Үшбұрышты параллелограмммен салыстыру. Параллелограмның диагональдарының қасиеті

Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары жұппен параллель болатын төртбұрыш. Параллелограмның ауданы оның табанының (a) және биіктігінің (h) көбейтіндісіне тең. Сондай-ақ оның ауданын екі қабырға мен бұрыш арқылы және диагональдар арқылы табуға болады.

Параллелограммның қасиеттері

1. Қарама-қарсы жақтары бірдей

Алдымен \(AC\) диагоналын салайық. Біз екі үшбұрыш аламыз: \(ABC\) және \(ADC\).

\(ABCD\) параллелограмм болғандықтан, мына дұрыс:

\(AD || BC \Оң жақ көрсеткі \бұрыш 1 = \бұрыш 2\)көлденең жату сияқты.

\(AB || CD \Оң жақ көрсеткі \бұрыш3 = \бұрыш 4\)көлденең жату сияқты.

Сондықтан (екінші критерий бойынша: және \(AC\) ортақ).

Және бұл білдіреді \(\ ABC үшбұрышы = \ ADC үшбұрышы \), содан кейін \(AB = CD\) және \(AD = BC\) .

2. Қарама-қарсы бұрыштар бірдей

Дәлелге сәйкес қасиеттері 1Біз мұны білеміз \(\бұрыш 1 = \бұрыш 2, \бұрыш 3 = \бұрыш 4\). Сонымен, қарама-қарсы бұрыштардың қосындысы: \(\бұрыш 1 + \бұрыш 3 = \бұрыш 2 + \бұрыш 4\). Соны ескере отырып \(\ ABC үшбұрышы = \ ADC үшбұрышы \)\(\бұрыш A = \бұрыш C \) , \(\бұрыш В = \бұрыш D \) аламыз.

3. Диагональдар қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінеді

Авторы мүлік 1қарама-қарсы жақтары бірдей екенін білеміз: \(AB = CD\) . Тағы бір рет көлденең жатқан тең бұрыштарға назар аударыңыз.

Демек, бұл анық \(\үшбұрыш AOB = \үшбұрыш COD\)үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі бойынша (екі бұрыш және олардың арасындағы қабырға). Яғни, \(BO = OD\) (\(\бұрыш 2\) және \(\бұрыш 1\) ) және \(AO = OC\) (\(\бұрыш 3\ бұрыштарына қарама-қарсы) және \( \бұрыш 4\) сәйкесінше).

Параллелограммның белгілері

Егер сіздің мәселеңізде бір ғана мүмкіндік болса, онда фигура параллелограмм болып табылады және сіз бұл фигураның барлық қасиеттерін пайдалана аласыз.

Жақсырақ есте сақтау үшін параллелограмм белгісі келесі сұраққа жауап беретінін ескеріңіз - «қалай білуге ​​болады?». Яғни, берілген фигураның параллелограмм екенін қалай анықтауға болады.

1. Параллелограмм деп екі қабырғасы тең және параллель төртбұрышты айтады

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \оң жақ көрсеткі ABCD\)- параллелограмм.

Толығырақ қарастырайық. Неліктен \(AD || BC \) ?

\(\ ABC үшбұрышы = \ ADC үшбұрышы \)Авторы мүлік 1: \(AB = CD \) , \(\бұрыш 1 = \бұрыш 2 \) көлденең жатқанда \(AB \) және \(CD \) және секант \(AC \) параллель болады.

Бірақ егер \(\ ABC үшбұрышы = \ ADC үшбұрышы \), содан кейін \(\бұрыш 3 = \бұрыш 4 \) (қарсы жатады \(AD || BC \) (\(\бұрыш 3 \) және \(\бұрыш 4 \) - көлденең жатқандар да тең).

Бірінші белгі дұрыс.

2. Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары тең төртбұрыш

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) - параллелограмм.

Осы белгіні қарастырайық. Қайтадан \(AC\) диагоналын саламыз.

Авторы мүлік 1\(\ ABC үшбұрышы = \ ACD үшбұрышы \).

Бұдан былай шығады: \(\1 бұрыш = \2 бұрыш \оң жақ көрсеткі AD || BC \)Және \(\бұрыш 3 = \бұрыш 4 \Оң жақ көрсеткі AB || CD \), яғни \(ABCD\) - параллелограмм.

Екінші белгі дұрыс.

3. Параллелограмм – қарама-қарсы бұрыштары тең төртбұрыш

\(\ бұрыш A = \ бұрыш C \) , \(\ бұрыш B = \ бұрыш D \ Оң жақ көрсеткі ABCD\)- параллелограмм.

\(2 \альфа + 2 \бета = 360^(\circ) \)(өйткені \(\бұрыш A = \бұрыш C\) , \(\бұрыш B = \бұрыш D\) шарты бойынша).

Шығарылады, . Бірақ \(\альфа \) және \(\бета \) \(AB \) секантында ішкі бір жақты.

Және не \(\альфа + \бета = 180^(\circ) \)\(AD || BC \) деп те айтады.

Сабақтың тақырыбы

• Параллелограмның диагональдарының қасиеттері.

Сабақтың мақсаттары

• Жаңа анықтамалармен танысыңыз және бұрыннан зерттелген кейбірін есте сақтаңыз.
• Параллелограмның диагональдарының қасиетін айтып, дәлелдеңдер.
• Пішіндердің қасиеттерін есептер шығаруда қолдануға үйрету.
• Дамытушылық – оқушылардың зейінін, алғырлығын, алғырлығын дамыту, логикалық ойлау, математикалық сөйлеу.
• Тәрбиелік – сабақ арқылы бір-біріне деген ілтипатты қарым-қатынасқа тәрбиелеу, жолдастарын тыңдай білуге, өзара көмек көрсетуге, дербестікке баулу.

Сабақтың мақсаттары

• Оқушылардың есеп шығару дағдыларын тексеру.

Сабақ жоспары

1. Кіріспе.
2. Бұрын оқылған материалды қайталау.
3. Параллелограмм, оның қасиеттері мен белгілері.
4. Тапсырмалардың мысалдары.
5. Өзін-өзі тексеру.

Кіріспе

«Үлкен ғылыми жаңалықшешімін береді басты мәселе, бірақ кез келген мәселені шешуде ашылудың дәні бар».

Параллелограмның қарама-қарсы қабырғаларының қасиеті

Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең болады.

Дәлелдеу.

ABCD берілген параллелограмм болсын. Ал оның диагональдары О нүктесінде қиылыссын.
Үшбұрыштар теңдігінің бірінші критерийі бойынша Δ AOB = Δ COD болғандықтан (∠ AOB = ∠ COD, вертикальдар ретінде, AO=OC, DO=OB, параллелограмның диагональдарының қасиеті бойынша), онда AB=CD. Сол сияқты BOC және DOA үшбұрыштарының теңдігінен BC = DA шығады. Теорема дәлелденді.

Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштарының қасиеті

Параллелограммда қарама-қарсы бұрыштартең.

Дәлелдеу.

ABCD берілген параллелограмм болсын. Ал оның диагональдары О нүктесінде қиылыссын.
Параллелограмның қарама-қарсы қабырғаларының қасиеттері туралы теоремада дәлелденгеннен үш жағындағы Δ ABC = Δ CDA (дәлелденгеннен AB=CD, BC=DA, AC – жалпы). Үшбұрыштардың теңдігінен ∠ ABC = ∠ CDA болатыны шығады.
Сондай-ақ ∠ DAB = ∠ BCD болатыны дәлелденді, ол ∠ ABD = ∠ CDB-ден туындайды. Теорема дәлелденді.

Параллелограмның диагональдарының қасиеті

Параллелограммның диагональдары қиылысады және қиылысу нүктесінде екіге бөлінеді.

Дәлелдеу.

ABCD берілген параллелограмм болсын. Айнымалы токтың диагоналін салайық. DO кесіндісінің жалғасында DO-ға тең OB 1 кесіндісін бір жаққа қоямыз.
Алдыңғы теорема бойынша AB 1 CD параллелограмм болып табылады. Демек, AB 1 сызығы тұрақты токқа параллель. Бірақ А нүктесі арқылы тұрақты токқа параллель бір ғана түзу жүргізуге болады. Бұл AB 1 түзу АВ түзуімен сәйкес келетінін білдіреді.
Сондай-ақ BC 1 BC-ге сәйкес келетіні дәлелденді. Бұл С нүктесі С 1-ге сәйкес келетінін білдіреді. ABCD параллелограмы AB 1 CD параллелограмымен сәйкес келеді. Демек, параллелограмның диагональдары қиылысады және қиылысу нүктесінде екіге бөлінеді. Теорема дәлелденді.

арналған оқулықтарда кәдімгі мектептер(мысалы, Погореловта) былай дәлелденген: диагональдар параллелограммды 4 үшбұрышқа бөледі. Бір жұпты қарастырайық және анықтаймыз - олар тең: олардың табандары қарама-қарсы қабырғалар, оған іргелес жатқан сәйкес бұрыштар параллель түзулері бар тік бұрыштар сияқты тең. Яғни, диагональды кесінділер жұпта тең. Барлық.

Бәрі осы ма?
Жоғарыда қиылысу нүктесі диагональдарды екіге бөлетіні дәлелденді - егер ол бар болса. Жоғарыда келтірілген пайымдаулар оның бар екендігін ешқандай жолмен дәлелдемейді. Яғни, «параллелограммның диагональдары қиылысады» деген теореманың бір бөлігі дәлелденбеген болып қалады.

Бір қызығы, бұл бөлікті дәлелдеу әлдеқайда қиын. Бұл, айтпақшы, жалпы нәтижеден шығады: кез келген дөңес төртбұрыштың қиылысатын диагональдары болады, бірақ кез келген дөңес емес төртбұрыштың қиылысуы болмайды.

Қабырғасының бойындағы үшбұрыштар мен екі көршілес бұрыштардың теңдігі туралы (үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі) және т.б.

Фалес бір қабырға бойындағы екі үшбұрыштың және екі көршілес бұрыштың теңдігі туралы маңызды теореманы тапты практикалық қолдану. Милет айлағында теңіздегі кемеге дейінгі қашықтықты анықтау үшін қашықтық өлшегіш құрастырылды. Ол A, B және C (AB = BC) және CA-ға перпендикуляр белгіленген SC түзу сызығынан тұрды. SK түзу сызығында кеме пайда болған кезде D, .B және E нүктелері бір түзуде болатындай D нүктесін таптық. Сызбадан көрініп тұрғандай, жердегі қашықтық CD - кемеге қажетті қашықтық.

Сұрақтар

1. Шаршының диагональдары қиылысу нүктесіне қарай екіге бөлінеді ме?
   
2. Параллелограммның диагональдары тең бе?
3. Параллелограмның қарама-қарсы бұрыштары тең бе?
4. Параллелограммның анықтамасын көрсетіңіз?
5. Параллелограмның неше белгісі бар?
   
6. Ромб параллелограмм бола ала ма?
   

Пайдаланылған көздер тізімі

1. Кузнецов А.В., математика мұғалімі (5-9 сыныптар), Киев қ
2. «Бойдақ Мемлекеттік емтихан 2006. Математика. Студенттерді дайындауға арналған оқу-әдістемелік материалдар /Рособрнадзор, ИСО - М.: Интеллект-Орталығы, 2006 ж.
3. Мазур К.И. «М.И.Сканави редакциялаған жинақтың математикадан негізгі жарыс есептерін шешу»
4. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Е.Г.Позняк, И.И.Юдина «Геометрия, 7 – 9: оқу орындарына арналған оқулық»

Сабақта жұмыс жасадық

Кузнецов А.В.

Потурнак С.А.

Евгений Петров

туралы сұрақ қойыңыз заманауи білім беру, идеяны білдіріңіз немесе өзекті мәселені шеше аласыз Білім форумы, мұнда жаңа ойлар мен әрекеттердің білім беру кеңесі халықаралық деңгейде кездеседі. Құра отырып блог,Сіз білікті ұстаз мәртебесін көтеріп қана қоймай, болашақ мектебінің дамуына зор үлес қосасыз. Білім беру көшбасшыларының гильдиясыжоғары дәрежелі мамандарға есік ашады және оларды әлемдегі ең жақсы мектептерді құруда ынтымақтастыққа шақырады.

Пәндер > Математика > Математика 8 сынып

Берілген фигураның параллелограмм екенін анықтау үшін бірқатар белгілер бар. Параллелограмның үш негізгі белгісін қарастырайық.

1 параллелограмм белгісі

Егер төртбұрыштың екі қабырғасы тең және параллель болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

Дәлелдеу:

ABCD төртбұрышын қарастырайық. AB және CD қабырғалары параллель болсын. Және AB=CD болсын. Оған BD диагоналін салайық. Ол осы төртбұрышты екі тең үшбұрышқа бөледі: ABD және CBD.

Бұл үшбұрыштар екі қабырға бойымен бір-біріне және олардың арасындағы бұрышқа тең (BD - ортақ қабырға, AB = шарты бойынша CD, бұрыш1 = бұрыш2 АВ және CD параллель түзулерінің көлденең BD көлденең бұрыштары ретінде.), сондықтан бұрыш3 = бұрыш4.

Және бұл бұрыштар BC және AD түзулері BD бөлгішімен қиылысқанда көлденең орналасады. Осыдан BC және AD бір-біріне параллель болатыны шығады. Бізде ABCD төртбұрышында қарама-қарсы қабырғалар жұп параллель, сондықтан ABCD төртбұрышы параллелограмм болады.

Параллелограмм белгісі 2

Егер төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары жұпта тең болса, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

Дәлелдеу:

ABCD төртбұрышын қарастырайық. Оған BD диагоналін салайық. Ол осы төртбұрышты екі тең үшбұрышқа бөледі: ABD және CBD.

Бұл екі үшбұрыш үш жағынан бір-біріне тең болады (BD – ортақ қабырға, шарт бойынша AB = CD және BC = AD). Бұдан бұрыш1 = бұрыш2 деген қорытынды жасауға болады. Бұдан АВ CD-ге параллель болатыны шығады. Ал AB = CD және АВ CD-ге параллель болғандықтан, онда параллелограмның бірінші шарты бойынша ABCD төртбұрышы параллелограмм болады.

3 параллелограмм белгісі

Егер төртбұрыштың диагональдары қиылыса және қиылысу нүктесімен екіге бөлінсе, онда бұл төртбұрыш параллелограмм болады.

ABCD төртбұрышын қарастырайық. Оған О нүктесінде қиылысатын және осы нүктеге екіге бөлінген екі AC және BD диагональдарын салайық.

Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісіне сәйкес AOB және COD үшбұрыштары бір-біріне тең болады. (АО = OC, BO = OD шарты бойынша, бұрыш AOB = бұрыш COD тік бұрыштар ретінде.) Демек, AB = CD және бұрыш1 = бұрыш 2. 1 және 2 бұрыштардың теңдігінен АВ CD-ге параллель болады. Сонда бізде ABCD төртбұрышында АВ қабырғалары CD және параллельге тең, ал параллелограмның бірінші критерийі бойынша ABCD төртбұрышы параллелограмм болады.

Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары жұппен параллель болатын төртбұрыш. Келесі суретте ABCD параллелограмы көрсетілген. Оның CD жағына параллель АВ жағы және AD жағына параллель BC жағы бар.

Сіз болжағандай, параллелограмм дөңес төртбұрыш. Параллелограмның негізгі қасиеттерін қарастырайық.

Параллелограммның қасиеттері

1. Параллелограммның қарама-қарсы бұрыштары мен қарама-қарсы қабырғалары тең. Бұл қасиетті дәлелдеп көрейік – келесі суретте берілген параллелограммды қарастырайық.

Диагональды BD оны екі тең үшбұрышқа бөледі: ABD және CBD. Олар BD қабырғасы мен оған іргелес екі бұрыш бойымен тең, өйткені сәйкесінше BC және AD және AB және CD параллель түзулерінің BD секантында көлденең жатқан бұрыштар. Сондықтан AB = CD және
BC = AD. Ал 1, 2, 3 және 4 бұрыштарының теңдігінен А бұрышы = бұрыш1 + бұрыш3 = бұрыш2 + бұрыш4 = С бұрышы шығады.

2. Параллелограммның диагональдары қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінеді. О нүктесі ABCD параллелограмының АС және BD диагональдарының қиылысу нүктесі болсын.

Сонда AOB үшбұрышы мен COD үшбұрышы бүйірлік және екі көршілес бұрыштар бойымен бір-біріне тең болады. (AB = CD, өйткені бұлар параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары. Ал бұрыш1 = бұрыш2 және бұрыш3 = бұрыш4 AB және CD түзулері сәйкесінше АС және BD секанттарымен қиылысатын кездегі көлденең бұрыштар сияқты.) Бұдан AO = OC болатыны шығады. және OB = OD, бұл және дәлелденуі қажет.

Барлық негізгі қасиеттер келесі үш суретте көрсетілген.

Параллелограмм деп қарама-қарсы қабырғалары параллель, яғни параллель түзулерде жататын төртбұрышты айтады (1-сурет).

1-теорема. Параллелограмның қабырғалары мен бұрыштарының қасиеттері туралы.Параллелограммда қарама-қарсы қабырғалары тең, қарама-қарсы бұрыштары тең, ал параллелограмның бір қабырғасына іргелес жатқан бұрыштардың қосындысы 180°-қа тең.

Дәлелдеу. Бұл ABCD параллелограммында АС диагональін саламыз және екі ABC және ADC үшбұрыштарын аламыз (2-сурет).

Бұл үшбұрыштар тең, өйткені ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (параллель түзулер үшін көлденең бұрыштар) және АС жағы ортақ. Δ ABC = Δ ADC теңдігінен AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. параллель түзулер үшін. Теорема дәлелденді.

Түсініктеме. Параллелограмның қарама-қарсы қабырғаларының теңдігі параллельдермен қиылған параллельдердің кесінділерінің тең екендігін білдіреді.

Қорытынды 1. Егер екі түзу параллель болса, онда бір түзудің барлық нүктелері екінші түзуден бірдей қашықтықта болады.

Дәлелдеу. Шынында да, || болсын b (Cурет 3).

b түзуінің В және С кейбір екі нүктесінен а түзуіне VA және CD перпендикулярларын жүргізейік. АВ || болғандықтан CD, онда ABCD фигурасы параллелограмм, демек AB = CD.

Екі параллель түзудің арақашықтығы деп түзулердің біріндегі ерікті нүктеден екінші түзуге дейінгі қашықтықты айтады.

Дәлелденгенге сәйкес, ол параллель түзудің бір нүктесінен екінші түзуге жүргізілген перпендикуляр ұзындығына тең.

1-мысал.Параллелограмның периметрі 122 см, оның бір қабырғасы екіншісінен 25 см үлкен.

Шешім. 1-теорема бойынша параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең. Параллелограмның бір қабырғасын х, екінші жағын у арқылы белгілейік. Сонда $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ шарты бойынша осы жүйені шешіп, х = 43, у = 18 аламыз. Сонымен, параллелограмның қабырғалары 18, 43, 18 және 43 см.

2-мысал.

Шешім. 4-сурет есептің шарттарына сәйкес болсын.

АВ-ті х, ал ВС-ті у арқылы белгілейік. Шарт бойынша параллелограмның периметрі 10 см, яғни 2(x + y) = 10, немесе x + y = 5. ABD үшбұрышының периметрі 8 см, ал AB + AD = x + y = болғандықтан 5 болса, BD = 8 - 5 = 3. Сонымен BD = 3 см.

3-мысал.Біреуі екіншісінен 50° үлкен екенін біле отырып, параллелограммның бұрыштарын табыңдар.

Шешім. 5-сурет есептің шарттарына сәйкес болсын.

А бұрышының градустық өлшемін х деп белгілейік. Содан кейін дәреже өлшемі D бұрышы х + 50°-қа тең.

BAD және ADC бұрыштары параллель AB және DC түзулері және AD секанты бар бір жақты ішкі бұрыштар. Сонда осы аталған бұрыштардың қосындысы 180° болады, яғни.
x + x + 50° = 180° немесе x = 65°. Осылайша, ∠ A = ∠ C = 65 °, a ∠ B = ∠ D = 115 °.

4-мысал.Параллелограмның қабырғалары 4,5 дм және 1,2 дм. Сүйір бұрыштың төбесінен биссектриса жүргізілген. Ол параллелограмның үлкен қабырғасын қандай бөліктерге бөледі?

Шешім. 6-сурет есептің шарттарына сәйкес болсын.

AE - параллелограмның сүйір бұрышының биссектрисасы. Демек, ∠ 1 = ∠ 2.