Paralēlskaldņa pretējās virsmas ir paralēlas un vienādas zīmējumā. Paralēles, kubs

Šajā nodarbībā definēsim paralēlskaldni, apspriedīsim tā uzbūvi un elementus (paralēles diagonāles, paralēlskaldņa malas un to īpašības). Mēs arī apsvērsim paralelograma skaldņu un diagonāļu īpašības. Tālāk mēs atrisināsim tipisku šķērsgriezuma paralēlskaldņa konstruēšanas problēmu.

Tēma: Līniju un plakņu paralēlisms

Nodarbība: paralēlskaldnis. Paralēlstūra skaldņu un diagonāļu īpašības

Šajā nodarbībā mēs definēsim paralēlskaldni, apspriedīsim tā uzbūvi, īpašības un elementus (malas, diagonāles).

Paralēlskaldni veido, izmantojot divus vienādus paralelogramus ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1, kas atrodas paralēlās plaknēs. Apzīmējums: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 vai AD 1 (1. att.).

2. Pedagoģisko ideju festivāls "Atvērtā stunda" ()

1. Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem (pamata un specializācijas līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. - 5. izdevums, labots un paplašināts - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.

10., 11., 12. uzdevums 50. lpp

2. Konstruē taisnstūra paralēlskaldņa griezumu ABCDA1B1C1D1 plakne, kas iet caur punktiem:

a) A, C, B1

b) B1, D1 un ribas vidus AA1.

3. Kuba mala ir vienāda ar a. Izveidojiet kuba posmu ar plakni, kas iet cauri trīs malu viduspunktiem, kas iziet no vienas virsotnes, un aprēķiniet tās perimetru un laukumu.

4. Kādas formas var iegūt paralēlskaldņu plaknes krustojuma rezultātā?

Ģeometrijā galvenie jēdzieni ir plakne, punkts, taisne un leņķis. Izmantojot šos terminus, jūs varat aprakstīt jebkuru ģeometrisku figūru. Daudzskaldnis parasti tiek aprakstīts ar vienkāršākām figūrām, kas atrodas vienā plaknē, piemēram, aplis, trīsstūris, kvadrāts, taisnstūris utt. Šajā rakstā apskatīsim, kas ir paralēlskaldnis, aprakstīsim paralēlskaldņu veidus, to īpašības, no kādiem elementiem tas sastāv, kā arī sniegsim pamatformulas laukuma un tilpuma aprēķināšanai katram paralēlskaldņa tipam.

Definīcija

Paralēlskaldnis trīsdimensiju telpā ir prizma, kuras visas malas ir paralelogrami. Attiecīgi tam var būt tikai trīs paralelogramu pāri vai sešas skaldnes.

Lai vizualizētu paralēlskaldni, iedomājieties parastu standarta ķieģeli. Ķieģelis ir labs taisnstūra paralēlskaldņa piemērs, ko var iedomāties pat bērns. Kā citus piemērus var minēt daudzstāvu paneļu mājas, skapjus, atbilstošas ​​formas pārtikas uzglabāšanas traukus u.c.

Figūras šķirnes

Ir tikai divi paralēlskaldņu veidi:

1. Taisnstūrveida, kura visas sānu virsmas atrodas 90° leņķī pret pamatni un ir taisnstūri.
2. Slīpums, kura sānu malas atrodas noteiktā leņķī pret pamatni.

Kādos elementos var iedalīt šo figūru?

• Tāpat kā jebkurā citā ģeometriskā attēlā, paralēlskaldī jebkuras 2 skaldnes ar kopīgu malu sauc par blakus esošām, un tās, kurām tās nav, ir paralēlas (pamatojoties uz paralelograma īpašību, kurai ir paralēlu pretējo malu pāri).
• Paralēlskaldņa virsotnes, kas neatrodas vienā sejā, sauc par pretējām.
• Segments, kas savieno šādas virsotnes, ir diagonāle.
• Trīs kuboīda malu garumi, kas sastopas vienā virsotnē, ir tā izmēri (proti, garums, platums un augstums).

Formas īpašības

1. Tas vienmēr ir veidots simetriski attiecībā pret diagonāles vidu.
2. Visu diagonāļu krustpunkts sadala katru diagonāli divos vienādos segmentos.
3. Pretējās sejas ir vienāda garuma un atrodas uz paralēlām līnijām.
4. Ja pievienojat paralēlskaldņa visu izmēru kvadrātus, iegūtā vērtība būs vienāda ar diagonāles garuma kvadrātu.

Aprēķinu formulas

Formulas katram konkrētajam paralēlskaldņa gadījumam būs atšķirīgas.

Patvaļīgam paralēlskaldnim ir taisnība, ka tā tilpums ir vienāds ar trīs malu vektoru, kas izplūst no vienas virsotnes, trīskāršā skalārā reizinājuma absolūto vērtību. Tomēr patvaļīga paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai nav formulas.

Taisnstūra paralēlskaldnim piemēro šādas formulas:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - figūras tilpums;
• Sb - sānu virsmas laukums;
• Sp - kopējais virsmas laukums;
• a - garums;
• b - platums;
• c - augstums.

Vēl viens īpašs paralēlskaldņa gadījums, kurā visas malas ir kvadrāti, ir kubs. Ja kāda no kvadrāta malām ir apzīmēta ar burtu a, tad šī skaitļa virsmas laukumam un tilpumam var izmantot šādas formulas:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S - figūras laukums,
• V ir figūras tilpums,
• a ir figūras sejas garums.

Pēdējais paralēlskaldņu veids, ko mēs apsveram, ir taisns paralēlskaldnis. Kāda ir atšķirība starp labo paralēlskaldni un kuboīdu, jūs jautājat. Fakts ir tāds, ka taisnstūrveida paralēlskaldnis var būt jebkurš paralelograms, bet taisnstūra paralēlskaldnis var būt tikai taisnstūris. Ja pamatnes perimetru, kas vienāds ar visu malu garumu summu, apzīmē ar Po un augstumu apzīmē ar burtu h, mums ir tiesības izmantot šādas formulas, lai aprēķinātu kopsummas tilpumu un laukumus. un sānu virsmas.

Paralēlskaldnis ir četrstūra prizma ar paralelogramiem tās pamatnē. Paralēlskaldņa augstums ir attālums starp tā pamatu plaknēm. Attēlā augstums ir parādīts ar segmentu . Ir divu veidu paralēlskaldņi: taisni un slīpi. Parasti matemātikas skolotājs vispirms sniedz atbilstošās prizmas definīcijas un pēc tam pārnes tās uz paralēlskaldni. Mēs darīsim tāpat.

Atgādināšu, ka prizmu sauc par taisnu, ja tās sānu malas ir perpendikulāras pamatiem, ja perpendikulitātes nav, prizmu sauc par slīpu. Šo terminoloģiju pārmanto arī paralēlskaldnis. Labais paralēlskaldnis ir nekas cits kā taisnas prizmas veids, kuras sānu mala sakrīt ar augstumu. Tiek saglabātas tādu jēdzienu kā seja, mala un virsotne definīcijas, kas ir kopīgas visai daudzskaldņu saimei. Parādās pretēju seju jēdziens. Paralēlskaldnim ir 3 pāri pretējo virsmu, 8 virsotnes un 12 malas.

Paralēlskaldņa diagonāle (prizmas diagonāle) ir segments, kas savieno divas daudzskaldņa virsotnes un neatrodas ne uz vienas tā skaldnes.

Diagonālais griezums - paralēlskaldņa posms, kas iet caur tā diagonāli un tā pamatnes diagonāli.

Slīpa paralēlskaldņa īpašības:
1) Visas tā skaldnes ir paralelogrami, un pretējās virsmas ir vienādas paralelogrammas.
2)Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un šajā punktā dalās uz pusēm.
3)Katrs paralēlskaldnis sastāv no sešām vienāda tilpuma trīsstūrveida piramīdām. Lai tās parādītu skolēnam, matemātikas skolotājam jānogriež puse paralēlskaldņa ar tā diagonālo griezumu un atsevišķi jāsadala 3 piramīdās. To pamatnēm jāatrodas uz dažādām sākotnējā paralēlskaldņa virsmām. Matemātikas pasniedzējs atradīs šīs īpašības pielietojumu analītiskajā ģeometrijā. To izmanto, lai iegūtu piramīdas tilpumu, izmantojot jauktu vektoru reizinājumu.

Formulas paralēlskaldņa tilpumam:
1) , kur ir pamatnes laukums, h ir augstums.
2) Paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar šķērsgriezuma laukuma un sānu malas reizinājumu.
Matemātikas pasniedzējs: Kā zināms, formula ir kopīga visām prizmām un, ja skolotājs to jau ir pierādījis, tad nav jēgas atkārtot vienu un to pašu paralēlskaldnim. Taču, strādājot ar vidēja līmeņa skolēnu (formula neder vājam skolēnam), skolotājam vēlams rīkoties tieši pretēji. Atstājiet prizmu mierā un veiciet rūpīgu paralēlskaldņa pārbaudi.
3) , kur ir tilpums vienai no sešām trīsstūrveida piramīdām, kas veido paralēlskaldni.
4) Ja , tad

Paralēlskaldņa sānu virsmas laukums ir visu tā virsmu laukumu summa:
Paralēlskaldņa kopējā virsma ir visu tā skaldņu laukumu summa, tas ir, laukums + divi pamatnes laukumi: .

Par pasniedzēja darbu ar slīpu paralēlskaldni:
Matemātikas skolotājs bieži nestrādā pie problēmām, kas saistītas ar slīpu paralēlskaldni. Varbūtība, ka tie parādīsies vienotajā valsts eksāmenā, ir diezgan zema, un didaktika ir nepieklājīgi slikta. Vairāk vai mazāk pienācīga slīpā paralēlskaldņa tilpuma problēma rada nopietnas problēmas, kas saistītas ar punkta H - tā augstuma pamatnes - atrašanās vietas noteikšanu. Šajā gadījumā matemātikas skolotājam var ieteikt nogriezt paralēlskaldni līdz vienai no tā sešām piramīdām (kas ir apskatītas īpašībā Nr. 3), mēģināt atrast tā tilpumu un reizināt ar 6.

Ja paralēlskaldņa sānu malai ir vienādi leņķi ar pamatnes malām, tad H atrodas uz bāzes ABCD leņķa A bisektrise. Un, ja, piemēram, ABCD ir rombs, tad

Matemātikas pasniedzēja uzdevumi:
1) Paralēlstūra malas ir vienādas viena ar otru ar 2 cm malu un akūtu leņķi. Atrodiet paralēlskaldņa tilpumu.
2) Slīpā paralēlskaldnim sānu mala ir 5 cm. Tam perpendikulārais griezums ir četrstūris ar savstarpēji perpendikulārām diagonālēm, kuru garums ir 6 cm un 8 cm. Aprēķiniet paralēlskaldņa tilpumu.
3) Slīpā paralēlskaldnī ir zināms, ka , un ABCD bāze ir rombs ar 2 cm malu un leņķi . Nosakiet paralēlskaldņa tilpumu.

Matemātikas skolotājs Aleksandrs Kolpakovs

Definīcija

Daudzskaldnis mēs sauksim slēgtu virsmu, kas sastāv no daudzstūriem un ierobežo noteiktu telpas daļu.

Tiek saukti segmenti, kas ir šo daudzstūru malas ribas daudzstūris, un paši daudzstūri ir malām. Daudzstūru virsotnes sauc par daudzskaldņu virsotnēm.

Mēs apsvērsim tikai izliektus daudzskaldņus (tas ir daudzskaldnis, kas atrodas katras plaknes vienā pusē, kurā atrodas tā seja).

Daudzstūri, kas veido daudzskaldni, veido tā virsmu. Telpas daļu, kuru ierobežo noteikts daudzskaldnis, sauc par tās iekšpusi.

Definīcija: prizma

Apsveriet divus vienādus daudzstūrus \(A_1A_2A_3...A_n\) un \(B_1B_2B_3...B_n\), kas atrodas paralēlās plaknēs tā, lai segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralēli. Daudzskaldnis, ko veido daudzstūri \(A_1A_2A_3...A_n\) un \(B_1B_2B_3...B_n\) , kā arī paralelogrami \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), sauc par (\(n\)-gonal) prizma.

Daudzstūrus \(A_1A_2A_3...A_n\) un \(B_1B_2B_3...B_n\) sauc par prizmu bāzēm, paralelogramiem \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– sānu virsmas, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- sānu ribas.
Tādējādi prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas viena ar otru.

Apskatīsim piemēru – prizmu \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), kura pamatnē atrodas izliekts piecstūris.

Augstums prizmas ir perpendikuls, kas nomests no jebkura vienas bāzes punkta uz citas bāzes plakni.

Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatnei, tad šādu prizmu sauc slīpi(1. att.), pretējā gadījumā – tiešā veidā. Taisnā prizmā sānu malas ir augstumā, un sānu malas ir vienādi taisnstūri.

Ja taisnas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tad prizmu sauc pareizi.

Definīcija: apjoma jēdziens

Tilpuma mērvienība ir vienības kubs (kubs, kas mēra \(1\times1\times1\) vienības\(^3\), kur mērvienība ir noteikta mērvienība).

Var teikt, ka daudzskaldņa tilpums ir telpas daudzums, ko šis daudzskaldnis ierobežo. Citādi: tas ir lielums, kura skaitliskā vērtība parāda, cik reižu vienības kubs un tā daļas iekļaujas dotajā daudzskaldnī.

Apjomam ir tādas pašas īpašības kā laukumam:

1. Vienādu skaitļu tilpumi ir vienādi.

2. Ja daudzskaldnis sastāv no vairākiem nekrustojas daudzskaldņiem, tad tā tilpums ir vienāds ar šo daudzskaldņu tilpumu summu.

3. Tilpums ir nenegatīvs lielums.

4. Tilpumu mēra cm\(^3\) (kubikcentimetros), m\(^3\) (kubikmetros) utt.

Teorēma

1. Prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu.
Sānu virsmas laukums ir prizmas sānu virsmu laukumu summa.

2. Prizmas tilpums ir vienāds ar prizmas pamatlaukuma un augstuma reizinājumu: \

Definīcija: paralēlskaldnis

Paralēles ir prizma ar paralelogramu tās pamatnē.

Visas paralēlskaldņa skalas (ir \(6\) : \(4\) sānu skaldnes un \(2\) pamatnes) ir paralelogrami, bet pretējās (paralēlas viena otrai) ir vienādi paralelogrami (2. att.) .

Paralēles diagonāle ir segments, kas savieno divas paralēlskaldņa virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas (no tām ir \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) utt.).

Taisnstūra paralēlskaldnis ir taisnstūra paralēlskaldnis ar taisnstūri tā pamatnē.
Jo Tā kā šis ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, sānu malas ir taisnstūri. Tas nozīmē, ka kopumā visas taisnstūra paralēlskaldņa skaldnes ir taisnstūri.

Visas taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas (tas izriet no trīsstūru vienādības \(\trijstūris ACC_1=\trijstūris AA_1C=\trijstūris BDD_1=\trijstūris BB_1D\) utt.).

komentēt

Tādējādi paralēlskaldnim ir visas prizmas īpašības.

Teorēma

Taisnstūra paralēlskaldņa sānu virsmas laukums ir \

Taisnstūra paralēlskaldņa kopējais virsmas laukums ir \

Teorēma

Kuboīda tilpums ir vienāds ar tā trīs malu reizinājumu, kas iziet no vienas virsotnes (trīs kuboīda izmēri): \

Pierādījums

Jo Taisnstūra paralēlskaldnim sānu malas ir perpendikulāras pamatnei, tad tās ir arī tās augstumi, tas ir, \(h=AA_1=c\) Jo tad pamats ir taisnstūris \(S_(\text(galvenais))=AB\cdot AD=ab\). Lūk, no kurienes nāk šī formula.

Teorēma

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle \(d\) tiek atrasta, izmantojot formulu (kur \(a,b,c\) ir paralēlskaldņa izmēri) \

Pierādījums

Apskatīsim att. 3. Jo bāze ir taisnstūris, tad \(\trijstūris ABD\) ir taisnstūrveida, tāpēc pēc Pitagora teorēmas \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Jo visas sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm, tad \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendikulāri jebkurai taisnei šajā plaknē, t.i. \(BB_1\perp BD\) . Tas nozīmē, ka \(\trijstūris BB_1D\) ir taisnstūrveida. Tad pēc Pitagora teorēmas \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definīcija: kubs

Kubs ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas skaldnes ir vienādi kvadrāti.

Tādējādi trīs dimensijas ir vienādas viena ar otru: \(a=b=c\) . Tātad sekojošais ir patiess

Teorēmas

1. Kuba ar malu \(a\) tilpums ir vienāds ar \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Kuba diagonāle tiek atrasta, izmantojot formulu \(d=a\sqrt3\) .

3. Kuba kopējais virsmas laukums \(S_(\text(pilns kubs))=6a^2\).

Tulkojumā no grieķu valodas paralelograms nozīmē plakne. Paralēlskaldnis ir prizma ar paralelogramu tās pamatnē. Ir pieci paralelogramu veidi: slīpi, taisni un kubveida. Arī kubs un romboedrs pieder paralēlskaldnim un ir tā šķirne.

Pirms pāriet pie pamatjēdzieniem, sniegsim dažas definīcijas:

• Paralēles diagonāle ir segments, kas apvieno paralēlskaldņa virsotnes, kas atrodas viena pret otru.
• Ja divām skaldnēm ir kopīga mala, tad tās var saukt par blakus esošajām malām. Ja nav kopīgas malas, tad sejas sauc par pretējām.
• Divas virsotnes, kas neatrodas vienā sejā, sauc par pretējām.

Kādas īpašības piemīt paralēlskaldnis?

1. Pretējās pusēs guļoša paralēlskaldņa sejas ir paralēlas viena otrai un ir vienādas.
2. Ja jūs velciet diagonāles no vienas virsotnes uz otru, tad šo diagonāļu krustošanās punkts sadalīs tās uz pusēm.
3. Paralēlskaldņa malas, kas atrodas vienā leņķī pret pamatni, būs vienādas. Citiem vārdiem sakot, kopīgi virzīto malu leņķi būs vienādi viens ar otru.

Kādi paralēlskaldņu veidi pastāv?

Tagad izdomāsim, kāda veida paralēlskaldņi pastāv. Kā minēts iepriekš, ir vairāki šīs figūras veidi: taisns, taisnstūrveida, slīps paralēlskaldnis, kā arī kubs un romboedrs. Kā tie atšķiras viens no otra? Tas viss ir par plaknēm, kas tos veido, un to veidotajiem leņķiem.

Apskatīsim sīkāk katru no uzskaitītajiem paralēlskaldņu veidiem.

• Kā jau ir skaidrs no nosaukuma, slīpam paralēlskaldnim ir slīpas sejas, proti, tās, kas nav 90 grādu leņķī attiecībā pret pamatni.
• Bet labajam paralēlskaldnim leņķis starp pamatni un malu ir tieši deviņdesmit grādi. Šī iemesla dēļ šāda veida paralēlskaldnim ir šāds nosaukums.
• Ja visas paralēlskaldņa sejas ir identiski kvadrāti, tad šo figūru var uzskatīt par kubu.
• Taisnstūra paralēlskaldnis saņēma šo nosaukumu plakņu dēļ, kas to veido. Ja tie visi ir taisnstūri (ieskaitot pamatni), tad tas ir kuboīds. Šāda veida paralēlskaldnis nav sastopams ļoti bieži. Tulkojumā no grieķu valodas romboedrs nozīmē seju vai pamatni. Tā sauc trīsdimensiju figūru, kuras sejas ir rombi.

Paralēlskaldņa pamatformulas

Paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un tā augstuma perpendikulāri pamatnei reizinājumu.

Sānu virsmas laukums būs vienāds ar pamatnes perimetra un augstuma reizinājumu.
Zinot pamata definīcijas un formulas, varat aprēķināt bāzes laukumu un tilpumu. Bāzi var izvēlēties pēc saviem ieskatiem. Tomēr kā pamats parasti tiek izmantots taisnstūris.