რიცხვის მოდული (რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა), განმარტებები, მაგალითები, თვისებები. რეალური რიცხვების გამოსახვა რიცხვთა წრფეზე

11.02.2022 | მასწავლებელი

თავი 1 ცვლადები და ფუნქციები

§1.1. რეალური რიცხვები
რეალურ რიცხვებთან პირველი გაცნობა მათემატიკის სასკოლო კურსზე ხდება. ნებისმიერი რეალური რიცხვი წარმოდგენილია სასრული ან უსასრულო ათობითი წილადით.

რეალური (რეალური) რიცხვები იყოფა ორ კლასად: რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების კლასად. რაციონალურიციფრებს უწოდებენ, რომლებიც ჰგავს , სად მდა ნარის coprime მთელი რიცხვები, მაგრამ
. (რაციონალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასოებით ქ). დანარჩენი რეალური რიცხვები ეწოდება ირაციონალური. რაციონალური რიცხვები წარმოდგენილია სასრული ან უსასრულო პერიოდული წილადით (იგივე საერთო წილადები), მაშინ ის და მხოლოდ ის რეალური რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო არაპერიოდული წილადებით, იქნება ირაციონალური.

მაგალითად, ნომერი
- რაციონალური და
,
,
და ა.შ. არის ირაციონალური რიცხვები.

რეალური რიცხვები ასევე შეიძლება დაიყოს ალგებრულ რიცხვებად - მრავალწევრის ფესვები რაციონალური კოეფიციენტებით (ეს მოიცავს, კერძოდ, ყველა რაციონალურ რიცხვს - განტოლების ფესვებს
) - და ტრანსცენდენტული - ყველა დანარჩენი (მაგალითად, რიცხვები
და სხვა).

ყველა ნატურალური, მთელი, რეალური რიცხვების სიმრავლეები აღინიშნება შემდეგნაირად: ნზ, რ
(სიტყვების Naturel, Zahl, Reel საწყისი ასოები).

§1.2. რეალური რიცხვების გამოსახულება რიცხვთა წრფეზე. ინტერვალები

გეომეტრიულად (სიცხადისთვის), რეალური რიცხვები წარმოდგენილია უსასრულო (ორივე მიმართულებით) სწორი ხაზის წერტილებით, ე.წ. რიცხვითი ღერძი. ამ მიზნით, განსახილველ ხაზზე აღებულია წერტილი (საცნობარო წერტილი არის წერტილი 0), მითითებულია დადებითი მიმართულება, გამოსახულია ისრით (ჩვეულებრივ მარჯვნივ) და არჩეულია სასწორის ერთეული, რომელიც გამოყოფილია. განუსაზღვრელი ვადით 0 წერტილის ორივე მხარეს. ასე გამოისახება მთელი რიცხვები. რიცხვის ერთი ათწილადის გამოსახატავად, თითოეული სეგმენტი უნდა დაიყოს ათ ნაწილად და ა.შ. ამრიგად, თითოეული რეალური რიცხვი წარმოდგენილია რიცხვითი წრფის წერტილით. პირიქით, ყოველი წერტილი
შეესაბამება სეგმენტის სიგრძის ტოლ ნამდვილ რიცხვს
და აღებულია "+" ან "-" ნიშნით, იმისდა მიხედვით, წერტილი მდებარეობს საწყისის მარჯვნივ თუ მარცხნივ. ამრიგად, მყარდება ერთი-ერთზე შესაბამისობა ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლესა და რიცხვითი ღერძის ყველა წერტილის სიმრავლეს შორის. ტერმინები "რეალური რიცხვი" და "რიცხობრივი ღერძის წერტილი" გამოიყენება როგორც სინონიმები.

სიმბოლო აღვნიშნავთ როგორც ნამდვილ რიცხვს, ასევე მის შესაბამის წერტილს. დადებითი რიცხვები განლაგებულია 0 წერტილის მარჯვნივ, უარყოფითი - მარცხნივ. Თუ
, შემდეგ რეალურ ღერძზე წერტილი დევს წერტილის მარცხნივ . დაუშვით წერტილი
რიცხვს შეესაბამება, შემდეგ რიცხვს წერტილის კოორდინატი ეწოდება, წერენ
; უფრო ხშირად, თავად წერტილი აღინიშნება იგივე ასოთი, რაც რიცხვი. წერტილი 0 არის კოორდინატების საწყისი. ღერძი ასევე აღინიშნება ასოთი (ნახ.1.1).

ბრინჯი. 1.1. რიცხვითი ღერძი.
ტყუილი ყველა რიცხვის ნაკრები შორისმოცემული რიცხვები და ეწოდება ინტერვალი ან ინტერვალი; ბოლოები შეიძლება ეკუთვნოდეს ან არ ეკუთვნოდეს მას. მოდით განვმარტოთ ეს. დაე
. რიცხვების ნაკრები, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას
, ეწოდება ინტერვალი (ვიწრო გაგებით) ან ღია ინტერვალი, რომელიც აღინიშნება სიმბოლოთი
(ნახ.1.2).

ბრინჯი. 1.2. ინტერვალი
რიცხვების კრებული ისეთი, რომ
ეწოდება დახურული ინტერვალი (სეგმენტი, სეგმენტი) და აღინიშნება
; ციფრულ ღერძზე აღინიშნება შემდეგნაირად:

ბრინჯი. 1.3. დახურული ინტერვალი
იგი ღია უფსკრულისაგან განსხვავდება მხოლოდ ორი წერტილით (ბოლოებით) და . მაგრამ ეს განსხვავება ფუნდამენტური, არსებითია, როგორც ამას მოგვიანებით დავინახავთ, მაგალითად, ფუნქციების თვისებების შესწავლისას.

სიტყვების გამოტოვება "ყველა რიცხვის სიმრავლე (პუნქტი) xასე რომ " და ა.შ., ჩვენ შემდგომში აღვნიშნავთ:

და
, აღნიშნა
და
ნახევრად ღია, ან ნახევრად დახურული ინტერვალები (ზოგჯერ: ნახევრად ინტერვალები);

ან
ნიშნავს:
ან
და აღნიშნა
ან
;

ან
ნიშნავს
ან
და აღნიშნა
ან
;

, აღნიშნა
ყველა რეალური რიცხვის ნაკრები. სამკერდე ნიშნები
"უსასრულობის" სიმბოლოები; მათ უწოდებენ არასწორ ან იდეალურ რიცხვებს.

§1.3. რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა (ან მოდული).
განმარტება. აბსოლუტური მნიშვნელობა (ან მოდული)რიცხვს ეწოდება თავად ნომერი, თუ
ან
თუ
. აბსოლუტური მნიშვნელობა აღინიშნება სიმბოლოთი . Ისე,

Მაგალითად,
,
,
.

გეომეტრიულად ნიშნავს წერტილოვან მანძილს აკოორდინატების წარმოშობამდე. თუ გვაქვს ორი წერტილი და , მაშინ მათ შორის მანძილი შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც
(ან
). Მაგალითად,
რომ მანძილი
.

აბსოლუტური სიდიდეების თვისებები.

1. განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ

,
, ანუ
.

2. ჯამისა და სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება აბსოლუტური სიდიდეების ჯამს:
.

1) თუ
, მაშინ
. 2) თუ
, მაშინ . ▲

3.
.

, შემდეგ თვისებით 2:
, ე.ი.
. ანალოგიურად თუ წარმოვიდგენთ
, მაშინ მივდივართ უთანასწორობამდე
▲

4.
– გამომდინარეობს განმარტებიდან: განიხილეთ შემთხვევები
და
.

5.
, იმ პირობით, რომ
იგივე გამომდინარეობს განმარტებიდან.

6. უთანასწორობა
,
, ნიშნავს
. ამ უთანასწორობას აკმაყოფილებენ შორის არსებული წერტილები
და
.

7. უთანასწორობა
უდრის უთანასწორობას
, ე.ი. . ეს არის სიგრძის წერტილზე ორიენტირებული ინტერვალი
. მას ეძახიან
წერტილის (ნომრის) მეზობლობა . Თუ
, მაშინ მეზობლობას პუნქცია ჰქვია: ეს ან
. (სურ.1.4).

8.
საიდანაც გამომდინარეობს, რომ უთანასწორობა
(
) უდრის უტოლობას
ან
; და უთანასწორობა
განსაზღვრავს პუნქტების სიმრავლეს, რისთვისაც
, ე.ი. არის წერტილები სეგმენტის გარეთ
, ზუსტად:
და
.

§1.4. ზოგიერთი ცნება, აღნიშვნა
მოდით მივცეთ რამდენიმე ფართოდ გამოყენებული კონცეფცია, აღნიშვნები სიმრავლეების თეორიიდან, მათემატიკური ლოგიკით და თანამედროვე მათემატიკის სხვა დარგებიდან.

1 . შინაარსი კომპლექტიარის ერთ-ერთი საბაზისო მათემატიკაში, საწყისი, უნივერსალური - და ამიტომ მისი განსაზღვრა შეუძლებელია. მისი მხოლოდ აღწერა შეიძლება (სინონიმებით ჩანაცვლება): ეს არის კრებული, რაღაც საგნების, საგნების ერთობლიობა, რაღაც ნიშნებით გაერთიანებული. ამ ობიექტებს ე.წ ელემენტებიკომპლექტი. მაგალითები: ქვიშის ბევრი მარცვალი ნაპირზე, ვარსკვლავები სამყაროში, სტუდენტები კლასში, განტოლების ფესვები, სეგმენტის წერტილები. სიმრავლეები, რომელთა ელემენტებიც რიცხვებია, ეწოდება რიცხვითი კომპლექტები. ზოგიერთი სტანდარტული ნაკრებისთვის შემოღებულია სპეციალური აღნიშვნა, მაგალითად, ნ,ზ,R-იხილეთ § 1.1.

დაე ა- კომპლექტი და xარის მისი ელემენტი, მაშინ ვწერთ:
; კითხულობს " xეკუთვნის ა» (
ელემენტების ჩართვის ნიშანი). თუ ობიექტი xარ შედის ა, მერე წერენ
; ნათქვამია: " xარ ეკუთვნის ა". Მაგალითად,
ნ; 8,51ნ; მაგრამ 8.51 რ.

Თუ xარის ნაკრების ელემენტების ზოგადი აღნიშვნა ა, მერე წერენ
. თუ შესაძლებელია ყველა ელემენტის აღნიშვნის ამოწერა, მაშინ ჩაწერეთ
,
და ა.შ სიმრავლეს, რომელიც არ შეიცავს ერთ ელემენტს, ეწოდება ცარიელი სიმრავლე და აღინიშნება სიმბოლოთი ; მაგალითად, განტოლების (რეალური) ფესვების სიმრავლე
არის ცარიელი.

კომპლექტი ე.წ საბოლოოთუ იგი შედგება სასრული რაოდენობის ელემენტებისაგან. თუმცა, თუ რა ნატურალური რიცხვიც არ უნდა იყოს მიღებული N, სიმრავლეში ამაშინ N-ზე მეტი ელემენტია ადაურეკა გაუთავებელინაკრები: მასში უსაზღვროდ ბევრი ელემენტია.

თუ ნაკრების ყოველი ელემენტი ^ აკომპლექტს ეკუთვნის ბ, მაშინ სიმრავლის ნაწილს ან ქვესიმრავლეს უწოდებენ ბდა დაწერე
; კითხულობს " აშეიცავს ბ» (
არის ჩართვის ნიშანი კომპლექტებისთვის). Მაგალითად, ნზრ.თუ და
, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ კომპლექტი ადა ბთანაბარი და დაწერე
. წინააღმდეგ შემთხვევაში დაწერე
. მაგალითად, თუ
, ა
განტოლების ფესვების ნაკრები
, მაშინ .

ორივე ნაკრების ელემენტების ნაკრები ადა ბდაურეკა ასოციაციაადგენს და აღინიშნება
(ზოგჯერ
). ელემენტების ერთობლიობა, რომელიც ეკუთვნის და ადა ბ, ეწოდება კვეთაადგენს და აღინიშნება
. ნაკრების ყველა ელემენტის ნაკრები ^ ა, რომლებიც არ შედის ბ, ეწოდება განსხვავებაადგენს და აღინიშნება
. სქემატურად, ეს ოპერაციები შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად:

თუ შესაძლებელია კომპლექტების ელემენტებს შორის ერთი-ერთზე კორესპონდენციის დადგენა, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ ეს სიმრავლეები ეკვივალენტურია და წერენ
. ნებისმიერი კომპლექტი ა, ნატურალური რიცხვების სიმრავლის ტოლფასი ნ= დაუძახეს თვლადიან თვლადი.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიმრავლეს ეწოდება თვლადი, თუ მისი ელემენტები შეიძლება იყოს დანომრილი, მოთავსებული უსასრულობაში შემდგომი მიმდევრობა
, რომლის ყველა წევრი განსხვავებულია:
ზე
და შეიძლება დაიწეროს როგორც . სხვა უსასრულო კომპლექტები ეწოდება უთვალავი. თვლადი, გარდა თავად ნაკრებისა N,იქნება, მაგალითად, კომპლექტები
, ზ.გამოდის, რომ რაციონალური და ალგებრული რიცხვების სიმრავლეები თვლადია, ხოლო ყველა ირაციონალური, ტრანსცენდენტული, რეალური რიცხვისა და ნებისმიერი წერტილის ეკვივალენტური სიმრავლე უთვალავია. ისინი ამბობენ, რომ ამ უკანასკნელებს აქვთ კონტინიუმის ძალა (ძალა არის ელემენტების რაოდენობის (რაოდენობის) კონცეფციის განზოგადება უსასრულო სიმრავლისთვის).

2 . იყოს ორი განცხადება, ორი ფაქტი: და
. სიმბოლო
ნიშნავს: "თუ მართალია, მაშინ მართალია და" ან "მოყვება", "იგულისხმება, რომ განტოლების ფესვს აქვს თვისება ინგლისურიდან. არსებობს-არსებობს.

ჩაწერა:

, ან
, ნიშნავს: არის (მინიმუმ ერთი) ობიექტი, რომელსაც აქვს საკუთრება . Ჩანაწერი
, ან
, ნიშნავს: ყველას აქვს ქონება. კერძოდ, შეგვიძლია დავწეროთ:
და .

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ $R$ რეალური რიცხვების სიმრავლე იქმნება რაციონალური და ირაციონალური რიცხვებით.

რაციონალური რიცხვები ყოველთვის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათწილადების სახით (სასრული ან უსასრულო პერიოდული).

ირაციონალური რიცხვები იწერება როგორც უსასრულო, მაგრამ არაგანმეორებადი ათწილადები.

რეალური რიცხვების სიმრავლე $R$ ასევე შეიცავს ელემენტებს $-\infty $ და $+\infty $, რომლისთვისაც უტოლობები $-\infty

განიხილეთ რეალური რიცხვების წარმოდგენის გზები.

საერთო წილადები

ჩვეულებრივი წილადები იწერება ორი ნატურალური რიცხვისა და ჰორიზონტალური წილადი ზოლის გამოყენებით. წილადი ზოლი რეალურად ცვლის გაყოფის ნიშანს. წრფის ქვემოთ რიცხვი არის მნიშვნელი (გამყოფი), წრფის ზემოთ რიცხვი არის მრიცხველი (გამყოფი).

განმარტება

წილადს მართებული ეწოდება, თუ მისი მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია. პირიქით, წილადს უწოდებენ არასწორს, თუ მისი მრიცხველი აღემატება ან ტოლია მის მნიშვნელზე.

ჩვეულებრივი წილადებისთვის არის მარტივი, პრაქტიკულად აშკარა, შედარების წესები ($m$,$n$,$p$ არის ნატურალური რიცხვები):

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე ორი წილადიდან, უფრო დიდი მრიცხველის მქონე უფრო დიდია, ანუ $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ $m>n$-ისთვის;
ორი წილადიდან ერთი და იგივე მრიცხველებით, პატარა მნიშვნელის მქონე წილადი უფრო დიდია, ანუ $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ $ m-ისთვის
სწორი წილადი ყოველთვის ერთზე ნაკლებია; არასწორი წილადი ყოველთვის ერთზე მეტია; წილადი, რომლის მრიცხველიც მნიშვნელის ტოლია, ერთის ტოლია;
ნებისმიერი არასწორი წილადი აღემატება ნებისმიერ სათანადო წილადს.

ათწილადი რიცხვები

ათობითი რიცხვის აღნიშვნას (ათწილადი წილადი) აქვს ფორმა: მთელი ნაწილი, ათობითი წერტილი, წილადი ნაწილი. ჩვეულებრივი წილადის ათობითი აღნიშვნა შეიძლება მივიღოთ მრიცხველის „კუთხის“ მნიშვნელზე გაყოფით. ამან შეიძლება გამოიწვიოს სასრული ათობითი წილადი ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი.

განმარტება

წილადის ციფრებს ათწილადი ადგილები ეწოდება. ამ შემთხვევაში ათწილადის შემდეგ პირველ ციფრს ეწოდება მეათედი ციფრი, მეორეს - მეასედის, მესამეს - მეათასედის ციფრს და ა.შ.

მაგალითი 1

ჩვენ განვსაზღვრავთ ათობითი რიცხვის მნიშვნელობას 3.74. ვიღებთ: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

ათობითი რიცხვი შეიძლება დამრგვალდეს. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა მიუთითოთ ციფრი, რომელზეც შესრულებულია დამრგვალება.

დამრგვალების წესი ასეთია:

ამ ციფრის მარჯვნივ ყველა ციფრი შეიცვლება ნულებით (თუ ეს ციფრები ათწილადის წერტილამდეა) ან გაუქმებულია (თუ ეს ციფრები არის ათობითი წერტილის შემდეგ);
თუ მოცემული ციფრის შემდეგ პირველი ციფრი 5-ზე ნაკლებია, მაშინ ამ ციფრის ციფრი არ იცვლება;
თუ მოცემული ციფრის შემდეგ პირველი ციფრი არის 5 ან მეტი, მაშინ ამ ციფრის ციფრი იზრდება ერთით.

მაგალითი 2

დავამრგვალოთ რიცხვი 17302 ათასამდე: 17000.
დავამრგვალოთ რიცხვი 17378 უახლოეს ასეულამდე: 17400.
დავამრგვალოთ რიცხვი 17378,45 ათეულებზე: 17380.
დავამრგვალოთ რიცხვი 378.91434 მეასედამდე: 378.91.
დავამრგვალოთ რიცხვი 378.91534 მეასედამდე: 378.92.

ათობითი რიცხვის გადაქცევა საერთო წილადად.

შემთხვევა 1

ათობითი რიცხვი არის ბოლო ათწილადი.

კონვერტაციის მეთოდი ნაჩვენებია შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 2

გვაქვს: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

შეამცირეთ საერთო მნიშვნელამდე და მიიღეთ:

წილადი შეიძლება შემცირდეს: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

შემთხვევა 2

ათობითი რიცხვი არის უსასრულო განმეორებადი ათწილადი.

ტრანსფორმაციის მეთოდი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ პერიოდული ათობითი წილადის პერიოდული ნაწილი შეიძლება ჩაითვალოს უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრების ჯამად.

მაგალითი 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. პროგრესიის პირველი წევრია $a=0.74$, პროგრესიის მნიშვნელი არის $q=0.01$.

მაგალითი 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . პროგრესიის პირველი წევრია $a=0.08$, პროგრესიის მნიშვნელი არის $q=0.1$.

უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი გამოითვლება $s=\frac(a)(1-q) $ ფორმულით, სადაც $a$ არის პირველი წევრი და $q$ არის $ პროგრესიის მნიშვნელი. \მარცხნივ (0

მაგალითი 6

მოდით გადავიყვანოთ უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი $0,\left(72\right)$ ჩვეულებრივად.

პროგრესიის პირველი წევრია $a=0.72$, პროგრესიის მნიშვნელი არის $q=0.01$. ვიღებთ: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)(99) =\frac(8) ) (11) $. ასე რომ, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

მაგალითი 7

გადავიყვანოთ უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი $0.5\left(3\right)$ ჩვეულებრივად.

პროგრესიის პირველი წევრია $a=0.03$, პროგრესიის მნიშვნელი არის $q=0.1$. ვიღებთ: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)(90) =\frac(1 ) (30)$.

ასე რომ, $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

რეალური რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რიცხვითი ხაზის წერტილებით.

ამ შემთხვევაში ციფრულ ღერძს ვუწოდებთ უსასრულო სწორ ხაზს, რომელზედაც არჩეულია საწყისი (წერტილი $O$), დადებითი მიმართულება (მითითებულია ისრით) და მასშტაბი (მნიშვნელობების საჩვენებლად).

ყველა რეალურ რიცხვსა და რიცხვითი ღერძის ყველა წერტილს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა: თითოეული წერტილი შეესაბამება ერთ რიცხვს და, პირიქით, თითოეული რიცხვი შეესაბამება ერთ წერტილს. მაშასადამე, ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე უწყვეტი და უსასრულოა ისევე, როგორც რიცხვითი ღერძი უწყვეტი და უსასრულო.

რეალური რიცხვების სიმრავლის ზოგიერთ ქვეჯგუფს რიცხვითი ინტერვალები ეწოდება. რიცხვითი ინტერვალის ელემენტებია რიცხვები $x\in R$, რომლებიც აკმაყოფილებენ გარკვეულ უტოლობას. მოდით $a\in R$, $b\in R$ და $a\le b$. ამ შემთხვევაში, ხარვეზების ტიპები შეიძლება იყოს შემდეგი:

ინტერვალი $\left(a,\; b\right)$. ამავე დროს $ ა
სეგმენტი $\left$. უფრო მეტიც, $a\le x\le b$.
ნახევრად სეგმენტები ან ნახევარი ინტერვალები $\left$. ამავე დროს $ a \le x
უსასრულო დიაპაზონი, მაგ. $a

დიდი მნიშვნელობა აქვს ასევე ერთგვარ ინტერვალს, რომელსაც წერტილის მეზობლობა ეწოდება. მოცემული $x_(0) წერტილის მეზობლობა \R$-ში არის თვითნებური ინტერვალი $\left(a,\; b\right)$, რომელიც შეიცავს ამ წერტილს თავის შიგნით, ანუ $a 0$ - მე-10 რადიუსი.

რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა

$x$ რეალური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა (ან მოდული) არის არაუარყოფითი რეალური რიცხვი $\left|x\right|$, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით: $\left|x\right|=\left\(\ დასაწყისი (მასივი) (გ) (\; \; x\; \; (\rm ჩართულია)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm ჩართულია)\; \; x

გეომეტრიულად, $\left|x\right|$ ნიშნავს მანძილს $x$-სა და 0-ს შორის რეალურ ღერძზე.

აბსოლუტური სიდიდეების თვისებები:

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
ჯამის მოდულისთვის და ორი რიცხვის სხვაობის მოდულისთვის უტოლობები $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ მარცხენა|x-y\მარჯვნივ|\le \მარცხნივ|x\მარჯვნივ|+\მარცხნივ|y\მარჯვნივ|$ და ასევე $\მარცხნივ|x+y\მარჯვნივ|\ge \მარცხნივ|x\მარჯვნივ|-\მარცხნივ|y \მარჯვნივ|$,$\ მარცხენა|x-y\right|\ge \მარცხნივ|x\მარჯვნივ|-\მარცხნივ|y\მარჯვნივ|$;
ნამრავლის მოდული და ორი რიცხვის კოეფიციენტის მოდული აკმაყოფილებს $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ და $\left |\frac(x)(y) \მარჯვნივ

$a>0$ თვითნებური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის განსაზღვრაზე დაყრდნობით, ასევე შეიძლება დავადგინოთ შემდეგი წყვილი უტოლობების ეკვივალენტობა:

თუ $ \მარცხნივ|x\მარჯვნივ|
თუ $\left|x\right|\le a$ მაშინ $-a\le x\le a$;
თუ $\left|x\right|>a$ მაშინ ან $xa$;
თუ $\left|x\right|\ge a$, მაშინ ან $x\le -a$ ან $x\ge a$.

მაგალითი 8

ამოხსენით უტოლობა $\left|2\cdot x+1\right|

ეს უტოლობა უდრის $-7 უტოლობას

აქედან ვიღებთ: $-8

No1. რაციონალური რიცხვების თვისებები.

 მოწესრიგებულობა . ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის და არსებობს წესი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ცალსახად ამოიცნოთ მათ შორის ერთი და სამი სამიდან მხოლოდ ერთი ურთიერთობები: "", "" ან "". ამ წესს ე.წ შეკვეთის წესიდა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ორი დადებითი რიცხვი დაკავშირებულია იგივე მიმართებით, როგორც ორი მთელი რიცხვი; ორი არადადებითი რიცხვი და დაკავშირებულია იგივე მიმართებით, როგორც ორი არაუარყოფითი რიცხვი და; თუ მოულოდნელად არა უარყოფითი, არამედ უარყოფითი, მაშინ.

წილადების ჯამი

 დამატების ოპერაცია . შეჯამების წესი, რაც მათ შესაბამისობაში აყენებს რაღაც რაციონალურ რიცხვთან . ამ შემთხვევაში, თავად ნომერი ეწოდება ჯამი რიცხვები u აღინიშნება და ასეთი რიცხვის პოვნის პროცესი ეწოდება შეჯამება. შეჯამების წესს აქვს შემდეგი ფორმა: .

 გამრავლების ოპერაცია . ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის და არსებობს ე.წ გამრავლების წესი, რაც მათ შესაბამისობაში აყენებს რაღაც რაციონალურ რიცხვთან . ამ შემთხვევაში, თავად ნომერი ეწოდება მუშაობა რიცხვები ii აღინიშნება და ასეთი რიცხვის პოვნის პროცესსაც უწოდებენ გამრავლება. გამრავლების წესი ასეთია: .

 ტრანზიტულობა შეკვეთის ურთიერთობები.რაციონალური რიცხვების ნებისმიერი სამეულისთვის, და თუ ნაკლებია და ნაკლები, მაშინ ნაკლები, და თუ ტოლია და ტოლი, მაშინ ტოლია.

 კომუტატიურობა დამატება.რაციონალური ტერმინების ადგილების ცვლილებიდან ჯამი არ იცვლება.

 ასოციაციურობა დამატება.სამი რაციონალური რიცხვის მიმატების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე.

 ხელმისაწვდომობანული . არის რაციონალური რიცხვი 0, რომელიც შეჯამებისას ინარჩუნებს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს.

 საპირისპირო რიცხვების არსებობა.ნებისმიერ რაციონალურ რიცხვს აქვს საპირისპირო რაციონალური რიცხვი, რომელიც შეჯამებისას იძლევა 0-ს.

 გამრავლების კომუტატიულობა.რაციონალური ფაქტორების ადგილების შეცვლით პროდუქტი არ იცვლება.

 გამრავლების ასოციაციურობა.სამი რაციონალური რიცხვის გამრავლების თანმიმდევრობა არ მოქმედებს შედეგზე.

 ხელმისაწვდომობაერთეულები . არის რაციონალური რიცხვი 1, რომელიც ინარჩუნებს ყველა სხვა რაციონალურ რიცხვს გამრავლებისას.

 ხელმისაწვდომობასაპასუხო ნომრები . ნებისმიერ არანულოვან რაციონალურ რიცხვს აქვს შებრუნებული რაციონალური რიცხვი, რომლის გამრავლება იძლევა 1-ს.

 განაწილება გამრავლება შეკრების მიმართ.გამრავლების ოპერაცია შეესაბამება შეკრების ოპერაციას განაწილების კანონით:

 შეკვეთის მიმართების კავშირი მიმატების ოპერაციასთან.იგივე რაციონალური რიცხვი შეიძლება დაემატოს რაციონალური უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს.

 რიგის მიმართების კავშირი გამრავლების მოქმედებასთან.რაციონალური უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარე შეიძლება გამრავლდეს იმავე დადებით რაციონალურ რიცხვზე.

 არქიმედეს აქსიომა . რაციონალური რიცხვი როგორიც არ უნდა იყოს, შეგიძლიათ აიღოთ იმდენი ერთეული, რომ მათი ჯამი გადააჭარბოს.

No2. რეალური რიცხვის მოდული.

განმარტება . x არაუარყოფითი რეალური რიცხვის მოდული არის თავად რიცხვი: | x | = x; უარყოფითი რეალური რიცხვის x მოდული არის საპირისპირო რიცხვი: I x | = - x.

მოკლედ ასე წერია:

2. რეალური რიცხვის მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობა

დავუბრუნდეთ ნამდვილ რიცხვთა R სიმრავლეს და მის გეომეტრიულს მოდელები- რიცხვითი ხაზი. ვნიშნავთ ორ წერტილს a და b წრფეზე (ორი რეალური რიცხვი a და b), აღვნიშნავთ (a, b) მანძილს a და b წერტილებს შორის (- ბერძნული ანბანის ასო "ro"). ეს მანძილი უდრის b - a, თუ b > a (სურ. 101), უდრის a - b, თუ a > b (ნახ. 102), ბოლოს და ბოლოს, ნულის ტოლია, თუ a = b.

სამივე შემთხვევა დაფარულია ერთი ფორმულით:

ბ) განტოლება | x + 3.2 | = 2 გადაწერა ფორმაში | x - (- 3.2) | \u003d 2 და შემდგომ (x, - 3.2) \u003d 2. კოორდინატთა ხაზზე არის ორი წერტილი, რომლებიც ამოღებულია წერტილიდან - 3.2 2-ის ტოლი მანძილით. ეს არის წერტილები - 5.2 და - 1.2 (ნახ. 104). ასე რომ, განტოლებას აქვს ორი ფესვი: -5.2 და -1.2.

№4.რეალური ნომრების ნაკრები

რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლესა და ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს სიმრავლე ეწოდება მოქმედებს (ან მასალა ) ნომრები . რეალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება სიმბოლოთი რ. ცხადია,.

რეალური ნომრები ნაჩვენებია რიცხვითი ღერძი ოჰწერტილები (ნახ.). ამ შემთხვევაში, თითოეული რეალური რიცხვი შეესაბამება რიცხვითი ღერძის გარკვეულ წერტილს, ხოლო ღერძის თითოეულ წერტილს შეესაბამება გარკვეულ რეალურ რიცხვს.

ამიტომ სიტყვების ნაცვლად „რეალური რიცხვი“ შეგიძლიათ თქვათ „წერტილი“.

No5. რიცხვითი ხარვეზები.

უფსკრული ტიპი	გეომეტრიული გამოსახულებები	Დანიშნულება	წერა უტოლობების გამოყენებით
ინტერვალი

ნახევარი ინტერვალი
ნახევარი ინტერვალი


ღია სხივი
ღია სხივი

No6. რიცხვითი ფუნქცია.

მიეცით რიცხვების ნაკრები, თუ თითოეულ რიცხვს ენიჭება ერთი ნომერი წ, მაშინ ჩვენ ამას ვამბობთ გადასაღებ მოედანზე დრიცხვითი ფუნქცია :

წ = ვ (x),

Ბევრი დდაურეკა ფუნქციის ფარგლები და აღნიშნა დ (ვ (x)). ყველა ელემენტის ნაკრები ვ (x), სადაც ე.წ ფუნქციის დიაპაზონი და აღნიშნა ე (ვ (x)).

ნომერი xხშირად რეკავს ფუნქციის არგუმენტი ან დამოუკიდებელი ცვლადი და რიცხვი წ- დამოკიდებული ცვლადი ან, ფაქტობრივად, ფუნქცია ცვლადი x. მნიშვნელობის შესაბამისი რიცხვი ეწოდება ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში და აღნიშნავენ ან

ფუნქციის დასაყენებლად ვ, თქვენ უნდა მიუთითოთ:

1) მისი განმარტების სფერო დ (ვ (x));

2) დააკონკრეტეთ წესი ვ, რომლის მიხედვითაც თითოეული მნიშვნელობა ასოცირდება გარკვეულ მნიშვნელობასთან წ = ვ (x).

№7. შებრუნებული ფუნქცია,

ინვერსიული ფუნქცია

თუ არგუმენტისა და ფუნქციის როლები შეცვლილია, მაშინ xფუნქცია ხდება წ. ამ შემთხვევაში, საუბარია ახალ ფუნქციაზე, რომელსაც ე.წ შებრუნებული ფუნქცია.დავუშვათ, გვაქვს ფუნქცია:

ვ = u 2 ,

სადაც u- არგუმენტი, ა ვ- ფუნქცია. თუ ჩვენ შევცვლით მათ როლებს, მივიღებთ u როგორც ფუნქცია ვ :

თუ არგუმენტს ორივე ფუნქციაში აღვნიშნავთ როგორც x , და ფუნქცია მეშვეობით წ, მაშინ ჩვენ გვაქვს ორი ფუნქცია:

რომელთაგან თითოეული მეორის საპირისპიროა.

მაგალითები. ეს ფუნქციები საპირისპიროა ერთმანეთის მიმართ:

1) ცოდვა xდა რკალი x, ვინაიდან თუ წ= ცოდვა x, მაშინ x= არქსინი წ;

2) cos xდა Arccos x, ვინაიდან თუ წ= cos x, მაშინ x= არქოსი წ;

3) რუჯი xდა არქტანი x, ვინაიდან თუ წ= რუჯი x, მაშინ x= არქტანი წ;

4) ე xდა ლნ x, ვინაიდან თუ წ= ე x, მაშინ x= ლნ წ.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები- მათემატიკური ფუნქციები, რომლებიც შებრუნებულია ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე. ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ჩვეულებრივ მოიცავს ექვს ფუნქციას:

რკალი(სიმბოლო: რკალი)

რკალის კოსინუსი(სიმბოლო: arccos)

რკალის ტანგენსი(აღნიშვნა: arctg; უცხოურ ლიტერატურაში arctan)

რკალის ტანგენსი(აღნიშვნა: arcctg; უცხოურ ლიტერატურაში arccotan)

რკალისებური(სიმბოლო: arcsec)

რკოსეკანტური(აღნიშვნა: arccosec; უცხოურ ლიტერატურაში arcsc)

№8. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები. ელემენტარული ფუნქციები

აღსანიშნავია, რომ ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მრავალმნიშვნელოვანია (უსასრულოდ მნიშვნელოვანი), მათთან მუშაობისას გამოიყენება ე.წ. ძირითადი მნიშვნელობები.

№9. რთული რიცხვები

იწერება როგორც: a+ ბი. Აქ ადა ბ – რეალური რიცხვები, ა მე – წარმოსახვითი ერთეული, ე.ი. მე 2 = –1. ნომერი ა დაურეკა აბსცისი, ა ბ – ორდინატირთული რიცხვი a+ ბ.ი. ორი რთული რიცხვი a+ ბი და ა – ბი დაურეკა კონიუგატირთული რიცხვები.

რეალური რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სწორი ხაზის წერტილებით, როგორც ეს ნაჩვენებია ფიგურაში, სადაც A წერტილი წარმოადგენს რიცხვს 4, ხოლო B წერტილი წარმოადგენს რიცხვს -5. იგივე რიცხვები ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს OA, OB სეგმენტებით, არა მხოლოდ მათი სიგრძის, არამედ მიმართულების გათვალისწინებით.

რიცხვითი წრფის ყოველი წერტილი M ასახავს გარკვეულ რეალურ რიცხვს (რაციონალური, თუ სეგმენტი OM თანაზომიერია სიგრძის ერთეულთან და ირაციონალური, თუ ის შეუდარებელია). ამრიგად, რიცხვთა ხაზის ადგილი არ არის რთული რიცხვებისთვის.

მაგრამ რთული რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რიცხვთა სიბრტყეზე. ამისათვის ვირჩევთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას სიბრტყეზე, ორივე ღერძზე ერთი და იგივე მასშტაბით.

კომპლექსური ნომერი a + b iწარმოდგენილია M წერტილით, რომელშიც აბსციზა x უდრის აბსცისს ართული რიცხვი და y-ის ორდინატი უდრის ორდინატს ბრთული რიცხვი.

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შესაძლოა არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.

მიზნები:

აღჭურვილობა: პროექტორი, ეკრანი, პერსონალური კომპიუტერი, მულტიმედიური პრეზენტაცია

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი.

2. მოსწავლეთა ცოდნის აქტუალიზაცია.

2.1. უპასუხეთ მოსწავლეთა კითხვებს საშინაო დავალების შესახებ.

2.2. კროსვორდის ამოხსნა (თეორიული მასალის გამეორება) (სლაიდი 2):

მათემატიკური სიმბოლოების ერთობლიობა, რომელიც გამოხატავს ზოგიერთს

განცხადება. ( ფორმულა.)
უსასრულო ათობითი არაპერიოდული წილადები. ( ირაციონალურინომრები)

ციფრი ან რიცხვთა ჯგუფი, რომელიც მეორდება უსასრულო ათწილადში. ( პერიოდი.)

რიცხვები გამოიყენება ნივთების დასათვლელად. ( ბუნებრივინომრები.)

უსასრულო ათობითი პერიოდული წილადები. (რაციონალურინომრები .)

Რაციონალური რიცხვი + ირაციონალური რიცხვები = ? (მოქმედინომრები .)

- კროსვორდის ამოხსნის შემდეგ, მონიშნულ ვერტიკალურ სვეტში წაიკითხეთ დღევანდელი გაკვეთილის თემის სათაური. (სლაიდები 3, 4)

3. ახალი თემის ახსნა.

3.1. - ბიჭებო, თქვენ უკვე შეხვდით მოდულის კონცეფციას, გამოიყენეთ აღნიშვნა | ა| . ადრე ეს მხოლოდ რაციონალურ რიცხვებს ეხებოდა. ახლა ჩვენ უნდა შემოვიტანოთ მოდულის კონცეფცია ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის.

თითოეული რეალური რიცხვი შეესაბამება რიცხვთა წრფის ერთ წერტილს და, პირიქით, რიცხვითი წრფის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ერთი რეალური რიცხვი. რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების ყველა ძირითადი თვისება დაცულია რეალური რიცხვებისთვისაც.

შემოღებულია რეალური რიცხვის მოდულის კონცეფცია. (სლაიდი 5).

განმარტება. არაუარყოფითი რეალური რიცხვის მოდული xთავად დარეკეთ ამ ნომერზე: | x| = x; მოდული უარყოფითი რეალური რიცხვი Xდარეკეთ საპირისპირო ნომერზე: | x| = – x .

– ჩაწერეთ ბლოკნოტებში გაკვეთილის თემა, მოდულის განმარტება: