კომპლექტის, ქვესიმრავლის, ცარიელი სიმრავლის ცნება. ეილერ-ვენის დიაგრამები

სექციები: Კომპიუტერული მეცნიერება

1. შესავალი

საბაზო და უფროსი სკოლის კომპიუტერული მეცნიერებისა და ისტ-ის კურსში განიხილება ისეთი მნიშვნელოვანი თემები, როგორიცაა „ლოგიკის საფუძვლები“ ​​და „ინფორმაციის ძიება ინტერნეტში“. გარკვეული ტიპის პრობლემის გადაჭრისას მოსახერხებელია ეილერის წრეების გამოყენება (ეილერ-ვენის დიაგრამები).

მათემატიკური მითითება. ეილერ-ვენის დიაგრამები ძირითადად გამოიყენება სიმრავლეების თეორიაში, როგორც რამდენიმე სიმრავლის ყველა შესაძლო გადაკვეთის სქემატური წარმოდგენა. ზოგადად, ისინი წარმოადგენენ n თვისებების ყველა 2 n კომბინაციას. მაგალითად, n=3-ით, ეილერ-ვენის დიაგრამა ჩვეულებრივ გამოსახულია სამ წრედ, ცენტრებით ტოლგვერდა სამკუთხედის წვეროებზე და იგივე რადიუსით, დაახლოებით სამკუთხედის გვერდის სიგრძის ტოლი.

2. ლოგიკური კავშირების წარმოდგენა საძიებო შეკითხვებში

თემის „ინფორმაციის ძიება ინტერნეტში“ შესწავლისას განიხილება ლოგიკური დამაკავშირებლების გამოყენებით საძიებო მოთხოვნების მაგალითები, რომლებიც მსგავსია რუსული ენის კავშირების „და“, „ან“. ლოგიკური კავშირების მნიშვნელობა უფრო ნათელი ხდება, თუ მათ ილუსტრირებთ გრაფიკული დიაგრამის გამოყენებით - ეილერის წრეები (ეილერ-ვენის დიაგრამები).

ლოგიკური კავშირი	მაგალითი მოთხოვნა	ახსნა	ეილერის წრეები
& - "და"	პარიზი & უნივერსიტეტი	შეირჩევა ყველა გვერდი, სადაც მითითებულია ორივე სიტყვა: პარიზი და უნივერსიტეტი	ნახ.1
| - "ან"	პარიზი | უნივერსიტეტი	შეირჩევა ყველა გვერდი, სადაც ნახსენებია სიტყვები Paris და/ან უნივერსიტეტი	ნახ.2

3. ლოგიკური მოქმედებების კავშირი სიმრავლეების თეორიასთან

ეილერ-ვენის დიაგრამები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ლოგიკურ ოპერაციებსა და სიმრავლეების თეორიას შორის კავშირის ვიზუალიზაციისთვის. დემონსტრირებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ სლაიდები დანართი 1.

ლოგიკური ოპერაციები მითითებულია მათი სიმართლის ცხრილებით. IN დანართი 2დეტალურად არის განხილული ლოგიკური ოპერაციების გრაფიკული ილუსტრაციები და მათი სიმართლის ცხრილები. განვმარტოთ დიაგრამის აგების პრინციპი ზოგად შემთხვევაში. დიაგრამაზე, წრის ფართობი სახელწოდებით A აჩვენებს A განცხადების ჭეშმარიტებას (სიმრავლეების თეორიაში წრე A არის მოცემულ სიმრავლეში შემავალი ყველა ელემენტის აღნიშვნა). შესაბამისად, წრის გარეთ არსებული ფართობი აჩვენებს შესაბამისი განცხადების „false“ მნიშვნელობას. იმის გასაგებად, თუ დიაგრამის რომელ არეალში გამოჩნდება ლოგიკური ოპერაცია, თქვენ უნდა დაჩრდილოთ მხოლოდ ის ადგილები, რომლებშიც ლოგიკური ოპერაციის მნიშვნელობები A და B კომპლექტებზე უდრის "ჭეშმარიტს".

მაგალითად, იმპლიკაციური მნიშვნელობა მართალია სამ შემთხვევაში (00, 01 და 11). თანმიმდევრულად დავჩრდილოთ: 1) ორი გადამკვეთი წრის გარეთ არსებული ფართობი, რომელიც შეესაბამება A=0, B=0 მნიშვნელობებს; 2) არე, რომელიც დაკავშირებულია მხოლოდ B წრესთან (ნახევარმთვარი), რომელიც შეესაბამება A=0, B=1 მნიშვნელობებს; 3) A და B წრესთან დაკავშირებული ფართობი (გადაკვეთა) - შეესაბამება A=1, B=1 მნიშვნელობებს. ამ სამი სფეროს კომბინაცია იქნება იმპლიაციის ლოგიკური მოქმედების გრაფიკული წარმოდგენა.

4. ეილერის წრეების გამოყენება ლოგიკური თანასწორობების დასამტკიცებლად (კანონები)

ლოგიკური თანასწორობების დასამტკიცებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეილერ-ვენის დიაგრამის მეთოდი. დავამტკიცოთ შემდეგი ტოლობა ¬(АvВ) = ¬А&¬В (დე მორგანის კანონი).

ტოლობის მარცხენა მხარის ვიზუალურად წარმოსადგენად, მოდით გავაკეთოთ ეს თანმიმდევრულად: დაჩრდილეთ ორივე წრე (გამოიყენეთ დისუნქცია) ნაცრისფერი ფერით, შემდეგ ინვერსიის საჩვენებლად, წრეების გარეთ მდებარე ტერიტორია დაჩრდილეთ შავი ფერით:

ნახ.3 ნახ.4

ტოლობის მარჯვენა მხარის ვიზუალურად წარმოსადგენად, ეს გავაკეთოთ თანმიმდევრულად: დაჩრდილეთ ინვერსიის (¬A) გამოსაჩენი არე ნაცრისფერში და, ანალოგიურად, ¬B ფართობი ასევე ნაცრისფერში; შემდეგ კავშირის საჩვენებლად, თქვენ უნდა აიღოთ ამ ნაცრისფერი უბნების კვეთა (გადაფარვის შედეგი წარმოდგენილია შავით):

ნახ.5 სურ.6 ნახ.7

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ჩვენების არეები თანაბარია. ქ.ე.დ.

5. ამოცანები სახელმწიფო გამოცდისა და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ფორმატში თემაზე: „ინფორმაციის ძიება ინტერნეტში“

პრობლემა No18 GIA 2013-ის დემო ვერსიიდან.

ცხრილი აჩვენებს შეკითხვებს საძიებო სერვერზე. თითოეულ მოთხოვნაზე მითითებულია მისი კოდი - შესაბამისი ასო A-დან G-მდე. დაალაგეთ მოთხოვნის კოდები მარცხნიდან მარჯვნივ თანმიმდევრობით. დაღმავალიგვერდების რაოდენობა, რომელსაც საძიებო სისტემა იპოვის თითოეული მოთხოვნისთვის.

კოდი	მოთხოვნა
ა	(Fly & Money) | სამოვარი
ბ	Fly & Money & Bazaar & Samovar
IN	ფრენა | ფული | სამოვარი
გ	Fly & Money & Samovar

თითოეული შეკითხვისთვის ჩვენ ავაშენებთ ეილერ-ვენის დიაგრამას:

მოთხოვნა ა

მოთხოვნა B

მოთხოვნა B

მოთხოვნა გ

პასუხი: VAGB.

პრობლემა B12 2013 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის დემო ვერსიიდან.

ცხრილი აჩვენებს შეკითხვებს და გვერდების რაოდენობას, რომლებიც ნაპოვნია ინტერნეტის გარკვეული სეგმენტისთვის.

მოთხოვნა	ნაპოვნი გვერდები (ათასობით)
ფრეგატი | გამანადგურებელი	3400
ფრეგატი და გამანადგურებელი	900
ფრეგატი	2100

რამდენი გვერდი (ათასებში) მოიძებნება შეკითხვისთვის? გამანადგურებელი?

ითვლება, რომ ყველა მოთხოვნა შესრულდა თითქმის ერთდროულად, ისე, რომ გვერდების ნაკრები, რომელიც შეიცავს ყველა მოძიებულ სიტყვას, არ შეცვლილა მოთხოვნების შესრულების დროს.

Ф – გვერდების რაოდენობა (ათასობით) მოთხოვნით ფრეგატი;

E – გვერდების რაოდენობა (ათასობით) მოთხოვნით გამანადგურებელი;

X – გვერდების რაოდენობა (ათასობით) მოთხოვნისთვის, რომელიც აღნიშნავს ფრეგატიდა არააღნიშნულია გამანადგურებელი;

Y – გვერდების რაოდენობა (ათასობით) შეკითხვისთვის, რომელიც აღნიშნავს გამანადგურებელიდა არააღნიშნულია ფრეგატი.

მოდით ავაშენოთ ეილერ-ვენის დიაგრამები თითოეული შეკითხვისთვის:

მოთხოვნა	ეილერ-ვენის დიაგრამა	გვერდების რაოდენობა
ფრეგატი | გამანადგურებელი	სურ.12	3400
ფრეგატი და გამანადგურებელი	სურ.13	900
ფრეგატი	სურ.14	2100
გამანადგურებელი	სურ.15	?

დიაგრამების მიხედვით გვაქვს:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. აქედან ვპოულობთ Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900+U = 900+1300= 2200.

პასუხი: 2200.

6. ლოგიკური მნიშვნელოვანი ამოცანების ამოხსნა ეილერ-ვენის დიაგრამის მეთოდით

კლასში 36 ადამიანია. ამ კლასის მოსწავლეები ესწრებიან მათემატიკურ, ფიზიკურ და ქიმიურ წრეებს, მათემატიკურ წრეზე 18 ადამიანი, ფიზიკურ წრეზე 14 ადამიანი, ქიმიურ წრეზე 10 ადამიანი, გარდა ამისა, ცნობილია, რომ სამივე წრეზე 2 ადამიანი ესწრება დაესწრება როგორც მათემატიკურ, ასევე ფიზიკურ, 5 და მათემატიკასა და ქიმიას, 3 - ფიზიკურსაც და ქიმიურსაც.

კლასში რამდენი მოსწავლე არ ესწრება არცერთ კლუბს?

ამ პრობლემის გადასაჭრელად ძალიან მოსახერხებელი და ინტუიციურია ეილერის წრეების გამოყენება.

ყველაზე დიდი წრე არის კლასში ყველა მოსწავლის ნაკრები. წრის შიგნით არის სამი გადამკვეთი სიმრავლე: მათემატიკური ( მ), ფიზიკური ( ფ), ქიმიური ( X) წრეები.

დაე MFC- ბევრი ბიჭი, თითოეული მათგანი სამივე კლუბში დადის. MF¬X- ბევრი ბავშვი, რომელთაგან თითოეული ესწრება მათემატიკის და ფიზიკის კლუბებს და არასტუმრობს ქიმიურს. ¬M¬FH- ბევრი ბიჭი, თითოეული მათგანი დადის ქიმიის კლუბში და არ დადის ფიზიკა-მათემატიკის კლუბებში.

ანალოგიურად, ჩვენ წარმოგიდგენთ კომპლექტს: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

ცნობილია, რომ სამივე წრეში 2 ადამიანი მონაწილეობს, შესაბამისად, რეგიონში MFCშევიყვანოთ რიცხვი 2. რადგან როგორც მათემატიკურ, ასევე ფიზიკურ წრეებს ესწრება 8 ადამიანი და მათ შორის სამივე წრეზე უკვე 2 ადამიანი, შემდეგ რეგიონში. MF¬Xშევიყვანოთ 6 ადამიანი (8-2). ანალოგიურად განვსაზღვროთ სტუდენტების რაოდენობა დანარჩენ კომპლექტებში:

შევაჯამოთ ხალხის რაოდენობა ყველა რეგიონში: 7+6+3+2+4+1+5=28. შესაბამისად, კლასიდან 28 ადამიანი ესწრება კლუბებს.

ეს ნიშნავს, რომ 36-28 = 8 სტუდენტი არ ესწრება კლუბებს.

ზამთრის არდადეგების შემდეგ კლასის მასწავლებელმა ჰკითხა, რომელი ბავშვი წავიდა თეატრში, კინოში თუ ცირკში. აღმოჩნდა, რომ კლასში 36 მოსწავლიდან ორი არასოდეს ყოფილა კინოში. არც თეატრში და არც ცირკში. კინოში 25 ადამიანი წავიდა, თეატრში 11, ცირკში 17; როგორც კინოში, ასევე თეატრში - 6; კინოშიც და ცირკშიც - 10; ხოლო თეატრსა და ცირკში - 4.

რამდენი ადამიანი იყო კინოში, თეატრში და ცირკში?

მოდით x იყოს ბავშვების რაოდენობა, რომლებიც იყვნენ კინოში, თეატრში და ცირკში.

შემდეგ შეგიძლიათ შექმნათ შემდეგი დიაგრამა და დათვალოთ ბიჭების რაოდენობა თითოეულ სფეროში:

კინოსა და თეატრს 6 ადამიანი ეწვია, რაც იმას ნიშნავს, რომ კინოში და თეატრში მხოლოდ 6 ადამიანი დადიოდა. ანალოგიურად, მხოლოდ კინოში და ცირკში (მე-10) ხალხი. მხოლოდ თეატრში და ცირკში (4) ადამიანი. კინოში 25 ადამიანი წავიდა, რაც იმას ნიშნავს, რომ მათგან 25 მხოლოდ კინოში წავიდა - (10-ები) - (6-ები) - x = (9+x). ანალოგიურად, მხოლოდ თეატრში იყო (1+x) ხალხი. ცირკში მხოლოდ (3+x) ადამიანი იყო. არ ვყოფილვარ თეატრში, კინოში ან ცირკში - 2 ადამიანი. ასე რომ, 36-2=34 ადამიანი. დაესწრო ღონისძიებებს. მეორეს მხრივ, შეგვიძლია შევაჯამოთ იმ ადამიანების რაოდენობა, ვინც თეატრში, კინოში და ცირკში იმყოფებოდა: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10s)+(6s)+(4s)+x = 34 აქედან გამომდინარეობს, რომ სამივე ღონისძიებას მხოლოდ ერთი ადამიანი ესწრებოდა.

ამრიგად, ეილერის წრეები (ეილერ-ვენის დიაგრამები) პოულობენ პრაქტიკულ გამოყენებას პრობლემების გადაჭრისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისა და სახელმწიფო გამოცდის ფორმატში და მნიშვნელოვანი ლოგიკური ამოცანების გადაჭრაში.

ლიტერატურა

1. V.Yu. ლისკოვა, ე.ა. რაკიტინა. ლოგიკა კომპიუტერულ მეცნიერებაში. მ.: ინფორმატიკა და განათლება, 2006. 155 გვ.
2. ლ.ლ. ბოსოვა. კომპიუტერების არითმეტიკული და ლოგიკური საფუძვლები. მ.: ინფორმატიკა და განათლება, 2000. 207 გვ.
3. ლ.ლ. ბოსოვა, ა.იუ. ბოსოვა. სახელმძღვანელო. კომპიუტერული მეცნიერება და ICT მე-8 კლასისთვის: BINOM. ცოდნის ლაბორატორია, 2012. 220 გვ.
4. ლ.ლ. ბოსოვა, ა.იუ. ბოსოვა. სახელმძღვანელო. კომპიუტერული მეცნიერება და ICT მე-9 კლასისთვის: BINOM. ცოდნის ლაბორატორია, 2012. 244 გვ.
5. FIPI საიტი: http://www.fipi.ru/

Ვენის დიაგრამა.ეს ტექნიკა პირველად აღწერა ინგლისელმა მეცნიერმა ჯონ ვენმა წიგნში "სიმბოლური ლოგიკა". ეს არის გრაფიკული მეთოდი, რომელიც გამოიყენება, როდესაც საჭიროა ორი ან მეტი ცნების, ფენომენის, მეთოდის, ობიექტის შედარება. „ვენის რგოლები“ ​​გვეხმარება ორ ან მეტ ფენომენში საერთო ნიშნების იდენტიფიცირებაში, განსხვავებების ხაზგასმა და ცოდნის განზოგადებაში მოცემულ თემაზე.

როგორ გამოვიყენოთ ვენის დიაგრამის ტექნიკა

1. გაკვეთილის მსვლელობისას გამოვლინდება ორი ან მეტი ცნება, ტერმინი, ფენომენი, რომლებიც შესადარებლად საჭიროებს.

მაგალითად, მათემატიკის გაკვეთილზე შეგიძლიათ შეადაროთ სხვადასხვა გეომეტრიული ფორმის ცნებები - კვადრატი, რომბი, ტრაპეცია. ლიტერატურის გაკვეთილზე - ნაწარმოების გმირები. მაგალითად, შექმენით ვენის დიაგრამა, რომელიც ადარებს როსტოვის ოჯახის წევრებს რომანში ომი და მშვიდობა. სოციალური კვლევების გაკვეთილზე თემაზე „განმანათლებლობის მოაზროვნეები“ შეგიძლიათ შეადაროთ სხვადასხვა მოაზროვნის იდეები, გამოავლინოთ საერთო და უნიკალური იდეები თითოეულისთვის.

2. მოსწავლეები ხატავენ რგოლებს და ავსებენ უჯრებს.

3. გააზრების (მასალის კონსოლიდაციის) ეტაპზე ხდება შედგენილი სქემების განხილვა (წყვილებში, ჯგუფურად).

თითოეული გაკვეთილისთვის შეგიძლიათ აირჩიოთ რგოლების საჭირო რაოდენობა - შედარებული ცნებებისა და ობიექტების რაოდენობის მიხედვით.

შეიძლება გამოყენებულ იქნას რამდენიმე ტექსტთან მუშაობისთვის, სხვადასხვა ადამიანის თვალსაზრისის შედარება ერთსა და იმავე პრობლემაზე, მათში საერთო და განსხვავებული ნივთების პოვნა.

ვენის დიაგრამის სწრაფად შესავსებად, ჩვენ შეგვიძლია გირჩიოთ ინსტრუმენტი.

ნაკრების უკეთ ვიზუალიზაციისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნახაზი, სახელწოდებით Euler_Venn-ის დიაგრამა, ეს არის დახურული ხაზი, რომლის შიგნით არის მოცემული ნაკრების ელემენტები, ხოლო გარედან - ელემენტები, რომლებიც არ მიეკუთვნება კომპლექტს.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

პრეზენტაციის გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში და შედით მასში: https://accounts.google.com

სლაიდის წარწერები:

ვენის დიაგრამა ნიშნები ∈ და ∉ 3 კლასი მათემატიკა პეტერსონი ლ.გ.

ნებისმიერი ნაკრები A შეიძლება გრაფიკულად იყოს გამოსახული, როგორც დახურული ხაზი. ითვლება, რომ სიმრავლის ელემენტები (A) განლაგებულია ამ ხაზის შიგნით, ხოლო ყველა ელემენტი, რომელიც არ ეკუთვნის სიმრავლეს (A) არის გარეთ. ამ დიაგრამას ვენის დიაგრამა ეწოდება. a 2 m მაგალითად, B = ( 2, m, ) სიმრავლის დიაგრამა შეიძლება დახაზოთ ასე: B

ნიშნები ∈ და ∉ a 2 m წინადადება „რიცხვი 2 ეკუთვნის B სიმრავლეს“ შეიძლება უფრო მოკლედ დაიწეროს: 2 ∈ B. ნიშანი ∈ იკითხება: „ეკუთვნის“ წინადადება „ასო a არ ეკუთვნის B სიმრავლეს. ” ასევე შეიძლება დაიწეროს მოკლედ: a ∉ B. ნიშანი ∉ იკითხება: ”არ ეკუთვნის” B.

e 8 b A 4 ნახაზზე ნაჩვენებია A სიმრავლის დიაგრამა. რომელი ელემენტები მიეკუთვნება A სიმრავლეს და რომელი არა? b … A e … A … A 8 … A 4 … A … A ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ ხელახლა წაიკითხეთ მიღებული შენიშვნები.

მონიშნე ელემენტები, d, 10, 5 C სიმრავლის დიაგრამაზე, თუ ცნობილია, რომ: ∈ C ∉ C C d ∉ C 10 ∈ C ∈ C 5 ∉ C d 10 5

არის კომპლექტი M = (a, b, c, ). რომელი ნიშანი დავდო: ∈ თუ ∉? a … M … M c … M … M … M 8 … M ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉

D არის ორნიშნა რიცხვების ნაკრები. რიცხვები 26, 307, 8, 940, 15, 60 D სიმრავლის ელემენტებია? 26 … D 8 … D 15 … D 307 … D 940 … D 60 … D ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ავღნიშნოთ ეს რიცხვები დიაგრამაზე. 26 307 8 940 15 60 დაასახელეთ სიმრავლის უმცირესი და უდიდესი რიცხვი D. D = ( 10 , …, …, … 99)

A არის ბევრი პეპელა, ხოლო B არის ბევრი ვარდი. როგორ ავაშენოთ A და B კომპლექტების დიაგრამები? რამდენი პეპელა ეკუთვნის A სიმრავლეს? რამდენი ვარდი ეკუთვნის B კომპლექტს? რამდენი საერთო ელემენტი აქვს A და B სიმრავლეს საერთო?

საშინაო დავალება. გვერდი 12 No11, 12

განათლების ფედერალური სააგენტო

უმაღლესი პროფესიული განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება

ეროვნული კვლევა

ტომსკის პოლიტექნიკური უნივერსიტეტი

ბუნებრივი რესურსების ინსტიტუტი

VM დეპარტამენტი

ᲐᲑᲡᲢᲠᲐᲥᲢᲣᲚᲘ

საგანი : « ეილერ-ვენის დიაგრამა»

შემსრულებელი:

2U00 ჯგუფის მოსწავლე

ხელმძღვანელი:

შესავალი…………………………………………………………………………………..3

1. ისტორიიდან…………………………………………………………………………………..…..4

2. ეილერ-ვენის დიაგრამა……………………………………………………………………..4

3. ოპერაციები ეილერ-ვენის დიაგრამების კომპლექტებზე…………………….5

ა) ასოციაცია………………………………………………………………………….. 7

ბ) კვეთა, მიმატება………………………………………………………..7

გ) პირსის ისარი, შეფერის დარტყმა და სხვაობა...................................8

დ) განსხვავება…………………………………………………………………………

ე) სიმეტრიული სხვაობა და ეკვივალენტობა………………………….9

დასკვნა……………………………………………………………………………………10

გამოყენებული ლიტერატურა…………………………………………………………………..11

შესავალი

ეილერის წრეები არის გეომეტრიული დიაგრამა, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ვიზუალური წარმოდგენისთვის ქვეჯგუფებს შორის ურთიერთობების გამოსასახად. წრეები გამოიგონა ლეონჰარდ ეილერმა. გამოიყენება მათემატიკაში, ლოგიკაში, მენეჯმენტში და სხვა გამოყენებით სფეროებში.

ეილერის წრეების მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული შემთხვევაა ეილერ-ვენის დიაგრამები, რომლებიც ასახავს n თვისებების ყველა 2n კომბინაციას, ანუ სასრულ ლოგიკურ ალგებრას. როდესაც n = 3, ეილერ-ვენის დიაგრამა ჩვეულებრივ გამოსახულია სამ წრედ, ცენტრებით ტოლგვერდა სამკუთხედის წვეროებზე და იგივე რადიუსით, დაახლოებით სამკუთხედის გვერდის სიგრძის ტოლი.

რიგი პრობლემების გადაჭრისას ლეონჰარდ ეილერმა გამოიყენა წრეების გამოყენებით ნაკრების წარმოდგენის იდეა. თუმცა ეს მეთოდი ეილერამდეც გამოიყენა გამოჩენილმა გერმანელმა ფილოსოფოსმა და მათემატიკოსმა (1646-1716 წწ.). ლაიბნიცმა გამოიყენა ისინი ცნებებს შორის ლოგიკური კავშირების გეომეტრიული ინტერპრეტაციისთვის, მაგრამ მაინც ამჯობინა ხაზოვანი დიაგრამების გამოყენება.

მაგრამ თავად ლ.ეილერმა ეს მეთოდი საკმაოდ საფუძვლიანად შეიმუშავა. ეილერის წრის მეთოდი გამოიყენა გერმანელმა მათემატიკოსმა ერნსტ შროდერმა (1841-1902) თავის წიგნში „ლოგიკის ალგებრა“. გრაფიკულმა მეთოდებმა განსაკუთრებული აყვავება მიაღწია ინგლისელი ლოგიკოსის ჯონ ვენის (1843-1923) ნაშრომებში, რომელმაც ისინი დეტალურად აღწერა წიგნში "სიმბოლური ლოგიკა", რომელიც გამოქვეყნდა ლონდონში 1881 წელს. ამიტომ, ასეთ დიაგრამებს ზოგჯერ ეილერ-ვენის დიაგრამებს უწოდებენ.

1.ისტორიიდან

ლეონარდ ეილერი(1707 - 1783 , სანქტ-პეტერბურგი , რუსეთის იმპერია ) - მათემატიკოსი, მექანიკოსი, ფიზიკოსი. ფიზიოლოგიის თანაშემწე, ფიზიკის პროფესორი, უმაღლესი მათემატიკის პროფესორი, რომელმაც მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა მათემატიკის, ასევე მექანიკის, ფიზიკის, ასტრონომიისა და რიგი გამოყენებითი მეცნიერებების განვითარებაში.

ეილერი არის 800-ზე მეტი ნაშრომის ავტორი მათემატიკური ანალიზის, დიფერენციალური გეომეტრიის, რიცხვების თეორიის, სავარაუდო გამოთვლების, ციური მექანიკის, მათემატიკური ფიზიკის, ოპტიკის, ბალისტიკის, გემთმშენებლობის, მუსიკის თეორიის და ა.შ.

ცხოვრების თითქმის ნახევარი მან რუსეთში გაატარა, სადაც მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა რუსული მეცნიერების განვითარებაში. 1726 წელს სამუშაოდ მიიწვიეს პეტერბურგში, სადაც ერთი წლის შემდეგ გადავიდა საცხოვრებლად. 1711-1741 წლებში და ასევე 1766 წლიდან იყო პეტერბურგის მეცნიერებათა აკადემიის აკადემიკოსი (1741-1766 წლებში მუშაობდა ბერლინში, იმავდროულად დარჩა პეტერბურგის აკადემიის საპატიო წევრად). მან კარგად იცოდა რუსული ენა და რამდენიმე ნაშრომი (განსაკუთრებით სახელმძღვანელოები) რუსულად გამოსცა. ეილერის სტუდენტები იყვნენ პირველი რუსი აკადემიური მათემატიკოსები (S.K. Kotelnikov) და ასტრონომები (S.Ya. Rumovsky). მისი შთამომავლების ნაწილი ჯერ კიდევ რუსეთში ცხოვრობს.

ჯონ ვენი (1, ინგლისელი ლოგიკოსი. მუშაობდა კლასის ლოგიკის დარგში, სადაც შექმნა სპეციალური გრაფიკული აპარატი (ე.წ. ვენის დიაგრამები), რომელმაც გამოყენება ჰპოვა „ფორმალური ნერვული ქსელების“ ლოგიკურ-მათემატიკურ თეორიაში. ვენს ევალება. ჯ. ბულის ლოგიკურ გამოთვლებში შებრუნებული ოპერაციების დასაბუთება იყო ლოგიკა და მან გამოაქვეყნა სამი ნაშრომი ამ თემაზე: შანსის ლოგიკა, რომელმაც გააცნო ალბათობის სიხშირის ან სიხშირის თეორიის ინტერპრეტაცია. 1866, რომლითაც დაინერგა ვენის დიაგრამები 1889 წელს, ემპირიული ლოგიკა, რომელიც ამართლებს შებრუნებულ ოპერაციებს ბულის ლოგიკაში.

