სხეულის მოცულობის პოვნა განივი უბნებიდან. როგორ მოვძებნოთ რევოლუციის ზედაპირის ფართობი რევოლუციის შედეგად წარმოქმნილი ინტეგრალური ზედაპირის ფართობის გამოყენებით

5. რევოლუციის სხეულების ზედაპირის ფართობის პოვნა

მრუდი AB იყოს y = f(x) ≥ 0 ფუნქციის გრაფიკი, სადაც x [a; b] და ფუნქცია y \u003d f (x) და მისი წარმოებული y "\u003d f" (x) უწყვეტია ამ სეგმენტზე.

ვიპოვოთ ზედაპირის S ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება Ox ღერძის გარშემო AB მრუდის ბრუნვით (სურ. 8).

ვიყენებთ II სქემას (დიფერენციალური მეთოდი).

თვითნებური წერტილის მეშვეობით x [a; b] დავხატოთ სიბრტყე P, Ox ღერძის პერპენდიკულარული. თვითმფრინავი P კვეთს ბრუნვის ზედაპირს წრის გასწვრივ y - f(x) რადიუსით. სიბრტყის მარცხნივ მდებარე რევოლუციის ფიგურის ნაწილის ზედაპირის მნიშვნელობა არის x-ის ფუნქცია, ე.ი. s = s(x) (s(a) = 0 და s(b) = S).

მოდით მივცეთ x არგუმენტი ნამატი Δх = dх. x + dx წერტილის გავლით [a; b] ასევე დახაზეთ x ღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყე. ფუნქცია s = s(x) მიიღებს Δs-ის ნამატს, რომელიც ნაჩვენებია ფიგურაში, როგორც "ქამარი".

ვიპოვოთ ds ფართობის დიფერენციალი, შევცვალოთ მონაკვეთებს შორის წარმოქმნილი ფიგურა შეკვეცილი კონუსით, რომლის გენერატრიქსი უდრის dl-ს, ხოლო ფუძეების რადიუსი უდრის y და y + dy. მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობია: = 2ydl + dydl.

dу d1 ნამრავლის უგულებელყოფით, როგორც ds-ზე უსასრულო უფრო მაღალი რიგის სახით, მივიღებთ ds = 2уdl, ან, ვინაიდან d1 = dx.

შედეგად მიღებული ტოლობის ინტეგრირება x = a-დან x = b დიაპაზონში, ვიღებთ

თუ მრუდი AB მოცემულია პარამეტრული განტოლებით x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, მაშინ ბრუნვის ზედაპირის ფართობის ფორმულა ხდება

S=2 dt.

მაგალითი: იპოვეთ R რადიუსის სფეროს ზედაპირის ფართობი.

S=2 =

6. ცვლადი ძალის მუშაობის პოვნა

ცვლადი ძალის მუშაობა

მოდით, მატერიალური წერტილი M მოძრაობდეს Ox ღერძის გასწვრივ ამ ღერძის პარალელურად მიმართული ცვლადი ძალის F = F(x) მოქმედებით. M წერტილის x = a პოზიციიდან x = b პოზიციაზე გადაადგილებისას ძალის მიერ შესრულებული სამუშაო (a

რა სამუშაო უნდა ჩატარდეს ზამბარის 0,05 მ-ით გასაჭიმად, თუ 100 ნ-იანი ძალა ზამბარს 0,01 მ-ით ჭიმავს?

ჰუკის კანონის მიხედვით, დრეკადი ძალა, რომელიც ჭიმავს ზამბარას, პროპორციულია ამ მონაკვეთის x-ის, ე.ი. F = kx, სადაც k არის პროპორციულობის კოეფიციენტი. ამოცანის პირობის მიხედვით ძალა F = 100 N ჭიმავს ზამბარას x = 0,01 მ-ით; შესაბამისად, 100 = k 0,01, საიდანაც k = 10000; შესაბამისად, F = 10000x.

სასურველი სამუშაო ფორმულის საფუძველზე

A=

იპოვეთ სამუშაო, რომელიც უნდა დაიხარჯოს სითხის კიდეზე გადატუმბვისთვის ვერტიკალური ცილინდრული ავზიდან H m სიმაღლისა და ფუძის რადიუსის R m (ნახ. 13).

p წონიანი სხეულის h სიმაღლეზე აწევაზე დახარჯული სამუშაო უდრის p H-ს. მაგრამ წყალსაცავში სითხის სხვადასხვა ფენა განსხვავებულ სიღრმეზეა და აწევის სიმაღლეზე (რეზერვუარის კიდემდე) სხვადასხვა ფენა არ არის იგივე.

პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ II სქემას (დიფერენციალური მეთოდი). ჩვენ შემოგთავაზებთ კოორდინატთა სისტემას.

1) ავზიდან x (0 ≤ x ≤ H) სითხის სისქის ფენის ამოტუმბვაზე დახარჯული სამუშაო არის x-ის ფუნქცია, ე.ი. A \u003d A (x), სადაც (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) ნამატის ΔA ძირითად ნაწილს ვპოულობთ, როცა x იცვლება Δx = dx-ით, ე.ი. ვპოულობთ A(x) ფუნქციის დიფერენციალურ dA-ს.

dx-ის სიმცირის გათვალისწინებით, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ "ელემენტარული" თხევადი ფენა არის იმავე x სიღრმეზე (რეზერვუარის კიდიდან). შემდეგ dА = dрх, სადაც dр არის ამ ფენის წონა; ის უდრის g AV-ს, სადაც g არის სიმძიმის აჩქარება, არის სითხის სიმკვრივე, dv არის "ელემენტარული" თხევადი შრის მოცულობა (ეს გამოკვეთილია ფიგურაში), ე.ი. dr = გ. ამ თხევადი ფენის მოცულობა აშკარად უდრის , სადაც dx არის ცილინდრის (ფენის) სიმაღლე, არის მისი ფუძის ფართობი, ე.ი. dv = .

ამრიგად, dр = . და

3) შედეგად მიღებული თანასწორობის ინტეგრირება x \u003d 0-დან x \u003d H დიაპაზონში, ჩვენ ვპოულობთ

ა

8. ინტეგრალების გამოთვლა MathCAD პაკეტის გამოყენებით

ზოგიერთი გამოყენებული პრობლემის გადაჭრისას საჭიროა სიმბოლური ინტეგრაციის მოქმედების გამოყენება. ამ შემთხვევაში MathCad პროგრამა შეიძლება გამოადგეს როგორც საწყის ეტაპზე (კარგია პასუხის წინასწარ ცოდნა ან მისი არსებობის ცოდნა), ასევე ფინალურ ეტაპზე (კარგია სხვა პასუხის გამოყენებით მიღებული შედეგის შემოწმება. წყარო ან სხვა ადამიანის გამოსავალი).

დიდი რაოდენობის პრობლემების გადაჭრისას, შეგიძლიათ შეამჩნიოთ პრობლემების გადაჭრის რამდენიმე მახასიათებელი MathCad პროგრამის გამოყენებით. შევეცადოთ რამდენიმე მაგალითით გავიგოთ როგორ მუშაობს ეს პროგრამა, გავაანალიზოთ მისი დახმარებით მიღებული გადაწყვეტილებები და შევადაროთ ეს გადაწყვეტილებები სხვა მეთოდებით მიღებულ გადაწყვეტილებებს.

MathCad პროგრამის გამოყენებისას ძირითადი პრობლემები შემდეგია:

ა) პროგრამა იძლევა პასუხს არა ნაცნობი ელემენტარული ფუნქციების სახით, არამედ სპეციალური ფუნქციების სახით, რომლებიც ყველასთვის შორს არის ცნობილი;

ბ) ზოგ შემთხვევაში „უარს ამბობს“ პასუხის გაცემაზე, თუმცა პრობლემას აქვს გამოსავალი;

გ) ზოგჯერ შეუძლებელია მიღებული შედეგის გამოყენება მისი მოცულობის გამო;

დ) არასრულად წყვეტს პრობლემას და არ აანალიზებს გამოსავალს.

ამ პრობლემების გადასაჭრელად აუცილებელია პროგრამის ძლიერი და სუსტი მხარეების გამოყენება.

მისი დახმარებით ადვილი და მარტივია წილადი რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალების გამოთვლა. ამიტომ რეკომენდებულია ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენება, ე.ი. წინასწარ მოამზადეთ ინტეგრალი ხსნარისთვის. ამ მიზნებისათვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ზემოთ განხილული ჩანაცვლება. გასათვალისწინებელია ისიც, რომ მიღებული შედეგები უნდა შემოწმდეს ორიგინალური ფუნქციის განსაზღვრის დომენებისა და მიღებული შედეგის დამთხვევაზე. გარდა ამისა, ზოგიერთი მიღებული გადაწყვეტა საჭიროებს დამატებით კვლევას.

MathCad პროგრამა ათავისუფლებს სტუდენტს ან მკვლევარს რუტინული სამუშაოსგან, მაგრამ ვერ ათავისუფლებს მას დამატებითი ანალიზისგან როგორც პრობლემის დაყენებისას, ასევე რაიმე შედეგის მიღებისას.

ამ ნაშრომში განხილული იყო ძირითადი დებულებები, რომლებიც დაკავშირებულია მათემატიკის კურსში განსაზღვრული ინტეგრალის აპლიკაციების შესწავლასთან.

– ჩატარდა ინტეგრალების ამოხსნის თეორიული საფუძვლის ანალიზი;

- მასალა დაექვემდებარა სისტემატიზაციას და განზოგადებას.

საკურსო მუშაობისას განხილული იყო ფიზიკის, გეომეტრიის, მექანიკის დარგის პრაქტიკული ამოცანების მაგალითები.

დასკვნა

ზემოთ განხილული პრაქტიკული პრობლემების მაგალითები ნათელ წარმოდგენას გვაძლევს გარკვეული ინტეგრალის მნიშვნელობაზე მათი გადაწყვეტისთვის.

ძნელია ისეთი სამეცნიერო სფეროს დასახელება, რომელშიც ინტეგრალური გამოთვლების მეთოდები, ზოგადად, და განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები, კერძოდ, არ იქნება გამოყენებული. ასე რომ, კურსის მუშაობის პროცესში განვიხილეთ პრაქტიკული ამოცანების მაგალითები ფიზიკის, გეომეტრიის, მექანიკის, ბიოლოგიის და ეკონომიკის დარგში. რა თქმა უნდა, ეს არავითარ შემთხვევაში არ არის მეცნიერებათა ამომწურავი სია, რომლებიც იყენებენ ინტეგრალურ მეთოდს კონკრეტული პრობლემის გადაჭრისას დასახული მნიშვნელობის მოსაძებნად და თეორიული ფაქტების დასამკვიდრებლად.

ასევე, განსაზღვრული ინტეგრალი გამოიყენება თავად მათემატიკის შესასწავლად. მაგალითად, დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას, რაც თავის მხრივ შეუცვლელ წვლილს შეაქვს პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრაში. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი ერთგვარი საფუძველია მათემატიკის შესწავლისთვის. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია იცოდეთ როგორ გადაჭრათ ისინი.

ყოველივე ზემოთქმულიდან ირკვევა, რატომ ხდება განსაზღვრული ინტეგრალის გაცნობა თუნდაც საშუალო სკოლის ფარგლებში, სადაც მოსწავლეები სწავლობენ არა მხოლოდ ინტეგრალის ცნებას და მის თვისებებს, არამედ მის ზოგიერთ გამოყენებას.

ლიტერატურა

1. ვოლკოვი ე.ა. რიცხვითი მეთოდები. მ., ნაუკა, 1988 წ.

2. პისკუნოვი ნ.ს. დიფერენციალური და ინტეგრალური გაანგარიშება. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. შიპაჩოვი ვ.ს. უმაღლესი მათემატიკა. მ., უმაღლესი სკოლა, 1990 წ.

მოგესალმებით, არგემონის უნივერსიტეტის ძვირფასო სტუდენტებო!

დღეს ჩვენ გავაგრძელებთ ობიექტების მატერიალიზაციის შესწავლას. ბოლო დროს ჩვენ ვატრიალეთ ბრტყელი ფიგურები და მივიღეთ სამგანზომილებიანი სხეულები. ზოგიერთი მათგანი ძალიან მაცდური და სასარგებლოა. მე ვფიქრობ, რომ მაგის გამოგონება შეიძლება მომავალში.

დღეს ჩვენ მოვატრიალებთ მოსახვევებს. გასაგებია, რომ ამ გზით ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ რაიმე სახის ობიექტი ძალიან თხელი კიდეებით (კონუსი ან ბოთლი წამალებისთვის, ვაზა ყვავილებისთვის, ჭიქა სასმელისთვის და ა. . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მრუდის შემობრუნებით შეიძლება მივიღოთ რაიმე სახის ზედაპირი - ყველა მხრიდან დახურული თუ არა. რატომ გამახსენდა ახლავე ნახვრეტიანი ჭიქა, საიდანაც სერ შურფ ლონლი-ლოკლი მუდმივად სვამდა.

ასე რომ, ჩვენ შევქმნით გაჟონავ და არაპერფორირებულ თასს და გამოვთვლით შექმნილი ზედაპირის ფართობს. ვფიქრობ, რატომღაც ეს (ზოგადად, ზედაპირის ფართობი) საჭირო იქნება - კარგი, ყოველ შემთხვევაში, სპეციალური ჯადოსნური საღებავის წასმა. და მეორეს მხრივ, მაგიური არტეფაქტების არეები შეიძლება საჭირო გახდეს მათზე მიმართული მაგიური ძალების გამოსათვლელად ან სხვა რამეზე. ჩვენ ვისწავლით როგორ ვიპოვოთ იგი და გავიგოთ სად გამოვიყენოთ იგი.

ასე რომ, პარაბოლის ნაწილს შეუძლია მოგვცეს თასის ფორმა. ავიღოთ უმარტივესი y=x 2 ინტერვალზე. ჩანს, რომ როდესაც ის ბრუნავს OY ღერძის გარშემო, მიიღება მხოლოდ თასი. არა ქვედა.

ბრუნვის ზედაპირის ფართობის გამოთვლის შელოცვა შემდეგია:

აქ |y| არის მანძილი ბრუნვის ღერძიდან მრუდის ნებისმიერ წერტილამდე, რომელიც ბრუნავს. მოგეხსენებათ, მანძილი არის პერპენდიკულარული.
ცოტა უფრო რთულია შელოცვის მეორე ელემენტი: ds არის რკალის დიფერენციალი. ეს სიტყვები არაფერს გვაძლევს, ამიტომ ნუ შევიწუხებთ, მაგრამ გადავიდეთ ფორმულების ენაზე, სადაც ეს დიფერენცია ცალსახად არის წარმოდგენილი ჩვენთვის ცნობილი ყველა შემთხვევისთვის:
- დეკარტის კოორდინატთა სისტემა;
- მრუდის ჩანაწერები პარამეტრული ფორმით;
- პოლარული კოორდინატთა სისტემა.

ჩვენს შემთხვევაში, მანძილი ბრუნვის ღერძიდან მრუდის ნებისმიერ წერტილამდე არის x. ჩვენ განვიხილავთ მიღებული ხვრელის თასის ზედაპირის ფართობს:

ფსკერით თასის გასაკეთებლად, თქვენ უნდა აიღოთ კიდევ ერთი ნაჭერი, მაგრამ განსხვავებული მრუდით: ინტერვალზე ეს არის ხაზი y=1.

ნათელია, რომ როდესაც ის ბრუნავს OY ღერძის გარშემო, თასის ფსკერი მიიღება ერთეული რადიუსის წრის სახით. და ჩვენ ვიცით, როგორ გამოითვლება წრის ფართობი (ფორმულის მიხედვით pi * r ^ 2. ჩვენს შემთხვევაში, წრის ფართობი იქნება pi-ს ტოლი), მაგრამ ჩვენ გამოვთვლით მას ახალი ფორმულის გამოყენებით - გადამოწმებისთვის.
მანძილი ბრუნვის ღერძიდან მრუდის ამ ნაწილის ნებისმიერ წერტილამდე ასევე არის x.

კარგი, ჩვენი გამოთვლები სწორია, რაც სასიამოვნოა.

Და ახლა საშინაო დავალება.

1. იპოვეთ ABC პოლიწრფის შემობრუნებით მიღებული ზედაპირის ფართობი, სადაც A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), OX ღერძის გარშემო.
რჩევა. ჩაწერეთ ყველა სეგმენტი პარამეტრული ფორმით.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
სხვათა შორის, როგორ გამოიყურება მიღებული ნივთი?

2. აბა, ახლა თავად მოიფიქრე რამე. სამი ელემენტი, ვფიქრობ, საკმარისია.

ამიტომ, სასწრაფოდ გადავალ ძირითად ცნებებზე და პრაქტიკულ მაგალითებზე.

მოდით შევხედოთ მარტივ სურათს

და დაიმახსოვრე: რისი გამოთვლა შეიძლება განსაზღვრული ინტეგრალი ?

პირველ რიგში, რა თქმა უნდა, მოხრილი ტრაპეციის ფართობი . ცნობილია სკოლის დროიდან.

თუ ეს ფიგურა ბრუნავს კოორდინატთა ღერძის გარშემო, მაშინ ჩვენ უკვე ვსაუბრობთ პოვნაზე რევოლუციის ორგანო . ეს ასევე მარტივია.

Სხვა რა? ცოტა ხნის წინ განხილული რკალის სიგრძის პრობლემა .

და დღეს ჩვენ ვისწავლით, თუ როგორ გამოვთვალოთ კიდევ ერთი მახასიათებელი - კიდევ ერთი ფართობი. წარმოიდგინე ეს ხაზი ბრუნავსღერძის გარშემო. ამ მოქმედების შედეგად მიიღება გეომეტრიული ფიგურა, ე.წ რევოლუციის ზედაპირი. ამ შემთხვევაში ის ძირის გარეშე ასეთ ქოთანს წააგავს. და არა საფარი. როგორც ვირი ეიორი იტყოდა, გულისამრევი სანახაობა =)

ორაზროვანი ინტერპრეტაციის აღმოსაფხვრელად, მე გავაკეთებ მოსაწყენ, მაგრამ მნიშვნელოვან განმარტებას:

გეომეტრიული თვალსაზრისით ჩვენს „ქოთანს“ აქვს უსასრულოდ თხელიკედელი და ორიზედაპირები იგივე ფართობით - გარე და შიდა. ასე რომ, ყველა შემდგომი გამოთვლა გულისხმობს ფართობს მხოლოდ გარე ზედაპირი.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ბრუნვის ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

ან უფრო კომპაქტურად: .

ფუნქციას და მის წარმოებულს იგივე მოთხოვნები ეკისრება, როგორც პოვნისას მრუდის რკალის სიგრძე , მაგრამ, გარდა ამისა, მრუდი უნდა განთავსდეს ზემოთცულები . ეს მნიშვნელოვანია! ადვილი გასაგებია, რომ თუ ხაზი მდებარეობს ქვეშღერძი, მაშინ ინტეგრანტი უარყოფითი იქნება : და, შესაბამისად, მინუს ნიშანი უნდა დაემატოს ფორმულას, რათა შენარჩუნდეს პრობლემის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

განვიხილოთ დაუმსახურებლად შეუმჩნეველი ფიგურა:

ტორუსის ზედაპირის ფართობი

Მოკლედ, tor არის დონატი. სახელმძღვანელოს მაგალითი, რომელიც განიხილება თითქმის ყველა მატანის სახელმძღვანელოში, ეძღვნება პოვნას მოცულობატორუსი და, შესაბამისად, მრავალფეროვნებისთვის გავაანალიზებ უფრო იშვიათ პრობლემას მისი ზედაპირის ფართობი. პირველი კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობებით:

მაგალითი 1

გამოთვალეთ ტორუსის ზედაპირის ფართობი, რომელიც მიღებულია წრის ბრუნვით ღერძის გარშემო.

გამოსავალი: როგორ იცით განტოლება კომპლექტი წრე ერთეულის რადიუსი ორიენტირებულია . ეს გაადვილებს ორი ფუნქციის მიღებას:

– აყენებს ზედა ნახევარწრეს;
– აყენებს ქვედა ნახევარწრეს:

არსი კრისტალურად ნათელია: წრებრუნავს x-ღერძის გარშემო და ყალიბდება ზედაპირიბაგელი. ერთადერთი, რაც აქ, უხეში დათქმების თავიდან ასაცილებლად, არის სიფრთხილე ტერმინოლოგიაში: თუ ბრუნავთ წრე, შემოსაზღვრული წრით , მაშინ მიიღებთ გეომეტრიულს სხეული, ანუ თავად ბაგელი. ახლა კი ვისაუბროთ კვადრატზე ზედაპირები, რომელიც აშკარად უნდა გამოითვალოს ფართობების ჯამად:

1) იპოვეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც მიიღება „ლურჯი“ რკალის შემობრუნებით x-ღერძის გარშემო. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას . როგორც არაერთხელ მითქვამს, უფრო მოსახერხებელია ქმედებების ეტაპობრივად განხორციელება:

ჩვენ ვიღებთ ფუნქციას და იპოვე იგი წარმოებული :

და ბოლოს, ჩვენ ვტვირთავთ შედეგს ფორმულაში:

გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში ეს უფრო რაციონალური აღმოჩნდა გააორმაგებს ლუწი ფუნქციის ინტეგრალი ამოხსნის პროცესში, ვიდრე წინასწარ განიხილონ ფიგურის სიმეტრია y-ღერძთან მიმართებაში.

2) იპოვეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც მიიღება „წითელი“ რკალის შემობრუნებით x-ღერძის გარშემო. ყველა ქმედება ფაქტობრივად განსხვავდება მხოლოდ ერთი ნიშნით. გადაწყვეტას განსხვავებულ სტილში შევქმნი, რომელსაც, რა თქმა უნდა, სიცოცხლის უფლებაც აქვს:


3) ამრიგად, ტორუსის ზედაპირის ფართობი:

უპასუხე:

პრობლემის გადაჭრა შეიძლება ზოგადი გზით - გამოვთვალოთ ტორუსის ზედაპირის ფართობი, რომელიც მიღებულია აბსცისის ღერძის გარშემო წრის ბრუნვით და მიიღეთ პასუხი . თუმცა, სიცხადისთვის და მეტი სიმარტივისთვის, მე განვახორციელე გამოსავალი კონკრეტულ ციფრებზე.

თუ თქვენ გჭირდებათ თავად დონატის მოცულობის გამოთვლა, გთხოვთ, იხილოთ სახელმძღვანელო, როგორც სწრაფი მითითება:

თეორიული შენიშვნის მიხედვით მიგვაჩნია ზედა ნახევარწრიული. იგი "იხატება" პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლისას შიგნით (ამის დანახვა ადვილია ამ ინტერვალზე), ასე რომ:

უპასუხე:

თუ პრობლემას ზოგადად გადავჭრით, მივიღებთ ზუსტად სკოლის ფორმულას სფეროს ფართობისთვის, სად არის მისი რადიუსი.

რაღაც მტკივნეულად მარტივი პრობლემა, სირცხვილიც კი... გირჩევ გამოასწორო ეს შეცდომა =)

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც მიღებულია ციკლოიდის პირველი რკალის ღერძის გარშემო ბრუნვით.

დავალება კრეატიულია. შეეცადეთ გამოიტანოთ ან დაადგინოთ ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელი ფორმულა, რომელიც მიღებულია y ღერძის გარშემო მრუდის როტაციით. და, რა თქმა უნდა, კვლავ უნდა აღინიშნოს პარამეტრული განტოლებების უპირატესობა - მათ არ სჭირდებათ რაიმე სახის შეცვლა; არ არის საჭირო ინტეგრაციის სხვა საზღვრების ძიებით შეწუხება.

ციკლოიდური გრაფიკის ნახვა შესაძლებელია გვერდზე ფართობი და მოცულობა, თუ ხაზი დაყენებულია პარამეტრულად . ბრუნვის ზედაპირი დაემსგავსება ... არც კი ვიცი რას შევადარო ... რაღაც არამიწიერს - მომრგვალებული წვეტიანი დეპრესიით შუაში. აქ, ღერძის ირგვლივ ციკლოიდის ბრუნვის შემთხვევისთვის, მყისიერად მახსენდება ასოციაცია - წაგრძელებული რაგბის ბურთი.

ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ ვასრულებთ ჩვენს მომხიბლავ მიმოხილვას საქმით პოლარული კოორდინატები . დიახ, ეს არის მიმოხილვა, თუ გადახედავთ მათემატიკური ანალიზის სახელმძღვანელოებს (ფიხტენგოლცის, ბოხანის, პისკუნოვის და სხვა ავტორების მიერ), შეგიძლიათ მიიღოთ ათეული (ან თუნდაც შესამჩნევად მეტი) სტანდარტული მაგალითი, რომელთა შორის სავსებით შესაძლებელია, რომ თქვენ იპოვის თქვენთვის საჭირო პრობლემას.

როგორ გამოვთვალოთ რევოლუციის ზედაპირის ფართობი,
თუ ხაზი მოცემულია პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში?

თუ მრუდი დაყენებულია პოლარული კოორდინატები განტოლება და ფუნქციას აქვს უწყვეტი წარმოებული მოცემულ ინტერვალზე, შემდეგ ამ მრუდის პოლარული ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად მიღებული ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით , სადაც არის მრუდის ბოლოების შესაბამისი კუთხური მნიშვნელობები.

პრობლემის გეომეტრიული მნიშვნელობის შესაბამისად ინტეგრანდ , და ეს მიიღწევა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ( და ცნობილია, რომ არაუარყოფითია). აქედან გამომდინარე, აუცილებელია კუთხის მნიშვნელობების გათვალისწინება დიაპაზონიდან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მრუდი უნდა განთავსდეს ზემოთპოლარული ღერძი და მისი გაფართოება. როგორც ხედავთ, იგივე ამბავია, რაც წინა ორ აბზაცში.

მაგალითი 5

გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება კარდიოიდის ბრუნვით პოლარული ღერძის გარშემო.

გამოსავალი: ამ მრუდის გრაფიკი შეგიძლიათ იხილოთ შესახებ გაკვეთილის მე-6 მაგალითში პოლარული კოორდინატთა სისტემა . კარდიოიდი სიმეტრიულია პოლარული ღერძის მიმართ, ამიტომ განვიხილავთ მის ზედა ნახევარს უფსკრულიზე (რაც, ფაქტობრივად, ასევე განპირობებულია ზემოაღნიშნული შენიშვნით).

ბრუნვის ზედაპირი დაემსგავსება ბუშტუკს.

გადაწყვეტის ტექნიკა სტანდარტულია. მოდი ვიპოვოთ წარმოებული „ფი“-ს მიმართ:

შეადგინეთ და გაამარტივეთ ფესვი:

იმედი მაქვს ზედმეტად

მიეცით სხეული სივრცეში. მოდით მისი მონაკვეთები აგებული იყოს x წერტილებზე გამავალი ღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყეებით
მასზე. განყოფილებაში ჩამოყალიბებული ფიგურის ფართობი დამოკიდებულია წერტილზე X, რომელიც განსაზღვრავს მონაკვეთის სიბრტყეს. დაე, ეს დამოკიდებულება იყოს ცნობილი და მიეცეს უწყვეტი ფუნქცია. შემდეგ სხეულის ნაწილის მოცულობა, რომელიც მდებარეობს თვითმფრინავებს შორის x=aდა x=vგამოითვლება ფორმულით

მაგალითი.ვიპოვოთ შეზღუდული სხეულის მოცულობა, რომელიც ჩასმულია რადიუსის ცილინდრის ზედაპირს შორის: ჰორიზონტალურ სიბრტყესა და დახრილ სიბრტყეს z=2y და ჰორიზონტალური სიბრტყის ზემოთ მდებარე.

