Funzioni mutuamente inverse e loro grafici. Funzioni reciprocamente inverse, definizioni di base, proprietà, grafici Messaggio sul tema delle funzioni inverse

Obiettivi della lezione:

Educativo:

• costruire conoscenza nuovo argomento in conformità con il materiale del programma;
• studiare la proprietà di reversibilità di una funzione e insegnare a trovare la funzione inversa di una data;

Sviluppo:

• sviluppare capacità di autocontrollo, discorso sostanziale;
• padroneggiare il concetto di funzione inversa e apprendere metodi per trovare la funzione inversa;

Educativo: sviluppare la competenza comunicativa.

Attrezzatura: computer, proiettore, schermo, lavagna interattiva SMART Board, dispense ( lavoro indipendente) per lavori di gruppo.

Avanzamento della lezione.

1. Momento organizzativo.

Bersaglio – preparare gli studenti al lavoro in classe:

Definizione di assenti,

Mettere gli studenti in vena di lavorare, organizzare l'attenzione;

Indica l'argomento e lo scopo della lezione.

2. Aggiornamento delle conoscenze di base degli studenti. Rilievo frontale.

Bersaglio - stabilire la correttezza e la consapevolezza del materiale teorico studiato, ripetizione del materiale trattato.<Приложение 1 >

Per gli studenti su lavagna interattiva Viene mostrato il grafico della funzione. L'insegnante formula un compito: considera il grafico di una funzione ed elenca le proprietà studiate della funzione. Gli studenti elencano le proprietà di una funzione in conformità con il disegno della ricerca. A destra del grafico della funzione, l'insegnante annota le proprietà nominate con un pennarello sulla lavagna interattiva.

Proprietà della funzione:

Alla fine dello studio, l'insegnante riferisce che oggi nella lezione acquisiranno familiarità con un'altra proprietà della funzione: la reversibilità. Per studiare in modo significativo il nuovo materiale, l'insegnante invita i bambini a conoscere le domande principali a cui gli studenti devono rispondere alla fine della lezione. Le domande sono scritte su una normale lavagna e ogni studente le ha sotto forma di dispense (distribuite prima della lezione)

1. Quale funzione è detta invertibile?
2. Qualche funzione è invertibile?
3. Quale funzione è chiamata inversa di un dato?
4. Come sono correlati il ​​dominio di definizione e l'insieme dei valori di una funzione e la sua inversa?
5. Se una funzione è data analiticamente, come si può definire la funzione inversa mediante una formula?
6. Se una funzione è data graficamente, come si rappresenta graficamente la sua funzione inversa?

3. Spiegazione del nuovo materiale.

Bersaglio - generare conoscenze su un nuovo argomento in conformità con il materiale del programma; studiare la proprietà di reversibilità di una funzione e insegnare a trovare la funzione inversa di una data; sviluppare un discorso sostanziale.

L'insegnante presenta il materiale in conformità con il materiale nel paragrafo. Sulla lavagna interattiva l'insegnante confronta i grafici di due funzioni i cui domini di definizione e insiemi di valori sono gli stessi, ma una delle funzioni è monotona e l'altra no, introducendo così gli studenti al concetto di funzione invertibile .

L'insegnante formula quindi la definizione di funzione invertibile ed effettua una dimostrazione del teorema della funzione invertibile utilizzando il grafico di una funzione monotona sulla lavagna interattiva.

Definizione 1: viene chiamata la funzione y=f(x), x X reversibile, se assume uno qualsiasi dei suoi valori solo in un punto dell'insieme X.

Teorema: Se una funzione y=f(x) è monotona su un insieme X, allora è invertibile.

Prova:

1. Lasciamo la funzione y=f(x) aumenta di X e lascia x1 ≠x2- due punti del set X.
2. Per essere precisi, lasciamo x1< x2.
   Quindi dal fatto che x1< x2 ne consegue che f(x1) < f(x2).
3. Pertanto, valori diversi dell'argomento corrispondono a valori diversi della funzione, ad es. la funzione è invertibile.

(Man mano che la dimostrazione del teorema procede, l'insegnante usa un pennarello per apportare tutte le spiegazioni necessarie sul disegno)

Prima di formulare la definizione di funzione inversa, l'insegnante chiede agli studenti di determinare quale delle funzioni proposte è invertibile? La lavagna interattiva mostra grafici di funzioni e scrive diverse funzioni definite analiticamente:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

L'insegnante introduce la definizione di funzione inversa.

Definizione 2: Sia la funzione invertibile y=f(x) definito sul set X E E(f)=Y. Abbiniamo ciascuno di essi sì da Y questo è l'unico significato X, al che f(x)=y. Quindi otteniamo una funzione definita su Y, UN X– gamma di funzioni

Questa funzione è designata x=f -1 (y) ed è detta inversa della funzione y=f(x).

Agli studenti viene chiesto di trarre una conclusione sulla connessione tra il dominio di definizione e l'insieme dei valori delle funzioni inverse.

Per considerare la questione su come trovare l'inverso di una determinata funzione, l'insegnante ha attirato due studenti. Il giorno prima, i bambini hanno ricevuto dall'insegnante l'incarico di analizzare autonomamente i metodi analitici e grafici per trovare la funzione inversa di una determinata funzione. L'insegnante ha svolto il ruolo di consulente nella preparazione degli studenti alla lezione.

Messaggio del primo studente.

Nota: la monotonia della funzione è sufficiente condizione per l’esistenza della funzione inversa. Ma quello non lo è una condizione necessaria.

