Come trovare la derivata, come prendere la derivata? In questa lezione impareremo come trovare le derivate di funzioni. Ma prima di studiare questa pagina, ti consiglio vivamente di familiarizzare con il materiale metodologico. Formule matematiche della scuola calda. Il manuale di riferimento può essere aperto o scaricato dalla pagina Formule e tabelle matematiche. Anche da lì abbiamo bisogno Tavola derivativa, è meglio stamparlo, dovrai spesso farvi riferimento, e non solo adesso, ma anche offline.

C'è? Iniziamo. Ho due novità per voi: buona e molto buona. La buona notizia è questa: per imparare a trovare i derivati, non è affatto necessario conoscere e capire cosa sia un derivato. Inoltre, la definizione della derivata di una funzione, il significato matematico, fisico, geometrico della derivata è più conveniente da digerire in seguito, poiché lo studio qualitativo della teoria, a mio avviso, richiede lo studio di una serie di altri argomenti, oltre a qualche esperienza pratica.
E ora il nostro compito è padroneggiare tecnicamente proprio questi derivati. L'ottima notizia è che imparare a prendere le derivate non è così difficile, esiste un algoritmo abbastanza chiaro per risolvere (e spiegare) questo compito, integrali o limiti, ad esempio, sono più difficili da padroneggiare.

Raccomando il seguente ordine di studio dell'argomento R: Innanzitutto, questo articolo. Quindi devi leggere la lezione più importante Derivata di una funzione complessa. Queste due classi di base ti permetteranno di aumentare le tue abilità da zero. Inoltre, sarà possibile familiarizzare con derivati ​​più complessi nell'articolo. derivati ​​complessi. derivata logaritmica. Se la barra è troppo alta, leggi prima l'elemento I problemi tipici più semplici con una derivata. Oltre al nuovo materiale, la lezione ha coperto altri tipi più semplici di derivati ​​e c'è una grande opportunità per migliorare la tua tecnica di differenziazione. Inoltre, nel lavoro di controllo, ci sono quasi sempre compiti per trovare derivate di funzioni che sono specificate in modo implicito o parametrico. C'è anche un tutorial per questo: Derivati ​​di funzioni implicite e parametriche.

Cercherò in una forma accessibile, passo dopo passo, di insegnarti come trovare derivati ​​di funzioni. Tutte le informazioni sono presentate in dettaglio, in parole semplici.

In realtà, diamo un'occhiata a un esempio:

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione

Soluzione:

Questo è l'esempio più semplice, lo trovi nella tabella delle derivate di funzioni elementari. Ora diamo un'occhiata alla soluzione e analizziamo cosa è successo? Ed è successa la seguente cosa: avevamo una funzione , che, come risultato della soluzione, si è trasformata in una funzione .

Abbastanza semplice, per trovare la derivata di una funzione, è necessario trasformarla in un'altra funzione secondo determinate regole. Guarda di nuovo la tabella delle derivate: le funzioni si trasformano in altre funzioni. L'unica eccezione è la funzione esponenziale, che si trasforma in se stessa. Viene chiamata l'operazione di ricerca della derivata differenziazione .

Notazione: La derivata è indicata da o .

ATTENZIONE, IMPORTANTE! Dimentica di inserire un tratto (ove necessario) o disegna un tratto in più (dove non è necessario) - GRANDE ERRORE! Una funzione e la sua derivata sono due funzioni diverse!

Torniamo alla nostra tabella delle derivate. Da questa tabella è auspicabile memorizzare: regole di differenziazione e derivate di alcune funzioni elementari, in particolare:

derivata di una costante:
, dove è un numero costante;

derivata di una funzione di potenza:
, in particolare: , , .

Perché memorizzare? Questa conoscenza è una conoscenza elementare sui derivati. E se non riesci a rispondere alla domanda del professore "Qual è la derivata del numero?", allora i tuoi studi all'università potrebbero finire per te (personalmente conosco due casi reali dalla vita). Inoltre, queste sono le formule più comuni che dobbiamo usare quasi ogni volta che incontriamo derivati.

In realtà, sono rari gli esempi tabellari semplici; di solito, quando si trovano le derivate, vengono utilizzate prima le regole di differenziazione e poi una tabella di derivate di funzioni elementari.

A questo proposito, passiamo alla considerazione regole di differenziazione:

1) Un numero costante può (e dovrebbe) essere tolto dal segno della derivata

Dove è un numero costante (costante)

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Osserviamo la tabella delle derivate. La derivata del coseno c'è, ma abbiamo .

È ora di usare la regola, togliamo il fattore costante oltre il segno della derivata:

E ora giriamo il nostro coseno secondo la tabella:

Bene, è desiderabile "pettinare" un po 'il risultato: metti il ​​meno al primo posto, eliminando allo stesso tempo le parentesi:

2) La derivata della somma è uguale alla somma delle derivate

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Noi decidiamo. Come probabilmente avrai già notato, la prima azione che viene sempre eseguita quando si trova la derivata è che mettiamo l'intera espressione tra parentesi e mettiamo un tratto in alto a destra:

Applichiamo la seconda regola:

Si noti che per la differenziazione, tutte le radici, i gradi devono essere rappresentati come e, se sono al denominatore, spostarli verso l'alto. Come fare questo è discusso nei miei materiali metodologici.

Ora ricordiamo la prima regola di differenziazione: eliminiamo i fattori costanti (numeri) al di fuori del segno della derivata:

Solitamente, durante la soluzione, queste due regole vengono applicate contemporaneamente (per non riscrivere ancora una volta una lunga espressione).

Tutte le funzioni sotto i trattini sono funzioni di tabella elementari, utilizzando la tabella eseguiamo la trasformazione:

Puoi lasciare tutto in questa forma, poiché non ci sono più tratti e la derivata è stata trovata. Tuttavia, espressioni come questa di solito semplificano:

È auspicabile rappresentare nuovamente tutti i gradi della specie come radici e reimpostare i gradi con indicatori negativi al denominatore. Anche se non puoi farlo, non sarà un errore.

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Prova a risolvere tu stesso questo esempio (risposta alla fine della lezione). Chi è interessato può anche utilizzare corso intensivo in formato pdf, particolarmente importante se hai poco tempo a disposizione.

3) Derivata del prodotto di funzioni

Sembra che, per analogia, la formula si proponga da sola...., ma la sorpresa è che:

Questa regola insolita (così come altri) segue da definizioni della derivata. Ma per ora aspetteremo con la teoria - ora è più importante imparare a risolvere:

Esempio 5

Trova la derivata di una funzione

Qui abbiamo il prodotto di due funzioni a seconda di .
Prima applichiamo la nostra strana regola, quindi trasformiamo le funzioni secondo la tabella delle derivate:

Difficile? Per niente, abbastanza abbordabile anche per una teiera.

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Questa funzione contiene la somma e il prodotto di due funzioni - trinomio quadrato e logaritmo. Ricordiamo da scuola che la moltiplicazione e la divisione hanno la precedenza sull'addizione e la sottrazione.

È lo stesso qui. PRIMO usiamo la regola di differenziazione del prodotto:

Ora per la parentesi utilizziamo le prime due regole:

Come risultato dell'applicazione delle regole di differenziazione sotto i tratti, ci rimangono solo funzioni elementari, secondo la tabella delle derivate le trasformiamo in altre funzioni:

Pronto.

Con una certa esperienza nella ricerca di derivati, i derivati ​​semplici non sembrano aver bisogno di essere descritti in modo così dettagliato. In generale, di solito vengono risolti verbalmente e lo si registra immediatamente .

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio per soluzione indipendente(risposta a fine lezione)

4) Derivata di funzioni private

Si è aperto un portello nel soffitto, non aver paura, è un problema tecnico.
Ed ecco la dura realtà:

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Cosa non c'è qui: la somma, la differenza, il prodotto, la frazione .... Con cosa dovrei iniziare?! Ci sono dubbi, nessun dubbio, ma, COMUNQUE per prima cosa, disegna parentesi e metti un tratto in alto a destra:

Ora guardiamo l'espressione tra parentesi, come la semplificheremmo? In questo caso, notiamo un fattore, che, secondo la prima regola, è consigliabile toglierlo dal segno della derivata.

Viene chiamato il processo per trovare la derivata di una funzione differenziazione. La derivata deve essere trovata in una serie di problemi nel corso dell'analisi matematica. Ad esempio, quando si trovano punti estremi e punti di flesso di un grafico di funzione.

Come trovare?

Per trovare la derivata di una funzione, è necessario conoscere la tabella delle derivate delle funzioni elementari e applicare le regole di base della differenziazione:

1. Togliendo la costante dal segno della derivata: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivata di somma/differenza di funzioni: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivata del prodotto di due funzioni: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivata della frazione : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Derivata funzione composta : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Esempi di soluzioni

Esempio 1

Trova la derivata della funzione $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Soluzione

La derivata della somma/differenza delle funzioni è uguale alla somma/differenza delle derivate: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Usando la regola della derivata della funzione di potenza $ (x^p)" = px^(p-1) $ abbiamo: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cpunto 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Si è anche tenuto conto del fatto che la derivata della costante è uguale a zero. Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Forniremo una soluzione dettagliata. Potrai familiarizzare con lo stato di avanzamento del calcolo e raccogliere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere un credito dall'insegnante in modo tempestivo!

Risposta

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Dimostrazione e derivazione di formule per la derivata dell'esponenziale (e alla potenza di x) e della funzione esponenziale (a alla potenza di x). Esempi di calcolo delle derivate di e^2x, e^3x ed e^nx. Formule per derivati ​​di ordini superiori.

Contenuto

Guarda anche: Funzione esponenziale - proprietà, formule, grafico
Esponente, e alla potenza di x - proprietà, formule, grafico

Formule di base

La derivata dell'esponente è uguale all'esponente stesso (la derivata di e alla potenza di x è uguale a e alla potenza di x):
(1) (e x )′ = e x.

La derivata di una funzione esponenziale con base di grado a è uguale alla funzione stessa, moltiplicata per il logaritmo naturale di a:
(2) .

L'esponente è una funzione esponenziale la cui base esponente è uguale al numero e, che è il seguente limite:
.
Qui può essere sia naturale che numero reale. Quindi, deriviamo la formula (1) per la derivata dell'esponente.

Derivazione della formula per la derivata dell'esponente

Considera l'esponente, e alla potenza di x :
y = e x .
Questa funzione è definita per tutti. Troviamo la sua derivata rispetto a x . Per definizione, la derivata è il seguente limite:
(3) .

Trasformiamo questa espressione per ridurla a proprietà e regole matematiche note. Per questo abbiamo bisogno dei seguenti fatti:
MA) Proprietà esponente:
(4) ;
B) Proprietà del logaritmo:
(5) ;
A) Continuità del logaritmo e proprietà dei limiti per una funzione continua:
(6) .
Ecco una funzione che ha un limite e questo limite è positivo.
G) Il significato del secondo meraviglioso limite:
(7) .

Applichiamo questi fatti al nostro limite (3). Usiamo la proprietà (4):
;
.

Facciamo una sostituzione. Quindi ; .
A causa della continuità dell'esponente,
.
Pertanto, a , . Di conseguenza, otteniamo:
.

Facciamo una sostituzione. Quindi . In , . E noi abbiamo:
.

Applichiamo la proprietà del logaritmo (5):
. Quindi
.

Applichiamo la proprietà (6). Poiché esiste un limite positivo e il logaritmo è continuo, allora:
.
Qui abbiamo utilizzato anche il secondo limite notevole (7). Quindi
.

Quindi, abbiamo ottenuto la formula (1) per la derivata dell'esponente.

Derivazione della formula per la derivata della funzione esponenziale

Si ricava ora la formula (2) per la derivata della funzione esponenziale con base di grado a. Crediamo che e . Quindi la funzione esponenziale
(8)
Definito per tutti.

Trasformiamo la formula (8). Per fare ciò, utilizziamo le proprietà della funzione esponenziale e del logaritmo.
;
.
Quindi, abbiamo trasformato la formula (8) nella seguente forma:
.

Derivati ​​di ordine superiore di e alla potenza di x

Ora troviamo le derivate di ordini superiori. Diamo prima un'occhiata all'esponente:
(14) .
(1) .

Vediamo che la derivata della funzione (14) è uguale alla funzione (14) stessa. Differenziando (1), otteniamo derivate di secondo e terzo ordine:
;
.

Questo mostra che anche la derivata di ordine n-esimo è uguale alla funzione originale:
.

Derivati ​​di ordine superiore della funzione esponenziale

Consideriamo ora una funzione esponenziale con base di grado a:
.
Abbiamo trovato la sua derivata del primo ordine:
(15) .

Differenziando (15), otteniamo derivate di secondo e terzo ordine:
;
.

Vediamo che ogni differenziazione porta alla moltiplicazione della funzione originale per . Pertanto, la derivata n-esima ha la seguente forma:
.

Guarda anche:
Data: 20/11/2014

Cos'è un derivato?

Tavola derivativa.

Il derivato è uno dei concetti principali della matematica superiore. In questa lezione introdurremo questo concetto. Facciamo conoscenza, senza rigorose formulazioni e dimostrazioni matematiche.

Questa introduzione ti permetterà di:

Comprendere l'essenza di compiti semplici con un derivato;

Risolvi con successo questi compiti molto semplici;

Preparati per lezioni derivate più serie.

Innanzitutto una piacevole sorpresa.

La definizione rigorosa della derivata si basa sulla teoria dei limiti, e la cosa è piuttosto complicata. È sconvolgente. Ma l'applicazione pratica del derivato, di regola, non richiede una conoscenza così ampia e profonda!

Per completare con successo la maggior parte dei compiti a scuola e all'università, è sufficiente sapere solo pochi termini- per capire il compito, e solo poche regole- per risolverlo. E questo è tutto. Questo mi rende felice.

Ci conosciamo?)

Termini e designazioni.

Ci sono molte operazioni matematiche nella matematica elementare. Addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, esponenti, logaritmi, ecc. Se a queste operazioni viene aggiunta un'altra operazione, la matematica elementare diventa più elevata. Questa nuova operazione viene chiamata differenziazione. La definizione e il significato di questa operazione saranno discussi in lezioni separate.

Qui è importante capire che la differenziazione è solo un'operazione matematica su una funzione. Prendiamo qualsiasi funzione e, secondo determinate regole, la trasformiamo. Il risultato è una nuova funzione. Questa nuova funzione si chiama: derivato.

Differenziazione- azione su una funzione.

Derivatoè il risultato di questa azione.

Proprio come, ad esempio, sommaè il risultato dell'addizione. O privatoè il risultato della divisione.

Conoscendo i termini, puoi almeno capire i compiti.) La formulazione è la seguente: trova la derivata di una funzione; prendi la derivata; differenziare la funzione; calcolare la derivata eccetera. È tutto stesso. Naturalmente, ci sono compiti più complessi, in cui trovare la derivata (differenziazione) sarà solo uno dei passaggi per risolvere il compito.

La derivata è indicata da un trattino in alto a destra sopra la funzione. Come questo: si" o f"(x) o S"(t) e così via.

leggere y corsa, ef corsa da x, es corsa da te, beh, hai capito...)

Un primo può anche denotare la derivata di una particolare funzione, ad esempio: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" eccetera. Spesso la derivata viene indicata usando differenziali, ma non considereremo tale notazione in questa lezione.

Supponiamo di aver imparato a capire i compiti. Non c'è più niente - per imparare a risolverli.) Lascia che te lo ricordi ancora: trovare la derivata è trasformazione di una funzione secondo determinate regole. Queste regole sono sorprendentemente poche.

Per trovare la derivata di una funzione, devi solo sapere tre cose. Tre pilastri su cui poggia tutta la differenziazione. Ecco le tre balene:

1. Tabella delle derivate (formule di differenziazione).

3. Derivata di una funzione complessa.

Cominciamo con ordine. In questa lezione considereremo la tabella delle derivate.

Tavola derivativa.

Il mondo ha un numero infinito di funzioni. Tra questo set ci sono funzioni che sono più importanti per l'applicazione pratica. Queste funzioni risiedono in tutte le leggi della natura. Da queste funzioni, come dai mattoni, puoi costruire tutte le altre. Questa classe di funzioni viene chiamata funzioni elementari. Sono queste funzioni che vengono studiate a scuola: lineare, quadratica, iperbole, ecc.

Differenziazione delle funzioni "da zero", ad es. basato sulla definizione della derivata e sulla teoria dei limiti - una cosa piuttosto dispendiosa in termini di tempo. E anche i matematici sono persone, sì, sì!) Così hanno semplificato la loro vita (e noi). Hanno calcolato le derivate di funzioni elementari prima di noi. Il risultato è una tabella delle derivate, dove tutto è pronto.)

Eccolo, questo piatto per le funzioni più richieste. Sinistra - funzione elementare, destra - sua derivata.

	Funzione y	Derivata della funzione y si"
1	C (costante)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n è un numero qualsiasi)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	peccato x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - peccato x
	tg x
	ctg x
5	arcoseno x
	archi x
	arco x
	arco x
4	un X
	e X
5	tronco d'albero un X
	ln x ( a = e)

Raccomando di prestare attenzione al terzo gruppo di funzioni in questa tabella delle derivate. La derivata di una funzione di potenza è una delle formule più comuni, se non la più comune! Il suggerimento è chiaro?) Sì, è opportuno conoscere a memoria la tabella dei derivati. A proposito, questo non è così difficile come potrebbe sembrare. Prova a risolvere più esempi, la tabella stessa verrà ricordata!)

Trovare il valore tabulare della derivata, come capisci, non è il compito più difficile. Pertanto, molto spesso in tali attività ci sono chip aggiuntivi. O nella formulazione del compito, o nella funzione originaria, che non sembra essere nella tabella...

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

1. Trova la derivata della funzione y = x 3

Non esiste una tale funzione nella tabella. Ma esiste una derivata generale della funzione di potenza (terzo gruppo). Nel nostro caso, n=3. Quindi sostituiamo la tripla invece di n e annotiamo attentamente il risultato:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Questo è tutto ciò che c'è da fare.

Risposta: y" = 3x 2

2. Trova il valore della derivata della funzione y = sinx nel punto x = 0.

Questa attività significa che devi prima trovare la derivata del seno e quindi sostituire il valore x = 0 a questa stessa derivata. È in quest'ordine! Altrimenti succede che sostituiscono immediatamente zero nella funzione originale ... Ci viene chiesto di trovare non il valore della funzione originale, ma il valore il suo derivato. La derivata, vi ricordo, è già una nuova funzione.

Sulla piastra troviamo il seno e la relativa derivata:

y" = (sinx)" = cosx

Sostituisci zero nella derivata:

y"(0) = cos 0 = 1

Questa sarà la risposta.

3. Differenziare la funzione:

Cosa ispira?) Non c'è nemmeno vicino una tale funzione nella tabella delle derivate.

Lascia che ti ricordi che differenziare una funzione è semplicemente trovare la derivata di questa funzione. Se dimentichi la trigonometria elementare, trovare la derivata della nostra funzione è piuttosto problematico. Il tavolo non aiuta...

Ma se vediamo che la nostra funzione è coseno di un doppio angolo, allora tutto migliora subito!

Si si! Ricorda che la trasformazione della funzione originale prima della differenziazione abbastanza accettabile! E succede per rendere la vita molto più facile. Secondo la formula per il coseno di un doppio angolo:

Quelli. la nostra funzione complicata non è altro che y = cox. E questa è una funzione di tabella. Otteniamo subito:

Risposta: y" = - peccato x.

Esempio per laureati e studenti avanzati:

4. Trova la derivata di una funzione:

Non esiste una tale funzione nella tabella delle derivate, ovviamente. Ma se ricordi la matematica elementare, le azioni con poteri... Allora è del tutto possibile semplificare questa funzione. Come questo:

E x alla potenza di un decimo è già una funzione tabulare! Il terzo gruppo, n=1/10. Direttamente secondo la formula e scrivi:

È tutto. Questa sarà la risposta.

Spero che con la prima balena della differenziazione - la tavola delle derivate - sia tutto chiaro. Resta da affrontare le due balene rimaste. Nella prossima lezione impareremo le regole di differenziazione.

Calcolo derivatiè una delle operazioni più importanti nel calcolo differenziale. Di seguito è riportata una tabella per trovare le derivate di funzioni semplici. Per regole di differenziazione più complesse, vedere altre lezioni:

• Tabella delle derivate di funzioni esponenziali e logaritmiche

Utilizzare le formule fornite come valori di riferimento. Aiuteranno a risolvere equazioni differenziali e problemi. Nell'immagine, nella tabella delle derivate di funzioni semplici, c'è un "cheat sheet" dei casi principali per trovare la derivata in una forma comprensibile per l'uso, accanto ad essa ci sono le spiegazioni per ciascun caso.

Derivati ​​di funzioni semplici

1. La derivata di un numero è zero
с´ = 0
Esempio:
5' = 0

Spiegazione:
La derivata mostra la velocità con cui il valore della funzione cambia quando cambia l'argomento. Poiché il numero non cambia in alcun modo in nessuna condizione, la velocità della sua variazione è sempre zero.

2. Derivata di una variabile uguale a uno
x' = 1

Spiegazione:
Ad ogni incremento dell'argomento (x) di uno, il valore della funzione (risultato del calcolo) aumenta della stessa quantità. Pertanto, il tasso di variazione del valore della funzione y = x è esattamente uguale al tasso di variazione del valore dell'argomento.

3. La derivata di una variabile e di un fattore è uguale a questo fattore
сx' = с
Esempio:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Spiegazione:
In questo caso, ogni volta che la funzione argomento ( X) il suo valore (y) aumenta Insieme a una volta. Pertanto, la velocità di variazione del valore della funzione rispetto alla velocità di variazione dell'argomento è esattamente uguale al valore Insieme a.

Donde ne consegue
(cx + b)" = c
cioè il differenziale della funzione lineare y=kx+b è uguale alla pendenza della retta (k).

4. Derivata modulo di una variabileè uguale al quoziente di questa variabile al suo modulo
|x|"= x / |x| a condizione che x ≠ 0
Spiegazione:
Poiché la derivata della variabile (vedi formula 2) è uguale a uno, la derivata del modulo differisce solo per il fatto che il valore della velocità di variazione della funzione cambia in senso opposto quando si attraversa il punto di origine (prova a disegnare un grafico della funzione y = |x| e guarda tu stesso. Questo è esattamente il valore e restituisce l'espressione x / |x| Quando x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - uno. Cioè, con valori negativi della variabile x, ad ogni aumento della modifica dell'argomento, il valore della funzione diminuisce esattamente dello stesso valore e con valori positivi, al contrario, aumenta, ma esattamente di lo stesso valore.

5. Derivata di potenza di una variabileè uguale al prodotto del numero di questa potenza e della variabile nella potenza, ridotto di uno
(x c)"= cx c-1, a condizione che x c ​​e cx c-1 siano definiti e c ≠ 0
Esempio:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Per memorizzare la formula:
Prendi l'esponente della variabile "down" come moltiplicatore, quindi diminuisci l'esponente stesso di uno. Ad esempio, per x 2 - due era davanti a x, e quindi la potenza ridotta (2-1 = 1) ci ha dato 2x. La stessa cosa è successa per x 3: abbassiamo la tripla, la riduciamo di uno e invece di un cubo abbiamo un quadrato, cioè 3x 2 . Un po' "non scientifico", ma molto facile da ricordare.

6.Derivata di frazione 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Esempio:
Poiché una frazione può essere rappresentata come elevante a una potenza negativa
(1/x)" = (x -1)" , quindi puoi applicare la formula della regola 5 della tabella delle derivate
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivata di frazione con una variabile di grado arbitrario al denominatore
(1/x c)" = - c / x c+1
Esempio:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. derivata della radice(derivato di variabile sotto radice quadrata)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Esempio:
(√x)" = (x 1/2)" in modo da poter applicare la formula della regola 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivata di una variabile sotto una radice di grado arbitrario
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)