Proporzionalità diretta e suo grafico. Proporzionalità diretta e suo grafico - Ipermercato della Conoscenza Proporzionalità diretta

20.12.2023 | Le stagioni

Obiettivi della lezione: In questa lezione acquisirai familiarità con un tipo speciale di relazione funzionale - la proporzionalità diretta - e il suo grafico.

Dipendenza proporzionale diretta

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di dipendenze.

Esempio 1.

Se assumiamo che un pedone si muova ad una velocità media di 3,5 km/h, la lunghezza del percorso che percorrerà dipenderà dal tempo impiegato nel viaggio:

in un'ora un pedone percorre 3,5 km
in due ore – 7 km
in 3,5 ore – 12,25 km
dietro T ore – 3,5 T km

In questo caso possiamo scrivere la dipendenza della lunghezza del percorso percorso dal pedone nel tempo come segue: S(t)=3,5t.

T- variabile indipendente, S– variabile dipendente (funzione). Più lungo è il tempo, più lungo è il percorso e viceversa: più breve è il tempo, più breve è il percorso. Per ogni valore, la variabile è indipendente T puoi trovare il rapporto tra la lunghezza del percorso e il tempo. Come sai, sarà uguale alla velocità, cioè in questo caso 3,5.

Esempio 2.

È noto che durante la sua vita un'ape bottinatrice effettua circa 400 voli, percorrendo in media 800 km. Ritorna da un volo con 70 mg di nettare. Per ottenere 1 grammo di miele, un'ape deve compiere in media 75 voli di questo tipo. Pertanto, durante la sua vita produce solo circa 5 grammi di miele. Calcoliamo quanto miele produrranno nel corso della loro vita:

10 api – 50 grammi
100 api – 500 grammi
280 api – 1400 grammi
1350 api – 6750 grammi
X api – 5 grammi

Possiamo quindi scrivere un'equazione che esprime la quantità di miele prodotta dalle api sul numero di api: P(x) = 5x.

X– variabile indipendente (argomento), R– variabile dipendente (funzione). Più api, più miele. Qui, come nell'esempio precedente, puoi trovare il rapporto tra la quantità di miele e il numero di api: sarà pari a 5;

Esempio 3.

Sia la funzione data da una tabella:

X	–3	–2,7	–2	–1,6	–1	–0,5	0	1,1	2	2,5	2,7	3	3,6	4
A	12	10,8	8	6,4	4	2	0	–4,4	–8	–10	–10,8	–12	–14,4	–16

Troviamo il rapporto tra il valore della variabile dipendente e il valore della variabile indipendente per ciascuna coppia ( X; A) e inserisci questa relazione nella tabella:

–3

–2,7

–2

–1,6

–1

–0,5

1,1

2,5

2,7

3,6

10,8

6,4

–4,4

–8

–10

–10,8

–12

–14,4

–16

–4

Vediamo che per ogni coppia di valori ( X; A) relazione, quindi possiamo scrivere la nostra funzione in questo modo: sì = –4X tenendo conto del dominio di definizione di tale funzione, cioè per quei valori X, che sono elencati nella tabella.

Si noti che anche per la coppia (0; 0) questa dipendenza sarà vera, poiché A(0) = 4 ∙ 0 = 0, quindi la tabella definisce effettivamente una funzione sì = –4X tenendo conto del dominio di definizione di questa funzione.

Sia nel primo che nel secondo esempio è visibile un certo schema: maggiore è il valore della variabile indipendente (argomento), maggiore è il valore della variabile dipendente (funzione). E viceversa: minore è il valore della variabile indipendente (argomento), minore è il valore della variabile dipendente (funzione). In questo caso, il rapporto tra il valore della variabile dipendente e il valore dell'argomento rimane in ogni caso lo stesso.

Questa dipendenza si chiama proporzionalità diretta e un valore costante che prende il rapporto tra il valore della funzione e il valore dell'argomento – fattore di proporzionalità.

Tuttavia, notiamo che il modello: di più X, più A e, viceversa, il meno X, il meno A in questo tipo di dipendenza sarà soddisfatta solo quando il coefficiente di proporzionalità è un numero positivo. Pertanto, un indicatore più importante che la dipendenza è direttamente proporzionale è costanza del rapporto tra i valori della variabile dipendente e di quella indipendente, cioè la presenza fattore di proporzionalità.

Anche nell'esempio 3 abbiamo a che fare con la proporzionalità diretta, questa volta con un coefficiente negativo, pari a -4.

Ad esempio, tra le dipendenze espresse dalle formule:

io = 1,6 p
S = –12t + 2
r = –4k 3
v=13m
y = 25x – 2
P = 2,5a

La proporzionalità diretta è rappresentata dalle dipendenze 1., 4. e 6..

