Lezioni di matematica: perché non si può dividere per zero. La regola per moltiplicare qualsiasi numero per zero Azioni con zero

Il numero 0 può essere immaginato come un certo confine che separa il mondo dei numeri reali da quelli immaginari o negativi. A causa della posizione ambigua, molte operazioni con questo valore numerico non obbedire logica matematica. L’impossibilità di dividere per zero ne è un ottimo esempio. E le operazioni aritmetiche consentite con zero possono essere eseguite utilizzando definizioni generalmente accettate.

Storia dello zero

Lo zero è il punto di riferimento in tutti i sistemi numerici standard. Gli europei hanno iniziato a usare questo numero relativamente di recente, ma i saggi dell’antica India usavano lo zero mille anni prima che il numero vuoto venisse usato regolarmente dai matematici europei. Anche prima degli indiani, lo zero era un valore obbligatorio nel sistema numerico Maya. Questi americani usavano il sistema numerico duodecimale e il primo giorno di ogni mese iniziava con uno zero. È interessante notare che tra i Maya il segno che indica "zero" coincideva completamente con il segno che indica "infinito". Pertanto, gli antichi Maya conclusero che queste quantità sono identiche e inconoscibili.

Operazioni matematiche con zero

Le operazioni matematiche standard con zero possono essere ridotte a poche regole.

Addizione: se aggiungi zero a un numero arbitrario, il suo valore non cambierà (0+x=x).

Sottrazione: quando si sottrae zero da qualsiasi numero, il valore del sottraendo rimane invariato (x-0=x).

Moltiplicazione: qualsiasi numero moltiplicato per 0 produce 0 (a*0=0).

Divisione: lo zero può essere diviso per qualsiasi numero diverso da zero. In questo caso, il valore di tale frazione sarà 0. E la divisione per zero è vietata.

Esponenziazione. Questa azione può essere eseguita con qualsiasi numero. Un numero arbitrario elevato a zero darà 1 (x 0 =1).

Zero a qualsiasi potenza è uguale a 0 (0 a = 0).

In questo caso sorge subito una contraddizione: l'espressione 0 0 non ha senso.

Paradossi della matematica

Molte persone sanno da scuola che la divisione per zero è impossibile. Ma per qualche motivo è impossibile spiegare il motivo di tale divieto. In effetti, perché non esiste la formula per dividere per zero, ma altre azioni con questo numero sono abbastanza ragionevoli e possibili? La risposta a questa domanda la danno i matematici.

Il fatto è che le solite operazioni aritmetiche in cui imparano gli scolari scuola elementare, in realtà, non sono così uguali come pensiamo. Tutte le semplici operazioni numeriche possono essere ridotte a due: addizione e moltiplicazione. Queste azioni costituiscono l'essenza del concetto stesso di numero, e sull'utilizzo di questi due si costruiscono altre operazioni.

Addizione e moltiplicazione

Prendiamo un esempio di sottrazione standard: 10-2=8. A scuola la considerano semplice: se togli due a dieci materie, ne restano otto. Ma i matematici vedono questa operazione in modo completamente diverso. Dopotutto, per loro non esiste un'operazione come la sottrazione. Questo esempio può essere scritto in un altro modo: x+2=10. Per i matematici, la differenza sconosciuta è semplicemente il numero che deve essere sommato a due per ottenere otto. E qui non è richiesta alcuna sottrazione, devi solo trovare il valore numerico appropriato.

La moltiplicazione e la divisione vengono trattate allo stesso modo. Nell'esempio 12:4=3 puoi capirlo stiamo parlando sulla divisione di otto oggetti in due pile uguali. Ma in realtà questa è solo una formula invertita per scrivere 3x4 = 12. Tali esempi di divisione possono essere forniti all'infinito.

Esempi di divisione per 0

È qui che diventa un po’ chiaro il motivo per cui non è possibile dividere per zero. La moltiplicazione e la divisione per zero seguono regole proprie. Tutti gli esempi di divisione di questa quantità possono essere formulati come 6:0 = x. Ma questa è una notazione invertita dell'espressione 6 * x=0. Ma, come sai, qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà solo 0 nel prodotto. Questa proprietà è inerente al concetto stesso di valore zero.

