Il movimento di un corpo lungo un piano inclinato è un classico esempio del movimento di un corpo sotto l'azione di più forze non codirezionali. Il metodo standard per risolvere problemi di questo tipo di movimento è espandere i vettori di tutte le forze in componenti dirette lungo gli assi delle coordinate. Tali componenti sono linearmente indipendenti. Ciò consente di annotare separatamente la seconda legge di Newton per i componenti lungo ciascun asse. Pertanto, la seconda legge di Newton, che è un'equazione vettoriale, si trasforma in un sistema di due (tre per un caso tridimensionale) equazioni algebriche.

Le forze che agiscono sul blocco
caso di decelerazione accelerata

Si consideri un corpo che scivola su un piano inclinato. In questo caso agiscono su di esso le seguenti forze:

• Gravità m g , diretto verticalmente verso il basso;
• Supporta la forza di reazione N , diretto perpendicolarmente al piano;
• forza di attrito radente F tr, diretto opposto alla velocità (su lungo il piano inclinato quando il corpo scivola)

Quando si risolvono problemi che coinvolgono un piano inclinato, è spesso conveniente introdurre un sistema di coordinate inclinato, il cui asse OX è diretto verso il basso lungo il piano. Questo è conveniente, perché in questo caso solo un vettore dovrà essere scomposto in componenti: il vettore di gravità m g , e i vettori della forza di attrito F tr e le forze di reazione di supporto N già orientato lungo gli assi. Con questa espansione, la componente x della gravità è uguale a mg peccato( α ) e corrisponde alla "forza di trazione" responsabile del movimento accelerato verso il basso, e la componente y - mg cos( α ) = N equilibra la forza di reazione del supporto, poiché non vi è alcun movimento del corpo lungo l'asse OY.
forza di attrito radente F tr = µN proporzionale alla forza di reazione del supporto. Questo ci permette di ottenere la seguente espressione per la forza di attrito: F tr = mmg cos( α ). Questa forza è opposta alla componente "tirante" della gravità. Pertanto, per corpo che scivola verso il basso , otteniamo le espressioni per la forza e l'accelerazione totali risultanti:

F x= mg(peccato( α ) – µ cos( α ));
un x= g(peccato( α ) – µ cos( α )).

Non è difficile vederlo se µ < tg(α ), allora l'espressione ha segno positivo e si tratta di un movimento uniformemente accelerato lungo il piano inclinato. Se µ >tg( α ), allora l'accelerazione avrà segno negativo e il moto sarà ugualmente lento. Tale movimento è possibile solo se al corpo viene data una velocità iniziale lungo il pendio. In questo caso, il corpo si fermerà gradualmente. Se, soggetto a µ >tg( α ) l'oggetto è inizialmente fermo, quindi non inizierà a scivolare verso il basso. Qui, la forza di attrito statico compenserà completamente la componente "tirante" della gravità.

Quando il coefficiente di attrito è esattamente uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione del piano: µ = tg( α ), si tratta della compensazione reciproca di tutte e tre le forze. In questo caso, secondo la prima legge di Newton, il corpo può essere fermo o muoversi a velocità costante (in questo caso il moto uniforme è possibile solo verso il basso).

Le forze che agiscono sul blocco
scorrevole su un piano inclinato:
su caso al rallentatore

Tuttavia, il corpo può anche salire sul piano inclinato. Un esempio di tale movimento è il movimento di un disco da hockey su uno scivolo di ghiaccio. Quando un corpo si muove verso l'alto, sia la forza di attrito che la componente di "trazione" della gravità sono dirette verso il basso lungo un piano inclinato. In questo caso, abbiamo sempre a che fare con un movimento lento uniforme, poiché la forza totale è diretta nella direzione opposta alla velocità. L'espressione per l'accelerazione per questa situazione si ottiene in modo simile e differisce solo nel segno. Quindi per corpo che scivola su un piano inclinato , noi abbiamo.

Un piano inclinato è una superficie piana ad un certo angolo rispetto all'orizzontale. Consente di sollevare il carico con una forza inferiore rispetto a se questo carico fosse sollevato verticalmente verso l'alto. Su un piano inclinato, il carico sale lungo questo piano. Allo stesso tempo, supera una distanza maggiore che se si alzasse verticalmente.

Nota 1

Inoltre, quante volte c'è un guadagno di forza, tante volte la distanza che il carico supererà sarà maggiore.

Figura 1. Piano inclinato

Se l'altezza alla quale il carico deve essere sollevato è uguale a $h$, e quindi la forza $F_h$ sarebbe spesa, e la lunghezza del piano inclinato è $l$, e la forza $F_l$ fosse spesa, allora $l$ è correlato a $h $ come $F_h$ è correlato a $F_l$: $l/h = F_h/F_l$... Tuttavia, $F_h$ è il peso del carico ($P$). Pertanto, di solito è scritto come segue: $l/h = P/F$, dove $F$ è la forza che solleva il carico.

La quantità di forza $F$ che deve essere applicata ad un carico di peso $P$ affinché il corpo sia in equilibrio su un piano inclinato è pari a $F_1 = P_h/l = Psin(\mathbf \alpha )$ se la forza $P$ viene applicata parallelamente al piano inclinato (Fig.2, a), e $F_2$ = $Р_h/l = Рtg(\mathbf \alpha )$, se la forza $Р$ viene applicata parallelamente alla base del piano inclinato (Fig.2, b).

Figura 2. Movimento del carico su un piano inclinato

a) la forza è parallela al piano b) la forza è parallela alla base

Il piano inclinato dà un aumento di forza, con il suo aiuto è più facile sollevare il carico ad un'altezza. Minore è l'angolo $\alpha $, maggiore è il guadagno in forza. Se l'angolo $\alpha $ è inferiore all'angolo di attrito, il carico non si muoverà spontaneamente ed è necessario uno sforzo per abbassarlo.

Se prendiamo in considerazione le forze di attrito tra il carico e il piano inclinato, si ottengono i seguenti valori per $F_1$ e $F_2$: $F_1=Рsin($$(\mathbf \alpha )$$\pm $$(\mathbf \varphi )$) /cos$(\mathbf \varphi )$; $F_2=Рtg($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$)

Il segno più si riferisce allo spostamento verso l'alto, il segno meno all'abbassamento del carico. Efficienza del piano inclinato $(\mathbf \eta )$1=sin$(\mathbf \alpha )$cos$(\mathbf \alpha )$/sin($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi )$ ) se la forza $P$ è diretta parallelamente al piano, e $(\mathbf \eta )$2=tg$(\mathbf \alpha )$/tg($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \ varphi )$) se la forza $P$ è diretta parallelamente alla base del piano inclinato.

Il piano inclinato obbedisce alla "regola d'oro della meccanica". Minore è l'angolo tra la superficie e il piano inclinato (cioè, più piatto è, non in forte aumento), minore è la forza da applicare per sollevare il carico, ma maggiore sarà la distanza da superare.

In assenza di forze di attrito, il guadagno in forza è $K = P/F = 1/sin$$\alpha = l/h$. In condizioni reali, per l'azione della forza di attrito, l'efficienza del piano inclinato è minore di 1, il guadagno in forza è minore del rapporto $l/h$.

Esempio 1

Un carico del peso di 40 kg viene sollevato lungo un piano inclinato ad un'altezza di 10 m applicando una forza di 200 N (Fig. 3). Qual è la lunghezza del piano inclinato? Ignora l'attrito.

$(\mathbf \eta )$ = 1

Quando un corpo si muove lungo un piano inclinato, il rapporto tra la forza applicata e il peso del corpo è uguale al rapporto tra la lunghezza del piano inclinato e la sua altezza: $\frac(F)(P)=\frac( l)(h)=\frac(1)((sin (\ mathbf \alpha )\ ))$. Quindi $l=\frac(Fh)(mg)=\ \frac(200\cdot 10)(40\cdot 9,8)=5,1\m$.

Risposta: La lunghezza del piano inclinato è di 5,1 m

Esempio 2

Due corpi di massa $m_1$ = 10 g e $m_2$ = 15 g sono collegati da un filo lanciato su un blocco fisso installato su un piano inclinato (Fig. 4). Il piano forma un angolo $\alpha $ = 30$()^\circ$ con l'orizzonte. Trova l'accelerazione con cui questi corpi si muoveranno.

$(\mathbf \alpha )$ = 30 gradi

$g$ = 9,8 $m/s_2$

Dirigiamo l'asse OX lungo il piano inclinato, e l'asse OY perpendicolare ad esso, e proiettiamo i vettori $\ (\overrightarrow(Р))_1\ e\ (\overrightarrow(Р))_2$ su questi assi. Come si può vedere dalla figura, la risultante delle forze applicate a ciascuno dei corpi è uguale alla differenza tra le proiezioni dei vettori $\ (\overrightarrow(Р))_1\ e\ (\overrightarrow(Р)) _2$ sull'asse OX:

\[\left|\overrightarrow(R)\right|=\left|P_(2x)-P_(1x)\right|=\left|m_2g(sin \alpha \ )-m_1g(sin \alpha \ )\right |=g(sin \alpha \left|m_2-m_1\right|\ )\] \[\left|\overrightarrow(R)\right|=9.8\cdot (sin 30()^\circ \ )\cdot \ sinistra|0.015-0.01\destra|=0.0245\ H\] \

Risposta: Accelerazioni dei corpi $a_1=2.45\frac(m)(s^2);\ \ \ \ \ \ a_2=1.63\ m/s^2$

Oltre alla leva e al blocco, i meccanismi semplici includono anche un piano inclinato e le sue varietà: un cuneo e una vite.

PIANO INCLINATO

Un piano inclinato viene utilizzato per spostare oggetti pesanti a un livello più alto senza sollevarli direttamente.
Tali dispositivi includono rampe, scale mobili, scale convenzionali e nastri trasportatori.

Se è necessario sollevare il carico ad un'altezza, è sempre più facile utilizzare una pendenza dolce che una ripida. Inoltre, più bassa è la pendenza, più facile è fare questo lavoro. Quando il tempo e la distanza non sono importanti, ma è importante sollevare il carico con il minimo sforzo, il piano inclinato è indispensabile.

Questi disegni possono aiutare a spiegare come funziona il semplice meccanismo TILT PLANE.
I calcoli classici dell'azione di un piano inclinato e altri semplici meccanismi appartengono all'eccezionale meccanico antico Archimede di Siracusa.

Durante la costruzione dei templi, gli egiziani trasportarono, innalzarono e installarono colossali obelischi e statue, il cui peso era di decine e centinaia di tonnellate! Tutto questo potrebbe essere fatto utilizzando, tra gli altri semplici meccanismi, un piano inclinato.

Il principale dispositivo di sollevamento degli egiziani era un piano inclinato: una rampa. Il telaio della rampa, cioè i suoi lati e le partizioni. Man mano che la piramide cresceva, fu costruita la rampa. I sassi venivano trascinati lungo queste rampe su slitte. L'angolo di rampa era molto leggero - 5 o 6 gradi.

Colonne dell'antico tempio egizio di Tebe.

Ognuna di queste enormi colonne veniva trascinata dagli schiavi lungo una rampa, un piano inclinato. Quando la colonna è strisciata nella fossa, la sabbia è stata rastrellata attraverso il foro, quindi il muro di mattoni è stato smantellato e il terrapieno è stato rimosso. Così, ad esempio, la strada in pendenza per la piramide di Chefren, alta 46 metri, aveva una lunghezza di circa mezzo chilometro.

Un corpo su un piano inclinato è trattenuto da una forza tante volte minore del peso di questo corpo quanto la lunghezza del piano inclinato è maggiore della sua altezza.
Questa condizione per l'equilibrio delle forze su un piano inclinato fu formulata dallo scienziato olandese Simon Stevin (1548-1620).

Disegno al frontespizio del libro di S. Stevin, con il quale conferma la sua formulazione.

Il piano inclinato della centrale idroelettrica di Krasnoyarsk è utilizzato in modo molto ingegnoso. Qui, al posto delle chiuse, c'è una camera di una nave che si muove lungo un cavalcavia inclinato. Per il suo movimento è necessaria una forza di trazione di 4000 kN.

E perché le strade di montagna si snodano in un dolce "serpentino"?

Un cuneo è una variazione di un semplice meccanismo chiamato "piano inclinato". Il cuneo è costituito da due piani inclinati, le cui basi sono a contatto. Viene utilizzato per ottenere un aumento di forza, cioè con l'aiuto di una forza minore per contrastare una forza maggiore.

Quando si taglia la legna da ardere, per facilitare il lavoro, si inserisce un cuneo di metallo nella fessura del tronco e si picchia su di essa con il calcio di un'ascia.

Il guadagno ideale in forza dato dal cuneo è uguale al rapporto tra la sua lunghezza e lo spessore all'estremità smussata. A causa dell'elevato attrito, la sua efficienza è così piccola che il guadagno ideale non ha molta importanza.

Un altro tipo di piano inclinato è la vite.
Una vite è un piano inclinato avvolto attorno ad un asse. Il filo di una vite è un piano inclinato avvolto ripetutamente attorno a un cilindro.

A causa dell'elevato attrito, la sua efficienza è così piccola che il guadagno ideale non ha molta importanza. A seconda della direzione di salita del piano inclinato, la filettatura della vite può essere sinistra o destra.
Esempi di dispositivi semplici con filettature a vite sono un martinetto, un bullone con un dado, un micrometro, una morsa.

Traffico. Calore Kitaygorodsky Alexander Isaakovich

Piano inclinato

Piano inclinato

Un pendio ripido è più difficile da superare di uno dolce. È più facile far rotolare un corpo ad un'altezza su un piano inclinato che sollevarlo verticalmente. Perché è così e quanto è più facile? La legge dell'addizione delle forze ci permette di comprendere questi problemi.

Sulla fig. 12 mostra un carrello su ruote, che è trattenuto su un piano inclinato dalla tensione di una fune. Oltre alla trazione, sul carrello agiscono altre due forze: il peso e la forza di reazione del supporto, che agisce sempre lungo la normale al piano, indipendentemente dal fatto che il piano di appoggio sia orizzontale o inclinato.

Come già accennato, se il corpo preme sul supporto, il supporto contrasta la pressione o, come si suol dire, crea una forza di reazione.

Ci interessa sapere fino a che punto sia più facile sollevare il carrello su un piano inclinato che sollevarlo verticalmente.

Espandiamo le forze in modo che una sia diretta lungo e l'altra sia perpendicolare alla superficie lungo la quale si muove il corpo. Affinché il corpo poggi su un piano inclinato, la forza di trazione della fune deve bilanciare solo la componente longitudinale. Per quanto riguarda il secondo componente, è bilanciato dalla reazione del supporto.

Trova la forza di tensione della fune che ci interessa T può essere una costruzione geometrica o una trigonometria. La costruzione geometrica consiste nel disegnare dall'estremità del vettore peso P perpendicolare al piano.

Nella figura puoi trovare due triangoli simili. Rapporto di lunghezza del piano inclinato l all'altezza hè uguale al rapporto dei lati corrispondenti nel triangolo delle forze. Così,

Più è inclinato il piano inclinato ( h/l piccolo), quindi, ovviamente, è più facile trascinare il corpo verso l'alto.

E ora per chi conosce la trigonometria: poiché l'angolo tra la componente trasversale del peso e il vettore del peso uguale all'angolo? piano inclinato (questi sono angoli con lati reciprocamente perpendicolari), quindi

Quindi, fai rotolare il carrello su un piano inclinato con un angolo? nel peccato? volte più facile che sollevarlo verticalmente.

Buono da ricordare i valori funzioni trigonometriche per angoli 30, 45 e 60°. Conoscendo questi numeri per il seno (sin 30° = 1/2; sin 45° = sqrt(2)/2; *5 sin 60° = sqrt(3)/2), abbiamo una buona idea del guadagno in forza quando ci si sposta lungo un piano inclinato.

Dalle formule si può vedere che con un angolo di un piano inclinato di 30°, i nostri sforzi saranno la metà del peso: T = P(1/2). Ad angoli di 45° e 60°, la fune dovrà essere tirata con forze pari a circa 0,7 e 0,9 del peso del carrello. Come puoi vedere, piani inclinati così ripidi rendono le cose un po' più facili.