Көлденең қима аудандарынан дененің көлемін табу. Айналу нәтижесінде пайда болатын интегралды бет ауданын пайдаланып, айналу бетінің ауданын қалай табуға болады

11.02.2022 | Суретшілердің картиналары

5. Айналу денелерінің бетінің ауданын табу

AB қисығы y = f(x) ≥ 0 функциясының графигі болсын, мұндағы x [a; b], ал y = f(x) функциясы мен оның туындысы y" = f"(x) осы кесіндіде үздіксіз.

АВ қисығының Ox осінің айналасында айналуынан пайда болған беттің S ауданын табайық (8-сурет).

ІІ сұлбаны қолданайық (дифференциалды әдіс).

Ерікті x нүктесі арқылы [a; б] Ox осіне перпендикуляр P жазықтығы сызыңыз. П жазықтығы айналу бетін радиусы y – f(x) шеңбер бойымен қиып өтеді. Жазықтықтың сол жағында жатқан айналу фигурасы бөлігінің бетінің S өлшемі х функциясы, яғни. s = s(x) (s(a) = 0 және s(b) = S).

x аргументіне Δx = dx өсімін берейік. x + dx нүктесі арқылы [a; б] Ох осіне перпендикуляр жазықтықты да саламыз. s = s(x) функциясы суретте “белдеу” ретінде көрсетілген Δs өсімін алады.

Кесінділер арасында құрылған фигураны генетрицасы dl-ге, ал табандарының радиустары у мен у+dу-ға тең қиық конуспен ауыстырып, ds дифференциал ауданын табайық. Оның бүйір бетінің ауданы тең: = 2йдл +дидл.

dу d1 көбейтіндісін ds-тен жоғары ретті шексіз аз ретінде қабылдамай, ds = 2уdl аламыз, немесе, d1 = dx болғандықтан.

Алынған теңдікті x = a-дан x = b-ге дейінгі диапазонда интегралдасақ, аламыз

Егер AB қисығы берілген болса параметрлік теңдеулер x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, онда айналу бетінің ауданы үшін формула келесі түрді алады

S=2 дт.

Мысалы: R радиусы бар шардың бетінің ауданын табыңыз.

S=2 =

6. Айнымалы күштің жұмысын табу

Айнымалы күш жұмысы

Болсын материалдық нүктеМ осы оське параллель бағытталған F = F(x) айнымалы күштің әсерінен Ox осі бойымен қозғалады. М нүктесін x = a позициясынан x = b позициясына жылжытқанда күштің жұмысы (a

100 Н күш серіппені 0,01 м-ге созса, серіппені 0,05 м-ге созу үшін қанша жұмыс істеу керек?

Гук заңы бойынша серіппені созатын серпімділік күші осы созылу х-ке пропорционал, яғни. F = kх, мұндағы k – пропорционалдық коэффициенті. Есептің шарты бойынша F = 100 Н күш серіппені х = 0,01 м-ге созады; демек, 100 = k 0,01, осыдан k = 10000; сондықтан F = 10000x.

Формулаға негізделген қажетті жұмыс

Биіктігі N m және табанының радиусы R m болатын тік цилиндрлік резервуардан сұйықтықты шетінен айдауға жұмсалатын жұмысты табыңыз (13-сурет).

Салмақ p денені h биіктікке көтеруге жұмсалған жұмыс p N тең. Бірақ резервуардағы сұйықтықтың әртүрлі қабаттары әр түрлі тереңдікте және көтерілу биіктігі (бактың шетіне) әртүрлі қабаттары бірдей емес.

Есепті шешу үшін II схеманы қолданамыз (дифференциалды әдіс). Координаталар жүйесін енгізейік.

1) Қабаттан қалыңдығы x (0 ≤ x ≤ H) сұйықтық қабатын айдауға кеткен жұмыс х функциясы, яғни. A = A(x), мұндағы (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) х Δx = dx шамасына өзгергенде ΔA өсімінің негізгі бөлігін табыңыз, яғни. A(x) функциясының dA дифференциалын табамыз.

dx кішігірім болғандықтан, сұйықтың «элементарлы» қабаты бірдей x тереңдікте (қойма шетінен) орналасқан деп есептейміз. Сонда dA = dрх, мұндағы dр – осы қабаттың салмағы; ол g АВ-ге тең, мұндағы g – ауырлық күшінің үдеуі, сұйықтың тығыздығы, dv – сұйықтықтың «элементар» қабатының көлемі (суретте ол бөлектелген), яғни. др = г. Көрсетілген сұйық қабаттың көлемі анық тең, мұнда dx - цилиндрдің (қабаттың) биіктігі, оның табанының ауданы, яғни. dv =.

Осылайша, dr =. Және

3) Алынған теңдікті x = 0-ден x = H аралығындағы диапазонда интегралдасақ, табамыз

8. MathCAD пакетінің көмегімен интегралды есептеу

Кейбір қолданбалы есептерді шешу кезінде символдық интеграция операциясын қолдану қажет. Бұл жағдайда MathCad бағдарламасы бастапқы кезеңде де (жауапты алдын ала білу немесе оның бар екенін білу жақсы) және соңғы кезеңде де (нәтижені басқа көзден немесе жауапты пайдаланып тексеру жақсы) пайдалы болуы мүмкін. басқа адамның шешімі).

Көптеген есептерді шешу кезінде MathCad бағдарламасының көмегімен есептерді шешудің кейбір мүмкіндіктерін байқауға болады. Бұл бағдарламаның қалай жұмыс істейтінін бірнеше мысалдар арқылы түсінуге тырысайық, оның көмегімен алынған шешімдерді талдап, осы шешімдерді басқа әдістермен алынған шешімдермен салыстырайық.

MathCad бағдарламасын пайдаланудағы негізгі мәселелер мыналар:

а) бағдарлама жауабын таныс элементар функциялар түрінде емес, барлығына белгілі емес арнайы функциялар түрінде береді;

б) кейбір жағдайларда мәселенің шешімі бар болса да, жауап беруден «бас тартады»;

в) кейде алынған нәтижені оның қолайсыздығынан пайдалану мүмкін емес;

г) мәселені толық шешпейді және шешімін талдамайды.

Бұл мәселелерді шешу үшін бағдарламаның күшті және әлсіз жақтарын пайдалану қажет.

Оның көмегімен бөлшек рационал функциялардың интегралдарын есептеу оңай және қарапайым. Сондықтан ауыспалы ауыстыру әдісін қолдану ұсынылады, яғни. Шешім үшін интегралды алдын ала дайындаңыз. Осы мақсаттар үшін жоғарыда қарастырылған ауыстыруларды пайдалануға болады. Сондай-ақ, алынған нәтижелер бастапқы функцияның анықталу облыстары мен алынған нәтиженің сәйкестігі үшін тексерілуі керек екенін есте ұстаған жөн. Сонымен қатар, алынған кейбір шешімдер қосымша зерттеулерді қажет етеді.

MathCad бағдарламасы студентті немесе зерттеушіні күнделікті жұмыстан босатады, бірақ мәселені қойғанда да, қандай да бір нәтиже алған кезде де оны қосымша талдаудан босатпайды.

Бұл жұмыс математика курсында анықталған интегралды қолдануды зерттеуге қатысты негізгі ережелерді қарастырды.

– интегралдарды шешудің теориялық негіздеріне талдау жасалды;

– материал жүйеленіп, жалпыланды.

Курстық жұмысты орындау барысында физика, геометрия, механика салаларындағы практикалық есептердің мысалдары қарастырылды.

Қорытынды

Жоғарыда қарастырылған практикалық есептердің мысалдары олардың шешілу мүмкіндігі үшін анықталған интегралдың маңыздылығы туралы нақты түсінік береді.

Жалпы алғанда, интегралды есептеу әдістері, атап айтқанда, анықталған интегралдың қасиеттері қолданылмайтын ғылыми саланы атау қиын. Сонымен, курстық жұмысты орындау барысында физика, геометрия, механика, биология және экономика салаларындағы практикалық есептердің мысалдарын қарастырдық. Әрине, бұл нақты мәселені шешу және теориялық фактілерді белгілеу кезінде белгіленген мәнді іздеу үшін интегралдық әдісті қолданатын ғылымдардың толық тізімінен алыс.

Анықталған интеграл математиканың өзін зерттеу үшін де қолданылады. Мысалы, дифференциалдық теңдеулерді шешу кезінде, олар өз кезегінде практикалық есептерді шешуге таптырмас үлес қосады. Анықталған интеграл математиканы зерттеудің белгілі бір негізі деп айта аламыз. Сондықтан оларды шешу жолдарын білу маңызды.

Жоғарыда айтылғандардың барлығынан анықталған интегралмен танысу неліктен жалпы білім беретін орта мектеп шеңберінде жүзеге асатыны түсінікті, мұнда оқушылар интеграл ұғымын және оның қасиеттерін ғана емес, сонымен қатар оның кейбір қолданбалы түрлерін де зерттейді.

Әдебиет

1. Волков Е.А. Сандық әдістер. М., Наука, 1988 ж.

2. Пискунов Н.С. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер. М., Интеграл-пресс, 2004. Т. 1.

3. Шипачев В.С. Жоғары математика. М., Жоғары мектеп, 1990 ж.

Сәлеметсіздер ме, құрметті Аргемона университетінің студенттері!

Бүгін біз объектілерді материалдандыруды үйренуді жалғастырамыз. Өткен жолы жазық фигураларды айналдырып, көлемді денелерді алдық. Олардың кейбіреулері өте қызықты және пайдалы. Менің ойымша, сиқыршы ойлап тапқан нәрселерді болашақта қолдануға болады.

Бүгін біз қисықтарды айналдырамыз. Осылайша біз өте жіңішке шеттері бар қандай да бір затты ала алатынымыз анық (шөптерге арналған конус немесе бөтелке, гүл вазасы, сусындарға арналған стақан және т.б.), өйткені айналмалы қисық дәл осындай нысандарды жасай алады. Басқаша айтқанда, қисық сызықты айналдыру арқылы біз қандай да бір бетті аламыз - барлық жағынан жабық немесе жоқ. Неліктен дәл қазір мен сэр Шурф Лонли-Локли үнемі ішетін стаканды есіме түсірдім.

Сонымен, біз саңылаулары бар ыдысты және саңылаусыз ыдысты жасаймыз және жасалған беттің ауданын есептейміз. Менің ойымша, бұл (жалпы бетінің ауданы) бір нәрсе үшін қажет болады - жақсы, кем дегенде, арнайы сиқырлы бояуды қолдану үшін. Екінші жағынан, сиқырлы артефактілердің аймақтары оларға немесе басқа нәрсеге қолданылатын сиқырлы күштерді есептеу үшін қажет болуы мүмкін. Біз оны табуды үйренеміз және оны қайда қолдану керектігін табамыз.

Сонымен, параболаның бір бөлігі бізге тостаған пішінін бере алады. Интервалдағы ең қарапайым y=x 2 алайық. Оны OY осінің айналасында айналдырғанда, сіз жай ғана тостаған аласыз. Түбі жоқ.

Айналу бетінің ауданын есептеуге арналған сиқырлы келесідей:

Мұнда |y| - бұл айналу осінен қисықтың айналатын кез келген нүктесіне дейінгі қашықтық. Өздеріңіз білетіндей, қашықтық - бұл перпендикуляр.
Закланың екінші элементімен біршама қиынырақ: ds - доғаның дифференциалы. Бұл сөздер бізге ештеңе бермейді, сондықтан мазаламайық, бірақ бұл дифференциал бізге белгілі барлық жағдайлар үшін анық көрсетілген формулалар тіліне көшейік:
- декарттық координаталар жүйесі;
- қисық сызықты параметрлік түрде жазу;
- полярлық координаталар жүйесі.

Біздің жағдайымыз үшін айналу осінен қисық сызықтың кез келген нүктесіне дейінгі қашықтық х. Алынған шұңқырдың бетінің ауданын есептейміз:

Түбі бар тостағанды жасау үшін басқа бөлікті алу керек, бірақ басқа қисық: аралықта бұл y=1 сызығы.

Ол OY осін айналдырғанда, тостағанның түбі бірлік радиусы бар шеңбер түрінде болатыны анық. Біз шеңбердің ауданы қалай есептелетінін білеміз (pi*r^2 формуласы арқылы. Біздің жағдайда шеңбердің ауданы pi-ге тең болады), бірақ оны жаңа формула арқылы есептейік - тексеру.
Айналу осінен қисықтың осы бөлігінің кез келген нүктесіне дейінгі қашықтық та х-ке тең.

Біздің есептеулеріміз дұрыс, бұл жақсы жаңалық.

Ал енді үй жұмысы.

1. A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), ОК осінің айналасында сынық ABC сызығын айналдыру арқылы алынған бет ауданын табыңыз.
Кеңес. Барлық сегменттерді параметрлік түрде жазыңыз.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Айтпақшы, алынған элемент қалай көрінеді?

2. Ал, енді өзіңіз бірдеңе ойлап табыңыз. Менің ойымша, үш элемент жеткілікті.

Сондықтан мен бірден негізгі ұғымдар мен практикалық мысалдарға көшемін.

Қарапайым суретті қарастырайық

Есіңізде болсын: нені пайдаланып есептеуге болады анықталған интеграл ?

Ең алдымен, әрине, қисық трапеция ауданы . Мектеп кезінен таныс.

Егер бұл фигура координат осінің айналасында айналса, онда біз табу туралы айтып отырмыз революциялық дененің көлемі . Бұл да қарапайым.

Тағы да не? Жақында қаралды доғаның ұзындығы мәселесі .

Ал бүгін біз тағы бір сипаттаманы - басқа аймақты қалай есептеу керектігін үйренеміз. Сол сызықты елестетіп көріңіз айналадыось айналасында. Осы әрекеттің нәтижесінде геометриялық фигура алынады, деп аталады айналу беті. Бұл жағдайда түбі жоқ қазанға ұқсайды. Және қақпақсыз. Эйор айтқандай, жүректі ауыртатын көрініс =)

Кез келген түсініксіз түсіндіруді жою үшін мен қызықсыз, бірақ маңызды түсініктеме беремін:

геометриялық тұрғыдан алғанда, біздің «қазанда» бар шексіз жұқақабырға және екітең аудандары бар беттер - сыртқы және ішкі. Сонымен, барлық кейінгі есептеулер аумақты білдіреді тек сыртқы беті.

Тік бұрышты координаталар жүйесінде айналу бетінің ауданы мына формула бойынша есептеледі:

немесе неғұрлым ықшам: .

Функцияға және оның туындысына табу кезіндегідей талаптар қойылады қисық доғаның ұзындығы , бірақ, сонымен қатар, қисық орналасуы керек жоғарырақосьтер Бұл маңызды! Егер сызық орналасқан болса, түсіну оңай астындаось, онда интеграл теріс болады : , сондықтан есептің геометриялық мағынасын сақтау үшін формулаға минус белгісін қосу керек болады.

Елеусіз ескерілмеген фигураны қарастырайық:

Торус бетінің ауданы

Бір сөзбен айтқанда, торус - бұл пончик. Матан оқулықтарының барлығында дерлік талқыланған оқулық үлгісі табуға арналған көлемі torus, сондықтан әртүрлілік үшін мен сирек кездесетін мәселені талдаймын оның бетінің ауданы. Алдымен нақты сандық мәндермен:

1-мысал

Шеңберді айналдыру арқылы алынған торустың бетінің ауданын есептеңіз ось айналасында.

Шешім: өздеріңіз білетіндей, теңдеу жинақтар шеңбер нүктесінде центрі бар бірлік радиусы. Бұл жағдайда екі функцияны алу оңай:

– жоғарғы жарты шеңберді орнатады;
– төменгі жарты шеңберді орнатады:

Мәселе анық: шеңберх осінің айналасында айналады және қалыптасады бетібауырсақ. Мұндағы жалғыз нәрсе, өрескел ескертпелерді болдырмау үшін, терминологияда абай болу керек: егер сіз айналдырсаңыз шеңбер, шеңбермен шектелген , содан кейін ол геометриялық болып шығады дене, яғни бауырсақтардың өзі. Енді біз оның аумағы туралы айтып отырмыз беттер, бұл анық аумақтардың қосындысы ретінде есептелуі керек:

1) «Көк» доғаны айналдыру арқылы алынған беттің ауданын табыңыз абсцисса осінің айналасында. Біз формуланы қолданамыз . Мен бірнеше рет кеңес бергенімдей, әрекеттерді кезең-кезеңімен орындау ыңғайлы:

Функцияны алайық және оны табыңыз туынды :

Соңында біз нәтижені формулаға жүктейміз:

Бұл жағдайда ол ұтымдырақ болып шыққанын ескеріңіз жұп функцияның интегралын екі еселеу ордината осіне қатысты фигураның симметриясы туралы алдын ала пайымдаудан гөрі шешу кезінде.

2) «Қызыл» доғаны айналдыру арқылы алынған беттің ауданын табыңыз абсцисса осінің айналасында. Барлық әрекеттер шын мәнінде бір ғана белгімен ерекшеленеді. Мен шешімді басқа стильде жазамын, ол, әрине, өмір сүруге құқылы:

3) Сонымен, торустың бетінің ауданы:

Жауап:

Мәселені жалпы түрде шешуге болады - абсцисса осінің айналасында шеңберді айналдыру арқылы алынған тордың бетінің ауданын есептеңіз және жауапты алыңыз . Дегенмен, түсінікті және қарапайымдылық үшін мен шешімді нақты сандар бойынша орындадым.

Егер сізге пончиктің көлемін есептеу қажет болса, оқулықты жылдам анықтама ретінде қараңыз:

Теориялық ескертуге сәйкес біз жоғарғы жарты шеңберді қарастырамыз. Ол параметр мәні шектерде өзгерген кезде «сызылады» (оны көру оңай осы аралықта), осылайша:

Жауап:

Егер сіз мәселені жалпы түрде шешсеңіз, сіз шардың ауданына арналған мектеп формуласын аласыз, оның радиусы қай жерде.

Бұл өте қарапайым тапсырма болды, мен тіпті ұялдым ... Мен бұл қатені түзетуге кеңес беремін =)

4-мысал

Циклоидтың бірінші доғасын ось айналасында айналдыру арқылы алынған беттің ауданын есептеңіз.

Тапсырма шығармашылық. Қисықты ордината осінің айналасында айналдыру арқылы алынған беттің ауданын есептеу формуласын шығаруға немесе интуитивті түрде болжауға тырысыңыз. Және, әрине, параметрлік теңдеулердің артықшылығын тағы да атап өту керек - оларды қандай да бір жолмен өзгерту қажет емес; басқа интеграциялық шектеулерді іздеп әуре болудың қажеті жоқ.

Циклоидтық графикті бетте көруге болады Аудан және көлем, егер сызық параметрлік түрде көрсетілсе . Айналу беті ұқсайды... Мен оны немен салыстырарымды да білмеймін... бейтаныс нәрсе – ортасында үшкір ойығы бар дөңгелек пішінді. Циклоидтың ось айналасында айналуы туралы ойға бірден ассоциация келді - ұзын регби добы.

Шешімі мен жауабы сабақтың соңында.

Біз қызықты шолуымызды іспен аяқтаймыз полярлық координаталар . Иә, жай ғана шолу, егер сіз математикалық талдау бойынша оқулықтарды (Фихтенхольц, Бохан, Пискунов және басқа авторлар) қарасаңыз, ондаған жақсы (немесе одан да көп) стандартты мысалдарды алуға болады, олардың арасында сізге қажетті мәселені табуға болады. .

Айналым бетінің ауданын қалай есептеу керек,
түзу полярлық координаталар жүйесінде берілген болса?

Егер қисық берілген болса полярлық координаталар теңдеу, ал функцияның берілген аралықта үздіксіз туындысы бар болса, онда осы қисықты полярлық ось айналасында айналдыру арқылы алынған беттің ауданы формула бойынша есептеледі. , мұндағы қисық ұштарына сәйкес келетін бұрыштық мәндер.

Есептің геометриялық мағынасына сәйкес интеграл функциясы , және бұл шартта ғана қол жеткізіледі (және анық теріс емес). Сондықтан, диапазондағы бұрыш мәндерін ескеру қажет, басқаша айтқанда, қисық орналасуы керек жоғарырақполярлық ось және оның жалғасы. Көріп отырғаныңыздай, алдыңғы екі абзацтағыдай оқиға.

5-мысал

Кардиоидты полярлық ось айналасында айналдыру арқылы пайда болған бетінің ауданын есептеңіз.

Шешім: бұл қисықтың графигін сабақтың 6-мысалынан көруге болады полярлық координаталар жүйесі . Кардиоид полярлық оське қатысты симметриялы, сондықтан біз оның жоғарғы жартысын аралықта қарастырамыз (бұл, шын мәнінде, жоғарыдағы ескертуге байланысты).

Айналу беті бұқа тәрізді болады.

Шешу техникасы стандартты болып табылады. "phi"-ге қатысты туындыны табайық:

Түбірді құрастырып, жеңілдетейік:

Мен тұрақты деп үміттенемін

Кеңістікте дене берілсін. Оның кесінділері нүктелер арқылы өтетін оське перпендикуляр жазықтықтармен салынсын
оған. Бөлімде қалыптасқан фигураның ауданы нүктеге байланысты X, қима жазықтығын анықтау. Бұл тәуелділік белгілі және үздіксіз берілсін функциясы. Содан кейін дененің жазықтықтар арасында орналасқан бөлігінің көлемі x=aЖәне x=bформула бойынша есептеледі

Мысал.Радиусы :, горизонталь жазықтық пен көлбеу z = 2y жазықтықтың арасына орналасқан және горизонталь жазықтықтан жоғары жатқан шектелген дененің көлемін табайық.

Қарастырылып отырған дене ось сегментіне проекцияланғаны анық
, және atx
дененің көлденең қимасы катеттері y және z = 2y болатын тікбұрышты үшбұрыш, мұнда у цилиндр теңдеуінен x арқылы өрнектелуі мүмкін:

Демек, көлденең қиманың ауданы S(x) мынаған тең:

Формула арқылы дененің көлемін табамыз:

Айналу денелерінің көлемдерін есептеу

Сегментке рұқсат етіңіз[ а, б] тұрақты таңбалы үзіліссіз функция көрсетілген ж= f(x). Ось айналасында айналу нәтижесінде пайда болатын айналу денелерінің көлемдері О(немесе осьтер OU) қисық сызықпен шектелген қисық трапеция ж= f(x) (f(x) 0) және түзу y=0, x=a, x=б, сәйкес формулалар арқылы есептеледі:

, ( 19)

(20)

Егер дене ось айналасында айналу арқылы пайда болса OUқисық сызықпен шектелген қисық трапеция
және түзу x=0, ж= в, ж= г, онда айналым денесінің көлемі тең болады

. (21)

Мысал.Түзулермен шектелген фигураны осьтің айналасында айналдыру арқылы алынған дененің көлемін есептеңіз О.

(19) формулаға сәйкес қажетті көлем

Мысал. xOy жазықтығындағы кесіндідегі y=cosx түзуін қарастырайық .

Е Бұл сызық кеңістікте осьтің айналасында айналады және нәтижесінде айналу беті кейбір айналу денесін шектейді (суретті қараңыз). Осы айналу денесінің көлемін табайық.

Формула бойынша біз мынаны аламыз:

Айналу бетінің ауданы

,
, Ox осінің айналасында айналады, содан кейін айналу бетінің ауданы формула бойынша есептеледі
, Қайда аЖәне б- доғаның басы мен соңының абсциссасы.

Егер қисық доғасы теріс емес функциямен анықталса
,
, Oy осінің айналасында айналады, содан кейін айналу бетінің ауданы формула бойынша есептеледі

мұндағы c және d доғаның басы мен соңының абсциссасы.

Егер қисық доғасы берілсе параметрлік теңдеулер
,
, және
, Бұл

Егер доға ішінде көрсетілген полярлық координаталар
, Бұл

Мысал. y= түзуінің бөлігінің осінің айналасында кеңістікте айналу нәтижесінде пайда болған беттің ауданын есептейік кескіш жолақтың үстінде орналасқан.

Өйткені
, онда формула бізге интегралды береді

Соңғы интегралға t=x+(1/2) өзгерісін енгізіп, мынаны алайық:

Оң жағындағы интегралдардың біріншісінде z=t 2 - ауыстыруды орындаймыз:

Оң жағындағы интегралдардың екіншісін есептеу үшін оны белгілеп, бөліктер бойынша интегралдаймыз, теңдеуді аламыз:

Сол жаққа жылжып, 2-ге бөлсек, аламыз

қайда, ақырында,

Анықталған интегралдың механика мен физикадағы кейбір есептерді шешуге қолданылуы

Айнымалы күш жұмысы. Материалдық нүктенің ось бойымен қозғалысын қарастырайық ӨҚайнымалы күштің әсерінен f, нүктенің орнына байланысты xось бойынша, яғни. функция болып табылатын күш x. Содан кейін жұмыс А, материалдық нүктені орнынан жылжыту үшін қажет x = апозицияға x = бформула бойынша есептеледі:

Есептеу үшін сұйық қысым күштеріПаскаль заңын қолданыңыз, оған сәйкес платформадағы сұйықтықтың қысымы оның ауданына тең С, батыру тереңдігіне көбейтілген h, тығыздығы бойынша ρ және гравитацияның үдеуі g, яғни.

1. Жазық қисықтардың моменттері мен масса центрлері. Егер қисық доғасы y=f(x), a≤x≤b теңдеуімен берілсе және тығыздығы бар
, Бұл статикалық сәттеросы доғаның M x және M y координаталық осьтерге қатысты Ox және Oy тең

;

инерция моменттері I X және I y бірдей осьтерге қатысты Ox және Oy формулалар арқылы есептеледі

А массалар координаталары центрі Және - формулалар бойынша

мұндағы l - доғаның массасы, яғни.

1-мысал. 0≤x≤1 кезінде y=chx катенарлық сызығының доғасының Ox және Oy осьтеріне қатысты статикалық моменттері мен инерция моменттерін табыңыз.

Егер тығыздық көрсетілмесе, қисық біркелкі және деп есептеледі
. Бізде: Сондықтан,

2-мысал.Бірінші ширекте орналасқан дөңгелек доғаның массалар центрінің координаталарын табыңыз x=acost, y=asint. Бізде бар:

Осыдан біз аламыз:

Қолданбаларда төмендегілер жиі пайдалы Теорема Гульдер. Жазық қисық доғаның доға жазықтығында жатқан және оны қиылыспайтын ось айналасында айналуынан пайда болған беттің ауданы доғаның ұзындығы мен сипатталған шеңбердің ұзындығының көбейтіндісіне тең. оның массалық центрі бойынша.

3-мысал.Жартылай шеңбердің масса центрінің координаталарын табыңыз

Симметрияға байланысты
. Жартылай шеңберді Ox осінің айналасында айналдырғанда, бетінің ауданы тең, ал жарты шеңбердің ұзындығы na-ға тең шар алынады. Гүлден теоремасы бойынша бізде 4

Осы жерден
, яғни. С массасының центрі С координатасына ие
.

2. Физикалық тапсырмалар.Анықталған интегралдың физикалық есептерді шешудегі кейбір қолданулары төмендегі мысалдарда көрсетілген.

4-мысал.Дененің түзу сызықты қозғалысының жылдамдығы (м/с) формуламен өрнектеледі. Қозғалыстың басынан 5 секундта дененің жүріп өткен жолын табыңыз.

Өйткені дененің жүріп өткен жолыуақыт аралығында v(t) жылдамдығымен интегралмен өрнектеледі

онда бізде:

П
мысал.осі мен y=x 3 -x түзуінің арасында жатқан шектелген ауданның ауданын табайық. Өйткені

түзу осьті үш нүктеде қиып өтеді: x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.

Сызық пен ось арасындағы шектеулі аймақ сегментке проекцияланады
,және сегментте
,liney=x 3 -x осьтің үстіне шығады (яғни, liney=0 және одан әрі - төменде. Демек, аймақтың ауданын келесідей есептеуге болады:

П
мысал.Архимед спиральының бірінші және екінші бұрылыстары арасындағы аймақтың ауданын табайық r=a (a>0) және көлденең осьтің сегменті
.

Спиральдың бірінші айналымы бұрыштың 0-ден, ал екіншісі - бастап өзгеруіне сәйкес келеді. Аргументті өзгерту үшін бір бос орынға спиральдың екінші айналымының теңдеуін түрінде жазамыз
,

. Содан кейін ауданды қою, формула арқылы табуға болады
Және
: