ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა დეტალური ამონახსნებით. ექსპონენციალური განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „ექსპონენციალური განტოლებები და ექსპონენციალური უტოლობა“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ინტეგრალის ონლაინ მაღაზიაში მე-11 კლასისთვის
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 9-11 კლასებისთვის "ტრიგონომეტრია"
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 10-11 კლასებისთვის "ლოგარითმები"

ექსპონენციალური განტოლებების განმარტება

ბიჭებო, ჩვენ შევისწავლეთ ექსპონენციალური ფუნქციები, ვისწავლეთ მათი თვისებები და ავაშენეთ გრაფიკები, გავაანალიზეთ განტოლებების მაგალითები, რომლებშიც აღმოჩნდა ექსპონენციალური ფუნქციები. დღეს ჩვენ შევისწავლით ექსპონენციალურ განტოლებებსა და უტოლობას.

განმარტება. ფორმის განტოლებები: $a^(f(x))=a^(g(x))$, სადაც $a>0$, $a≠1$ ეწოდება ექსპონენციალურ განტოლებებს.

გავიხსენოთ თეორემები, რომლებიც შევისწავლეთ თემაზე „ექსპონენციალური ფუნქცია“, შეგვიძლია შემოვიტანოთ ახალი თეორემა:
თეორემა. ექსპონენციალური განტოლება $a^(f(x))=a^(g(x))$, სადაც $a>0$, $a≠1$ უდრის $f(x)=g(x) განტოლებას. $.

ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები

მაგალითი.
განტოლებების ამოხსნა:
ა) $3^(3x-3)=27$.
ბ) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
გ) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
გამოსავალი.
ა) ჩვენ კარგად ვიცით, რომ $27=3^3$.
მოდით გადავწეროთ ჩვენი განტოლება: $3^(3x-3)=3^3$.
ზემოთ მოყვანილი თეორემის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ ჩვენი განტოლება მცირდება $3x-3=3$ განტოლებამდე, მივიღებთ $x=2$;
პასუხი: $x=2$.

ბ) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
მაშინ ჩვენი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
პასუხი: $x=0$.

გ) თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ და $x_2=-3$.
პასუხი: $x_1=6$ და $x_2=-3$.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
გამოსავალი:
მოდით შევასრულოთ მოქმედებების სერია თანმიმდევრულად და მივიყვანოთ ჩვენი განტოლების ორივე მხარე იმავე ფუძემდე.
მოდით შევასრულოთ რამდენიმე ოპერაცია მარცხენა მხარეს:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
მოდით გადავიდეთ მარჯვენა მხარეს:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
პასუხი: $x=0$.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
გამოსავალი:
მოდით გადავიწეროთ ჩვენი განტოლება: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
მოდით შევცვალოთ ცვლადები, მოდით $a=3^x$.
ახალ ცვლადებში განტოლება მიიღებს ფორმას: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ და $a_2=3$.
მოდით შევასრულოთ ცვლადების საპირისპირო ცვლილება: $3^x=-12$ და $3^x=3$.
ბოლო გაკვეთილზე ვისწავლეთ, რომ ექსპონენციალურ გამონათქვამებს შეუძლიათ მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობების მიღება, დაიმახსოვრე გრაფიკი. ეს ნიშნავს, რომ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, მეორე განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი: $x=1$.
პასუხი: $x=1$.

მოდით შევახსენოთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები:
1. გრაფიკული მეთოდი.განტოლების ორივე მხარეს წარმოვადგენთ ფუნქციების სახით და ვაშენებთ მათ გრაფიკებს, ვპოულობთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილებს. (ეს მეთოდი გამოვიყენეთ ბოლო გაკვეთილზე).
2. ინდიკატორთა თანასწორობის პრინციპი.პრინციპი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ ერთი და იგივე ფუძის მქონე ორი გამონათქვამი ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ფუძეების გრადუსები (ექსპონენტები) ტოლია. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი.ეს მეთოდი უნდა იქნას გამოყენებული, თუ განტოლება, ცვლადების ჩანაცვლებისას, ამარტივებს მის ფორმას და ბევრად უფრო ადვილად ამოხსნის.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლებათა სისტემა: $\begin (შემთხვევები) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \დასრულება (შემთხვევები)$.
გამოსავალი.
განვიხილოთ სისტემის ორივე განტოლება ცალ-ცალკე:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
განვიხილოთ მეორე განტოლება:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
გამოვიყენოთ ცვლადების შეცვლის მეთოდი, მოდით $y=2^(x+y)$.
შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ და $y_2=-3$.
გადავიდეთ საწყის ცვლადებზე, პირველი განტოლებიდან მივიღებთ $x+y=2$. მეორე განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. მაშინ ჩვენი განტოლებათა საწყისი სისტემა ექვივალენტურია სისტემის: $\begin (შემთხვევები) x+3y=0, \\ x+y=2. \დასრულება (შემთხვევები)$.
გამოვაკლოთ მეორე პირველ განტოლებას, მივიღებთ: $\begin (შემთხვევები) 2y=-2, \\ x+y=2. \დასრულება (შემთხვევები)$.
$\ დასაწყისი (შემთხვევები) y=-1, \\ x=3. \დასრულება (შემთხვევები)$.
პასუხი: $(3;-1)$.

ექსპონენციური უტოლობები

მოდით გადავიდეთ უთანასწორობაზე. უტოლობების ამოხსნისას საჭიროა ყურადღება მიაქციოთ ხარისხის საფუძველს. უტოლობების ამოხსნისას მოვლენების განვითარების ორი შესაძლო სცენარი არსებობს.

თეორემა. თუ $a>1$, მაშინ ექსპონენციალური უტოლობა $a^(f(x))>a^(g(x))$ უდრის $f(x)>g(x)$ უტოლობას.
თუ $0 a^(g(x))$ უდრის $f(x) უტოლობას

მაგალითი.
უტოლობების ამოხსნა:
ა) $3^(2x+3)>81$.
ბ) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) გ) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
გამოსავალი.
ა) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
ჩვენი უტოლობა უდრის უთანასწორობას:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.

ბ) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) ჩვენს განტოლებაში ფუძეა, როდესაც ხარისხი არის 1-ზე ნაკლები, მაშინ უტოლობის ეკვივალენტით ჩანაცვლებისას აუცილებელია ნიშნის შეცვლა.
$2x-4>2$.
$x>3$.

გ) ჩვენი უტოლობა უდრის უტოლობას:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალის ამოხსნის მეთოდი:
პასუხი: $(-∞;-5]U)