რა რიცხვი კვადრატში იძლევა 121. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები ძირითადი კუთხეებისთვის
მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილი 1-დან 100-მდე
1 2 = 1
| 21 2 = 441
| 41 2 = 1681
| 61 2 = 3721
| 81 2 = 6561
|
მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილი 1-დან 999-მდე და წილადი რიცხვების ცხრილი 1,1-დან 9,99-მდე.
წილადი რიცხვების ძიების თანმიმდევრობა:
მაგალითად, გსურთ იპოვოთ 1.26 რიცხვის კვადრატი.
იპოვეთ ნომერი 1.2 მარცხენა ვერტიკალურ სვეტში და იპოვეთ 6 ზედა ჰორიზონტალურ რიგში.
1,2 და 6 რიცხვების გადაკვეთა სასურველი შედეგია: 1
,2
6
2
= 1,5876
ძიების მთელი რიგი:
უბრალოდ ამოიღეთ მძიმე და მიიღეთ სასურველი მთელი რიცხვის კვადრატი.
მაგალითი 1 (ორნიშნა რიცხვებისთვის): უნდა ვიპოვოთ 36 რიცხვის კვადრატი.
იპოვეთ 3.6 რიცხვის კვადრატი. ეს რიცხვია 12.96. ასე რომ 36 2 = 1296 (ამოღებულია ყველა მძიმე).
მაგალითი 2 (სამნიშნა რიცხვებისთვის): უნდა ვიპოვოთ 592 რიცხვის კვადრატი.
ვპოულობთ 5.9 და 2 რიცხვების კვეთას. ეს რიცხვია 35.0464. ასე რომ, 592 2 = 350464.
Შენიშვნა:
1) ერთნიშნა და ორნიშნა რიცხვების გამრავლების შედეგები პირველ სვეტშია (0 ქვეშ).
2) სამნიშნა რიცხვის კვადრატის საპოვნელად, რომელსაც ბოლოს აქვს ნული, თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ ორი ნული ორნიშნა რიცხვის კვადრატს. მაგალითად, 560 2 = 3136 00
(დაემატა 00 3136-ს და ამოიღეს მძიმეები). ამ მოქმედებების შედეგები ასევე პირველ სვეტშია (0-ზე ნაკლები).
6 | ||||||||||
1,2 | 1,5876 | |||||||||
* კვადრატები ასამდე
იმისათვის, რომ ფორმულის მიხედვით ყველა რიცხვი უაზროდ არ მოაწყოთ კვადრატი, თქვენ უნდა გაამარტივოთ თქვენი დავალება მაქსიმალურად შემდეგი წესებით.
წესი 1 (აწყვეტს 10 რიცხვს)
0-ით დამთავრებული რიცხვებისთვის.
თუ რიცხვი მთავრდება 0-ით, მისი გამრავლება არ არის უფრო რთული, ვიდრე ერთნიშნა რიცხვი. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის რამდენიმე ნულის დამატება.
70 * 70 = 4900.
ცხრილი მონიშნულია წითლად.
წესი 2 (აწყვეტს 10 რიცხვს)
5-ით დამთავრებული რიცხვებისთვის.
ორნიშნა რიცხვის კვადრატში, რომელიც მთავრდება 5-ით, გაამრავლეთ პირველი ციფრი (x) (x+1) და შედეგს დაამატეთ "25".
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
ცხრილი მონიშნულია მწვანეში.
წესი 3 (აჭრის 8 რიცხვს)
40-დან 50-მდე რიცხვებისთვის.
XX * XX = 1500 + 100 * მეორე ციფრი + (10 - მეორე ციფრი)^2
საკმარისად რთულია, არა? ავიღოთ მაგალითი:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
ცხრილი მონიშნულია ღია ნარინჯისფერით.
წესი 4 (აწყვეტს 8 რიცხვს)
50-დან 60-მდე რიცხვებისთვის.
XX * XX = 2500 + 100 * მეორე ციფრი + (მეორე ციფრი)^2
ასევე საკმაოდ რთული გასაგებია. ავიღოთ მაგალითი:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
მაგიდა მონიშნულია მუქი ნარინჯისფრით.
წესი 5 (აჭრის 8 რიცხვს)
90-დან 100-მდე რიცხვებისთვის.
XX * XX = 8000+ 200 * მეორე ციფრი + (10 - მეორე ციფრი)^2
მე-3 წესის მსგავსი, მაგრამ განსხვავებული კოეფიციენტებით. ავიღოთ მაგალითი:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
მაგიდა მონიშნულია მუქი მუქი ნარინჯისფერით.
წესი #6 (წყვეტს 32 რიცხვს)
აუცილებელია 40-მდე რიცხვების კვადრატების დამახსოვრება. ეს გიჟურად და რთულად ჟღერს, მაგრამ სინამდვილეში, 20-მდე, უმეტესობამ იცის კვადრატები. 25, 30, 35 და 40 ემსახურება ფორმულებს. და დარჩა მხოლოდ 16 წყვილი რიცხვი. მათი დამახსოვრება უკვე შესაძლებელია მნემონიკის გამოყენებით (რაზეც მოგვიანებით მინდა ვისაუბრო) ან ნებისმიერი სხვა საშუალებით. გამრავლების ცხრილის მსგავსად :)
ცხრილი მონიშნულია ლურჯად.
თქვენ შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ყველა წესი, ან შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ შერჩევით, ნებისმიერ შემთხვევაში, ყველა რიცხვი 1-დან 100-მდე ემორჩილება ორ ფორმულას. წესები დაგეხმარებათ, ამ ფორმულების გამოყენების გარეშე, სწრაფად გამოვთვალოთ ვარიანტების 70%-ზე მეტი. აქ არის ორი ფორმულა:
ფორმულები (დარჩენილია 24 ციფრი)
25-დან 50-მდე რიცხვებისთვის
XX * XX = 100 (XX - 25) + (50 - XX)^2
Მაგალითად:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369
50-დან 100-მდე რიცხვებისთვის
XX * XX = 200 (XX - 25) + (100 - XX)^2
Მაგალითად:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489
რა თქმა უნდა, არ დაივიწყოთ ჯამის კვადრატის გაფართოების ჩვეულებრივი ფორმულა (ნიუტონის ბინომის განსაკუთრებული შემთხვევა):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.
კვადრატი შეიძლება არ იყოს ყველაზე სასარგებლო რამ ოჯახში. მაშინვე არ გაგახსენდებათ შემთხვევა, როცა შეიძლება დაგჭირდეთ რიცხვის კვადრატი. მაგრამ რიცხვებთან სწრაფი მუშაობის უნარი, თითოეული რიცხვისთვის შესაბამისი წესების გამოყენება, შესანიშნავად ავითარებს თქვენი ტვინის მეხსიერებას და „გამოთვლის უნარებს“.
სხვათა შორის, ვფიქრობ, ჰაბრას ყველა მკითხველმა იცის, რომ 64^2 = 4096 და 32^2 = 1024.
ასოციაციურ დონეზე ახსოვს რიცხვების მრავალი კვადრატი. მაგალითად, მე ადვილად დავიმახსოვრე 88^2 = 7744 ერთი და იგივე რიცხვების გამო. ყველას ექნება საკუთარი მახასიათებლები.
პირველად აღმოვაჩინე ორი უნიკალური ფორმულა წიგნში „13 ნაბიჯი მენტალიზმამდე“, რომელსაც მცირე კავშირი აქვს მათემატიკასთან. ფაქტია, რომ ადრე (შესაძლოა ახლაც) უნიკალური გამოთვლითი შესაძლებლობები იყო ერთ-ერთი რიცხვი სასცენო მაგიაში: ჯადოქარმა უთხრა ველოსიპედს, თუ როგორ მიიღო ზესახელმწიფოები და ამის დასტურად მყისიერად აყალიბებს რიცხვებს ასამდე. წიგნში ასევე ნაჩვენებია, თუ როგორ უნდა კუბური, როგორ გამოვაკლოთ ფესვები და კუბური ფესვები.
თუ სწრაფი დათვლის თემა საინტერესოა, დავწერ კიდევ.
გთხოვთ დაწეროთ კომენტარები შეცდომებზე და შესწორებებზე PM-ში, მადლობა წინასწარ.
მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილი 0-დან 99-მდე.
| x 2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
ცხრილის გამოსაყენებლად აირჩიეთ ათეულების რაოდენობა ვერტიკალურად, ერთეულების რაოდენობა ჰორიზონტალურად და შედეგს დაინახავთ გზაჯვარედინზე. მაგალითად, 3 8 2 = 1444.
2
მთელი რიცხვების კუბების ცხრილი 0-დან 99-მდე.
| x 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
| 1 | 1000 | 1331 | 1728 | 2197 | 2744 | 3375 | 4096 | 4913 | 5832 | 6859 |
| 2 | 8000 | 9261 | 10648 | 12167 | 13824 | 15625 | 17576 | 19683 | 21952 | 24389 |
| 3 | 27000 | 29791 | 32768 | 35937 | 39304 | 42875 | 46656 | 50653 | 54872 | 59319 |
| 4 | 64000 | 68921 | 74088 | 79507 | 85184 | 91125 | 97336 | 103823 | 110592 | 117649 |
| 5 | 125000 | 132651 | 140608 | 148877 | 157464 | 166375 | 175616 | 185193 | 195112 | 205379 |
| 6 | 216000 | 226981 | 238328 | 250047 | 262144 | 274625 | 287496 | 300763 | 314432 | 328509 |
| 7 | 343000 | 357911 | 373248 | 389017 | 405224 | 421875 | 438976 | 456533 | 474552 | 493039 |
| 8 | 512000 | 531441 | 551368 | 571787 | 592704 | 614125 | 636056 | 658503 | 681472 | 704969 |
| 9 | 729000 | 753571 | 778688 | 804357 | 830584 | 857375 | 884736 | 912673 | 941192 | 970299 |
ცხრილის გამოსაყენებლად აირჩიეთ ათეულების რაოდენობა ვერტიკალურად, ერთეულების რაოდენობა ჰორიზონტალურად და შედეგს დაინახავთ გზაჯვარედინზე. მაგალითად, 1 2 3 = 1728.
სხვა მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმა:
3
მთელი რიცხვების კვადრატული ფესვების ცხრილი 0-დან 99-მდე დამრგვალებულია მეხუთე ათწილადამდე.
| √ x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 1,41421 | 1,73205 | 2 | 2,23607 | 2,44949 | 2,64575 | 2,82843 | 3 |
| 1 | 3,16228 | 3,31662 | 3,4641 | 3,60555 | 3,74166 | 3,87298 | 4 | 4,12311 | 4,24264 | 4,3589 |
| 2 | 4,47214 | 4,58258 | 4,69042 | 4,79583 | 4,89898 | 5 | 5,09902 | 5,19615 | 5,2915 | 5,38516 |
| 3 | 5,47723 | 5,56776 | 5,65685 | 5,74456 | 5,83095 | 5,91608 | 6 | 6,08276 | 6,16441 | 6,245 |
| 4 | 6,32456 | 6,40312 | 6,48074 | 6,55744 | 6,63325 | 6,7082 | 6,78233 | 6,85565 | 6,9282 | 7 |
| 5 | 7,07107 | 7,14143 | 7,2111 | 7,28011 | 7,34847 | 7,4162 | 7,48331 | 7,54983 | 7,61577 | 7,68115 |
| 6 | 7,74597 | 7,81025 | 7,87401 | 7,93725 | 8 | 8,06226 | 8,12404 | 8,18535 | 8,24621 | 8,30662 |
| 7 | 8,3666 | 8,42615 | 8,48528 | 8,544 | 8,60233 | 8,66025 | 8,7178 | 8,77496 | 8,83176 | 8,88819 |
| 8 | 8,94427 | 9 | 9,05539 | 9,11043 | 9,16515 | 9,21954 | 9,27362 | 9,32738 | 9,38083 | 9,43398 |
| 9 | 9,48683 | 9,53939 | 9,59166 | 9,64365 | 9,69536 | 9,74679 | 9,79796 | 9,84886 | 9,89949 | 9,94987 |
ცხრილის გამოსაყენებლად აირჩიეთ ათეულების რაოდენობა ვერტიკალურად, ერთეულების რაოდენობა ჰორიზონტალურად და შედეგს დაინახავთ გზაჯვარედინზე. მაგალითად, √ 1 0 ≈ 3,16228 .
სხვა მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმა:
√
მთელი რიცხვების კუბური ფესვების ცხრილი 0-დან 99-მდე დამრგვალებულია მეხუთე ათწილადამდე.
| 3 √ x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 1,25992 | 1,44225 | 1,5874 | 1,70998 | 1,81712 | 1,91293 | 2 | 2,08008 |
| 1 | 2,15443 | 2,22398 | 2,28943 | 2,35133 | 2,41014 | 2,46621 | 2,51984 | 2,57128 | 2,62074 | 2,6684 |
| 2 | 2,71442 | 2,75892 | 2,80204 | 2,84387 | 2,8845 | 2,92402 | 2,9625 | 3 | 3,03659 | 3,07232 |
| 3 | 3,10723 | 3,14138 | 3,1748 | 3,20753 | 3,23961 | 3,27107 | 3,30193 | 3,33222 | 3,36198 | 3,39121 |
| 4 | 3,41995 | 3,44822 | 3,47603 | 3,5034 | 3,53035 | 3,55689 | 3,58305 | 3,60883 | 3,63424 | 3,65931 |
| 5 | 3,68403 | 3,70843 | 3,73251 | 3,75629 | 3,77976 | 3,80295 | 3,82586 | 3,8485 | 3,87088 | 3,893 |
| 6 | 3,91487 | 3,9365 | 3,95789 | 3,97906 | 4 | 4,02073 | 4,04124 | 4,06155 | 4,08166 | 4,10157 |
| 7 | 4,12129 | 4,14082 | 4,16017 | 4,17934 | 4,19834 | 4,21716 | 4,23582 | 4,25432 | 4,27266 | 4,29084 |
| 8 | 4,30887 | 4,32675 | 4,34448 | 4,36207 | 4,37952 | 4,39683 | 4,414 | 4,43105 | 4,44796 | 4,46475 |
| 9 | 4,4814 | 4,49794 | 4,51436 | 4,53065 | 4,54684 | 4,5629 | 4,57886 | 4,5947 | 4,61044 | 4,62607 |
ცხრილის გამოსაყენებლად აირჩიეთ ათეულების რაოდენობა ვერტიკალურად, ერთეულების რაოდენობა ჰორიზონტალურად და შედეგს დაინახავთ გზაჯვარედინზე. მაგალითად, 3 √ 2 8 ≈ 3,03659 .
სხვა მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმა:
3 √
სტანდარტული არგუმენტების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი) მნიშვნელობების ცხრილი.
| π |
| π |
| π |
| 2π |
| 3π |
ცხრილის გამოსაყენებლად აირჩიეთ ფუნქცია ვერტიკალურად, არგუმენტის მნიშვნელობა ჰორიზონტალურად და კვეთაზე ნახავთ შედეგს. მაგალითად, ცოდვა 90° = 1.
სხვა მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმა:
sin cos tg ctg °
სტანდარტული არგუმენტების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების (რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი, რკოტანგენსი) რეციპროკალების ცხრილი რადიანებში.
| arcf(x) | 0 | 1 | -1 | 1 / 2 | - 1 / 2 | √ 2 / 2 | - √ 2 / 2 | √ 3 / 2 | - √ 3 / 2 | √ 3 | -√ 3 | 1 / √ 3 | - 1 / √ 3 |
| რკალი ( x) | 0 | π / 2 | - π / 2 | π / 6 | - π / 6 | π / 4 | - π / 4 | π / 3 | - π / 3 | - | - | 0.6155 | -0.6155 |
| arccos ( x) | π / 2 | 0 | π | π / 3 | 2π / 3 | π / 4 | 3π / 4 | π / 6 | 5π / 6 | - | - | 0,9553 | 2,1863 |
| arctg( x) | 0 | π / 4 | - π / 4 | 0.4636 | -0.4636 | 0.6155 | -0.6155 | 0.7137 | -0.7137 | π / 3 | - π / 3 | π / 6 | - π / 6 |
| arcctg( x) | π / 2 | π / 4 | 3π / 4 | 1.1071 | 2.0344 | 0.9553 | 2.1863 | 0.8571 | 2.2845 | π / 6 | 5π / 6 | π / 3 | 2π / 3 |
ცხრილის გამოსაყენებლად აირჩიეთ ფუნქცია ვერტიკალურად, არგუმენტის მნიშვნელობა ჰორიზონტალურად და კვეთაზე ნახავთ შედეგს. მაგალითად, arccos -1 = π.
სხვა მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმა (შედეგი გრადუსით):
arcsin arccos arctg °
მთელი რიცხვების ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილი 0-დან 99-მდე დამრგვალებულია მეხუთე ათწილადამდე.
| ln( x) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | -INF | 0 | 0,69315 | 1,09861 | 1,38629 | 1,60944 | 1,79176 | 1,94591 | 2,07944 | 2,19722 |
| 1 | 2,30259 | 2,3979 | 2,48491 | 2,56495 | 2,63906 | 2,70805 | 2,77259 | 2,83321 | 2,89037 | 2,94444 |
| 2 | 2,99573 | 3,04452 | 3,09104 | 3,13549 | 3,17805 | 3,21888 | 3,2581 | 3,29584 | 3,3322 | 3,3673 |
| 3 | 3,4012 | 3,43399 | 3,46574 | 3,49651 | 3,52636 | 3,55535 | 3,58352 | 3,61092 | 3,63759 | 3,66356 |
| 4 | 3,68888 | 3,71357 | 3,73767 | 3,7612 | 3,78419 | 3,80666 | 3,82864 | 3,85015 | 3,8712 | 3,89182 |
| 5 | 3,91202 | 3,93183 | 3,95124 | 3,97029 | 3,98898 | 4,00733 | 4,02535 | 4,04305 | 4,06044 | 4,07754 |
| 6 | 4,09434 | 4,11087 | 4,12713 | 4,14313 | 4,15888 | 4,17439 | 4,18965 | 4,20469 | 4,21951 | 4,23411 |
| 7 | 4,2485 | 4,26268 | 4,27667 | 4,29046 | 4,30407 | 4,31749 | 4,33073 | 4,34381 | 4,35671 | 4,36945 |
| 8 | 4,38203 | 4,39445 | 4,40672 | 4,41884 | 4,43082 | 4,44265 | 4,45435 | 4,46591 | 4,47734 | 4,48864 |
| 9 | 4,49981 | 4,51086 | 4,52179 | 4,5326 | 4,54329 | 4,55388 | 4,56435 | 4,57471 | 4,58497 | 4,59512 |
ცხრილის გამოსაყენებლად აირჩიეთ ათეულების რაოდენობა ვერტიკალურად, ერთეულების რაოდენობა ჰორიზონტალურად და შედეგს დაინახავთ გზაჯვარედინზე. მაგალითად, ln 4 2 = 3.73767.