ცხადია, განსახილველი სხეული დაპროექტებულია სეგმენტის ღერძზე
და x-ისთვის
სხეულის განივი მონაკვეთი არის მართკუთხა სამკუთხედი y და z=2y წვერებით, სადაც y შეიძლება გამოისახოს x-ით ცილინდრის განტოლებიდან:

ამრიგად, განივი განყოფილების ფართობი S(x) არის:

ფორმულის გამოყენებით ვპოულობთ სხეულის მოცულობას:

რევოლუციის ორგანოების მოცულობების გაანგარიშება

დაუშვით სეგმენტი[ ა, ბ] არის უწყვეტი ნიშან-მუდმივი ფუნქცია წ= ვ(x). ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი რევოლუციის სხეულის მოცულობები ოჰ(ან ცულები OU) მრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით წ= ვ(x) (ვ(x) 0) და პირდაპირი y=0, x=a, x=ბ, გამოითვლება ფორმულების მიხედვით:

, ( 19)

(20)

თუ სხეული წარმოიქმნება ღერძის გარშემო ბრუნვით OUმრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით
და პირდაპირი x=0, წ= გ, წ= დ, მაშინ რევოლუციის სხეულის მოცულობა უდრის

. (21)

მაგალითი.გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ღერძის გარშემო ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ბრუნვით ოჰ.

ფორმულის მიხედვით (19), სასურველი მოცულობა

მაგალითი.წრფე y=cosx ჩაითვალოს xOy სიბრტყეში სეგმენტზე .

ე ეს ხაზი ბრუნავს სივრცეში ღერძის გარშემო და რევოლუციის შედეგად მიღებული ზედაპირი ზღუდავს რევოლუციის გარკვეულ ნაწილს (იხ. ნახ.). იპოვეთ რევოლუციის ამ სხეულის მოცულობა.

ფორმულის მიხედვით ვიღებთ:

ბრუნვის ზედაპირის ფართობი

,
, ბრუნავს Ox ღერძის გარშემო, შემდეგ ბრუნვის ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით
, სადაც ადა ბ- რკალის დასაწყისისა და დასასრულის აბსციები.

თუ არაუარყოფითი ფუნქციით მოცემული მრუდის რკალი
,
, ბრუნავს Oy ღერძის გარშემო, შემდეგ ბრუნვის ზედაპირის ფართობი გამოითვლება ფორმულით

,

სადაც c და d არის რკალის დასაწყისისა და დასასრულის აბსციები.

თუ მრუდის რკალი მოცემულია პარამეტრული განტოლებები
,
, და
, მაშინ

თუ რკალი დაყენებულია პოლარული კოორდინატები
, მაშინ

.

მაგალითი.გამოთვალეთ ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება სივრცეში ბრუნვის შედეგად y= წრფის ნაწილის ღერძის გარშემო. მდებარეობს გათიშვის ხაზის ზემოთ.

იმიტომ რომ
, მაშინ ფორმულა გვაძლევს ინტეგრალს

გავაკეთოთ ცვლილება t=x+(1/2) ბოლო ინტეგრალში და მივიღოთ:

ინტეგრალებიდან პირველში მარჯვენა მხარეს ვაკეთებთ ცვლილებას z=t 2 -:

მარჯვენა მხარეს ინტეგრალების მეორის გამოსათვლელად, ჩვენ აღვნიშნავთ მას და ვაერთიანებთ ნაწილების მიხედვით, ვიღებთ განტოლებას:

მარცხენა მხარეს გადაადგილებით და 2-ზე გაყოფით მივიღებთ

სად, ბოლოს და ბოლოს,

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენება მექანიკისა და ფიზიკის ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნაში

ცვლადი ძალის მუშაობა. განვიხილოთ მატერიალური წერტილის მოძრაობა ღერძის გასწვრივ ოქსიცვლადი ძალის მოქმედების ქვეშ ვ, წერტილის პოზიციიდან გამომდინარე xღერძზე, ე.ი. ძალა, რომელიც არის ფუნქცია x. მერე იმუშავე ა, აუცილებელია მატერიალური წერტილის პოზიციიდან გადასატანად x = აპოზიციაში x = ბგამოითვლება ფორმულით:

Გამოთვლა თხევადი წნევის ძალებიგამოიყენეთ პასკალის კანონი, რომლის მიხედვითაც სითხის წნევა პლატფორმაზე უდრის მის ფართობს სგამრავლებული ჩაძირვის სიღრმეზე თ, სიმკვრივეზე ρ და გრავიტაციის აჩქარება გ, ე.ი.

.

1. სიბრტყე მრუდების მასის მომენტები და ცენტრები. თუ მრუდის რკალი მოცემულია y=f(x) განტოლებით, a≤x≤b და აქვს სიმკვრივე
, მაშინ სტატიკური მომენტებიამ რკალის M x და M y კოორდინატთა ღერძების მიმართ Ox და Oy არიან

;

ინერციის მომენტები I X და I y იგივე ღერძების მიმართ Ox და Oy გამოითვლება ფორმულებით

ა მასის კოორდინატების ცენტრი და - ფორმულებით

სადაც l არის რკალის მასა, ე.ი.

მაგალითი 1. იპოვეთ სტატიკური მომენტები და ინერციის მომენტები Ox და Oy ღერძების შესახებ კატენარული რკალის y=chx 0≤x≤1-ისთვის.

თუ სიმკვრივე არ არის მითითებული, მრუდი მიჩნეულია ერთგვაროვანი და
. გვაქვს: მაშასადამე,

მაგალითი 2იპოვეთ წრის რკალი x=acost, y=asint მასის ცენტრის კოორდინატები, რომელიც მდებარეობს პირველ კვადრატში. Ჩვენ გვაქვს:

აქედან ვიღებთ:

აპლიკაციებში, შემდეგი ხშირად სასარგებლოა. თეორემა გულდენი. ზედაპირის ფართობი, რომელიც წარმოიქმნება რკალის სიბრტყეზე მდებარე ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად, რომელიც არ კვეთს მას, უდრის რკალის სიგრძისა და წრის სიგრძის ნამრავლს, რომელიც აღწერილია მის მიერ. მასის ცენტრი.

მაგალითი 3იპოვეთ ნახევარწრის მასის ცენტრის კოორდინატები

სიმეტრიის გამო
. როდესაც ნახევარწრი ბრუნავს Ox ღერძის გარშემო, მიიღება სფერო, რომლის ზედაპირის ფართობი ტოლია, ხოლო ნახევარწრის სიგრძე უდრის pa. გიულდენის თეორემით გვაქვს 4

აქედან
, ე.ი. მასის ცენტრს C აქვს კოორდინატები C
.

2. ფიზიკური დავალებები.განსაზღვრული ინტეგრალის ზოგიერთი გამოყენება ფიზიკური პრობლემების გადაჭრაში ილუსტრირებულია ქვემოთ მაგალითებში.

მაგალითი 4სხეულის სწორხაზოვანი მოძრაობის სიჩქარე გამოიხატება ფორმულით (მ/წმ). იპოვეთ სხეულის მიერ გავლილი გზა მოძრაობის დაწყებიდან 5 წამში.

იმიტომ რომ სხეულის მიერ გავლილი გზა v(t) სიჩქარით დროის ინტერვალით , გამოიხატება ინტეგრალით

მაშინ გვაქვს:

პ
მაგალითი.ვიპოვოთ შეზღუდული ფართობის ფართობი, რომელიც მდებარეობს ღერძსა და y=x 3 -x წრფეს შორის. Იმიტომ რომ

ხაზი კვეთს ღერძს სამ წერტილში: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 1.

ხაზსა და ღერძს შორის შეზღუდული ტერიტორია დაპროექტებულია სეგმენტზე
,და სეგმენტზე
,ხაზი y=x 3 -x მიდის ღერძის ზემოთ (ანუ წრფე y=0 და - ქვევით. აქედან გამომდინარე, რეგიონის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

პ
მაგალითი.იპოვეთ არქიმედეს სპირალის პირველ და მეორე მოხვევებს შორის შემოსაზღვრული უბანი r=a. (a>0) და ჰორიზონტალური ღერძის სეგმენტი
.

სპირალის პირველი შემობრუნება შეესაბამება კუთხის ცვლილებას 0-დან დიაპაზონში, ხოლო მეორე - დან-მდე. არგუმენტის ცვლილების მოტანა ერთ ხარვეზზე ვწერთ სპირალის მეორე შემობრუნების განტოლებას სახით
,

. მაშინ ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით, აყენებს
და
:

პ მაგალითი.ვიპოვოთ სხეულის მოცულობა, რომელიც შემოსაზღვრულია y=4x-x 2 ღერძის გარშემო წრფის ბრუნვის ზედაპირით (
).

რევოლუციის სხეულის მოცულობის გამოსათვლელად, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

პ მაგალითი.გამოთვალეთ წრფეს y=lncosx რკალის სიგრძე, რომელიც მდებარეობს სწორ ხაზებს შორის და
.

(ჩვენ ავიღეთ ფესვის მნიშვნელობად და არა -cosx, რადგან cosx > 0 როდესაც
, რკალის სიგრძეა

პასუხი:
.

მაგალითი.გამოთვალეთ ბრუნვის ზედაპირის Q ფართობი, რომელიც მიღებულია ციკლოიდის რკალი x=t-sint ; y=1-ღირებულება, თან

, ღერძის გარშემო.

დ გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას:

Ჩვენ გვაქვს:

, ისე

ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ გადასასვლელად ცვლადზე აღვნიშნავთ, რომ როდესაც

ვიღებთ

, ისევე, როგორც

გარდა ამისა, ჩვენ წინასწარ ვიანგარიშებთ

(ისე
) და

ჩვენ ვიღებთ:

ჩანაცვლების გაკეთებისას მივდივართ ინტეგრალამდე