Lo studente ha fornito esempi di varie situazioni in cui una funzione non è monotona ma invertibile, quando una funzione non è monotona e non invertibile, quando è monotona e invertibile

Lo studente quindi introduce gli studenti a un metodo per trovare la funzione inversa data analiticamente.

Trovare l'algoritmo

1. Assicurati che la funzione sia monotona.
2. Esprimi la variabile x in termini di y.
3. Rinominare le variabili. Invece di x=f -1 (y) scrivi y=f -1 (x)

Quindi risolve due esempi per trovare la funzione inversa di uno dato.

Esempio 1: Mostra che per la funzione y=5x-3 esiste una funzione inversa e trova la sua espressione analitica.

Soluzione. La funzione lineare y=5x-3 è definita su R, aumenta su R, e il suo intervallo di valori è R. Ciò significa che su R esiste la funzione inversa. Per trovare la sua espressione analitica, risolvi l'equazione y=5x- 3 per x; otteniamo Questa è la funzione inversa richiesta. È definito e crescente su R.

Esempio 2: Mostra che per la funzione y=x 2, x≤0 esiste una funzione inversa e trova la sua espressione analitica.

La funzione è continua, monotona nel suo dominio di definizione, quindi è invertibile. Dopo aver analizzato i domini di definizione e gli insiemi di valori della funzione, si giunge ad una conclusione corrispondente sull'espressione analitica della funzione inversa.

Il secondo studente fa una presentazione su grafico Metodo per trovare la funzione inversa. Durante la spiegazione, lo studente utilizza le funzionalità della lavagna interattiva.

Per ottenere un grafico della funzione y=f -1 (x), inversa alla funzione y=f(x), è necessario trasformare il grafico della funzione y=f(x) simmetricamente rispetto alla retta y=x.

Durante la spiegazione sulla lavagna interattiva viene eseguita la seguente attività:

Costruisci il grafico di una funzione e il grafico della sua funzione inversa nello stesso sistema di coordinate. Scrivi un'espressione analitica per la funzione inversa.

4. Consolidamento primario di nuovo materiale.

Bersaglio - stabilire la correttezza e la consapevolezza della comprensione del materiale studiato, identificare le lacune nella comprensione primaria del materiale e correggerle.

Gli studenti sono divisi in coppie. Vengono forniti dei fogli di compiti in cui svolgono il lavoro in coppia. Il tempo per completare il lavoro è limitato (5-7 minuti). Una coppia di studenti lavora al computer, durante questo periodo il proiettore si spegne e il resto dei bambini non può vedere come gli studenti lavorano al computer.

Al termine del tempo (si presuppone che la maggioranza degli studenti abbia completato il lavoro), il lavoro degli studenti viene mostrato sulla lavagna interattiva (il proiettore viene riacceso), dove viene determinato durante la verifica se il compito è stato completato correttamente in coppia. Se necessario, l'insegnante svolge un lavoro correttivo ed esplicativo.

Lavoro indipendente in coppia<Appendice 2 >

5. Riepilogo della lezione. Per quanto riguarda le domande che sono state poste prima della lezione. Annuncio dei voti della lezione.

Compiti a casa §10. N. 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12 (b)

Algebra e gli inizi dell'analisi. Grado 10 In 2 parti per istituti di istruzione generale (livello di profilo) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A Koreshkova, ecc.; modificato da A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Cos'è una funzione inversa? Come trovare l'inversa di una determinata funzione?

Definizione.

Sia definita la funzione y=f(x) sull'insieme D, e sia E l'insieme dei suoi valori. Funzione inversa rispetto a la funzione y=f(x) è una funzione x=g(y), che è definita sull'insieme E e assegna a ciascuna y∈E un valore x∈D tale che f(x)=y.

Pertanto, il dominio di definizione della funzione y=f(x) è il dominio dei valori della sua funzione inversa, e il dominio dei valori y=f(x) è il dominio di definizione della funzione inversa.

Per trovare la funzione inversa di una determinata funzione y=f(x), è necessario :

1) Nella formula della funzione, sostituisci x invece di y e y invece di x:

2) Dall'uguaglianza risultante, esprimere y tramite x:

Trova la funzione inversa della funzione y=2x-6.

Le funzioni y=2x-6 e y=0.5x+3 sono reciprocamente inverse.

I grafici delle funzioni diretta e inversa sono simmetrici rispetto alla retta y=x(bisettrici dei quarti di coordinata I e III).

y=2x-6 e y=0,5x+3 - . Programma funzione lineareÈ . Per costruire una linea retta, prendi due punti.

È possibile esprimere y in modo univoco in termini di x nel caso in cui l'equazione x=f(y) abbia l'unica soluzione. Ciò può essere fatto se la funzione y=f(x) assume ciascuno dei suoi valori in un singolo punto del suo dominio di definizione (tale funzione è chiamata reversibile).

Teorema (condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità di una funzione)

Se la funzione y=f(x) è definita e continua su un intervallo numerico, allora affinché la funzione sia invertibile è necessario e sufficiente che f(x) sia strettamente monotona.

Inoltre, se y=f(x) cresce su un intervallo, allora cresce su questo intervallo anche la funzione ad essa inversa; se y=f(x) diminuisce, allora la funzione inversa diminuisce.

Se la condizione di reversibilità non è soddisfatta in tutto il dominio di definizione, è possibile selezionare un intervallo in cui la funzione aumenta o diminuisce solo, e su questo intervallo trovare la funzione inversa a quella data.

Un classico esempio è . Nel mezzo)