Atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.

Vienkāršāko (un ne pārāk vienkāršo) funkciju atvasinājumu atrašanas problēmu risināšanas rezultātā, definējot atvasinājumu kā pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, parādījās atvasinājumu tabula un precīzi definēti diferenciācijas noteikumi. . Pirmie, kas strādāja atvasinājumu atrašanas jomā, bija Īzaks Ņūtons (1643-1727) un Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716).

Tāpēc mūsdienās, lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, jums nav jāaprēķina iepriekš minētā funkcijas pieauguma attiecības pret argumenta pieauguma robeža, bet tikai jāizmanto tabula atvasinājumi un diferenciācijas noteikumi. Atvasinājuma atrašanai ir piemērots šāds algoritms.

Lai atrastu atvasinājumu, jums ir nepieciešama izteiksme zem galvenās zīmes sadalīt vienkāršas funkcijas komponentos un noteikt, kādas darbības (produkts, summa, koeficients)šīs funkcijas ir saistītas. Tālāk elementāro funkciju atvasinājumus atrodam atvasinājumu tabulā, bet reizinājuma, summas un koeficienta atvasinājumu formulas - diferenciācijas noteikumos. Atvasinājumu tabula un diferenciācijas noteikumi ir doti pēc pirmajiem diviem piemēriem.

1. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. No diferenciācijas likumiem noskaidrojam, ka funkciju summas atvasinājums ir funkciju atvasinājumu summa, t.i.

No atvasinājumu tabulas mēs uzzinām, ka "x" atvasinājums ir vienāds ar vienu, un sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu. Mēs šīs vērtības aizstājam ar atvasinājumu summu un atrodam atvasinājumu, kas nepieciešams problēmas nosacījumam:

2. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Diferencējam kā summas atvasinājumu, kurā otrajam vārdam ir nemainīgs faktors, to var izņemt no atvasinājuma zīmes:

Ja joprojām rodas jautājumi par to, no kurienes kaut kas nāk, tie parasti tiek noskaidroti pēc iepazīšanās ar atvasinājumu tabulu un vienkāršākajiem diferenciācijas noteikumiem. Mēs šobrīd pārejam pie tiem.

Vienkāršu funkciju atvasinājumu tabula

1. Konstantes (skaitļa) atvasinājums. Jebkurš skaitlis (1, 2, 5, 200...), kas ir funkcijas izteiksmē. Vienmēr vienāds ar nulli. Tas ir ļoti svarīgi atcerēties, jo tas tiek prasīts ļoti bieži
2. Neatkarīgā mainīgā atvasinājums. Visbiežāk "X". Vienmēr vienāds ar vienu. Tas ir arī svarīgi atcerēties ilgu laiku
3. Grāda atvasinājums. Risinot problēmas, jums ir jāpārvērš ne-kvadrātsaknes pakāpēs.
4. Mainīgā atvasinājums pakāpei -1
5. Kvadrātsaknes atvasinājums
6.Sinusa atvasinājums
7.Kosinusa atvasinājums
8. Pieskares atvasinājums
9. Kotangensa atvasinājums
10.Arksīna atvasinājums
11.Arkosīna atvasinājums
12.Arktangenta atvasinājums
13. Loka kotangensa atvasinājums
14.Naturālā logaritma atvasinājums
15. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums
16. Eksponenta atvasinājums
17.Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Diferencēšanas noteikumi

1. Summas vai starpības atvasinājums
2. Produkta atvasinājums
2a. Izteiksmes atvasinājums, kas reizināts ar konstantu koeficientu
3. Koeficienta atvasinājums
4. Sarežģītas funkcijas atvasinājums

1. noteikums.Ja funkcijas

ir diferencējami kādā brīdī, tad funkcijas ir diferencējamas tajā pašā punktā

un

tie. funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu.

Sekas. Ja divas diferencējamas funkcijas atšķiras ar konstantu vārdu, tad to atvasinājumi ir vienādi, t.i.

2. noteikums.Ja funkcijas

ir diferencējami kādā brīdī, tad to produkts ir diferencējams tajā pašā punktā

un

tie. Divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas reizinājumu summu un otras funkcijas atvasinājumu.

Secinājums 1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:

Secinājums 2. Vairāku diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katra faktora un visu pārējo atvasinājuma produktu summu.

Piemēram, trim reizinātājiem:

3. noteikums.Ja funkcijas

kādā brīdī atšķirties Un , tad šajā brīdī arī to koeficients ir diferencējamsu/v , un

tie. divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāju un saucēja atvasinājumu, un saucējs ir skaitļa kvadrāts. bijušais skaitītājs.

Kur meklēt lietas citās lapās

Meklējot reizinājuma atvasinājumu un koeficientu reālās problēmās, vienmēr ir jāpiemēro vairāki diferenciācijas noteikumi vienlaikus, tāpēc rakstā ir vairāk piemēru par šiem atvasinājumiem."Produkta atvasinājums un funkciju koeficients".

komentēt. Nevajag jaukt konstanti (tas ir, skaitli) kā terminu summā un kā nemainīgu faktoru! Termina gadījumā tā atvasinājums ir vienāds ar nulli, un nemainīga faktora gadījumā tas tiek izņemts no atvasinājumu zīmes. Tā ir tipiska kļūda, kas rodas atvasinājumu izpētes sākumposmā, taču, risinot vairākus viendaļīgus un divdaļīgus piemērus, vidusmēra students vairs nepieļauj šo kļūdu.

Un, ja, diferencējot produktu vai koeficientu, jums ir termins u"v, kurā u- skaitlis, piemēram, 2 vai 5, tas ir, konstante, tad šī skaitļa atvasinājums būs vienāds ar nulli un līdz ar to viss termins būs vienāds ar nulli (šis gadījums ir apskatīts 10. piemērā).

Vēl viena izplatīta kļūda ir sarežģītas funkcijas atvasinājuma mehāniska atrisināšana kā vienkāršas funkcijas atvasinājums. Tāpēc kompleksas funkcijas atvasinājums ir veltīts atsevišķs raksts. Bet vispirms mēs iemācīsimies atrast vienkāršu funkciju atvasinājumus.

Pa ceļam jūs nevarat iztikt bez izteiksmju pārveidošanas. Lai to izdarītu, rokasgrāmata var būt jāatver jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .

Ja meklējat risinājumus daļskaitļu atvasinājumiem ar pakāpēm un saknēm, tas ir, kad funkcija izskatās šādi , pēc tam izpildiet nodarbību “Daļskaitļu summu atvasinājums ar pakāpēm un saknēm”.

Ja jums ir tāds uzdevums kā , tad jūs apmeklēsiet nodarbību “Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi”.

Soli pa solim piemēri - kā atrast atvasinājumu

3. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mēs definējam funkcijas izteiksmes daļas: visa izteiksme attēlo reizinājumu, un tās faktori ir summas, no kurām otrajā viens no terminiem satur nemainīgu faktoru. Mēs piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu: divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas produktu summu ar otras funkcijas atvasinājumu:

Tālāk piemērojam summas diferenciācijas likumu: funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu. Mūsu gadījumā katrā summā otrajam vārdam ir mīnusa zīme. Katrā summā redzam gan neatkarīgu mainīgo, kura atvasinājums ir vienāds ar vienu, gan konstanti (skaitli), kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad “X” pārvēršas par vienu, un mīnus 5 pārvēršas par nulli. Otrajā izteiksmē "x" tiek reizināts ar 2, tāpēc mēs reizinām divus ar tādu pašu vienību kā "x" atvasinājums. Mēs iegūstam šādas atvasinātās vērtības:

Atrastos atvasinājumus aizstājam produktu summā un iegūstam visas uzdevuma nosacījumam nepieciešamās funkcijas atvasinājumu:

Un jūs varat pārbaudīt atvasinātās problēmas risinājumu.

4. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mums ir jāatrod koeficienta atvasinājums. Mēs izmantojam koeficienta diferenciācijas formulu: divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāja atvasinājumu un atvasinājumu. saucējs, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts. Mēs iegūstam:

Mēs jau esam atraduši faktoru atvasinājumu skaitītājā 2. piemērā. Neaizmirsīsim arī to, ka reizinājums, kas pašreizējā piemērā ir otrais skaitītāja faktors, tiek ņemts ar mīnusa zīmi:

Ja meklējat risinājumus problēmām, kurās jāatrod funkcijas atvasinājums, kur ir nepārtraukta sakņu un pakāpju kaudze, piemēram, , tad laipni lūdzam nodarbībā "Atvasinājums no daļskaitļu summām ar pakāpēm un saknēm" .

Ja jums ir nepieciešams uzzināt vairāk par sinusu, kosinusu, tangenšu un citu trigonometrisko funkciju atvasinājumiem, tas ir, kad funkcija izskatās šādi , tad mācība jums "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi" .

5. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam reizinājumu, kura viens no faktoriem ir kvadrātsakne no neatkarīgā mainīgā, ar kura atvasinājumu mēs iepazināmies atvasinājumu tabulā. Izmantojot reizinājuma diferencēšanas noteikumu un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību, mēs iegūstam:

Atvasinātās problēmas risinājumu varat pārbaudīt vietnē tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

6. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam koeficientu, kura dividende ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne. Izmantojot koeficientu diferenciācijas likumu, ko atkārtojām un pielietojām 4. piemērā, un kvadrātsaknes atvasinājuma vērtību tabulā, iegūstam:

Lai atbrīvotos no daļskaitļa skaitītājā, reiziniet skaitītāju un saucēju ar .

Formulu pierādīšana un atvasināšana naturālā logaritma atvasināšanai un logaritmam līdz a bāzei. Ln 2x, ln 3x un ln nx atvasinājumu aprēķināšanas piemēri. N-tās kārtas logaritma atvasinājuma formulas pierādījums, izmantojot matemātiskās indukcijas metodi.

Saturs

Skatīt arī: Logaritms - īpašības, formulas, grafiks
Dabiskais logaritms - īpašības, formulas, grafiks

Formulu atvasināšana naturālā logaritma atvasinājumiem un logaritma bāzei a

x naturālā logaritma atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar x:
(1) (ln x)′ =.

Logaritma atvasinājums no bāzes a ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar mainīgo x, kas reizināts ar a naturālo logaritmu:
(2) (log a x)′ =.

Pierādījums

Lai ir kāds pozitīvs skaitlis, kas nav vienāds ar vienu. Apsveriet funkciju atkarībā no mainīgā x, kas ir logaritms pret bāzi:
.
Šī funkcija ir definēta . Atradīsim tā atvasinājumu attiecībā pret mainīgo x. Pēc definīcijas atvasinājums ir šāds ierobežojums:
(3) .

Pārveidosim šo izteiksmi, lai to reducētu līdz zināmām matemātiskām īpašībām un likumiem. Lai to izdarītu, mums jāzina šādi fakti:
A) Logaritma īpašības. Mums būs nepieciešamas šādas formulas:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Nepārtrauktas funkcijas logaritma nepārtrauktība un ierobežojumu īpašība:
(7) .
Šeit ir funkcija, kurai ir ierobežojums, un šī robeža ir pozitīva.
IN) Otrā ievērojamā ierobežojuma nozīme:
(8) .

Pielietosim šos faktus līdz mūsu robežām. Vispirms pārveidojam algebrisko izteiksmi
.
Lai to izdarītu, mēs izmantojam rekvizītus (4) un (5).

.

Izmantosim īpašību (7) un otro ievērojamo robežu (8):
.

Visbeidzot, mēs izmantojam īpašumu (6):
.
Logaritms līdz bāzei e sauca naturālais logaritms. Tas ir apzīmēts šādi:
.
Tad ;
.

Tādējādi mēs ieguvām formulu (2) logaritma atvasinājumam.

Dabiskā logaritma atvasinājums

Vēlreiz mēs izrakstām logaritma atvasinājuma formulu, lai bāzētu a:
.
Šai formulai ir visvienkāršākā forma naturālajam logaritmam, kuram , . Tad
(1) .

Šīs vienkāršības dēļ naturālo logaritmu ļoti plaši izmanto matemātiskajā analīzē un citās matemātikas nozarēs, kas saistītas ar diferenciālrēķinu. Logaritmiskās funkcijas ar citām bāzēm var izteikt naturālā logaritmā, izmantojot īpašību (6):
.

Logaritma atvasinājumu attiecībā pret bāzi var atrast no formulas (1), ja no diferenciācijas zīmes izņem konstanti:
.

Citi veidi, kā pierādīt logaritma atvasinājumu

Šeit mēs pieņemam, ka mēs zinām eksponenciāla atvasinājuma formulu:
(9) .
Tad mēs varam iegūt naturālā logaritma atvasinājuma formulu, ņemot vērā, ka logaritms ir eksponenciāla apgrieztā funkcija.

Pierādīsim naturālā logaritma atvasinājuma formulu, pielietojot apgrieztās funkcijas atvasinājuma formulu:
.
Mūsu gadījumā.
.
Dabiskā logaritma apgrieztā funkcija ir eksponenciāla:
.
Tās atvasinājumu nosaka pēc formulas (9). Mainīgos var apzīmēt ar jebkuru burtu. Formulā (9) aizstājiet mainīgo x ar y:
.
Kopš tā laika
.
Tad

Formula ir pierādīta. Tagad mēs pierādām naturālā logaritma atvasinājuma formulu, izmantojot sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikumi
.
. Tā kā funkcijas un ir apgrieztas viena otrai, tad
(10) .
Atšķirsim šo vienādojumu attiecībā pret mainīgo x:
.
X atvasinājums ir vienāds ar vienu:
.
Mēs izmantojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu:
.
Šeit . Aizstāsim ar (10):
.

No šejienes

Piemērs Atrast atvasinājumus no 2x, Un 3x.

Sākotnējām funkcijām ir līdzīga forma. Tāpēc mēs atradīsim funkcijas atvasinājumu y = log nx. Tad mēs aizstājam n = 2 un n = 3. Un tādējādi mēs iegūstam formulas atvasinājumiem no ln 2x Un 2x, .

Tātad, mēs meklējam funkcijas atvasinājumu
y = log nx .
Iedomāsimies šo funkciju kā sarežģītu funkciju, kas sastāv no divām funkcijām:
1) Funkcijas atkarībā no mainīgā lieluma: ;
2) Funkcijas atkarībā no mainīgā lieluma: .
Tad sākotnējā funkcija sastāv no funkcijām un:
.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu attiecībā pret mainīgo x:
.
Atradīsim funkcijas atvasinājumu attiecībā pret mainīgo:
.
Mēs izmantojam kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu.
.
Šeit mēs to uzstādām.

Tātad mēs atradām:
(11) .
Redzam, ka atvasinājums nav atkarīgs no n. Šis rezultāts ir diezgan dabisks, ja pārveidojam sākotnējo funkciju, izmantojot produkta logaritma formulu:
.
- tā ir konstante. Tās atvasinājums ir nulle. Tad saskaņā ar summas diferenciācijas likumu mums ir:
.

; ; .

Moduļa x logaritma atvasinājums

Atradīsim citas ļoti svarīgas funkcijas atvasinājumu - moduļa x naturālo logaritmu:
(12) .

Apskatīsim lietu. Tad funkcija izskatās šādi:
.
Tās atvasinājumu nosaka pēc formulas (1):
.

Tagad apskatīsim lietu. Tad funkcija izskatās šādi:
,
Kur.
Bet mēs arī atradām šīs funkcijas atvasinājumu iepriekš minētajā piemērā. Tas nav atkarīgs no n un ir vienāds ar
.
Kopš tā laika
.

Mēs apvienojam šos divus gadījumus vienā formulā:
.

Attiecīgi, lai logaritms būtu pamatā a, mums ir:
.

Dabiskā logaritma augstāku kārtu atvasinājumi

Apsveriet funkciju
.
Mēs atradām tā pirmās kārtas atvasinājumu:
(13) .

Atradīsim otrās kārtas atvasinājumu:
.
Atradīsim trešās kārtas atvasinājumu:
.
Atradīsim ceturtās kārtas atvasinājumu:
.

Varat pamanīt, ka n-tās kārtas atvasinājumam ir šāda forma:
(14) .
Pierādīsim to ar matemātisko indukciju.

Pierādījums

Aizstāsim vērtību n = 1 formulā (14):
.
Kopš , tad, kad n = 1 , formula (14) ir derīga.

Pieņemsim, ka formula (14) ir izpildīta, ja n = k. Pierādīsim, ka tas nozīmē, ka formula ir derīga n = k + 1 .

Patiešām, n = k mums ir:
.
Diferencēt attiecībā pret mainīgo x:

.
Tātad mēs saņēmām:
.
Šī formula sakrīt ar formulu (14) n = k + 1 . Tādējādi no pieņēmuma, ka formula (14) ir derīga n = k, izriet, ka formula (14) ir derīga n = k + 1 .

Tāpēc n-tās kārtas atvasinājuma formula (14) ir derīga jebkuram n.

Augstāku logaritmu kārtu atvasinājumi bāzei a

Lai atrastu logaritma n-tās kārtas atvasinājumu bāzei a, tas jāizsaka ar naturālo logaritmu:
.
Izmantojot formulu (14), mēs atrodam n-to atvasinājumu:
.

Skatīt arī:

Ļoti viegli atcerēties.

Nu, neiesim tālu, nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kura funkcija ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Ar ko tas ir vienāds? Protams, .

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Eksponenciālais un naturālais logaritms ir unikāli vienkāršas funkcijas no atvasinātā viedokļa. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.

Diferencēšanas noteikumi

Noteikumi par ko? Atkal jauns termins, atkal?!...

Diferenciācija ir atvasinājuma atrašanas process.

Tas ir viss. Kā vēl vienā vārdā var nosaukt šo procesu? Nav atvasinājums... Matemātiķi diferenciāli sauc par tādu pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielinājumam:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes.

Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Lai tas būtu vai vienkāršāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

1. punktā;
2. punktā;
3. punktā;
4. punktā.

Risinājumi:

1. (atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir līdzīgi: ieviesīsim jaunu funkciju un atradīsim tās pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

1. Atrast funkciju un atvasinājumus;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentus (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim reducēt savu funkciju uz jaunu bāzi:

Lai to izdarītu, mēs izmantosim vienkāršu noteikumu: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai notika?

Lūk, pārbaudiet sevi:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: kā bija, tā paliek nemainīga, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Tas ir tikai skaitlis, ko nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, to nevar pierakstīt vienkāršāk. Tāpēc atbildē to atstājam šādā formā.

Ņemiet vērā, ka šeit ir divu funkciju koeficients, tāpēc mēs izmantojam atbilstošo diferenciācijas noteikumu:

Šajā piemērā divu funkciju reizinājums:

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit ir līdzīgi: jūs jau zināt dabiskā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu logaritmu ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jāsamazina līdz bāzei. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā rakstīsim:

Saucējs ir vienkārši konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājumu iegūst ļoti vienkārši:

Vienotajā valsts pārbaudījumā gandrīz nekad nav atrodami eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumi, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un nav arktangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja jums šķiet sarežģīts logaritms, izlasiet tēmu "Logaritmi" un jums būs labi), taču no matemātiskā viedokļa vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijera lenti: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais ietin šokolādes tāfelīti iesaiņojumā, bet otrais to sasien ar lenti. Rezultāts ir salikts priekšmets: šokolādes tāfelīte, kas ietīta un pārsieta ar lenti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic apgrieztās darbības apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu un pēc tam iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, mums tiek dots skaitlis (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas notika? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam otro darbību ar to, kas izriet no pirmās.

Citiem vārdiem sakot, sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Mūsu piemēram, .

Mēs varam viegli veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs to kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu: . Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Sarežģītu funkciju svarīga iezīme: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.

Otrais piemērs: (tas pats). .

Darbība, ko veicam pēdējā, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo mainīšanai: piemēram, funkcijā

1. Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms aprēķināsim sinusu un tikai pēc tam sagriezīsim to kubā. Tas nozīmē, ka tā ir iekšēja funkcija, bet ārēja.
   Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: .
2. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
3. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
4. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
5. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.

Mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Tagad mēs izvilksim savu šokolādes tāfelīti un meklēsim atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Saistībā ar sākotnējo piemēru tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

Risinājumi:

1) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

2) Iekšējais: ;

(Tikai nemēģiniet to tagad izgriezt! No zem kosinusa nekas neiznāk, atceries?)

3) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

Uzreiz ir skaidrs, ka tā ir trīs līmeņu kompleksa funkcija: galu galā tā jau pati par sevi ir sarežģīta funkcija, un mēs no tās arī izņemam sakni, tas ir, veicam trešo darbību (ieliekam šokolādi iesaiņojumā). un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: mēs joprojām “izpakosim” šo funkciju tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.

Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai pēc tam izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.

Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:

Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo “ārējāka” būs atbilstošā funkcija. Darbību secība ir tāda pati kā iepriekš:

Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbības virzienu.

1. Radikāla izteiksme. .

2. Sakne. .

3. Sine. .

4. Kvadrāts. .

5. Saliekot visu kopā:

ATSINĀJUMS. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam:

Pamata atvasinājumi:

Atšķiršanas noteikumi:

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes:

Summas atvasinājums:

Produkta atvasinājums:

Koeficienta atvasinājums:

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

1. Mēs definējam “iekšējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
2. Mēs definējam “ārējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
3. Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.

Vai jums liekas, ka līdz eksāmenam vēl ir daudz laika? Vai šis ir mēnesis? Divas? gads? Prakse rāda, ka students vislabāk tiek galā ar eksāmenu, ja viņš sāk tam gatavoties iepriekš. Vienotajā valsts eksāmenā ir daudz sarežģītu uzdevumu, kas traucē skolēniem un topošajiem pretendentiem uz augstāko punktu skaitu. Jums jāiemācās pārvarēt šos šķēršļus, un turklāt to nav grūti izdarīt. No biļetēm ir jāsaprot darbības princips ar dažādiem uzdevumiem. Tad ar jaunajiem problēmu nebūs.

Logaritmi no pirmā acu uzmetiena šķiet neticami sarežģīti, taču ar detalizētu analīzi situācija kļūst daudz vienkāršāka. Ja vēlaties nokārtot vienoto valsts eksāmenu ar augstāko punktu skaitu, jums ir jāsaprot attiecīgais jēdziens, ko mēs piedāvājam darīt šajā rakstā.

Pirmkārt, nodalīsim šīs definīcijas. Kas ir logaritms (log)? Tas ir jaudas rādītājs, līdz kuram jāpaceļ pamatne, lai iegūtu norādīto skaitli. Ja tas nav skaidrs, apskatīsim elementāru piemēru.

Šajā gadījumā pamatne apakšā ir jāpaaugstina līdz otrajai pakāpei, lai iegūtu skaitli 4.

Tagad aplūkosim otro koncepciju. Funkcijas atvasinājums jebkurā formā ir jēdziens, kas raksturo funkcijas izmaiņas noteiktā punktā. Tomēr šī ir skolas mācību programma, un, ja jums ir problēmas ar šiem jēdzieniem atsevišķi, ir vērts tēmu atkārtot.

Logaritma atvasinājums

Vienotā valsts eksāmena uzdevumos par šo tēmu kā piemēru varat norādīt vairākus uzdevumus. Sākumā vienkāršākais logaritmiskais atvasinājums. Ir jāatrod šādas funkcijas atvasinājums.

Mums jāatrod nākamais atvasinājums

Ir īpaša formula.

Šajā gadījumā x=u, log3x=v. Mēs aizstājam savas funkcijas vērtības formulā.

X atvasinājums būs vienāds ar vienu. Logaritms ir nedaudz grūtāks. Bet jūs sapratīsit principu, ja vienkārši aizstāsit vērtības. Atgādinām, ka lg x atvasinājums ir decimālā logaritma atvasinājums, bet ln x atvasinājums ir naturālā logaritma atvasinājums (pamatojoties uz e).

Tagad vienkārši pievienojiet iegūtās vērtības formulā. Izmēģiniet to pats, tad mēs pārbaudīsim atbildi.

Kāda šeit varētu būt problēma dažiem? Mēs ieviesām naturālā logaritma jēdzienu. Parunāsim par to un tajā pašā laikā izdomāsim, kā ar to atrisināt problēmas. Jūs neredzēsit neko sarežģītu, it īpaši, ja sapratīsit tā darbības principu. Pie tā vajadzētu pierast, jo to bieži izmanto matemātikā (vēl jo vairāk augstskolās).

Dabiskā logaritma atvasinājums

Pamatā tas ir logaritma atvasinājums no bāzes e (kas ir iracionāls skaitlis, kas ir aptuveni 2,7). Patiesībā ln ir ļoti vienkāršs, tāpēc to bieži izmanto matemātikā kopumā. Faktiski problēmas risināšana ar to arī nebūs problēma. Ir vērts atcerēties, ka naturālā logaritma atvasinājums no bāzes e būs vienāds ar vienu, kas dalīts ar x. Tālāk sniegtā piemēra risinājums būs visievērojamākais.

Iedomāsimies to kā sarežģītu funkciju, kas sastāv no divām vienkāršām.

Pietiek ar konvertēšanu

Mēs meklējam u atvasinājumu attiecībā pret x

Turpināsim ar otro

Mēs izmantojam kompleksas funkcijas atvasinājuma atrisināšanas metodi, aizstājot u=nx.

Kas beigās notika?

Tagad atcerēsimies, ko n nozīmēja šajā piemērā? Tas ir jebkurš skaitlis, kas naturālajā logaritmā var parādīties x priekšā. Jums ir svarīgi saprast, ka atbilde nav atkarīga no viņas. Aizstāj ko gribi, atbilde tik un tā būs 1/x.

Kā redzat, šeit nav nekā sarežģīta, lai ātri un efektīvi atrisinātu problēmas par šo tēmu. Tagad jūs zināt teoriju, viss, kas jums jādara, ir jāpiemēro tā praksē. Praktizējiet problēmu risināšanu, lai ilgu laiku atcerētos to risināšanas principu. Šīs zināšanas var nebūt vajadzīgas pēc skolas beigšanas, bet eksāmenā tās būs aktuālākas kā jebkad. Veiksmi tev!

Kompleksie atvasinājumi. Logaritmisks atvasinājums.
Jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Mēs turpinām uzlabot savu diferenciācijas tehniku. Šajā nodarbībā mēs apkoposim apskatīto materiālu, apskatīsim sarežģītākus atvasinājumus, kā arī iepazīsimies ar jauniem paņēmieniem un trikiem, kā atrast atvasinājumu, jo īpaši ar logaritmisko atvasinājumu.

Tiem lasītājiem, kuriem ir zems sagatavotības līmenis, vajadzētu atsaukties uz rakstu Kā atrast atvasinājumu? Risinājumu piemēri, kas ļaus paaugstināt savas prasmes gandrīz no nulles. Tālāk jums rūpīgi jāizpēta lapa Sarežģītas funkcijas atvasinājums, saprast un atrisināt Visi manis sniegtie piemēri. Šī nodarbība loģiski ir trešā pēc kārtas, un pēc tās apguves jūs pārliecinoši atšķirsit diezgan sarežģītas funkcijas. Nav vēlams ieņemt pozīciju “Kur vēl? Pietiek!”, jo visi piemēri un risinājumi ir ņemti no reāliem testiem un bieži sastopami praksē.

Sāksim ar atkārtošanu. Nodarbībā Sarežģītas funkcijas atvasinājums Mēs apskatījām vairākus piemērus ar detalizētiem komentāriem. Studējot diferenciālrēķinu un citas matemātiskās analīzes nozares, jums būs ļoti bieži jādiferencē, un piemērus ne vienmēr ir ērti (un ne vienmēr nepieciešams) aprakstīt ļoti detalizēti. Tāpēc praktizēsim atvasinājumu atrašanu mutiski. Tam vispiemērotākie “kandidāti” ir visvienkāršāko un sarežģīto funkciju atvasinājumi, piemēram:

Saskaņā ar sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu :

Nākotnē pētot citas matanas tēmas, visbiežāk netiek prasīts šāds detalizēts ieraksts, tiek pieņemts, ka students prot atrast šādus atvasinājumus autopilotā. Iedomāsimies, ka pulksten 3 no rīta zvanīja telefons un patīkama balss jautāja: "Kāds ir divu X tangensas atvasinājums?" Tam vajadzētu sekot gandrīz tūlītējai un pieklājīgai atbildei: .

Pirmais piemērs uzreiz būs paredzēts neatkarīgam risinājumam.

1. piemērs

Atrodiet šādus atvasinājumus mutiski, vienā darbībā, piemēram: . Lai pabeigtu uzdevumu, jums tikai jāizmanto elementāru funkciju atvasinājumu tabula(ja vēl neesat to atcerējies). Ja rodas grūtības, iesaku vēlreiz izlasīt nodarbību Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Atbildes nodarbības beigās

Kompleksie atvasinājumi

Pēc iepriekšējas artilērijas sagatavošanas piemēri ar 3-4-5 funkciju ligzdām būs mazāk biedējoši. Šie divi piemēri kādam var šķist sarežģīti, bet, ja jūs tos saprotat (kāds cietīs), tad gandrīz viss pārējais diferenciālrēķinos liksies kā bērnu joks.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā jau minēts, meklējot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, pirmkārt, tas ir nepieciešams Pa labi IZPROTIET savus ieguldījumus. Gadījumos, kad rodas šaubas, es atgādinu kādu noderīgu paņēmienu: mēs ņemam, piemēram, eksperimentālo vērtību “x” un mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aizstāt šo vērtību ar “briesmīgo izteiksmi”.

1) Vispirms mums ir jāaprēķina izteiksme, kas nozīmē, ka summa ir dziļākā iegulšana.

2) Tad jums jāaprēķina logaritms:

4) Pēc tam sagrieziet kosinusu kubā:

5) Piektajā solī atšķirība:

6) Un visbeidzot, visattālākā funkcija ir kvadrātsakne:

Formula sarežģītas funkcijas diferencēšanai tiek piemēroti apgrieztā secībā, sākot no attālākās funkcijas līdz iekšējai. Mēs nolemjam:

Šķiet, ka kļūdu nav...

(1) Ņem kvadrātsaknes atvasinājumu.

(2) Mēs ņemam starpības atvasinājumu, izmantojot noteikumu

(3) Trīskārša atvasinājums ir nulle. Otrajā termiņā mēs ņemam pakāpes atvasinājumu (kubu).

(4) Ņem kosinusa atvasinājumu.

(5) Ņem logaritma atvasinājumu.

(6) Un visbeidzot mēs ņemam dziļākās iegulšanas atvasinājumu.

Tas var šķist pārāk grūti, taču šis nav brutālākais piemērs. Ņemiet, piemēram, Kuzņecova kolekciju, un jūs novērtēsiet visu analizētā atvasinājuma skaistumu un vienkāršību. Es pamanīju, ka viņiem patīk eksāmenā dot līdzīgu lietu, lai pārbaudītu, vai students saprot, kā atrast sarežģītas funkcijas atvasinājumu, vai nesaprot.

Šis piemērs ir paredzēts, lai jūs to atrisinātu patstāvīgi.

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Padoms: vispirms piemērojam linearitātes noteikumus un produktu diferenciācijas likumu

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ir pienācis laiks pāriet uz kaut ko mazāku un jaukāku.
Nereti piemērā tiek parādīts nevis divu, bet trīs funkciju reizinājums. Kā atrast trīs faktoru reizinājuma atvasinājumu?

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Vispirms paskatāmies, vai ir iespējams trīs funkciju reizinājumu pārvērst par divu funkciju reizinājumu? Piemēram, ja produktā būtu divi polinomi, tad mēs varētu atvērt iekavas. Bet aplūkotajā piemērā visas funkcijas ir atšķirīgas: pakāpe, eksponents un logaritms.

Šādos gadījumos tas ir nepieciešams secīgi piemērot produktu diferenciācijas noteikumu divreiz

Viltība ir tāda, ka ar “y” mēs apzīmējam divu funkciju reizinājumu: , un ar “ve” apzīmējam logaritmu: . Kāpēc to var izdarīt? Vai tiešām – tas nav divu faktoru rezultāts un noteikums nedarbojas?! Nav nekā sarežģīta:

Tagad atliek šo noteikumu piemērot otrreiz iekavās:

Varat arī sagriezties un kaut ko izlikt iekavās, taču šajā gadījumā labāk ir atstāt atbildi tieši šādā formā - to būs vieglāk pārbaudīt.

Aplūkoto piemēru var atrisināt otrā veidā:

Abi risinājumi ir absolūti līdzvērtīgi.

5. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam paraugā tas ir atrisināts, izmantojot pirmo metodi.

Apskatīsim līdzīgus piemērus ar daļskaitļiem.

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit varat doties vairākos veidos:

Vai arī šādi:

Bet risinājums tiks uzrakstīts kompaktāk, ja vispirms izmantosim koeficienta diferenciācijas likumu , ņemot visu skaitītāju:

Principā piemērs ir atrisināts, un, ja to atstāj kā ir, tā nebūs kļūda. Bet, ja jums ir laiks, vienmēr ir ieteicams pārbaudīt uzmetumu, lai redzētu, vai atbildi var vienkāršot? Reducēsim skaitītāja izteiksmi līdz kopsaucējam un tiksim vaļā no trīsstāvu frakcijas:

Papildu vienkāršojumu trūkums ir tāds, ka pastāv risks kļūdīties nevis atvasinājuma atrašanas laikā, bet gan banālu skolas transformāciju laikā. No otras puses, skolotāji bieži noraida uzdevumu un lūdz atvasinājumu “atvest pie prāta”.

Vienkāršāks piemērs, ko atrisināt patstāvīgi:

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs turpinām apgūt atvasinājuma atrašanas metodes, un tagad mēs apsvērsim tipisku gadījumu, kad diferenciācijai tiek piedāvāts "briesmīgs" logaritms

8. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit varat iet garu ceļu, izmantojot sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikumu:

Bet pats pirmais solis uzreiz iegrimdina jūs izmisumā - jums ir jāņem nepatīkamais atvasinājums no daļskaitļa pakāpes un pēc tam arī no daļdaļas.

Tāpēc pirms tam kā ņemt “sarežģīta” logaritma atvasinājumu, vispirms tas tiek vienkāršots, izmantojot labi zināmas skolas īpašības:

! Ja jums ir piezīmju grāmatiņa, kopējiet šīs formulas tieši tur. Ja jums nav piezīmju grāmatiņas, nokopējiet tos uz papīra lapas, jo pārējie nodarbības piemēri būs ap šīm formulām.

Pašu risinājumu var uzrakstīt apmēram šādi:

Pārveidosim funkciju:

Atvasinājuma atrašana:

Pašas funkcijas iepriekšēja konvertēšana ievērojami vienkāršoja risinājumu. Tādējādi, ja diferencēšanai tiek piedāvāts līdzīgs logaritms, vienmēr ieteicams to “izjaukt”.

Un tagad daži vienkārši piemēri, ko varat atrisināt patstāvīgi:

9. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

10. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Visas pārvērtības un atbildes ir nodarbības beigās.

Logaritmisks atvasinājums

Ja logaritmu atvasinājums ir tik salda mūzika, tad rodas jautājums: vai dažos gadījumos ir iespējams logaritmu sakārtot mākslīgi? Var! Un pat nepieciešams.

11. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs nesen aplūkojām līdzīgus piemērus. Ko darīt? Varat secīgi piemērot koeficienta diferenciācijas likumu un pēc tam produkta diferenciācijas likumu. Šīs metodes trūkums ir tāds, ka jūs iegūstat milzīgu trīsstāvu daļu, ar kuru jūs nemaz nevēlaties nodarboties.

Bet teorijā un praksē ir tāda brīnišķīga lieta kā logaritmiskais atvasinājums. Logaritmus var mākslīgi sakārtot, “pakarinot” tos abās pusēs:

Piezīme : jo funkcijai var būt negatīvas vērtības, tad, vispārīgi runājot, jums ir jāizmanto moduļi: , kas diferenciācijas rezultātā izzudīs. Tomēr pieņemams ir arī pašreizējais dizains, kur pēc noklusējuma tas tiek ņemts vērā komplekss nozīmes. Bet, ja visā stingrībā, tad abos gadījumos būtu jāizdara atruna, ka.

Tagad jums pēc iespējas vairāk “jāizjauc” labās puses logaritms (formulas jūsu acu priekšā?). Es aprakstīšu šo procesu ļoti detalizēti:

Sāksim ar diferenciāciju.
Mēs noslēdzam abas daļas zem galvenā:

Labās puses atvasinājums ir diezgan vienkāršs, es to nekomentēšu, jo, lasot šo tekstu, jums vajadzētu ar to rīkoties pārliecinoši.

Kā ar kreiso pusi?

Kreisajā pusē mums ir sarežģīta funkcija. Es paredzu jautājumu: "Kāpēc, vai zem logaritma ir viens burts "Y"?"

Fakts ir tāds, ka šī “viena burta spēle” - PATS IR FUNKCIJA(ja tas nav īsti skaidrs, skatiet rakstu Netieši norādītas funkcijas atvasinājums). Tāpēc logaritms ir ārēja funkcija, bet “y” ir iekšēja funkcija. Un mēs izmantojam noteikumu, lai atšķirtu sarežģītu funkciju :

Kreisajā pusē, it kā ar burvju mājienu, mums ir atvasinājums. Tālāk, saskaņā ar proporcijas likumu, mēs pārnesam “y” no kreisās puses saucēja uz labās puses augšdaļu:

Un tagad atcerēsimies, par kādu “spēlētāja” funkciju mēs runājām diferenciācijas laikā? Apskatīsim nosacījumu:

Galīgā atbilde:

12. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Šāda veida parauga dizaina paraugs atrodas nodarbības beigās.

Izmantojot logaritmisko atvasinājumu, bija iespējams atrisināt jebkuru no piemēriem Nr. 4-7, cita lieta, ka funkcijas tur ir vienkāršākas, un, iespējams, logaritmiskā atvasinājuma izmantošana nav īpaši pamatota.

Jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Mēs vēl neesam apsvēruši šo funkciju. Jaudas eksponenciālā funkcija ir funkcija, kurai gan grāds, gan bāze ir atkarīgi no “x”. Klasisks piemērs, kas jums tiks sniegts jebkurā mācību grāmatā vai lekcijā:

Kā atrast jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājumu?

Ir nepieciešams izmantot tikko apspriesto paņēmienu - logaritmisko atvasinājumu. Mēs piekarinām logaritmus abās pusēs:

Parasti labajā pusē grāds tiek izņemts no logaritma:

Rezultātā labajā pusē ir divu funkciju reizinājums, kas tiks diferencēts pēc standarta formulas .

Mēs atrodam atvasinājumu, lai to izdarītu, mēs ievietojam abas daļas zem sitieniem:

Turpmākās darbības ir vienkāršas:

Visbeidzot:

Ja kāds pārveidojums nav līdz galam skaidrs, lūdzu, vēlreiz rūpīgi izlasiet piemēra Nr. 11 skaidrojumus.

Praktiskajos uzdevumos jaudas eksponenciālā funkcija vienmēr būs sarežģītāka nekā aplūkotais lekcijas piemērs.

13. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs izmantojam logaritmisko atvasinājumu.

Labajā pusē ir konstante un divu faktoru reizinājums - “x” un “logaritma x logaritms” (zem logaritma ir ligzdots cits logaritms). Diferencējot, kā mēs atceramies, konstanti labāk nekavējoties pārvietot no atvasinājuma zīmes, lai tā netraucētu; un, protams, mēs izmantojam pazīstamo noteikumu :