È valido ma non è un esempio razionale. Elementi di logica matematica
Compiti pratici per la sezione 3
Il concetto di predicato e operazioni su di esso.
3.1. Quali delle seguenti espressioni sono predicati:
UN) " X divisibile per 5" ( X Î N);
b) "Fiume" X sfocia nel Lago Baikal" ( X attraversa molti nomi di tutti i tipi di fiumi);
V)" x2 + 2X+4" ( XÎ R) ;
G) "( X + A)2 = x2 + 2Xsì + sì 2" ( X, sìÎ R);
D) " X avere un fratello A» ( x, y molta gente corre);
e)" X E A» ( X, A percorrere l'insieme di tutti gli studenti di un dato gruppo);
E) " X E A giacciono sui lati opposti di z» ( X, A percorri l'insieme di tutti i punti e z - tutte le linee di un piano);
h) “ctg 45° = 1”;
E) " X perpendicolare A» ( X, A percorre l'insieme di tutte le rette di un piano).
3.2. Per ciascuna delle seguenti affermazioni, trova un predicato (singolo o plurale) che si trasforma in una determinata affermazione sostituendo le variabili soggetto con valori adeguati dai domini corrispondenti:
a) “3 + 4 = 7”;
b) “Fede e Speranza sono sorelle”;
c) “Oggi è martedì”;
d) “La città di Saratov si trova sulle rive del fiume Volga;
e) “sen 30° = 1/2”;
f) “-grande poeta russo”;
g) “32 + 42= 52;
h) "Il fiume Indigirka sfocia nel lago Baikal";
Dopo aver costruito un tale predicato, prova a indicare con precisione il suo dominio di verità o a delinearlo in qualche modo.
Soluzione. i) Si possono specificare tre predicati, ciascuno dei quali si trasforma in una determinata affermazione con opportuna sostituzione. Il primo predicato è unario:
"https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" width="181" Height="48"> Si trasforma in questa istruzione dopo la sostituzione L'istruzione risultante è vera non esaurisce l'insieme verità del predicato costruito. È facile stabilire che tale insieme è il seguente: 
. Anche il secondo predicato è unario: "" (sìÎ
R). Si trasforma in questa affermazione durante la sostituzione y = 1. È chiaro che questo valore esaurisce l'insieme di verità di questo predicato..png" width="240" Height="48">. Si trasforma in questa affermazione dopo la sostituzione, A= 1. Il suo dominio di verità è un insieme di coppie ordinate, la cui raccolta è rappresentata graficamente come una famiglia infinita di curve chiamate tangenti.
3.3. Leggi le seguenti affermazioni e determina quali di esse sono vere e quali sono false, assumendo che tutte le variabili attraversino l'insieme numeri reali:
a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png" larghezza="135" altezza="21 src=">
c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png" larghezza="136" altezza="21 src=">
e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png" larghezza="232" altezza="24 src=">
g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png" larghezza="204" altezza="24 src=">
i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png" larghezza="201" altezza="24 src=">
l) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png" width="101 altezza=21" altezza="21">" relativo alla variabile X, che percorre l'insieme R. Si dice che nell'espressione risultante la variabile Aè connesso e la variabile X gratuito. Invece di una variabile A non possiamo più sostituire nulla, mentre invece X i numeri reali possono essere sostituiti, in conseguenza dei quali il predicato unario si trasformerà in affermazioni. Ad esempio, l'affermazione " 
" può essere letto così: "Esiste un numero reale A, tale che X)($y)( X+ A= 7)" è vero. Può essere letto come segue: “Per ogni numero reale, esiste un numero reale la cui somma con il primo è 7”. Nell'espressione "(" X)($y)( X+ A= 7)” non ci sono più variabili libere. Entrambe le variabili X E A stanno sotto i segni dei quantificatori e sono quindi correlati. L'espressione stessa non è più un predicato, è un'affermazione vera, come abbiamo stabilito. Tuttavia, se vogliamo sviluppare il concetto di predicato, possiamo assumere che un enunciato sia un predicato a posti 0, cioè un predicato senza variabili. Ma dobbiamo renderci conto che la transizione quantitativa da un predicato a un posto a un predicato a 0 posti porta a un salto qualitativo, così che un predicato a 0 posti è un oggetto qualitativamente diverso da un predicato a un posto, sebbene lo sussumiamo condizionatamente sotto il concetto di “predicato”.
b) La dichiarazione “($у)(" X)(X+ A= 7)" può essere letto come segue: "C'è un numero reale la cui somma, sommata a qualsiasi numero reale, dà come somma 7." Non è difficile vedere che questa affermazione è falsa. Consideriamo infatti il predicato unario "(" X)(X+ A= 7)" relativo alla variabile sì, applicando il quantificatore esistenziale a cui si ottiene l'affermazione data. È chiaro che, qualunque sia il numero reale, la variabile soggetto viene sostituita sì, Per esempio "(" X)(X+ 4 = 7)", il predicato si trasformerà in un'affermazione falsa. (La dichiarazione "(" X)(X+ 4 = 7)" è falso, poiché il predicato unario "( X+ 4 = 7)" si trasforma in un'affermazione falsa, ad esempio, quando si sostituisce una variabile X numero 5.) Pertanto l'affermazione “($y)(" X)(X+ A= 7)", risultante dal predicato unario "(" X)(X+ A= 7)" utilizzando l'operazione di prendere il quantificatore di esistenza con sì, falso.
i) Questa affermazione può essere letta come segue: “Qualsiasi numero reale è uguale a se stesso se e solo se è maggiore di 1 o minore di 2”. Per scoprire se questa affermazione è vera o falsa, proveremo a cercare un numero così reale x0, che trasformerebbe il predicato unario
in una falsa dichiarazione. Se riusciamo a trovare un tale numero, allora l’affermazione ottenuta da questo predicato “attaccando” (cioè applicando l’operazione di prendere) il quantificatore generale è falsa. Se arriviamo a una contraddizione, supponiamo che lo sia x0 esiste, allora l'affermazione è vera.
È chiaro che il predicato " x = x" si trasforma in un'affermazione vera quando viene sostituito X qualsiasi numero reale, cioè è identicamente vero. La domanda è: è possibile indicare un numero reale che trasformerebbe il predicato" 
» in una dichiarazione falsa? No, perché qualunque sia il numero reale che prendiamo, esso è maggiore di 1 o minore di 2 (o entrambi maggiore di 1 e minore di 2, il che nel nostro caso non è affatto proibito). Pertanto, il predicato " "è identicamente vero. Allora il predicato sarà identicamente vero
E questo significa questa affermazione
per definizione l'operazione di prendere un quantificatore generale è vera.
3.4. Siano P (x) e Q (x) predicati unari definiti sull'insieme M, tali che l'affermazione https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png" width="63 Height=23 " altezza="23">falso.
3.5. Determina se uno dei predicati definiti sull'insieme dei numeri reali è conseguenza di un altro:
a) "| x|< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;
b) “x4 = 16”, “x2 = - 2”;
c) “x - 1 > 0”, “(x - 2) (x + 5) = 0”;
d) “peccato x = 3”, “x2 + 5 = 0”;
e) “x2 + 5x - 6 > 0”, “x + 1 = 1 + x”;
f) “x2 £ 0”, “x = sin p”;
g) “x3 - 2x2 - 5h + 6 = 0”, “| x-2| = 1".
Soluzione. g) Il secondo predicato si trasforma in un'affermazione vera solo con due sostituzioni: x = 1 e x = 3. È facile verificare che queste sostituzioni trasformano anche il primo predicato in un'affermazione vera (sono le radici di questa equazione cubica) . Pertanto il primo predicato è una conseguenza del secondo.
3.6. Definire un insieme M di valori della variabile soggetto in modo che su questo insieme il secondo predicato sia una conseguenza del primo:
UN) " X multiplo di 3", " X Anche";
B) " X 2 = 1", " X-1 = 0";
V)" X strano", " X- piazza numero naturale»;
G) " X- rombo", " X- parallelogramma";
D) " X- parallelogramma", " X- rombo";
e)" X- Scienziato russo", " X- matematico";
E) " X- piazza", " X- parallelogramma."
Soluzione. g) Poiché ogni quadrato è un parallelogramma, l'insieme di tutti i quadrilateri può essere preso come l'insieme in cui il secondo predicato è conseguenza del primo.
3.7. Dimostrare che la congiunzione di un predicato identicamente vero con qualsiasi altro predicato dipendente dalle stesse variabili è equivalente a quest'ultimo.
3.8. Dimostrare che l'implicazione di due predicati dipendenti dalle stesse variabili con una conseguenza identicamente falsa equivale alla negazione della sua premessa.
NOTE NEL LINGUAGGIO DELL'ALGEBRA DEI PREDICATI
e Analisi del ragionamento utilizzando l'algebra dei predicati
Esempio 1. Cosa significa l'affermazione "Le linee a e b non sono parallele"?
Per rivelare il significato della formula Ø(a || b), dobbiamo trovare la negazione della formula $a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b). Abbiamo Ø(a || b) = Ø($a(a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú Ø (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b ¹ Æ & a ¹ b.
Ma la formula Ø$a(a Ì a & b Ì a), che in russo significa “Non esiste un piano contenente entrambe le linee a e b”, trasmette la relazione tra le linee che si incrociano, e la formula a Ç b ¹ Æ & a ¹ b, tradotto in russo con la frase "Le linee aeb hanno punti comuni, ma non coincidono", esprime la relazione di intersezione delle linee.
Pertanto, le linee non parallele indicano la loro intersezione o incrocio. Esempio 2. Trascrivere nel linguaggio dell’algebra dei predicati i cosiddetti “giudizi categorici aristotelici” spesso utilizzati nel ragionamento: “Tutto S essenza R", "Alcuni S essenza R", "Nessuno S non è questo il punto R", "Alcuni S non è questo il punto R».
La voce è riportata nella tabella. 1.1. La prima colonna di questa tabella indica il tipo di giudizio che emerge quando si classificano i giudizi categoriali secondo un criterio complesso che tiene conto della quantità (giudizi generali e particolari), espressa nella formulazione con le parole quantificatrici "tutti", "alcuni" e qualità (giudizi affermativi e negativi), che viene trasmessa dai connettivi “essenza”, “non l'essenza”, “è”.
La seconda colonna riporta la formulazione verbale standard dei giudizi in logica tradizionale, e nel quinto - la loro registrazione nel linguaggio dell'algebra dei predicati, mentre S(x) deve essere inteso come “x ha la proprietà S", UN P(x)- come “x ha la proprietà R».
La quarta colonna mostra la relazione tra i volumi Vs e VP dei concetti S E R, se le sentenze sono intese nella forma più generale, quando forniscono informazioni esaurienti solo sull'argomento. Ad esempio, dalla sentenza “Tutto S essenza R"questo è chiaro stiamo parlando su tutti S, la portata del predicato non è definita: stiamo parlando di tutti gli oggetti che hanno la proprietà P, o solo su alcuni; solo se S essenza P, o anche altri oggetti R. A volte questa incertezza riguarda la portata del predicato R elimina il contesto, a volte questa eliminazione non è necessaria. Per enfatizzare il rapporto tra volume VP e volume Vs, viene utilizzata una formulazione più specifica: “Tutto S e non solo S essenza R"o tutto S e solo loro sono l'essenza R" La seconda formulazione è chiamata generalizzando giudizio affermativo. Al primo giudizio risponde il diagramma di Venn mostrato in Fig. 1, a, secondo - in Fig. 1, b. Detto questo, il giudizio “Alcuni S essenza R" è generalmente inteso come "Alcuni S e non solo lo sono R", che corrisponde allo schema di Fig. 2, a, ma può anche significare “Alcuni S e solo loro sono l'essenza S"(Fig. 2, b). Il giudizio “Tutto S non è questo il punto R", inteso in forma generale, corrisponde allo schema di Fig. 3, a. Allo stesso giudizio nella forma enfatica “Tutto S e solo loro non lo sono R"risponde il diagramma di Fig. 3, b. Questa formulazione corrisponde alla descrizione del rapporto tra concetti contraddittori , cioè quelli i cui volumi non si intersecano ed esauriscono il volume di un concetto generico più generale. Infine, la sentenza “Alcuni S non mangiare R» in generale corrisponde allo schema di Fig. 4, a, e nella forma evidenziata “Alcuni S e solo loro non lo sono R" - diagramma in fig. 4, b. Tabella 3.1
Tipo di giudizio | Registrazione nella logica tradizionale delle formulazioni verbali | Notazione nel linguaggio dell'algebra dei predicati | Rapporto tra volumi Vs e VP |
Generale affermativo | Tutto S essenza P |
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Privato affermativo | Alcuni S essenza R |
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Negativo generale | Nessuno S non è questo il punto R |
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Negativo parziale | Alcuni S non è questo il punto R |
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Fig. 1
Riso. 2
Fig.4Esempio 3. Analizza il ragionamento “Tutte le persone sono mortali; Socrate è un uomo; quindi Socrate è mortale." La prima premessa dell'argomentazione è una proposizione generalmente affermativa (vedi esempio 2). Introduciamo la seguente notazione: H(x): x - persona; C (x): x - mortale; c - Socrate.
Struttura dell'argomentazione:
"x(H(x)ÞC(x)), H(s) ├ C(s). (3.1)
Non valga la (3.1). Allora in qualche dominio Do deve esistere un insieme (a, li(x), lj(x)) per (c, H(x), C(x)), sotto il quale saranno soddisfatte le seguenti condizioni:
"x(li(x) Þ lj (x)) = È; li(a) = È; lj(a) = Л.
Ma allora l’implicazione li(a) Þ lj (a) ha il valore A, che significa, per la definizione del quantificatore generale, “x(li(x) Þ lj (x)) = A, il che contraddice la prima condizione Pertanto, il Corollario 2.8 è corretto, e il ragionamento originale è corretto.
Esempio 4. Analizza il ragionamento: “Qualsiasi squadra di hockey che può sconfiggere il CSKA è una squadra della major league. Nessuna squadra della Major League può battere il CSKA. Ciò significa che il CSKA è invincibile”.
Notazione O: P(x): la squadra x può sconfiggere il CSKA; B (x): squadra x della massima serie.
Struttura dell'argomentazione:
"x(P(x) Þ B(x)), "x(B(x) Þ ØP(x)) ├ Ø$xP(x).
Stabiliamo se la conseguenza risultante è corretta utilizzando il metodo delle trasformazioni equivalenti. Utilizzando il corollario b) della generalizzazione della Proposizione 1.10, trasformiamo la formula “x(P(x) Þ B(x))&”x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x).
Abbiamo: "x(P(x) Þ B(x)) & "x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) = "x((P(x) Þ B(x ) ) & (B(x) Þ ØP(x))) Þ Ø$xP(x) = Ø("x((ØP(x) Ú B(x)) & (ØB(x) Ú ØP(x) ) ) & $хП(х)) =
= Ø("x(ØP(x) Ú (B(x) & ØB(x)))) & $xP(x) = ØL = I.
In queste formazioni equivalenti, la proprietà della congiunzione A & ØA = А veniva usata due volte e la proprietà della disgiunzione A Ú A = A veniva usata una volta.
Pertanto, la formula originale è generalmente valida, il che significa che il ragionamento è corretto.
Esempio 5. Analizziamo il ragionamento: “Se una squadra può battere il CSKA, allora potrebbe farlo anche qualche squadra della Major League. La Dynamo (Minsk) è una squadra della major league, ma non può battere il CSKA. Ciò significa che il CSKA è invincibile”.
Notazione: P(x): la squadra x può sconfiggere il CSKA; B(x): squadra x della massima serie; d - “Dinamo” (Minsk).
Struttura dell'argomentazione:
"X P( X) Þ $ X(IN( X)& P( X)), V(d) & ØP(d) ├ Ø$ X P( X). (3.2)
Commento. Quando si formalizza il ragionamento, è necessario tenere conto del fatto che nel linguaggio naturale, al fine di evitare frequenti ripetizioni delle stesse parole o frasi, sono ampiamente utilizzate frasi sinonime. È chiaro che durante la traduzione devono essere trasmessi con la stessa formula. Nel nostro esempio, tali sinonimi sono i predicati “comando X può battere il CSKA" e "la squadra X può battere il CSKA", ed entrambi sono espressi dalla formula P( X).
L’implicazione della (3.2) non è corretta. Per dimostrarlo, è sufficiente indicare almeno un'interpretazione delle formule che esprimono premesse e conclusione, in cui le premesse assumeranno il valore I e la conclusione il valore L. Tale interpretazione, ad esempio, è la seguente: D = (1, 2, 3, 4) . In questa interpretazione abbiamo, dopo i calcoli,
I Þ I, I &ØL ├ ØI, oppure I, I ├ L.
Quindi, in questa interpretazione, entrambe le premesse hanno il valore I e la conclusione ha il valore L. Ciò significa che quanto segue (3.2) è errato e il ragionamento è errato.
3.9. Dopo aver introdotto opportuni predicati unari sui domini corrispondenti, traduci le seguenti affermazioni nel linguaggio dell'algebra dei predicati:
a) Tutti i numeri razionali sono reali.
b) Nessun numero razionale è reale.
c) Alcuni numeri razionali sono reali.
d) Alcuni numeri razionali non sono reali.
Soluzione. Introduciamo i seguenti predicati unari
Q(x): « X- numero razionale";
R(x): « X- numero reale."
Quindi la traduzione delle affermazioni di cui sopra nel linguaggio dell'algebra dei predicati sarà la seguente:
a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png" larghezza="144" altezza="21 src=">
c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png" larghezza="137" altezza="21 src=">
3.10. Introduci predicati unari sui domini corrispondenti e usali per scrivere le seguenti affermazioni sotto forma di formule dell'algebra dei predicati:
a) Ogni numero naturale divisibile per 12 è divisibile per 2, 4 e 6.
b) I residenti in Svizzera devono parlare francese, italiano o tedesco.
c) Una funzione continua sull'intervallo conserva il segno o assume valore zero.
d) Alcuni serpenti sono velenosi.
e) Tutti i cani hanno un buon senso dell'olfatto.
3.11. Negli esempi seguenti, fai come nel problema precedente, senza limitarti necessariamente ai predicati unari:
a) Se a è la radice di un polinomio in una variabile a coefficienti reali, allora è anche la radice di questo polinomio.
b) Tra due punti distinti qualsiasi di una linea si trova almeno un punto che non coincide con essi.
c) Per due punti diversi passa una sola retta.
d) Ogni studente ha completato almeno un lavoro di laboratorio.
e) Se il prodotto dei numeri naturali è divisibile per un numero primo, allora almeno uno dei fattori è divisibile per esso.
f) Per tre punti che non giacciono sulla stessa retta passa un solo piano.
g) Massimo comun divisore di numeri UN E Bè diviso per ogni divisore comune.
h) Per ogni numero reale X c'è così A quello per tutti z, se l'importo z e 1 in meno A, quindi la somma X e 2 è inferiore a 4.
E) X- Numero primo.
j) Ogni numero pari maggiore di quattro è la somma di due numeri primi (congettura di Goldbach).
3.12. Scrivi le seguenti affermazioni nel linguaggio dell'algebra dei predicati:
a) Ce n'è esattamente uno X, tale che P(x).
b) Ce ne sono almeno due diversi X, tale che P(x).
c) Non sono più di due X, tale che P(x).
d) Ce ne sono esattamente due diversi X, tale che P(x).
3.13. Cosa si può dire dell'insieme M se per qualsiasi predicato B(x) sul set M è vera l'affermazione?
3.14. Permettere P(x) significa " X- Numero primo", Ex) significa " X- numero pari", OH) - « X- numero dispari", D ( X,sì) - « X divide A" O " A diviso per X" Traduci le seguenti notazioni simboliche in russo nel linguaggio dell'algebra dei predicati, tenendo conto delle variabili X E A percorri l'insieme dei numeri naturali:
UN) P( 7) ;
B) E ( 2) & P( 2) ;
c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png" larghezza="136" altezza="21 src=">;
e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png" larghezza="237" altezza="23 src=">;
g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png" larghezza="248" altezza="23 src=">;
i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png" larghezza="109" altezza="21 src=">.png" larghezza="127" altezza="23">. png" larghezza="108" altezza="23"> ├ ?
La correttezza di quanto segue può essere verificata anche utilizzando i diagrammi di Venn, se le premesse e le conclusioni sono predicati singoli che dipendono da una variabile. Per i giudizi categorici, che sono le premesse e le conclusioni nel nostro esempio, le relazioni tra i volumi dei concetti S E R sono descritti nell'esempio 2. Utilizzeremo questa descrizione.
Il metodo del diagramma di Venn per il caso a premessa singola è il seguente. Descriviamo tutto con diagrammi casi possibili relazioni tra volumi di concetti S E R, corrispondente al pacco.
Se la conclusione risulta essere vera su ciascuno dei diagrammi risultanti, allora quanto segue è corretto. Se la conclusione è falsa in almeno uno dei diagrammi, quanto segue non è corretto.
(a) Poiché la premessa è una proposizione negativa, per essa sono possibili i diagrammi mostrati in Fig. 1. 5.
In nessuno di questi diagrammi il giudizio https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png" width="108" Height="23"> è un particolare giudizio affermativo, quindi i possibili diagrammi sono mostrato nella Figura 6.
Questo articolo è dedicato allo studio dell'argomento "Numeri razionali". Di seguito sono riportate le definizioni di numeri razionali, vengono forniti esempi e come determinare se un numero è razionale o meno.
Numeri razionali. Definizioni
Prima di dare la definizione di numeri razionali, ricordiamo quali altri insiemi di numeri esistono e come sono correlati tra loro.
I numeri naturali, insieme ai loro opposti e al numero zero, formano l'insieme dei numeri interi. A sua volta, l’insieme dei numeri interi frazionari costituisce l’insieme dei numeri razionali.
Definizione 1. Numeri razionali
I numeri razionali sono numeri che possono essere rappresentati come positivi frazione comune a b , una frazione comune negativa - a b o il numero zero.
Pertanto, possiamo mantenere una serie di proprietà dei numeri razionali:
- Qualsiasi numero naturale è un numero razionale. Ovviamente ogni numero naturale n può essere rappresentato come una frazione 1 n.
- Qualsiasi numero intero, compreso il numero 0, è un numero razionale. In effetti, qualsiasi intero positivo e qualsiasi intero negativo possono essere facilmente rappresentati rispettivamente come frazione ordinaria positiva o negativa. Ad esempio, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
- Qualsiasi frazione comune positiva o negativa a b è un numero razionale. Ciò deriva direttamente dalla definizione data sopra.
- Qualsiasi numero misto è razionale. Infatti un numero misto può essere rappresentato come una frazione impropria ordinaria.
- Qualsiasi frazione decimale finita o periodica può essere rappresentata come una frazione. Pertanto, ogni periodico o finito decimaleè un numero razionale.
- I decimali infiniti e non periodici non sono numeri razionali. Non possono essere rappresentati sotto forma di frazioni ordinarie.
Diamo esempi di numeri razionali. I numeri 5, 105, 358, 1100055 sono naturali, positivi e interi. Ovviamente si tratta di numeri razionali. I numeri - 2, - 358, - 936 rappresentano numeri interi numeri negativi, e sono anche razionali secondo la definizione. Anche le frazioni comuni 3 5, 8 7, - 35 8 sono esempi di numeri razionali.
La definizione di numeri razionali di cui sopra può essere formulata più brevemente. Ancora una volta risponderemo alla domanda: cos'è un numero razionale?
Definizione 2. Numeri razionali
I numeri razionali sono numeri che possono essere rappresentati come una frazione ± z n, dove z è un numero intero e n è un numero naturale.
Lo si può dimostrare questa definizioneè equivalente alla precedente definizione di numeri razionali. Per fare ciò, ricorda che la linea di frazione equivale al segno di divisione. Tenendo conto delle regole e delle proprietà della divisione degli interi, possiamo scrivere le seguenti disuguaglianze giuste:
0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .
Pertanto, possiamo scrivere:
z n = z n , p r e z > 0 0 , p r e z = 0 - z n , p r e z< 0
In realtà, questa registrazione è una prova. Diamo esempi di numeri razionali basati sulla seconda definizione. Considera i numeri - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 e - 1 3 5. Tutti questi numeri sono razionali, poiché possono essere scritti come una frazione con numeratore intero e denominatore naturale: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.
Diamo un'altra forma equivalente per la definizione di numeri razionali.
Definizione 3. Numeri razionali
Un numero razionale è un numero che può essere scritto come frazione decimale periodica finita o infinita.
Questa definizione deriva direttamente dalla primissima definizione di questo paragrafo.
Riassumiamo e formuliamo una sintesi di questo punto:
- Le frazioni e gli interi positivi e negativi costituiscono l'insieme dei numeri razionali.
- Ogni numero razionale può essere rappresentato come una frazione ordinaria, il cui numeratore è un numero intero e il denominatore è un numero naturale.
- Ogni numero razionale può essere rappresentato anche come frazione decimale: finita o infinitamente periodica.
Quale numero è razionale?
Come abbiamo già scoperto, qualsiasi numero naturale, intero, frazione ordinaria propria e impropria, frazione decimale periodica e finita sono numeri razionali. Armati di questa conoscenza, puoi facilmente determinare se un certo numero è razionale.
Tuttavia, in pratica, spesso non si ha a che fare con numeri, ma con espressioni numeriche che contengono radici, potenze e logaritmi. In alcuni casi, la risposta alla domanda "il numero è razionale?" è tutt'altro che ovvio. Diamo un'occhiata ai metodi per rispondere a questa domanda.
Se un numero è dato come espressione contenente solo numeri razionali e operazioni aritmetiche tra di loro, allora il risultato dell'espressione è un numero razionale.
Ad esempio, il valore dell'espressione 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) è un numero razionale ed è uguale a 18.
Pertanto, semplificare un'espressione numerica complessa consente di determinare se il numero da essa dato è razionale.
Ora guardiamo il segno della radice.
Risulta che il numero m n dato come radice della potenza n del numero m è razionale solo quando m è l'ennesima potenza di un numero naturale.
Diamo un'occhiata a un esempio. Il numero 2 non è razionale. Mentre 9,81 sono numeri razionali. 9 e 81 sono quadrati perfetti rispettivamente dei numeri 3 e 9. I numeri 199, 28, 15 1 non sono numeri razionali, poiché i numeri sotto il segno della radice non sono quadrati perfetti di nessun numero naturale.
Ora prendiamone di più caso difficile. 243 5 è un numero razionale? Se elevi 3 alla quinta potenza, ottieni 243, quindi l'espressione originale può essere riscritta come segue: 243 5 = 3 5 5 = 3. Quindi, dato numero razionale. Ora prendiamo il numero 121 5. Questo numero è irrazionale, poiché non esiste un numero naturale il cui elevazione alla quinta potenza dia 121.
Per scoprire se il logaritmo di un numero a in base b è un numero razionale, è necessario applicare il metodo della contraddizione. Ad esempio, scopriamo se il numero log 2 5 è razionale. Supponiamo che questo numero sia razionale. Se è così, allora può essere scritto sotto forma di una frazione ordinaria log 2 5 = m n Secondo le proprietà del logaritmo e le proprietà del grado, sono vere le seguenti uguaglianze:
5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m
Ovviamente, l'ultima uguaglianza è impossibile poiché i lati sinistro e destro contengono rispettivamente numeri pari e dispari. Pertanto l'ipotesi fatta è errata e log 2 5 non è un numero razionale.
Vale la pena notare che quando si determina la razionalità e l'irrazionalità dei numeri, non si dovrebbero prendere decisioni improvvise. Ad esempio, il risultato del prodotto di numeri irrazionali non è sempre un numero irrazionale. Un esempio illustrativo: 2 · 2 = 2.
Esistono anche i numeri irrazionali, il cui elevamento a potenza irrazionale dà luogo a un numero razionale. In una potenza della forma 2 log 2 3, la base e l'esponente sono numeri irrazionali. Tuttavia, il numero stesso è razionale: 2 log 2 3 = 3.
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Problema 2.1
Esprimi in parole le affermazioni simboliche elencate di seguito se P(x) è un predicato unario definito sull'insieme M:
Problema 2.2
Cosa succede all'estensionale del predicato A(x), che è definito come la disuguaglianza x*x<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:
Problema 2.3
Sia R(x) - "x è un numero reale",
Q(x) - "x è un numero razionale." Usando questi simboli, scrivi la formula:
1. tutti i numeri razionali sono reali
2. nessun numero razionale è reale
3. alcuni numeri razionali sono reali
4. alcuni numeri razionali non sono reali
Problema 2.4
Sono stati introdotti i seguenti predicati:
J(x)- "x è il giudice",
L(x)- "x è un avvocato",
S(x)- "x è un truffatore",
Q(x)- "x è un vecchio",
V(x)- "x - allegro",
P(x)- "x è un politico",
C(x)- "x è un membro del parlamento",
W(x)- "x è una donna",
U(x)- "x è una casalinga",
A(x, y) - "x ammira y",
j-Jones.
Trova una corrispondenza tra la descrizione verbale e le formule:
Tutti i giudici sono avvocati
Alcuni avvocati sono truffatori
Nessun giudice è un truffatore
Alcuni giudici sono vecchi, ma vigorosi
Il giudice Jones non è né vecchio né sano
Non tutti gli avvocati sono giudici
Alcuni avvocati che sono politici, membri del parlamento
Nessun membro del Parlamento è allegro
Tutti i vecchi parlamentari sono avvocati
Alcune donne sono sia avvocati che membri del parlamento
Nessuna donna è allo stesso tempo politica e casalinga
Alcune avvocatesse sono anche casalinghe
Tutte le donne avvocatesse ammirano qualche giudice
Alcuni avvocati ammirano solo i giudici
Alcuni avvocati ammirano le donne
Alcuni truffatori non ammirano nessun avvocato
Il giudice Jones non ammira nessun truffatore
Ci sono sia avvocati che truffatori che ammirano il giudice Jones
Solo i giudici ammirano i giudici
UN.
$x $y (L(x)/\S(y)/\A(x, j)/\A(y, j)/\J(j))
B.
"x (J(x)® "y (A(x, y) ®J(y)))
C.
"x (C(x)®ù"(x))
D.
"x (C(x)/\Q(x)®L(x))
e. $x (L(x)/\L(x)/\C(x))
F.
$x (L(x)/\L(x)/\U(x))
G.
"x (W(x) ® ù (P(x)/\U(x)))
H.
"x (W(x)/\L(x) ®$y (J(y)/\A(x, y)))
J.
"x (J(x)®L(x))
K.
$x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))
l. $x (L(x)/\S(x))
M.
$x (S(x)/\ "y (L(y)/\ ù A(x, y)))
N.
"x (J(x) ® ù S(x))
o. "x (J(j)/\ù A(j, x)/\S(x))
P.
$x (J(x)/\Q(x)/\"(x))
Q. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))
R.
J(i)/\ù Q(j)/\ù"(j)
Sono stati introdotti i seguenti predicati:
S.
ù"x (L(x) ®J(x))
T.
$x (L(x)/\P(x)/\C(x))
Problema 2.5
Traduci le seguenti frasi nel linguaggio delle formule:
Se ogni numero è divisibile per ogni numero, allora è pari
per ogni numero reale x esiste un y tale che per ogni k, se la somma di k e 1 è inferiore a y, allora la somma di x e 2 è inferiore a 4
esiste un numero pari divisibile per qualsiasi numero se questo numero è primo
Il massimo comun divisore dei numeri a e b è divisibile per ciascuno dei loro divisori comuni
affinché qualsiasi numero sia primo, non deve essere divisibile per nessun numero dispari
per ogni numero reale esiste un numero reale maggiore
Esistono numeri reali x, y, k tali che la somma di x e y è maggiore del prodotto di x e k.
se il prodotto di un numero finito di fattori è 0, allora almeno uno dei fattori è 0
Problema 2.6
P(x) - "x è un numero primo"
Dimostrare le seguenti tautologie:
1. = "x A(x)® $x A(x)
2. = ù "x A(x)¬® $x ù A(x)
3. = $x A(x) ¬® ù "x ù A(x)
Problema 2.9
Ottieni le espressioni dei predicati nella forma normale corretta:
1. "x(("y F(x, y)/\ "y G(x, y, z))\/ "y$z H(x, y, z))
2. $x(ù ($y P(x, y) ®$z Q(z) ®R(x)))
Problema 2. 10
Riduciamo l’espressione alla forma normale congiuntiva:
"x (P(x) ®("y (P(y) ®P(f(x, y)))) /\
/\ ù (""y (Q(x, y) ®P(y))))
Problema 2.11
Costruisci tabelle di verità per le seguenti formule (i predicati sono definiti su un insieme di due elementi):
1. "x(P(x)®Q)\/(Q/\P(y))
2. "x(S(x)®L)¬® $x(S(x)®L)
3. "x $y((B(x)/\D(y))\/(B(x) ®C))
4. "x P(x) ¨S)/\(P(y)\/S)
5. ($x D(x)/\A) ¨($x E(x)\/A)
6. ("x A(x) ®Q) \/ (Q®$x A(x))
7. (A(y)\/Q)¨($x A(x)/\Q)
Problema 2. 12
Dati: D=(a, b), P(a, a)=e, P(a, b)=l, P(b, a)=l, P(b, b)=e Determinare i valori di verità delle formule:
1. "x $y P(x, y)
2. $x "y P(x, y)
3. "x "y (P(x, y) ®P(y, x))
4. "x"y P(x, y)
5. $yù P(a, y)
7. "x $y (P(x, y)/\P(y, x))
8. $x "y (P(x, y) ®P(y, x))\/P(x, y)
Problema 2.13
Verificare la coerenza del seguente ragionamento:
Ogni studente è onesto. John non è onesto. Quindi John non è uno studente.
San Francesco è amato da chiunque ama qualcuno. Tutti amano qualcuno. Perciò tutti amano San Francesco.
Nessun animale è immortale. I gatti sono animali. Ciò significa che alcuni gatti non sono immortali.
Solo gli uccelli hanno le piume. Nessun mammifero è un uccello. Ciò significa che tutti i mammiferi sono privi di piume.
Tutti i politici sono attori. Alcuni attori sono ipocriti. Ciò significa che alcuni politici sono ipocriti.
Uno sciocco ne sarebbe capace. Non ne sono capace. Quindi non sono stupido.
Se qualcuno può risolvere questo problema, allora può farlo anche qualsiasi matematico. Sasha è un matematico, ma non può. Ciò significa che il problema non può essere risolto.
Qualsiasi matematico può risolvere questo problema se qualcuno può risolverlo. Sasha è un matematico, ma non riesce a risolverlo. Ciò significa che il problema è insolubile.
Chiunque possa risolvere questo problema è un matematico. Sasha non può risolverlo. Pertanto, Sasha non è un matematico.
Chiunque possa risolvere questo problema è un matematico. Nessun matematico può risolvere questo problema. Pertanto è indecidibile.
Se qualsiasi numero compreso strettamente tra 1 e 101 divide 101, allora nessun numero primo inferiore a 11 divide 101. Nessun numero primo inferiore a 11 divide 101. Pertanto, nessun numero compreso tra 1 e 101 divide 101 .
Se ogni antenato di un antenato di un dato individuo è anche antenato dello stesso individuo, e nessun individuo è antenato di se stesso, allora deve esserci qualcuno che non ha antenati.
Per ogni persona, c'è una persona che è più vecchia di lui. Se x è un discendente di y, allora x non è più vecchio di y. Tutte le persone sono discendenti di Adamo. Pertanto, Adamo non è un uomo.
Per ogni insieme x, esiste un insieme y tale che la cardinalità di y è maggiore della cardinalità di x. Se x è compreso in y, allora la potenza di x non è maggiore della potenza di y. Ogni insieme è compreso in V. Pertanto V non è un insieme.
Tutti i rettili hanno 4 zampe o non ne hanno affatto. La rana ha 4 zampe. Quindi è un rettile.
Ogni studente che supera l'esame in tempo riceve una borsa di studio. Petrov non riceve una borsa di studio. Pertanto non è uno studente.
Tutti gli uccelli depongono le uova. Nessun coccodrillo è un uccello. Pertanto, i coccodrilli non depongono le uova.
L'insegnante è soddisfatto se tutti i suoi studenti superano l'esame al primo tentativo. Nessuno riesce a superare la logica al primo tentativo. Di conseguenza, l’insegnante di logica è sempre insoddisfatto.
Ogni studente del quinto anno riceve un diploma se supera tutti gli esami. Non tutti hanno ricevuto un diploma. Ciò significa che qualcuno non ha superato tutti gli esami.
A nessuno piacciono gli insetti. I ragni non sono insetti. Vuol dire che qualcuno li ama.
Tutti gli insegnanti d'arte sono uomini. Tutte le lezioni nelle classi inferiori sono impartite da donne. Di conseguenza, il disegno non viene insegnato nelle classi inferiori.
Chiunque si sia diplomato può parlare inglese. Nessuno nella famiglia di Mueller parla inglese. Le persone senza istruzione secondaria non sono accettate nell'istituto. Di conseguenza nessuno dei Müller studia all'istituto.
Tutte le stazioni di servizio sono redditizie. Tutti i punti di raccolta dei piatti non sono redditizi. Un’impresa non può essere allo stesso tempo redditizia e non redditizia. Di conseguenza, nessuna stazione di servizio accetta bombole.
Chiunque sia sano di mente può capire la matematica. Nessuno dei figli di Tom può capire la matematica. I pazzi non possono votare. Di conseguenza, nessuno dei figli di Tom può votare.
Ogni barbiere di N rade tutti quelli e solo quelli che non si radono da soli. Di conseguenza, non esiste un solo parrucchiere a N.
Ogni atleta è forte. Chiunque sia forte e intelligente raggiunge il successo nella vita. Pietro è un atleta. Pietro è intelligente. Quindi, avrà successo nella vita.
Problema 2. 14
Ripristina le premesse o la conclusione mancanti in modo che il seguente ragionamento sia logico:
Solo i coraggiosi sono degni di amore. È fortunato in amore. Non è coraggioso.
Gli adulti potevano entrare solo con i bambini. Mi hanno fatto entrare. Quindi o sono un bambino o sono venuto con un bambino.
Problema 2. 15
Sono vere le seguenti affermazioni:
la conoscenza della struttura dei dati è necessaria per migliorare la disciplina mentale;
solo l'esperienza di programmazione può creare una mente disciplinata;
per scrivere un compilatore bisogna essere in grado di analizzare i problemi;
una mente indisciplinata non può analizzare i problemi;
Chiunque abbia scritto programmi strutturati può essere considerato un programmatore esperto.
È possibile determinare da questi presupposti la validità delle seguenti affermazioni:
6. per poter scrivere un compilatore è necessaria esperienza nella scrittura di programmi strutturati;
7. la conoscenza delle strutture dati è parte dell'esperienza di programmazione;
8. l'analisi del compito non è possibile per coloro che ignorano le strutture dati;
9. Un programmatore esperto che ha scritto programmi strutturati, è in grado di analizzare problemi e ha una mente disciplinata è un programmatore che potrebbe scrivere un compilatore.
Problema 2. 16
Scrivi le premesse sotto forma di formule e applica tutti i metodi conosciuti per dimostrare la correttezza delle conclusioni.
Premessa: 1. il drago è felice se tutti i suoi figli sanno volare;
2. Il drago verde può volare;
3. un drago è verde se almeno uno dei suoi genitori è verde, altrimenti è rosa brillante.
Conclusioni: 1. I draghi verdi sono felici.
2. I draghi senza figli sono felici (potresti aver bisogno di alcune ovvie premesse mancate qui).
3. Cosa dovrebbe fare un drago rosa brillante per essere felice?
Problema 2. 17
Utilizzando i simboli introdotti per predicati e segni aritmetici (ad esempio, "+" e "<"), перевести на язык формул:
1. Se il prodotto di un numero finito di fattori è zero, allora almeno uno dei fattori è zero (Px significa “x è il prodotto di un numero finito di fattori” e Fxy significa “x è uno dei fattori di y”).
2. Il massimo comun divisore dei numeri a e b è diviso per ciascuno dei loro divisori comuni (Fxy significa "x è uno dei divisori del numero y" e Gxyz - "z è il massimo comun divisore dei numeri x e y”).
3. Per ogni numero reale x esiste un numero reale più grande y(Rx).
4. Esistono numeri reali x, y, z tali che la somma dei numeri xey è maggiore del prodotto dei numeri xez.
5. Per ogni numero reale x esiste un y tale che per ogni z, se la somma di z e 1 è inferiore a y, allora la somma di x e 2 è inferiore a 4.
Problema 2. 18
Sia A0, A1, ..., An, ... una successione di numeri reali. Usando quantificatori limitati, traduci in forma simbolica:
1. L'affermazione che a è il limite di questa successione; 2. L'affermazione che questa sequenza ha un limite; 3. L'affermazione che questa successione è una successione di Cauchy (cioè, che se dato e>0, allora esiste un numero positivo k tale che n, m>k implica úAn - Amú< e).
Scrivi la negazione di ciascuna delle formule.
Problema 2. 19
Trarre conclusioni corrispondenti al seguente ragionamento:
Nessun repubblicano o democratico è un socialista. Norman Thomas è un socialista. Quindi non è repubblicano.
Ogni numero razionale è un numero reale. Esiste un numero razionale. Pertanto esiste un numero reale.
A nessuna matricola piacciono gli studenti del secondo anno. Tutti quelli che vivono a Dascombe sono studenti del secondo anno. Di conseguenza, a nessuna matricola piace chi vive a Duscombe.
Alcune matricole adorano tutti gli studenti del secondo anno. A nessuna matricola piace uno degli studenti del penultimo anno. Di conseguenza, nessuno studente del secondo anno è uno studente del penultimo anno.
Ad alcune persone piace Elvis. Ad alcune persone non piace chi ama Elvis. Pertanto, alcune persone non sono amate da tutti.
Nessuno spacciatore è un tossicodipendente. Alcuni tossicodipendenti sono stati assicurati alla giustizia. Di conseguenza, alcune delle persone perseguite non sono spacciatori di droga.
Tutte le matricole incontrano tutti gli studenti del secondo anno. Nessuna matricola esce con un solo studente del penultimo anno. Ci sono studenti del secondo anno. Di conseguenza, nessuno studente del secondo anno è uno studente del penultimo anno.
Tutti i numeri razionali sono numeri reali. Alcuni numeri razionali sono interi. Pertanto, alcuni numeri reali sono interi.
10 - Logica matematica i) xy → x ∨ x (y ∨ z) ; a) *xy∨xz; j) (x | y) → (x | z) ; b) x~y; l) (x ∨ y)(x ∨ z) ∨ xy ; c) *xy; m) (x ∨ y) x ∨ z ; d) xyz; e) x (y ∨ z) → (xy ∨ z) ; n) (x ↓ y) ~ (x ⊕ y) ; o) (x ~ y) ~ (x ~ z) ; g) (x ⊕ y → c) ↓ c ; n) (x ~ y) ⊕ (x ~ z) ; h) * x → (y → x) ; p) (x ∨ y)(x ∨ z) (x ∨ w). 17. Ottieni SDNF e poi vai a SCNF: b) * (x → y) → (y → x); 18.* Sia data una funzione f (enunciato complesso) da tre argomenti (enunciati elementari) x, y, z e f (x, y, z)= x. Costruisci un SDNF per questa funzione. 19. Ottieni SCNF e poi vai su SDNF: d) * (x | y) xy ; 20. Ottieni MDNF per le formule: a) * ((x ⊕ y) ~ z) → x ; b) * ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y); c) * (x ⊕ y) → z ∨ y ; d) * ((A → B) ~ (C ~ D)) ∨ B → A ⋅ (C ~ D) ; e) * (A ∨ B ∨ C ∨ D)(A ∨ B ∨ C ∨ D); e) * x ∨ yz ∨ xz ; g) * (x → y) → z ∨ x ; h) *xy∨xy∨xz; 22.* Dai contatti x, y, z, costruisci un circuito in modo che si chiuda se e solo se due qualsiasi dei tre contatti x, y, z sono chiusi. 24.* Semplificare gli schemi di Fig. 1, aeb. a) b) fig. 1 - 11 - Logica matematica 25.* Scrivere nella lingua dei predicati: a) studiano tutti gli alunni; b) alcuni studenti sono studenti eccellenti; c) per qualsiasi numero è possibile trovare un numero maggiore; d) x + y = z; e) ogni oggetto ha la proprietà A; f) qualcosa ha la proprietà A; g) ogni oggetto non possiede la proprietà A; h) qualcosa non ha la proprietà A; i) ogni numero razionale è un numero reale; j) alcuni numeri reali sono razionali; k) nessun numero razionale è reale; m) alcuni numeri razionali non sono reali. 26.* Prova a spiegare perché negli esercizi 25a e 25i è stata usata l'implicazione, mentre negli esercizi 25b e 25k è stata usata la congiunzione. 27.* Scrivere nel linguaggio dei predicati: a) è vietato l'ingresso ai minori di 16 anni (D(x)) e ai robot (R(x)) (B(x)); b) tutti i bambini sotto i 16 anni (D(x)) e i robot (R(x)) devono ottenere i certificati (C(x)). 28.* Scrivi nel linguaggio dei predicati: a) ogni N divisibile per 12 è divisibile per 2, 4 e 6; b) ogni studente ha completato almeno un'attività di laboratorio; c) un'unica retta passa per due punti diversi. 29. Scrivi nel linguaggio dei predicati: e)* ogni studente (C(x)) - atleta (S(x)) ha qualche idolo (y) (B(x,y)) tra gli artisti cinematografici (K(y) ) ; e)* se alcuni computer di grandi dimensioni (B(x)) sono collegati (C(x,y)) con un altro computer di grandi dimensioni (B(y)), allora significa che non esistono minicomputer (M(x)) che hanno mezzi di interfaccia (S(x)); trenta. * In quali condizioni: a) ∀x P(x) ≡ ∃x P(x) ; b) ∃x P(x) ≡ O, a ∀x P(x) ≡ 1; 33.* Questo è un esempio ormai classico che illustra le ulteriori difficoltà legate alla negazione: è noto che la frase “L’attuale re di Francia è calvo” è falsa. Come scriverlo nel linguaggio dei predicati. SOLUZIONI E RISPOSTE. - 12 - Logica matematica 1a. Scegliamo le affermazioni elementari in maniera formale: A – lo studente è un ottimo studente; B – lo studente sta studiando lavoro sociale; C – lo studente ha delle menomazioni; D – lo studente riceve una borsa di studio. Allora la forma simbolica dell'enunciato complesso sarà A ⋅B⋅C → D . 1b. Una notazione simbolica può assomigliare a: P⋅Z → S⋅P → P.() 3. Nella logica proposizionale, affermazioni come “Non è vero che Petya è andato al college” dovrebbero essere considerate corrette, poiché le affermazioni non sono divisibili. 8. A ∨ B ≡ A → B ≡ (A → B) → B, A e B ≡ A → B. 11.a ABC ∨ A BC ∨ ABC ∨ ABC o la stessa cosa, ma in una forma più semplice AB ∨ AC ∨ BC. 11b. A B ∨ BC ∨ AC. 13a. xyz. 13 ° secolo La formula è già in DNF. Perché? 14a. (x ∨ z)(y ∨ z) . 14b. La formula è già nella KNF. Perché? 15a. xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz . 15b. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz . 15 gg. xy ∨ x y ∨ xy ∨ x y (≡ 1) . 16a. () ()() xy ∨ xy ≡ xy ∨ x (xy ∨ z)≠ x ∨ x x ∨ y (x ∨ z)(y ∨ z) ≡ (x ∨ y ∨ zz)(x ∨ z ∨ y y)( y ∨ z ∨ x x) ≡ (x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) . 16 ° secolo (x ∨ y) (x ∨ z)(x ∨ y) . 16z. SKNF è assente, perché questa è una tautologia. - 13 - Logica matematica 17b. Questa è una tautologia, quindi non esiste SKNF per questo. 18. xyz ∨ xy z ∨ x yz ∨ x yz. 19 Questa è una contraddizione, motivo per cui non esiste SKNF. 20a. ((x ⊕ y) ~ z) → x ≡ (x ⊕ y)z ∨ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ () (x ⊕ y)z ⋅ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ (x ⊕ y) ∨ z) x ⊕ y ∨ z ∨ x ≡ (xy ∨ x y ∨ z) (xy ∨ x y ∨ z) ∨ x Tutto - SKDNF e MDNF. 20b. ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y) ≡ (xy ⊕ xz)∨ yz ≡ xyxz ∨ xy xz ∨ yz ≡ ()() xyz ∨ x ∨ y x ∨ z ∨ yz ≡ xyz ∨ x ∨ y z ∨ yz ≡ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x yz - SDNF x ∨ y ∨ z - MDNF. 20 ° secolo xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x yz - SDNF xy ∨ x y ∨ yz - MDNF. 20 A BCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ A BCD - SCNF A B ∨ CD ∨ CD - MDNF. 20 gg. A∨C∨ D. 20. x∨z. 20 g. x∨z. 20z. xy ∨ x y ∨ xz o xy ∨ x y ∨ yz. 21 ° secolo xy∨xz. 21 1. 22. Vedi fig. 2. - 14 - Logica matematica Fig. 223a. Vedi fig. 3. a) b) Fig. 3 23. I diagrammi semplificati appariranno come quelli mostrati in Fig. 4. a) b) Fig. 4 25a. ∀x (C(x)→Y(x)), dove C(x) è “x è uno studente” e Y(x) è “x è uno studente”. 25b. ∃x (C(x) e O(x)) . 25esimo secolo Scriviamo il predicato a due posti sotto forma di una relazione ordinaria: ∀х ∃y (x< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает следующие решения: а) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; б) ошибкой была бы запись ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28a. ∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)). 28б. ∀x ∃y B(x,y) . 28в. ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29д. ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29е. ∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) . 30а. Когда х определён на предметной области из одного элемента. 30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить). 31. Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор- мально, если для предиката ∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить равносильное преобразования: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Само исходное предложение на языке предикатов запишется как: ∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) . В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания, т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить, что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания: - 16 - Математическая логика ∃х К(х) & ∀x (K(x) → ¬ Л(х)) ; ¬ ∃х К(х) & ∀x (K(x) → Л(х)) . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973, с. 11 – 126. 2. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М. : Просве- щение, 1968, с. 71 – 93, 108 – 132. 3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М. : МГУ, 1982, с. 1 – 95. 4. Гильберг Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. – М. : Наука, т. 1, с. 23 – 45, 74 – 141. 5. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М. : Наука, 1973, с 36 – 65, 123 – 135. 6. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.
16. Quale delle seguenti frasi è un'affermazione:
a) il ferro è più pesante del piombo;
b) il porridge è un piatto gustoso;
c) la matematica è una materia interessante;
d) il tempo è brutto oggi.
17. Quale delle seguenti frasi è un'affermazione falsa:
a) il ferro è più pesante del piombo;
b) ossigeno – gas;
c) l'informatica è una materia interessante;
d) il ferro è più leggero del piombo.
18. Quale delle seguenti affermazioni è la negazione dell'affermazione: “Tutto numeri primi strano":
a) “Esiste un numero primo pari”;
b) “C'è un numero primo dispari”;
c) “Tutti i numeri primi sono pari”;
d) "Tutto numeri dispari semplice"?
19. Quale operazione logica corrisponde alla seguente tabella di verità:
a) congiunzioni;
b) disgiunzioni;
c) implicazioni;
d) equivalenza.
20. Quale operazione logica corrisponde alla seguente tabella di verità:
a) equivalenza;
b) congiunzioni;
c) implicazioni;
d) disgiunzioni.
21. Sia A l'affermazione "Questo triangolo è isoscele", e sia
B – l’affermazione “Questo triangolo è equilatero”. Indica l'affermazione vera:
22. Se esiste un insieme di affermazioni A 1, A 2, … A n che trasforma la formula algebrica proposizionale F(X 1, X 2, …, X n) in un'affermazione vera, allora questa formula si chiama:
a) fattibile;
b) tautologia;
c) contraddizione;
d) confutabile.
23. Una tautologia è la seguente formula algebra proposizionale F(X 1, X 2, …, X n):
a) che si trasforma in un'affermazione vera per tutti gli insiemi di variabili;
b) per il quale esiste un insieme di affermazioni che trasforma la formula in un'affermazione vera;
c) che si trasforma in un'affermazione falsa per tutti gli insiemi di variabili;
d) per il quale esiste un insieme di affermazioni che trasforma la formula in un'affermazione falsa.
24. Quale delle formule è confutabile:
25. Quale delle formule è fattibile:
26. Quale affermazione corrisponde all'affermazione: “Per ogni numero esiste un numero tale che”:
27. Quale affermazione corrisponde all'affermazione:
a) “Ci sono numeri tali che;
b) “L’uguaglianza è giusta per tutti;
c) “Esiste un numero tale che per tutti i numeri”;
d) “Per ogni numero esiste un numero tale che .”
28. Quale delle seguenti affermazioni è falsa:
29. Specificare l’insieme di verità del predicato “ X multiplo di 3", definito sull'insieme M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9):
a) TP=(3, 6, 9);
c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
d) PT=(3, 6, 9, 12).
30. Specificare l’insieme di verità del predicato “ X multiplo di 3", definito sull'insieme M=(3, 6, 9, 12):
a) TP=(3, 6, 9, 12); b) TP=(3, 6, 9);
c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); d) TP=Æ.
31. Specificare l’insieme di verità del predicato “ x2+x+6=0", definito sull'insieme dei numeri reali:
a) TP=Æ; b) TP=(1, 6); c) TP=(–2, 3); d) TP=(–3, 2).
32. Specificare l'insieme di verità del predicato:
33. Specificare l'insieme di verità del predicato:
38. Introduciamo i seguenti predicati unari:
Q(x): « X- numero razionale";
R(x): « Xè un numero reale."
Quindi il predicato può essere considerato come una traduzione nel linguaggio dell'algebra dei predicati della seguente affermazione:
a) alcuni numeri razionali sono reali;
b) alcuni numeri razionali non sono reali;
c) nessun numero razionale è reale;
d) tutti i numeri razionali sono reali.