Si scopre che non esiste un numero tale che, moltiplicato per 0, dia un valore tangibile, cioè questo problema non ha soluzione. Non dovresti aver paura di questa risposta; è una risposta naturale per problemi di questo tipo. È solo che il record 6:0 non ha alcun senso e non può spiegare nulla. In breve, questa espressione può essere spiegata con l’immortale “la divisione per zero è impossibile”.

Esiste un'operazione 0:0? Infatti, se l’operazione di moltiplicazione per 0 è legale, è possibile dividere zero per zero? Dopotutto, un'equazione della forma 0x5=0 è del tutto legale. Invece del numero 5 puoi mettere 0, il prodotto non cambierà.

Infatti, 0x0=0. Ma non puoi ancora dividere per 0. Come già detto, la divisione è semplicemente l’inverso della moltiplicazione. Quindi, se nell'esempio 0x5=0 occorre determinare il secondo fattore, otteniamo 0x0=5. O 10. O infinito. Dividere l'infinito per zero: come ti piace?

Ma se qualsiasi numero rientra nell'espressione, allora non ha senso; non possiamo sceglierne solo uno tra un numero infinito di numeri. E se è così, significa che l'espressione 0:0 non ha senso. Si scopre che anche lo zero stesso non può essere diviso per zero.

Matematica superiore

La divisione per zero è un grattacapo per la matematica delle scuole superiori. L'analisi matematica studiata nelle università tecniche espande leggermente il concetto di problemi che non hanno soluzione. Ad esempio, all'espressione già nota 0:0 se ne aggiungono di nuove che non hanno soluzione corsi scolastici matematica:

• infinito diviso per infinito: ∞:∞;
• infinito meno infinito: ∞−∞;
• unità elevata a potenza infinita: 1 ∞ ;
• infinito moltiplicato per 0: ∞*0;
• alcuni altri.

È impossibile risolvere tali espressioni utilizzando metodi elementari. Ma la matematica superiore, grazie alle possibilità aggiuntive per una serie di esempi simili, fornisce soluzioni finali. Ciò è particolarmente evidente nella considerazione dei problemi derivanti dalla teoria dei limiti.

Sbloccare l’incertezza

Nella teoria dei limiti il ​​valore 0 è sostituito da una variabile infinitesima condizionale. E le espressioni in cui, sostituendo il valore desiderato, si ottiene la divisione per zero, vengono trasformate. Di seguito è riportato un esempio standard di espansione di un limite utilizzando trasformazioni algebriche ordinarie:

Come puoi vedere nell'esempio, la semplice riduzione di una frazione porta il suo valore a una risposta completamente razionale.

Quando si considerano i limiti delle funzioni trigonometriche, le loro espressioni tendono a ridursi alla prima limite meraviglioso. Quando si considerano limiti in cui il denominatore diventa 0 quando viene sostituito un limite, viene utilizzato un secondo limite notevole.

Metodo L'Hopital

In alcuni casi, i limiti delle espressioni possono essere sostituiti dai limiti dei loro derivati. Guillaume L'Hopital - matematico francese, fondatore della scuola francese di analisi matematica. Ha dimostrato che i limiti delle espressioni sono uguali ai limiti delle derivate di queste espressioni. IN notazione matematica la sua regola è la seguente.

Divisione per zero in matematica, divisione in cui il divisore è zero. Formalmente tale divisione può essere scritta ⁄ 0, dove è il dividendo.

Nell'aritmetica ordinaria (con numeri reali) questa espressione non ha senso, poiché:

• per ≠ 0 non esiste numero che moltiplicato per 0 dia, quindi nessun numero può essere preso come quoziente ⁄ 0;
• a = 0, anche la divisione per zero non è definita, poiché qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 e può essere preso come quoziente 0 ⁄ 0.

Storicamente, uno dei primi riferimenti all'impossibilità matematica di assegnare il valore ⁄ 0 è contenuto nella critica di George Berkeley al calcolo infinitesimale.

Errori logici

Poiché quando moltiplichiamo qualsiasi numero per zero, otteniamo sempre zero come risultato, quando dividiamo entrambe le parti dell'espressione × 0 = × 0, che è vero indipendentemente dal valore di e, per 0 otteniamo l'espressione =, che non è corretto nel caso di variabili specificate arbitrariamente. Poiché lo zero può essere indicato non esplicitamente, ma sotto forma di un'espressione matematica piuttosto complessa, ad esempio sotto forma di differenza di due valori ridotti l'uno all'altro mediante trasformazioni algebriche, una tale divisione può essere un errore piuttosto invisibile. L'impercettibile introduzione di una tale divisione nel processo di dimostrazione per mostrare l'identità di quantità ovviamente diverse, dimostrando così qualsiasi affermazione assurda, è una delle varietà del sofisma matematico.

Nell'informatica

Nella programmazione, a seconda del linguaggio di programmazione, del tipo di dati e del valore del dividendo, tentare di dividere per zero può avere conseguenze diverse. Le conseguenze della divisione per zero nell'aritmetica intera e reale sono fondamentalmente diverse:

• Tentativo numero intero la divisione per zero è sempre un errore critico che rende impossibile l'ulteriore esecuzione del programma. Genera un'eccezione (che il programma può gestire da solo, evitando così un arresto anomalo) oppure provoca l'arresto immediato del programma, visualizzando un messaggio di errore non correggibile ed eventualmente il contenuto dello stack di chiamate. In alcuni linguaggi di programmazione, come Go, la divisione di numeri interi per una costante zero è considerata un errore di sintassi e causa la compilazione anomala del programma.
• IN vero le conseguenze aritmetiche possono essere diverse nelle diverse lingue:

• lanciare un'eccezione o arrestare il programma, come con la divisione intera;
• ottenere uno speciale valore non numerico come risultato di un'operazione. In questo caso i calcoli non vengono interrotti ed il loro risultato può successivamente essere interpretato dal programma stesso o dall'utente come valore significativo o come prova di calcoli errati. Un principio ampiamente utilizzato è che quando si divide come ⁄ 0, dove ≠ 0 è un numero in virgola mobile, il risultato è uguale a infinito positivo o negativo (a seconda del segno del dividendo) - oppure, e quando = 0 il risultato è un valore speciale NaN (abbr. dall'inglese “non un numero”). Questo approccio è adottato nello standard IEEE 754, che è supportato da molti lingue moderne programmazione.

La divisione accidentale per zero in un programma per computer può talvolta causare malfunzionamenti costosi o pericolosi nell'hardware controllato dal programma. Ad esempio, il 21 settembre 1997, a seguito della divisione per zero nel sistema di controllo computerizzato dell'incrociatore USS Yorktown (CG-48) Marina Militare Negli Stati Uniti c’è stato un blackout su tutto equipaggiamento elettronico nel sistema, provocando l'interruzione del funzionamento del sistema di propulsione della nave.

Guarda anche

Appunti

Funzione = 1 ⁄ . Quando tende a zero da destra, tende all'infinito; quando tende a zero da sinistra, tende a meno infinito

Se dividi un numero qualsiasi per zero su una normale calcolatrice, otterrai la lettera E o la parola Error, cioè "errore".

In un caso simile, il calcolatore del computer scrive (in Windows XP): “La divisione per zero è vietata”.

Tutto è coerente con la regola conosciuta a scuola secondo cui non si può dividere per zero.

Scopriamo perché.

La divisione è l'operazione matematica inversa alla moltiplicazione. La divisione è determinata attraverso la moltiplicazione.

Dividere un numero UN(divisibile, ad esempio 8) per numero B(divisore, ad esempio il numero 2) - significa trovare tale numero X(quoziente), se moltiplicato per un divisore B si scopre il dividendo UN(4 2 = 8), cioè UN dividi per B significa risolvere l'equazione x · b = a.

L'equazione a: b = x è equivalente all'equazione x · b = a.

Sostituiamo la divisione con la moltiplicazione: invece di 8: 2 = x scriviamo x · 2 = 8.

