სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დაყოფა 5. წილადები

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა გავყოთ წილადები, შევისწავლოთ წესი და ვნახოთ მისი გამოყენების მაგალითები.

გაყოფის წესი ჩვეულებრივი წილადები

ორი წილადის გასაყოფად პირველი რიცხვი უნდა გავამრავლოთ მეორეზე (ანუ პირველ წილადს ვამრავლებთ შებრუნებულ წამზე).

ჩვეულებრივი წილადების გაყოფის მაგალითები:

ამ წილადების გასაყოფად პირველ წილადს ხელახლა ვწერთ და მეორეზე შებრუნებულს (დივიდენდს ვამრავლებთ გამყოფის საპასუხოდ). აქ არაფრის შემცირება არ შეიძლება.

ამ წილადების გასაყოფად პირველ რიცხვს გადავიწერთ ცვლილებების გარეშე და ვამრავლებთ მეორის საპასუხოდ 6 და 9 3-ზე, 20 და 25 5-ზე. მიღებული წილადი 8/15 არის რეგულარული და შეუქცევადი. ასე რომ, ეს არის საბოლოო პასუხი.

პირველ წილადს ვტოვებთ უცვლელად და ვამრავლებთ მეორე წილადის საპასუხოდ. 45-ს და 36-ს ვამცირებთ 9-ით, 65-ს და 52-ს 13-ით. შედეგად მივიღეთ არასწორი წილადი, საიდანაც .

ორი ტოლი რიცხვის გაყოფისას ვიღებთ ერთს, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ ჩავწეროთ პასუხი.

წილადების გასაყოფად პირველი გავამრავლოთ მეორის საპასუხოდ. 23-ს და 23-ს ვამცირებთ 23-ით, 14-ს და 7-ს 7-ით. ვინაიდან მნიშვნელი არის ერთი, პასუხი არის მთელი რიცხვი.

შემდეგ ჯერზე განვიხილავთ როგორ გავყოთ მთელი რიცხვი წილადზე.

ჩვეულებრივი წილადი რიცხვები პირველად ხვდებიან მე-5 კლასის მოსწავლეებს და თან ახლავს მათ მთელი ცხოვრების განმავლობაში, რადგან ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად საჭიროა რომელიმე ობიექტის განხილვა ან გამოყენება არა მთლიანად, არამედ ცალკეულ ნაწილებად. ამ თემის შესწავლის დასაწყისი - გაზიარება. აქციები თანაბარი ნაწილებიარომელშიც ობიექტი იყოფა. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, მაგალითად, პროდუქტის სიგრძის ან ფასის მთელი რიცხვის სახით გამოხატვა; მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ნებისმიერი ზომის ნაწილები ან წილი. ჩამოყალიბდა ზმნიდან "დამსხვრევა" - ნაწილებად დაყოფა და არაბული ფესვების მქონე, VIII საუკუნეში თავად სიტყვა "ფრაქცია" გამოჩნდა რუსულად.

კონტაქტში

წილადური გამონათქვამები დიდი ხანია ითვლებოდა მათემატიკის ყველაზე რთულ მონაკვეთად. მე-17 საუკუნეში, როდესაც მათემატიკის პირველი სახელმძღვანელოები გამოჩნდა, მათ უწოდეს "გატეხილი რიცხვები", რაც ძალიან რთული იყო ხალხის გაგებაში.

მარტივი წილადი ნარჩენების თანამედროვე ფორმა, რომლის ნაწილებიც ზუსტად ჰორიზონტალური ხაზით არის გამოყოფილი, პირველად ფიბონაჩის - ლეონარდო პიზას მიერ იყო დაწინაურებული. მისი ნაწერები 1202 წლით თარიღდება. მაგრამ ამ სტატიის მიზანია უბრალოდ და ნათლად აუხსნას მკითხველს, თუ როგორ ხდება სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე შერეული წილადების გამრავლება.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამრავლება

თავდაპირველად აუცილებელია დადგინდეს ფრაქციების ჯიშები:

• სწორი;
• არასწორი;
• შერეული.

შემდეგი, თქვენ უნდა გახსოვდეთ, თუ როგორ მრავლდება წილადი რიცხვები იგივე მნიშვნელებით. ამ პროცესის წესი მარტივია დამოუკიდებლად ჩამოყალიბებული: მარტივი წილადების ერთი და იგივე მნიშვნელებით გამრავლების შედეგი არის წილადი გამოსახვა, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის ამ წილადების მნიშვნელების ნამრავლი. . ანუ, ფაქტობრივად, ახალი მნიშვნელი არის ერთ-ერთი არსებულის კვადრატი თავდაპირველად.

გამრავლებისას მარტივი წილადები სხვადასხვა მნიშვნელითორი ან მეტი ფაქტორისთვის, წესი არ იცვლება:

ა/ბ * გ/დ = a*c / ბ*დ.

ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ წილადი ზოლის ქვეშ ჩამოყალიბებული რიცხვი იქნება სხვადასხვა რიცხვის ნამრავლი და, ბუნებრივია, მას არ შეიძლება ეწოდოს ერთი რიცხვითი გამოსახულების კვადრატი.

ღირს წილადების გამრავლება სხვადასხვა მნიშვნელით მაგალითების გამოყენებით:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

მაგალითებში გამოიყენება წილადური გამონათქვამების შემცირების გზები. თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ მხოლოდ მრიცხველის რიცხვები მნიშვნელის რიცხვებით; წილადის ზოლის ზემოთ ან ქვემოთ მიმდებარე ფაქტორების შემცირება შეუძლებელია.

მარტივ წილად რიცხვებთან ერთად არსებობს შერეული წილადების ცნება. შერეული რიცხვი შედგება მთელი რიცხვისა და წილადი ნაწილისგან, ანუ ეს არის ამ რიცხვების ჯამი:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

როგორ მუშაობს გამრავლება?

განსახილველად მოყვანილია რამდენიმე მაგალითი.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

მაგალითი იყენებს რიცხვის გამრავლებას ჩვეულებრივი წილადი ნაწილი, შეგიძლიათ დაწეროთ ამ მოქმედების წესი ფორმულით:

ა* ბ/გ = a*b /გ.

სინამდვილეში, ასეთი ნამრავლი არის იდენტური წილადი ნაშთების ჯამი და ტერმინების რაოდენობა მიუთითებს ამ ბუნებრივ რიცხვზე. Განსაკუთრებული შემთხვევა:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

არსებობს რიცხვის წილადი ნაშთით გამრავლების ამოხსნის კიდევ ერთი ვარიანტი. თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ მნიშვნელი ამ რიცხვზე:

d* ე/ვ = ე/ვ: დ.

ამ ტექნიკის გამოყენება სასარგებლოა, როდესაც მნიშვნელი იყოფა ნატურალურ რიცხვზე ნაშთის გარეშე ან, როგორც ამბობენ, მთლიანად.

გადააკეთეთ შერეული რიცხვები არასწორ წილადებად და მიიღეთ ნამრავლი ადრე აღწერილი გზით:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

ეს მაგალითი მოიცავს შერეული წილადის არასწორ წილადად წარმოდგენის გზას, ის ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ზოგადი ფორმულის სახით:

ა ბგ = a*b+ c/c, სადაც ახალი წილადის მნიშვნელი იქმნება მთელი რიცხვის ნაწილის მნიშვნელთან გამრავლებით და თავდაპირველი წილადი ნაშთის მრიცხველთან მიმატებით, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება.

ეს პროცესი ასევე საპირისპიროდ მუშაობს. მთელი რიცხვის ნაწილისა და წილადი ნაშთის შესარჩევად, თქვენ უნდა გაყოთ არასწორი წილადის მრიცხველი მის მნიშვნელზე "კუთხით".

არასწორი წილადების გამრავლებადამზადებულია ჩვეულებრივი გზით. როდესაც ჩანაწერი გადის ერთი წილადი ხაზის ქვეშ, საჭიროებისამებრ, თქვენ უნდა შეამციროთ წილადები, რათა შეამციროთ რიცხვები ამ მეთოდის გამოყენებით და უფრო ადვილია შედეგის გამოთვლა.

ინტერნეტში ბევრი ასისტენტია, რათა გადაჭრას თუნდაც რთული მათემატიკური ამოცანები პროგრამის სხვადასხვა ვარიაციებში. ასეთი სერვისების საკმარისი რაოდენობა გვთავაზობს მათ დახმარებას მნიშვნელებში სხვადასხვა რიცხვით წილადების გამრავლების გამოთვლაში - ეგრეთ წოდებული ონლაინ კალკულატორები წილადების გამოსათვლელად. მათ შეუძლიათ არა მხოლოდ გამრავლება, არამედ ყველა სხვა მარტივი არითმეტიკული მოქმედების შესრულება ჩვეულებრივი წილადებითა და შერეული რიცხვებით. მასთან მუშაობა არ არის რთული, საიტის გვერდზე ივსება შესაბამისი ველები, არჩეულია მათემატიკური მოქმედების ნიშანი და აჭერს ღილაკს „გამოთვლა“. პროგრამა ავტომატურად ითვლის.

წილადი რიცხვებით არითმეტიკული მოქმედებების თემა აქტუალურია საშუალო და უფროსი სკოლის მოსწავლეების განათლების მასშტაბით. საშუალო სკოლაში უმარტივეს სახეობებს აღარ განიხილავენ, მაგრამ მთელი რიცხვის წილადი გამოსახულებები, მაგრამ ადრე მიღებული ტრანსფორმაციისა და გამოთვლების წესების ცოდნა გამოიყენება თავდაპირველი სახით. კარგად შესწავლილი საბაზისო ცოდნა იძლევა სრულ ნდობას ყველაზე რთული ამოცანების წარმატებით გადაწყვეტაში.

დასასრულს, აზრი აქვს მოვიყვანოთ ლეო ტოლსტოის სიტყვები, რომელიც წერდა: „ადამიანი წილადია. ადამიანის ძალაში არ არის გაზარდოს მრიცხველი - საკუთარი დამსახურება, მაგრამ ნებისმიერს შეუძლია შეამციროს მისი მნიშვნელი - აზრი საკუთარ თავზე და ამ შემცირებით მიუახლოვდეს მის სრულყოფილებას.

არის გაყოფა. ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ჩვეულებრივი წილადების დაყოფა. ჯერ მივცემთ ჩვეულებრივი წილადების გაყოფის წესს და გადავხედავთ წილადების გაყოფის მაგალითებს. შემდეგ ყურადღებას გავამახვილებთ ჩვეულებრივი წილადის ნატურალურ რიცხვზე და რიცხვის წილადზე გაყოფაზე. დაბოლოს, განვიხილოთ, როგორ ხდება ჩვეულებრივი წილადის დაყოფა შერეულ რიცხვზე.

გვერდის ნავიგაცია.

საერთო წილადის გაყოფა საერთო წილადზე

ცნობილია, რომ გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული (იხ. კავშირი გაყოფასა და გამრავლებას შორის). ანუ, დაყოფა გულისხმობს უცნობი ფაქტორის პოვნას, როდესაც ცნობილია პროდუქტი და სხვა ფაქტორი. გაყოფის იგივე გრძნობა შენარჩუნებულია ჩვეულებრივი წილადების გაყოფისას.

განვიხილოთ ჩვეულებრივი წილადების გაყოფის მაგალითები.

გაითვალისწინეთ, რომ არ უნდა დავივიწყოთ წილადების შემცირება და არასათანადო წილადიდან მთელი რიცხვის არჩევის შესახებ.

საერთო წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე

მაშინვე მივცემთ წილადის ნატურალურ რიცხვზე გაყოფის წესი: a/b წილადის n ნატურალურ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა დატოვოთ მრიცხველი იგივე, ხოლო მნიშვნელი გაამრავლოთ n-ზე, ანუ .

ეს გაყოფის წესი პირდაპირ გამომდინარეობს ჩვეულებრივი წილადების გაყოფის წესიდან. მართლაც, ნატურალური რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენა იწვევს შემდეგ ტოლობებს .

განვიხილოთ წილადის რიცხვზე გაყოფის მაგალითი.

მაგალითი.

წილადი 16/45 გავყოთ ნატურალურ რიცხვზე 12.

გამოსავალი.

წილადის რიცხვზე გაყოფის წესით გვაქვს . გავაკეთოთ შემცირება: . ეს დაყოფა დასრულებულია.

პასუხი:

.

ნატურალური რიცხვის გაყოფა საერთო წილადზე

წილადების გაყოფის წესი მსგავსია ნატურალური რიცხვის საერთო წილადზე გაყოფის წესი: ნატურალური რიცხვი n რომ გავყოთ ჩვეულებრივ წილადზე a/b, თქვენ უნდა გაამრავლოთ რიცხვი n a/b წილადის საპასუხოდ.

გაჟღერებული წესის მიხედვით, და ნატურალური რიცხვის ჩვეულებრივ წილადზე გამრავლების წესი საშუალებას გაძლევთ გადაწეროთ იგი სახით.

განვიხილოთ მაგალითი.

მაგალითი.

ნატურალური რიცხვი 25 გავყოთ წილადზე 15/28.

გამოსავალი.

გადავიდეთ გაყოფიდან გამრავლებაზე, გვაქვს . მთელი ნაწილის შემცირებისა და შერჩევის შემდეგ მივიღებთ.

პასუხი:

.

საერთო წილადის გაყოფა შერეულ რიცხვზე

საერთო წილადის გაყოფა შერეულ რიცხვზეადვილად მცირდება ჩვეულებრივი წილადების გაყოფამდე. ამისათვის საკმარისია

წილადი არის მთლიანის ერთი ან მეტი ნაწილი, რომელიც ჩვეულებრივ აღებულია როგორც ერთეული (1). როგორც ნატურალური რიცხვების შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ ყველა ძირითადი არითმეტიკული ოპერაცია წილადებით (შეკრება, გამოკლება, გაყოფა, გამრავლება), ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ წილადებთან მუშაობის მახასიათებლები და განასხვავოთ მათი ტიპები. არსებობს რამდენიმე სახის წილადი: ათობითი და ჩვეულებრივი, ან მარტივი. წილადების თითოეულ ტიპს აქვს თავისი სპეციფიკა, მაგრამ მას შემდეგ, რაც საფუძვლიანად გაიგებთ, როგორ გაუმკლავდეთ მათ ერთხელ, თქვენ შეძლებთ წილადებით ამოხსნათ ნებისმიერი მაგალითი, რადგან თქვენ გეცოდინებათ წილადებით არითმეტიკული გამოთვლების შესრულების ძირითადი პრინციპები. მოდით შევხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ უნდა გავყოთ წილადი მთელ რიცხვზე სხვადასხვა ტიპის წილადების გამოყენებით.

როგორ გავყოთ წილადი ნატურალურ რიცხვზე?
ჩვეულებრივ ან მარტივ წილადებს უწოდებენ, რომლებიც იწერება რიცხვების ისეთი შეფარდების სახით, რომლებშიც წილადის ზედა ნაწილში მითითებულია დივიდენდი (მრიცხველი), ხოლო ქვემოთ მითითებულია წილადის გამყოფი (მნიშვნელი). როგორ გავყოთ ასეთი წილადი მთელ რიცხვზე? მოდით შევხედოთ მაგალითს! ვთქვათ, უნდა გავყოთ 8/12 2-ზე.

ამისათვის ჩვენ უნდა შევასრულოთ მოქმედებების სერია:
ამგვარად, თუ ჩვენ დაგვხვდება წილადის მთელ რიცხვზე გაყოფის ამოცანა, ამოხსნის სქემა ასე გამოიყურება:

ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ ნებისმიერი ჩვეულებრივი (მარტივი) წილადი მთელ რიცხვზე.

როგორ გავყოთ ათობითი რიცხვი მთელ რიცხვზე?
ათობითი წილადი არის წილადი, რომელიც მიიღება ერთეულის ათად, ათასად და ასე შემდეგ ნაწილებად დაყოფით. არითმეტიკული მოქმედებები ათობითი წილადებით საკმაოდ მარტივია.

განვიხილოთ მაგალითი იმისა, თუ როგორ უნდა გავყოთ წილადი მთელ რიცხვზე. ვთქვათ, ათწილადი 0,925 უნდა გავყოთ ნატურალურ რიცხვზე 5.

შეჯამებით, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ორ მთავარ პუნქტზე, რომლებიც მნიშვნელოვანია ათობითი წილადების მთელი რიცხვით გაყოფის ოპერაციის შესრულებისას:

• ათობითი წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასაყოფად გამოიყენება სვეტად დაყოფა;
  
• მძიმით იდება კერძოში, როდესაც დივიდენდის მთელი ნაწილის გაყოფა დასრულებულია.
  

ამ მარტივი წესების გამოყენებით, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ მარტივად გაყოთ ნებისმიერი ათწილადი ან წილადი მთელ რიცხვზე.

) და მნიშვნელი მნიშვნელის მიხედვით (ვიღებთ ნამრავლის მნიშვნელს).

წილადის გამრავლების ფორმულა:

Მაგალითად:

მრიცხველთა და მნიშვნელთა გამრავლებამდე უნდა შემოწმდეს წილადის შემცირების შესაძლებლობა. თუ მოახერხებთ წილადის შემცირებას, მაშინ გაგიადვილდებათ გამოთვლების გაგრძელება.

ჩვეულებრივი წილადის გაყოფა წილადზე.

ნატურალური რიცხვის შემცველი წილადების გაყოფა.

ეს არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს. როგორც შეკრების შემთხვევაში, მთელ რიცხვს ვაქცევთ წილადად, რომლის ერთეულია მნიშვნელში. Მაგალითად:

შერეული წილადების გამრავლება.

წილადების გამრავლების წესები (შერეული):

• შერეული წილადების გადაქცევა არასწორად;
• წილადების მრიცხველებისა და მნიშვნელების გამრავლება;
• ჩვენ ვამცირებთ წილადს;
• თუ არასწორ წილადს მივიღებთ, მაშინ არასწორ წილადს ვაქცევთ შერეულ წილადად.

Შენიშვნა!შერეული წილადის სხვა შერეულ წილადზე გასამრავლებლად ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი არასათანადო წილადების სახით, შემდეგ კი გაამრავლოთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესის მიხედვით.

წილადის ნატურალურ რიცხვზე გამრავლების მეორე გზა.

უფრო მოსახერხებელია ჩვეულებრივი წილადის რიცხვზე გამრავლების მეორე მეთოდის გამოყენება.

Შენიშვნა!წილადის ნატურალურ რიცხვზე გასამრავლებლად საჭიროა წილადის მნიშვნელი გავყოთ ამ რიცხვზე და მრიცხველი უცვლელი დავტოვოთ.

ზემოაღნიშნული მაგალითიდან ირკვევა, რომ ეს ვარიანტი უფრო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც წილადის მნიშვნელი ნაშთების გარეშე იყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

მრავალდონიანი წილადები.

საშუალო სკოლაში ხშირად გვხვდება სამსართულიანი (ან მეტი) წილადები. მაგალითი:

ასეთი წილადის ჩვეულ ფორმამდე მისასვლელად გამოიყენება 2 წერტილის გაყოფა:

Შენიშვნა!წილადების გაყოფისას ძალიან მნიშვნელოვანია გაყოფის თანმიმდევრობა. ფრთხილად იყავით, აქ დაბნეულობა ადვილია.

Შენიშვნა, მაგალითად:

ერთი რომელიმე წილადზე გაყოფისას შედეგი იქნება იგივე წილადი, მხოლოდ შებრუნებული:

პრაქტიკული რჩევები წილადების გამრავლებისა და გაყოფისთვის:

1. წილადობრივ გამონათქვამებთან მუშაობისას ყველაზე მნიშვნელოვანია სიზუსტე და ყურადღება. გააკეთეთ ყველა გამოთვლა ფრთხილად და ზუსტად, კონცენტრირებულად და ნათლად. სჯობს ჩაწეროთ რამდენიმე დამატებითი სტრიქონი მონახაზში, ვიდრე თავში დაბნეული გამოთვლებით.

2. სხვადასხვა ტიპის წილადებთან დავალებაში - გადადით ჩვეულებრივი წილადების ტიპზე.

3. ვამცირებთ ყველა წილადს მანამ, სანამ შემცირება აღარ იქნება შესაძლებელი.

4. მრავალდონიანი წილადი გამოსახულებები ჩვეულებრივ გამოსახულებებს ვატანთ, 2 ქულაზე გაყოფის გამოყენებით.

5. ჩვენ გონებაში ვყოფთ ერთეულს წილადად, უბრალოდ წილადის გადაბრუნებით.