განსხვავების კუბი და კუბური განსხვავება: შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების წესები. შემოკლებული გამრავლების ფორმულები შემოკლებული გამრავლების ფორმულები
წინა გაკვეთილებზე განვიხილეთ პოლინომის ფაქტორიზაციის ორი გზა: ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღება და დაჯგუფების მეთოდი.
ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ მრავალწევრის ფაქტორიზაციის სხვა ხერხს შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით.
ჩვენ გირჩევთ, რომ დაწეროთ თითოეული ფორმულა მინიმუმ 12-ჯერ. უკეთესი დასამახსოვრებლად, ჩაწერეთ გამრავლების ყველა შემოკლებული ფორმულა თქვენთვის პატარა მოტყუების ფურცელზე.
გაიხსენეთ როგორ გამოიყურება კუბურების განსხვავების ფორმულა.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)კუბების განსხვავების ფორმულა არც ისე ადვილი დასამახსოვრებელია, ამიტომ გირჩევთ გამოიყენოთ სპეციალური ხერხი მის დასამახსოვრებლად.
მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ნებისმიერი შემოკლებული გამრავლების ფორმულა ასევე მუშაობს საპირისპირო მხარეს.
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3განვიხილოთ მაგალითი. აუცილებელია კუბების სხვაობის ფაქტორიზირება.
გაითვალისწინეთ, რომ „27a 3“ არის „(3a) 3“, რაც ნიშნავს, რომ კუბების განსხვავების ფორმულისთვის „a“-ს ნაცვლად ვიყენებთ „3a“.
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კუბურების სხვაობისთვის. "a 3"-ის ადგილზე გვაქვს "27a 3" და "b 3"-ის ადგილზე, როგორც ფორმულაში არის "b 3".
კუბის სხვაობის გამოყენება საპირისპიროდ
განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. საჭიროა მრავალწევრების ნამრავლის გადაქცევა კუბების სხვაობად გამრავლების შემოკლებული ფორმულის გამოყენებით.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მრავალწევრების ნამრავლი "(x − 1) (x 2 + x + 1)" წააგავს ფორმულის მარჯვენა მხარეს კუბურების სხვაობისთვის "", მხოლოდ "a"-ს ნაცვლად არის "x", ხოლო "b"-ის ადგილი არის "1".
„(x − 1)(x 2 + x + 1)“-სთვის ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას საპირისპირო მიმართულებით კუბურების სხვაობისთვის.
განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი. საჭიროა მრავალწევრების ნამრავლის გამარტივება.
თუ შევადარებთ "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" კუბურების სხვაობის ფორმულის მარჯვენა მხარეს
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, მაშინ გესმით, რომ პირველი ფრჩხილიდან “a”-ს ადგილას არის ”y 2, ხოლო ”b”-ის ადგილზე არის ”1”.
შემოკლებული გამრავლების ფორმულები (FSU) გამოიყენება რიცხვებისა და გამონათქვამების მაჩვენებლების გასამრავლებლად და გასამრავლებლად. ხშირად ეს ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ გამოთვლები უფრო კომპაქტურად და სწრაფად.
ამ სტატიაში ჩვენ ჩამოვთვლით შემოკლებული გამრავლების ძირითად ფორმულებს, დავაჯგუფებთ მათ ცხრილში, განვიხილავთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითებს და ასევე ვისაუბრებთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების დადასტურების პრინციპებზე.
მე-7 კლასის კურსის „ალგებრა“ ფარგლებში პირველად განიხილება ფსუ-ს თემა. ქვემოთ მოცემულია 7 ძირითადი ფორმულა.
შემოკლებული გამრავლების ფორმულები
- ჯამის კვადრატის ფორმულა: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- განსხვავების კვადრატული ფორმულა: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- ჯამის კუბის ფორმულა: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- განსხვავება კუბის ფორმულა: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- კვადრატების განსხვავება ფორმულა: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- კუბურების ჯამის ფორმულა: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- კუბის სხვაობის ფორმულა: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
ასოები a, b, c ამ გამონათქვამებში შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი, ცვლადი ან გამონათქვამი. მოხმარების სიმარტივისთვის უმჯობესია შვიდი ძირითადი ფორმულა ზეპირად ისწავლოთ. ჩვენ ვაჯამებთ მათ ცხრილში და ვაძლევთ მათ ქვემოთ, შემოხაზეთ ყუთით.
პირველი ოთხი ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ, შესაბამისად, ორი გამონათქვამის ჯამის ან სხვაობის კვადრატი ან კუბი.
მეხუთე ფორმულა ითვლის გამონათქვამების კვადრატების სხვაობას მათი ჯამისა და სხვაობის გამრავლებით.
მეექვსე და მეშვიდე ფორმულები, შესაბამისად, არის გამონათქვამების ჯამისა და სხვაობის გამრავლება სხვაობის არასრულ კვადრატზე და ჯამის არასრულ კვადრატზე.
გამრავლების შემოკლებულ ფორმულას ზოგჯერ ასევე უწოდებენ შემოკლებულ გამრავლების იდენტობებს. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან ყოველი თანასწორობა არის იდენტობა.
პრაქტიკული მაგალითების ამოხსნისას ხშირად გამოიყენება შემოკლებული გამრავლების ფორმულები გადაწყობილი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებით. ეს განსაკუთრებით მოსახერხებელია პოლინომის ფაქტორირებისას.
დამატებითი შემოკლებული გამრავლების ფორმულები
ჩვენ არ შემოვიფარგლებით ალგებრის მე-7 კლასის კურსით და კიდევ რამდენიმე ფორმულას დავამატებთ ჩვენს FSU ცხრილს.
პირველ რიგში, განიხილეთ ნიუტონის ბინომიალური ფორმულა.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
აქ C n k არის ბინომიალური კოეფიციენტები, რომლებიც პასკალის სამკუთხედში n რიცხვშია. ბინომალური კოეფიციენტები გამოითვლება ფორმულით:
C nk = n! კ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
როგორც ხედავთ, FSU სხვაობის კვადრატისა და კუბისთვის და ჯამი არის ნიუტონის ბინომიური ფორმულის სპეციალური შემთხვევა n=2 და n=3, შესაბამისად.
მაგრამ რა მოხდება, თუ ძალაუფლებამდე გასასვლელ თანხაში ორზე მეტი ტერმინია? სასარგებლო იქნება სამი, ოთხი ან მეტი წევრის ჯამის კვადრატის ფორმულა.
a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
კიდევ ერთი ფორმულა, რომელიც შეიძლება გამოადგეს, არის ფორმულა ორი წევრის n-ე ხარისხების სხვაობისთვის.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
ეს ფორმულა ჩვეულებრივ იყოფა ორ ფორმულად - შესაბამისად ლუწი და კენტი გრადუსისთვის.
ლუწი ექსპონენტებისთვის 2 მ:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 მ - 2
კენტი მაჩვენებლებისთვის 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 მ
კვადრატების და კუბების სხვაობის ფორმულები, თქვენ წარმოიდგინეთ, არის ამ ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევები n = 2 და n = 3, შესაბამისად. კუბების სხვაობისთვის b ასევე იცვლება - b-ით.
როგორ წავიკითხოთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულები?
თითოეულ ფორმულას მივცემთ შესაბამის ფორმულირებებს, მაგრამ ჯერ ფორმულების წაკითხვის პრინციპს შევეხებით. ამის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა მაგალითია. ავიღოთ პირველივე ფორმულა ორი რიცხვის ჯამის კვადრატისთვის.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
ისინი ამბობენ: ორი გამონათქვამის a და b ჯამის კვადრატი ჯამის ტოლიაპირველი გამოხატვის კვადრატი, გამონათქვამების ორმაგი ნამრავლი და მეორე გამოხატვის კვადრატი.
ყველა სხვა ფორმულა იკითხება ანალოგიურად. კვადრატული სხვაობისთვის a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 ჩვენ ვწერთ:
ორი a და b გამონათქვამის სხვაობის კვადრატი უდრის ამ გამონათქვამების კვადრატების ჯამს მინუს ორჯერ პირველი და მეორე გამონათქვამის ნამრავლი.
მოდით წავიკითხოთ ფორმულა a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. ორი გამონათქვამის a და b ჯამის კუბი უდრის ამ გამონათქვამების კუბების ჯამს, სამჯერ პირველი გამონათქვამის კვადრატის ნამრავლს და მეორეს და სამჯერ არის მეორე გამოსახულების კვადრატის ნამრავლს. და პირველი გამოხატულება.
ჩვენ ვაგრძელებთ კუბების განსხვავების ფორმულის კითხვას a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. ორი გამონათქვამის განსხვავების კუბი a და b უდრის პირველი გამოსახულების კუბს მინუს სამჯერ პირველი გამოსახულების კვადრატი და მეორე, პლუს სამჯერ მეორე გამოსახულებისა და პირველი გამოსახულების კვადრატი, გამოკლებული კუბი. მეორე გამოხატვის.
მეხუთე ფორმულა a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (კვადრატების სხვაობა) ასე იკითხება: ორი გამონათქვამის კვადრატების განსხვავება უდრის განსხვავების ნამრავლს და ორი გამოსახულების ჯამს.
ისეთი გამონათქვამები, როგორიცაა a 2 + a b + b 2 და a 2 - a b + b 2 მოხერხებულობისთვის ეწოდება, შესაბამისად, ჯამის არასრული კვადრატი და სხვაობის არასრული კვადრატი.
ამის გათვალისწინებით, კუბურების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები იკითხება შემდეგნაირად:
ორი გამონათქვამის კუბების ჯამი ტოლია ამ გამონათქვამების ჯამის ნამრავლისა და მათი სხვაობის არასრული კვადრატისა.
ორი გამონათქვამის კუბების სხვაობა ტოლია ამ გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლის მათი ჯამის არასრული კვადრატით.
FSU მტკიცებულება
FSU-ს დამტკიცება საკმაოდ მარტივია. გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე განვახორციელებთ ფორმულების ნაწილების გამრავლებას ფრჩხილებში.
მაგალითად, განიხილეთ სხვაობის კვადრატის ფორმულა.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
გამოხატვის მეორე ხარისხზე ასამაღლებლად, გამოხატულება თავისთავად უნდა გამრავლდეს.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
ფორმულა დადასტურებულია. სხვა FSO-ები ანალოგიურად არის დადასტურებული.
FSO-ს გამოყენების მაგალითები
შემცირებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების მიზანია გამონათქვამების სწრაფად და ლაკონურად გამრავლება და გამოხატვა. თუმცა, ეს არ არის FSO-ს მთელი სფერო. ისინი ფართოდ გამოიყენება გამოსახულებების შემცირების, წილადების შემცირების, მრავალწევრების ფაქტორინგში. მოვიყვანოთ მაგალითები.
მაგალითი 1. FSO
გავამარტივოთ გამოთქმა 9 y - (1 + 3 y) 2 .
გამოიყენეთ კვადრატების ჯამის ფორმულა და მიიღეთ:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
მაგალითი 2. FSO
შეამცირეთ წილადი 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
ჩვენ ვამჩნევთ, რომ მრიცხველში გამოხატულება არის კუბების სხვაობა, ხოლო მნიშვნელში - კვადრატების სხვაობა.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
ვამცირებთ და ვიღებთ:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU ასევე დაგეხმარებათ გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები. მთავარია შევძლოთ შეამჩნიოთ, სად გამოვიყენოთ ფორმულა. მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითით.
79 რიცხვი კვადრატში ავიყვანოთ. რთული გამოთვლების ნაცვლად, ჩვენ ვწერთ:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
როგორც ჩანს, რთული გაანგარიშება განხორციელდა სწრაფად, მხოლოდ შემოკლებული გამრავლების ფორმულებისა და გამრავლების ცხრილის გამოყენებით.
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი არის ბინომის კვადრატის შერჩევა. გამოთქმა 4 x 2 + 4 x - 3 შეიძლება გარდაიქმნას 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4. ასეთი ტრანსფორმაციები ფართოდ გამოიყენება ინტეგრაციისას.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
კვადრატების განსხვავება
ჩვენ გამოვიყვანთ $a^2-b^2$ კვადრატების სხვაობის ფორმულას.
ამისათვის გახსოვდეთ შემდეგი წესი:
თუ გამოსახულებას დაემატება რომელიმე მონომი და გამოვაკლდება იგივე მონომი, მაშინ მივიღებთ სწორ იდენტურობას.
მოდით დავუმატოთ ჩვენს გამოსახულებას და გამოვაკლოთ მონომი $ab$:
საერთო ჯამში ვიღებთ:
ანუ ორი მონომის კვადრატების სხვაობა უდრის მათი სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.
მაგალითი 1
გამოხატეთ როგორც $(4x)^2-y^2$-ის ნამრავლი
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\მარცხნივ(2x-y\მარჯვნივ)(2x+y)\]
კუბურების ჯამი
ჩვენ გამოვიყვანთ $a^3+b^3$ კუბების ჯამის ფორმულას.
ავიღოთ საერთო ფაქტორები ფრჩხილებიდან:
ავიღოთ $\left(a+b\right)$ ფრჩხილებიდან:
საერთო ჯამში ვიღებთ:
ანუ ორი მონომის კუბების ჯამი უდრის მათი ჯამის ნამრავლს მათი სხვაობის არასრული კვადრატით.
მაგალითი 2
გამოხატეთ როგორც პროდუქტი $(8x)^3+y^3$
ეს გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგი ფორმით:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
\[((2x))^3+y^3=\მარცხნივ(2x+y\მარჯვნივ)(4x^2-2xy+y^2)\]
კუბურების განსხვავება
ჩვენ გამოვიყვანთ $a^3-b^3$ კუბების სხვაობის ფორმულას.
ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ იმავე წესს, როგორც ზემოთ.
მოდით დავუმატოთ ჩვენს გამოსახულებას და გამოვაკლოთ მონომები $a^2b\ და\ (ab)^2$:
ავიღოთ საერთო ფაქტორები ფრჩხილებიდან:
ავიღოთ $\left(a-b\right)$ ფრჩხილებიდან:
საერთო ჯამში ვიღებთ:
ანუ ორი მონომის კუბების სხვაობა უდრის მათი სხვაობის ნამრავლს მათი ჯამის არასრული კვადრატით.
მაგალითი 3
გამოხატეთ როგორც $(8x)^3-y^3$-ის ნამრავლი
ეს გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგი ფორმით:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
\[((2x))^3-y^3=\მარცხნივ(2x-y\მარჯვნივ)(4x^2+2xy+y^2)\]
კვადრატების განსხვავებისა და კუბების ჯამისა და სხვაობის ფორმულების გამოყენების დავალებების მაგალითი
მაგალითი 4
გაამრავლე.
ა) $((a+5))^2-9$
გ) $-x^3+\frac(1)(27)$
გამოსავალი:
ა) $((a+5))^2-9$
\[((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
\[((a+5))^2-3^2=\მარცხნივ(a+5-3\მარჯვნივ)\მარცხნივ(a+5+3\მარჯვნივ)=\მარცხნივ(a+2\მარჯვნივ)(a +8)\]
მოდით დავწეროთ ეს გამოთქმა ფორმაში:
მოდით გამოვიყენოთ კუბურების ფორმულა:
გ) $-x^3+\frac(1)(27)$
მოდით დავწეროთ ეს გამოთქმა ფორმაში:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\მარცხენა(\frac(1)(3)\მარჯვნივ))^3-x^3\]
მოდით გამოვიყენოთ კუბურების ფორმულა:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\მარჯვნივ)\]