8: 2 = 4 equivale a 4 2 = 8

18: 3 = 6 equivale a 6 3 = 18

20: 2 = 10 equivale a 10 2 = 20

Il risultato della divisione può sempre essere controllato mediante moltiplicazione. Il risultato della moltiplicazione di un divisore per un quoziente deve essere il dividendo.

Proviamo a dividere per zero allo stesso modo.

Ad esempio, 6: 0 = ... Dobbiamo trovare un numero che, moltiplicato per 0, dia 6. Ma sappiamo che moltiplicato per zero, otteniamo sempre zero. Non esiste numero che moltiplicato per zero dia qualcosa di diverso da zero.

Quando dicono che dividere per zero è impossibile o proibito, intendono dire che non esiste un numero corrispondente al risultato di tale divisione (dividere per zero è possibile, ma dividere no :)).

Perché a scuola dicono che non si può dividere per zero?

Pertanto dentro definizione L'operazione di dividere a per b sottolinea immediatamente che b ≠ 0.

Se tutto quello scritto sopra ti è sembrato troppo complicato, allora provaci: Dividere 8 per 2 significa scoprire quanti due devi prendere per ottenere 8 (risposta: 4). Dividere 18 per 3 significa scoprire quanti tre devi prendere per ottenere 18 (risposta: 6).

Dividere 6 per zero significa scoprire quanti zeri devi prendere per ottenere 6. Non importa quanti zeri prendi, otterrai comunque uno zero, ma non otterrai mai 6, cioè la divisione per zero non è definita.

Un risultato interessante si ottiene se provi a dividere un numero per zero su una calcolatrice Android. Lo schermo visualizzerà ∞ (infinito) (o - ∞ se si divide un numero negativo). Questo risultato non è corretto perché il numero ∞ non ​​esiste. Apparentemente, i programmatori hanno confuso operazioni completamente diverse: dividere i numeri e trovare il limite sequenza numerica n/x, dove x → 0. Quando si divide zero per zero, verrà scritto NaN (Not a Number).

"Non puoi dividere per zero!" - La maggior parte degli scolari impara questa regola a memoria, senza fare domande. Tutti i bambini sanno cos'è "non puoi" e cosa succederà se chiedi in risposta: "Perché?" Ma in realtà è molto interessante e importante sapere perché ciò non è possibile.

Il fatto è che le quattro operazioni aritmetiche - addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione - sono in realtà disuguali. I matematici ne riconoscono valide solo due: addizione e moltiplicazione. Queste operazioni e le loro proprietà sono incluse nella definizione stessa del concetto di numero. Tutte le altre azioni sono costruite in un modo o nell'altro da queste due.

Consideriamo, ad esempio, la sottrazione. Cosa significa 5 - 3 ? Lo studente risponderà semplicemente: devi prendere cinque oggetti, portarne via (rimuoverne) tre e vedere quanti ne rimangono. Ma i matematici vedono questo problema in modo completamente diverso. Non c'è sottrazione, c'è solo addizione. Pertanto l'entrata 5 - 3 significa un numero che, se aggiunto a un numero 3 darà un numero 5 . Questo è 5 - 3 è semplicemente una versione abbreviata dell'equazione: x + 3 = 5. Non c'è sottrazione in questa equazione.

Divisione per zero

C'è solo un compito: trovare un numero adatto.

Lo stesso vale per la moltiplicazione e la divisione. Documentazione 8: 4 può essere inteso come il risultato della divisione di otto oggetti in quattro pile uguali. Ma in realtà questa è solo una forma abbreviata dell’equazione 4 x = 8.

È qui che diventa chiaro perché è impossibile (o meglio impossibile) dividere per zero. Documentazione 5: 0 è un'abbreviazione di 0 x = 5. Cioè, questo compito è trovare un numero che, una volta moltiplicato per 0 darà 5 . Ma lo sappiamo quando moltiplicato per 0 funziona sempre 0 . Questa è una proprietà intrinseca di zero, in senso stretto, parte della sua definizione.

Un numero tale che, se moltiplicato per 0 darà qualcosa di diverso da zero, semplicemente non esiste. Cioè, il nostro problema non ha soluzione. (Sì, questo accade; non tutti i problemi hanno una soluzione.) Il che significa che i record 5: 0 non corrisponde a nessun numero specifico e semplicemente non significa nulla e quindi non ha significato. L'insensatezza di questa voce viene espressa brevemente dicendo che non è possibile dividere per zero.

I lettori più attenti di questa sede si chiederanno sicuramente: è possibile dividere zero per zero?

In effetti, l'equazione 0 x = 0 risolto con successo. Ad esempio, puoi prendere x = 0, e poi otteniamo 00 = 0. Si scopre 0: 0=0 ? Ma non affrettiamoci. Proviamo a prendere x = 1. Noi abbiamo 01 = 0. Giusto? Significa, 0: 0 = 1 ? Ma puoi prendere qualsiasi numero e ottenere 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 eccetera.

Ma se qualsiasi numero è adatto, non abbiamo motivo di sceglierne nessuno. Cioè non possiamo dire a quale numero corrisponde la voce 0: 0 . E se è così, allora siamo costretti ad ammettere che anche questa voce non ha senso. Si scopre che anche lo zero non può essere diviso per zero. (In analisi matematica ci sono casi in cui, grazie a condizioni supplementari problema, puoi dare la preferenza a una delle possibili soluzioni dell'equazione 0 x = 0; In questi casi, i matematici parlano di “incertezza in evoluzione”, ma tali casi non si verificano in aritmetica.)

Questa è la peculiarità dell'operazione di divisione. Più precisamente, l'operazione di moltiplicazione e il numero ad essa associato hanno zero.

Ebbene, i più meticolosi, dopo aver letto fin qui, potrebbero chiedersi: perché succede che non puoi dividere per zero, ma puoi sottrarre zero? In un certo senso, è qui che inizia la vera matematica. Puoi rispondere solo acquisendo familiarità con le definizioni matematiche formali degli insiemi numerici e delle operazioni su di essi. Non è così difficile, ma per qualche motivo non viene insegnato a scuola. Ma nelle lezioni di matematica all'università, questo è ciò che ti verrà insegnato prima di tutto.

La funzione di divisione non è definita per un intervallo in cui il divisore è zero. Puoi dividere, ma il risultato non è certo

Non puoi dividere per zero. Matematica 2° grado della scuola secondaria.

Se la memoria non mi inganna, allora lo zero può essere rappresentato come un valore infinitesimale, quindi ci sarà l'infinito. E lo “zero - niente” scolastico è solo una semplificazione; ce ne sono così tanti nella matematica scolastica). Ma senza di loro è impossibile, tutto accadrà a tempo debito.

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Divisione per zero

Quoziente da divisione per zero non c'è nessun numero diverso dallo zero.

Il ragionamento qui è il seguente: poiché in questo caso nessun numero può soddisfare la definizione di quoziente.

Scriviamo, ad esempio,

Qualunque numero provi (ad esempio 2, 3, 7), non è adatto perché:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Cosa succede se dividi per 0?

ecc., ma è necessario ottenere 2,3,7 nel prodotto.

Possiamo dire che il problema di dividere un numero diverso da zero per zero non ha soluzione. Tuttavia, un numero diverso da zero può essere diviso per un numero tanto vicino allo zero quanto desiderato, e quanto più vicino è il divisore a zero, tanto maggiore è il quoziente. Quindi, se dividiamo 7 per

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

si ottengono poi i quozienti 70, 700, 7000, 70.000, ecc., che aumentano senza limite.

Perciò spesso dicono che il quoziente di 7 diviso 0 è “infinitamente grande”, ovvero “uguale a infinito”, e scrivono

\[ 7: 0 = \infin \]

Il significato di questa espressione è che se il divisore si avvicina allo zero e il dividendo rimane uguale a 7 (o si avvicina a 7), allora il quoziente aumenta senza limiti.

