8.1. Definizioni di prodotto misto, suo significato geometrico

Considera il prodotto dei vettori a, B e c, così composti: (a xb) c. Qui i primi due vettori vengono moltiplicati vettorialmente e il loro risultato moltiplicato scalarmente per il terzo vettore. Tale prodotto è chiamato prodotto scalare vettoriale, o misto, di tre vettori.

Il prodotto misto rappresenta un numero. B Scopriamo il significato geometrico dell'espressione (a xb)*c. Costruiamo un parallelepipedo i cui spigoli sono i vettori a, b, c e il vettore d = a x

(vedi Fig. 22). Abbiamo: (a x b) c = d c = |d | pr Abbiamo: (a x b) c = d c = |d | d con Abbiamo: (a x b) c = d c = |d |, |d |=|a x b | =S, dove S è l'area di un parallelogramma costruito sui vettori aeb, pr = Í Per la terna destra di vettori, ecc.= - H per sinistra, dove H è l'altezza del parallelepipedo. Otteniamo: ( = Í Per la terna destra di vettori, ecc. axb B)*c =S *(±H), cioè (

)*c =±V, dove V è il volume del parallelepipedo formato dai vettori a,

e s.

Pertanto, il prodotto misto di tre vettori è uguale al volume del parallelepipedo costruito su questi vettori, preso con segno più se questi vettori formano una terna destra, e con segno meno se formano una terna sinistra. B 8.2. Proprietà di un prodotto misto

1. Il prodotto misto non cambia quando i suoi fattori vengono riorganizzati ciclicamente, cioè (a x b) c =(

x c) a = (c x a) b. In questo caso, infatti, non cambia né il volume del parallelepipedo né l'orientamento dei suoi bordi 2. Il prodotto misto non cambia quando i segni della moltiplicazione vettoriale e scalare vengono invertiti, cioè (a xb) c =a *(

bx

Con ).

Infatti, (a xb) c =±V e a (b xc)=(b xc) a =±V. Prendiamo lo stesso segno sul lato destro di queste uguaglianze, poiché le triple dei vettori a, b, c e b, c, a hanno lo stesso orientamento.

In effetti, tale riorganizzazione equivale a riorganizzare i fattori in un prodotto vettoriale, cambiando il segno del prodotto.

4. Il prodotto misto di vettori diversi da zero a, b e c è uguale a zero ogni volta e solo se sono complanari.

Se abc = 0 allora a, b e c sono complanari.

Supponiamo che non sia così. Sarebbe possibile costruire un parallelepipedo con volume V ¹ 0. Ma poiché abc =±V , otterremmo quel abc ¹ 0 . Ciò contraddice la condizione: abc =0 .

Viceversa, siano complanari i vettori a, b, c. Allora il vettore d = a x B sarà perpendicolare al piano in cui giacciono i vettori a, b, c, e quindi d^c. Pertanto d c =0, cioè abc =0.

8.3. Esprimere un prodotto misto in termini di coordinate

Siano dati i vettori a = a x i + a y J+az k, b = bx io+a J+b z k, ñ =c x io+c e J+c z k. Troviamo il loro prodotto misto utilizzando le espressioni in coordinate per i prodotti vettoriali e scalari:

La formula risultante può essere scritta più brevemente:

poiché il membro destro dell'uguaglianza (8.1) rappresenta l'espansione del determinante del terzo ordine in elementi della terza riga.

Quindi, il prodotto misto dei vettori è uguale al determinante del terzo ordine, composto dalle coordinate dei vettori moltiplicati.

8.4.

Alcune applicazioni di prodotti misti

Determinazione dell'orientamento relativo dei vettori nello spazio B Determinazione dell'orientamento relativo dei vettori a,<0 , то а , b , с - левая тройка.

e c si basa sulle seguenti considerazioni. Se abc > 0, allora a, b, c sono una terna destra; se abc

Stabilire la complanarità dei vettori B vettori a,

e c sono complanari se e solo se il loro prodotto misto è uguale a zero

Determinazione dei volumi di un parallelepipedo e di una piramide triangolare BÈ facile dimostrare che il volume di un parallelepipedo costruito sui vettori a,

e c è calcolato come V =|abc |, e il volume di una piramide triangolare costruita sugli stessi vettori è uguale a V =1/6*|abc |.

Esempio 6.3.

I vertici della piramide sono i punti A(1; 2; 3), B(0; -1; 1), C(2; 5; 2) e D (3; 0; -2). Trova il volume della piramide. Soluzione: B Troviamo i vettori a,

È:

a=AB =(-1;-3;-2), b =AC=(1;3;-1), c=AD =(2; -2; -5). B Troviamo

=-1 (-17)+3 (-3)-2 (-8)=17-9+16=24.

e con:

Pertanto, V =1/6*24=4

PRODOTTO MISTO DI TRE VETTORI E SUE PROPRIETÀ Lavoro misto tre vettori è chiamato un numero pari a . Designato

. Qui i primi due vettori vengono moltiplicati vettorialmente e poi il vettore risultante viene moltiplicato scalarmente per il terzo vettore. Ovviamente, un prodotto del genere è un certo numero.

1. Consideriamo le proprietà di un prodotto misto. lavoro misto. Il prodotto misto di 3 vettori, fino a un segno, è uguale al volume del parallelepipedo costruito su questi vettori, come sugli spigoli, cioè .

   Così e .

   

   Prova. Lasciamo da parte i vettori dall'origine comune e su di essi costruiamo un parallelepipedo. Indichiamo e notiamo che . Per definizione di prodotto scalare

   Supponendo che e denotando con H trovare l'altezza del parallelepipedo.

   Quindi, quando

   Se, allora è così. Quindi, .

   Combinando entrambi questi casi, otteniamo o .

   Dalla dimostrazione di questa proprietà, in particolare, segue che se la terna di vettori è destrorsa, allora il prodotto misto è , e se è sinistrorso, allora .

2. Per qualsiasi vettore , , l'uguaglianza è vera

   La dimostrazione di questa proprietà segue dalla Proprietà 1. Infatti è facile dimostrare che e . Inoltre, i segni “+” e “–” vengono presi contemporaneamente, perché gli angoli tra i vettori e e e sono sia acuti che ottusi.

3. Quando due fattori qualsiasi vengono riorganizzati, il prodotto misto cambia segno.

   Infatti, se consideriamo un prodotto misto, allora, ad esempio, o

4. Un prodotto misto se e solo se uno dei fattori è uguale a zero o i vettori sono complanari.

   Prova.

   Pertanto, condizione necessaria e sufficiente per la complanarità di 3 vettori è che il loro prodotto misto sia pari a zero. Inoltre, ne consegue che tre vettori formano una base nello spazio se .

   Se i vettori sono dati in forma di coordinate, si può dimostrare che il loro prodotto misto si trova con la formula:

   .

   Pertanto, il prodotto misto è uguale al determinante del terzo ordine, che ha le coordinate del primo vettore nella prima riga, le coordinate del secondo vettore nella seconda riga e le coordinate del terzo vettore nella terza riga.

   Esempi.

GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO

Equazione F(x, y, z)= 0 definisce nello spazio Oxyz una certa superficie, ad es. luogo dei punti le cui coordinate x, y, z soddisfare questa equazione. Questa equazione è chiamata equazione della superficie e x, y, z– coordinate attuali.

Tuttavia, spesso la superficie non è specificata da un'equazione, ma come un insieme di punti nello spazio che hanno l'una o l'altra proprietà. In questo caso è necessario trovare l'equazione della superficie in base alle sue proprietà geometriche.

AEREO.

VETTORE PIANO NORMALE.

EQUAZIONE DI UN PIANO CHE PASSA PER UN PUNTO DATO

Consideriamo un piano arbitrario σ nello spazio. La sua posizione è determinata specificando un vettore perpendicolare a questo piano e un punto fisso M0(x0, e 0, z0), giacente nel piano σ.

Il vettore perpendicolare al piano si chiama σ normale vettore di questo piano. Supponiamo che il vettore abbia coordinate.

Deriviamo l'equazione del piano σ passante per questo punto M0 e avente un vettore normale. Per fare ciò, prendi un punto arbitrario sul piano σ M(x, y, z) e consideriamo il vettore.

Per qualsiasi punto MО σ è un vettore Pertanto il loro prodotto scalare è uguale a zero. Questa uguaglianza è la condizione che costituisce il punto MОσ. È valido per tutti i punti di questo piano e viene violato non appena il punto M sarà fuori dal piano σ.

Se indichiamo i punti con il raggio vettore M, – raggio vettore del punto M0, allora l'equazione può essere scritta nella forma

Questa equazione si chiama vettore equazione piana. Scriviamolo in forma coordinata. Da allora

Quindi, abbiamo ottenuto l'equazione del piano che passa per questo punto. Pertanto, per creare un'equazione del piano, è necessario conoscere le coordinate del vettore normale e le coordinate di un punto che giace sul piano.

Si noti che l'equazione del piano è un'equazione di 1° grado rispetto alle coordinate attuali x, y E z.

Esempi.

EQUAZIONE GENERALE DEL PIANO

Si può dimostrare che qualsiasi equazione di primo grado rispetto alle coordinate cartesiane x, y, z rappresenta l'equazione di un piano. Questa equazione è scritta come:

Ascia+Per+Cz+D=0

e viene chiamato equazione generale piano e le coordinate A, B, C ecco le coordinate del vettore normale del piano.

Consideriamo casi particolari dell'equazione generale. Scopriamo come si trova il piano rispetto al sistema di coordinate se uno o più coefficienti dell'equazione diventano zero.

A è la lunghezza del segmento tagliato dal piano sull'asse Bue. Allo stesso modo, si può dimostrare che B E C– lunghezze dei segmenti tagliati dal piano in esame sugli assi Ehi E Oz.

È conveniente utilizzare l'equazione del piano in segmenti per costruire i piani.

Definizione. Il numero [, ] è detto prodotto misto di una terna ordinata di vettori, .

Indichiamo: (,) = = [, ].

