Izvērsiet funkciju Furjē sinusu sērijā. Furjē sērija

22.01.2024 | Fizika

jautājums 1

Trigonometriskā Furjē sērija funkcija f(x) ar periodu T = 2 l, sauc par formas sēriju

Šajā gadījumā viņi saka, ka sēriju (53) ģenerē funkcija f(x), un koeficientus a o , a n , b n sauc par Furjē koeficientiem. Gadījumā, ja funkcijai f(x) ir periods T = 2π, tās Furjē rindai ir forma

un Furjē koeficientus aprēķina, izmantojot formulas

Pārmērīgām funkcijām Furjē sērija (53) satur tikai terminus

nepāra funkcijām - tikai termini Šajos gadījumos ir ērtāk aprēķināt Furjē koeficientus, izmantojot formulas

Liela nozīme ir jautājumiem, pie kura x Furjē rinda konverģē un kādā gadījumā rindu summa punktā x ir vienāda ar šīs rindas ģenerējošās funkcijas f(x) vērtību. Atbildi uz šiem jautājumiem sniedz Dirihlē teorēma.

Funkcija f(x) intervālā [ a, b] apmierina Dirihleta apstākļi, Ja
a) f(x) intervālā [ a, b] ir nepārtraukts vai tam ir ierobežots skaits pirmā veida pārtraukumu punktu šajā segmentā;
b) katrā nepārtrauktības intervālā f(x) ir monotons vai tam ir ierobežots ekstrēmu punktu skaits šajā intervālā.

Piemēram, funkcija, kas parādīta attēlā. 22, atbilst Dirihlē nosacījumiem.

22. att

Dirihleta teorēma. Funkcija f(x), periodiska ar periodu T = 2 l, kas atbilst Dirihlē nosacījumiem intervālā [ - l, l], izvēršas trigonometriskā Furjē sērijā (53) un:
a) katrā funkcijas f(x) nepārtrauktības x punktā Furjē rinda (53) konverģē uz vērtību f(x);
b) katrā pārtraukuma punktā x i, funkcija f(x) Furjē rinda (53) konverģē uz vērtību

Trigonometriskā Furjē rinda ir īpašs sēriju gadījums, kas iegūts patvaļīgām funkciju sistēmām, kas ir ortogonālas intervālam [a, b]. Turklāt pašām funkcijām nav jābūt periodiskām.

Apsveriet funkciju sistēmu (φ n (x), n = 0, 1,2,...), kas ir ortogonāla uz intervālu [ a, b].Funkcijas f(x) Furjē rinda

Periodiskas funkcijas Furjē sērijas izplešanās

Saskaņā ar Furjē hipotēzi, nav tādas funkcijas, ko nevarētu izvērst trigonometriskā rindā. Apskatīsim, kā šo sadalīšanu var veikt. Var attēlot šādu ortonormālo funkciju sistēmu intervālā [–π, π]:

(1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), cos(3t), sin(3t), …, cos(nt), sin(nt),… )

Ņemot vērā faktu, ka šī funkciju sistēma ir ortonormāla, patvaļīgu funkciju f(t) intervālā [π, –π] var attēlot šādi:

f(t) = α0 + α1 cos(t) + α2 cos(2t) + α3 cos(3t) + …+ β1 sin(t) +...

... + β2 grēks(2t) + β3 grēks(3t)+… (1)

Koeficientus αn, βn aprēķina, izmantojot funkcijas un bāzes funkcijas skalāro reizinājumu, izmantojot iepriekš aprakstītās formulas, un tos izsaka šādi:

α0 = , 1> =

αn = , cos(nt) > =

βn = , sin(nt) > =

Izteiksmi (1) var uzrakstīt saspiestā formā šādi:

f(t) = a0/2 + a1 cos(t) + a2 cos(2t) + a3 cos(3t) + … + b1 sin(t) + b2 sin(2t) + b3 sin(3t)+… (2)

Kur

an = αn =

bn = βn =

Tā kā pie n = 0 cos(0) = 1, konstante a0/2 izsaka koeficienta an vispārējo formu pie n = 0.

an =

bn = (3)

Periodisku funkciju Furjē rinda ar periodu 2π.

Furjē sērija ļauj mums izpētīt periodiskas funkcijas, sadalot tās komponentos. Maiņstrāvas un spriegumi, pārvietojumi, kloķa mehānismu ātrums un paātrinājums un akustiskie viļņi ir tipiski praktiski piemēri periodisko funkciju izmantošanai inženiertehniskajos aprēķinos.

Furjē rindas paplašināšana ir balstīta uz pieņēmumu, ka visas praktiski nozīmīgās funkcijas intervālā -π ≤x≤ π var izteikt konverģentu trigonometrisko rindu formā (rindu uzskata par konverģentu, ja daļējo summu secība sastāv no tās vārdiem saplūst):

Standarta (=parastais) apzīmējums caur sinx un cosx summu

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

kur a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. ir reālas konstantes, t.i.

Kur diapazonā no -π līdz π Furjē sērijas koeficientus aprēķina, izmantojot formulas:

Tiek izsaukti koeficienti a o , a n un b n Furjē koeficienti, un, ja tos var atrast, tad tiek izsaukta sērija (1). blakus Furjē, kas atbilst funkcijai f(x). Sērijai (1) terminu (a 1 cosx+b 1 sinx) sauc par pirmo vai pamata harmonika,

Vēl viens veids, kā rakstīt sēriju, ir izmantot attiecību acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Kur a o ir konstante, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 ir dažādu komponentu amplitūdas un ir vienāds ar a n =arctg a n /b n.

Sērijai (1) terminu (a 1 cosx+b 1 sinx) vai c 1 sin(x+α 1) sauc par pirmo vai pamata harmonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) vai c 2 sin(2x+α 2) sauc otrā harmonika un tā tālāk.

Lai precīzi attēlotu sarežģītu signālu, parasti ir nepieciešams bezgalīgs terminu skaits. Tomēr daudzās praktiskās problēmās pietiek ņemt vērā tikai dažus pirmos terminus.

Furjē neperiodisku funkciju rindas ar periodu 2π.

Neperiodisko funkciju paplašināšana.

Ja funkcija f(x) ir neperiodiska, tas nozīmē, ka to nevar izvērst Furjē sērijā visām x vērtībām. Tomēr ir iespējams definēt Furjē sēriju, kas attēlo funkciju jebkurā platuma diapazonā 2π.

Ņemot vērā neperiodisku funkciju, jaunu funkciju var izveidot, atlasot f(x) vērtības noteiktā diapazonā un atkārtojot tās ārpus šī diapazona ar 2π intervāliem. Tā kā jaunā funkcija ir periodiska ar periodu 2π, to var izvērst Furjē sērijā visām x vērtībām. Piemēram, funkcija f(x)=x nav periodiska. Tomēr, ja ir nepieciešams to izvērst Furjē sērijā intervālā no o līdz 2π, tad ārpus šī intervāla tiek konstruēta periodiska funkcija ar periodu 2π (kā parādīts attēlā zemāk).

Neperiodiskām funkcijām, piemēram, f(x)=x, Furjē rindas summa ir vienāda ar f(x) vērtību visos noteiktā diapazona punktos, bet tā nav vienāda ar f(x) punktiem. ārpus diapazona. Lai atrastu neperiodiskas funkcijas Furjē rindu 2π diapazonā, tiek izmantota tā pati Furjē koeficientu formula.

Pāra un nepāra funkcijas.

Viņi saka, ka funkcija y=f(x) pat, ja f(-x)=f(x) visām x vērtībām. Pāra funkciju grafiki vienmēr ir simetriski pret y asi (tas ir, tie ir spoguļattēli). Divi pāra funkciju piemēri: y=x2 un y=cosx.

Viņi saka, ka funkcija y=f(x) dīvaini, ja f(-x)=-f(x) visām x vērtībām. Nepāra funkciju grafiki vienmēr ir simetriski attiecībā uz izcelsmi.

Daudzas funkcijas nav ne pāra, ne nepāra.

Furjē sērijas izplešanās kosinusos.