Numero in matematica zero occupa un posto speciale. Il fatto è che, in sostanza, significa "niente", "vuoto", ma il suo significato è davvero difficile da sopravvalutare. Per fare questo, è sufficiente ricordare almeno con cosa esattamente segno zero e inizia il conteggio delle coordinate della posizione del punto in qualsiasi sistema di coordinate.

Zero ampiamente utilizzato nelle frazioni decimali per determinare i valori delle cifre “vuote”, sia prima che dopo la virgola. Inoltre, ad esso è associata una delle regole fondamentali dell'aritmetica, che lo afferma zero non può essere diviso. La sua logica, in senso stretto, deriva dall'essenza stessa di questo numero: è infatti impossibile immaginare che un valore diverso da esso (e anche lui stesso) venga diviso in “niente”.

Esempi di calcolo

CON zero vengono eseguite tutte le operazioni aritmetiche e come “partner” possono essere utilizzati numeri interi, frazioni ordinarie e decimali, e tutti possono avere valori sia positivi che negativi. Forniamo esempi della loro implementazione e alcune spiegazioni per loro.

AGGIUNTA

Quando si aggiunge zero ad un certo numero (sia intero che frazionario, sia positivo che negativo), il suo valore rimane assolutamente invariato.

Esempio 1

ventiquattro e più zero equivale a ventiquattro.

Esempio 2

Diciassette virgola tre ottavi più zero equivale a diciassette virgola tre ottavi.

MOLTIPLICAZIONE

Quando si moltiplica qualsiasi numero (intero, frazione, positivo o negativo) per zero si scopre zero.

Esempio 1

Cinquecentoottantasei volte zero equivale zero.

Esempio 2

Zero moltiplicato per centotrentacinque virgola sei sette fa uguale zero.

Esempio 3

Zero moltiplicato per zero equivale zero.

DIVISIONE

Le regole per dividere i numeri tra loro nei casi in cui uno di essi è zero differiscono a seconda del ruolo che gioca lo zero stesso: dividendo o divisore?

Nei casi in cui zero rappresenta il dividendo, il risultato è sempre uguale ad esso, indipendentemente dal valore del divisore.

Esempio 1

Zero diviso per duecentosessantacinque è uguale zero.

Esempio 2

Zero diviso per è uguale zero.

0:

= 0

Dividere zero a zero Secondo le regole della matematica, è impossibile. Ciò significa che quando si esegue tale procedura, il quoziente è incerto. Pertanto, in teoria, può rappresentare assolutamente qualsiasi numero.

0: 0 = 8 perché 8 × 0 = 0

In matematica c'è un problema come divisione di zero per zero, non ha alcun senso, poiché il suo risultato è un insieme infinito. Questa affermazione, però, è vera se non vengono forniti dati aggiuntivi che potrebbero influenzare il risultato finale.

Questi, se presenti, dovrebbero consistere nell’indicare il grado di variazione dell’entità sia del dividendo che del divisore, e ancor prima del momento in cui si trasformano in zero. Se questo è definito, allora un'espressione come zero dividi per zero, nella stragrande maggioranza dei casi è possibile attribuire un significato.

Questa lezione esaminerà come eseguire la moltiplicazione e la divisione per numeri della forma 10, 100, 0,1, 0,001. Verranno inoltre risolti vari esempi questo argomento.

Esercizio. Come moltiplicare il numero 25,78 per 10?

Notazione decimale dato numeroè un'abbreviazione dell'importo. È necessario descriverlo in modo più dettagliato:

Pertanto, è necessario moltiplicare l'importo. Per fare ciò, puoi semplicemente moltiplicare ciascun termine:

Si scopre che...

Possiamo concludere che moltiplicare una frazione decimale per 10 è molto semplice: è necessario spostare la virgola a destra di una posizione.

Esercizio. Moltiplica 25.486 per 100.

Moltiplicare per 100 equivale a moltiplicare per 10 due volte. In altre parole, devi spostare la virgola verso destra due volte:

Esercizio. Dividi 25,78 per 10.