მათემატიკაში ნახატები წრეების სახით, რომლებიც წარმოადგენენ კომპლექტს, ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში გამოიყენებოდა. ერთ-ერთი პირველი, ვინც გამოიყენა ეს მეთოდი, იყო გამოჩენილი გერმანელი მათემატიკოსი და ფილოსოფოსი (1 ასეთი წრეების ნახატები იყო ნაპოვნი მის უხეშ ესკიზებში. შემდეგ ეს მეთოდი საკმაოდ საფუძვლიანად შეიმუშავა ლეონჰარდ ეილერმა. იგი მრავალი წლის განმავლობაში მუშაობდა პეტერბურგის აკადემიაში. მეცნიერებები ეს დრო თარიღდება მისი ცნობილი „წერილები გერმანიის პრინცესასთან“, რომელიც დაწერილია 1761-1768 წლებში. ზოგიერთ „წერილში...“ ეილერი საუბრობს მის მეთოდზე ჩეხი მათემატიკოსის ბერნარ ბოლცანოს მიერ (1 მხოლოდ ეილერისგან განსხვავებით, მან დახატა არა წრიული, არამედ მართკუთხა დიაგრამები. წრეების ეილერის მეთოდი ასევე გამოიყენა გერმანელმა მათემატიკოსმა ერნესტ შრედერმა (1 ეს მეთოდი ფართოდ გამოიყენება წიგნში "ლოგიკის ალგებრა". გრაფიკულმა მეთოდებმა მიაღწიეს უდიდეს აყვავებას ინგლისელი ლოგიკოსის ჯონ ვენის ნაშრომებში (1C ამ მეთოდმა მიაღწია უდიდეს სისრულეს, ეს მეთოდი გამოიკვეთა წიგნში "სიმბოლური ლოგიკა", რომელიც გამოქვეყნდა ლონდონში 1881 წელს. ეილერის წრეების ნაცვლად, შესაბამის ნახატებს ზოგჯერ ვენის დიაგრამებს უწოდებენ; ზოგიერთ წიგნში მათ ასევე უწოდებენ ეილერ-ვენის დიაგრამებს (ან წრეებს).

2. ეილერ-ვენის დიაგრამა

სიმრავლისა და ქვესიმრავლის ცნებები გამოიყენება მათემატიკაში მრავალი ცნების და, კერძოდ, გეომეტრიული ფიგურის განსაზღვრისას. მოდით განვსაზღვროთ თვითმფრინავი, როგორც უნივერსალური ნაკრები. შემდეგ შეგვიძლია მივცეთ გეომეტრიული ფიგურის შემდეგი განმარტება პლანიმეტრიაში:

გეომეტრიული ფიგურასიბრტყეზე ნებისმიერი წერტილის ნაკრები ეწოდება. იმისთვის, რომ ვიზუალურად აჩვენოთ კომპლექტები და მათ შორის ურთიერთობები, დახაზეთ გეომეტრიული ფიგურები, რომლებიც ამ მიმართებაშია ერთმანეთთან. კომპლექტების ასეთ გამოსახულებებს ეილერ-ვენის დიაგრამები ეწოდება. ეილერ-ვენის დიაგრამები ნათელს ხდის სხვადასხვა განცხადებებს კომპლექტების შესახებ. მათზე უნივერსალური ნაკრები გამოსახულია მართკუთხედის სახით, ხოლო მისი ქვესიმრავლეები წრეებად. გამოიყენება მათემატიკაში, ლოგიკაში, მენეჯმენტში და სხვა გამოყენებით სფეროებში.

ეილერ-ვენის დიაგრამა შედგება დიდი მართკუთხედისაგან, რომელიც წარმოადგენს უნივერსალურ კომპლექტს უდა მის შიგნით - წრეები (ან სხვა დახურული ფიგურები), რომლებიც წარმოადგენენ სიმრავლეს. ფიგურები უნდა იკვეთებოდეს პრობლემის მიერ მოთხოვნილი ყველაზე ზოგადი გზით და შესაბამისად უნდა იყოს მონიშნული. წერტილები, რომლებიც მდებარეობს დიაგრამის სხვადასხვა ზონაში, შეიძლება ჩაითვალოს შესაბამისი ნაკრების ელემენტებად. შედგენილი დიაგრამით, შეგიძლიათ დაჩრდილოთ გარკვეული ადგილები ახლად ჩამოყალიბებული ნაკრების მითითებისთვის.

ძირითადი ოპერაციები კომპლექტებზე:

კვეთის კავშირის განსხვავება

3.ოპერაციები ეილერ-ვენის დიაგრამების კომპლექტებზე

კომპლექტის ოპერაციები განიხილება არსებულიდან ახალი კომპლექტების მისაღებად.

	განმარტება. ასოციაციაკომპლექტები A და B არის კომპლექტი, რომელიც შედგება ყველა იმ ელემენტისგან, რომელიც ეკუთვნის მინიმუმ ერთს A, B სიმრავლეს (ნახ. 1):
	განმარტება. გადაკვეთითსიმრავლე A და B არის სიმრავლე, რომელიც შედგება ყველა იმ ელემენტებისგან, რომლებიც ერთდროულად მიეკუთვნება A და B სიმრავლეს (ნახ. 2):
	განმარტება . განსხვავებით A და B სიმრავლე არის A-ს ყველა იმ და მხოლოდ იმ ელემენტების სიმრავლე, რომელიც არ არის B-ში (ნახ. 3):
	განმარტება. სიმეტრიული განსხვავებასიმრავლეები A და B არის ამ სიმრავლეების ელემენტების ნაკრები, რომელიც ეკუთვნის ან მხოლოდ A სიმრავლეს ან მხოლოდ B სიმრავლეს (ნახ. 4):
	განმარტება. აბსოლუტური დამატებანაკრები A არის ყველა იმ ელემენტის სიმრავლე, რომელიც არ მიეკუთვნება A სიმრავლეს (ნახ. 5):

ახლა უფრო დეტალურად მაგალითებით.

მიეცით ობიექტების გარკვეული ნაკრები, რომელიც ხელახალი გამოთვლის შემდეგ შეიძლება აღინიშნოს როგორც

A = (1, 2, 4, 6) და B = (2, 3, 4, 8, 9)

მრგვალი და თეთრი საგნები. შეგიძლიათ დარეკოთ ორიგინალური ნაკრები ფუნდამენტურიდა A და B ქვესიმრავლეები უბრალოდ კომპლექტი.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ელემენტების ოთხ კლასს:

C 0 = (5, 7, 10, 11) - ელემენტებს არ გააჩნიათ რომელიმე დასახელებული თვისება,

C 1 = (1, 6) - ელემენტებს აქვთ მხოლოდ თვისება A (მრგვალი),

C 2 = (3, 8, 9) - ელემენტებს აქვთ მხოლოდ B თვისება (თეთრი),

C 3 = (2, 4) - ელემენტებს ერთდროულად აქვთ ორი თვისება A და B.

ნახ. 1.1. მითითებული კლასები გამოსახულია გამოყენებით ეილერი - ვენის დიაგრამები.

ბრინჯი. 1.1

ხშირად დიაგრამებს არ აქვთ სრული ზოგადიობა, მაგალითად, ნახ. 1.2. მასზე A სიმრავლე უკვე მთლიანად შედის B-ში. ამ შემთხვევაში გამოიყენება სპეციალური ჩართვის სიმბოლო (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6) .

თუ ორი პირობა ერთდროულად დაკმაყოფილებულია: A Ì B და B Ì A, მაშინ A = B, ამ შემთხვევაში ისინი ამბობენ, რომ A და B სიმრავლეები სრულიად ექვივალენტი.

ბრინჯი. 1.2

ელემენტების ოთხი კლასის განსაზღვრის და ეილერ-ვენის დიაგრამების შესახებ საჭირო ინფორმაციის მიწოდების შემდეგ, ჩვენ წარმოგიდგენთ ოპერაციებს სიმრავლეებზე. პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ ოპერაცია ასოციაციები.

ა) ასოციაცია

ასოციაციაკომპლექტები A = (1, 2, 4, 6) და B = (2, 3, 4, 8, 9)

მოვუწოდებთ კომპლექტს

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

სადაც È არის სიმრავლეების გაერთიანების სიმბოლო. ამრიგად, კავშირი მოიცავს ელემენტების სამ კლასს - C 1, C 2 და C 3, რომლებიც დაჩრდილულია დიაგრამაზე (ნახ. 1.3).

ლოგიკურად, ორი კომპლექტის გაერთიანების ოპერაცია შეიძლება დახასიათდეს სიტყვებით: ელემენტი xმიეკუთვნება A ან B სიმრავლეს. უფრო მეტიც, შემაერთებელი „ან“ ერთდროულად ნიშნავს „და“-ს. ელემენტის საკუთრების ფაქტი xნაკრები A აღინიშნება როგორც xО A. მაშასადამე, რა xეკუთვნის ა ან/და B, გამოხატული ფორმულით:

xÎ A È B = ( xÎ A) Ú ( xО B),

სადაც Ú არის სიმბოლო ლოგიკური შემაერთებელი ან, რომელსაც ე.წ დისუნქცია.

ბ) კვეთა, დამატება

გადაკვეთით A და B სიმრავლეს ეწოდება A Ç B სიმრავლე, რომელიც შეიცავს A და B ელემენტებს, რომლებიც ერთდროულად შედის ორივე სიმრავლეში. ჩვენი რიცხვითი მაგალითისთვის გვექნება:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = C 3.

ეილერ-ვენის დიაგრამა კვეთაზე ნაჩვენებია ნახ. 1.4.

Რა xმიეკუთვნება ერთდროულად ორ კომპლექტს A და B შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გამოსახულებით:

xÎ A Ç B = ( xÎ A) Ù ( xО B),

სადაც Ù არის სიმბოლო ლოგიკური შემაერთებელი „და“, რომელსაც ე.წ შეერთება.

წარმოვიდგინოთ ოპერაცია, რომლის შედეგია დაჩრდილული ადგილები C 1 და C 3, აყალიბებს კომპლექტს (ნახ. 1.5). შემდეგ კიდევ ერთი ოპერაცია, რომელიც მოიცავს ორ სხვა სფეროს - C 0 და C 2 არ შედის A-ში, რომელიც აღინიშნება როგორც ა(ნახ. 1.6).

ბრინჯი. 1.5

ბრინჯი. 1.6

თუ ორივე დიაგრამაზე დაჩრდილულ უბნებს გავაერთიანებთ, მივიღებთ მთელ დაჩრდილულ კომპლექტს 1; A-ს კვეთა და ამისცემს ცარიელ კომპლექტს 0, რომელიც არ შეიცავს ერთ ელემენტს:

A È ა= 1, A Ç ა = 0.

Რამოდენიმე ა ავსებსდააყენეთ A ფუნდამენტური სიმრავლე V (ან 1); აქედან გამომდინარე სახელი: დამატებითიკომპლექტი A, ან დამატებაროგორც ოპერაცია. ლოგიკური ცვლადი კომპლემენტი x, ე.ი. x (არა - x), ეძახიან ყველაზე ხშირად x-ის უარყოფა.

გადაკვეთისა და მიმატების ოპერაციების შემოღების შემდეგ ოთხივე ზონა ციეილერ-ვენის დიაგრამა შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

C 0 = ა Ç ბ, C 1 = A Ç ბ, C 2 = აÇ B, C 3 = A Ç B.

შესაბამისი სფეროების გაერთიანებით ცითქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ ნებისმიერი მრავალჯერადი ოპერაცია, მათ შორის თავად კავშირი:

A È B = (A Ç ბ) È ( აÇ B) È (A Ç B).

ეილერ-ვენის დიაგრამა იმპლიკაციისთვის (ნახ. 1.10) გვიჩვენებს ნაწილობრივი A სიმრავლის ჩართვა B სიმრავლეში, რომელიც უნდა გამოირჩეოდეს სავსეჩანართები (ნახ. 1.2).

თუ მითითებულია, რომ "A სიმრავლის ელემენტები შედის B სიმრავლეში", მაშინ დომენი C 3 უნდა იყოს დაჩრდილული და ტერიტორია C 1 იგივე აუცილებლობით უნდა დარჩეს თეთრი. სფეროებს რაც შეეხება C 0 და C 1 მდებარეობს ქ ა, გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ არ გვაქვს უფლება დავტოვოთ ისინი თეთრად, მაგრამ მაინც ვალდებულნი ვართ იმ ტერიტორიებზე, რომლებიც მოხვდება ა, ჩრდილი.

ე) სიმეტრიული სხვაობა და ეკვივალენტობა

რჩება კიდევ ორი ​​ურთიერთშემავსებელი ოპერაციის მიცემა - სიმეტრიული სხვაობა და ეკვივალენტობა. ორი A და B ნაკრების სიმეტრიული სხვაობა არის ორი განსხვავების გაერთიანება:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

ეკვივალენტობა განისაზღვრება A და B სიმრავლეების იმ ელემენტებით, რომლებიც მათთვის საერთოა. თუმცა, ელემენტები, რომლებიც არ არის არც A და არც B, ასევე განიხილება ექვივალენტად:

A ~ B = ( აÇ B) È (A Ç ბ) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

ნახ. ნახაზები 1.11 და 1.12 გვიჩვენებს ეილერ-ვენის დიაგრამების დაჩრდილვას.

ბრინჯი. 1.11

ბრინჯი. 1.12

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ სიმეტრიულ განსხვავებას რამდენიმე სახელი აქვს: მკაცრი განცალკევება, გამომრიცხავი ალტერნატივა, ჯამი მოდული ორი. ეს ოპერაცია შეიძლება გამოითქვას სიტყვებით - "ან A ან B", ანუ ეს არის ლოგიკური შემაერთებელი "ან", მაგრამ მასში შემაერთებელი "და" გარეშე.

დასკვნა

ეილერ-ვენის დიაგრამები არის სიმრავლეების გეომეტრიული გამოსახულებები. მარტივი დიაგრამა უზრუნველყოფს უნივერსალური ნაკრების ვიზუალურ წარმოდგენას უდა მის შიგნით - წრეები (ან სხვა დახურული ფიგურები), რომლებიც წარმოადგენენ სიმრავლეს. ფიგურები იკვეთება პრობლემაში მოთხოვნილ ყველაზე ზოგად შემთხვევაში და შეესაბამება ფიგურულ გამოსახულებას. წერტილები, რომლებიც მდებარეობს დიაგრამის სხვადასხვა ზონაში, შეიძლება ჩაითვალოს შესაბამისი ნაკრების ელემენტებად. შედგენილი დიაგრამით, შეგიძლიათ დაჩრდილოთ გარკვეული ადგილები ახლად ჩამოყალიბებული ნაკრების მითითებისთვის. ეს საშუალებას გვაძლევს ყველაზე სრულყოფილი გაგება გვქონდეს პრობლემისა და მისი გადაჭრის შესახებ. ეილერ-ვენის დიაგრამების სიმარტივე საშუალებას აძლევს ამ ტექნიკის გამოყენებას ისეთ სფეროებში, როგორიცაა მათემატიკა, ლოგიკა, მენეჯმენტი და სხვა გამოყენებითი სფეროები.

ბიბლიოგრაფია

1. ლოგიკის ლექსიკონი. - მ.: თუმანით, რედ. VLADOS ცენტრი. , . 1997 წ

2. Weisstein, Eric W. “Venn Diagram” (ინგლისური) Wolfram MathWorld-ის ვებსაიტზე.

Wikispace დაარსდა 2005 წელს და მას შემდეგ გამოიყენეს პედაგოგები, კომპანიები და კერძო პირები მთელს მსოფლიოში.

სამწუხაროდ, დადგა დრო, როდესაც ჩვენ მოგვიწია რთული საქმიანი გადაწყვეტილების მიღება Wikispace-ის სერვისის დასრულების შესახებ.

ჩვენ პირველად გამოვაცხადეთ საიტის დახურვის შესახებ 2018 წლის იანვარში, საიტის მასშტაბით ბანერის მეშვეობით, რომელიც გამოჩნდა ყველა სისტემაში შესული მომხმარებლისთვის და საჭირო იყო დაწკაპუნებაზე დახურვის მიზნით.

დახურვის პერიოდში მომხმარებლებს აჩვენეს ბანერების მთელი რიგი, მათ შორის ბოლო თვეში ჩათვლილი ბანერი. გარდა ამისა, Wikispaces.com-ის მთავარი გვერდი გახდა ბლოგი, სადაც დეტალურად არის აღწერილი დახურვის მიზეზები. Private Label საიტის ადმინისტრატორებს ცალკე დაუკავშირდნენ დახურვის შესახებ

ვიკის სივრცეების დონე	დახურვის თარიღი
საკლასო ოთახი და უფასო ვიკის სერვისის დასასრული	2018 წლის 31 ივლისი
Plus და Super Wikis მომსახურების დასასრული	2018 წლის 30 სექტემბერი
Private Label Wikis მომსახურების დასასრული	2019 წლის 31 იანვარი

რატომ დაიხურა ვიკისივრცე?

დაახლოებით 18 თვის წინ, ჩვენ დავასრულეთ ინფრასტრუქტურისა და პროგრამული უზრუნველყოფის ტექნიკური მიმოხილვა, რომელსაც ვიყენებდით Wikispaces-ის მომხმარებლებს. მიმოხილვის ფარგლებში, ცხადი გახდა, რომ საჭირო ინვესტიცია ინფრასტრუქტურისა და კოდის თანამედროვე სტანდარტებთან შესაბამისობაში მოსაყვანად იყო ძალიან მნიშვნელოვანი. ჩვენ გამოვიკვლიეთ ყველა შესაძლო ვარიანტი Wikispace-ის მუშაობის შესანარჩუნებლად, მაგრამ უნდა დავასკვნათ, რომ აღარ იყო შესაძლებელი სერვისის გრძელვადიან პერსპექტივაში გაშვება. ასე რომ, სამწუხაროდ, ჩვენ მოგვიწია საიტის დახურვა - მაგრამ ჩვენ შეგვაწუხა მომხმარებელთა შეტყობინებები მთელი მსოფლიოს მასშტაბით, რომლებმაც დაიწყეს ვიკის შექმნა და ახლა მათი გაშვება ახალ პლატფორმებზე.

გვინდა ვისარგებლოთ შემთხვევით და მადლობა გადაგიხადოთ წლების განმავლობაში მხარდაჭერისთვის.