Pāra periodiskas funkcijas f(x) ar periodu 2π Furjē sērija satur tikai kosinusus (t.i., bez sinusa terminiem) un var ietvert konstantu terminu. Tāpēc

kur ir Furjē sērijas koeficienti,

Furjē sērija nepāra periodiskai funkcijai f(x) ar periodu 2π satur tikai terminus ar sinusiem (tas ir, tajā nav terminu ar kosinusiem).

Tāpēc

kur ir Furjē sērijas koeficienti,

Furjē rinda pusciklā.

Ja funkcija ir definēta diapazonam, piemēram, no 0 līdz π, nevis tikai no 0 līdz 2π, to var izvērst virknē tikai sinusos vai tikai kosinusos. Iegūto Furjē sēriju sauc netālu no Furjē pusciklā.

Ja vēlaties iegūt sadalīšanos Puscikla Furjē pēc kosinusiem funkcijas f(x) diapazonā no 0 līdz π, tad ir jākonstruē pāra periodiska funkcija. Attēlā Zemāk ir funkcija f(x)=x, kas balstīta uz intervālu no x=0 līdz x=π. Tā kā pāra funkcija ir simetriska pret f (x) asi, mēs novelkam līniju AB, kā parādīts attēlā. zemāk. Ja pieņemam, ka ārpus aplūkotā intervāla iegūtā trīsstūra forma ir periodiska ar periodu 2π, tad galīgais grafiks izskatās šādi: attēlā. zemāk. Tā kā mums ir jāiegūst Furjē izplešanās kosinusos, tāpat kā iepriekš, mēs aprēķinām Furjē koeficientus a o un a n

Ja jums ir nepieciešams iegūt Furjē puscikla sinusa izplešanās funkcijas f(x) diapazonā no 0 līdz π, tad ir jākonstruē nepāra periodiska funkcija. Attēlā Zemāk ir funkcija f(x)=x, kas balstīta uz intervālu no x=0 līdz x=π. Tā kā nepāra funkcija ir simetriska attiecībā pret izcelsmi, mēs izveidojam līniju CD, kā parādīts attēlā. Ja pieņemam, ka ārpus apskatāmā intervāla iegūtais zāģa zoba signāls ir periodisks ar periodu 2π, tad galīgajam grafikam ir tāda forma, kā parādīts attēlā. Tā kā mums ir jāiegūst Furjē puscikla izplešanās sinusu izteiksmē, tāpat kā iepriekš, mēs aprēķinām Furjē koeficientu. b

Furjē rindas patvaļīgam intervālam.

Periodiskās funkcijas paplašināšana ar periodu L.

Periodiskā funkcija f(x) atkārtojas, kad x palielinās par L, t.i. f(x+L)=f(x). Pāreja no iepriekš aplūkotajām funkcijām ar periodu 2π uz funkcijām ar periodu L ir diezgan vienkārša, jo to var izdarīt, mainot mainīgo.

Lai atrastu funkcijas f(x) Furjē sēriju diapazonā -L/2≤x≤L/2, mēs ieviešam jaunu mainīgo u, lai funkcijas f(x) periods attiecībā pret u būtu 2π. Ja u=2πx/L, tad x=-L/2, ja u=-π un x=L/2, ja u=π. Pieņemsim arī f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Furjē sērijai F(u) ir forma

(Integrācijas robežas var aizstāt ar jebkuru L garuma intervālu, piemēram, no 0 līdz L)

Furjē rindas pusciklā funkcijām, kas norādītas intervālā L≠2π.

Aizstāšanai u=πх/L intervāls no x=0 līdz x=L atbilst intervālam no u=0 līdz u=π. Līdz ar to funkciju var izvērst virknē tikai kosinusos vai tikai sinusos, t.i. V Furjē rinda pusciklā.

Kosinusa izvērsumam diapazonā no 0 līdz L ir forma

šādi:

1) uzzīmējiet grafiku f(x) vismaz divu periodu intervālā, lai parādītu, ka šī funkcija ir periodiska;

2) uzzīmējiet grafiku S(x) līdzīgi, lai jūs varētu redzēt, kādos punktos f(x)¹S(x);

3) aprēķina Furjē koeficientus un pieraksta Furjē rindas.

Uzdevumi

№1. Izvērst Furjē sēriju

Risinājums. ievērojiet, tas f(x) dots pēc garuma intervāla T=4. Jo f(x) tiek pieņemts, ka tas ir periodisks, tad šis skaitlis ir tā periods, tad - l = 2.

1) Grafiks f(x):

2) Grafiks S(x):

Bultiņas rindu galos norāda, ka funkcija intervāla beigās neņem vērtību, kas noteikta no intervālā norādītās izteiksmes. Salīdzinot grafikus f(x) Un S(x) skaidri redzams, ka pārtraukuma vietās f(x)¹S(x).

3) Aprēķināsim Furjē koeficientus. To var izdarīt, izmantojot formulas (3*): ; ; . Tieši tā: ; Tātad,

Sadalīšanās f(x) Furjē sērijā ir šāda forma:

Piezīmes. 1) Kad ir integrēts ar [-1;3] šis segments tika sadalīts Un , jo šajos segmentos f(x) dotas dažādas vērtības.

2) Aprēķinot koeficientus, tika izmantoti integrāļi: un , kur a = konst.

№2 . Izvērst Furjē sēriju

Risinājums.Šeit T=2, l = 1.

Furjē sērijai ir forma: , kur ; ; , jo l = 1.

1) Grafiks f(x):

2) Grafiks S(x):

№3. Paplašiniet Furjē sēriju sinusu izteiksmē

Risinājums.Ņemiet vērā, ka tikai nepāra funkcijas tiek izvērstas Furjē sērijā sinusu izteiksmē. Jo f(x) definēts tikai priekš x > 0, xО(0;2)П(2;3), tad tas nozīmē, ka simetriskā intervālā (-3;-2)È(-2;0) f(x) mums jāturpina, lai vienlīdzība saglabātos f(-x) = -f(x). Tāpēc intervāla garums, kurā f(x) ir dota kā nepāra funkcija, kas vienāda ar 6. Tas nozīmē T = 6, l = 3. Furjē sērija priekš f(x) ir forma: , kur , n = 1, 2, 3, (saskaņā ar formulām (5")).

1) Grafiks f(x).

Lai uzzīmētu grafiku f(x) kā nepāra funkciju mēs vispirms uzzīmējam grafiku (0;2)È (2;3), un pēc tam izmantojiet to, ka nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret izcelsmi. No šiem apsvērumiem mēs iegūstam grafiku f(x) ieslēgts (-3;-2)È(-2;0). Tad turpinām f(x) T=6.

2) Grafiks S(x).

Grafiks S(x) atšķiras no grafika f(x) funkcijas pārtraukuma punktos f(x). Piemēram, t. x = 2 f(x) nav definēts, bet S(x) ir plkst x = 2 vērtība, kas vienāda ar pusi no funkcijas vienpusējo robežu summas f(x), tieši tā: , Kur,.

Tātad, tad sadalīšanās f(x) Furjē sērijā ir šāda forma: .

№4 . Izvērst Furjē kosinusu sērijā.

Risinājums. Ņemiet vērā, ka Furjē sērijā kosinusu izteiksmē tiek paplašinātas tikai pat funkcijas. Jo f(x) iestatīts tikai priekš x>0, xО(0;2)Р(2;3], tad tas nozīmē, ka simetriskam intervālam [-3;-2)È(-2;0) f(x) jums jāturpina, lai vienlīdzība būtu spēkā: f(-x) = f(x). Tāpēc intervāla garums, kurā f(x) dots kā pāra funkcija, ir vienāds ar 6, tad T = 6, l = 3. Furjē sērijai šajā gadījumā ir šāda forma:

Kur; ; n = 1,2,...(saskaņā ar formulām (4")).

1) Grafiks f(x).

Lai uzzīmētu grafiku f(x) kā pāra funkciju vispirms uzzīmēsim grafiku f(x) ieslēgts (0;2)È (2;3], un pēc tam izmantojiet to, ka pāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu. No šiem apsvērumiem mēs iegūstam grafiku f(x) ieslēgts [-3;-2)È(-2;0). Tad turpinām f(x) uz visas skaitļa līnijas kā periodiska funkcija ar punktu T=6.

Šeit ir grafiks f(x) zīmēts divos pilnos funkcijas periodos.

2) Grafiks S(x).

Grafiks S(x) atšķiras no grafika f(x) funkcijas pārtraukuma punktos f(x). Piemēram, t. x = 0 f(x) nav definēts, bet S(x) ir nozīme: , tātad grafiks S(x) netiek pārtraukts x = 0, atšķirībā no grafika f(x).

Sadalīšanās f(x) Furjē kosinusu sērijā ir šāda forma: .

№5. Izvērst Furjē sēriju f(x) = |x|, xО(-2;2)..

Risinājums. Pēc nosacījuma, f(x) ir ieslēgta vienmērīga funkcija (-2;2) ; tie. tā Furjē sērija satur tikai kosinusus un T = 4, l = 2, ,

Kur; ; n = 1, 2,

1) Grafiks f(x):

2) Grafiks S(x):

3) jo |x| = x Priekš x > 0.; .

Pēc tam sadalīšanās f(x) Furjē sērijā ir šāda forma: . Ņemiet vērā, ka, integrējot izteiksmes vai, tiek izmantota integrācijas pa daļām formula: , kur u = x; dv = cos(ax)dx vai dv = sin(ax)dx.

№6. Izvērsiet funkciju Furjē sērijā: a) intervālā (-?, ?); b) intervālā (0, 2?); c) intervālā (0, ?) sinusu virknē.

Risinājums. a) Funkcijas grafiks ar 2? - periodiski turpinot, ir forma

Funkcija atbilst Dirihlē teorēmas nosacījumiem, un tāpēc to var izvērst Furjē sērijā.

Aprēķināsim Furjē koeficientus. Tā kā funkcija ir pāra, tad bn = 0 (n = 0, 1, 2,…) un (n = 0, 1, 2,…).

Lai aprēķinātu šo integrāli, izmantojiet formulu integrācijai pa daļām noteiktā integrālī. Mēs saņemam

Šīs funkcijas Furjē sērijai ir forma . Saskaņā ar Dirihlē kritēriju šī sērija attēlo funkciju x2 intervālā (-?,?).

b) Intervāls (0, 2?) nav simetrisks attiecībā pret izcelsmi, un tā garums ir 2 l= 2?. Mēs aprēķinām Furjē koeficientus, izmantojot šādas formulas:

Tāpēc Furjē sērijai ir forma . Saskaņā ar Dirihleta teorēmu rinda konverģē uz ģenerēšanas funkciju punktos x?(0,2?) un punktos 0 un 2? uz nozīmi. Sērijas summas grafiks izskatās šādi

c) Funkcijai, kas izvērsta sinusu virknē, jābūt nepāra. Līdz ar to doto funkciju x2 in (-π,π) paplašinām nepāra veidā, t.i. apsveriet funkciju. Šai funkcijai f(x) mums ir аn = 0 (n = 0, 1, 2,…) un

Nepieciešamajam paplašinājumam ir forma .

Sērijas summas grafiks izskatās šādi

Ņemiet vērā, ka punktos x = (-π,π) Furjē rinda konverģē uz nulli.

№7 Grafiski norādīto funkciju izvērsiet Furjē sērijā:

Risinājums . Iegūsim f(x) skaidru izteiksmi. Funkcijas grafiks ir taisna līnija, mēs izmantojam taisnes vienādojumu formā . Kā redzams no zīmējuma, , t.i. f(x) = x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

Šī funkcija atbilst Dirihlē kritērija nosacījumiem, tāpēc tā tiek paplašināta Furjē sērijā. Aprēķināsim Furjē koeficientus ( l = 1):

; (n = 1, 2,…);

Furjē sērijai funkcijai f(x) ir forma

Tas attēlo funkciju f(x) pie -1< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. Izvērsiet funkciju trigonometriskā Furjē sērijā segmentā un norādiet funkciju, kurai iegūtā rinda saplūst.

Risinājums. Uzzīmējiet funkcijas grafiku, periodiski to turpinot ar punktu vai pa visu asi. Turpinātajai funkcijai ir periods.

Pārbaudiet nosacījumus pietiekamiem Furjē sērijas konverģences nosacījumiem (Dini-Lipschitz, Jordan, Dirichlet).

Funkcija ir pa daļām monotoniska uz intervālu: tā palielinās uz un uz . Punktos funkcijai ir pirmā veida pārtraukumi.

Nosakiet, vai funkcija ir pāra vai nepāra: funkcija nav ne pāra, ne nepāra.

a) ja funkcija ir iestatīta uz

b) ja funkcija ir iestatīta uz

Izveidojiet funkcijas Furjē sēriju: .

Norādiet funkciju, kurai šī rinda konverģē, izmantojot punktveida konverģences testus: Saskaņā ar Dirihlē kritēriju, funkcijas Furjē rinda konverģē uz summu:

№9. Izvērsiet funkciju Furjē rindā sinusu izteiksmē un, izmantojot šo paplašinājumu, atrodiet skaitļu sērijas summu.

Risinājums. Turpiniet funkciju pāra (nepāra) veidā līdz (- lpp,0) vai (- l,0), un pēc tam periodiski ar 2. periodu lpp vai 2 l turpināt funkciju pa visu asi.

Turpināsim funkciju nepāra veidā līdz , un tad periodiski ar punktu turpināsim to pa visu asi.

Uzzīmējiet periodisku turpinājuma grafiku. Mēs iegūsim šādu funkciju:

Pārbaudiet nosacījumus pietiekamiem nosacījumiem Furjē rindas konverģencei (Dini-Lipica, Jordānija, Dirihlē).

Funkcija ir pa daļām nemainīga intervālā: tā ir vienāda ar -1 on un 1 on . Punktos funkcijai ir pirmā veida pārtraukumi.

Aprēķiniet Furjē koeficientus:

Tā Furjē koeficienti tiek aprēķināti, izmantojot šādas formulas:

Sastādiet funkcijas Furjē virkni. .

Izmantojot punktu konverģences testus, norādiet funkciju, kurai šī rinda konverģēs.

Saskaņā ar Dirihlē kritēriju funkcijas Furjē rinda konverģē uz summu:

Tāpēc, kad

Aizvietojot vērtības, norādiet dotās skaitļu sērijas summu.

Pieņemot, ka iegūtais paplašinājums, mēs atrodam,

no kurienes, kopš , .

№10. Uzrakstiet funkcijai Parsevala vienādību un, pamatojoties uz šo vienādību, atrodiet skaitļu sērijas summu.

Risinājums. Nosakiet, vai šī funkcija ir kvadrātveida integrējama funkcija .

Funkcija ir nepārtraukta, un tāpēc tā ir integrējama . Tā paša iemesla dēļ mēs integrējam tā kvadrātu uz .

Aprēķiniet Furjē koeficientus, izmantojot šādas formulas:

Tā kā funkcija ir nepāra, tās Furjē koeficienti tiek aprēķināti, izmantojot šādas formulas:

Aprēķināt integrāli.

Uzrakstiet Parseval formulu:

Tādējādi Parseval formulai ir forma

Veicot, ja nepieciešams, aritmētiskās darbības labajā un kreisajā pusē, iegūstiet dotās skaitļu sērijas summu.

Sadalot abas iegūtās vienādības puses ar 144, mēs atrodam: .

№11. Atrodiet funkcijas Furjē integrāli

un uzzīmējiet to.

Risinājums. Izveidojiet funkcijas grafiku.

Pārbaudiet nosacījumu izpildi pietiekamiem Furjē integrāļa konverģences kritērijiem (Dini, Dirihlē-Jordana vai to sekas).

Funkcija ir absolūti integrējama intervālā, nepārtraukta pie un , un kādā punktā tai ir pirmā veida pārtraukums. Turklāt funkcijai for un ir ierobežots atvasinājums, un pie nulles ir galīgi labās un kreisās puses atvasinājumi. Nosakiet, vai funkcija ir pāra vai nepāra. Funkcija nav ne pāra, ne nepāra. ; .

Tātad, vai,

Federālā valsts budžeta augstākās izglītības iestāde

"VOLGAS VALSTS UNIVERSITĀTE

TELEKOMUNIKĀCIJAS UN INFORMĀCIJA"

Augstākās matemātikas katedra

O.V.STAROŽILOVA

MATEMĀTIKAS ĪPAŠAS NODAĻAS

protokols Nr.45, datēts ar 2017.gada 10.martu

Starožilova, O.V.

C Matemātikas speciālās nodaļas: mācību grāmata //Starožilova O.V.. – Samara: PGUTI, 2017. –221 lpp.

Mācību grāmatā ir ietvertas īpašas matemātikas sadaļas: matemātiskā loģika un automātu teorija, propozicionālā algebra, propozicionāru aprēķins, algoritmu teorijas elementi, regresijas analīze, optimizācijas metodes.

Augstskolu studentiem un maģistriem, kas studē virzienā 03/09/02 " Informācijas sistēmas un tehnoloģijas", kuri vēlas patstāvīgi apgūt īpašas matemātikas nodaļas.

Katra sadaļa beidzas ar kontroljautājumiem, kas palīdzēs pārbaudīt kursa teorētisko apguvi, satur lielu skaitu uzdevumu patstāvīgam risinājumam un atbildes pārbaudei.

Rokasgrāmata satur laboratorijas kompleksu un vairākas inženiertehniskas problēmas ar uzsvaru uz skaitļošanas matemātikas metožu programmatūras ieviešanu.

Starožilova O.V., 2017

1. nodaļa Harmoniskā analīze 6

1.1 Skanošas virknes problēma 7

1.2. Ortogonālās funkciju sistēmas 8

1.3 Furjē rindas trigonometriskajai funkciju sistēmai 10

1.4. Pietiekami nosacījumi Furjē sērijas funkcijas paplašināšanai 13

1.5. Neperiodiskas funkcijas Furjē sērijas izvēršana 17

1.6 Furjē sērijas pāra un nepāra funkcijām 18

1.7 Furjē rinda jebkura perioda funkcijām 21

1.8 Furjē integrālis 27

1.9 Furjē integrālis pāra un nepāra funkcijām 29

1.10. Furjē integrāļa kompleksā forma 30

1.11 Furjē transformācija 32

2. nodaļa Matemātiskā loģika un IV 33

2.1. Loģikas attīstības posmi 34

2.2. Priekšlikumu loģika 38

2.3. Loģiskie savienojumi 40

2.4. Loģiskās darbības 41

2.5. Propozīcijas aprēķina alfabēts 42

2.6. Tautoloģija 42

2.7. Propozicionālās loģikas likumi 44

2.8 Formālās teorijas. Šķērsojamība. 46. interpretācija

2.9. Aksiomātiskā metode 47

2.10. Propozīcijas aprēķināšanas (PS) aksiomu sistēma 52

2.11. Noslēguma noteikumi 53

2.12. Atvasināto secinājumu noteikumi 56

2.13. Secinājuma konstruēšana propozicionālajā loģikā 62

2.14. Saistība starp algebru un propozicionālu aprēķinu 66

Pārbaudes jautājumi 69

3. nodaļa Regresijas analīzes problēmas 70

3.1. Mazāko kvadrātu metode 74

3.2. Lineārās regresijas analīze 76

3.3. Regresijas modeļa novērtējums 79

3.4. Lineārās regresijas metodes pielietošanas problēmas 83

3.5. Statistiskā modeļa LR 85 priekšnoteikumi

3.6. Regresijas analīzes problēmas 86

3.7. Daudzfaktoru normālās regresijas modelis 90

3.8. Atkarīgā mainīgā 92. variācija

Pārbaudes jautājumi 94

4. nodaļa Lēmumu pieņemšanas problēmu vispārīgais formulējums un veidi 95

4.1. Optimizācijas uzdevuma matemātiskā formulēšana 97

4.2 Lokālais un globālais minimums TF 99

4.3. Neierobežotas optimizācijas metodes 102

4.4. Koordinātu nolaišanās metode 102

4.5. Rozenbruka metode 105

4.6. Konfigurācijas metode 105

4.7. Nejaušas meklēšanas metodes 108

4.8. Ņūtona metode 112

5. nodaļa Furjē transformācija 114

5.1. Furjē funkcijas aproksimācija 114

5.2. Furjē transformācija 117

5.3. Ātrā Furjē transformācija 120

LABORATORIJAS KOMPLEKSS 123

Harmoniskā un spektrālā analīze 123

1.tēma “Propozicionālā loģika” 131

Individuālo uzdevumu varianti tēmai LP 133

2. tēma. Lineārā pāru regresija 140

Laboratorijas darbs Nr.1 141

LR vienādojuma 141 koeficientu aprēķins

Laboratorijas darbs Nr.2 144

Aprēķinot izlases korelācijas koeficientu 144

Laboratorijas darbs Nr.3 145

Pāru LR 145 dispersiju aprēķinu aprēķins

Laboratorijas darbs Nr.4 147

Excel funkcijas pārī savienotiem LR koeficientiem 147

Laboratorijas darbs Nr.5 149

Intervāla aprēķinu konstruēšana pārī savienotajai LR funkcijai 149

Laboratorijas darbs Nr.6 151

LR vienādojuma nozīmīguma pārbaude, izmantojot Fišera kritēriju 151

3. tēma Nelineāra pāru regresija 153

Laboratorijas darbs Nr.7 153

Nelineāras regresijas izveidošana, izmantojot 153

Pievienojiet Trendline komandas 153

Laboratorijas darbs Nr.8 158

Labākās nelineārās regresijas izvēle 158

4. tēma. Lineārā daudzkārtēja regresija 161

Laboratorijas darbs Nr.9 162

LMR koeficientu aprēķins 162

Laboratorijas darbs Nr.10 166

Nozīmīguma pārbaude regresijas režīmā 166

5. tēma. Nelineārā daudzkārtēja regresija 175

Laboratorijas darbs Nr.11 175

Koba-Duglasa funkcijas aprēķins 175

Pārbaudījums Nr.1 179

Pāru regresija 179

Pārbaudījums Nr.2 181

Daudzkārtēja lineārā regresija 181

Skaitliskās metodes beznosacījuma ekstrēma meklēšanai 185

Funkcijas 185 grafiskā analīze

Viendimensijas meklēšanas problēma 187

Svenna algoritms 190

Brutālā spēka metode 193

Bitu meklēšanas metode 195

Dihotomijas metode. 198

Fibonači metode 201

Zelta proporcijas metode 205

Viduspunkta metode 210

Ņūtona metode 214

Literatūra 218

1. nodaļa Harmoniskā analīze

DefinīcijaHarmoniskā analīze - matemātikas nozare, kas saistīta ar vibrāciju sadalīšanos harmoniskās vibrācijās.

Pētot periodiskas (t.i., laikā atkārtojošas) parādības, mēs uzskatām periodiskas funkcijas.

Piemēram, harmoniskas svārstības apraksta ar periodisku laika funkciju t:

Ø DefinīcijaPeriodiska funkcija- funkcija, kuras vērtība nemainās, izsaucot noteiktu skaitli, kas nav nulle periodā funkcijas.

Tā kā divu periodu summa un starpība atkal ir periods un līdz ar to jebkurš perioda daudzkārtnis ir arī periods, tad katrai periodiskai funkcijai ir bezgalīgs periodu skaits.

Ja periodiskai funkcijai ir reāls periods, tā ir nepārtraukta un atšķiras no konstantes, tad tai ir vismazākais pozitīvais periods T; jebkuram citam tās pašas funkcijas reālajam periodam būs forma kT, Kur k =±1, ±2,...

Periodisko funkciju summa, reizinājums un koeficients ar vienu un to pašu periodu ir periodiskas funkcijas ar vienu un to pašu periodu.

Periodiskām funkcijām ir ārkārtīgi liela nozīme svārstību teorijā un matemātiskajā fizikā kopumā. Matemātiskās analīzes gaitā mēs iepazināmies ar funkcionālās sērijas jēdzienu un strādājām ar tās svarīgo īpašo gadījumu - pakāpju sēriju. Apskatīsim vēl vienu ļoti svarīgu (tostarp fizisku lietojumu) īpašo funkcionālo sēriju gadījumu - trigonometrisko sēriju.

Ø Definīcija Funkcionālais diapazons - veidlapas sērija

kur ir funkcijas atkarībā no viena mainīgā vai vairākiem mainīgajiem.

Katrai fiksētajai vērtībai funkcionālā sērija pārvēršas skaitliskā sērijā

kas var saplūst vai var atšķirties.

Ø Definīcija Funkcionālo rindu konverģences punkts- punkts, kurā funkcionālās rindas saplūst.

Ø Definīcija Tiek saukta visu konverģences punktu kopa sērijas konverģences reģionā.

Vai ir iespējams šo funkciju attēlot trigonometriskās sērijas formā, t.i. vai ir iespējams atrast koeficientus? a n Un b n tā, lai būtu vienlīdzība visiem

Sērijas summa acīmredzami ir periodiska funkcija. Tas nozīmē, ka tikai periodiskas funkcijas var izvērst trigonometriskā sērijā f.

Turklāt ir skaidrs, ka, ja divas periodiskas funkcijas sakrīt intervālā, kura garums ir vienāds ar periodu, tad tās sakrīt visur. Tāpēc pietiek pārbaudīt noteiktu garuma intervālu, piemēram, .

1.1 Skanošas stīgas problēma

Trigonometrisko sēriju izpētei radīja 18. gadsimtā izvirzītā skanēšanas stīgu problēma.

Vai ir dota funkcija, vai ir iespējams atrast trigonometrisko sēriju, kas saplūst un kuras summa ir funkcija. Ir nepieciešams tai uzlikt ierobežojumus, lai varētu meklēt tai saplūstošu trigonometrisko rindu.

Līdzīga problēma bija jaudas sērijām, ja tā ir atrisināma, tad šāda sērija ir Teilora sērija.

1.2. Ortogonālās funkciju sistēmas

Ortogonālo funkciju sistēmu sistemātiska izpēte tika uzsākta saistībā ar Furjē metodi matemātiskās fizikas vienādojumu robežuzdevumu risināšanai. Viena no galvenajām problēmām ortogonālo funkciju sistēmu teorijā ir funkcijas sadalīšanas problēma f(x) formas virknē , kur ir ortogonāla funkciju sistēma.

Ø Definīcija Funkcijas tiek izsauktas ortogonāls, ja izpildīts:

q Piemērs , - funkcijas ir ortogonālas uz , jo

q Piemērs on ir ortogonāls jebkurai funkcijai, kas definēta.

Ø Definīcija Tiek saukta bezgalīga funkciju sistēma ortogonāls uz ja

q Piemērs Bezgalīga funkciju sistēma neveido ortogonālu funkciju sistēmu

q Piemērs -trigonometrisko funkciju sistēma veido tai ortogonālu funkciju sistēmu.

, , .

Ø DefinīcijaĻaujiet patvaļīgai funkciju sistēmai, kas ir ortogonāla uz . Rinda

kur ir patvaļīgi skaitliskie koeficienti, ko sauc blakus viens otram saskaņā ar ortogonālu funkciju sistēmu.

Ø Definīcija Sērija pēc trigonometriskās funkciju sistēmas

sauca trigonometriskās sērijas.

ü komentēt Ja trigonometriskās rindas summa, kas saplūst katrā punktā, tad tā ir periodiska, jo , ir periodiskas funkcijas ar punktu, tad vienādībā nekas nemainīsies, tātad periodiski.

ü komentēt Ja uz nogriežņa ir dots, bet nav , tad, nobīdot koordinātu sākumpunktu, to var reducēt uz pētīto gadījumu.

ü komentēt Ja periodiskā funkcija ar periodu nav , tad tā tiek izvērsta trigonometriskā sērijā

q Teorēma Ja skaitļu rinda saplūst, tad trigonometriskā rinda

saplūst absolūti un vienmērīgi pa visu asi.

Pierādījums

Tāpēc

sērija — maina doto trigonometrisko sēriju un saskaņā ar Veierštrāsa testu saplūst vienmērīgi.

Absolūta konverģence ir acīmredzama.

1.3 Furjē rindas trigonometriskajai funkciju sistēmai

Žans Batists Džozefs Furjē 1768 – 1830 – franču matemātiķis.

Lai aprēķinātu Furjē rindas koeficientus, mēs aprēķinām integrāļus

, ,

q Teorēma Ja vienlīdzība ir visiem

un trigonometriskā rinda saplūst vienmērīgi pa visu asi, tad nosaka šīs rindas koeficientus

, ,

Pierādījums

Rinda saplūst vienmērīgi visā skaitļu taisnē, tās termini ir nepārtrauktas funkcijas, tad arī tās summa ir nepārtraukta un ir iespējama rindas integrācija pa termiņam

Katrs integrālis ir vienāds ar nulli, jo trigonometriskā funkciju sistēma ir ortogonāla , un tad

Lai to pierādītu, reiziniet abas puses ar

Tas neizjauks sēriju vienmērīgo konverģenci.

Sērijas vienveidīgās konverģences dēļ

un tas nozīmē vienotu rindu konverģenci.

Integrējot uz , mums ir

Funkciju trigonometriskās sistēmas ortogonalitātes dēļ uz

, , un no integrālis pie ,

, tas utt.

Atcerēsimies to

Šo vienādību derīgums izriet no trigonometrisko formulu pielietošanas integrandam.

Formula ir pierādīta līdzīgā veidā.

ü komentēt Teorēma paliek spēkā jebkurā intervālā, un integrācijas robežas tiek attiecīgi aizstātas ar un.

Ø Definīcija Trigonometriskās sērijas

kuru koeficientus nosaka ar formulām

, ,

sauca netālu no Furjē funkcijai, un tiek izsaukti koeficienti Furjē koeficienti.

Ja funkcijas Furjē sērija f(x) saplūst visos tās nepārtrauktības punktos, tad mēs sakām, ka funkcija f(x) tiek izvērsts Furjē sērijā.

ü komentēt Ne katra trigonometriskā rinda ir Furjē rinda, pat ja tā saplūst visā skaitļu rindā.

Nevienmērīgi konverģentas rindas summa var būt pārtraukta un nav integrējama, tāpēc Furjē koeficientu noteikšana nav iespējama.

ü komentēt Furjē sērija ir īpašs funkcionālo sēriju gadījums.

1.4. Pietiekami nosacījumi Furjē sērijas funkcijas paplašināšanai

Ø Definīcija Funkcija tiek izsaukta pa daļām monotoni segmentā, ja šo segmentu var dalīt ar ierobežotu punktu skaitu x 1 , x 2 , ..., x n-1 intervālos ( a,x 1), (x 1,x 2), ..., (xn-1,b), lai katrā no intervāliem funkcija būtu monotoniska, tas ir, tā vai nu nepalielinās, vai nesamazinās.

ü komentēt No definīcijas izriet, ka, ja funkcija ir pa daļām monotona un ierobežota ar [ a,b], tad tajā ir tikai pirmā veida pārtraukumi.

Ø Definīcija Funkcija tiek izsaukta pa gabalu gluda, ja katrā ierobežotajā intervālā tam un tā atvasinājumam ir ne vairāk kā ierobežots 1. veida pārtraukuma punktu skaits.

q Teorēma (Dirihleta nosacījums pietiekams nosacījums funkcijas sadalāmībai Furjē rindā): Ja periodiska funkcija ar periodu atbilst vienam no nosacījumiem:

tad šai funkcijai konstruētā Furjē rinda saplūst visos punktos

un saplūst ar skaitli katrā tās pārtraukuma punktā.

Iegūto rindu summa ir vienāda ar funkcijas vērtību funkcijas nepārtrauktības punktos

Kas jau ir diezgan garlaicīgi. Un jūtu, ka ir pienācis brīdis, kad no teorijas stratēģiskajām rezervēm ir pienācis laiks izvilkt jaunus konservus. Vai ir iespējams kā citādi izvērst funkciju sērijā? Piemēram, izteikt taisnās līnijas segmentu, izmantojot sinusus un kosinusus? Šķiet neticami, bet tik šķietami attālas funkcijas var būt
"atkalapvienošanās". Papildus jau zināmajiem grādiem teorijā un praksē ir arī citas pieejas funkcijas izvēršanai sērijā.

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar trigonometrisko Furjē rindu, pieskarsimies jautājumam par to konverģenci un summu, kā arī, protams, analizēsim daudzus Furjē rindu funkciju paplašināšanas piemērus. Es patiesi gribēju rakstu nosaukt par “Furjē sēriju manekeniem”, taču tas būtu neprātīgi, jo problēmu risināšanai būtu nepieciešamas zināšanas par citām matemātiskās analīzes nozarēm un zināma praktiska pieredze. Tāpēc preambula atgādinās astronautu apmācību =)

Pirmkārt, jums vajadzētu pievērsties lapu materiālu izpētei lieliskā formā. Miegains, atpūties un prātīgs. Bez spēcīgām emocijām par lauztu kāmja kāju un uzmācīgām domām par akvārija zivtiņu dzīves grūtībām. Furjē sērija nav grūti saprotama, taču praktiskie uzdevumi vienkārši prasa pastiprinātu uzmanības koncentrāciju - ideālā gadījumā jums vajadzētu pilnībā atraut sevi no ārējiem stimuliem. Situāciju pasliktina tas, ka nav viegli pārbaudīt risinājumu un atbildēt. Tādējādi, ja jūsu veselība ir zem vidējā līmeņa, labāk ir darīt ko vienkāršāku. Tā ir patiesība.

Otrkārt, pirms lidošanas kosmosā ir jāizpēta kosmosa kuģa instrumentu panelis. Sāksim ar to funkciju vērtībām, uz kurām jānoklikšķina uz mašīnas:

Jebkurai dabas vērtībai:

1) . Patiešām, sinusoīds “izšuj” x asi caur katru “pi”:
. Argumenta negatīvu vērtību gadījumā rezultāts, protams, būs tāds pats: .

2) . Bet ne visi to zināja. Kosinuss "pi" ir ekvivalents "mirgotājam":

Negatīvs arguments lietu nemaina: .

Varbūt ar to pietiek.

Un treškārt, dārgais kosmonautu korpuss, jums ir jāspēj... integrēt.
Jo īpaši pārliecinoši iekļaut funkciju zem diferenciālzīmes, integrēt pa daļām un esi mierā ar Ņūtona-Leibnica formula. Sāksim svarīgus pirmslidojuma vingrinājumus. Kategoriski neiesaku to izlaist, lai vēlāk nešķistu bezsvara stāvoklī:

1. piemērs

Aprēķināt noteiktos integrāļus

kur ņem dabas vērtības.

Risinājums: integrācija tiek veikta virs mainīgā “x”, un šajā posmā diskrētais mainīgais “en” tiek uzskatīts par konstanti. Visos integrāļos novietojiet funkciju zem diferenciālzīmes:

Īsa risinājuma versija, kas būtu piemērota mērķauditorijai, izskatās šādi:

Pieradīsim pie tā:

Četri atlikušie punkti ir jūsu pašu ziņā. Mēģiniet pieiet uzdevumam apzinīgi un īsi uzrakstiet integrāļus. Risinājumu paraugi nodarbības beigās.

Pēc vingrinājumu KVALITĀTE izpildīšanas uzvelkam skafandrus
un gatavojamies startam!

Funkcijas paplašināšana Furjē sērijā intervālā

Apskatīsim dažas funkcijas noteikts vismaz uz noteiktu laiku (un, iespējams, ilgāku laiku). Ja šī funkcija ir integrējama intervālā, tad to var izvērst trigonometriskā formā Furjē sērija:
, kur ir ts Furjē koeficienti.

Šajā gadījumā tiek izsaukts numurs sadalīšanās periods, un numurs ir sadalīšanās pusperiods.

Ir skaidrs, ka vispārīgā gadījumā Furjē rinda sastāv no sinusiem un kosinusiem:

Patiešām, pierakstīsim to detalizēti:

Sērijas nulles termiņu parasti raksta formā .

Furjē koeficientus aprēķina, izmantojot šādas formulas:

Es lieliski saprotu, ka tiem, kas sāk pētīt tēmu, joprojām nav skaidrības par jaunajiem terminiem: sadalīšanās periods, puscikls, Furjē koeficienti utt. Nekrītiet panikā, tas nav salīdzināms ar satraukumu pirms došanās kosmosā. Sapratīsim visu šajā piemērā, pirms kura izpildes ir loģiski uzdot aktuālus praktiskus jautājumus:

Kas jums jādara tālāk norādītajos uzdevumos?

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā. Turklāt bieži vien ir nepieciešams attēlot funkcijas grafiku, sērijas summas grafiku, daļēju summu un izsmalcinātu profesora fantāziju gadījumā darīt kaut ko citu.

Kā funkciju paplašināt Furjē sērijā?

Būtībā jums ir jāatrod Furjē koeficienti, tas ir, sastādiet un aprēķiniet trīs noteiktais integrālis.

Lūdzu, kopējiet Furjē sērijas vispārīgo formu un trīs darba formulas savā piezīmju grāmatiņā. Es ļoti priecājos, ka daži vietnes apmeklētāji manā acu priekšā īsteno savu bērnības sapni kļūt par astronautu =)

2. piemērs

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā uz intervāla. Izveidojiet grafiku, rindas summas un daļējās summas grafiku.

Risinājums: Pirmā uzdevuma daļa ir paplašināt funkciju Furjē sērijā.

Sākums ir standarta, noteikti pierakstiet, ka:

Šajā uzdevumā izplešanās periods ir pusperiods.

Izvērsīsim funkciju Furjē sērijā intervālā:

Izmantojot atbilstošās formulas, mēs atrodam Furjē koeficienti. Tagad mums ir jāsastāda un jāaprēķina trīs noteiktais integrālis. Ērtības labad es numurēšu punktus:

1) Pirmais integrālis ir visvienkāršākais, taču tam ir nepieciešami arī acs āboli:

2) Izmantojiet otro formulu:

Šis integrālis ir labi zināms un viņš to ņem pa gabalu:

Lietots, kad atrasts metode funkcijas summēšanai zem diferenciālzīmes.

Apskatāmajā uzdevumā to ir ērtāk izmantot nekavējoties formula integrācijai pa daļām noteiktā integrālī :

Pāris tehniskas piezīmes. Pirmkārt, pēc formulas piemērošanas visa izteiksme ir jāiekļauj lielās iekavās, jo pirms sākotnējā integrāļa ir konstante. Nepazaudēsim viņu! Iekavas var paplašināt jebkurā turpmākajā darbībā. Es to izdarīju kā pēdējo līdzekli. Pirmajā "gabalā" Mēs izrādām īpašu piesardzību aizstāšanā, kā redzat, konstante netiek izmantota, un integrācijas robežas tiek aizstātas ar produktu. Šī darbība ir iezīmēta kvadrātiekavās. Nu, jūs esat iepazinies ar otrās formulas “gabala” integrāli no apmācības uzdevuma;-)

Un pats galvenais – ekstrēma koncentrēšanās!

3) Mēs meklējam trešo Furjē koeficientu:

Tiek iegūts iepriekšējā integrāļa radinieks, kas arī ir integrējas pa daļām:

Šis gadījums ir nedaudz sarežģītāks, soli pa solim komentēšu turpmākās darbības:

(1) Izteiciens ir pilnībā ievietots lielās iekavās. Es negribēju šķist garlaicīgi, viņi pārāk bieži zaudē konstanti.

(2) Šajā gadījumā es nekavējoties atvēru šīs lielās iekavas. Īpaša uzmanība Mēs nododamies pirmajam “gabalam”: nemitīgais smēķē malā un nepiedalās integrācijas (un) robežu aizstāšanā produktā. Ieraksta juceklis dēļ šo darbību atkal vēlams izcelt ar kvadrātiekavām. Ar otro "gabalu" viss ir vienkāršāk: šeit daļa parādījās pēc lielo iekavu atvēršanas, bet konstante - pazīstamā integrāļa integrācijas rezultātā;-)

(3) Kvadrātiekavās veicam transformācijas, bet labajā integrālī - integrācijas robežu aizstāšanu.

(4) Mēs noņemam “mirgojošo gaismu” no kvadrātiekavām: , un pēc tam atveram iekšējās iekavas: .

(5) Mēs atceļam 1 un –1 iekavās un veicam galīgos vienkāršojumus.

Visbeidzot, tiek atrasti visi trīs Furjē koeficienti:

Aizstāsim tos formulā :

Tajā pašā laikā neaizmirstiet sadalīt uz pusēm. Pēdējā solī konstante (“mīnus divi”), kas nav atkarīga no “en”, tiek ņemta ārpus summas.

Tādējādi mēs esam ieguvuši funkcijas paplašināšanu Furjē sērijā intervālā:

Izpētīsim Furjē rindas konverģences jautājumu. Es īpaši izskaidrošu teoriju Dirihleta teorēma, burtiski "uz pirkstiem", tādēļ, ja jums nepieciešami stingri formulējumi, lūdzu, skatiet matemātiskās analīzes mācību grāmatu (piemēram, Bohana 2. sējums; vai Fihtenholca 3. sējums, bet tas ir grūtāk).

Otrajā uzdevuma daļā ir jāuzzīmē grafiks, sērijas summas grafiks un daļējas summas grafiks.

Funkcijas grafiks ir parastais taisna līnija plaknē, kas ir novilkta ar melnu punktētu līniju:

Noskaidrosim sērijas summu. Kā jūs zināt, funkciju sērijas saplūst ar funkcijām. Mūsu gadījumā konstruētā Furjē sērija jebkurai "x" vērtībai saplūst ar funkciju, kas ir parādīta sarkanā krāsā. Šī funkcija pieļauj 1. veida plīsumi punktos, bet ir arī definēts tajos (sarkani punkti zīmējumā)

Tādējādi: . Ir viegli redzēt, ka tā ievērojami atšķiras no sākotnējās funkcijas, tāpēc ierakstā Tiek izmantota tilde, nevis vienādības zīme.

Izpētīsim algoritmu, kas ir ērts sērijas summas konstruēšanai.

Centrālajā intervālā Furjē rinda saplūst ar pašu funkciju (centrālais sarkanais segments sakrīt ar lineārās funkcijas melno punktēto līniju).

Tagad parunāsim nedaudz par aplūkojamās trigonometriskās izplešanās būtību. Furjē sērija ietver tikai periodiskas funkcijas (konstante, sinusus un kosinusus), tātad sērijas summa ir arī periodiska funkcija.

Ko tas nozīmē mūsu konkrētajā piemērā? Un tas nozīmē, ka sērijas summa –obligāti periodiski un intervāla sarkanais segments bezgalīgi jāatkārto pa kreisi un pa labi.

Es domāju, ka frāzes “sadalīšanās periods” nozīme tagad beidzot ir kļuvusi skaidra. Vienkārši sakot, katru reizi, kad situācija atkārtojas atkal un atkal.

Praksē parasti ir pietiekami attēlot trīs sadalīšanās periodus, kā tas ir izdarīts zīmējumā. Nu, un arī kaimiņu periodu “celmi” - lai ir skaidrs, ka grafiks turpinās.

Īpaši interesanti ir 1. veida pārtraukuma punkti. Šādos punktos Furjē rinda saplūst uz izolētām vērtībām, kas atrodas tieši pārtraukuma “lēciena” vidū (zīmējumā sarkani punktiņi). Kā uzzināt šo punktu ordinātas? Vispirms atrodam “augšējā stāva” ordinātas: lai to izdarītu, mēs aprēķinām funkcijas vērtību paplašināšanas centrālā perioda galējā labajā punktā: . Lai aprēķinātu “apakšējā stāva” ordinātas, vienkāršākais veids ir ņemt tā paša perioda kreiso vērtību: . Vidējās vērtības ordināta ir “augšējās un apakšējās” summas vidējais aritmētiskais: . Patīkams fakts ir tas, ka, konstruējot zīmējumu, uzreiz būs redzams, vai vidus ir aprēķināts pareizi vai nepareizi.

Izveidosim daļēju rindas summu un tajā pašā laikā atkārtosim jēdziena “konverģence” nozīmi. Motīvs ir zināms arī no nodarbības par skaitļu sērijas summa. Sīkāk aprakstīsim mūsu bagātību:

Lai sastādītu daļēju summu, jums jāuzraksta nulle + vēl divi sērijas vārdi. Tas ir,

Zīmējumā funkcijas grafiks ir attēlots zaļā krāsā, un, kā redzams, tā diezgan cieši “aptin” pilno summu. Ja ņemam vērā daļēju sērijas piecu vārdu summu, tad šīs funkcijas grafiks vēl precīzāk tuvinās sarkanās līnijas, ja ir simts termini, tad “zaļā čūska” faktiski pilnībā saplūdīs ar sarkanajiem segmentiem, utt. Tādējādi Furjē rinda tuvojas tās summai.

Interesanti atzīmēt, ka jebkura daļēja summa ir nepārtraukta funkcija tomēr sērijas kopējā summa joprojām ir pārtraukta.

Praksē nav tik reti konstruēt daļējas summas grafiku. Kā to izdarīt? Mūsu gadījumā ir jāņem vērā segmenta funkcija, jāaprēķina tās vērtības segmenta galos un starppunktos (jo vairāk punktu ņemsiet vērā, jo precīzāks būs grafiks). Tad jums vajadzētu atzīmēt šos punktus zīmējumā un rūpīgi uzzīmēt perioda grafiku un pēc tam “atkārtot” to blakus intervālos. Kā gan citādi? Galu galā aproksimācija ir arī periodiska funkcija... ...tā grafiks man savā ziņā atgādina vienmērīgu sirds ritmu medicīnas ierīces displejā.

Būvniecības veikšana, protams, nav īpaši ērta, jo jums jābūt īpaši uzmanīgam, saglabājot ne mazāku par pusmilimetru precizitāti. Tomēr es iepriecināšu lasītājus, kuriem nav ērti zīmēt - "īstā" problēmā ne vienmēr ir nepieciešams veikt zīmējumu apmēram 50% gadījumu ir nepieciešams paplašināt funkciju Furjē sērijā, un viss .

Pēc zīmējuma pabeigšanas mēs izpildām uzdevumu:

Atbilde:

Daudzos uzdevumos funkcija cieš 1. veida plīsums tieši sadalīšanās periodā:

3. piemērs

Izvērsiet intervālā norādīto funkciju Furjē sērijā. Uzzīmējiet funkcijas grafiku un sēriju kopējo summu.

Piedāvātā funkcija ir norādīta pa daļām (un, ņemiet vērā, tikai segmentā) un iztur 1. veida plīsums punktā. Vai ir iespējams aprēķināt Furjē koeficientus? Nekādu problēmu. Funkcijas kreisā un labā puse ir integrējama savos intervālos, tāpēc integrāļi katrā no trim formulām ir jāattēlo kā divu integrāļu summa. Apskatīsim, piemēram, kā tas tiek darīts nulles koeficientam:

Otrais integrālis izrādījās vienāds ar nulli, kas samazināja darbu, taču tas ne vienmēr tā ir.

Pārējie divi Furjē koeficienti ir aprakstīti līdzīgi.

Kā parādīt sērijas summu? Kreisajā intervālā mēs zīmējam taisnas līnijas segmentu, bet intervālā - taisnas līnijas segmentu (ass posmu izceļam treknrakstā un treknrakstā). Tas ir, paplašināšanas intervālā sērijas summa sakrīt ar funkciju visur, izņemot trīs “sliktos” punktus. Funkcijas pārtraukuma punktā Furjē rinda saplūdīs uz izolētu vērtību, kas atrodas tieši pārtraukuma “lēciena” vidū. Nav grūti to redzēt mutiski: kreisās puses ierobežojums: , labās puses ierobežojums: un, protams, viduspunkta ordināta ir 0,5.

Summas periodiskuma dēļ attēls ir “jāreizina” blakus periodos, jo īpaši, tas pats ir jāattēlo intervālos un . Tajā pašā laikā Furjē rindas punktos tuvosies vidējām vērtībām.

Patiesībā šeit nav nekā jauna.

Mēģiniet pats tikt galā ar šo uzdevumu. Aptuvenais gala dizaina paraugs un zīmējums nodarbības beigās.

Funkcijas paplašināšana Furjē rindā patvaļīgā periodā

Patvaļīgam paplašināšanas periodam, kur “el” ir jebkurš pozitīvs skaitlis, Furjē rindas un Furjē koeficientu formulas atšķiras ar nedaudz sarežģītāku sinusa un kosinusa argumentu:

Ja , tad iegūstam intervālu formulas, ar kurām sākām.

Problēmas risināšanas algoritms un principi ir pilnībā saglabāti, taču palielinās aprēķinu tehniskā sarežģītība:

4. piemērs

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā un uzzīmējiet summu.

Risinājums: faktiski analogs piemēram Nr. 3 ar 1. veida plīsums punktā. Šajā uzdevumā izplešanās periods ir pusperiods. Funkcija tiek definēta tikai pusintervālā, bet tas nemaina lietu - ir svarīgi, lai abas funkcijas daļas būtu integrējamas.

Izvērsīsim funkciju Furjē sērijā:

Tā kā funkcija sākumā ir pārtraukta, katrs Furjē koeficients acīmredzami jāraksta kā divu integrāļu summa:

1) Es uzrakstīšu pirmo integrāli pēc iespējas detalizētāk:

2) Mēs uzmanīgi skatāmies uz Mēness virsmu:

Otrais integrālis ņem pa gabalu:

Kam jāpievērš īpaša uzmanība pēc tam, kad ar zvaigznīti atveram risinājuma turpinājumu?

Pirmkārt, mēs nezaudējam pirmo integrāli , kur mēs nekavējoties izpildām parakstoties uz diferenciālzīmi. Otrkārt, neaizmirstiet neveiksmīgo konstanti pirms lielajām iekavām un nemulsiniet no zīmēm izmantojot formulu. Lielus kronšteinus joprojām ir ērtāk atvērt uzreiz nākamajā darbībā.

Pārējais ir tehnikas jautājums, grūtības var radīt tikai nepietiekama integrāļu risināšanas pieredze.

Jā, ne velti izcilie franču matemātiķa Furjē kolēģi bija sašutuši – kā viņš uzdrošinājās funkcijas sakārtot trigonometriskās rindās?! =) Starp citu, visus droši vien interesē attiecīgā uzdevuma praktiskā nozīme. Pats Furjē strādāja pie siltuma vadītspējas matemātiskā modeļa, un pēc tam viņa vārdā nosauktās sērijas sāka izmantot, lai pētītu daudzus periodiskus procesus, kas ir redzami un neredzami apkārtējā pasaulē. Tagad, starp citu, pieķēru sevi pie domas, ka ne nejauši salīdzināju otrā piemēra grafiku ar periodisko sirds ritmu. Interesenti var iepazīties ar praktisko pielietojumu Furjē transformācija trešo pušu avotos. ...Lai gan labāk to nedarīt - tā paliks atmiņā kā Pirmā mīlestība =)

3) Ņemot vērā vairākkārt pieminētās vājās saites, aplūkosim trešo koeficientu:

Integrēsim pa daļām:

Aizvietosim formulā atrastos Furjē koeficientus , neaizmirstot dalīt nulles koeficientu uz pusēm:

Uzzīmēsim sērijas summu. Īsi atkārtosim procedūru: uz intervāla izveidojam taisni, bet uz intervāla - taisni. Ja “x” vērtība ir nulle, mēs ievietojam punktu spraugas “lēciena” vidū un “atkārtojam” grafiku blakus periodiem:

Periodu “krustojumos” summa būs vienāda arī ar atstarpes “lēciena” viduspunktiem.

Gatavs. Atgādināšu, ka pati funkcija ir ar nosacījumu definēta tikai pusintervālā un acīmredzot sakrīt ar intervālu rindu summu

Atbilde:

Dažreiz pa daļām dota funkcija ir nepārtraukta paplašināšanas periodā. Vienkāršākais piemērs: . Risinājums (skat. Bohana 2. sējumu) tas pats, kas divos iepriekšējos piemēros: neskatoties funkciju nepārtrauktība punktā katrs Furjē koeficients tiek izteikts kā divu integrāļu summa.

Par sadalīšanās intervālu 1. veida pārtraukuma punkti un/vai diagrammā var būt vairāk “savienojuma” punktu (divi, trīs un parasti jebkurš galīgais daudzums). Ja funkcija ir integrējama katrā daļā, tā ir paplašināma arī Furjē sērijā. Bet no praktiskās pieredzes es neatceros tik nežēlīgu lietu. Tomēr ir sarežģītāki uzdevumi, nekā tikko apskatītie, un raksta beigās ir saites uz Furjē sēriju, kas ir īpaši sarežģīta ikvienam.

Tikmēr atpūtīsimies, atlaidīsimies krēslos un pārdomāsim bezgalīgos zvaigžņu plašumus:

5. piemērs

Izvērsiet funkciju Furjē sērijā uz intervāla un uzzīmējiet sērijas summu.

Šajā problēmā funkcija nepārtraukts uz paplašināšanas pusintervālu, kas vienkāršo risinājumu. Viss ir ļoti līdzīgs piemēram Nr.2. No kosmosa kuģa nav aizbēgt - jums būs jāizlemj =) Aptuvenais dizaina paraugs nodarbības beigās, grafiks pievienots.

Furjē sērijas pāra un nepāra funkciju paplašināšana

Izmantojot pāra un nepāra funkcijas, problēmas risināšanas process ir ievērojami vienkāršots. Un tāpēc. Atgriezīsimies pie funkcijas paplašināšanas Furjē rindā ar periodu “divi pi” un patvaļīgs periods "divi el" .

Pieņemsim, ka mūsu funkcija ir pāra. Sērijas vispārīgais termins, kā redzat, satur pāra kosinusus un nepāra sinusus. Un, ja mēs paplašinām PĀRĀT funkciju, tad kāpēc mums vajag nepāra sinusus?! Atiestatīsim nevajadzīgo koeficientu: .

Tādējādi vienmērīgu funkciju Furjē sērijā var paplašināt tikai kosinusos:

Tāpēc ka pāra funkciju integrāļi gar integrācijas segmentu, kas ir simetrisks attiecībā pret nulli, var dubultot, tad atlikušie Furjē koeficienti tiek vienkāršoti.

Par atstarpi:

Patvaļīgam intervālam:

Mācību grāmatu piemēri, ko var atrast gandrīz jebkurā matemātiskās analīzes mācību grāmatā, ietver pāra funkciju izvērsumus . Turklāt manā personīgajā praksē viņi ir sastapušies vairākas reizes:

6. piemērs

Funkcija ir dota. Nepieciešams:

1) izvērsiet funkciju Furjē sērijā ar punktu , kur ir patvaļīgs pozitīvs skaitlis;

2) pierakstiet intervāla izvērsumu, konstruējiet funkciju un grafikā izveidojiet rindas kopējo summu.

Risinājums: pirmajā rindkopā ir ierosināts problēmu atrisināt vispārīgā formā, un tas ir ļoti ērti! Ja rodas vajadzība, vienkārši nomainiet savu vērtību.

1) Šajā uzdevumā izplešanās periods ir pusperiods. Turpmāko darbību laikā, īpaši integrācijas laikā, “el” tiek uzskatīts par konstanti

Funkcija ir vienmērīga, kas nozīmē, ka to var izvērst Furjē sērijā tikai kosinusos: .

Mēs meklējam Furjē koeficientus, izmantojot formulas . Pievērsiet uzmanību to beznosacījuma priekšrocībām. Pirmkārt, integrācija tiek veikta paplašināšanas pozitīvajā segmentā, kas nozīmē, ka mēs droši atbrīvojamies no moduļa , ņemot vērā tikai “X” no diviem gabaliem. Un, otrkārt, integrācija ir ievērojami vienkāršota.