Trova 3 esempi di dipendenze direttamente proporzionali e discuti i tuoi esempi nella sala video.

Scopri un altro approccio per determinare la proporzionalità diretta lavorando con i materiali del tutorial video

Grafico di proporzionalità diretta

Prima di studiare il frammento successivo della lezione, lavora con i materiali della risorsa educativa elettronica « ».

Dai materiali della risorsa educativa elettronica, hai appreso che un grafico di proporzionalità diretta è una linea retta che passa attraverso l'origine delle coordinate. Assicuriamoci di ciò tracciando le funzioni A = 1,5X E A = –0,5X sullo stesso piano di coordinate.

Creiamo una tabella di valori per ciascuna funzione:

A = 1,5X

X	–3	–2,5	–2	–1,5	–1	–0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
A	–4,5	–3,75	–3	–2,25	–1,5	–0,75	0	0,75	1,5	2,25	3	3,75	4,5

Tracciamo i punti risultanti sul piano delle coordinate:

Riso. 1. Punti corrispondenti alla funzione A = 1,5X

Si può notare che i punti da noi segnati giacciono in realtà su una retta passante origine. Ora colleghiamo questi punti con una linea retta.

Riso. 2. Grafico di una funzione A = 1,5X

Ora facciamo lo stesso con la funzione A = –0,5X.

X	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
A	2	1,5	1	0,5	0	–0,5	–1	–1,5	–2

Riso. 3. Grafico della funzione y = 1,5x e punti corrispondenti alla funzione y = –0,5x

Colleghiamo tutti i punti ottenuti con una linea:

Riso. 4. Grafici delle funzioni y = 1,5x e y = –0,5x

Per studiare più in dettaglio il materiale relativo al grafico della proporzionalità diretta, lavorare con i materiali del frammento della lezione video"La proporzionalità diretta e il suo grafico."

Ora lavora con i materiali della risorsa educativa elettronica «

Trikhleb Daniil, studente di 7a elementare

conoscenza della proporzionalità diretta e del coefficiente di proporzionalità diretta (introduzione del concetto di coefficiente angolare”);

costruire un grafico di proporzionalità diretta;

considerazione della posizione relativa di grafici di proporzionalità diretta e funzioni lineari con coefficienti angolari identici.

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Anteprima:

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Didascalie delle diapositive:

Proporzionalità diretta e suo grafico

Qual è l'argomento e il valore di una funzione? Quale variabile si chiama indipendente o dipendente? Cos'è una funzione? RECENSIONE Qual è il dominio di una funzione?

Metodi per specificare una funzione. Analitico (utilizzando una formula) Grafico (utilizzando un grafico) Tabulare (utilizzando una tabella)

Il grafico di una funzione è l'insieme di tutti i punti del piano delle coordinate, le cui ascisse sono uguali ai valori dell'argomento e le ordinate sono i valori corrispondenti della funzione. PROGRAMMA DELLE FUNZIONI

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

COMPLETA L'ATTIVITÀ Costruisci un grafico della funzione y = 2 x +1, dove 0 ≤ x ≤ 4. Prepara un tavolo. Utilizzando il grafico, trova il valore della funzione in x=2,5. A quale valore dell'argomento il valore della funzione è uguale a 8?

Definizione La proporzionalità diretta è una funzione che può essere specificata da una formula della forma y = k x, dove x è una variabile indipendente, k è un numero diverso da zero. (k-coefficiente di proporzionalità diretta) Proporzionalità diretta

8 Grafico di proporzionalità diretta - una retta passante per l'origine delle coordinate (punto O(0,0)) Per costruire un grafico della funzione y= kx sono sufficienti due punti, uno dei quali è O (0,0) Per k > 0, il grafico si trova ai quarti di coordinata I e III. Alle k

Grafici di funzioni di proporzionalità diretta y x k>0 k>0 k

Attività Determinare quale dei grafici mostra la funzione di proporzionalità diretta.

Attività Determinare quale grafico della funzione è mostrato nella figura. Scegli una formula tra le tre proposte.

Lavoro orale. Può il grafico di una funzione data dalla formula y = k x, dove k

Determinare quali dei punti A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) appartengono al grafico di proporzionalità diretta dato dalla formula y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - errato. Il punto A non appartiene al grafico della funzione y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - corretto. Il punto B appartiene al grafico della funzione y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - errato Il punto C non appartiene al grafico della funzione y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - vero. Il punto E appartiene al grafico della funzione y=5x

TEST 1 opzione 2 opzione n. 1. Quali delle funzioni date dalla formula sono direttamente proporzionali? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

N. 2. Annotare il numero di righe y = kx, dove k > 0 1 opzione k

Numero 3. Determina quale dei punti appartiene al grafico della proporzionalità diretta, dato dalla formula Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opzione C (1, -1), E (0.0 ) Opzione 2

y =5x y =10x III A VI e IV E 1 2 3 1 2 3 No. Risposta corretta Risposta corretta No.

