Apgrieztās matricas atrašana. Algoritms apgrieztās matricas aprēķināšanai, izmantojot algebriskos komplementus: adjoint (savienības) matricas metode

Matricas algebra - apgrieztā matrica

apgrieztā matrica

apgrieztā matrica Tiek izsaukta matrica, kas, reizinot gan labajā, gan kreisajā pusē ar doto matricu, iegūst identitātes matricu.
Apzīmē matricu apgriezti pret matricu BET caur , tad saskaņā ar definīciju mēs iegūstam:

kur E ir identitātes matrica.
kvadrātveida matrica sauca nav īpašs (nedeģenerēts), ja tā determinants nav vienāds ar nulli. Citādi to sauc īpašs (deģenerēts) vai vienskaitlis.

Ir teorēma: katrai nevienskaitļa matricai ir apgrieztā matrica.

Tiek saukta apgrieztās matricas atrašanas operācija pārsūdzēt matricas. Apsveriet matricas inversijas algoritmu. Dota nevienskaitļa matrica n-kārtība:

kur Δ = det A ≠ 0.

Algebriskā elementa papildinājums matricas n-tais pasūtījums BET matricas determinants ( n–1)-kārtība, kas iegūta dzēšot i-th līnija un j-matricas kolonna BET:

Izveidosim t.s pievienots matrica:

kur ir matricas atbilstošo elementu algebriskie papildinājumi BET.
Ņemiet vērā, ka matricas rindu elementu algebriskie papildinājumi BET tiek ievietoti attiecīgajās matricas kolonnās à , tas ir, matrica tiek transponēta vienlaicīgi.
Visu matricas elementu sadalīšana à uz Δ - matricas determinanta vērtība BET, mēs iegūstam apgriezto matricu kā rezultātā:

Mēs atzīmējam vairākas īpašas apgrieztās matricas īpašības:
1) noteiktai matricai BET tās apgrieztā matrica ir vienīgais;
2) ja ir apgrieztā matrica , tad pa labi reverss un pa kreisi reverss matricas sakrīt ar to;
3) speciālai (deģenerētai) kvadrātmatricai nav inversās matricas.

Apgrieztās matricas galvenās īpašības:
1) apgrieztās matricas determinants un sākotnējās matricas determinants ir reciprokāli;
2) kvadrātmatricu reizinājuma apgrieztā matrica ir vienāda ar faktoru apgriezto matricu reizinājumu, kas ņemta apgrieztā secībā:

3) transponētā inversā matrica ir vienāda ar apgriezto matricu no dotās transponētās matricas:

PIEMĒRS Aprēķiniet dotās matricas apgriezto vērtību.

ALGEBRAS PIEDĀVĀJUMI UN NEpilngadīgie

Ņemsim trešās kārtas noteicēju: .

Nepilngadīga atbilst šim elementam aij trešās kārtas determinantu sauc par otrās kārtas determinantu, kas iegūts no dotā, izdzēšot rindu un kolonnu, kuru krustpunktā atrodas dotais elements, t.i. i-th līnija un j-tā kolonna. Nepilngadīgie, kas atbilst noteiktam elementam aij mēs apzīmēsim M ij.

piemēram, nepilngadīga M12 atbilst elementam a 12, būs noteicējs , ko iegūst, dzēšot 1. rindu un 2. kolonnu no dotā determinanta.

Tādējādi formula, kas definē trešās kārtas determinantu, parāda, ka šis determinants ir vienāda ar summu pirmās rindas elementu izstrādājumi pēc to atbilstošajiem nepilngadīgajiem; savukārt elementam atbilstošais minors a 12, tiek ņemts ar “–” zīmi, t.i. tā var rakstīt

.

(1)

Līdzīgi var ieviest nepilngadīgo definīcijas otrās kārtas un augstākas kārtas noteicošajiem faktoriem.

Ieviesīsim vēl vienu jēdzienu.

Algebriskā saskaitīšana elements aij determinantu sauc par tā minoritāti M ij reizināts ar (–1) i+j .

Algebrisko elementu pievienošana aij apzīmēts A ij.

No definīcijas mēs iegūstam, ka saikne starp elementa algebrisko papildinājumu un tā minoritāti tiek izteikta ar vienādību A ij= (–1) i+j M ij .

Piemēram,

Piemērs. Dots noteicējs. Atrast A 13 , A 21 , A 32.

Ir viegli redzēt, ka, izmantojot elementu algebriskos papildinājumus, formulu (1) var uzrakstīt šādi:

Līdzīgi kā šajā formulā, var iegūt determinanta sadalīšanos pa jebkuras rindas vai kolonnas elementiem.

Piemēram, determinanta sadalījumu pa 2. rindas elementiem var iegūt šādi. Saskaņā ar noteicēja 2. īpašību mums ir:

Izvērsīsim iegūto determinantu par 1.rindas elementiem.

.

(2)

No šejienes jo otrās kārtas determinanti formulā (2) ir elementu nepilngadīgie 21, 22, 23. Tādējādi , t.i. esam ieguvuši determinanta izvērsumu par 2.rindas elementiem.

Līdzīgi var iegūt determinanta sadalīšanos pa trešās rindas elementiem. Izmantojot determinantu īpašību 1 (transponējot), var parādīt, ka līdzīgi paplašinājumi ir derīgi arī kolonnu elementu izvēršanai.

Tādējādi sekojošā teorēma ir patiesa.

Teorēma (par determinanta paplašināšanu noteiktā rindā vai kolonnā). Determinants ir vienāds ar jebkuras tā rindas (vai kolonnas) elementu un to algebrisko komplementu reizinājumu summu.

Viss iepriekš minētais attiecas uz jebkura augstāka līmeņa noteicošajiem faktoriem.

Piemēri.

INVERSE MATRIKSA

Apgrieztās matricas jēdziens tiek ieviests tikai kvadrātveida matricas.

Ja A tad ir kvadrātveida matrica otrādi tam matrica ir apzīmēta matrica A-1 un atbilst nosacījumam. (Šī definīcija tiek ieviesta pēc analoģijas ar skaitļu reizināšanu)

Matricu A -1 sauc par apgriezto matricu attiecībā pret matricu A, ja A * A -1 \u003d E, kur E ir n-tās kārtas identitātes matrica. Apgrieztā matrica var pastāvēt tikai kvadrātveida matricām.

Pakalpojuma uzdevums. Izmantojot šo pakalpojumu tiešsaistē, jūs varat atrast algebriskos papildinājumus, transponēto matricu A T , savienojuma matricu un apgriezto matricu. Risinājums tiek veikts tieši vietnē (tiešsaistē) un ir bezmaksas. Aprēķinu rezultāti tiek parādīti atskaitē Word formātā un Excel formātā (tas ir, ir iespēja pārbaudīt risinājumu). skatiet dizaina piemēru.

Instrukcija. Lai iegūtu risinājumu, jānorāda matricas izmērs. Pēc tam jaunajā dialoglodziņā aizpildiet matricu A .

Skatiet arī Apgriezto matricu pēc Džordana-Gausa metodes

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai

1. Transponētās matricas A T atrašana.
2. Algebrisko saskaitījumu definīcija. Aizstāt katru matricas elementu ar tā algebrisko komplementu.
3. Apgrieztās matricas kompilācija no algebriskiem papildinājumiem: katrs iegūtās matricas elements tiek dalīts ar sākotnējās matricas determinantu. Iegūtā matrica ir sākotnējās matricas apgrieztā vērtība.

Nākamais apgrieztās matricas algoritms līdzīgi kā iepriekšējā, izņemot dažus soļus: vispirms aprēķina algebriskos papildinājumus un pēc tam nosaka savienības matricu C.

1. Nosakiet, vai matrica ir kvadrātveida. Ja nē, tad tam nav apgrieztas matricas.
2. Matricas A determinanta aprēķins. Ja tas nav vienāds ar nulli, mēs turpinām risinājumu, pretējā gadījumā apgrieztā matrica nepastāv.
3. Algebrisko saskaitījumu definīcija.
4. Savienības (savstarpējās, adjungētās) matricas C aizpildīšana.
5. Apgrieztās matricas sastādīšana no algebriskām saskaitījumiem: katrs adjungētās matricas C elements tiek dalīts ar sākotnējās matricas determinantu. Iegūtā matrica ir sākotnējās matricas apgrieztā vērtība.
6. Veiciet pārbaudi: reiziniet oriģinālu un iegūtās matricas. Rezultātā vajadzētu būt identitātes matricai.

1. piemērs. Mēs rakstām matricu šādā formā:

Algebriskie papildinājumi. ∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Vēl viens algoritms apgrieztās matricas atrašanai

Mēs piedāvājam vēl vienu shēmu apgrieztās matricas atrašanai.

1. Atrodiet dotās kvadrātmatricas A determinantu.
2. Mēs atrodam algebriskus papildinājumus visiem matricas A elementiem.
3. Kolonnās ierakstām rindu elementu algebriskos papildinājumus (transponēšana).
4. Katru iegūtās matricas elementu sadalām ar matricas A determinantu.

Kā redzat, transponēšanas darbību var pielietot gan sākumā, virs sākotnējās matricas, gan beigās, pāri iegūtajiem algebriskajiem papildinājumiem.

Īpašs gadījums: Apgrieztā vērtība attiecībā uz identitātes matricu E ir identitātes matrica E .

apgrieztā matrica ir matrica A -1, reizinot ar kuru dotā sākotnējā matrica A dod identitātes matricu E:

AA −1 = A −1 A =E.

Apgrieztās matricas metode.

Apgrieztās matricas metode- šī ir viena no visizplatītākajām matricu risināšanas metodēm un tiek izmantota lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšanai gadījumos, kad nezināmo skaits atbilst vienādojumu skaitam.

Lai ir sistēma n lineārie vienādojumi ar n nezināms:

Šādu sistēmu var uzrakstīt kā matricas vienādojumu A*X=B,

kur
- sistēmas matrica,

- nezināmo kolonna,

- brīvo koeficientu kolonna.

No atvasinātā matricas vienādojuma mēs izsakām X, reizinot abas matricas vienādojuma puses kreisajā pusē ar A-1, kā rezultātā:

A -1 * A * X = A -1 * B

To zinot A-1*A=E, tad E*X=A-1*B vai X=A-1*B.

Nākamais solis ir noteikt apgriezto matricu A-1 un reizināts ar brīvo terminu kolonnu B.

Apgrieztā matrica uz matricu A pastāv tikai tad, kad det A≠ 0 . Ņemot to vērā, risinot SLAE ar apgrieztās matricas metodi, pirmais solis ir atrast det A. Ja det A≠ 0 , tad sistēmai ir tikai viens risinājums, ko var iegūt ar apgrieztās matricas metodi, ja det A = 0, tad tāda sistēma apgrieztās matricas metode nav atrisināts.

Apgrieztās matricas risinājums.

Darbību secība priekš apgrieztās matricas risinājumi:

1. Iegūstiet matricas noteicēju A. Ja determinants ir lielāks par nulli, apgriezto matricu risinām tālāk, ja tā ir vienāda ar nulli, tad apgrieztā matrica šeit nav atrodama.
2. Transponētās matricas atrašana AT.
3. Mēs meklējam algebriskos papildinājumus, pēc kuriem mēs aizstājam visus matricas elementus ar to algebriskajiem papildinājumiem.
4. Apgriezto matricu savācam no algebriskiem saskaitījumiem: visus iegūtās matricas elementus sadalām ar sākotnēji dotās matricas determinantu. Galīgā matrica būs vēlamā apgrieztā matrica attiecībā pret sākotnējo.

Algoritms zemāk apgrieztās matricas risinājumi būtībā tas pats, kas iepriekš, atšķirība ir tikai dažos soļos: vispirms mēs nosakām algebriskos papildinājumus un pēc tam aprēķinām savienības matricu C.

1. Uzziniet, vai dotā matrica ir kvadrātveida. Negatīvās atbildes gadījumā kļūst skaidrs, ka tai nevar būt apgriezta matrica.
2. Uzziniet, vai dotā matrica ir kvadrātveida. Negatīvās atbildes gadījumā kļūst skaidrs, ka tai nevar būt apgriezta matrica.
3. Mēs aprēķinām algebriskos saskaitījumus.
4. Mēs veidojam sabiedroto (savstarpējo, pievienoto) matricu C.
5. Mēs sastādām apgriezto matricu no algebriskām saskaitījumiem: visi adjungētās matricas elementi C dala ar sākotnējās matricas determinantu. Iegūtā matrica būs vēlamā apgrieztā matrica attiecībā pret doto.
6. Pārbaudām paveikto: reizinām sākotnējo un iegūto matricu, rezultātam jābūt identitātes matricai.

To vislabāk var izdarīt ar pievienotu matricu.

Teorēma: Ja kvadrātmatricai labajā pusē piešķiram tādas pašas kārtas identitātes matricu un kreisajā pusē esošo sākotnējo matricu pārveidosim par vienību matricu, izmantojot elementāras pārveides pa rindām, tad labajā pusē iegūtā matrica būs apgriezta sākotnējais.

Apgrieztās matricas atrašanas piemērs.

Exercise. Matricai atrast apgriezto ar adjoint matricas metodi.

Lēmums. Mēs pievienojam dotajai matricai BET labajā pusē otrās kārtas identitātes matrica:

Atņemiet 2. no 1. rindas:

Atņemiet pirmos 2 no otrās rindas:

Apgrieztās matricas atrašana ir process, kas sastāv no diezgan vienkāršiem soļiem. Bet šīs darbības tiek atkārtotas tik bieži, ka process ir diezgan garš. Galvenais ir nezaudēt uzmanību, pieņemot lēmumu.

Atrisinot visizplatītāko metodi - algebriskos papildinājumus - jums būs nepieciešams:

Risinot piemērus, šīs darbības analizēsim sīkāk. Tikmēr noskaidrosim, ko saka apgrieztās matricas teorija.

Priekš apgrieztā matrica ir trāpīga līdzība ar skaitļa apgriezto vērtību. Par katru numuru a, kas nav vienāds ar nulli, pastāv skaitlis b ka darbs a un b vienāds ar vienu: ab= 1. Numurs b sauc par skaitļa reciproku b. Piemēram, skaitlim 7 inverss ir skaitlis 1/7, jo 7*1/7=1.

apgrieztā matrica , kas ir jāatrod noteiktai kvadrātveida matricai BET, šādu matricu sauc

reizinājums, ar kuru matricas BET labajā pusē ir identitātes matrica, t.i.,
. (1)

Identitātes matrica ir diagonāla matrica, kurā visi diagonālie ieraksti ir vienādi ar vienu.

Apgrieztās matricas atrašana- problēma, kas visbiežāk tiek atrisināta ar divām metodēm:

• algebrisko komplementu metodi, kurā, kā norādīts nodarbības sākumā, nepieciešams atrast determinantus, minorus un algebriskos papildinājumus un transponēt matricas;
• Gausa nezināmo eliminācija, kas prasa elementāras matricu transformācijas (rindu pievienošana, rindas reizināšana ar tādu pašu skaitli utt.).

Īpaši zinātkārajiem ir arī citas metodes, piemēram, lineāro transformāciju metode. Šajā nodarbībā mēs analizēsim trīs minētās metodes un algoritmus apgrieztās matricas atrašanai ar šīm metodēm.

Teorēma.Katrai nevienskaitlīgai (nedeģenerētai, nevienskaitlīgai) kvadrātveida matricai var atrast apgrieztu matricu, turklāt tikai vienu. Īpašai (deģenerētai, vienskaitļa) kvadrātveida matricai apgrieztā matrica nepastāv.

Tiek saukta kvadrātveida matrica nav īpašs(vai nedeģenerēts, nevienskaitlis), ja tā determinants nav vienāds ar nulli, un īpašs(vai deģenerēts, vienskaitlis), ja tā determinants ir nulle.

Apgriezto matricu var atrast tikai kvadrātveida matricai. Protams, arī apgrieztā matrica būs kvadrātveida un tādā pašā secībā kā dotā matrica. Matricu, kurai var atrast apgriezto matricu, sauc par invertējamo matricu.

Apgrieztās matricas atrašana ar Gausa nezināmo novēršanu

Pirmais solis, lai atrastu apgriezto matricu ar Gausa elimināciju, ir piešķiršana matricai A tādas pašas kārtas identitātes matrica, atdalot tās ar vertikālu joslu. Mēs iegūstam duālo matricu. Reiziniet abas šīs matricas daļas ar , tad iegūstam

,

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai, izmantojot Gausa nezināmo elimināciju

1. Uz matricu A piešķirt identitātes matricu tādā pašā secībā.

2. Pārveidojiet iegūto duālo matricu tā, lai identitātes matrica tiktu iegūta tās kreisajā daļā, tad apgrieztā matrica automātiski tiks iegūta labajā daļā identitātes matricas vietā. Matrica A kreisajā pusē tiek pārveidots par identitātes matricu ar elementārām matricas transformācijām.

2. Ja matricas transformācijas procesā A identitātes matricā jebkurā rindā vai kolonnā būs tikai nulles, tad matricas determinants ir vienāds ar nulli, un tāpēc matrica A būs deģenerēts, un tam nav apgrieztas matricas. Šajā gadījumā turpmāka apgrieztās matricas atrašana apstājas.

2. piemērs Matricai

atrast apgriezto matricu.

un mēs to pārveidosim tā, lai identitātes matrica tiktu iegūta kreisajā pusē. Sāksim transformāciju.

Reiziniet pirmo kreisās un labās matricas rindu ar (-3) un pievienojiet to otrajai rindai, un pēc tam reiziiniet pirmo rindu ar (-4) un pievienojiet to trešajai rindai, tad iegūstam

.

Lai, ja iespējams, turpmākajās transformācijās nebūtu daļskaitļu, mēs vispirms izveidosim vienību otrajā rindā duālās matricas kreisajā pusē. Lai to izdarītu, reiziniet otro rindu ar 2 un atņemiet no tā trešo rindu, tad mēs iegūstam

.

Pievienosim pirmo rindu otrajai un pēc tam reizinim otro rindu ar (-9) un pievienosim trešajai rindai. Tad saņemam

.

Pēc tam sadaliet trešo rindu ar 8

.

Trešo rindu reiziniet ar 2 un pievienojiet to otrajai rindai. Izrādās:

.

Samainot otrās un trešās rindas vietas, tad beidzot iegūstam:

.

Mēs redzam, ka identitātes matrica tiek iegūta kreisajā pusē, tāpēc apgrieztā matrica tiek iegūta labajā pusē. Tādējādi:

.

Jūs varat pārbaudīt aprēķinu pareizību, reizinot sākotnējo matricu ar atrasto apgriezto matricu:

Rezultātam jābūt apgrieztai matricai.

Jūs varat pārbaudīt risinājumu ar tiešsaistes kalkulators apgrieztās matricas atrašanai .

3. piemērs Matricai

atrast apgriezto matricu.

Lēmums. Duālās matricas sastādīšana

un mēs to pārveidosim.

Mēs reizinām pirmo rindu ar 3 un otro ar 2 un atņemam no otrās, un tad pirmo rindu reizinām ar 5 un trešo ar 2 un atņemam no trešās rindas, tad iegūstam