მოქმედებები უთანასწორობაზე. წრფივი უტოლობა

მაგალითი 1. უთანასწორობის გათვალისწინებით x + 8>3. რიცხვი 8-ის გამოკლებით უტოლობის ორივე ნაწილს, ვპოულობთ x > - 5.

მაგალითი 2. უთანასწორობის გათვალისწინებით x - 6< — 2 . ორივე ნაწილს 6-ის დამატება ვხვდებით X< 4 .

4 . Თუ a > bდა გ > დმაშინ a + c > b + d; ზუსტად იგივე თუ ა< b და თან< d , მაშინ a + c< b + d , ანუ ერთი და იგივე მნიშვნელობის ორი უტოლობა) შეიძლება დაემატოს ტერმინით ტერმინით. ეს მართალია ნებისმიერი რაოდენობის უტოლობებისთვის, მაგალითად, თუ a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, მაშინ a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

მაგალითი 1. უთანასწორობები — 8 > — 10 და 5 > 2 მართალია. თუ ვამატებთ მათ ტერმინით, ვპოულობთ სწორ უტოლობას — 3 > — 8 .

მაგალითი 2. უტოლობების სისტემის გათვალისწინებით ( 1/2)x + (1/2)წ< 18 ; (1/2)x - (1/2)წ< 4 . ვამატებთ მათ ტერმინით, ვხვდებით x< 22 .

კომენტარი. ერთი და იგივე მნიშვნელობის ორი უტოლობა არ შეიძლება გამოვაკლოთ ერთმანეთს ტერმინით, რადგან შედეგი შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი, მაგრამ ასევე შეიძლება იყოს არასწორი. მაგალითად, თუ უთანასწორობიდან 10 > 8 2 > 1 , მაშინ მივიღებთ სწორ უტოლობას 8 > 7 მაგრამ თუ იგივე უტოლობიდან 10 > 8 გამოვაკლოთ უტოლობა ტერმინით 6 > 1 , მაშინ მივიღებთ აბსურდს. შეადარეთ შემდეგი პუნქტი.

5 . Თუ a > bდა გ< d , მაშინ a - c > b - d; თუ ა< b და გ - დ, მაშინ ა - გ< b — d , ე.ი., ერთი უტოლობა შეიძლება გამოვაკლდეს ტერმინით სხვა საპირისპირო მნიშვნელობის სხვა უტოლობა), დატოვოს უტოლობის ნიშანი, რომელსაც გამოაკლო მეორე.

მაგალითი 1. უთანასწორობები 12 < 20 და 15 > 7 მართალია. ტერმინით მეორეს გამოვაკლებთ პირველს და დავტოვებთ პირველის ნიშანს, მივიღებთ სწორ უტოლობას — 3 < 13 . ტერმინით გამოვაკლებთ პირველს მეორეს და დავტოვებთ მეორის ნიშანს, ვპოულობთ სწორ უტოლობას 3 > — 13 .

მაგალითი 2. უტოლობების სისტემის გათვალისწინებით (1/2)x + (1/2)წ< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . მეორეს გამოვაკლებთ პირველ უტოლობას, ვპოულობთ წ< 10 .

6 . Თუ a > bდა მმაშინ დადებითი რიცხვია ma > მბდა a/n > b/n, ანუ უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება დაიყოს ან გამრავლდეს იმავე დადებით რიცხვზე (უტოლობის ნიშანი იგივე რჩება). a > bდა ნმაშინ არის უარყოფითი რიცხვი na< nb და ა/ნ< b/n , ანუ უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთიდაიგივე უარყოფით რიცხვზე, მაგრამ უტოლობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს.

მაგალითი 1. ჭეშმარიტი უთანასწორობის ორივე მხარის გაყოფა 25 > 20 ზე 5 ვიღებთ სწორ უტოლობას 5 > 4 . თუ გავყოფთ უტოლობის ორივე მხარეს 25 > 20 ზე — 5 , მაშინ თქვენ უნდა შეცვალოთ ნიშანი > ზე < და შემდეგ მივიღებთ სწორ უტოლობას — 5 < — 4 .

მაგალითი 2. უთანასწორობიდან 2x< 12 ამას მოჰყვება X< 6 .

მაგალითი 3. უთანასწორობიდან -(1/3)x - (1/3)x > 4ამას მოჰყვება x< — 12 .

მაგალითი 4. უთანასწორობის გათვალისწინებით x/k > y/l; აქედან გამომდინარეობს, რომ lx > kyთუ რიცხვების ნიშნები ლდა კიგივეა და ეს lx< ky თუ რიცხვების ნიშნები ლდა კსაპირისპირო არიან.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ჩვეულებრივ უტოლობათა სისტემას ვუწოდებთ რამდენიმე უტოლობის ჩანაწერს ხვეული ფრჩხილის ნიშნით (ამ შემთხვევაში, სისტემაში შემავალი უტოლობების რაოდენობა და ტიპი შეიძლება იყოს თვითნებური).

სისტემის ამოსახსნელად აუცილებელია მასში შემავალი ყველა უტოლობის ამონახსნების კვეთის პოვნა. მათემატიკაში უტოლობის ამოხსნა არის ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მოცემული უტოლობა მართალია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საჭიროა ყველა მისი ამოხსნის ნაკრების პოვნა - მას პასუხი დაერქმევა. მაგალითად, შევეცადოთ ვისწავლოთ როგორ ამოხსნათ უტოლობების სისტემა ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით.

უტოლობების თვისებები

პრობლემის გადასაჭრელად მნიშვნელოვანია იცოდეთ უტოლობების თანდაყოლილი ძირითადი თვისებები, რომლებიც შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

• უტოლობის ორივე ნაწილს შეიძლება დაემატოს ერთი და იგივე ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება ამ უტოლობის დასაშვები მნიშვნელობების არეში (ODV);
• თუ f(x) > g(x) და h(x) არის ნებისმიერი ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია უტოლობის DDE-ში, მაშინ f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
• თუ უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლებულია ამ უტოლობის ODZ-ში განსაზღვრული დადებითი ფუნქციით (ან დადებითი რიცხვით), მაშინ მივიღებთ თავდაპირველის ტოლფას უტოლობას;
• თუ უტოლობის ორივე ნაწილი მრავლდება მოცემული უტოლობის ODZ-ში განსაზღვრულ უარყოფით ფუნქციაზე (ან უარყოფით რიცხვზე) და უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია, მაშინ მიღებული უტოლობა მოცემული უტოლობის ტოლფასია;
• ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობები შეიძლება დაემატოს ტერმინით, ხოლო საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობები შეიძლება გამოკლდეს ტერმინით;
• დადებითი ნაწილებით ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობა შეიძლება გამრავლდეს ტერმინით, ხოლო არაუარყოფითი ფუნქციებით წარმოქმნილი უტოლობები შეიძლება გაიზარდოს ტერმინით დადებით ხარისხზე.

უტოლობების სისტემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა ამოხსნათ თითოეული უტოლობა ცალკე და შემდეგ შეადაროთ ისინი. შედეგად მიიღება დადებითი ან უარყოფითი პასუხი, რაც ნიშნავს, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი.

დაშორების მეთოდი

უტოლობების სისტემის ამოხსნისას მათემატიკოსები ხშირად მიმართავენ ინტერვალის მეთოდს, როგორც ერთ-ერთ ყველაზე ეფექტურს. ის საშუალებას გვაძლევს შევამციროთ უტოლობის ამონახსნები f(x) > 0 (<, <, >) f(x) = 0 განტოლების ამოხსნამდე.

მეთოდის არსი შემდეგია:

• იპოვნეთ უთანასწორობის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი;
• შეამცირეთ უტოლობა ფორმამდე f(x) > 0(<, <, >), ანუ გადაიტანეთ მარჯვენა მხარე მარცხნივ და გაამარტივეთ;
• ამოხსენით განტოლება f(x) = 0;
• დახატეთ ფუნქციის დიაგრამა რიცხვით წრფეზე. ODZ-ზე მონიშნული ყველა წერტილი და მისი შეზღუდვა ყოფს ამ ნაკრების ეგრეთ წოდებულ მუდმივი ნიშნის ინტერვალებად. ყოველ ასეთ ინტერვალზე განისაზღვრება f(x) ფუნქციის ნიშანი;
• პასუხი ჩაწერეთ ცალკეულ სიმრავლეთა გაერთიანების სახით, რომელზეც f(x)-ს აქვს შესაბამისი ნიშანი. ODZ წერტილები, რომლებიც სასაზღვროა, შედის (ან არ შედის) პასუხში დამატებითი შემოწმების შემდეგ.

მათემატიკაში უთანასწორობა მნიშვნელოვან როლს თამაშობს. სკოლაში ძირითადად საქმე გვაქვს რიცხვითი უტოლობები, რომლის განმარტებით დავიწყებთ ამ სტატიას. შემდეგ კი ჩამოვთვლით და ვამართლებთ რიცხვითი უტოლობების თვისებები, რომელზედაც დაფუძნებულია უთანასწორობასთან მუშაობის ყველა პრინციპი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ რიცხვითი უტოლობების მრავალი თვისება მსგავსია. ამიტომ მასალას წარმოვადგენთ იმავე სქემის მიხედვით: ვაყალიბებთ თვისებას, ვაძლევთ მის დასაბუთებას და მაგალითებს და შემდეგ გადავდივართ შემდეგ თვისებაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

რიცხვითი უტოლობები: განმარტება, მაგალითები

როდესაც ჩვენ შემოვიღეთ უთანასწორობის ცნება, შევამჩნიეთ, რომ უტოლობები ხშირად მათი დაწერის წესით განისაზღვრება. ასე რომ, ჩვენ უტოლობას ვუწოდებთ მნიშვნელოვან ალგებრულ გამონათქვამებს, რომლებიც შეიცავს არა ტოლ ნიშნებს ≠, ნაკლები<, больше >, ≤-ზე ნაკლები ან ტოლი ან მეტი ან ≥-ის ტოლი. ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარე, მოსახერხებელია რიცხვითი უტოლობის განსაზღვრა:

რიცხვითი უტოლობების შეხვედრა მათემატიკის გაკვეთილებზე ხდება პირველ კლასში პირველი ნატურალური რიცხვების 1-დან 9-მდე გაცნობის და შედარების ოპერაციის გაცნობისთანავე. მართალია, იქ მათ უბრალოდ უტოლობას უწოდებენ, რაც გამოტოვებს "რიცხვის" განმარტებას. სიცხადისთვის, ზიანს არ აყენებს უმარტივესი რიცხვითი უტოლობების რამდენიმე მაგალითის მოყვანა მათი კვლევის ამ ეტაპიდან: 1<2 , 5+2>3 .

და ნატურალური რიცხვებიდან გარდა, ცოდნა ვრცელდება სხვა ტიპის რიცხვებზე (მთლიანი, რაციონალური, რეალური რიცხვები), შესწავლილია მათი შედარების წესები და ეს მნიშვნელოვნად აფართოებს რიცხვითი უტოლობების სახეობრივ მრავალფეროვნებას: −5> −72, 3> − 0.275 (7−5, 6) ,.

რიცხვითი უტოლობების თვისებები

პრაქტიკაში, უთანასწორობებთან მუშაობა იძლევა რიგს რიცხვითი უტოლობების თვისებები. ისინი გამომდინარეობენ ჩვენს მიერ შემოტანილი უთანასწორობის კონცეფციიდან. რიცხვებთან მიმართებაში ეს ცნება მოცემულია შემდეგი დებულებით, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს რიცხვების სიმრავლის მიმართების „ნაკლები“ ​​და „მეტი“ მიმართებების განმარტებად (მას ხშირად უწოდებენ უტოლობის განსხვავების განმარტებას):

განმარტება.

• ნომერი a მეტია b-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განსხვავება a−b არის დადებითი რიცხვი;
• რიცხვი a ნაკლებია b რიცხვზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განსხვავება a−b უარყოფითი რიცხვია;
• რიცხვი a უდრის b რიცხვს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სხვაობა a−b ნულის ტოლია.

ეს განმარტება შეიძლება გადაიხედოს დეფინიციაში ნაკლები ან ტოლი და მეტი ან ტოლი. აი მისი ფორმულირება:

განმარტება.

• ნომერი a არის b-ზე დიდი ან ტოლი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ a−b არის არაუარყოფითი რიცხვი;
• რიცხვი a არის b რიცხვზე ნაკლები ან ტოლი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ a - b არადადებითი რიცხვია.

ჩვენ გამოვიყენებთ ამ განმარტებებს რიცხვითი უტოლობების თვისებების დასამტკიცებლად, რომელსაც ახლა განვიხილავთ.

ძირითადი თვისებები

ჩვენ ვიწყებთ ჩვენს მიმოხილვას უტოლობების სამი ძირითადი თვისებით. რატომ არის ისინი აუცილებელი? რადგან ისინი ასახავს უტოლობების თვისებებს ყველაზე ზოგადი გაგებით და არა მხოლოდ რიცხვით უტოლობებთან მიმართებაში.

ნიშნების გამოყენებით დაწერილი რიცხვითი უტოლობები< и >დამახასიათებელია:

რაც შეეხება ≤ და ≥ არამკაცრ უტოლობის ნიშნებით დაწერილ რიცხვობრივ უტოლობას, მათ აქვთ რეფლექსურობის (და არა ანტირეფლექსურობის) თვისება, ვინაიდან a≤a და a≥a უტოლობები მოიცავს a=a ტოლობის შემთხვევას. მათ ასევე ახასიათებთ ანტისიმეტრია და ტრანზიტულობა.

ასე რომ, ≤ და ≥ ნიშნით დაწერილ რიცხვით უტოლობებს აქვთ შემდეგი თვისებები:

• რეფლექსურობა a≥a და a≤a არის ჭეშმარიტი უტოლობა;
• ანტისიმეტრია, თუ a≤b, მაშინ b≥a და თუ a≥b, მაშინ b≤a.
• გარდამავალობა, თუ a≤b და b≤c, მაშინ a≤c, და ასევე, თუ a≥b და b≥c, მაშინ a≥c.

მათი მტკიცებულება ძალიან ჰგავს უკვე მოცემულს, ამიტომ ჩვენ არ შევჩერდებით მათზე, მაგრამ გადავალთ რიცხვითი უტოლობების სხვა მნიშვნელოვან თვისებებზე.

რიცხვითი უტოლობების სხვა მნიშვნელოვანი თვისებები

მოდით შევავსოთ რიცხვითი უტოლობების ძირითადი თვისებები დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობის შედეგების სერიით. გამონათქვამების მნიშვნელობების შეფასების მეთოდები ეფუძნება მათ, პრინციპებს უტოლობების ამოხსნადა ა.შ. ამიტომ, მიზანშეწონილია მათთან კარგად გაუმკლავდეთ.

ამ განყოფილებაში ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ უტოლობების თვისებებს მხოლოდ მკაცრი უტოლობის ერთი ნიშნისთვის, მაგრამ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ მსგავსი თვისებები ასევე მოქმედებს საპირისპირო ნიშნისთვის, ისევე როგორც არამკაცრი უტოლობის ნიშნებისთვის. ავხსნათ ეს მაგალითით. ქვემოთ ჩამოვაყალიბებთ და ვამტკიცებთ უტოლობათა თვისებას: თუ ა

• თუ a>b, მაშინ a+c>b+c;
• თუ a≤b, მაშინ a+c≤b+c;
• თუ a≥b, მაშინ a+c≥b+c.

მოხერხებულობისთვის წარმოგიდგენთ რიცხვითი უტოლობების თვისებებს სიის სახით, შესაბამისი განცხადების მიცემისას, ფორმალურად დაწერით ასოების გამოყენებით, ვაძლევთ მტკიცებულებებს და შემდეგ ვაჩვენებთ გამოყენების მაგალითებს. და სტატიის ბოლოს ჩვენ შევაჯამებთ რიცხვითი უტოლობების ყველა თვისებას ცხრილში. წადი!