ნებისმიერი ფიზიკური პროცესის შესწავლა დაკავშირებულია ამ პროცესის დამახასიათებელ სიდიდეებს შორის ურთიერთობის დამყარებასთან. რთული პროცესებისთვის, რომლებიც მოიცავს სითბოს გადაცემას თბოგამტარობით, რაოდენობებს შორის კავშირის დამყარებისას მოსახერხებელია მათემატიკური ფიზიკის მეთოდების გამოყენება, რომელიც ითვალისწინებს პროცესის მიმდინარეობას არა მთელ შესასწავლ სივრცეში, არამედ მატერიის ელემენტარულ მოცულობაში დროის უსასრულოდ მცირე პერიოდში. თბოგამტარობით სითბოს გადაცემაში მონაწილე რაოდენობებს შორის კავშირი ამ შემთხვევაში დამყარებულია ე.წ. თბოგამტარობის დიფერენციალური განტოლება. შერჩეული ელემენტარული მოცულობის და დროის უსასრულოდ მცირე პერიოდის ფარგლებში, შესაძლებელი ხდება პროცესის დამახასიათებელი ზოგიერთი სიდიდის ცვლილების უგულებელყოფა.

თბოგამტარობის დიფერენციალური განტოლების გამოყვანისას კეთდება შემდეგი დაშვებები: ფიზიკური სიდიდეები λ, პდა ρ მუდმივი; არ არის შიდა სითბოს წყაროები; სხეული ერთგვაროვანი და იზოტროპულია; გამოყენებულია ენერგიის შენარჩუნების კანონი, რომელიც ამ შემთხვევაში ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: განსხვავება სითბოს რაოდენობას შორის, რომელიც თბოგამტარობის გამო შედის ელემენტარულ პარალელეპიპედში დროის განმავლობაში. dτდა ამავე დროს მისი დატოვება იხარჯება განსახილველი ელემენტარული მოცულობის შიდა ენერგიის შეცვლაზე. შედეგად მივდივართ განტოლებამდე:

რაოდენობას ე.წ ლაპლასის ოპერატორიდა ჩვეულებრივ შემოკლებით არის 2 ტ(ნიშანზე წერია „ნაბლა“); ზომა λ /კრდაურეკა თერმული დიფუზიურობის კოეფიციენტიდა აღინიშნება ასოთი ა.მითითებული აღნიშვნით, დიფერენციალური სითბოს განტოლება იღებს ფორმას

განტოლება (1-10) ეწოდება თბოგამტარობის დიფერენციალური განტოლება,ან ფურიეს განტოლება, სამგანზომილებიანი არასტაბილური ტემპერატურის ველისთვის სითბოს შიდა წყაროების არარსებობის შემთხვევაში. ეს არის მთავარი განტოლება თბოგამტარობით სითბოს გადაცემის პროცესში სხეულების გათბობისა და გაგრილების შესწავლაში და აყალიბებს კავშირს ტემპერატურის დროებით და სივრცით ცვლილებებს შორის ველის ნებისმიერ წერტილში.

თერმული დიფუზურობის კოეფიციენტი ა= λ/cρარის ნივთიერების ფიზიკური პარამეტრი და აქვს საზომი ერთეული m 2/s. არასტაციონარული თერმული პროცესებისას მნიშვნელობა აახასიათებს ტემპერატურის ცვლილების სიჩქარეს. თუ თბოგამტარობის კოეფიციენტი ახასიათებს სხეულების სითბოს გატარების უნარს, მაშინ თერმული დიფუზიურობის კოეფიციენტი აარის სხეულების თერმული ინერციული თვისებების საზომი. (1-10) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ტემპერატურის ცვლილება დროთა განმავლობაში ∂t / ∂τსხეულის ნებისმიერი წერტილისთვის მნიშვნელობის პროპორციულია აამიტომ, იმავე პირობებში, სხეულის ტემპერატურა, რომელსაც აქვს უფრო მაღალი თერმული დიფუზიურობა, უფრო სწრაფად გაიზრდება. გაზებს აქვთ მცირე, ხოლო ლითონებს აქვთ დიდი, თერმული დიფუზურობის კოეფიციენტები.

თბოგამტარობის დიფერენციალურ განტოლებას სხეულის შიგნით სითბოს წყაროებთან ექნება ფორმა

სად qv- გამოთავისუფლებული სითბოს რაოდენობა ნივთიერების მოცულობის ერთეულზე დროის ერთეულზე, თან- სხეულის მასის სითბოს მოცულობა, ρ - სხეულის სიმკვრივე .

თბოგამტარობის დიფერენციალურ განტოლებას ცილინდრულ კოორდინატებში შიდა სითბოს წყაროსთან ექნება ფორმა

სად r-რადიუსის ვექტორი ცილინდრულ კოორდინატულ სისტემაში; φ - კუთხე.

სითბოს გავრცელება თბოგამტარობით ბრტყელ და ცილინდრულ კედლებში სტაციონარულ რეჟიმში (პირველი ტიპის სასაზღვრო პირობები)

ჰომოგენური ერთფენიანი ბრტყელი კედელი. განვიხილოთ სითბოს გავრცელება თბოგამტარობით 8 სისქის ჰომოგენურ ერთ ფენიან ბრტყელ კედელში მისი შეუზღუდავი სიგანით და სიგრძით.

ღერძი Xმიმართეთ მას კედელზე პერპენდიკულარულად (სურ. 7.4). ორივე კედლის ზედაპირის გასწვრივ, როგორც ღერძის მიმართულებით y,და ღერძის მიმართულებით გსითბოს ერთგვაროვანი მიწოდებისა და მოცილების წყალობით, ტემპერატურა თანაბრად ნაწილდება.

ვინაიდან ამ ღერძების მიმართულებით კედელს აქვს უსასრულოდ დიდი ზომები, შესაბამისი ტემპერატურის გრადიენტები ფ/იუ = (კ/(კ= = 0, და, ამრიგად, არ არის გავლენა კედლის ბოლო ზედაპირების თბოგამტარობის პროცესზე. ამ პირობებში, რაც ამარტივებს პრობლემას, სტაციონარული ტემპერატურის ველი არის მხოლოდ კოორდინატის ფუნქცია X,იმათ. განიხილება ერთგანზომილებიანი პრობლემა. ამ შემთხვევაში, თბოგამტარობის დიფერენციალური განტოლება მიიღებს ფორმას (at დ^დჰ = 0)

პირველი ტიპის სასაზღვრო პირობები მოცემულია:

ბრინჯი. 7.4.

მოდით ვიპოვოთ ტემპერატურის ნულოვანი განტოლება და განვსაზღვროთ სითბოს ნაკადი Ф, რომელიც გადის კედლის მონაკვეთზე ფართობით. ა(ნახ. 1ლკედელი არ არის მონიშნული, რადგან ის მდებარეობს ნახატის სიბრტყის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში). პირველი ინტეგრაცია იძლევა

იმათ. ტემპერატურის გრადიენტი მუდმივია მთელი კედლის სისქეზე.

მეორე ინტეგრაციის შემდეგ ვიღებთ საჭირო ტემპერატურის ველის განტოლებას

სად ადა ბ -მუდმივი ინტეგრაციები.

ამრიგად, კედლის სისქის გასწვრივ ტემპერატურის ცვლილება მიჰყვება ხაზოვან კანონს, ხოლო იზოთერმული ზედაპირები არის სიბრტყეები, რომლებიც პარალელურია კედლის სახეებთან.

თვითნებური ინტეგრაციის მუდმივების დასადგენად, ჩვენ ვიყენებთ სასაზღვრო პირობებს:

იმიტომ? > ? ST2, შემდეგ გრადიენტის პროექცია ღერძზე Xუარყოფითი როგორც

ეს მოსალოდნელი იყო არჩეული ღერძის მიმართულებისთვის, რომელიც ემთხვევა ზედაპირის სითბოს ნაკადის სიმკვრივის ვექტორის მიმართულებას.

მუდმივების მნიშვნელობის ჩანაცვლებით (7.24), მივიღებთ საბოლოო გამოხატულებას ტემპერატურის ნულისთვის

ხაზი ა-ბნახ. 7.4, ე.წ ტემპერატურის მრუდი, აჩვენებს ტემპერატურის ცვლილებას კედლის სისქედან გამომდინარე.

ტემპერატურის გრადიენტის ცოდნით, შესაძლებელია ფურიეს განტოლების (7.10) გამოყენებით ვიპოვოთ სითბოს რაოდენობა 8() რომელიც გადის t დროის მანძილზე ზედაპირის ფართობის ელემენტზე??4 ღერძზე პერპენდიკულარული. თ.

და ზედაპირის ფართობისთვის ა

სითბოს ნაკადის და ზედაპირის სითბოს ნაკადის სიმკვრივის ფორმულა (7.28) მიიღებს ფორმას

განვიხილოთ სითბოს გავრცელება თბოგამტარობით მრავალშრიან ბრტყელ კედელში, რომელიც შედგება ერთმანეთთან მჭიდროდ მიმდებარე რამდენიმე (მაგალითად, სამი) ფენისგან (იხ. სურ. 7.5).

ბრინჯი. 7.5.

ცხადია, სტაციონარული ტემპერატურის ველის შემთხვევაში, სითბოს ნაკადი გადის იმავე ტერიტორიის ზედაპირებზე. A,ყველა ფენისთვის იგივე იქნება. ამიტომ, განტოლება (7.29) შეიძლება გამოყენებულ იქნას თითოეული ფენისთვის.

პირველი ფენისთვის

მეორე და მესამე ფენებისთვის

სად X 2, A 3 - ფენების თბოგამტარობა; 8 1? 8 2, 8 3 - ფენის სისქე.

ცნობილია თუ არა სამი ფენის კედლის გარე საზღვრების ტემპერატურა? St1 და? ST4. არის თუ არა ტემპერატურა ფენებს შორის გამიჯვნის სიბრტყის გასწვრივ? ST2 და? ST-ები, რომლებიც მიჩნეულია უცნობი. ჩვენ ვხსნით განტოლებებს (7.31)-(7.33) ტემპერატურულ განსხვავებებთან დაკავშირებით:

და შემდეგ შეკრიბეთ ისინი ტერმინით და ამით აღმოფხვრა უცნობი შუალედური ტემპერატურა:

განზოგადება (7.36) y-ფენის კედლისთვის, ვიღებთ

შუალედური ტემპერატურის დასადგენად? ST2, ? STz ფენების მონაკვეთების სიბრტყეებზე ვიყენებთ ფორმულებს (7.34):

დაბოლოს, წარმოშობის განზოგადება i-ფენის კედელზე, ვიღებთ ტემპერატურის ფორმულას მე-1 და (r + 1) ფენების საზღვარზე:

ზოგჯერ ისინი იყენებენ ექვივალენტური თბოგამტარობის კონცეფციას R eq. ზედაპირის სითბოს ნაკადის სიმკვრივისთვის, რომელიც გადის ბრტყელ მრავალშრიან კედელზე,

სადაც არის მრავალშრიანი კედლის ყველა ფენის მთლიანი სისქე. გამონათქვამების (7.37) და (7.40) შედარებისას დავასკვნით, რომ

ნახ. ნახაზი 7.5 გვიჩვენებს ტემპერატურის ცვლილებების გრაფიკს მრავალშრიანი კედლის სისქეზე გატეხილი ხაზის სახით. ფენის შიგნით, როგორც ზემოთ დადასტურდა, ტემპერატურის ცვლილება მიჰყვება ხაზოვან კანონს. დახრილობის კუთხის ტანგენსი cp, ტემპერატურის სწორი ხაზი ჰორიზონტალურზე

იმათ. ტოლია ტემპერატურის გრადიენტის აბსოლუტური მნიშვნელობის ^1"ac1 ამრიგად, სწორი ხაზების დახრილობის მიხედვით აბ, ძვდა თან

აქედან გამომდინარე,

იმათ. ტემპერატურული გრადიენტები მრავალშრიანი ბრტყელი კედლის ცალკეული ფენებისთვის უკუპროპორციულია ამ ფენების თბოგამტარობის.

ეს ნიშნავს, რომ დიდი ტემპერატურის გრადიენტების მისაღებად (რაც საჭიროა, მაგალითად, ორთქლის მილსადენების იზოლაციისას და ა.შ.), საჭიროა დაბალი თბოგამტარობის მნიშვნელობების მასალები.

ჰომოგენური ერთფენიანი ცილინდრული კედელი. მოდით ვიპოვოთ თბოგამტარობის სტაციონარული რეჟიმისთვის ტემპერატურის ველი და ზედაპირის სითბოს ნაკადის სიმკვრივე ერთგვაროვანი ერთფენიანი ცილინდრული კედლისთვის (ნახ. 7.6). პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ სითბოს გამტარობის დიფერენციალურ განტოლებას ცილინდრულ კოორდინატებში.

ღერძი 2 მიმართული იქნება მილის ღერძის გასწვრივ. დავუშვათ, რომ მილის სიგრძე დიამეტრთან შედარებით უსასრულოდ დიდია. ამ შემთხვევაში შეიძლება უგულებელვყოთ მილის ბოლოების გავლენა ტემპერატურის განაწილებაზე მე-2 ღერძის გასწვრივ. დავუშვათ, რომ სითბოს ერთგვაროვანი მიწოდებისა და მოცილების გამო, შიდა ზედაპირზე ტემპერატურა ყველგან თანაბარია? ST1, ხოლო გარე ზედაპირზე - ? ST2 (პირველი სახის სასაზღვრო პირობები). ამ გამარტივებებით (k/ = 0 და ტემპერატურის ველის სიმეტრიის გამო რომელიმე დიამეტრთან მიმართებაში?/?/?Ар = 0. იზოთერმული ზედაპირები ამ შემთხვევაში იქნება ცილინდრების ზედაპირები, კოაქსიალური მილის ღერძთან. ამრიგად. , პრობლემა მცირდება ერთგანზომილებიანი ტემპერატურის ველის განსაზღვრამდე, სად? გ- ცილინდრული კედლის დენის რადიუსი.

ბრინჯი. 7.6.

დიფერენციალური სითბოს განტოლება (7.19) პირობით dt/d t = 0 მიიღებს ფორმას

შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი

რომელია ტემპერატურის გრადიენტი (გრადი?).

ცვლადის ჩანაცვლება და(7.43)-ში ვიღებთ პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებას გამყოფი ცვლადებით

ან

ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ

ცილინდრული კედლისთვის ტემპერატურის გრადიენტი არის ცვლადი მნიშვნელობა, რომელიც იზრდება რადიუსის შემცირებით გ.შესაბამისად, ტემპერატურის გრადიენტი შიდა ზედაპირზე უფრო დიდია, ვიდრე გარე ზედაპირზე.

ღირებულების ჩანაცვლება და(7.44)-დან (7.45-მდე), ვიღებთ და

სად ბ- მუდმივი ინტეგრაციები.

შესაბამისად, ტემპერატურის განაწილების მრუდი კედლის სისქეზე არის ლოგარითმული მრუდი (მრუდი ა-ბნახ. 7.6).

განვსაზღვროთ მუდმივები ადა ბ,შედის ტემპერატურის ველის განტოლებაში, პირველი ტიპის სასაზღვრო პირობების საფუძველზე. ავღნიშნოთ ზედაპირის შიდა რადიუსი g x,გარე - გ 2.ჩვენ აღვნიშნავთ შესაბამის დიამეტრებს (1 ლდა (1 2 . მაშინ ჩვენ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

განტოლებათა ამ სისტემის ამოხსნით, მივიღებთ

ტემპერატურის ნულოვანი განტოლება მიიღებს ფორმას ტემპერატურის გრადიენტი განისაზღვრება ფორმულით (7.45):

იმიტომ რომ? ST1 > ? ST2 და r, r 2, შემდეგ პროექციის გრადი? რადიუსის ვექტორზე აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა.

ეს უკანასკნელი აჩვენებს, რომ ამ შემთხვევაში სითბოს ნაკადი მიმართულია ცენტრიდან პერიფერიისკენ.

სიგრძის ცილინდრული ზედაპირის მონაკვეთზე გამავალი სითბოს ნაკადის დასადგენად ბ,გამოვიყენოთ განტოლება

(7.46)-დან გამომდინარეობს, რომ ცილინდრული ზედაპირის გავლით სითბოს ნაკადი დამოკიდებულია გარე და შიდა რადიუსების თანაფარდობაზე r 2 / გ x(ან დიამეტრი c1 2 / (1 {), და არა კედლის სისქეზე.

ზედაპირის სითბური ნაკადის სიმკვრივე ცილინდრული ზედაპირისთვის შეიძლება მოიძებნოს სითბოს ნაკადის Ф შიდა ზედაპირის ფართობთან დაკავშირებით. VPან გარე ზედაპირის ფართობამდე ნპ.გამოთვლებში ზოგჯერ გამოიყენება ხაზოვანი სითბოს ნაკადის სიმკვრივე:

(7.47)-(7.49)-დან მოყვება

მრავალშრიანი ცილინდრული კედელი. განვიხილოთ სითბოს გავრცელება თბოგამტარობით A სიგრძის სამ ფენიან ცილინდრულ კედელში (მილში) შიდა დიამეტრით (ნახ. 7.7). c1 xდა გარე დიამეტრი (1 ლ.ცალკეული ფენების შუალედური დიამეტრი - c1 2და X 2, X 3.

ბრინჯი. 7.7.

ითვლება თუ არა ტემპერატურა ცნობილი? სტ) შინაგანი და ტემპერატურა? ST4 გარე ზედაპირი. სითბოს ნაკადი F და ტემპერატურა უნდა განისაზღვროს? ST2 და? STz ფენის საზღვრებზე. მოდით შევადგინოთ ფორმის (7.46) განტოლება თითოეული ფენისთვის:

ამოხსნით (7.51)-(7.53) ტემპერატურული სხვაობებისთვის და შემდეგ ვამატებთ ტერმინებს ტერმინებით, მივიღებთ

(7.54)-დან გვაქვს გამოთვლილი გამოხატულება სამშრიანი კედლისთვის სითბოს ნაკადის დასადგენად:

მოდით განვაზოგადოთ ფორმულა (7.55) u-ფენის მილის კედელზე:
სად მე- ფენის სერიული ნომერი.

(7.51)-(7.53)-დან ვპოულობთ გამონათქვამს შუალედური ფენების საზღვრებზე ტემპერატურის დასადგენად:

ტემპერატურა? Ხელოვნება. +) საზღვარზე? (გ+ 1) ფენა შეიძლება განისაზღვროს მსგავსი ფორმულით

ლიტერატურაში მოცემულია გადაწყვეტილებები ღრუ ბურთის დიფერენციალური სითბოს განტოლებისთვის პირველი ტიპის სასაზღვრო პირობებში, ისევე როგორც ყველა განხილული სხეულისთვის მესამე სახის სასაზღვრო პირობებში. ჩვენ არ განვიხილავთ ამ პრობლემებს. სტაციონარული თბოგამტარობის საკითხები მუდმივი და ცვლადი განივი კვეთების ღეროებში (ნეკნები), ისევე როგორც არასტაციონარული თბოგამტარობის საკითხები ასევე დარჩა ჩვენი კურსის ფარგლებს გარეთ.

TMO მიზნების დაყენება

გვაქვს მოცულობა, რომელზეც გავლენას ახდენს თერმული დატვირთვები, აუცილებელია რიცხობრივი მნიშვნელობის დადგენა q Vდა მისი განაწილება მოცულობით.

ნახ. 2 - ხახუნის გარე და შიდა წყაროები

1. განსაზღვრეთ შესასწავლი მოცულობის გეომეტრია რომელიმე შერჩეულ კოორდინატულ სისტემაში.

2. განსაზღვრეთ შესასწავლი მოცულობის ფიზიკური მახასიათებლები.

3. განსაზღვრეთ პირობები, რომლებიც იწყებენ TMT პროცესს.

4. დაზუსტეთ კანონები, რომლებიც განსაზღვრავენ სითბოს გადაცემას შესასწავლ მოცულობაში.

5. განისაზღვროს საწყისი თერმული მდგომარეობა შესასწავლ მოცულობაში.

მყარი ნარჩენების გაანალიზებისას გადაჭრილი პრობლემები:

1. TMO-ს „პირდაპირი“ ამოცანები

მოცემულია: 1,2,3,4,5

განსაზღვრეთ: ტემპერატურის განაწილება სივრცესა და დროში (შემდეგი 6).

2. „ინვერსიული“ TMT ამოცანები (ინვერსი):

ა) შებრუნებული საზღვარი დავალებები

მოცემულია: 1,2,4,5,6

განსაზღვრეთ: 3;

ბ) შებრუნებული შანსები დავალებები

მოცემულია: 1,3,4,5,6

განსაზღვრეთ: 2;

გ) უკუ რეტროსპექტიული დავალება

მოცემულია: 1,2,3,4,6

განსაზღვრეთ: 5.

3. TMO-ს „ინდუქციური“ ამოცანები

მოცემულია: 1,2,3,5,6

განსაზღვრეთ: 4.

სითბოს გადაცემის ფორმები და თერმული პროცესები

სითბოს გადაცემის 3 ფორმა არსებობს:

1) თბოგამტარობა მყარ სხეულებში (განისაზღვრება მიკრონაწილაკებით, ხოლო ლითონებში თავისუფალი ელექტრონებით);

2) კონვექცია (განსაზღვრულია მოძრავი საშუალების მაკრონაწილაკებით);

3) თერმული გამოსხივება (განისაზღვრება ელექტრომაგნიტური ტალღებით).

მყარი ნივთიერებების თბოგამტარობა

ზოგადი ცნებები

ტემპერატურის ველი არის ტემპერატურის მნიშვნელობების ერთობლიობა შესასწავლ მოცულობაში, აღებული დროის გარკვეულ მომენტში.

t(x, y, z, τ)- ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრავს ტემპერატურის ველს.

არსებობს სტაციონარული და არასტაციონარული ტემპერატურის ველები:

სტაციონარული - t(x,y,z);

არასტაციონარული - t(x, y, z, τ).

სტაციონარული პირობაა:

ავიღოთ გარკვეული სხეული და შევაერთოთ თანაბარი ტემპერატურის მქონე წერტილები

ნახ. 3-ტემპერატურული გრადიენტი და სითბოს ნაკადი

გრად ტ- ტემპერატურის გრადიენტი;

მეორეს მხრივ: .

ფურიეს კანონი - მყარ სხეულებში სითბოს ნაკადი პროპორციულია ტემპერატურული გრადიენტის, ზედაპირის, რომლითაც იგი გადის და განხილული დროის ინტერვალს.

პროპორციულობის კოეფიციენტს ეწოდება თბოგამტარობის კოეფიციენტი λ , W/m·K.

აჩვენებს, რომ სითბო ვრცელდება ტემპერატურის გრადიენტის ვექტორის საპირისპირო მიმართულებით.

;

უსასრულოდ მცირე ზედაპირისთვის და დროის ინტერვალისთვის:

სითბოს განტოლება (ფურიეს განტოლება)

განვიხილოთ უსასრულოდ მცირე მოცულობა: dv =dx dy dz

სურ. 4 - უსასრულო მოცულობის თერმული მდგომარეობა

ჩვენ გვაქვს ტეილორის სერია:

ანალოგიურად:

; ; .

ზოგად შემთხვევაში გვაქვს კუბი q V. დასკვნა ეფუძნება ენერგიის შენარჩუნების განზოგადებულ კანონს:

.

ფურიეს კანონის მიხედვით:

; ; .

გარდაქმნების შემდეგ გვაქვს:

.

სტაციონარული პროცესისთვის:

პრობლემების სივრცითი განზომილება განისაზღვრება იმ მიმართულებებით, რომლებშიც ხდება სითბოს გადაცემა.

ერთგანზომილებიანი პრობლემა: ;

სტაციონარული პროცესისთვის: ;

ამისთვის:

ამისთვის: ;

ა- თერმული დიფუზიურობის კოეფიციენტი, .კარტეზიული სისტემა;

k = 1, ξ = x -ცილინდრული სისტემა;

k = 2, ξ = x -სფერული სისტემა.

უნიკალურობის პირობები

უნიკალურობის მდგომარეობა – ეს ის პირობებია, რომლებიც შესაძლებელს ხდის შესაძლებელი გადაწყვეტილებების ნაკრებიდან აირჩიოთ ერთი, რომელიც შეესაბამება დავალებას.

ტემპერატურული ველის განსაზღვრის ამოცანების გადაჭრა ხორციელდება თბოგამტარობის დიფერენციალური განტოლების საფუძველზე, რომლის დასკვნები ნაჩვენებია სპეციალიზებულ ლიტერატურაში. ეს სახელმძღვანელო გთავაზობთ დიფერენციალური განტოლებების ვარიანტებს დასკვნების გარეშე.

მოძრავ სითხეებში თბოგამტარობის პრობლემების გადაჭრისას, რომლებიც ახასიათებენ არასტაციონარული სამგანზომილებიანი ტემპერატურის ველს სითბოს შიდა წყაროებით, გამოიყენება განტოლება

განტოლება (4.10) არის დიფერენციალური ენერგიის განტოლება დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში (ფურიეს განტოლება  კირხჰოფი). ამ ფორმით იგი გამოიყენება ნებისმიერ სხეულში თბოგამტარობის პროცესის შესასწავლად.

თუ  x = y = z =0, ანუ განიხილება მყარი სხეული და შიდა სითბოს წყაროების არარსებობის შემთხვევაში q v =0, მაშინ ენერგიის განტოლება (4.10) გადაიქცევა მყარი სხეულის სითბოს გამტარობის განტოლებაში (ფუიერის განტოლება)

(4.11)

მნიშვნელობას C=a, m 2 sec (4.10) განტოლებაში ეწოდება თერმული დიფუზურობის კოეფიციენტი, რომელიც არის ნივთიერების ფიზიკური პარამეტრი, რომელიც ახასიათებს სხეულში ტემპერატურის ცვლილების სიჩქარეს არასტაბილური პროცესების დროს.

თუ თბოგამტარობის კოეფიციენტი ახასიათებს სხეულების სითბოს გატარების უნარს, მაშინ თერმული დიფუზურობის კოეფიციენტი არის სხეულის თერმული ინერციული თვისებების საზომი. (4.10) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ტემპერატურის ცვლილება დროთა განმავლობაში t სივრცის ნებისმიერი წერტილისთვის პროპორციულია მნიშვნელობის "a", ანუ ტემპერატურის ცვლილების სიჩქარე სხეულის ნებისმიერ წერტილში იქნება უფრო დიდი, მეტი თბოგამტარობის კოეფიციენტი. ამიტომ, სხვა თანაბარ პირობებში, ტემპერატურის გათანაბრება სივრცის ყველა წერტილში უფრო სწრაფად მოხდება სხეულში, რომელსაც აქვს დიდი თერმული დიფუზიურობის კოეფიციენტი. თერმული დიფუზიურობის კოეფიციენტი დამოკიდებულია ნივთიერების ბუნებაზე. მაგალითად, სითხეებსა და აირებს აქვთ მაღალი თერმული ინერცია და, შესაბამისად, დაბალი თერმული დიფუზურობის კოეფიციენტი. ლითონებს აქვთ დაბალი თერმული ინერცია, რადგან მათ აქვთ მაღალი თერმული დიფუზურობის კოეფიციენტი.

მეორე წარმოებულების ჯამის აღსანიშნავად კოორდინატებთან მიმართებაში განტოლებებში (4.10) და (4.11) შეგიძლიათ გამოიყენოთ სიმბოლო  2, ე.წ. ლაპლასის ოპერატორი, შემდეგ კი დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში.

ცილინდრულ კოორდინატულ სისტემაში გამოსახულებას  2 t აქვს ფორმა

მყარი სხეულისთვის სტაციონარულ პირობებში სითბოს შიდა წყაროს მქონე განტოლება (4.10) გარდაიქმნება პუასონის განტოლებაში.

(4.12)

დაბოლოს, სტაციონარული თბოგამტარობისთვის და სითბოს შიდა წყაროების არარსებობის შემთხვევაში, განტოლება (4.10) იღებს ლაპლასის განტოლების ფორმას.

(4.13)

თბოგამტარობის დიფერენციალური განტოლება ცილინდრულ კოორდინატებში შიდა სითბოს წყაროსთან

(4.14)

4.2.6. სითბოს გამტარობის პროცესების უნიკალურობის პირობები

ვინაიდან თბოგამტარობის დიფერენციალური განტოლება მიღებულია ფიზიკის ზოგადი კანონების საფუძველზე, იგი ახასიათებს თბოგამტარობის ფენომენს ყველაზე ზოგადი ფორმით. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მიღებული დიფერენციალური განტოლება ახასიათებს სითბოს გამტარობის ფენომენების მთელ კლასს. იმისათვის, რომ გამოვყოთ კონკრეტულად განხილული პროცესი უთვალავი რიცხვიდან და მივცეთ მისი სრული მათემატიკური აღწერა, აუცილებელია დიფერენციალურ განტოლებას განსახილველი პროცესის ყველა კონკრეტული მახასიათებლის მათემატიკური აღწერა. ამ კონკრეტულ მახასიათებლებს, რომლებიც დიფერენციალურ განტოლებასთან ერთად იძლევა კონკრეტული სითბოს გამტარობის პროცესის სრულ მათემატიკურ აღწერას, ეწოდება უნიკალურობა ან სასაზღვრო პირობები, რომლებიც მოიცავს:

ა) სხეულის ფორმისა და ზომის დამახასიათებელი გეომეტრიული პირობები, რომელშიც მიმდინარეობს პროცესი;

ბ) გარემოსა და სხეულის ფიზიკური თვისებების დამახასიათებელი ფიზიკური პირობები (, C z, , a და სხვ.);

გ) დროებითი (საწყისი) პირობები, რომლებიც ახასიათებს საკვლევ სხეულში ტემპერატურის განაწილებას დროის საწყის მომენტში;

დ) განსახილველი სხეულის გარემოსთან ურთიერთქმედების დამახასიათებელი სასაზღვრო პირობები.

საწყისი პირობები აუცილებელია არასტაციონარული პროცესების განხილვისას და მოიცავს დროის საწყის მომენტში სხეულის შიგნით ტემპერატურის განაწილების კანონის დაზუსტებას. ზოგად შემთხვევაში, საწყისი პირობა შეიძლება ჩაიწეროს ანალიტიკურად შემდეგნაირად =0:

t =  1 x, y, z. (4.15)

სხეულში ტემპერატურის ერთგვაროვანი განაწილების შემთხვევაში საწყისი პირობა გამარტივებულია: =0-ზე; t=t 0 =idem.

სასაზღვრო პირობები შეიძლება განისაზღვროს რამდენიმე გზით.

ა. პირველი სახის სასაზღვრო პირობები, რომელიც განსაზღვრავს ტემპერატურის განაწილებას სხეულის ზედაპირზე tc დროის ყოველი მომენტისთვის:

t c =  2 x, y, z, . (4.16)

კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც ზედაპირზე ტემპერატურა მუდმივია სითბოს გადაცემის პროცესების მთელი ხანგრძლივობის განმავლობაში, განტოლება (4.16) გამარტივებულია და იღებს ფორმას t c =idem.

B. მეორე სახის სასაზღვრო პირობები, რომელიც განსაზღვრავს სითბოს ნაკადის სიმკვრივის მნიშვნელობას ზედაპირის თითოეული წერტილისთვის და დროის ნებისმიერ მომენტში. ანალიტიკური თვალსაზრისით, ეს შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

q n = x, y, z, , (4.17)

სადაც q n  სითბოს ნაკადის სიმკვრივე სხეულის ზედაპირზე.

უმარტივეს შემთხვევაში, სითბოს ნაკადის სიმკვრივე ზედაპირზე და დროთა განმავლობაში რჩება მუდმივი q n =idem. სითბოს გაცვლის ეს შემთხვევა ხდება, მაგალითად, სხვადასხვა ლითონის პროდუქტების გაცხელებისას მაღალტემპერატურულ ღუმელებში.

B. მესამე სახის სასაზღვრო პირობები, რომელიც განსაზღვრავს ატმოსფერულ ტემპერატურას tf და სხეულის ზედაპირსა და გარემოს შორის სითბოს გაცვლის კანონს. ნიუტონის კანონი გამოიყენება სხეულის ზედაპირსა და გარემოს შორის სითბოს გაცვლის პროცესის აღსაწერად.

ნიუტონის კანონის თანახმად, სხეულის ერთეული ზედაპირის მიერ გამოყოფილი სითბოს რაოდენობა დროის ერთეულზე პროპორციულია სხეულის ტემპერატურის სხვაობის tc და გარემოს t f.

q = t c  t f . (4.18)

სითბოს გადაცემის კოეფიციენტი ახასიათებს სითბოს გაცვლის ინტენსივობას სხეულის ზედაპირსა და გარემოს შორის. რიცხობრივად, ეს უდრის სითბოს რაოდენობას, რომელიც გამოყოფილი (ან აღიქმება) ზედაპირის ერთეულით დროის ერთეულზე, როდესაც ტემპერატურის სხვაობა სხეულის ზედაპირსა და გარემოს შორის უდრის ერთ გრადუსს.

ენერგიის შენარჩუნების კანონის თანახმად, სითბოს რაოდენობა, რომელიც ამოღებულია ერთეული ზედაპირიდან დროში ერთეულში სითბოს გადაცემის გამო (4.18) უნდა იყოს ტოლი სითბოს, რომელიც მიეწოდება ერთეულ ზედაპირს დროის ერთეულში თბოგამტარობის გამო. სხეულის შიდა მოცულობები (4.7), ე.ი.

, (4.19)

სადაც n  ნორმალურია სხეულის ზედაპირისთვის; ინდექსი „C“ მიუთითებს, რომ ტემპერატურა და გრადიენტი ეხება სხეულის ზედაპირს (n=0).

დაბოლოს, მესამე სახის სასაზღვრო მდგომარეობა შეიძლება დაიწეროს როგორც

. (4.20)

განტოლება (4.20), არსებითად, არის სხეულის ზედაპირისთვის ენერგიის შენარჩუნების კანონის განსაკუთრებული გამოხატულება.

დ. მეოთხე სახის სასაზღვრო პირობები, რომელიც ახასიათებს სითბოს გაცვლის პირობებს სხეულთა სისტემას ან სხეულს გარემოსთან თბოგამტარობის კანონის მიხედვით. ვარაუდობენ, რომ სხეულებს შორის არის სრულყოფილი კონტაქტი (საკონტაქტო ზედაპირების ტემპერატურა იგივეა). განხილულ პირობებში, კონტაქტის ზედაპირზე გადის სითბოს ნაკადების თანაბარი რაოდენობა:

. (4.21)