Poiché i prodotti vettoriale e scalare sono coinvolti nella definizione di un prodotto misto, le loro proprietà comuni sono le proprietà di un prodotto misto.

Ad esempio, () = ().

Teorema 1. Il prodotto misto di tre vettori complanari è zero.

Prova. Se una data terna di vettori è complanare, allora per i vettori è soddisfatta una delle seguenti condizioni.

• 1. In una data terna di vettori c'è almeno un vettore zero. In questo caso la dimostrazione del teorema è ovvia.
• 2. In una data terna di vettori esiste almeno una coppia di vettori collineari. Se ||, allora [, ] = 0, poiché [, ]= . Se

|| , allora [, ] e [, ] = 0. Allo stesso modo, se || .

3. Sia questa terna di vettori complanare, ma i casi 1 e 2 non valgono. Allora il vettore [, ] sarà perpendicolare al piano al quale tutti e tre i vettori sono paralleli.

Pertanto, [, ] e (,) = 0.

Teorema 2. Lasciamo che i vettori (), (), () siano specificati nella base (). Poi

Prova. Secondo la definizione di prodotto misto

(,) = [, ] = ñ 1 - ñ 2 + ñ 3 = .

Date le proprietà del determinante abbiamo:

Il teorema è dimostrato.

Teorema 3. (,) = [, ].

Prova. Perché

e per le proprietà del determinante abbiamo:

(,) = = = [, ] = [, ].

Il teorema è dimostrato.

Teorema 4. Il modulo del prodotto misto di una terna di vettori non complanari è numericamente uguale al volume di un parallelepipedo costruito su rappresentanti di questi vettori con un'origine comune.

Prova. Scegliamo un punto arbitrario O e mettiamo da parte da esso i rappresentanti di questi vettori: , . Nel piano OAB costruiremo un parallelogramma OADB e, sommando lo spigolo OS, costruiremo un parallelepipedo OADBCADB. Il volume V di questo parallelepipedo è uguale al prodotto dell'area della base OADB e della lunghezza dell'altezza del parallelepipedo OO.

L'area del parallelogramma OADB è |[, ]|. Dall'altra parte

|OO| = || |cos |, dove è l'angolo tra i vettori e [, ].

Considera il modulo di prodotto misto:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Il teorema è stato dimostrato.

Nota 1. Se il prodotto misto di una terna di vettori è uguale a zero, allora questa terna di vettori è linearmente dipendente.

Nota 2. Se il prodotto misto di una data terna di vettori è positivo, allora la terna di vettori è quella di destra, mentre se è negativa, allora la terna di vettori è quella di sinistra. Infatti, il segno del prodotto misto coincide con il segno di cos, e l'ampiezza dell'angolo determina l'orientamento della terna, . Se l'angolo è acuto, allora il tre è destro, se è ottuso, il tre è sinistro.

Esempio 1. Dato il parallelepipedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 e le coordinate dei seguenti vettori in base ortonormale: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Trovare: 1) volume del parallelepipedo;

• 2) aree delle facce ABCD e CDD 1 C;
• 3) coseno dell'angolo diedro tra i piani ABC e CDD 1.

Soluzione.

Questo parallelepipedo è costruito su vettori

Pertanto, il suo volume è uguale al modulo del prodotto misto di questi vettori, cioè

Quindi V vapore = 12 unità cubiche.

Ricordiamo che l'area di un parallelogramma è uguale alla lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori su cui è costruito.

Introduciamo la notazione: , quindi

Pertanto, (6; - 8; - 2), donde

Quello. unità mq

Allo stesso modo,

Lascia che sia allora

da cui (15; - 20; 1) e

Ciò significa unità quadrate.

Introduciamo la seguente notazione: pl. (ABC)=, pl. (DCC 1)=.

Secondo la definizione di prodotto vettoriale abbiamo:

Ciò significa che vale la seguente uguaglianza:

Dal secondo punto della soluzione abbiamo:

Dimostrare che se e sono vettori unitari reciprocamente perpendicolari, allora per qualsiasi vettore e vale la seguente uguaglianza:

Soluzione.

Siano date le coordinate dei vettori in base ortonormale: ; . Poiché per la proprietà di prodotto misto si ha:

Pertanto, l'uguaglianza (1) può essere scritta nella seguente forma: , e questa è una delle proprietà comprovate del prodotto vettoriale dei vettori e. Pertanto, la validità dell’uguaglianza (1) è dimostrata.

Risolvere la versione zero del lavoro di prova

Compito n. 1

Il vettore forma angoli e con i vettori base e, rispettivamente. Determina l'angolo che il vettore forma con il vettore.

Soluzione.

Costruiamo un parallelepipedo su vettori e su una diagonale, tale che i vettori e siano uguali.

Quindi in un triangolo rettangolo con un angolo retto, l'ampiezza dell'angolo è uguale a dove.

Allo stesso modo, in un triangolo rettangolo con un angolo retto, la grandezza è uguale a, da dove.

In un triangolo rettangolo, utilizzando il teorema di Pitagora troviamo:

In un triangolo rettangolo il cateto e l'ipotenusa sono angoli retti. Quindi l'angolo è uguale. Ma l'angolo è uguale all'angolo tra i vettori e. Così il problema è risolto.

Compito n. 2.

Nella base sono forniti tre vettori. Dimostrare che il quadrilatero è piatto. Trova la sua area.

Soluzione.

1. Se i vettori e sono complanari, allora è un quadrilatero piatto. Calcoliamo il determinante costituito dalle coordinate di questi vettori.

Poiché il determinante è uguale a zero, i vettori e sono complanari, il che significa che il quadrilatero è piatto.

2. Si noti che, quindi e così, il quadrilatero è un trapezio con basi AB e CD.

Per la proprietà del prodotto vettoriale abbiamo:

Trovare il prodotto vettoriale

Compito n.3. Trova un vettore collineare al vettore (2; 1; -2), la cui lunghezza è 5.

Soluzione.

Indichiamo le coordinate del vettore (x, y, z). Come sai, i vettori collineari hanno coordinate proporzionali, e quindi abbiamo:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

A seconda delle condizioni del problema || = 5, e in forma di coordinate:

Esprimendo le variabili tramite il parametro t, otteniamo:

4t2 +t2 +4t2 =25,

Così,

x = , y = , z = .

Abbiamo ricevuto due soluzioni.

In questa lezione vedremo altre due operazioni con i vettori: prodotto vettoriale di vettori E prodotto misto di vettori (link immediato per chi ne avesse bisogno). Va bene, a volte capita che sia per la completa felicità, oltre a prodotto scalare di vettori, ne servono sempre di più. Questa è la dipendenza dai vettori. Può sembrare che stiamo entrando nella giungla della geometria analitica. Questo è sbagliato. In questa sezione della matematica superiore generalmente c'è poco legno, tranne forse quanto basta per Pinocchio. In effetti, il materiale è molto comune e semplice, difficilmente più complicato dello stesso prodotto scalare, ci saranno anche meno compiti tipici. La cosa principale nella geometria analitica, come molti saranno convinti o sono già stati convinti, è NON FARE ERRORI NEI CALCOLI. Ripeti come un incantesimo e sarai felice =)

Se i vettori brillano da qualche parte lontano, come un fulmine all'orizzonte, non importa, inizia con la lezione Vettori per manichini ripristinare o riacquisire le conoscenze di base sui vettori. I lettori più preparati possono conoscere le informazioni in modo selettivo; ho cercato di raccogliere la raccolta più completa di esempi che si trovano spesso nel lavoro pratico

Cosa ti renderà felice subito? Quando ero piccolo, sapevo fare il giocoliere con due e anche tre palline. Ha funzionato bene. Ora non dovrai più destreggiarti, poiché considereremo solo vettori spaziali e i vettori piatti con due coordinate verranno omessi. Perché? È così che sono nate queste azioni: il vettore e il prodotto misto dei vettori sono definiti e funzionano nello spazio tridimensionale. È già più facile!

Questa operazione, proprio come il prodotto scalare, prevede due vettori. Lascia che queste siano lettere imperiture.

L'azione stessa indicato da come segue: . Ci sono altre opzioni, ma sono abituato a denotare il prodotto vettoriale dei vettori in questo modo, tra parentesi quadre con una croce.

E subito domanda: se dentro prodotto scalare di vettori sono coinvolti due vettori, e anche qui si moltiplicano due vettori qual è la differenza?? La differenza evidente sta, innanzitutto, nel RISULTATO:

Il risultato del prodotto scalare dei vettori è NUMERO:

Il risultato del prodotto incrociato dei vettori è VETTORE: , cioè moltiplichiamo i vettori e otteniamo nuovamente un vettore. Circolo chiuso. In realtà è proprio da qui che deriva il nome dell'operazione. Nella diversa letteratura educativa, anche le designazioni possono variare; userò la lettera.

Definizione di prodotto incrociato

Prima ci sarà una definizione con un'immagine, poi i commenti.

Definizione: Prodotto vettoriale non collineare vettori, presi in quest'ordine, chiamato VETTORE, lunghezza che è numericamente uguale all'area del parallelogramma, costruito su questi vettori; vettore ortogonale ai vettori, ed è diretto in modo che la base abbia un giusto orientamento:

Analizziamo la definizione, ci sono molte cose interessanti qui!

Si possono quindi evidenziare i seguenti punti significativi:

1) I vettori originari, indicati dalle frecce rosse, per definizione non collineare. Sarà opportuno considerare più avanti il ​​caso dei vettori collineari.

2) Vengono presi i vettori in un ordine rigorosamente definito: – "a" si moltiplica per "be", e non “essere” con “a”. Il risultato della moltiplicazione dei vettoriè VETTORE, indicato in blu. Se si moltiplicano i vettori in ordine inverso, si ottiene un vettore uguale in lunghezza e opposto in direzione (colore lampone). Cioè, l'uguaglianza è vera .

3) Ora conosciamo il significato geometrico del prodotto vettoriale. Questo è un punto molto importante! La LUNGHEZZA del vettore blu (e, quindi, del vettore cremisi) è numericamente uguale all'AREA del parallelogramma costruito sui vettori. Nella figura, questo parallelogramma è ombreggiato in nero.

Nota : il disegno è schematico e, naturalmente, la lunghezza nominale del prodotto vettoriale non è uguale all'area del parallelogramma.

Ricordiamo una delle formule geometriche: L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti per il seno dell'angolo compreso tra loro. Pertanto, in base a quanto sopra, vale la formula per calcolare la LUNGHEZZA di un prodotto vettoriale:

Sottolineo che la formula riguarda la LUNGHEZZA del vettore e non il vettore stesso. Qual è il significato pratico? E il significato è che nei problemi di geometria analitica, l'area di un parallelogramma si trova spesso attraverso il concetto di prodotto vettoriale:

Otteniamo la seconda formula importante. La diagonale di un parallelogramma (linea tratteggiata rossa) lo divide in due triangoli uguali. Pertanto, l'area di un triangolo costruito su vettori (ombreggiatura rossa) può essere trovata utilizzando la formula:

4) Un fatto altrettanto importante è che il vettore è ortogonale ai vettori, cioè . Naturalmente, anche il vettore diretto in direzione opposta (freccia lampone) è ortogonale ai vettori originali.

5) Il vettore è diretto in questo modo base ha Giusto orientamento. Nella lezione su transizione verso una nuova base Ne ho parlato in modo sufficientemente dettagliato orientamento del piano, e ora scopriremo qual è l'orientamento spaziale. Te lo spiegherò con le dita destra. Combina mentalmente indice con vettore e dito medio con vettore. Anulare e mignolo premilo nel palmo della mano. Di conseguenza pollice– verrà visualizzato il prodotto vettoriale. Questa è una base orientata a destra (è questa nella figura). Ora cambia i vettori ( indice e medio) in alcuni punti, di conseguenza il pollice si girerà e il prodotto vettoriale guarderà già in basso. Anche questa è una base orientata a destra. Potresti avere una domanda: quale base ha lasciato l'orientamento? "Assegna" alle stesse dita mano sinistra vettori e ottenere la base sinistra e l'orientamento sinistro dello spazio (in questo caso il pollice si troverà nella direzione del vettore inferiore). In senso figurato, queste basi “torcono” o orientano lo spazio in direzioni diverse. E questo concetto non dovrebbe essere considerato qualcosa di inverosimile o astratto - ad esempio, l'orientamento dello spazio viene cambiato dallo specchio più comune, e se "tiri fuori l'oggetto riflesso dallo specchio", allora nel caso generale non sarà possibile abbinarlo all'“originale”. A proposito, avvicina tre dita allo specchio e analizza il riflesso ;-)

...quanto è bello che tu ora lo sappia orientato a destra e a sinistra basi, perché le dichiarazioni di alcuni docenti sul cambiamento di orientamento fanno paura =)

Prodotto vettoriale di vettori collineari

La definizione è stata discussa in dettaglio, resta da vedere cosa succede quando i vettori sono collineari. Se i vettori sono collineari, possono essere posizionati su una linea retta e anche il nostro parallelogramma si “aggiunge” in una linea retta. L'area di tale, come dicono i matematici, degenerare il parallelogramma è uguale a zero. Lo stesso segue dalla formula: il seno di zero o 180 gradi è uguale a zero, il che significa che l'area è zero

Quindi, se , allora E . Si noti che il prodotto vettoriale stesso è uguale al vettore zero, ma in pratica questo viene spesso trascurato e viene scritto che è anche uguale a zero.

Un caso speciale è il prodotto incrociato di un vettore con se stesso:

Usando il prodotto vettoriale, puoi verificare la collinearità dei vettori tridimensionali e analizzeremo anche questo problema, tra gli altri.

Per risolvere esempi pratici di cui potresti aver bisogno tavola trigonometrica per trovare da esso i valori dei seni.

Bene, accendiamo il fuoco:

Esempio 1

a) Trovare la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori se

b) Trova l'area di un parallelogramma costruito su vettori se

Soluzione: No, non è un errore di battitura, ho volutamente reso uguali i dati iniziali nelle clausole. Perché il design delle soluzioni sarà diverso!

a) In base alle condizioni, è necessario trovare lunghezza vettore (prodotto incrociato). Secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Se ti è stato chiesto della lunghezza, nella risposta indichiamo la dimensione: unità.

b) In base alle condizioni, è necessario trovare piazza parallelogramma costruito su vettori. L'area di questo parallelogramma è numericamente uguale alla lunghezza del prodotto vettoriale:

Risposta:

Tieni presente che la risposta non parla affatto del prodotto vettoriale che ci è stato chiesto; zona della figura, di conseguenza, la dimensione è di unità quadrate.

Guardiamo sempre COSA dobbiamo trovare in base alla condizione e, in base a questo, formuliamo chiaro risposta. Può sembrare letteralismo, ma ci sono molti letteralisti tra gli insegnanti e il compito ha buone probabilità di essere restituito per la revisione. Anche se questo non è un cavillo particolarmente inverosimile, se la risposta è sbagliata, si ha l'impressione che la persona non capisca le cose semplici e/o non abbia compreso l'essenza del compito. Questo punto deve essere sempre tenuto sotto controllo quando si risolve qualsiasi problema di matematica superiore, ma anche di altre materie.

Dov'è finita la lettera maiuscola "en"? In linea di principio si sarebbe potuto allegare anche alla soluzione, ma per abbreviare la voce non l'ho fatto. Spero che tutti lo capiscano e che sia una designazione per la stessa cosa.

Un esempio popolare di soluzione fai da te:

Esempio 2

Trova l'area di un triangolo costruito su vettori se

La formula per trovare l'area di un triangolo tramite il prodotto vettoriale è riportata nei commenti alla definizione. La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione.

In pratica, il compito è davvero molto comune, i triangoli generalmente possono tormentarti;

Per risolvere altri problemi avremo bisogno di:

Proprietà del prodotto vettoriale di vettori

Abbiamo già considerato alcune proprietà del prodotto vettoriale, tuttavia le includerò in questo elenco.

Per vettori arbitrari e un numero arbitrario, sono vere le seguenti proprietà:

1) In altre fonti di informazione questo elemento solitamente non è evidenziato nelle proprietà, ma è molto importante dal punto di vista pratico. Quindi lascia che sia.

2) – la proprietà è anche discussa sopra, a volte viene chiamata anticommutatività. In altre parole, l’ordine dei vettori è importante.

3) – associativo o associativo leggi sui prodotti vettoriali. Le costanti possono essere facilmente spostate all'esterno del prodotto vettoriale. Davvero, cosa dovrebbero fare lì?

4) – distribuzione o distributivo leggi sui prodotti vettoriali. Non ci sono problemi nemmeno con l'apertura delle parentesi.

Per dimostrarlo, diamo un'occhiata a un breve esempio:

Esempio 3

Trova se

I vertici della piramide sono i punti A(1; 2; 3), B(0; -1; 1), C(2; 5; 2) e D (3; 0; -2). Trova il volume della piramide. La condizione richiede ancora una volta di trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. Dipingiamo la nostra miniatura:

(1) Secondo le leggi associative, escludiamo le costanti dall'ambito del prodotto vettoriale.

(2) Spostiamo la costante fuori dal modulo e il modulo “mangia” il segno meno. La lunghezza non può essere negativa.

(3) Il resto è chiaro.

Risposta:

È ora di aggiungere altra legna al fuoco:

Esempio 4

Calcola l'area di un triangolo costruito su vettori se

Soluzione: Trova l'area del triangolo utilizzando la formula . Il problema è che i vettori “tse” e “de” sono essi stessi presentati come somme di vettori. L'algoritmo qui è standard e ricorda in qualche modo gli esempi n. 3 e 4 della lezione Prodotto scalare di vettori. Per chiarezza divideremo la soluzione in tre fasi:

1) Nel primo passo esprimiamo il prodotto vettoriale attraverso il prodotto vettoriale, infatti, esprimiamo un vettore in termini di vettore. Nessuna parola ancora sulle lunghezze!

(1) Sostituisci le espressioni dei vettori.

(2) Usando le leggi distributive, apriamo le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi.

(3) Usando le leggi associative, spostiamo tutte le costanti oltre i prodotti vettoriali. Con un po' di esperienza, i passaggi 2 e 3 possono essere eseguiti contemporaneamente.

(4) Il primo e l'ultimo termine sono uguali a zero (vettore zero) per la proprietà nice. Nel secondo termine utilizziamo la proprietà di anticommutatività di un prodotto vettoriale:

(5) Presentiamo termini simili.

Di conseguenza, il vettore si è rivelato espresso attraverso un vettore, che è ciò che era necessario per ottenere:

2) Nel secondo passaggio troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale di cui abbiamo bisogno. Questa azione è simile all'esempio 3:

3) Trova l'area del triangolo richiesto:

Le fasi 2-3 della soluzione avrebbero potuto essere scritte in una riga.

Risposta:

Il problema considerato è abbastanza comune nei test, ecco un esempio per risolverlo da soli:

Esempio 5

Trova se

Una breve soluzione e risposta alla fine della lezione. Vediamo quanto sei stato attento nello studio degli esempi precedenti ;-)

Prodotto vettoriale di vettori in coordinate

, specificato in base ortonormale, espresso dalla formula:

La formula è davvero semplice: nella riga superiore del determinante scriviamo i vettori delle coordinate, nella seconda e terza riga “mettiamo” le coordinate dei vettori, e mettiamo in rigoroso ordine– prima le coordinate del vettore “ve”, poi le coordinate del vettore “doppia-ve”. Se i vettori devono essere moltiplicati in un ordine diverso, le righe devono essere invertite:

Esempio 10

Controlla se i seguenti vettori spaziali sono collineari:
UN)
B)

Soluzione: La verifica si basa su una delle affermazioni di questa lezione: se i vettori sono collineari, allora il loro prodotto vettoriale è uguale a zero (vettore zero): .

a) Trovare il prodotto vettoriale:

Pertanto i vettori non sono collineari.

b) Trovare il prodotto vettoriale:

Risposta: a) non collineare, b)

Ecco, forse, tutte le informazioni di base sul prodotto vettoriale dei vettori.

Questa sezione non sarà molto ampia, poiché sono pochi i problemi in cui viene utilizzato il prodotto misto di vettori. In effetti, tutto dipenderà dalla definizione, dal significato geometrico e da un paio di formule di lavoro.

Un prodotto misto di vettori è il prodotto di tre vettori:

Quindi si sono messi in fila come un treno e non vedono l’ora di essere identificati.

Prima, ancora una definizione e un'immagine:

Definizione: Lavoro misto non complanare vettori, presi in quest'ordine, chiamato volume del parallelepipedo, costruito su questi vettori, dotato di segno “+” se la base è destra, e di segno “–” se la base è sinistra.

Facciamo il disegno. Le linee invisibili a noi sono disegnate con linee tratteggiate:

Immergiamoci nella definizione:

2) Vengono presi i vettori in un certo ordine, cioè, la riorganizzazione dei vettori nel prodotto, come puoi immaginare, non avviene senza conseguenze.

3) Prima di commentare il significato geometrico, faccio notare un fatto ovvio: il prodotto misto di vettori è un NUMERO: . Nella letteratura educativa, il design potrebbe essere leggermente diverso; sono abituato a denotare un prodotto misto con e il risultato dei calcoli con la lettera "pe".

Per definizione il prodotto miscelato è il volume del parallelepipedo, costruito su vettori (la figura è disegnata con vettori rossi e linee nere). Cioè il numero è uguale al volume di un dato parallelepipedo.

Nota : Il disegno è schematico.

4) Non preoccupiamoci ancora del concetto di orientamento della base e dello spazio. Il significato della parte finale è che è possibile aggiungere un segno meno al volume. In parole semplici, un prodotto misto può essere negativo: .

Direttamente dalla definizione segue la formula per calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori.

Per considerare un argomento del genere in dettaglio, è necessario coprire molte altre sezioni. L'argomento è direttamente correlato a termini come prodotto scalare e prodotto vettoriale. In questo articolo abbiamo cercato di dare una definizione precisa, indicare una formula che aiuterà a determinare il prodotto utilizzando le coordinate dei vettori. Inoltre, l'articolo include sezioni che elencano le proprietà dell'opera e forniscono un'analisi dettagliata delle uguaglianze e dei problemi tipici.

Termine

Per determinare cos'è questo termine, devi prendere tre vettori.

Definizione 1

PRODOTTO MISTO DI TRE VETTORI E SUE PROPRIETÀ a → , b → e d → è il valore che è uguale al prodotto scalare di a → × b → e d → , dove a → × b → è la moltiplicazione di a → e b → . L'operazione di moltiplicazione a →, b → e d → è spesso indicata con a → · b → · d →. Puoi trasformare la formula in questo modo: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Moltiplicazione in un sistema di coordinate

Possiamo moltiplicare i vettori se sono specificati sul piano delle coordinate.

Prendiamo i → , j → , k →

Il prodotto dei vettori in questo caso particolare avrà la seguente forma: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Definizione 2

Per fare il prodotto scalare nel sistema di coordinate è necessario aggiungere i risultati ottenuti durante la moltiplicazione delle coordinate.

Da ciò segue:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Possiamo anche definire un prodotto misto di vettori se un dato sistema di coordinate specifica le coordinate dei vettori che vengono moltiplicati.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x - a x a z b x b z · d y + x a y b x b y d z = a x a y a z b x b y b z x d y d z

Pertanto, possiamo concludere che:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Definizione 3

Un prodotto misto può essere equiparato al determinante di una matrice le cui righe sono coordinate vettoriali. Visivamente appare così: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Proprietà delle operazioni sui vettori Dalle caratteristiche che risaltano in un prodotto scalare o vettoriale si possono ricavare le caratteristiche che caratterizzano il prodotto misto. Di seguito presentiamo le principali proprietà.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1 ) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Oltre alle proprietà di cui sopra, è necessario chiarire che se il moltiplicatore è zero, anche il risultato della moltiplicazione sarà zero.

Anche il risultato della moltiplicazione sarà zero se due o più fattori sono uguali.

Infatti, se a → = b →, allora, seguendo la definizione del prodotto vettoriale [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , quindi, il prodotto misto è pari a zero, poiché ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Se a → = b → oppure b → = d →, allora l'angolo tra i vettori [a → × b →] e d → è uguale a π 2. Per definizione del prodotto scalare di vettori ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Le proprietà dell'operazione di moltiplicazione sono spesso richieste durante la risoluzione dei problemi.
Per analizzare questo argomento nel dettaglio, facciamo alcuni esempi e descriviamoli nel dettaglio.

Esempio 1

Dimostrare l'uguaglianza ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), dove λ è un numero reale.

Per trovare una soluzione a questa uguaglianza, il suo lato sinistro deve essere trasformato. Per fare ciò, è necessario utilizzare la terza proprietà di un prodotto misto, che dice:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Abbiamo visto che (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Ne consegue che
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ], b →) = = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Secondo la prima proprietà, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = λ ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →), e ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Pertanto, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . Ecco perché,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

L'uguaglianza è stata dimostrata.

Esempio 2

È necessario dimostrare che il modulo del prodotto misto di tre vettori non è maggiore del prodotto delle loro lunghezze.

Soluzione

Basandosi sulla condizione, possiamo presentare l'esempio sotto forma di disuguaglianza a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → .

Per definizione, trasformiamo la disuguaglianza a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) · d → · cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Utilizzando le funzioni elementari, possiamo concludere che 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

Da ciò possiamo concludere che
(a → × b → , d →) = a → · b → · sin (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

La disuguaglianza è stata dimostrata.

Analisi dei compiti tipici

Per determinare qual è il prodotto dei vettori, è necessario conoscere le coordinate dei vettori moltiplicati. Per l'operazione è possibile utilizzare la seguente formula a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Esempio 3

In un sistema di coordinate rettangolari ci sono 3 vettori con le seguenti coordinate: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). È necessario determinare a cosa è uguale il prodotto dei vettori indicati a → · b → · d →.

Sulla base della teoria presentata sopra, possiamo utilizzare la regola secondo cui il prodotto misto può essere calcolato attraverso il determinante della matrice. Apparirà così: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Esempio 4

È necessario trovare il prodotto dei vettori i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → , dove i → , j → , k → sono i versori dei sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

Sulla base della condizione che afferma che i vettori si trovano in un dato sistema di coordinate, le loro coordinate possono essere derivate: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Usiamo la formula usata sopra
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

È anche possibile determinare il prodotto misto utilizzando la lunghezza del vettore, già nota, e l'angolo tra di essi. Consideriamo questa tesi con un esempio.

Esempio 5

In un sistema di coordinate rettangolari ci sono tre vettori a →, b → e d →, che sono perpendicolari tra loro. Sono una tripla destrorsa e le loro lunghezze sono 4, 2 e 3. È necessario moltiplicare i vettori.

Indichiamo c → = a → × b → .

Secondo la regola, il risultato della moltiplicazione dei vettori scalari è un numero uguale al risultato della moltiplicazione delle lunghezze dei vettori utilizzati per il coseno dell'angolo compreso tra loro. Concludiamo che a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

Usiamo la lunghezza del vettore d → specificata nella condizione di esempio: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . È necessario determinare c → e c → , d → ^ . Per la condizione a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2. Il vettore c → si trova utilizzando la formula: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Possiamo concludere che c → è perpendicolare ad a → e b → . I vettori a → , b → , c → saranno una terna destra, quindi viene utilizzato il sistema di coordinate cartesiane. I vettori c → e d → saranno unidirezionali, cioè c → , d → ^ = 0 . Utilizzando i risultati derivati, risolviamo l'esempio a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Usiamo i fattori a → , b → e d → .

I vettori a → , b → e d → hanno origine dallo stesso punto. Li usiamo come lati per costruire una figura.

Indichiamo che c → = [ a → × b → ] . In questo caso, possiamo definire il prodotto di vettori come a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , dove n p c → d → è la proiezione numerica del vettore d → nella direzione del vettore c → = [ a → × b → ] .

Il valore assoluto n p c → d → è uguale al numero, che è anche uguale all'altezza della figura per la quale i vettori a → , b → e d → sono usati come lati. Sulla base di ciò è opportuno chiarire che c → = [ a → × b → ] è perpendicolare ad a → sia vettore che vettore secondo la definizione di moltiplicazione vettoriale. Il valore c → = a → x b → è uguale all'area del parallelepipedo costruito sui vettori a → e b → .

Concludiamo che il modulo del prodotto a → · b → · d → = c → · n p c → d → è uguale al risultato della moltiplicazione dell'area della base per l'altezza della figura, che è costruita sulla vettori a → , b → e d → .

Definizione 4

Il valore assoluto del prodotto vettoriale è il volume del parallelepipedo: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

Questa formula è il significato geometrico.

Definizione 5

Volume di un tetraedro, che è costruito su a →, b → e d →, equivale a 1/6 del volume del parallelepipedo. Otteniamo, V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d → .

Per consolidare le nostre conoscenze, diamo un'occhiata ad alcuni esempi tipici.

Esempio 6

È necessario trovare il volume di un parallelepipedo i cui lati sono A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) , specificato in un sistema di coordinate rettangolari . Il volume di un parallelepipedo può essere trovato utilizzando la formula del valore assoluto. Da ciò segue: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Quindi, V par l l e l e p e d a = - 18 = 18 .

V par l l e l e p i p i d a = 18

Esempio 7

Il sistema di coordinate contiene i punti A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). È necessario determinare il volume del tetraedro che si trova in questi punti.

Usiamo la formula V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Possiamo determinare le coordinate dei vettori dalle coordinate dei punti: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​AD → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

Successivamente, determiniamo il prodotto misto A B → A C → A D → mediante coordinate vettoriali: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 Volume V t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r a e d r a = 7 6 .

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