როგორ წყდება ხაზოვანი სისტემები. წრფივი განტოლებები

ჩვენ გავაგრძელებთ ჩვენი ტექნოლოგიის გაპრიალებას ელემენტარული გარდაქმნები on წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა.
პირველი აბზაცებიდან გამომდინარე, მასალა შეიძლება მოსაწყენი და უღიმღამო ჩანდეს, მაგრამ ეს შთაბეჭდილება მატყუარაა. ტექნიკის შემდგომი განვითარების გარდა, იქნება ბევრი ახალი ინფორმაცია, ამიტომ გთხოვთ, ეცადეთ, უგულებელყოთ ამ სტატიაში მოცემული მაგალითები.

რა არის წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა?

პასუხი თავისთავად გვთავაზობს. წრფივი განტოლებათა სისტემა ერთგვაროვანია, თუ თავისუფალი წევრია ყველასსისტემის განტოლება არის ნული. Მაგალითად:

აბსოლუტურად გასაგებია, რომ ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ანუ ყოველთვის აქვს გამოსავალი. და, უპირველეს ყოვლისა, რაც თქვენს თვალშია ე.წ ტრივიალურიგამოსავალი . ტრივიალური, მათთვის, ვისაც საერთოდ არ ესმის ზედსართავი სახელის მნიშვნელობა, ნიშნავს ჩვენების გარეშე. არა აკადემიურად, რა თქმა უნდა, მაგრამ გასაგებად =) ...რატომ სცემეს ბუჩქის გარშემო, მოდით გავარკვიოთ აქვს თუ არა ამ სისტემას სხვა გადაწყვეტილებები:

მაგალითი 1

გამოსავალი: ერთგვაროვანი სისტემის ამოსახსნელად საჭიროა ჩაწერა სისტემის მატრიცადა ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით მიიყვანეთ იგი ეტაპობრივ ფორმამდე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ აქ არ არის საჭირო ვერტიკალური ზოლის და უფასო ტერმინების ნულოვანი სვეტის ჩაწერა - ბოლოს და ბოლოს, რაც არ უნდა გააკეთოთ ნულები, ისინი ნულები დარჩებიან:

(1) პირველი სტრიქონი დაემატა მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი სტრიქონი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული –3-ზე.

(2) მესამე სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული –1-ზე.

მესამე ხაზის 3-ზე გაყოფას დიდი აზრი არ აქვს.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიიღება ეკვივალენტური ერთგვაროვანი სისტემა და, გაუსის მეთოდის ინვერსიის გამოყენებით, ადვილია გადაამოწმო, რომ გამოსავალი უნიკალურია.

უპასუხე:

მოდით ჩამოვაყალიბოთ აშკარა კრიტერიუმი: წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა აქვს უბრალოდ ტრივიალური გამოსავალი, თუ სისტემის მატრიცის რანგი(ამ შემთხვევაში 3) უდრის ცვლადების რაოდენობას (ამ შემთხვევაში – 3 ცალი).

მოდით გავათბოთ და გავაერთიანოთ ჩვენი რადიო ელემენტარული გარდაქმნების ტალღაზე:

მაგალითი 2

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა

ალგორითმის საბოლოოდ გასამყარებლად, მოდით გავაანალიზოთ საბოლოო დავალება:

მაგალითი 7

ამოხსენით ერთგვაროვანი სისტემა, დაწერეთ პასუხი ვექტორული სახით.

გამოსავალი: ჩამოვწეროთ სისტემის მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ ის ეტაპობრივ ფორმამდე:

(1) პირველი ხაზის ნიშანი შეიცვალა. კიდევ ერთხელ ვამახვილებ ყურადღებას ტექნიკაზე, რომელიც არაერთხელ შეგვხვედრია, რაც საშუალებას გაძლევთ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ შემდეგი მოქმედება.

(1) პირველი სტრიქონი დაემატა მე-2 და მე-3 სტრიქონებს. პირველი სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე, დაემატა მე-4 სტრიქონს.

(3) ბოლო სამი ხაზი პროპორციულია, აქედან ორი ამოღებულია.

შედეგად, მიიღება სტანდარტული საფეხურის მატრიცა და გამოსავალი გრძელდება დახრილი ბილიკის გასწვრივ:

– ძირითადი ცვლადები;
- უფასო ცვლადები.

მოდით გამოვხატოთ ძირითადი ცვლადები თავისუფალი ცვლადების თვალსაზრისით. მე-2 განტოლებიდან:

- ჩაანაცვლეთ 1 განტოლებაში:

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის:

ვინაიდან განხილულ მაგალითში სამი თავისუფალი ცვლადია, ფუნდამენტური სისტემა შეიცავს სამ ვექტორს.

მოდით შევცვალოთ მნიშვნელობების სამმაგი ზოგად ამოხსნაში და მიიღეთ ვექტორი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს ერთგვაროვანი სისტემის თითოეულ განტოლებას. და კიდევ ვიმეორებ, რომ მიზანშეწონილია შეამოწმოთ თითოეული მიღებული ვექტორი - ამას დიდი დრო არ დასჭირდება, მაგრამ მთლიანად დაგიცავთ შეცდომებისგან.

ღირებულებების სამმაგისთვის იპოვნეთ ვექტორი

და ბოლოს სამისთვის ვიღებთ მესამე ვექტორს:

უპასუხე: , სად

მათ, ვისაც სურს წილადური მნიშვნელობების თავიდან აცილება, შეიძლება განიხილოს სამეული და მიიღეთ პასუხი ექვივალენტური ფორმით:

წილადებზე საუბარი. გადავხედოთ ამოცანაში მიღებულ მატრიცას და მოდით ვკითხოთ საკუთარ თავს: შესაძლებელია თუ არა შემდგომი გადაწყვეტის გამარტივება? აქ ხომ ჯერ ძირითადი ცვლადი გამოვხატეთ წილადების საშუალებით, შემდეგ წილადების მეშვეობით ძირითადი ცვლადი და, უნდა ითქვას, რომ ეს პროცესი არც უმარტივესი და არც სასიამოვნო იყო.

მეორე გამოსავალი:

იდეა არის ცდა აირჩიეთ სხვა საბაზისო ცვლადები. მოდით შევხედოთ მატრიცას და შევამჩნიოთ ორი ერთი მესამე სვეტში. მაშ, რატომ არ არის ნული ზედა? განვახორციელოთ კიდევ ერთი ელემენტარული ტრანსფორმაცია:

მოდით გავაანალიზოთ განტოლებების სისტემების ამონახსნის ორი ტიპი:

1. სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით.
2. სისტემის ამოხსნა სისტემური განტოლებების ტერმინით ვადით შეკრებით (გამოკლებით).

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიზნით ჩანაცვლების მეთოდითთქვენ უნდა შეასრულოთ მარტივი ალგორითმი:
1. ექსპრესი. ნებისმიერი განტოლებიდან გამოვხატავთ ერთ ცვლადს.
2. შემცვლელი. ჩვენ ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას გამოხატული ცვლადის ნაცვლად სხვა განტოლებაში.
3. ამოხსენით მიღებული განტოლება ერთი ცვლადით. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

Გადაწყვეტა სისტემა ტერმინით შეკრების (გამოკლების) მეთოდითსაჭიროა:
1. აირჩიეთ ცვლადი, რომლისთვისაც ერთნაირ კოეფიციენტებს გავაკეთებთ.
2. ვამატებთ ან ვაკლებთ განტოლებებს, რის შედეგადაც ვიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით.
3. ამოხსენით მიღებული წრფივი განტოლება. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

სისტემის გამოსავალი არის ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.

მოდით დეტალურად განვიხილოთ სისტემების გადაწყვეტა მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი #1:

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

2x+5y=1 (1 განტოლება)
x-10y=3 (მე-2 განტოლება)

1. ექსპრესი
ჩანს, რომ მეორე განტოლებაში არის x ცვლადი კოეფიციენტით 1, რაც ნიშნავს, რომ ყველაზე ადვილია x ცვლადის გამოხატვა მეორე განტოლებიდან.
x=3+10y

2. მას შემდეგ რაც გამოვხატავთ, x ცვლადის ნაცვლად პირველ განტოლებაში ვცვლით 3+10y.
2(3+10y)+5y=1

3. ამოხსენით მიღებული განტოლება ერთი ცვლადით.
2(3+10y)+5y=1 (გახსენით ფრჩხილები)
6+20წ+5წ=1
25წ=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

განტოლების სისტემის ამოხსნა არის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები, ამიტომ უნდა ვიპოვოთ x და y, რადგან გადაკვეთის წერტილი შედგება x და y-ისგან, ვიპოვოთ x, პირველ წერტილში, სადაც გამოვხატეთ, შევცვალოთ y.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

ჩვეულებრივ, ქულების ჩაწერა პირველ რიგში ვწერთ ცვლადს x, ხოლო მეორე ადგილზე ცვლადს y.
პასუხი: (1; -0.2)

მაგალითი #2:

მოდი ამოვხსნათ ვადით-გამოკლების მეთოდით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით

3x-2y=1 (1 განტოლება)
2x-3y=-10 (მე-2 განტოლება)

1. ვირჩევთ ცვლადს, ვთქვათ ვირჩევთ x. პირველ განტოლებაში x ცვლადს აქვს კოეფიციენტი 3, მეორეში - 2. კოეფიციენტები უნდა გავხადოთ იგივე, ამისთვის გვაქვს უფლება გავამრავლოთ განტოლებები ან გავყოთ ნებისმიერ რიცხვზე. პირველ განტოლებას ვამრავლებთ 2-ზე, ხოლო მეორეს 3-ზე და ვიღებთ ჯამურ კოეფიციენტს 6-ზე.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. გამოვაკლოთ მეორე პირველ განტოლებას, რათა მოვიშოროთ x ცვლადი.
__6x-4y=2

5წ=32 | :5
y=6.4

3. იპოვე x. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი y-ს რომელიმე განტოლებაში, ვთქვათ პირველ განტოლებაში.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

გადაკვეთის წერტილი იქნება x=4.6; y=6.4
პასუხი: (4.6; 6.4)

გსურთ უფასოდ მოემზადოთ გამოცდებისთვის? დამრიგებელი ონლაინ უფასოდ. Არ ვხუმრობ.

განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ სექტორში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისთვის. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლებათა სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ორი ან მეტი განტოლება რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც საჭიროა საერთო ამონახსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომლის მნიშვნელობაც უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი შედგენით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნებია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივეს მაგალითებად ითვლება წრფივი განტოლებათა სისტემები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს მნიშვნელობების (x, y) პოვნას, რომლებშიც სისტემა გადაიქცევა ნამდვილ თანასწორობაში ან იმის დადგენა, რომ x და y შესაფერისი მნიშვნელობები არ არსებობს.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი, როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ ტოლობის ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა ჰეტეროგენულია.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემებთან შეხვედრისას სკოლის მოსწავლეები თვლიან, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებათა რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც სასურველია.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური მეთოდი არ არსებობს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდები, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლებისას მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური ამოხსნის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

მე-7 კლასის ზოგადი განათლების სასწავლო გეგმაში წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივი და დეტალურად ახსნილია. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი განათლების პირველ წლებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მიხედვით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ფორმაში ერთი ცვლადით. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოდით მივცეთ ამონახსნი მე-7 კლასის წრფივი განტოლებების სისტემის მაგალითზე ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოიხატა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა მარტივია და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლებით ამოხსნაც შეუსაბამოა.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

შეკრების მეთოდის გამოყენებით სისტემების ამონახსნების ძიებისას განტოლებები ემატება ტერმინით და მრავლდება სხვადასხვა რიცხვებით. მათემატიკური მოქმედებების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთ ცვლადში.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით, როცა 3 ან მეტი ცვლადია, ადვილი არ არის. ალგებრული შეკრება მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათწილადებს.

გადაწყვეტის ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე გარკვეულ რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი 1-ის ტოლი უნდა გახდეს.
2. დაამატეთ მიღებული გამოთქმა ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

ახალი ცვლადის შემოღება შესაძლებელია, თუ სისტემა მოითხოვს ამონახსნის მოძიებას არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება იხსნება შემოტანილი უცნობისთვის და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითი გვიჩვენებს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის ფაქტორები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნაკლებია ნულზე, მაშინ არის ერთი ამონახსნი: x = -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემისთვის. მეთოდი მოიცავს სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების აგებას კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მთელი რიგი ნიუანსი. მოდით შევხედოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითს.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობების საფუძველზე, ნაპოვნი იქნა y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით მონიშნული იყო გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგი მაგალითი მოითხოვს წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამოხსნის პოვნას: 0.5x-y+2=0 და 0.5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

2 და 3 მაგალითების სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის აუცილებელია გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - სტრიქონი და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთი სვეტის მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას, რომლის ერთეულებია ერთ-ერთი დიაგონალის და სხვა ნულოვანი ელემენტების გასწვრივ, იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის მატრიცა, რომლის გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულ მატრიცაში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან მიმართებაში განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება როგორც მატრიცული რიცხვები.

მატრიცის მწკრივი არ არის ნულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნული. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| არის მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორ-ორ მატრიცისთვის, თქვენ უბრალოდ უნდა გაამრავლოთ დიაგონალური ელემენტები ერთმანეთზე. „სამი სამზე“ ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ სვეტების და ელემენტების მწკრივების რაოდენობა არ განმეორდეს ნამუშევარში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის პოვნის მატრიცული მეთოდი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ უხერხული ჩანაწერები ცვლადების და განტოლებების დიდი რაოდენობით სისტემების ამოხსნისას.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად სწავლობენ გაუსის მეთოდს, ხოლო სისტემების ამონახსნების ძიების პროცესს ეწოდება გაუს-კრამერის ამოხსნის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება სისტემების ცვლადების მოსაძებნად წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობით.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ამონახსნებს ჩანაცვლებით და ალგებრული მიმატებით, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის მეთოდით ამონახსნები გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის შემცირება ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებისა და ჩანაცვლების საშუალებით სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში გვხვდება ერთი ცვლადის მნიშვნელობა. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით, ხოლო 3 და 4 არის, შესაბამისად, 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის მეთოდით ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება: 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ x ​​n-ის ერთ-ერთი ცვლადი.

მე-5 თეორემა, რომელიც ტექსტშია ნახსენები, წერს, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი რთული გასაგებია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მაგრამ ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამებში ჩარიცხული ბავშვების გამომგონებლობის გასავითარებლად.

ჩაწერის გამარტივებისთვის, გამოთვლები ჩვეულებრივ კეთდება შემდეგნაირად:

განტოლებების და თავისუფალი ტერმინების კოეფიციენტები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვნიდან. რომაული ციფრები მიუთითებს სისტემაში განტოლებების რაოდენობაზე.

ჯერ ჩაწერეთ მატრიცა, რომლითაც უნდა იმუშავოთ, შემდეგ კი ყველა მოქმედება, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და საჭირო ალგებრული ოპერაციები გრძელდება შედეგის მიღწევამდე.

შედეგი უნდა იყოს მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი უდრის 1-ს, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთეულ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების შესრულება განტოლების ორივე მხარეს რიცხვებით.

ჩაწერის ეს მეთოდი ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ არის გამოყენებული. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი მეთოდი უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი საგანმანათლებლო მიზნებისთვის არსებობს.

• სისტემები მწრფივი განტოლებები ნუცნობი.
  წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა- ეს არის რიცხვების ასეთი ნაკრები ( x 1, x 2, ..., x n), როდესაც ჩანაცვლებულია სისტემის თითოეულ განტოლებაში, მიიღება სწორი ტოლობა.
  სად a ij, i = 1, …, m; j = 1, …, n— სისტემის კოეფიციენტები;
  b i, i = 1, …, m- თავისუფალი წევრები;
  x j, j = 1, …, n- უცნობი.
  ზემოაღნიშნული სისტემა შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით: A X = B,
  
  
  
  
  სად ( ა|ბ) არის სისტემის მთავარი მატრიცა;
  ა- გაფართოებული სისტემის მატრიცა;
  X- უცნობის სვეტი;
  ბ— უფასო წევრების სვეტი.
  თუ მატრიცა ბარ არის ნულოვანი მატრიცა ∅, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას უწოდებენ არაჰომოგენურს.
  თუ მატრიცა ბ= ∅, მაშინ წრფივი განტოლებათა სისტემას ერთგვაროვანი ეწოდება. ერთგვაროვან სისტემას ყოველთვის აქვს ნულოვანი (ტრივიალური) გამოსავალი: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  წრფივი განტოლებათა ერთობლივი სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს ამონახსნი.
  წრფივი განტოლებათა არათანმიმდევრული სისტემაარის წრფივი განტოლებათა ამოუხსნელი სისტემა.
  წრფივი განტოლებათა გარკვეული სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც აქვს უნიკალური ამონახსნები.
  წრფივი განტოლებათა განუსაზღვრელი სისტემაარის წრფივი განტოლებათა სისტემა ამონახსნების უსასრულო რაოდენობით.
• n წრფივი განტოლების სისტემები n უცნობით
  თუ უცნობის რაოდენობა უდრის განტოლებათა რაოდენობას, მაშინ მატრიცა არის კვადრატი. მატრიცის განმსაზღვრელი ეწოდება წრფივი განტოლებათა სისტემის მთავარ განმსაზღვრელს და აღინიშნება სიმბოლო Δ.
  კრამერის მეთოდისისტემების გადასაჭრელად ნწრფივი განტოლებები ნუცნობი.
  კრამერის წესი.
  თუ წრფივი განტოლებათა სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ სისტემა თანმიმდევრული და განსაზღვრულია და ერთადერთი გამოსავალი გამოითვლება კრამერის ფორმულების გამოყენებით:
  სადაც Δ i არის დეტერმინანტები, რომლებიც მიიღება Δ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელიდან შეცვლით მეე სვეტი თავისუფალი წევრების სვეტამდე. .
• m წრფივი განტოლებების სისტემები n უცნობით
  კრონეკერ-კაპელის თეორემა.
  
  
  იმისათვის, რომ მოცემული წრფივი განტოლებათა სისტემა იყოს თანმიმდევრული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის მატრიცის რანგი ტოლი იყოს სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგის, რანგი(Α) = რანგი(Α|B).
  თუ რანგი(Α) ≠ რანგი(Α|B), მაშინ სისტემას აშკარად არ აქვს გადაწყვეტილებები.
  თუ რანგი(Α) = რანგი(Α|B), მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა:
  1) რანგი(Α) = n(უცნობების რაოდენობა) - გამოსავალი უნიკალურია და მისი მიღება შესაძლებელია კრამერის ფორმულების გამოყენებით;
  2) წოდება (Α)< n - უსასრულოდ ბევრი გამოსავალია.
• გაუსის მეთოდიწრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნისთვის
  
  
  მოდით შევქმნათ გაფართოებული მატრიცა ( ა|ბ) მოცემული სისტემის უცნობთა და მარჯვენა მხარეების კოეფიციენტებიდან.
  გაუსის მეთოდი ან უცნობების აღმოფხვრის მეთოდი შედგება გაფართოებული მატრიცის შემცირებისგან ( ა|ბ) ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მის მწკრივებზე დიაგონალურ ფორმამდე (ზედა სამკუთხედის ფორმამდე). განტოლებათა სისტემას რომ დავუბრუნდეთ, ყველა უცნობი განისაზღვრება.
  სიმებიანი ელემენტარული გარდაქმნები მოიცავს შემდეგს:
  1) გაცვალეთ ორი ხაზი;
  2) სტრიქონის გამრავლება 0-ის გარდა სხვა რიცხვზე;
  3) სტრიქონს კიდევ ერთი სტრიქონის დამატება, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით;
  4) ნულოვანი ხაზის ამოგდება.
  დიაგონალურ ფორმამდე დაყვანილი გაფართოებული მატრიცა შეესაბამება მოცემულის ექვივალენტურ წრფივ სისტემას, რომლის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს. .
• ერთგვაროვანი წრფივი განტოლებათა სისტემა.
  ერთგვაროვან სისტემას აქვს ფორმა:
  
  იგი შეესაბამება მატრიცის განტოლებას A X = 0.
  1) ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, ვინაიდან r(A) = r(A|B), ყოველთვის არის ნულოვანი ამონახსნი (0, 0, ..., 0).
  2) იმისთვის, რომ ერთგვაროვან სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია r = r(A)< n , რომელიც უდრის Δ = 0-ს.
  3) თუ რ< n , მაშინ აშკარად Δ = 0, მაშინ წარმოიქმნება თავისუფალი უცნობი c 1, c 2, ..., c n-r, სისტემას აქვს არატრივიალური გადაწყვეტილებები და უსასრულოდ ბევრია.
  4) ზოგადი გადაწყვეტა Xზე რ< n შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით შემდეგნაირად:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  სად არის გადაწყვეტილებები X 1, X 2, …, X n-rქმნიან გადაწყვეტილებების ფუნდამენტურ სისტემას.
  5) ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შეიძლება მივიღოთ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნით:
  
  ,
  თუ თანმიმდევრულად დავაყენებთ პარამეტრის მნიშვნელობებს (1, 0, …, 0), (0, 1,…, 0), …, (0, 0,…, 1).
  ზოგადი ამოხსნის გაფართოება ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის თვალსაზრისითარის ზოგადი ამონახსნის ჩანაწერი ფუნდამენტური სისტემის კუთვნილი ამონახსნების წრფივი კომბინაციის სახით.
  თეორემა. იმისათვის, რომ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია Δ ≠ 0.
  ასე რომ, თუ განმსაზღვრელი Δ ≠ 0, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი.
  თუ Δ ≠ 0, მაშინ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებათა სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
  თეორემა. იმისთვის, რომ ერთგვაროვან სისტემას ჰქონდეს არანულოვანი ამონახსნი, ეს აუცილებელია და საკმარისია r(A)< n .
  მტკიცებულება:
  1) რმეტი არ შეიძლება ნ(მატრიცის რანგი არ აღემატება სვეტების ან მწკრივების რაოდენობას);
  2) რ< n , იმიტომ თუ r = n, შემდეგ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი Δ ≠ 0 და, კრამერის ფორმულების მიხედვით, არსებობს უნიკალური ტრივიალური გადაწყვეტა x 1 = x 2 = … = x n = 0, რაც ეწინააღმდეგება პირობას. ნიშნავს, r(A)< n .
  შედეგი. ერთგვაროვანი სისტემის შესაქმნელად ნწრფივი განტოლებები ნუცნობებს ჰქონდათ არანულოვანი ამონახსნი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ Δ = 0.

მატრიცული მეთოდი SLAU გადაწყვეტილებებიგამოიყენება განტოლებათა სისტემების ამოსახსნელად, რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა შეესაბამება უცნობის რაოდენობას. მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება დაბალი რიგის სისტემების გადასაჭრელად. ხაზოვანი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მატრიცული მეთოდი ეფუძნება მატრიცის გამრავლების თვისებების გამოყენებას.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს მეთოდი ინვერსიული მატრიცის მეთოდი,ე.წ. იმიტომ, რომ ამონახსნი მცირდება ჩვეულებრივ მატრიცულ განტოლებამდე, რომლის გადასაჭრელად უნდა იპოვოთ შებრუნებული მატრიცა.

მატრიცული ამოხსნის მეთოდი SLAE დეტერმინანტით, რომელიც არის ნულზე მეტი ან ნაკლები, არის შემდეგი:

დავუშვათ, რომ არსებობს SLE (წრფივი განტოლებების სისტემა). ნუცნობი (თვითნებურ ველზე):

ეს ნიშნავს, რომ ის ადვილად შეიძლება გარდაიქმნას მატრიცულ ფორმაში:

AX=B, სად ა- სისტემის მთავარი მატრიცა, ბდა X— სისტემის უფასო ტერმინებისა და გადაწყვეტილებების სვეტები, შესაბამისად:

მოდით გავამრავლოთ ეს მატრიცული განტოლება მარცხნიდან A−1- შებრუნებული მატრიცა მატრიცაზე A: A −1 (AX)=A −1 B.

იმიტომ რომ A −1 A=E, ნიშნავს, X=A −1 B. განტოლების მარჯვენა მხარე იძლევა საწყისი სისტემის ამოხსნის სვეტს. მატრიცული მეთოდის გამოყენებადობის პირობაა მატრიცის არადეგენერაცია ა. ამისათვის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა, რომ მატრიცის განმსაზღვრელი არ იყოს ნულის ტოლი ა:

detA≠0.

ამისთვის წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა, ე.ი. თუ ვექტორი B=0, მოქმედებს საპირისპირო წესი: სისტემა AX=0არატრივიალური (ანუ ნულის ტოლი არ არის) გამოსავალი არსებობს მხოლოდ მაშინ, როცა detA=0. ეს კავშირი წრფივი განტოლებების ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი სისტემების ამონახსნებს შორის ე.წ ფრედჰოლმის ალტერნატივა.

ამრიგად, SLAE-ის ამოხსნა მატრიცის მეთოდით ხორციელდება ფორმულის მიხედვით . ან, SLAE-ის გამოსავალი ნაპოვნია გამოყენებით ინვერსიული მატრიცა A−1.

ცნობილია, რომ კვადრატული მატრიცისთვის აშეკვეთა ნ on ნარსებობს ინვერსიული მატრიცა A−1მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი. ამრიგად, სისტემა ნწრფივი ალგებრული განტოლებები ნუცნობებს მატრიცის მეთოდით ვხსნით მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი.

იმისდა მიუხედავად, რომ არსებობს შეზღუდვები ასეთი მეთოდის გამოყენებასთან დაკავშირებით და გამოთვლების სირთულეები კოეფიციენტების დიდი მნიშვნელობებისა და მაღალი დონის სისტემებისთვის, მეთოდი ადვილად შეიძლება განხორციელდეს კომპიუტერზე.

არაერთგვაროვანი SLAE-ის ამოხსნის მაგალითი.

ჯერ შევამოწმოთ უცნობი SLAE-ების კოეფიციენტების მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია თუ არა.

ახლა ჩვენ ვიპოვით კავშირის მატრიცა, გადაიტანეთ იგი და ჩაანაცვლეთ ფორმულაში შებრუნებული მატრიცის დასადგენად.

ჩაანაცვლეთ ცვლადები ფორმულაში:

ახლა ჩვენ ვპოულობთ უცნობებს შებრუნებული მატრიცის და თავისუფალი ტერმინების სვეტის გამრავლებით.

Ისე, x=2; y=1; z=4.

SLAE-ის ჩვეულებრივი ფორმიდან მატრიცულ ფორმაზე გადასვლისას ფრთხილად იყავით სისტემის განტოლებებში უცნობი ცვლადების თანმიმდევრობით. Მაგალითად:

ეს არ შეიძლება დაიწეროს როგორც:

აუცილებელია, პირველ რიგში, სისტემის თითოეულ განტოლებაში შეუკვეთოთ უცნობი ცვლადები და მხოლოდ ამის შემდეგ გადავიდეთ მატრიცის აღნიშვნაზე:

გარდა ამისა, თქვენ უნდა იყოთ ფრთხილად უცნობი ცვლადების აღნიშვნასთან დაკავშირებით x 1, x 2, …, x nშეიძლება იყოს სხვა ასოები. Მაგალითად:

მატრიცის სახით ჩვენ ვწერთ ასე:

მატრიცული მეთოდი უკეთესია წრფივი განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას და სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი განტოლებაა, შებრუნებული მატრიცის პოვნა მოითხოვს მეტ გამოთვლით ძალისხმევას, ამიტომ ამ შემთხვევაში მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ გაუსის მეთოდი ამოხსნისთვის.