Diferenciālvienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot variācijas metodi. Patvaļīgu konstantu variācijas metode

Tagad apskatīsim lineāro nehomogēnu vienādojumu
. (2)
Lai y 1 ,y 2 ,.., y n ir fundamentāla atrisinājumu sistēma un atbilstošā viendabīgā vienādojuma L(y)=0 vispārīgais risinājums. Līdzīgi kā pirmās kārtas vienādojumu gadījumā, mēs meklēsim (2) vienādojuma risinājumu formā
. (3)
Pārliecināsimies, vai pastāv risinājums šādā formā. Lai to izdarītu, funkciju aizstājam vienādojumā. Lai aizstātu šo funkciju vienādojumā, mēs atrodam tās atvasinājumus. Pirmais atvasinājums ir vienāds ar
. (4)
Aprēķinot otro atvasinājumu, (4) labajā pusē parādīsies četri termini, aprēķinot trešo atvasinājumu, astoņi termini utt. Tāpēc turpmāko aprēķinu ērtībai (4) pirmais termins ir iestatīts vienāds ar nulli. Ņemot to vērā, otrais atvasinājums ir vienāds ar
. (5)
Tādu pašu iemeslu dēļ kā iepriekš, (5) mēs arī iestatījām pirmo terminu vienādu ar nulli. Visbeidzot, n-tais atvasinājums vienāds ar
. (6)
Aizvietojot iegūtās atvasinājumu vērtības sākotnējā vienādojumā, mums ir
. (7)
Otrais termins (7) ir vienāds ar nulli, jo funkcijas y j , j=1,2,..,n ir atbilstošā homogēnā vienādojuma L(y)=0 atrisinājumi. Apvienojot ar iepriekšējo, mēs iegūstam sistēmu algebriskie vienādojumi lai atrastu funkcijas C" j (x)
(8)
Šīs sistēmas determinants ir atbilstošā homogēnā vienādojuma L(y)=0 atrisinājumu fundamentālās sistēmas Vronska determinants, un tāpēc tas nav vienāds ar nulli. Tāpēc ir vienīgais lēmums sistēmas (8). To atraduši, iegūstam funkcijas C" j (x), j=1,2,…,n, un līdz ar to C j (x), j=1,2,…,n aizvietojot šīs vērtības (3), mēs iegūstam lineāra nehomogēna vienādojuma risinājumu.
Iesniegtā metode tiek saukta par patvaļīgas konstantes variācijas metodi vai Lagranža metodi.

Piemērs Nr.1. Atradīsim vispārīgo atrisinājumu vienādojumam y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Apskatīsim atbilstošo viendabīgo vienādojumu y"" + 4y" + 3y = 0. Tā raksturīgā vienādojuma saknes r 2 + 4r + 3 = 0 ir vienādi ar -1 un -3. Tāpēc viendabīga vienādojuma atrisinājumu fundamentālā sistēma sastāv no funkcijām y 1 = e - x un y 2 = e -3 x. Mēs meklējam nehomogēnā vienādojuma risinājumu formā y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Lai atrastu atvasinājumus C" 1 , C" 2, mēs veidojam vienādojumu sistēmu (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
kuras risināšana, mēs atrodam , Integrējot iegūtās funkcijas, mums ir
Beidzot saņemam

Piemērs Nr.2. Atrisiniet otrās kārtas lineāros diferenciālvienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem, izmantojot patvaļīgu konstantu mainīšanas metodi:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Risinājums:
Šis diferenciālvienādojums attiecas uz lineāriem diferenciālvienādojumiem ar nemainīgiem koeficientiem.
Mēs meklēsim vienādojuma atrisinājumu formā y = e rx. Lai to izdarītu, mēs sastādām lineāra homogēna diferenciālvienādojuma raksturīgo vienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Raksturīgā vienādojuma saknes: r 1 = 4, r 2 = 2
Līdz ar to pamata risinājumu sistēma sastāv no funkcijām: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Homogēnā vienādojuma vispārīgajam atrisinājumam ir šāda forma: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Meklējiet konkrētu risinājumu, mainot patvaļīgu konstanti.
Lai atrastu C" i atvasinājumus, mēs sastādām vienādojumu sistēmu:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′1 (4e 4x) + C′2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Izteiksim C" 1 no pirmā vienādojuma:
C" 1 = -c 2 e -2x
un aizstājiet to ar otro. Rezultātā mēs iegūstam:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C"2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Mēs integrējam iegūtās funkcijas C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Tā kā y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, mēs rakstām iegūtās izteiksmes formā:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2) e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Tādējādi diferenciālvienādojuma vispārējam risinājumam ir šāda forma:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
vai
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Atradīsim konkrētu risinājumu ar nosacījumu:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Atrastajā vienādojumā aizstājot x = 0, mēs iegūstam:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Mēs atrodam pirmo iegūtā atvasinājumu vispārējs risinājums:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln (2e 2x +1) -2)
Aizstājot x = 0, mēs iegūstam:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Mēs iegūstam divu vienādojumu sistēmu:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
vai
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
vai
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
No: C 1 = 0, C * 2 = 2
Privātais risinājums tiks rakstīts šādi:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

Lekcija 44. Otrās kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi. Patvaļīgu konstantu variācijas metode. Otrās kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem. (īpaša labā puse).

Sociālās transformācijas. Valsts un baznīca.

Boļševiku sociālo politiku lielā mērā noteica viņu šķiriskā pieeja. Ar 1917. gada 10. novembra dekrētu šķiru sistēma tika iznīcināta, pirmsrevolūcijas pakāpes, tituli un apbalvojumi tika atcelti. Tiesnešu vēlēšanas ir noteiktas; tika veikta civilvalstu sekularizācija. Tika izveidota bezmaksas izglītība un medicīniskā aprūpe (1918. gada 31. oktobra dekrēts). Sievietēm tika piešķirtas vienādas tiesības ar vīriešiem (1917. gada 16. un 18. decembra dekrēti). Laulības dekrēts ieviesa civillaulības institūtu.

Ar Tautas komisāru padomes 1918. gada 20. janvāra dekrētu baznīca tika atdalīta no valsts un no izglītības sistēmas. Lielākā daļa baznīcas īpašumu tika konfiscēta. Maskavas un visas Krievzemes patriarhs Tihons (ievēlēts 1917. gada 5. novembrī) atematizēts 1918. gada 19. janvārī Padomju vara un aicināja cīnīties pret boļševikiem.

Apsveriet lineāru nehomogēnu otrās kārtas vienādojumu

Šāda vienādojuma vispārējā risinājuma struktūru nosaka šāda teorēma:

1. teorēma. Nehomogēnā vienādojuma (1) vispārējais atrisinājums tiek attēlots kā šī vienādojuma kāda konkrēta risinājuma un atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārējā atrisinājuma summa

Pierādījums. Ir nepieciešams pierādīt, ka summa

ir (1) vienādojuma vispārīgs risinājums. Vispirms pierādīsim, ka funkcija (3) ir (1) vienādojuma risinājums.

Aizstājot summu vienādojumā (1), nevis plkst, būs

Tā kā (2) vienādojumam ir risinājums, izteiksme pirmajās iekavās ir vienāda ar nulli. Tā kā vienādojumam (1) ir risinājums, izteiksme otrajās iekavās ir vienāda ar f(x). Tāpēc vienlīdzība (4) ir identitāte. Tādējādi teorēmas pirmā daļa ir pierādīta.

Pierādīsim otro apgalvojumu: izteiksme (3) ir ģenerālis(1) vienādojuma risinājums. Mums jāpierāda, ka šajā izteiksmē iekļautās patvaļīgās konstantes var atlasīt tā, lai būtu izpildīti sākotnējie nosacījumi:

lai kādi būtu skaitļi x 0, y 0 un (ja tikai x 0 tika ņemts no apgabala, kurā funkcijas a 1, a 2 Un f(x) nepārtraukts).

Ievērojot, ka to var attēlot formā . Tad, pamatojoties uz nosacījumiem (5), mums būs

Atrisināsim šo sistēmu un noteiksim C 1 Un C 2. Pārrakstīsim sistēmu šādā formā:

Ņemiet vērā, ka šīs sistēmas determinants ir Vronska funkciju noteicošais faktors plkst.1 Un plkst.2 punktā x=x 0. Tā kā šīs funkcijas pēc nosacījuma ir lineāri neatkarīgas, Vronska determinants nav vienāds ar nulli; tāpēc sistēmai (6) ir noteikts risinājums C 1 Un C 2, t.i. ir tādas nozīmes C 1 Un C 2, kurai formula (3) nosaka (1) vienādojuma risinājumu, kas atbilst datiem sākotnējie nosacījumi. Q.E.D.

Pāriesim pie vispārīgās metodes nehomogēna vienādojuma daļēju atrisinājumu atrašanai.

Uzrakstīsim homogēnā vienādojuma (2) vispārējo atrisinājumu.

Mēs meklēsim konkrētu risinājumu nehomogēnā vienādojumam (1) formā (7), ņemot vērā C 1 Un C 2 tāpat kā dažas vēl nezināmas funkcijas no X.

Atšķirsim vienlīdzību (7):

Atlasīsim funkcijas, kuras meklējat C 1 Un C 2 lai vienlīdzība būtu spēkā

Ja ņemam vērā šo papildu nosacījumu, tad pirmais atvasinājums iegūs formu

Tagad, atšķirot šo izteiksmi, mēs atklājam:

Aizvietojot vienādojumu (1), mēs iegūstam

Izteiksmes pirmajās divās iekavās kļūst par nulli, kopš y 1 Un y 2– homogēna vienādojuma atrisinājumi. Tāpēc pēdējā vienlīdzība iegūst formu

Tādējādi funkcija (7) būs nehomogēnā vienādojuma (1) risinājums, ja funkcijas C 1 Un C 2 atbilst (8) un (9) vienādojumam. Izveidosim vienādojumu sistēmu no (8) un (9) vienādojumiem.

Tā kā šīs sistēmas determinants ir Vronska determinants lineāri neatkarīgiem risinājumiem y 1 Un y 2 vienādojums (2), tad tas nav vienāds ar nulli. Tāpēc, risinot sistēmu, mēs atradīsim gan noteiktas funkcijas X:

Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam , no kurienes integrācijas rezultātā iegūstam . Tālāk mēs aizvietojam atrastās funkcijas formulā, iegūstam vispārīgu risinājumu nehomogēnā vienādojumam, kur ir patvaļīgas konstantes.

Lai atrisinātu nehomogēnu, tiek izmantota patvaļīgu konstantu variācijas metode diferenciālvienādojumi. Šī nodarbība ir paredzēta tiem skolēniem, kuri jau vairāk vai mazāk labi pārzina tēmu. Ja tikai sāc iepazīties ar tālvadības pulti, t.i. Ja esat tējkanna, iesaku sākt ar pirmo nodarbību: Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Risinājumu piemēri. Un, ja jūs jau esat pabeidzis, lūdzu, atmetiet iespējamo aizspriedumu, ka metode ir sarežģīta. Jo tas ir vienkārši.

Kādos gadījumos tiek izmantota patvaļīgu konstantu variācijas metode?

1) Lai atrisinātu, var izmantot patvaļīgas konstantes variācijas metodi lineārs nehomogēns 1. kārtas DE. Tā kā vienādojums ir pirmās kārtas, tad arī konstante ir viena.

2) Dažu atrisināšanai tiek izmantota patvaļīgu konstantu variācijas metode lineāri nehomogēni otrās kārtas vienādojumi. Šeit atšķiras divas konstantes.

Loģiski pieņemt, ka nodarbība sastāvēs no divām rindkopām... Tāpēc es uzrakstīju šo teikumu un apmēram 10 minūtes es sāpīgi domāju par to, ko vēl gudru sūdu es varētu pievienot, lai vienmērīgi pārietu uz praktiskiem piemēriem. Bet pēc svētkiem nez kāpēc nedomāju, lai gan šķiet, ka neesmu neko ļaunprātīgi izmantojis. Tāpēc pāriesim tieši pie pirmās rindkopas.

Patvaļīgas konstantes variācijas metode
pirmās kārtas lineāram nehomogēnam vienādojumam

Pirms apsvērt patvaļīgas konstantes variācijas metodi, ieteicams iepazīties ar rakstu Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi. Tajā nodarbībā mēs trenējāmies pirmais risinājums nehomogēns 1. kārtas DE. Šo pirmo risinājumu, es atgādinu, sauc aizstāšanas metode vai Bernulli metode(nejaukt ar Bernulli vienādojums!!!)

Tagad mēs skatīsimies otrais risinājums– patvaļīgas konstantes variācijas metode. Es sniegšu tikai trīs piemērus, un es tos ņemšu no iepriekš minētās nodarbības. Kāpēc tik maz? Jo patiesībā risinājums otrajā veidā būs ļoti līdzīgs risinājumam pirmajā veidā. Turklāt, pēc maniem novērojumiem, patvaļīgu konstantu variācijas metode tiek izmantota retāk nekā aizstāšanas metode.

1. piemērs

(Atšķirība no nodarbības piemēra Nr. 2 Lineāri nehomogēni 1. kārtas diferenciālvienādojumi)

Risinājums:Šis vienādojums ir lineāri nehomogēns, un tam ir pazīstama forma:

Pirmajā posmā ir jāatrisina vienkāršāks vienādojums:
Tas ir, mēs muļķīgi atiestatām labo pusi un tā vietā ierakstām nulli.
Vienādojums Es piezvanīšu palīgvienādojums.

IN šajā piemērā jums jāatrisina šāds palīgvienādojums:

Pirms mums atdalāms vienādojums, kuras risinājums (es ceru) jums vairs nav grūts:

Tādējādi:
– palīgvienādojuma vispārīgs risinājums.

Otrajā solī mēs nomainīsim daži konstanti tagad nezināma funkcija, kas ir atkarīga no "x":

Līdz ar to metodes nosaukums - mēs variējam konstanti. Alternatīvi, konstante varētu būt kāda funkcija, kas mums tagad ir jāatrod.

IN oriģināls nehomogēns vienādojums nomainīsim:

Aizstāsim un vienādojumā :

Kontroles punkts - divi termini kreisajā pusē tiek atcelti. Ja tas nenotiek, jums vajadzētu meklēt iepriekš minēto kļūdu.

Aizstāšanas rezultātā tika iegūts vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem. Mēs atdalām mainīgos un integrējam.

Kāda svētība, eksponenti arī atceļ:

Atrastajai funkcijai pievienojam “normālu” konstanti:

Pēdējā posmā mēs atceramies par mūsu nomaiņu:

Funkcija tikko atrasta!

Tātad vispārējais risinājums ir:

Atbilde: kopīgs lēmums:

Ja izdrukāsiet abus risinājumus, jūs viegli pamanīsit, ka abos gadījumos mēs atradām vienus un tos pašus integrāļus. Vienīgā atšķirība ir risinājuma algoritmā.

Tagad par kaut ko sarežģītāku es komentēšu arī otro piemēru:

2. piemērs

Atrodiet diferenciālvienādojuma vispārīgo risinājumu
(Atšķirība no nodarbības piemēra Nr. 8 Lineāri nehomogēni 1. kārtas diferenciālvienādojumi)

Risinājums: Reducēsim vienādojumu līdz formai :

Atiestatīsim labo pusi un atrisināsim palīgvienādojumu:

Palīgvienādojuma vispārīgs risinājums:

Nehomogēnā vienādojumā mēs veicam aizstāšanu:

Saskaņā ar produktu diferenciācijas noteikumu:

Aizstāsim un sākotnējā nehomogēnā vienādojumā:

Kreisajā pusē esošie divi termini atceļas, kas nozīmē, ka esam uz pareizā ceļa:

Integrēsim pa daļām. Garšīgais burts no integrācijas pa daļām formulas jau ir iekļauts risinājumā, tāpēc izmantojam, piemēram, burtus “a” un “be”:

Tagad atcerēsimies nomaiņu:

Atbilde: kopīgs lēmums:

Un viens piemērs priekš neatkarīgs lēmums:

3. piemērs

Atrodiet konkrētu risinājumu diferenciālvienādojumam, kas atbilst dotajam sākuma nosacījumam.

,
(Atšķirība no nodarbības piemēra Nr. 4 Lineāri nehomogēni 1. kārtas diferenciālvienādojumi)
Risinājums:
Šis DE ir lineāri nehomogēns. Mēs izmantojam patvaļīgu konstantu variācijas metodi. Atrisināsim palīgvienādojumu:

Mēs atdalām mainīgos un integrējam:

Kopīgs lēmums:
Nehomogēnā vienādojumā mēs veicam aizstāšanu:

Veiksim aizstāšanu:

Tātad vispārējais risinājums ir:

Atradīsim konkrētu risinājumu, kas atbilst dotajam sākuma nosacījumam:

Atbilde: privāts risinājums:

Risinājums nodarbības beigās var kalpot kā piemērs uzdevuma pabeigšanai.

Patvaļīgu konstantu variācijas metode
lineāram nehomogēnam otrās kārtas vienādojumam
ar nemainīgiem koeficientiem

Esmu bieži dzirdējis viedokli, ka otrās kārtas vienādojuma patvaļīgu konstantu mainīšanas metode nav vienkārša. Bet es pieņemu sekojošo: visticamāk, metode daudziem šķiet grūta, jo tā nenotiek tik bieži. Taču patiesībā nekādu īpašu grūtību nav – lēmuma gaita ir skaidra, caurspīdīga un saprotama. Un skaisti.

Metodes apguvei vēlams spēt atrisināt nehomogēnus otrās kārtas vienādojumus, izvēloties konkrētu risinājumu pēc labās puses formas. Šī metode detalizēti apspriests rakstā Neviendabīgi 2. kārtas DE. Atgādinām, ka otrās kārtas lineāram nehomogēnam vienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem ir šāda forma:

Atlases metode, kas tika apspriesta iepriekš minētajā nodarbībā, darbojas tikai ierobežotā skaitā gadījumu, kad labajā pusē ir polinomi, eksponenciāli, sinusus un kosinusus. Bet ko darīt, ja labajā pusē, piemēram, ir daļskaitlis, logaritms, tangenss? Šādā situācijā palīgā nāk konstantu variācijas metode.

4. piemērs

Atrodiet vispārīgu otrās kārtas diferenciālvienādojuma risinājumu

Risinājums: Labajā pusē dots vienādojums ir daļa, tāpēc uzreiz varam teikt, ka konkrēta risinājuma izvēles metode nedarbojas. Mēs izmantojam patvaļīgu konstantu variācijas metodi.

Nav pērkona negaisa pazīmju, risinājuma sākums ir pilnīgi parasts:

Mēs atradīsim kopīgs lēmums atbilstošs viendabīgs vienādojumi:

Sastādām un atrisināsim raksturīgo vienādojumu:


– tiek iegūtas konjugētas kompleksās saknes, tāpēc vispārējais risinājums ir:

Pievērsiet uzmanību vispārējā risinājuma ierakstam - ja ir iekavas, atveriet tās.

Tagad mēs veicam gandrīz tādu pašu triku kā pirmās kārtas vienādojuma gadījumā: mainām konstantes, aizstājot tās ar nezināmām funkcijām. Tas ir, nehomogēna vispārējs risinājums mēs meklēsim vienādojumus šādā formā:

Kur - tagad nezināmas funkcijas.

Izskatās pēc sadzīves atkritumu izgāztuves, bet tagad visu sašķirosim.

Nezināmie ir funkciju atvasinājumi. Mūsu mērķis ir atrast atvasinājumus, un atrastajiem atvasinājumiem jāatbilst gan sistēmas pirmajam, gan otrajam vienādojumam.

No kurienes nāk "grieķi"? Stārķis tos atnes. Mēs skatāmies uz iepriekš iegūto vispārējo risinājumu un rakstām:

Atradīsim atvasinājumus:

Kreisās daļas ir apstrādātas. Kas atrodas labajā pusē?

ir sākotnējā vienādojuma labā puse, šajā gadījumā:

Koeficients ir otrā atvasinājuma koeficients:

Praksē gandrīz vienmēr, un mūsu piemērs nav izņēmums.

Viss ir skaidrs, tagad varat izveidot sistēmu:

Sistēma parasti tiek atrisināta pēc Krāmera formulām izmantojot standarta algoritmu. Vienīgā atšķirība ir tā, ka skaitļu vietā mums ir funkcijas.

Atradīsim galveno sistēmas noteicēju:

Ja esat aizmirsis, kā tiek atklāts noteicošais faktors "divreiz divi", skatiet nodarbību Kā aprēķināt determinantu? Saite ved uz kauna dēli =)

Tātad: tas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums.

Atvasinājuma atrašana:

Bet tas vēl nav viss, līdz šim esam atraduši tikai atvasinājumu.
Pati funkcija tiek atjaunota, integrējot:

Apskatīsim otro funkciju:

Šeit mēs pievienojam “normālu” konstanti

Risinājuma pēdējā posmā mēs atceramies, kādā formā mēs meklējām vispārīgu risinājumu nehomogēnā vienādojumam? Šādā:

Jums vajadzīgās funkcijas ir tikko atrastas!

Atliek tikai veikt aizstāšanu un pierakstīt atbildi:

Atbilde: kopīgs lēmums:

Principā atbilde varēja paplašināt iekavas.

Pilnīga atbildes pārbaude tiek veikta saskaņā ar standarta shēmu, kas tika apspriesta nodarbībā. Neviendabīgi 2. kārtas DE. Bet pārbaude nebūs viegla, jo ir jāatrod diezgan smagi atvasinājumi un jāveic apgrūtinoša aizstāšana. Tā ir nepatīkama īpašība, risinot šādus difuzorus.

5. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu, mainot patvaļīgas konstantes

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Patiesībā labajā pusē ir arī daļa. Atcerēsimies trigonometriskā formula, starp citu, tas būs jāpielieto risinājuma laikā.

Patvaļīgu konstantu variācijas metode ir universālākā metode. Tas var atrisināt jebkuru vienādojumu, ko var atrisināt konkrēta risinājuma izvēles metode, pamatojoties uz labās puses formu. Rodas jautājums: kāpēc arī tur neizmantot patvaļīgu konstantu variācijas metodi? Atbilde ir acīmredzama: konkrēta risinājuma izvēle, kas tika apspriesta klasē Nehomogēni otrās kārtas vienādojumi, ievērojami paātrina risinājumu un saīsina ierakstu – nav jārēķinās ar determinantiem un integrāļiem.

Apskatīsim divus piemērus ar Cauchy problēma.

6. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas atbilst dotajiem sākuma nosacījumiem

,

Risinājums: Atkal daļa un eksponents iekšā interesanta vieta.
Mēs izmantojam patvaļīgu konstantu variācijas metodi.

Mēs atradīsim kopīgs lēmums atbilstošs viendabīgs vienādojumi:



– tiek iegūtas dažādas reālās saknes, tāpēc vispārējais risinājums ir:

Nehomogēna vispārējs risinājums mēs meklējam vienādojumus formā: , kur – tagad nezināmas funkcijas.

Izveidosim sistēmu:

Šajā gadījumā:
,
Atvasinājumu atrašana:
,

Tādējādi:

Atrisināsim sistēmu, izmantojot Krāmera formulas:
, kas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums.

Mēs atjaunojam funkciju, integrējot:

Izmantots šeit metode funkcijas summēšanai zem diferenciālzīmes.

Mēs atjaunojam otro funkciju, integrējot:

Šis integrālis ir atrisināts mainīgā aizstāšanas metode:

No pašas nomaiņas mēs izsakām:

Tādējādi:

Šo integrāli var atrast pilnīga kvadrātveida ekstrakcijas metode, bet piemēros ar difuzoriem es dodu priekšroku frakcijas paplašināšanai nenoteikto koeficientu metode:

Atrastas abas funkcijas:

Rezultātā nehomogēnā vienādojuma vispārējais risinājums ir:

Atradīsim konkrētu risinājumu, kas atbilst sākotnējiem nosacījumiem .

Tehniski risinājuma meklēšana tiek veikta standarta veidā, kas tika apspriests rakstā Otrās kārtas nehomogēni diferenciālvienādojumi.

Pagaidiet, tagad mēs atradīsim atrastā vispārējā risinājuma atvasinājumu:

Tas ir tāds apkaunojums. Nav nepieciešams to vienkāršot, ir vieglāk uzreiz izveidot vienādojumu sistēmu. Saskaņā ar sākotnējiem nosacījumiem :

Aizstāsim konstantu atrastās vērtības uz vispārējo risinājumu:

Atbildē logaritmus var nedaudz iepakot.

Atbilde: privāts risinājums:

Kā redzat, grūtības var rasties integrāļos un atvasinājumos, bet ne pašā algoritmā patvaļīgu konstantu variācijas metodei. Ne es jūs iebiedēju, tā ir visa Kuzņecova kolekcija!

Atpūtai pēdējais, vienkāršāks piemērs, kā to atrisināt pašam:

7. piemērs

Atrisiniet Košī problēmu

,

Piemērs ir vienkāršs, bet radošs, veidojot sistēmu, rūpīgi apskatiet to pirms lēmuma pieņemšanas ;-),




Rezultātā vispārējais risinājums ir šāds:

Atradīsim konkrētu risinājumu, kas atbilst sākotnējiem nosacījumiem .



Aizstāsim atrastās konstantu vērtības vispārējā risinājumā:

Atbilde: privāts risinājums:

Aplūkota metode lineāru nehomogēnu augstākas kārtas diferenciālvienādojumu atrisināšanai ar nemainīgiem koeficientiem ar Lagranža konstantu variācijas metodi. Lagranža metode ir piemērojama arī jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai, ja ir zināma homogēnā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēma.

Saturs

Skatīt arī:

Lagranža metode (konstantes izmaiņas)

Apsveriet lineāru nehomogēnu diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem patvaļīgiem n-tās kārtas koeficientiem:
(1) .
Konstantes variācijas metode, ko mēs apsvērām pirmās kārtas vienādojumam, ir piemērojama arī augstākās kārtas vienādojumiem.

Risinājums tiek veikts divos posmos. Pirmajā solī mēs atmetam labo pusi un atrisinām viendabīgo vienādojumu. Rezultātā mēs iegūstam risinājumu, kas satur n patvaļīgas konstantes. Otrajā posmā mēs mainām konstantes. Tas ir, mēs uzskatām, ka šīs konstantes ir neatkarīgā mainīgā x funkcijas un atrodam šo funkciju formu.

Lai gan mēs šeit apsveram vienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem, bet Lagranža metode ir piemērojama arī jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai. Tomēr, lai to izdarītu, ir jāzina homogēnā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēma.

1. solis. Homogēnā vienādojuma atrisināšana

Tāpat kā pirmās kārtas vienādojumu gadījumā, mēs vispirms meklējam homogēnā vienādojuma vispārējo atrisinājumu, pielīdzinot labo nehomogēnu pusi ar nulli:
(2) .
Šī vienādojuma vispārīgais risinājums ir:
(3) .
Šeit ir patvaļīgas konstantes; - n lineāri neatkarīgi viendabīga vienādojuma (2) atrisinājumi, kas veido šī vienādojuma atrisinājumu fundamentālu sistēmu.

2. solis. Konstantu variācija - konstantu aizstāšana ar funkcijām

Otrajā posmā mēs aplūkosim konstantu variācijas. Citiem vārdiem sakot, mēs aizstāsim konstantes ar neatkarīgā mainīgā x funkcijām:
.
Tas ir, mēs meklējam sākotnējā vienādojuma (1) risinājumu šādā formā:
(4) .

Ja mēs aizstājam (4) ar (1), mēs iegūstam vienu diferenciālvienādojumu n funkcijām. Šajā gadījumā mēs varam savienot šīs funkcijas ar papildu vienādojumiem. Tad jūs iegūstat n vienādojumus, no kuriem var noteikt n funkcijas. Var uzrakstīt papildu vienādojumus Dažādi ceļi. Bet mēs to darīsim tā, lai risinājumam būtu visvienkāršākā forma. Lai to izdarītu, diferencējot, ir jāpielīdzina nullei termini, kas satur funkciju atvasinājumus. Demonstrēsim to.

Lai piedāvāto risinājumu (4) aizstātu ar sākotnējo vienādojumu (1), jāatrod formā (4) ierakstītās funkcijas pirmo n kārtu atvasinājumi. Mēs atšķiram (4), izmantojot summas un reizinājuma diferencēšanas noteikumus:
.
Sagrupēsim dalībniekus. Vispirms mēs pierakstām terminus ar atvasinājumiem un pēc tam terminus ar atvasinājumiem no :

.
Uzliksim funkcijām pirmo nosacījumu:
(5.1) .
Tad izteiksmei pirmajam atvasinājumam attiecībā pret būs vienkāršāka forma:
(6.1) .

Izmantojot to pašu metodi, mēs atrodam otro atvasinājumu:

.
Uzliksim funkcijām otru nosacījumu:
(5.2) .
Tad
(6.2) .
Un tā tālāk. IN papildu nosacījumi, mēs pielīdzinām terminus, kas satur funkciju atvasinājumus, ar nulli.

Tādējādi, ja funkcijām izvēlamies šādus papildu vienādojumus:
(5.k) ,
tad pirmajiem atvasinājumiem attiecībā uz būs visvienkāršākā forma:
(6.k) .
Šeit .

Atrodiet n-to atvasinājumu:
(6.n)
.

Aizstājiet sākotnējo vienādojumu (1):
(1) ;






.
Ņemsim vērā, ka visas funkcijas atbilst (2) vienādojumam:
.
Tad terminu summa, kas satur, dod nulli. Rezultātā mēs iegūstam:
(7) .

Rezultātā mēs saņēmām sistēmu lineārie vienādojumi atvasinājumiem:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam izteiksmes atvasinājumiem kā funkciju no x. Integrējot, mēs iegūstam:
.
Šeit ir konstantes, kas vairs nav atkarīgas no x. Aizvietojot ar (4), mēs iegūstam sākotnējā vienādojuma vispārīgu risinājumu.

Ņemiet vērā, ka, lai noteiktu atvasinājumu vērtības, mēs nekad neesam izmantojuši faktu, ka koeficienti a i ir nemainīgi. Tāpēc Lagranža metode ir piemērojama jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai, ja ir zināma homogēnā vienādojuma (2) atrisinājumu fundamentālā sistēma.

Piemēri

Atrisiniet vienādojumus, izmantojot konstantu variācijas metodi (Lagrange).


Piemēru risinājums >>>

Skatīt arī: Pirmās kārtas vienādojumu atrisināšana ar konstantes variācijas metodi (Lagranža)
Augstākas kārtas vienādojumu risināšana, izmantojot Bernulli metodi
Augstākas kārtas lineāru nehomogēnu diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem atrisināšana ar lineāru aizstāšanu

Patvaļīgu konstantu variācijas metode

Patvaļīgu konstantu variācijas metode lineāra nehomogēna diferenciālvienādojuma risinājuma konstruēšanai

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

sastāv no patvaļīgu konstantu aizstāšanas c k vispārējā risinājumā

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

atbilstošs homogēns vienādojums

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

palīgfunkcijām c k (t) , kuras atvasinājumi apmierina lineāro algebrisko sistēmu

Sistēmas (1) determinants ir funkciju Vronskis z 1 ,z 2 ,...,z n , kas nodrošina tā unikālo atrisināmību attiecībā uz .

Ja ir antiatvasinājumi, kas ņemti ar fiksētām integrācijas konstantu vērtībām, tad funkcija

ir sākotnējā lineārā nehomogēnā diferenciālvienādojuma risinājums. Tādējādi nehomogēna vienādojuma integrācija atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārīga risinājuma klātbūtnē tiek reducēta uz kvadrātiem.

Patvaļīgu konstantu variācijas metode lineāru diferenciālvienādojumu sistēmas risinājumu konstruēšanai vektora normālā formā

sastāv no konkrēta risinājuma (1) konstruēšanas formā

Kur Z(t) ir atbilstošā viendabīgā vienādojuma atrisinājumu pamats, kas uzrakstīts matricas formā, un vektora funkcija , kas aizstāja patvaļīgu konstantu vektoru, tiek definēta ar attiecību . Nepieciešamais konkrētais risinājums (ar nulles sākotnējām vērtībām pie t = t 0 izskatās

Sistēmai ar nemainīgiem koeficientiem pēdējā izteiksme ir vienkāršota:

Matrica Z(t)Z– 1 (τ) sauca Cauchy matrica operators L = A(t) .