Completa l'attività: Mostra schematicamente come si trova il grafico della funzione data dalla formula: y =1.7 x y =-3,1 x y=0.9 x y=-2.3 x

COMPITO Dai seguenti grafici, seleziona solo i grafici di proporzionalità diretta.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funzioni y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0.3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Scegli le funzioni della forma y = k x (proporzionalità diretta) e scrivile

Funzioni di proporzionalità diretta Y = 2x Y = -1.5x Y = 5x Y = -0.3x y x

y Funzioni lineari che non sono funzioni di proporzionalità diretta 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

Compiti a casa: paragrafo 15 pp. 65-67, n. 307; N. 308.

Ripetiamolo ancora. Quali cose nuove hai imparato? Cos'hai imparato? Cosa hai trovato particolarmente difficile?

La lezione mi è piaciuta e l’argomento è capito: mi è piaciuta la lezione, ma ancora non capisco tutto: la lezione non mi è piaciuta e l’argomento non è chiaro.

Costruiamo un grafico della funzione data dalla formula y = 0,5x.

1. Il dominio di questa funzione è l'insieme di tutti i numeri.

2. Troviamo alcuni valori corrispondenti delle variabili X E A.

Se x = -4, allora y = -2.
Se x = -3, allora y = -1,5.
Se x = -2, allora y = -1.
Se x = -1, allora y = -0,5.
Se x = 0, allora y = 0.
Se x = 1, allora y = 0,5.
Se x = 2, allora y = 1.
Se x = 3, allora y = 1,5.
Se x = 4, allora y = 2.

3. Contrassegniamo i punti nel piano delle coordinate di cui abbiamo determinato le coordinate nel passaggio 2. Nota che i punti costruiti appartengono ad una certa linea.

4. Determiniamo se altri punti sul grafico della funzione appartengono a questa linea. Per fare ciò, troveremo le coordinate di molti altri punti sul grafico.

Se x = -3,5, allora y = -1,75.
Se x = -2,5, allora y = -1,25.
Se x = -1,5, allora y = -0,75.
Se x = -0,5, allora y = -0,25.
Se x = 0,5, allora y = 0,25.
Se x = 1,5, allora y = 0,75.
Se x = 2,5, allora y = 1,25.
Se x = 3,5, allora y = 1,75.

Avendo costruito nuovi punti sul grafico della funzione, notiamo che appartengono alla stessa retta.

Se riduciamo il gradino dei nostri valori (prendiamo, ad esempio, i valori X Attraverso 0,1; Attraverso 0,01 ecc.), riceveremo altri punti del grafico appartenenti alla stessa linea e posti sempre più vicini tra loro dal trascinamento. L'insieme di tutti i punti sul grafico di una data funzione è una linea retta passante per l'origine.

Pertanto, il grafico della funzione data dalla formula y = khx, dove k ≠ 0,è una retta passante per l'origine.

Se il dominio di definizione della funzione dato dalla formula y = khx, dove k ≠ 0, non è composto da tutti i numeri, il suo grafico è un sottoinsieme di punti su una linea (ad esempio, una semiretta, un segmento, singoli punti).

Per costruire una retta è sufficiente conoscere la posizione dei suoi due punti. Pertanto, un grafico di proporzionalità diretta definito sull'insieme di tutti i numeri può essere costruito utilizzando due qualsiasi dei suoi punti (è conveniente prendere l'origine delle coordinate come uno di essi).

Supponiamo, ad esempio, che tu voglia tracciare una funzione data dalla formula y = -1,5x. Scegliamo un valore X, non uguale 0 e calcolare il valore corrispondente A.

Se x = 2, allora y = -3.

Contrassegniamo un punto sul piano delle coordinate con le coordinate (2; -3) . Disegniamo una linea retta attraverso questo punto e l'origine. Questa linea retta è il grafico desiderato.

Sulla base di questo esempio, si può dimostrarlo Qualsiasi retta passante per l'origine delle coordinate e non coincidente con gli assi è un grafico di proporzionalità diretta.

Prova.

Sia data una certa retta, passante per l'origine delle coordinate e non coincidente con gli assi. Prendiamo un punto con l'ascissa 1. Indichiamo l'ordinata di questo punto con k. Ovviamente k ≠ 0. Proviamo che questa retta è un grafico di proporzionalità diretta con coefficiente k.

Infatti dalla formula y = kh segue che se x = 0, allora y = 0, se x = 1, allora y = k, cioè il grafico di una funzione data dalla formula y = kх, dove k ≠ 0, è una retta passante per i punti (0; 0) e (1; k).

Perché per due punti si può tracciare una sola retta, allora questa retta coincide con il grafico della funzione data dalla formula y = khx, dove k ≠ 0, che era ciò che doveva essere dimostrato.

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Consideriamo una relazione direttamente proporzionale con un certo coefficiente di proporzionalità. Per esempio, . Utilizzando un sistema di coordinate su un piano, puoi rappresentare chiaramente questa relazione. Spieghiamo come è fatto.

Diamo a x un valore numerico; Poniamo, ad esempio, e calcoliamo il corrispondente valore di y; nel nostro esempio

Costruiamo un punto sul piano delle coordinate con un'ascissa e un'ordinata. Chiameremo questo punto il punto corrispondente al valore (Fig. 23).

Daremo a x valori diversi e per ogni valore di x costruiremo un punto corrispondente sul piano.

Creiamo la seguente tabella (nella riga superiore annoteremo i valori che assegniamo a x, e sotto di essi nella riga inferiore - i valori corrispondenti di y):

Dopo aver compilato una tabella, costruiremo per ogni valore x il punto corrispondente sul piano delle coordinate.

È facile verificare (applicando, ad esempio, un righello) che tutti i punti costruiti giacciono sulla stessa retta passante per l'origine.

Naturalmente a x può essere assegnato qualsiasi valore, non solo quelli elencati nella tabella. Puoi prendere qualsiasi valore frazionario, ad esempio:

È facile verificare calcolando i valori di y che i punti corrispondenti si troveranno sulla stessa retta.

Se per ogni valore costruiamo un punto ad esso corrispondente, allora verrà individuato un insieme di punti sul piano (nel nostro esempio una retta), le cui coordinate dipendono da

Questo insieme di punti sul piano (cioè la linea retta costruita nel disegno 23) è chiamato grafico delle dipendenze

Costruiamo un grafico di una relazione direttamente proporzionale con un coefficiente di proporzionalità negativo. Poniamo, ad esempio,

Faremo lo stesso dell'esempio precedente: assegneremo diversi valori numerici a x e calcoleremo i corrispondenti valori di y.

Creiamo, ad esempio, la seguente tabella:

Costruiamo i punti corrispondenti sul piano.

Dal disegno 24 è chiaro che, come nell'esempio precedente, i punti del piano, le cui coordinate dipendono, si trovano su una retta passante per l'origine delle coordinate e situata a

II e IV trimestre.

Di seguito (nel corso dell'VIII grado) verrà dimostrato che il grafico di una relazione direttamente proporzionale con qualsiasi coefficiente di proporzionalità è una linea retta passante per l'origine delle coordinate.

Puoi costruire un grafico di proporzionalità diretta molto più semplice e facile di quello che abbiamo costruito finora.

Ad esempio, costruiamo un grafico delle dipendenze

Definizione di proporzionalità diretta

Per cominciare, ricordiamo la seguente definizione:

Definizione

Due quantità si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto è uguale a un determinato numero diverso da zero, cioè:

\[\frac(y)(x)=k\]

Da qui vediamo che $y=kx$.

Definizione

Una funzione della forma $y=kx$ è detta proporzionalità diretta.

La proporzionalità diretta è un caso speciale della funzione lineare $y=kx+b$ per $b=0$. Il numero $k$ è chiamato coefficiente di proporzionalità.

Un esempio di proporzionalità diretta è la seconda legge di Newton: l'accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla forza ad esso applicata:

Qui la massa è un coefficiente di proporzionalità.

Studio della funzione di proporzionalità diretta $f(x)=kx$ e suo grafico

Innanzitutto, considera la funzione $f\left(x\right)=kx$, dove $k > 0$.

$f"\sinistra(x\destra)=(\sinistra(kx\destra))"=k>0$. Di conseguenza, questa funzione aumenta nell'intero dominio di definizione. Non ci sono punti estremi.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
Grafico (Fig. 1).

Riso. 1. Grafico della funzione $y=kx$, per $k>0$

Consideriamo ora la funzione $f\left(x\right)=kx$, dove $k

Il dominio della definizione sono tutti i numeri.
L'intervallo di valori è composto da tutti i numeri.
$f\sinistra(-x\destra)=-kx=-f(x)$. La funzione di proporzionalità diretta è dispari.
La funzione passa per l'origine.
$f"\sinistra(x\destra)=(\sinistra(kx\destra))"=k
$f^("")\left(x\right)=k"=0$. Pertanto, la funzione non ha punti di flesso.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
Grafico (Fig. 2).

Riso. 2. Grafico della funzione $y=kx$, in $k

Importante: per tracciare un grafico della funzione $y=kx$, è sufficiente trovare un punto $\left(x_0,\y_0\right)$ diverso dall'origine e tracciare una linea retta che passa attraverso questo punto e l'origine.