Akūta leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss. Trigonometriskās funkcijas

Attieksme pretējā puse uz hipotenūzu sauc akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trīsstūris.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Taisnleņķa trijstūra asā leņķa kosinuss

Tiek saukta blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu asā leņķa kosinuss taisnleņķa trīsstūris.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa pieskare

Tiek saukta pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi akūtā leņķa pieskare taisnleņķa trīsstūris.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kotangenss

Tiek saukta blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi akūta leņķa kotangenss taisnleņķa trīsstūris.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Patvaļīga leņķa sinuss

Tiek izsaukta vienību apļa punkta ordināta, kurai atbilst leņķis \alpha patvaļīga leņķa sinuss rotācija \alpha .

\sin \alpha=y

Patvaļīga leņķa kosinuss

Abscises punkts ieslēgts vienības aplis, kuram atbilst leņķis \alpha, tiek izsaukts patvaļīga leņķa kosinuss rotācija \alpha .

\cos \alpha=x

Patvaļīga leņķa tangenss

Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa sinusa attiecība pret tā kosinusu patvaļīga leņķa tangensa rotācija \alpha .

iedegums \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Patvaļīga leņķa kotangenss

Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa kosinusa attiecība pret tā sinusu patvaļīga leņķa kotangenss rotācija \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Patvaļīga leņķa atrašanas piemērs

Ja \alpha ir kāds leņķis AOM, kur M ir vienības apļa punkts, tad

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Piemēram, ja \angle AOM = -\frac(\pi)(4), tad: punkta M ordināta ir vienāda ar -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa ir vienāda ar \frac(\sqrt(2))(2) un tāpēc

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kotangenšu pieskares sinusu un kosinusu vērtību tabula

Galveno bieži sastopamo leņķu vērtības ir norādītas tabulā:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\left(\pi\right)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360 ^(\circ)\left(2\pi\right)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Dzīvē mums bieži nāksies saskarties ar matemātiskām problēmām: skolā, universitātē un pēc tam palīdzot bērnam pabeigt. mājasdarbs. Atsevišķu profesiju pārstāvji ar matemātiku saskarsies ikdienā. Tāpēc ir lietderīgi iegaumēt vai atsaukt atmiņā matemātikas noteikumus. Šajā rakstā mēs apskatīsim vienu no tiem: taisnleņķa trīsstūra malas atrašanu.

Kas ir taisnleņķa trīsstūris

Vispirms atcerēsimies, kas ir taisnleņķa trīsstūris. Taisnstūra trīsstūris ir ģeometriskā figūra no trim segmentiem, kas savieno punktus, kas neatrodas vienā taisnē, un viens no šī attēla leņķiem ir 90 grādi. Malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām, bet sānu, kas atrodas pretī pareizā leņķī- hipotenūza.

Taisnleņķa trijstūra kājas atrašana

Ir vairāki veidi, kā uzzināt kājas garumu. Es vēlētos tos apsvērt sīkāk.

Pitagora teorēma taisnleņķa trijstūra malas atrašanai

Ja zinām hipotenūzu un kāju, tad nezināmās kājas garumu varam atrast, izmantojot Pitagora teorēmu. Tas izklausās šādi: "Hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu." Formula: c²=a²+b², kur c ir hipotenūza, a un b ir kājas. Mēs pārveidojam formulu un iegūstam: a²=c²-b².

Piemērs. Hipotenūza ir 5 cm, un kāja ir 3 cm Pārveidojam formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Tālāk risinām: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometriskās attiecības taisnleņķa trijstūra kājas atrašanai

Nezināmu kāju var atrast arī tad, ja ir zināma taisnleņķa trijstūra cita mala un jebkurš akūts leņķis. Kāju atrašanai, izmantojot trigonometriskās funkcijas, ir četras iespējas: sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss. Tālāk esošā tabula palīdzēs mums atrisināt problēmas. Apsvērsim šīs iespējas.

Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot sinusu

Leņķa sinuss (sin) ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu. Formula: sin=a/c, kur a ir kāja, kas ir pretēja dotajam leņķim, un c ir hipotenūza. Tālāk mēs pārveidojam formulu un iegūstam: a=sin*c.

Piemērs. Hipotenūza ir 10 cm, leņķis A ir 30 grādi. Izmantojot tabulu, mēs aprēķinām leņķa A sinusu, tas ir vienāds ar 1/2. Pēc tam, izmantojot pārveidoto formulu, atrisinām: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).

Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot kosinusu

Leņķa kosinuss (cos) ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu. Formula: cos=b/c, kur b ir kāja, kas atrodas blakus noteiktam leņķim, un c ir hipotenūza. Pārveidosim formulu un iegūstam: b=cos*c.

Piemērs. Leņķis A ir vienāds ar 60 grādiem, hipotenūza ir vienāda ar 10 cm Izmantojot tabulu, mēs aprēķinām leņķa A kosinusu, tas ir vienāds ar 1/2. Tālāk atrisinām: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot tangenti

Leņķa pieskares (tg) ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu. Formula: tg=a/b, kur a ir leņķim pretējā puse, bet b blakus esošā puse. Pārveidosim formulu un iegūstam: a=tg*b.

Piemērs. Leņķis A ir vienāds ar 45 grādiem, hipotenūza ir vienāda ar 10 cm Izmantojot tabulu, mēs aprēķinām leņķa A tangensu, tas ir vienāds ar Atrisināt: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Atrodiet taisnleņķa trijstūra kāju, izmantojot kotangensu

Leņķa kotangenss (ctg) ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi. Formula: ctg=b/a, kur b ir leņķim blakus esošā kāja un pretējā kāja. Citiem vārdiem sakot, kotangenss ir "apgriezts tangenss". Mēs iegūstam: b=ctg*a.

Piemērs. Leņķis A ir 30 grādi, pretējā kājiņa ir 5 cm. Saskaņā ar tabulu leņķa A tangensa ir √3. Aprēķinām: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Tātad tagad jūs zināt, kā atrast kāju taisnleņķa trīsstūrī. Kā redzat, tas nav tik grūti, galvenais ir atcerēties formulas.

I nodaļa. Taisnīgu trīsstūru risināšana

§3 (37). Pamata attiecības un problēmas

Trigonometrija nodarbojas ar problēmām, kurās ir nepieciešams aprēķināt noteiktus trīsstūra elementus no pietiekama skaita tā doto elementu skaitlisko vērtību. Šīs problēmas parasti sauc par problēmām risinājums trīsstūris.

Lai ABC ir taisnleņķa trijstūris, C ir taisnleņķis, A Un b- kājas pretī asajiem leņķiem A un B, Ar- hipotenūza (3. att.);

tad mums ir:

Akūtā leņķa kosinuss ir blakus esošās malas attiecība pret hipotenūzu:

cos A = b/ c, cos V = a/ c (1)

Akūtā leņķa sinuss ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu:

grēks A = a/ c, grēks B = b/ c (2)

Akūtā leņķa tangenss ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi:

iedegums A = a/ b, iedegums B = b/ a (3)

Akūtā leņķa kotangenss ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo:

ctg A = b/ a, ctg B = a/ b (4)

Akūto leņķu summa ir 90°.

Pamatproblēmas taisnleņķa trijstūriem.

I uzdevums. Ņemot vērā hipotenūzu un vienu no asajiem leņķiem, aprēķiniet pārējos elementus.

Risinājums. Lai tie tiek doti Ar un A. Leņķis B = 90° – zināms arī A; kājas ir atrodamas no (1) un (2) formulām.

a = c sinA, b = c jo A.

II problēma . Ņemot vērā kāju un vienu no asajiem leņķiem, aprēķiniet pārējos elementus.

Risinājums. Lai tie tiek doti A un A. Leņķis B = 90° – A ir zināms; no formulas (3) un (2) mēs atrodam:

b = a iedegums B (= a ctg A), Ar = a/sinA

III uzdevums. Ņemot vērā kāju un hipotenūzu, aprēķiniet atlikušos elementus.

Risinājums. Lai tie tiek doti A Un Ar(un A< с ). No vienādībām (2) atrodam leņķi A:

grēks A = a/ c un A = loka sin a/ c ,

un visbeidzot kāju b:

b = Ar cos A (= Ar grēks B).

IV uzdevums. Dotās malas a un b, atrodiet pārējos elementus.

Risinājums. No vienādībām (3) mēs atrodam akūtu leņķi, piemēram, A:

tg A = a/ b, A = loka tg a/ b ,

leņķis B = 90° - A,

hipotenūza: c = a/ grēks A (= b/sinB; = a/cos B)

Zemāk ir piemērs taisnleņķa trijstūra atrisināšanai, izmantojot logaritmiskās tabulas*.

* Taisnleņķa trijstūra elementu aprēķins, izmantojot naturālās tabulas, ir zināms no VIII klases ģeometrijas kursa.

Aprēķinot pēc logaritmiskās tabulas jāizraksta atbilstošās formulas, jāņem to logaritmi, jāaizstāj skaitliskie dati, jāizmanto tabulas, lai atrastu nepieciešamos zināmo elementu (vai to trigonometrisko funkciju) logaritmus, aprēķinātu nepieciešamo elementu (vai to trigonometrisko funkciju) logaritmus un izmantotu tabulas, lai atrastu nepieciešamos elementus.

Piemērs. Kājas tiek dotas A= 166,1 un hipotenūza Ar= 187,3; aprēķināt akūtos leņķus, otru malu un laukumu.

Risinājums. Mums ir:

grēks A = a/ c; log sin A = log a-lg c;

A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".

Kājas aprēķināšana b:

b = a iedegums B ; lg b= baļķis b+ log tan B ;

Trijstūra laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu

S = 1/2 ab = 0,5 a 2 tg V;

Lai kontrolētu, aprēķināsim leņķi A slaida kārtulā:

A = loka grēks a/ c= loka sin 166 / 187 ≈ 62°.

Piezīme. Kāja b var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu, izmantojot kvadrātu tabulas un kvadrātsaknes(III un IV tabula):

b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

Neatbilstība iepriekš iegūtajai vērtībai b= 86.48 ir izskaidrojams ar tabulu kļūdām, kas dod aptuvenas funkciju vērtības. Rezultāts 86,54 ir precīzāks.

Sinus taisnleņķa trijstūra akūts leņķis α ir attiecība pretī kāju līdz hipotenūzai.
To apzīmē šādi: sin α.

Kosinuss Taisnstūra trīsstūra akūts leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
To apzīmē šādi: cos α.

Pieskares akūts leņķis α ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi.
To apzīmē šādi: tg α.

Kotangenss akūts leņķis α ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi.
To apzīmē šādi: ctg α.

Leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir atkarīgi tikai no leņķa lieluma.

Noteikumi:

Galvenās trigonometriskās identitātes taisnleņķa trijstūrī:

(α – akūts leņķis, kas ir pretējs kājai b un blakus kājai a . Sānu Ar - hipotenūza. β – otrais akūts leņķis).

b sin α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cos α = - c	1 1 + iedegums 2 α = -- cos 2 α
b iedegums α = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin 2 α
a ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- iedegums 2 α sin 2 α
grēks α tg α = -- cos α

Palielinoties asajam leņķimsin α uniedeguma α pieaugums, uncos α samazinās.

Jebkuram akūtam leņķim α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Piemērs-skaidrojums:

Ielaidiet taisnleņķa trīsstūri ABC
AB = 6,
BC = 3,
leņķis A = 30º.

Noskaidrosim leņķa A sinusu un leņķa B kosinusu.

Risinājums.

1) Pirmkārt, mēs atrodam leņķa B vērtību. Šeit viss ir vienkārši: tā kā taisnleņķa trijstūrī akūto leņķu summa ir 90º, tad leņķis B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Aprēķināsim grēku A. Zinām, ka sinuss ir vienāds ar pretējās puses attiecību pret hipotenūzu. Leņķim A pretējā puse ir mala BC. Tātad:

BC 3 1
grēks A = -- = - = -
AB 6 2

3) Tagad aprēķināsim cos B. Mēs zinām, ka kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu. Leņķim B blakus esošā kājiņa ir tā pati mala BC. Tas nozīmē, ka mums atkal ir jāsadala BC ar AB - tas ir, jāveic tās pašas darbības, kas tiek veiktas, aprēķinot leņķa A sinusu:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultāts ir:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

No tā izriet, ka taisnleņķa trijstūrī viena akūta leņķa sinuss ir vienāds ar cita akūta leņķa kosinusu - un otrādi. Tas ir tieši tas, ko nozīmē mūsu divas formulas:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Pārliecināsimies par to vēlreiz:

1) Pieņemsim, ka α = 60º. Aizvietojot α vērtību sinusa formulā, mēs iegūstam:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Pieņemsim, ka α = 30º. Aizvietojot α vērtību kosinusa formulā, mēs iegūstam:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Papildinformāciju par trigonometriju skatiet sadaļā Algebra)

Viena no matemātikas jomām, ar ko skolēni cīnās visvairāk, ir trigonometrija. Tas nav pārsteidzoši: lai brīvi apgūtu šo zināšanu jomu, ir nepieciešama telpiskā domāšana, spēja atrast sinusus, kosinusus, pieskares, kotangences, izmantojot formulas, vienkāršot izteiksmes un prast izmantot skaitli pi aprēķinus. Turklāt, pierādot teorēmas, ir jāprot izmantot trigonometriju, un tam ir nepieciešama vai nu attīstīta matemātiskā atmiņa, vai spēja atvasināt sarežģītas loģiskās ķēdes.

Trigonometrijas izcelsme

Iepazīšanās ar šo zinātni jāsāk ar leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīciju, taču vispirms ir jāsaprot, ko trigonometrija dara kopumā.

Vēsturiski galvenais pētījuma objekts šajā matemātikas zinātnes nozarē bija taisnleņķa trīsstūri. 90 grādu leņķa klātbūtne ļauj veikt dažādas darbības, kas ļauj noteikt visu attiecīgā attēla parametru vērtības, izmantojot divas malas un vienu leņķi vai divus leņķus un vienu pusi. Agrāk cilvēki pamanīja šo modeli un sāka to aktīvi izmantot ēku celtniecībā, navigācijā, astronomijā un pat mākslā.

Pirmais posms

Sākotnēji cilvēki runāja par attiecībām starp leņķiem un malām, izmantojot tikai taisnleņķa trīsstūru piemēru. Tad tika atklātas īpašas formulas, kas ļāva paplašināt izmantošanas robežas Ikdienašī matemātikas nozare.

Trigonometrijas apguve skolā mūsdienās sākas ar taisnleņķa trijstūriem, pēc kuriem skolēni izmanto iegūtās zināšanas fizikā un abstraktu uzdevumu risināšanā. trigonometriskie vienādojumi, darbs ar kuru sākas vidusskolā.

Sfēriskā trigonometrija

Vēlāk, kad zinātne sasniedza nākamo attīstības līmeni, formulas ar sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu sāka izmantot sfēriskajā ģeometrijā, kur darbojas dažādi noteikumi, un leņķu summa trijstūrī vienmēr ir lielāka par 180 grādiem. Skolā šī sadaļa netiek pētīta, taču par tās esamību ir jāzina kaut vai tāpēc, ka zemes virsma un jebkuras citas planētas virsma ir izliekta, kas nozīmē, ka jebkurš virsmas marķējums būs “loka formas” trīsdimensiju telpa.

Paņemiet globusu un pavedienu. Pievienojiet pavedienu jebkuriem diviem zemeslodes punktiem tā, lai tas būtu nospriegots. Lūdzu, ņemiet vērā - tas ir ieguvis loka formu. Ar šādām formām nodarbojas sfēriskā ģeometrija, ko izmanto ģeodēzijā, astronomijā un citās teorētiskās un lietišķās jomās.

Taisns trīsstūris

Nedaudz uzzinājuši par trigonometrijas lietošanas veidiem, atgriezīsimies pie pamata trigonometrijas, lai tālāk saprastu, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kādus aprēķinus ar to palīdzību var veikt un kādas formulas izmantot.

Pirmais solis ir saprast jēdzienus, kas saistīti ar taisnleņķa trīsstūri. Pirmkārt, hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī 90 grādu leņķim. Tas ir garākais. Mēs atceramies, ka saskaņā ar Pitagora teorēmu tā skaitliskā vērtība ir vienāda ar sakni no pārējo divu malu kvadrātu summas.

Piemēram, ja abas malas ir attiecīgi 3 un 4 centimetri, hipotenūzas garums būs 5 centimetri. Starp citu, senie ēģiptieši par to zināja apmēram pirms četrarpus tūkstošiem gadu.

Abas atlikušās malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām. Turklāt mums jāatceras, ka trijstūra leņķu summa taisnstūra koordinātu sistēmā ir vienāda ar 180 grādiem.

Definīcija

Visbeidzot, ar stingru izpratni par ģeometrisko pamatu, var pievērsties leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīcijai.

Leņķa sinuss ir pretējās kājas (t.i., vēlamajam leņķim pretējās puses) attiecība pret hipotenūzu. Leņķa kosinuss ir blakus esošās malas attiecība pret hipotenūzu.

Atcerieties, ka ne sinuss, ne kosinuss nevar būt lielāks par vienu! Kāpēc? Jo hipotenūza pēc noklusējuma ir garākā.Neatkarīgi no tā, cik gara ir kāja, tā būs īsāka par hipotenūzu, kas nozīmē, ka to attiecība vienmēr būs mazāka par vienu. Tādējādi, ja atbildē uz problēmu jūs saņemat sinusu vai kosinusu, kura vērtība ir lielāka par 1, meklējiet kļūdu aprēķinos vai argumentācijā. Šī atbilde ir acīmredzami nepareiza.

Visbeidzot, leņķa tangenss ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi. Sadalot sinusu ar kosinusu, tiks iegūts tāds pats rezultāts. Paskaties: saskaņā ar formulu mēs dalām malas garumu ar hipotenūzu, pēc tam dalām ar otrās malas garumu un reizinām ar hipotenūzu. Tādējādi mēs iegūstam tādas pašas attiecības kā pieskares definīcijā.

Attiecīgi kotangenss ir stūrim blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi. To pašu rezultātu iegūstam, dalot vienu ar tangensu.

Tātad, mēs esam apskatījuši definīcijas, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, un mēs varam pāriet uz formulām.

Vienkāršākās formulas

Trigonometrijā nevar iztikt bez formulām - kā bez tām atrast sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu? Bet tieši tas ir nepieciešams, risinot problēmas.

Pirmā formula, kas jāzina, sākot mācīties trigonometriju, saka, ka leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar vienu. Šī formula ir tiešas Pitagora teorēmas sekas, taču tā ietaupa laiku, ja jums jāzina leņķa izmērs, nevis sānu mala.

Daudzi skolēni nevar atcerēties otro formulu, kas ir ļoti populāra arī skolas uzdevumu risināšanā: viena un leņķa pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas dalīta ar leņķa kosinusa kvadrātu. Paskatieties tuvāk: tas ir tāds pats apgalvojums kā pirmajā formulā, tikai abas identitātes puses tika sadalītas ar kosinusa kvadrātu. Izrādās, ka to dara vienkārša matemātiska darbība trigonometriskā formula pilnīgi neatpazīstams. Atcerieties: zinot, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, transformācijas noteikumus un vairākas pamatformulas, jūs jebkurā laikā varat iegūt vajadzīgās sarežģītākas formulas uz papīra lapas.

Dubultleņķu formulas un argumentu pievienošana

Vēl divas formulas, kas jums jāapgūst, ir saistītas ar sinusa un kosinusa vērtībām leņķu summai un starpībai. Tie ir parādīti zemāk esošajā attēlā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka pirmajā gadījumā sinusus un kosinusu reizina abas reizes, bet otrajā tiek pievienots sinusa un kosinusa pāra reizinājums.

Ir arī formulas, kas saistītas ar dubultā leņķa argumentiem. Tie ir pilnībā atvasināti no iepriekšējiem - kā treniņu mēģiniet tos iegūt pats, ņemot alfa leņķi vienāds ar leņķi beta.

Visbeidzot, ņemiet vērā, ka dubultā leņķa formulas var pārkārtot, lai samazinātu sinusa, kosinusa, pieskares alfa jaudu.

Teorēmas

Divas galvenās trigonometrijas teorēmas ir sinusa teorēma un kosinusa teorēma. Ar šo teorēmu palīdzību jūs varat viegli saprast, kā atrast sinusu, kosinusu un tangensu, un līdz ar to arī figūras laukumu, katras malas izmēru utt.

Sinus teorēma nosaka, ka, dalot katras trīsstūra malas garumu ar pretējo leņķi, tiek iegūts vienāds skaitlis. Turklāt šis skaitlis būs vienāds ar diviem ierobežotā apļa rādiusiem, tas ir, apli, kurā ir visi dotā trīsstūra punkti.

Kosinusa teorēma vispārina Pitagora teorēmu, projicējot to uz jebkuriem trijstūriem. Izrādās, ka no abu malu kvadrātu summas atņemiet to reizinājumu, kas reizināts ar blakus esošā leņķa dubultkosinusu - iegūtā vērtība būs vienāda ar trešās malas kvadrātu. Tādējādi Pitagora teorēma izrādās īpašs kosinusa teorēmas gadījums.

Neuzmanīgas kļūdas

Pat zinot, kas ir sinuss, kosinuss un tangenss, ir viegli kļūdīties izklaidības vai kļūdas dēļ vienkāršākajos aprēķinos. Lai izvairītos no šādām kļūdām, apskatīsim populārākās.

Pirmkārt, jums nevajadzētu pārvērst daļskaitļus decimāldaļās, kamēr neesat saņēmis gala rezultātu — varat atstāt atbildi kā kopējā frakcija, ja nosacījumos nav norādīts citādi. Šādu transformāciju nevar saukt par kļūdu, taču jāatceras, ka katrā problēmas stadijā var parādīties jaunas saknes, kuras, pēc autora idejas, būtu jāsamazina. Šajā gadījumā jūs tērēsit savu laiku nevajadzīgām matemātiskām darbībām. Tas jo īpaši attiecas uz tādām vērtībām kā trīs sakne vai divu sakne, jo tās ir atrodamas problēmās ik uz soļa. Tas pats attiecas uz “neglīto” skaitļu noapaļošanu.

Turklāt ņemiet vērā, ka kosinusa teorēma attiecas uz jebkuru trīsstūri, bet ne uz Pitagora teorēmu! Ja jūs kļūdaini aizmirstat atņemt divkāršu malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām, jūs ne tikai iegūsit pilnīgi nepareizu rezultātu, bet arī parādīsit pilnīgu priekšmeta izpratnes trūkumu. Tas ir sliktāk nekā neuzmanīga kļūda.

Treškārt, nejauciet 30 un 60 grādu leņķu vērtības sinusiem, kosinusiem, tangensiem, kotangensiem. Atcerieties šīs vērtības, jo 30 grādu sinuss ir vienāds ar 60 kosinusu un otrādi. Tos ir viegli sajaukt, kā rezultātā jūs neizbēgami iegūsit kļūdainu rezultātu.

Pieteikums

Daudzi studenti nesteidzas uzsākt trigonometrijas studijas, jo nesaprot tās praktisko nozīmi. Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss inženierim vai astronomam? Tie ir jēdzieni, ar kuriem jūs varat aprēķināt attālumu līdz tālām zvaigznēm, paredzēt meteorīta krišanu vai nosūtīt izpētes zondi uz citu planētu. Bez tiem nav iespējams uzbūvēt ēku, projektēt automašīnu, aprēķināt slodzi uz virsmas vai objekta trajektoriju. Un šie ir tikai acīmredzamākie piemēri! Galu galā trigonometrija vienā vai otrā veidā tiek izmantota visur, sākot no mūzikas līdz medicīnai.

Beidzot

Tātad jūs esat sinuss, kosinuss, tangenss. Jūs varat tos izmantot aprēķinos un veiksmīgi atrisināt skolas problēmas.

Visa trigonometrijas būtība ir saistīta ar faktu, ka, izmantojot zināmos trīsstūra parametrus, jums ir jāaprēķina nezināmie. Kopumā ir seši parametri: trīs malu garums un trīs leņķu izmērs. Vienīgā atšķirība uzdevumos ir tajā, ka tiek sniegti dažādi ievades dati.

Tagad jūs zināt, kā atrast sinusu, kosinusu, tangensu, pamatojoties uz zināmajiem kāju vai hipotenūzas garumiem. Tā kā šie termini nenozīmē neko vairāk kā attiecību un attiecība ir daļa, trigonometrijas uzdevuma galvenais mērķis ir atrast parastā vienādojuma vai vienādojumu sistēmas saknes. Un šeit jums palīdzēs parastā skolas matemātika.