Come nel caso precedente, è necessario presentare il numero 25,78 come somma:

Poiché è necessario dividere la somma, ciò equivale a dividere ogni termine:

Si scopre che per dividere per 10 è necessario spostare la virgola decimale di una posizione a sinistra. Per esempio:

Esercizio. Dividi 124.478 per 100.

Dividere per 100 equivale a dividere per 10 due volte, quindi il punto decimale si sposta a sinistra di 2 posizioni:

Se una frazione decimale deve essere moltiplicata per 10, 100, 1000 e così via, è necessario spostare la virgola verso destra di tante posizioni quanti sono gli zeri nel moltiplicatore.

Al contrario, se una frazione decimale deve essere divisa per 10, 100, 1000 e così via, è necessario spostare la virgola verso sinistra di tante posizioni quanti sono gli zeri nel moltiplicatore.

Esempio 1

Moltiplicare per 100 significa spostare la cifra decimale di due cifre a destra.

Dopo lo spostamento, puoi scoprire che non ci sono più cifre dopo la virgola, il che significa che manca la parte frazionaria. Quindi non è necessaria la virgola, il numero è un numero intero.

Esempio 2

È necessario spostarsi di 4 posizioni a destra. Ma ci sono solo due cifre dopo la virgola. Vale la pena ricordare che esiste una notazione equivalente per la frazione 56.14.

Ora moltiplicare per 10.000 è facile:

Se non è molto chiaro il motivo per cui puoi aggiungere due zeri alla frazione nell'esempio precedente, il video aggiuntivo al collegamento può aiutarti in questo.

Notazioni decimali equivalenti

La voce 52 significa quanto segue:

Se mettiamo 0 davanti, otteniamo la voce 052. Queste voci sono equivalenti.

È possibile mettere due zeri davanti? Sì, queste voci sono equivalenti.

Consideriamo ora la frazione decimale:

Se assegni zero, ottieni:

Queste voci sono equivalenti. Allo stesso modo, puoi assegnare più zeri.

Pertanto, a qualsiasi numero è possibile assegnare diversi zeri dopo la parte frazionaria e diversi zeri prima intera parte. Queste saranno voci equivalenti con lo stesso numero.

Esempio 3

Poiché avviene la divisione per 100, è necessario spostare la virgola decimale di 2 posizioni verso sinistra. Non ci sono numeri a sinistra della virgola decimale. Manca un'intera parte. Questa notazione è spesso utilizzata dai programmatori. In matematica, se non esiste una parte intera, al suo posto viene messo uno zero.

Esempio 4

Devi spostarlo a sinistra di tre posizioni, ma ci sono solo due posizioni. Se scrivi diversi zeri davanti a un numero, sarà una notazione equivalente.

Cioè, quando ci si sposta a sinistra, se i numeri finiscono, è necessario riempirli con zeri.

Esempio 5

In questo caso vale la pena ricordare che dopo l'intera parte c'è sempre una virgola. Poi:

Moltiplicare e dividere per i numeri 10, 100, 1000 è una procedura molto semplice. La situazione è esattamente la stessa con i numeri 0.1, 0.01, 0.001.

Esempio. Moltiplica 25,34 per 0,1.

Registriamo decimale 0,1 come ordinario. Ma moltiplicare per equivale a dividere per 10. Pertanto, devi spostare la virgola decimale di 1 posizione a sinistra:

Allo stesso modo, moltiplicare per 0,01 equivale a dividere per 100:

Esempio. 5,235 diviso per 0,1.

Soluzione questo esempioè costruito in modo simile: 0.1 è espresso come frazione comune, e dividere per equivale a moltiplicare per 10:

Cioè, per dividere per 0,1, devi spostare la virgola a destra di una posizione, il che equivale a moltiplicare per 10.

Moltiplicare per 10 e dividere per 0,1 è la stessa cosa. La virgola deve essere spostata a destra di 1 posizione.

Dividere per 10 e moltiplicare per 0,1 sono la stessa cosa. La virgola deve essere spostata a destra di 1 posizione:

Lo stesso zero è un numero molto interessante. Di per sé significa vuoto, mancanza di significato e accanto ad un altro numero aumenta il suo significato di 10 volte. Qualsiasi numero elevato allo zero dà sempre 1. Questo segno era usato nella civiltà Maya e denotava anche il concetto di "inizio, causa". Anche il calendario iniziava con il giorno zero. Questa cifra è anche associata a un divieto severo.

Fin dai nostri anni di scuola elementare, abbiamo tutti imparato chiaramente la regola “non si può dividere per zero”. Ma se durante l'infanzia prendi molte cose per fede e le parole di un adulto raramente sollevano dubbi, poi col tempo a volte vuoi ancora capirne le ragioni, capire perché sono state stabilite certe regole.

Perché non puoi dividere per zero? Vorrei avere una spiegazione logica chiara per questa domanda. In prima elementare gli insegnanti non potevano farlo, perché in matematica le regole si spiegano usando le equazioni, e a quell'età non avevamo idea di cosa fosse. E ora è il momento di capirlo e ottenere una chiara spiegazione logica del perché non puoi dividere per zero.

Il fatto è che in matematica solo due delle quattro operazioni fondamentali (+, -, x, /) con i numeri sono riconosciute come indipendenti: moltiplicazione e addizione. Le restanti operazioni sono considerate derivati. Diamo un'occhiata a un semplice esempio.

Dimmi, quanto ottieni se sottrai 18 da 20? Naturalmente la risposta ci viene subito in testa: sarà 2. Come siamo arrivati ​​a questo risultato? Ad alcuni questa domanda sembrerà strana: dopo tutto, è chiaro che il risultato sarà 2, qualcuno spiegherà che ha preso 18 da 20 kopecks e ha ottenuto due kopecks. Logicamente, tutte queste risposte non sono in dubbio, ma da un punto di vista matematico questo problema dovrebbe essere risolto diversamente. Ricordiamo ancora una volta che le operazioni principali in matematica sono la moltiplicazione e l'addizione, e quindi nel nostro caso la risposta sta nel risolvere la seguente equazione: x + 18 = 20. Da cui segue che x = 20 - 18, x = 2 . Sembrerebbe, perché descrivere tutto in modo così dettagliato? Dopotutto, tutto è così semplice. Tuttavia, senza questo, è difficile spiegare perché non è possibile dividere per zero.

Ora vediamo cosa succede se vogliamo dividere 18 per zero. Creiamo nuovamente l'equazione: 18: 0 = x. Poiché l'operazione di divisione è una derivata della procedura di moltiplicazione, trasformando la nostra equazione otteniamo x * 0 = 18. È qui che inizia il vicolo cieco. Qualsiasi numero al posto di X moltiplicato per zero darà 0 e non saremo in grado di ottenere 18. Ora diventa estremamente chiaro il motivo per cui non è possibile dividere per zero. Lo zero stesso può essere diviso per qualsiasi numero, ma viceversa, ahimè, questo è impossibile.

Cosa succede se dividi lo zero per se stesso? Questo può essere scritto come segue: 0: 0 = x, oppure x * 0 = 0. Questa equazione ha un numero infinito di soluzioni. Pertanto, il risultato finale è infinito. Pertanto, anche in questo caso l'operazione non ha senso.

La divisione per 0 è alla base di molti scherzi matematici immaginari che possono essere usati per sconcertare qualsiasi persona ignorante, se lo desidera. Ad esempio, considera l'equazione: 4*x - 20 = 7*x - 35. Prendiamo 4 tra parentesi a sinistra e 7 a destra. Otteniamo: 4*(x - 5) = 7*(x -5). Ora moltiplichiamo i lati sinistro e destro dell'equazione per la frazione 1 / (x - 5). L'equazione assumerà la seguente forma: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5). Riduciamo le frazioni di (x - 5) e risulta che 4 = 7. Da ciò possiamo concludere che 2*2 = 7! Naturalmente, il problema qui è che è uguale a 5 ed era impossibile cancellare le frazioni, poiché ciò portava alla divisione per zero. Pertanto, quando si riducono le frazioni, bisogna sempre controllare che uno zero non finisca accidentalmente al denominatore, altrimenti il ​​risultato sarà del tutto imprevedibile.