) 0) e dritto y=0, x=a, x=B, vengono calcolati di conseguenza utilizzando le formule:

, ( 19)

(20)

Se un corpo si forma ruotando attorno ad un asse UO trapezio curvilineo delimitato da una curva
e dritto X=0, sì= C, sì= D, allora il volume del corpo di rivoluzione è uguale a

. (21)

Esempio. Calcola il volume di un corpo ottenuto ruotando attorno ad un asse una figura delimitata da linee OH.

Secondo la formula (19), il volume richiesto

Esempio. Consideriamo la retta y=cosx sul segmento nel piano xOy .

E Quella linea ruota nello spazio attorno a un asse e la superficie di rotazione risultante limita alcuni corpi di rotazione (vedi figura). Troviamo il volume di questo corpo di rotazione.

Secondo la formula otteniamo:

Area superficiale di rotazione

,
, ruota attorno all'asse del bue, quindi la superficie di rotazione viene calcolata dalla formula
, Dove UN E B- ascissa dell'inizio e della fine dell'arco.

Se l'arco di una curva definita da una funzione non negativa
,
, ruota attorno all'asse Oy, quindi la superficie di rotazione viene calcolata dalla formula

dove c e d sono le ascisse dell'inizio e della fine dell'arco.

Se è dato l'arco della curva equazioni parametriche
,
, E
, Quello

Se l'arco è specificato in coordinate polari
, Quello

Esempio. Calcoliamo la superficie formata dalla rotazione nello spazio attorno all'asse della parte della linea y= situato sopra la barra falciante.

Perché
, allora la formula ci dà l'integrale

Apportiamo la modifica t=x+(1/2) nell'ultimo integrale e otteniamo:

Nel primo degli integrali a destra effettuiamo la sostituzione z=t 2 -:

Per calcolare il secondo degli integrali a destra, lo denotiamo e integriamo per parti, ottenendo l'equazione per:

Spostandoci a sinistra e dividendo per 2, otteniamo

dove, finalmente,

Applicazioni di un integrale definito alla soluzione di alcuni problemi di meccanica e fisica

Lavoro a forza variabile. Consideriamo il movimento di un punto materiale lungo l'asse BUE sotto l'influenza di una forza variabile F, a seconda della posizione del punto X sull'asse, cioè forza, che è una funzione X. Allora lavora UN, necessario per spostare il punto materiale dalla posizione X = UN in posizione X = B calcolato con la formula:

Calcolare forze di pressione del fluido utilizzare la legge di Pascal, secondo la quale la pressione di un fluido su una piattaforma è uguale alla sua area S, moltiplicato per la profondità di immersione H, sulla densità ρ e accelerazione di gravità G, cioè.

1. Momenti e centri di massa delle curve piane. Se l'arco della curva è dato dall'equazione y=f(x), a≤x≤b, e ha densità
, Quello momenti statici di questo arco M x e M y rispetto agli assi coordinati Ox e Oy sono uguali

;

momenti di inerzia I X e I y relativi agli stessi assi Ox e Oy vengono calcolati utilizzando le formule

UN coordinate del centro di massa E - secondo le formule

dove l è la massa dell'arco, cioè

Esempio 1. Trovare i momenti statici e i momenti di inerzia attorno agli assi Ox e Oy dell'arco della catenaria y=chx per 0≤x≤1.

Se la densità non è specificata, si presuppone che la curva sia uniforme e
. Abbiamo: Pertanto,

Esempio 2. Trovare le coordinate del centro di massa dell'arco circolare x=acost, y=asint, situato nel primo quarto. Abbiamo:

Da qui otteniamo:

Nelle applicazioni è spesso utile quanto segue Teorema Fiorino. L'area della superficie formata dalla rotazione di un arco di una curva piana attorno ad un asse che giace nel piano dell'arco e non lo interseca è uguale al prodotto della lunghezza dell'arco e della lunghezza del cerchio descritto dal suo centro di massa.

Esempio 3. Trova le coordinate del centro di massa del semicerchio

A causa della simmetria
. Quando un semicerchio viene ruotato attorno all'asse del Bue, si ottiene una sfera, la cui superficie è uguale e la lunghezza del semicerchio è uguale a na. Per il teorema di Gulden abbiamo 4

Da qui
, cioè. il centro di massa C ha coordinate C
.

2. Compiti fisici. Alcune applicazioni dell'integrale definito nella risoluzione di problemi fisici sono illustrate negli esempi seguenti.

Esempio 4. La velocità del moto rettilineo di un corpo è espressa dalla formula (m/s). Trova il percorso percorso dal corpo in 5 secondi dall'inizio del movimento.

Perché il percorso percorso dal corpo con velocità v(t) in un periodo di tempo, è espressa dall'integrale

Poi abbiamo:

P
esempio. Troviamo l'area dell'area delimitata compresa tra l'asse e la linea y=x 3 -x. Perché il

la linea interseca l'asse in tre punti: x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.

L'area limitata tra la linea e l'asse viene proiettata sul segmento
,e sul segmento
,liney=x 3 -x va sopra l'asse (cioè, liney=0 e così via - sotto. Pertanto, l'area della regione può essere calcolata come segue:

P
esempio. Troviamo l'area della regione racchiusa tra il primo e il secondo giro della spirale di Archimede r=a (a>0) e un segmento dell'asse orizzontale
.

Il primo giro della spirale corrisponde a un cambiamento nell'angolo da 0 a, e il secondo - da. Per dare un cambio di argomento a uno spazio scriviamo l'equazione del secondo giro della spirale nella forma
,

. Quindi l'area può essere trovata utilizzando la formula, mettendo
E
: