Зная координаты 2 стороны треугольника найти высоту. Найти наибольшую высоту треугольника
Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками, которые соединены тремя отрезками. Чтобы найти, чему равна высота треугольника, необходимо, в первую очередь, определить его тип. Треугольники различаются величиной углов и количеством равных углов. По величине углов треугольник может быть остроугольным, тупоугольным и прямоугольным. По числу равных сторон выделяют равнобедренный, равносторонний и разносторонний треугольники. Высота – это перпендикуляр, который опущен на противоположную сторону треугольника из его вершины. Как найти высоту треугольника?
Как найти высоту равнобедренного треугольника
Для равнобедренного треугольника характерно равенство сторон и углов при его основании, поэтому проведенные к боковым сторонам высоты равнобедренного треугольника всегда равны друг другу. Также высота данного треугольника одновременно является медианой и биссектрисой. Соответственно, высота делит основание пополам. Рассматриваем получившийся прямоугольный треугольник и находим сторону, то есть высоту равнобедренного треугольника, посредством теоремы Пифагора. Воспользовавшись следующей формулой, вычисляем высоту: H = 1/2*√4*a 2 − b 2 , где: а - боковая сторона данного равнобедренного треугольника, b - основание данного равнобедренного треугольника.
Как найти высоту равностороннего треугольника
Треугольник с равными сторонами называется равносторонним. Высоту такого треугольника выводят из формулы высоты равнобедренного треугольника. Получается: H = √3/2*a, где a - сторона данного равностороннего треугольника.
Как найти высоту разностороннего треугольника
Разносторонним называют треугольник, у которого какие-либо две стороны не являются равными друг другу. В таком треугольнике все три высоты будут разными. Рассчитать длины высот можно при помощи формулы: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, где а - сторона треугольника или сначала посчитать площадь конкретного треугольника по формуле Герона, которая выглядит как: S = (p*(p-c)*(p-b)*(p-a))^1/2, где а, b, с – стороны разностороннего треугольника, а p – его полупериметр. Каждая высота = 2*площадь/сторону
Как найти высоту прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол. Высота, которая проходит к одному из катетов, в то же время является вторым катетом. Поэтому чтобы найти лежащие на катетах высоты, нужно воспользоваться изменённой формулой Пифагора: a = √(c 2 − b 2), где a, b - это катеты (a - катет, который необходимо найти), c - длина гипотенузы. Для того, чтобы найти вторую высоту надо поставить полученное значение a на место b. Для нахождения третьей, лежащей внутри треугольника, высоты применяется следующая формула: h = 2s/a, где h - высота прямоугольного треугольника, s - его площадь, a - длина стороны, к которой будет перпендикулярна высота.
Треугольник называется остроугольным в случае, если все его углы острые. В таком случае все три высоты располагаются внутри остроугольного треугольника. Треугольник называется тупоугольным при наличии одного тупого угла. Две высоты тупоугольного треугольника находятся вне треугольника и падают на продолжение сторон. Третья сторона находится внутри треугольника. Высота определяется при помощи все той же теоремы Пифагора.
Общие формулы, как вычисления высоты треугольника
- Формула для нахождения высоты треугольника через стороны: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), где h - высота, которую нужно найти, а, b и c – стороны данного треугольника, p – его полупериметр, .
- Формула для нахождения высоты треугольника через угол и сторону: H=b sin y = c sin ß
- Формула для нахождения высоты треугольника через площадь и сторону: h = 2S/a, где a – это сторона треугольника, а h – построенная к стороне а высота.
- Формула для нахождения высоты треугольника через радиус и стороны: H= bc/2R.
При решении различного рода задач, как сугубо математического, так и прикладного характера (особенно в строительстве), нередко требуется определить значение высоты определенной геометрической фигуры. Как рассчитать данную величину (высоту) в треугольнике?
Если мы попарно совместим 3 точки, расположенные не на единой прямой, то полученная фигура будет треугольником. Высота – часть прямой из любой вершины фигуры, которая при пересечении с противоположной стороной образует угол 90°.
Найти высоту в разностороннем треугольнике
Определим значение высоты треугольника в случае, когда фигура имеет произвольные углы и стороны.
Формула Герона
h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, где
p – половина периметра фигуры, h(a) – отрезок к стороне a, проведенный под прямым углом к ней,
p=(a+b+c)/2 – расчет полупериметра.
В случае наличия площади фигуры для определения ее высоты можно воспользоваться соотношением h(a)=2S/a.
Тригонометрические функции
Для определения длины отрезка, который составляет при пересечении со стороной a прямой угол, можно воспользоваться следующими соотношениями: если известна сторона b и угол γ или сторона c и угол β, то h(a)=b*sinγ или h(a)=c*sinβ.
Где:
γ – угол между стороной b и a,
β – угол между стороной c и a.
Взаимосвязь с радиусом
Если исходный треугольник вписан в окружность, для определения величины высоты можно воспользоваться радиусом такой окружности. Центр ее расположен в точке, где пересекаются все 3 высоты (из каждой вершины) – ортоцентре, а расстояние от него и до вершины (любой) – радиус.
Тогда h(a)=bc/2R, где:
b, c – 2 другие стороны треугольника,
R – радиус описывающей треугольник окружности.
Найти высоту в прямоугольном треугольнике
В данном виде геометрической фигуры 2 стороны при пересечении образуют прямой угол – 90°. Следовательно, если требуется определить в нем значение высоты, то необходимо вычислить либо размер одного из катетов, либо величину отрезка, образующего с гипотенузой 90°. При обозначении:
a, b – катеты,
c – гипотенуза,
h(c) – перпендикуляр на гипотенузу.
Произвести необходимые расчеты можно с помощью следующих соотношений:
- Пифагорова теорема:
a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c,т.к. S=ab/2,то h(c)=ab/c .
- Тригонометрические функции:
a= c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.
Найти высоту в равнобедренном треугольнике
Данная геометрическая фигура отличается наличием двух сторон равной величины и третьей – основанием. Для определения высоты, проведенной к третьей, отличной стороне, на помощь приходит теорема Пифагора. При обозначениях
a – боковая сторона,
c – основание,
h(c) – отрезок к c под углом 90°, то h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).
Почти никогда не получится определить все параметры треугольника без дополнительных построений. Эти построения являются своеобразными графическими характеристиками треугольника, которые помогают определить величину сторон и углов.
Определение
Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя сторонами составляют треугольник.
Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, не стандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.
Рис. 1. Высота тупоугольного треугольника.
Как правило, высота треугольника имеет обозначение буквой h. Так же обозначается высота и в других фигурах.
Как найти высоту треугольника?
Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:
Через теорему Пифагора
Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.
Дано : равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.
Рис. 2. Рисунок к задаче.
Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства.
Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основания:
- Высота совпадает с медианной и биссектрисой
- Делит основание на две равные части.
Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4
Высота это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВН является катетом этого треугольника.
Найдем высоту по теореме Пифагора: $$ВD=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{25-16}=3$$
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.
Через площадь треугольника
Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.
Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.
Формула площади треугольника: $$S={1\over2}*bh$$, где b – это сторона треугольника,а h – высота, проведенная к этой стороне. Выразим из формулы высоту:
$$h=2*{S\over b}$$
Если площадь равна 15, сторона 5, то высота $$h=2*{15\over5}=6$$
Через тригонометрическую функцию
Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.
Рис. 3. Рисунок к задаче.
Угол ВСН=300 , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся синусом. Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH.
Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:
$$BH=BC*\cos (60\unicode{xb0})=8*{1\over2}=4$$
Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.6 . Всего получено оценок: 152.
Вычисление высоты треугольника зависит от самой фигуры (равнобедренный, равносторонний, разносторонний, прямоугольный). В практической геометрии сложные формулы, как правило, не встречаются. Достаточно знать общий принцип вычислений для того, чтобы он мог быть универсально применим для всех треугольников. Сегодня мы познакомим вас с базовыми принципами вычисления высоты фигуры, расчетными формулами, основываясь на свойствах высот треугольников.
Что такое высота?
Высота имеет несколько отличительных свойств
- Точка, где все высоты соединяются, называется ортоцентром. Если треугольник остроконечный, то ортоцентр находится внутри фигуры, если один из углов тупой, то ортоцентр, как правило, находится снаружи.
- В треугольнике, где один угол равен 90°, ортоцентр и вершина совпадают.
- В зависимости от вида треугольника есть несколько формул, как найти высоту треугольника.
Традиционные вычисления
- Если р – это половина периметра, тогда a, b, c являются обозначением сторон требуемой фигуры, h – высота, то первая и самая простая формула будет выглядеть следующим образом: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
- В школьных учебниках часто можно найти задачи, в которых известно значение одной из сторон треугольника и величина угла между данной стороной и основанием. Тогда формула расчета высоты будет выглядеть так: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
- Когда дана площадь треугольника – S, а также длина основания – а, то вычисления будут максимально простыми. Высоту находят по формуле: h = 2S/a.
- Когда дан радиус окружности, описанной вокруг фигуры, вначале вычисляем длины его двух сторон, а затем приступаем к вычислению заданной высоты треугольника. Для этого используем формулу: h = b ∙ c/2R, где b и c – это две стороны треугольника, которые не являются основанием, а R – радиус.
Все стороны у данной фигуры равнозначны, их длины равны, поэтому и углы при основании тоже будут равными. Из этого следует, что высоты, которые проводим на основания, тоже будут равны, они же и медианы, и биссектрисы одновременно. Говоря простым языком, высота в равнобедренном треугольнике делит основание надвое. Треугольник с прямым углом, который получился после проведения высоты, будем рассматривать с помощью теоремы Пифагора. Обозначим боковую сторону как а, а основание как b, тогда высота h = ½ √4 a2 − b2.
Как найти высоту равностороннего треугольника?
Формула равностороннего треугольника (фигуры, где все стороны являются равновеликими), можно найти, исходя из предыдущих вычислений. Необходимо только измерить длину одной из сторон треугольника и обозначить её как а. Тогда высота выводится по формуле: h = √3/2 a.
Как найти высоту прямоугольного треугольника?
Как известно, угол в прямоугольном треугольнике равен 90°. Высота, опущенная на один катет, одновременно является и вторым катетом. На них и будут лежать высоты треугольника с прямым углом. Для получения данных о высоте, нужно немного преобразовать имеющуюся формулу Пифагора, обозначив катеты – а и b, а также измерив длину гипотенузы – с.
Найдем длину катета (сторона, которой будет перпендикулярна высота): a = √ (c2 − b2). Длина второго катета находится по точно такой же формуле: b =√ (c2 − b2). После чего можно приступать к вычислению высоты треугольника с прямым углом, предварительно сосчитав площадь фигуры – s. Значение высоты h = 2s/a.
Расчеты с разносторонним треугольником
Когда разносторонний треугольник имеет острые углы, то высота, опускаемая на основание, видна. Если же треугольник с тупым углом, то высота может находиться вне фигуры, и нужно мысленно её продолжить, чтобы получить точку соединения высоты и основания треугольника. Самым простым способом измерить высоту является вычисление её через одну из сторон и величины углов. Формула выглядит следующим образом: h = b sin y + c sin ß.
Треугольники.
Основные понятия.
Треугольник - это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.
Отрезки называются сторонами , а точки - вершинами .
Сумма углов треугольника равна 180 º .
Высота треугольника.
Высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне.
В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис.1).
В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2).
В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3).
Свойства высоты треугольника:
Биссектриса треугольника.
Биссектриса треугольника - это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5).
Свойства биссектрисы:
Медиана треугольника.
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).
Длину медианы можно вычислить по формуле: 2b
2 + 2c
2 - a
2 где m a - медиана, проведенная к стороне а . В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: c
где m c - медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.9в) Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника (рис.9с). Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. |
Средняя линия треугольника.
Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10).
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине
Внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11).
Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.
Прямоугольный треугольник.
Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12).
Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой .
Две другие стороны называются катетами .
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В.
Рис.14а
Равнобедренный треугольник.
Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13).
Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья - основанием треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.
Равносторонний треугольник.
Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14).
Свойства равностороннего треугольника:
Замечательные свойства треугольников.
У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:
1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b , лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет a больше катета b в √3 раз (рис.15а ). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3. 2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.15b ). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2. 3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.15с ). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5. 4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.9в): m c = с/2. 5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.9c) 6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности (рис.15d ). |
Признаки равенства треугольников .
Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Неравенство треугольника.
В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
c 2 = a 2 + b 2 .
Площадь треугольника.
1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
ah
S
= ——
2
2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:
1
S
= —
AB ·
AC
·
sin A
2
Треугольник, описанный около окружности.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а ).
Треугольник, вписанный в окружность.
Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис.17a ).
Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18).
Синус
острого угла x
противолежащего
катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin
x
.
Косинус
острого угла x
прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего
катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos x
.
Тангенс
острого угла x
- это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg
x
.
Котангенс
острого угла x
- это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg
x
.
Правила:
Катет, противолежащий углу x , равен произведению гипотенузы на sin x :
b = c · sin x
Катет, прилежащий к углу x , равен произведению гипотенузы на cos x :
a = c · cos x
Катет, противоположный углу x , равен произведению второго катета на tg x :
b = a · tg x
Катет, прилежащий к углу x , равен произведению второго катета на ctg x :
a = b · ctg x .
Для любого острого угла x :
sin (90° - x ) = cos x
cos (90° - x ) = sin x