Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт. Лагранжийн олон гишүүнтээр функцийг интерполяци хийх Лабораторийн ажлын зорилго

Сегмент дээр тавь функц y=f(x)хүснэгтэд өгөгдсөн, өөрөөр хэлбэл. (x i , y i), (i=0,1,..,n),Хаана y i =f(x i).Энэ өгөгдсөн функцийг " гэж нэрлэдэг. тор».

Асуудлын томъёолол: олох алгебрийн олон гишүүнт (олон гишүүнт):

зэрэг өндөр биш nтиймэрхүү

L n (x i)=y i ,цагт i= 0,1,..,n,(5.6)

тэдгээр. өгөгдсөн зангилаанууд дээр байх xi, (би=0,1,..,n) тор функцтэй ижил утгууд цагт=f(x).

Олон гишүүнт өөрөө Ln(x)дуудсан интерполяцийн олон гишүүнт, мөн даалгавар нь олон гишүүнт интерполяци .

L n (x) олон гишүүнтийг ол.- энэ гэсэн үг түүний коэффициентийг олох a 0 , а 1 ,…, а n. Үүний тулд бий n+Үл мэдэгдэх шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр бичигдсэн 1 нөхцөл (5.6). би,(би=0, 1,…,n):

Хаана xби болон yби ( би=0,1,…,n) – аргумент ба функцийн хүснэгтийн утгууд.

Алгебрийн хичээлээс бид Вандермонде тодорхойлогч гэж нэрлэгддэг энэхүү системийн тодорхойлогч гэдгийг мэднэ.

тэг бишТиймээс (5.7) системд байна цорын ганц шийдвэр.

Коэффициентийг тодорхойлсны дараа а 0 , a 1 ,…,a n, шийдвэрлэх систем (5.7), бид гэж нэрлэгддэг олж авдаг Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтфункцийн хувьд f(x):

(5.8)

дараах байдлаар бичиж болно:

өгсөн нь нотлогдсон n+1 функцийн утгыг зурж болно Лагранжийн цорын ганц интерполяцийн олон гишүүнт(5.8).

Практикт Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтүүд эхний ( n= 1) ба хоёр дахь ( n= 2) градус.

At n=Интерполяцлагдсан функцийн тухай 1 мэдээлэл y=f(x)хоёр цэг дээр тодорхойлогддог: (х 0 , y 0 ) ба (x 1 , y 1 ), Лагранж олон гишүүнт хэлбэр нь байна

Учир нь n= 2 Лагранжийн олон гишүүнтийг гурван цэгийн хүснэгт ашиглан байгуулна

Шийдэл:Бид анхны өгөгдлийг (5.8) томъёонд орлуулна. Үүссэн Лагранжийн олон гишүүнтийн зэрэг нь 3-аас ихгүй байна, учир нь функц нь дөрвөн утгаараа тодорхойлогддог.

Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтийг ашиглан та ямар ч завсрын цэгээс функцийн утгыг олох боломжтой, жишээ нь: X=4:

= 43

Лагранж интерполяцийн олон гишүүнтүүд-д ашигласан төгсгөлөг элементийн арга, барилгын асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн хэрэглэгддэг.

Бусад интерполяцийн томъёог бас мэддэг, жишээлбэл, Ньютоны интерполяцийн томъёо, ижил зайтай зангилаа эсвэл интерполяцийн олон гишүүнт тохиолдолд интерполяцид ашигладаг Эрмита.

Сплайн интерполяци. Олон тооны интерполяцийн зангилаа ашиглахдаа тусгай техникийг ашигладаг - хэсэгчилсэн олон гишүүнт интерполяци, функцийг градусын олон гишүүнт интерполяци хийх үед Тзэргэлдээх торны зангилааны хооронд.

Функцуудын язгуур дундаж квадрат ойролцоо

Асуудлын томъёолол

RMS ойролцоогоорфункцууд нь функцийг ойртуулах аналитик илэрхийллийг олж авах өөр нэг арга юм. Ийм асуудлын нэг онцлог нь тодорхой хэв маягийг бий болгох анхны өгөгдөл нь тодорхой байдаг явдал юм ойролцоо тэмдэгт.

Энэ өгөгдлийг зарим туршилтын үр дүнд эсвэл зарим тооцооллын процессын үр дүнд олж авдаг. Үүний дагуу эдгээр өгөгдөл нь туршилтын алдаа (хэмжих төхөөрөмж, нөхцөл байдлын алдаа, санамсаргүй алдаа гэх мэт) эсвэл дугуйрсан алдааг агуулна.

Бид ямар нэгэн үзэгдэл, үйл явцыг судалж байна гэж бодъё. Ерөнхийдөө судалгааны объектыг зурагт үзүүлсэн кибернетик системээр ("хар хайрцаг") төлөөлж болно.

Хувьсагч Xнь бие даасан, хяналттай хувьсагч (оролтын параметр).

Хувьсагч Ю- энэ нь судалгааны объектын оролтын параметрийн нөлөөнд үзүүлэх хариу үйлдэл (хариу) юм. Энэ нь хамааралтай хувьсагч юм.

Энэхүү туршилтын үр дүнг боловсруулахдаа тодорхой функциональ хамаарлыг илрүүлсэн гэж үзье y=f(x)бие даасан хувьсагчийн хооронд Xболон хамааралтай хувьсагч у.Энэ хамаарлыг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэв. 5.1 утга x i , y i (i=1,2,…,n) туршилтын явцад олж авсан.

Хүснэгт 5.1

x i	x 1	x 2	…	x n
y i	y 1	y 2	…	у н

Хэрэв функцийн аналитик илэрхийлэл y=f(x)үл мэдэгдэх эсвэл маш хэцүү бол функцийг олох даалгавар гарч ирнэ у= j (X),хэний үнэ цэнэ x=xi, магадгүй арай өөр байсан байхтуршилтын өгөгдөл дээр үндэслэсэн би, (би=1,..,n). Тиймээс судалж буй хамаарлыг функцээр ойртуулна у= j (X)сегмент дээр [ x 1 ,xn]:

f(x)@ j (X). (5.9)

Ойролцоох функц у= j (X)дуудсан эмпирик томъёо (EF)эсвэл регрессийн тэгшитгэл (RE).

Эмпирик томьёо нь байгалийн хууль мэт дүр эсгэдэггүй, харин туршилтын өгөгдлүүдийг их бага хэмжээгээр хангалттай дүрсэлсэн таамаглал юм. Гэсэн хэдий ч тэдний ач холбогдол маш их юм. Шинжлэх ухааны түүхэнд амжилттай эмпирик томъёолол нь шинжлэх ухааны томоохон нээлтүүдэд хүргэсэн тохиолдол байдаг.

Эмпирик томъёо нь хангалттай, хэрэв энэ нь судалж буй объектыг дадлага хийхэд хангалттай нарийвчлалтайгаар дүрслэх боломжтой бол.

Энэ хамаарал юунд зориулагдсан бэ?

Хэрэв ойролцоогоор (5.9) олдвол дараахь боломжтой.

Сегментээс гадуур судалж буй объектын зан байдлын талаар таамаглах ( экстраполяци );

Сонго оновчтой судалж буй үйл явцын хөгжлийн чиглэл.

Регрессийн тэгшитгэл нь судалж буй объектын шинж чанар, дүрслэлийн шаардлагатай нарийвчлалаас хамааран өөр өөр хэлбэртэй, янз бүрийн түвшний нарийн төвөгтэй байж болно.

Геометрийн хувьдРегрессийн тэгшитгэл байгуулах даалгавар нь муруй зурах явдал юм Л: у= j (X) « магадгүй илүү ойр» туршилтын цэгүүдийн системийн зэргэлдээ M i (x i , y i), i= 1,2,..,н, хүснэгтээр өгсөн. 5.1 (Зураг 5.2).

Регрессийн тэгшитгэл (эмпирик функц) байгуулах нь 2 үе шатаас бүрдэнэ.

1. ерөнхий үзэл бодлыг сонгохрегрессийн тэгшитгэл,

2. түүний параметрүүдийг тодорхойлох.

Амжилттай сонголтРегрессийн тэгшитгэл нь аливаа процесс, үзэгдлийг судалж буй туршилтын туршлагаас ихээхэн хамаардаг.

Ихэнхдээ олон гишүүнт (олон гишүүн) нь регрессийн тэгшитгэл болгон сонгогддог.

Хоёр дахь даалгавар параметрүүдийг олохРегрессийн тэгшитгэлийг ердийн аргуудыг ашиглан шийддэг, жишээлбэл, хамгийн бага квадратын арга(LSM) нь ажиглалт, туршилт дээр үндэслэн аливаа загварыг судлахад өргөн хэрэглэгддэг.

Энэ аргын хөгжил нь өнгөрсөн үеийн алдартай математикч К.Гаусс, А.Легендре нарын нэртэй холбоотой юм.

Хамгийн бага квадрат арга

Туршилтын үр дүнг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэв гэж үзье. 5.1. Мөн регрессийн тэгшитгэлийг (5.11) хэлбэрээр бичнэ, өөрөөр хэлбэл. хамаарна ( м+1) параметр

Эдгээр үзүүлэлтүүд нь туршилтын цэгүүдтэй харьцуулахад регрессийн тэгшитгэлийн графикийн байршлыг тодорхойлно M i (x i , y i), i= 1,2,..,н(Зураг 5.2).

Гэсэн хэдий ч эдгээр параметрүүдийг дангаар нь тодорхойлдоггүй. Регрессийн тэгшитгэлийн график байрлахын тулд параметрүүдийг сонгох шаардлагатай. аль болох ойрхон» эдгээр туршилтын цэгүүдийн системд.

Үзэл баримтлалыг танилцуулъя хазайлтрегрессийн тэгшитгэлийн утгууд (5.11) хүснэгтийн утгаас y iУчир нь x i : , i= 1,2,..,н.

Ингээд авч үзье квадрат хазайлтын нийлбэр, аль ньхамаарна ( м+1) параметр

OLS-ийн дагуу хамгийн сайн коэффициентүүд a i(би=0,1,..,м) нь багасгадаг квадрат хазайлтын нийлбэр, өөрөөр хэлбэл.функц

Ашиглаж байна функцийн экстремумд шаардлагатай нөхцөлхэд хэдэн хувьсагч, бид гэж нэрлэгддэгийг авдаг хэвийн системүл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлох :

Ойролцоо (5.11) функцийн хувьд (5.14) систем нь үл мэдэгдэх шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем юм. .

Боломжит тохиолдлууд:

1. Хэрэв бол (5.13) функцийг багасгах хязгааргүй олон олон гишүүнт (5.11) байна.

2. Хэрэв m=n–1 бол функцийг (5.13) багасгадаг ганц олон гишүүнт (5.11) байна.

Илүү бага м, эмпирик томъёо нь энгийн байх тусмаа энэ нь үргэлж сайн байдаггүй. Үүний үр дүнд эмпирик томъёо байх ёстой гэдгийг санах нь зүйтэй хангалттайсудалж буй объект.

Регресс, интерполяци, тэгшитгэх аргыг ашиглан муруй болон гадаргууг өгөгдөлд тохируулах

Curve Fitting Toolbox™ нь муруй болон гадаргууг өгөгдөлд тохируулах програм, функцээр хангадаг. Хэрэгслийн хайрцаг нь танд хайгуулын өгөгдлийн дүн шинжилгээ хийх, боловсруулалтын өмнөх болон дараах өгөгдлийг боловсруулах, нэр дэвшигчдийн загваруудыг харьцуулах, хэт давсан үзүүлэлтүүдийг арилгах боломжийг олгодог. Та шугаман болон шугаман бус загваруудын санг ашиглан регрессийн шинжилгээ хийх эсвэл өөрийн тэгшитгэлээ тодорхойлж болно. Номын сан нь таны тохируулгын чанарыг сайжруулахын тулд оновчтой шийдэгчийн параметрүүд болон эхлэх нөхцлөөр хангадаг. Хэрэгслийн хайрцаг нь сплайн, интерполяци, тэгшитгэх зэрэг параметрийн бус загварчлалын аргуудыг дэмждэг.

Тохиромжтой байдлыг бий болгосны дараа график, интерполяци, экстраполяцид зориулж янз бүрийн дараах боловсруулалтын аргыг хэрэглэж болно; итгэлцлийн интервалын үнэлгээ; интеграл ба деривативыг тооцоолох.

Ажлын эхлэл

Curve Fitting Toolbox-ийн үндсийг сур

Шугаман ба шугаман бус регресс

Шугаман болон шугаман бус номын сангийн загвар, захиалгат загвар бүхий муруй эсвэл гадаргууг тохируулна уу

Интерполяци

Интерполяцийн муруй эсвэл гадаргууг тохируулах, мэдэгдэж буй өгөгдлийн цэгүүдийн хоорондох утгыг тооцоолох

Гөлгөр болгох

Тохиромжтой тэгшитгэх нь слот болон локалчлагдсан регресс, хөдөлгөөнт дундаж бүхий жигдрүүлсэн өгөгдөл болон бусад шүүлтүүрийг ашигладаг

Тохиромжтой дараах боловсруулалт

График гаралт, хэтийн утга, үлдэгдэл, итгэлцлийн интервал, баталгаажуулалтын өгөгдөл, интеграл ба дериватив нь MATLAB ® код үүсгэдэг.

Сплайн

Өгөгдөлтэй эсвэл өгөгдөлгүй сплайн үүсгэх; ppform, B-хэлбэр, тензор бүтээгдэхүүн, рациональ, stform нимгэн хавтангийн сплайн

Лагранжийн олон гишүүнт

Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт- өгөгдсөн багц цэг дээр өгөгдсөн утгыг авдаг хамгийн бага зэргийн олон гишүүнт. Учир нь n+ 1 хос тоо, бүх зүйл хаана байна x биялгаатай, өвөрмөц олон гишүүнт байдаг Л(x) зэрэг ахихгүй n, Үүний төлөө Л(x би) = y би .

Хамгийн энгийн тохиолдолд ( n= 1) өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын график нь шугаман олон гишүүнт юм.

Тодорхойлолт

Энэ жишээнд дөрвөн цэгийн (-9,5) , (-4,2) , (-1,-2) болон (7,9) олон гишүүнт Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтийг харуулж байна. y j l j (x), тус бүр нь сонгосон цэгүүдийн аль нэгээр дамжин өнгөрч, үлдсэн хэсэгт нь тэг утгыг авна x i

Функцийг авч үзье е(x) үнэ цэнэ нь мэдэгдэж байна y j = е(x j) зарим цэгүүдэд. Дараа нь бид энэ функцийг интерполяцлаж болно

Тухайлбал,

-аас интегралын утгууд л j-аас хамаарахгүй е(x) бөгөөд тэдгээрийг дарааллыг нь мэдэж, урьдчилан тооцоолж болно x би .

Интерполяцийн зангилааг сегмент дээр жигд хуваарилах тохиолдолд

Энэ тохиолдолд бид илэрхийлж болно x биинтерполяцийн зангилаа h ба эхлэх цэгийн хоорондох зайгаар дамжин x 0 :

,

Тиймээс

.

Эдгээр илэрхийллийг үндсэн олон гишүүнтийн томъёонд орлуулж, тоо ба хуваагч дахь үржүүлгийн тэмдгүүдээс h-ийг гаргаснаар бид олж авна.

Одоо та хувьсагчийн өөрчлөлтийг оруулж болно

-аас олон гишүүнтийг авна y, зөвхөн бүхэл тооны арифметик ашиглан бүтээгдсэн. Энэ аргын сул тал нь тоонуудын олон байт дүрслэл бүхий алгоритмуудыг ашиглахыг шаарддаг тоо ба хуваагчийн хүчин зүйлийн нарийн төвөгтэй байдал юм.

Гадаад холбоосууд

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Лагранж олон гишүүнт" гэж юу болохыг харна уу.

Өгөгдсөн f(x) функцийг x 0, x1,..., x n цэгүүдэд интерполяци хийх n зэрэгтэй олон гишүүнт тэмдэглэгээний хэлбэр (Лагранж интерполяцийн олон гишүүнт): x i-ийн утга ижил зайд байх тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл (x x0)/h=t томьёо (1)…… Математик нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн хувьд нэг хувьсагчийн олон гишүүнт эсвэл олон гишүүнт нь ci нь тогтмол коэффициент, x нь хувьсагч гэсэн хэлбэрийн функцууд юм. Олон гишүүнтүүд нь үндсэн функцүүдийн хамгийн чухал ангиллын нэг юм. Олон гишүүнт тэгшитгэл, тэдгээрийн шийдлийн судалгаа... ... Википедиа

Тооцооллын математикийн хувьд Бернштейний олон гишүүнт нь Бернштейний үндсэн олон гишүүнтүүдийн шугаман хослол болох алгебрийн олон гишүүнт юм. Бернштэйн хэлбэрээр олон гишүүнтийг тооцоолох тогтвортой алгоритм нь алгоритм юм... ... Wikipedia

Өгөгдсөн цэг дээр өгөгдсөн утгыг авдаг хамгийн бага зэргийн олон гишүүнт. Бүгд өөр хос тоонуудын хувьд хамгийн ихдээ тохирох зэрэгтэй олон гишүүнт байдаг. Хамгийн энгийн тохиолдолд (... Википедиа

Лагранж интерполяцийн олон гишүүн Өгөгдсөн цэг дээр өгөгдсөн утгыг авдаг хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнт. Бүх xi нь өөр n + 1 хос тооны хувьд хамгийн ихдээ n зэрэгтэй өвөрмөц олон гишүүнт L(x) байдаг бөгөөд L(xi) = yi.... ... Wikipedia

Лагранж интерполяцийн олон гишүүн Өгөгдсөн цэг дээр өгөгдсөн утгыг авдаг хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнт. Бүх xi нь өөр n + 1 хос тооны хувьд хамгийн ихдээ n зэрэгтэй өвөрмөц олон гишүүнт L(x) байдаг бөгөөд L(xi) = yi.... ... Wikipedia

Функцийн талаар үзнэ үү: Интерполант. Тооцооллын математик дахь интерполяци нь мэдэгдэж буй утгуудын одоо байгаа салангид багцаас хэмжигдэхүүний завсрын утгыг олох арга юм. Шинжлэх ухаан, инженерийн тооцооллыг ихэвчлэн хийдэг хүмүүсийн ихэнх нь ... Википедиа

Функцийн талаар үзнэ үү: Интерполант. Тооцооллын математикт интерполяци, интерполяци гэдэг нь мэдэгдэж буй утгуудын одоо байгаа салангид багцаас хэмжигдэхүүний завсрын утгыг олох арга юм. Шинжлэх ухааны болон... ... Википедиатай тулгарсан хүмүүсийн ихэнх нь

Бид интерполяцийн олон гишүүнт хэлбэрийг хайх болно

ВАНДЕРМОНД АЛЕКСАНДР ТЕОПИЛЬ (Vandermonde Alexandre Theophill; 1735-1796) - Францын математикч, гол бүтээлүүд нь алгебртай холбоотой. В. тодорхойлогчдын онолын (Вандермондын тодорхойлогч) үндэс суурийг тавьж, логик танилцуулга хийж, мөн шугаман тэгшитгэлийн онолоос тусгаарласан. Тэрээр хоёр дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг ашиглан тодорхойлогчдыг өргөжүүлэх дүрмийг нэвтрүүлсэн.

Энд 1.(x)- нөхцөлийг хангасан n зэрэгтэй олон гишүүнт, ЛАГРАНЖИЙН НӨЛӨӨЛӨЛИЙН POLYNOMIALS гэж нэрлэгддэг.

Сүүлийн нөхцөл нь аливаа олон гишүүнтийг хэлнэ l t (x)бүрийн хувьд тэгтэй тэнцүү байна x-yбусад X. цагтөөрөөр хэлбэл x 0 y x v ...» x ( _ v x i + v ...» x nнь энэ олон гишүүнтийн үндэс юм. Тиймээс Лагранжийн олон гишүүнтүүд Ifjx)шиг харагдах

Нөхцөлөөр 1.(x.) = 1, тэгвэл

Ийнхүү Лагранжийн нөлөөллийн олон гишүүнт хэлбэрт бичигдэнэ

ба интерполяцийн олон гишүүнт (2.5) хэлбэрээр бичнэ

ЛАГРАНЖ ЖОЗЕФ ЛУИС (Lagrange Joseph Louis; 1736-1813) - Францын нэрт математикч, механикч, түүний хамгийн чухал бүтээлүүд нь вариацын тооцоо, аналитик болон онолын механиктай холбоотой байдаг. Л.-ийн статик нь боломжит (виртуал) хөдөлгөөний зарчимд тулгуурласан. Тэрээр ерөнхий координатуудыг танилцуулж, механик системийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг өөрийн нэрээр нэрлэсэн хэлбэрийг өгсөн. L. шинжилгээний салбарт хэд хэдэн чухал үр дүнг олж авсан (Тэйлорын цувралын үлдэгдлийн томъёо, хязгаарлагдмал өсөлтийн томъёо, нөхцөлт экстремумын онол); онолын хувьд тоо(Лагранжийн теорем); алгебр (үргэлжлүүлсэн бутархайн онол, квадрат хэлбэрийг квадратуудын нийлбэр болгон багасгах); дифференциал тэгшитгэлийн онолд (хэргийг олох шийдлүүд 1-р эрэмбийн ердийн дифференциал тэгшитгэлийг судлах, хүссэн функц болон бие даасан хувьсагчийн хувьд шугаман, хүссэн функцийн деривативаас хамааран хувьсах коэффициенттэй); интерполяцийн онолд (Лагранжийн интерполяцийн томъёо).

(2.6) хэлбэрийн интерполяцийн олон гишүүнтийг ЛАГРАНЖ ИНТЕРПОЛЯЦИЙН POLYNOMIAL гэж нэрлэдэг. Интерполяцийн олон гишүүнт бичих энэ хэлбэрийн гол давуу талуудыг жагсаацгаая.

• Лагранжийн олон гишүүнтийг бүтээхэд шаардагдах арифметик үйлдлийн тоо нь пропорциональ байна n 2бүх тэмдэглэгээний хэлбэрийн хувьд хамгийн бага нь юм.
• Формула (2.6) нь интерполяцийн зангилаа дахь функцүүдийн утгыг тодорхой агуулдаг бөгөөд энэ нь зарим тооцоололд, ялангуяа тоон интеграцийн томъёог бүтээхэд тохиромжтой.
• Томъёо (2.6) нь ижил зайтай ба тэгш бус зайтай зангилааны аль алинд нь хамаарна.
• Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнт нь функцын утгууд өөрчлөгдөх боловч интерполяцийн зангилаанууд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх үед ялангуяа ашигтай байдаг бөгөөд энэ нь олон туршилтын судалгаанд байдаг.

Энэхүү бичлэгийн хэлбэрийн сул тал нь зангилааны тоо өөрчлөгдөхөд бүх тооцоог дахин хийх шаардлагатай болдог. Энэ нь үнэн зөв байдлын posteriori тооцоолол хийхэд хүндрэл учруулдаг (тооцооллын явцад олж авсан тооцоо).

ω l f , = (x - x 0)(x - Xj)...(x -) функцийг танилцуулъя. x p)=fl(*“*;)

Тэрийг тэмдэглэ w n + : (x) байназэрэгтэй олон гишүүнт n + 1.Дараа нь (2.6) томъёог хэлбэрээр бичиж болно

Лагранжийн дагуу шугаман болон квадрат интерполяцийн томъёог энд оруулав.

Лагранжийн олон гишүүнт нь (2.8) томъёоны 1-р зэргийн олон гишүүнт, (2.9) томъёоны 2-р зэргийн олон гишүүнт юм.

Эдгээр томъёог практикт ихэвчлэн ашигладаг. Өгчихье (n + 1) интерполяцийн нэгж. Эдгээр зангилаанууд дээр нэг интерполяцийн олон гишүүнтийг байгуулж болно П-р зэрэг, (P - 1) нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт ба түүнээс бага зэрэгтэй олон гишүүнтийн том багц П,эдгээр зангилааны заримыг үндэслэн. Онолын хувьд өндөр зэрэглэлийн олон гишүүнтүүд нь хамгийн их нарийвчлалыг өгдөг. Гэсэн хэдий ч практик дээр олон гишүүнтийн их хэмжээний коэффициентийг тооцоолохдоо алдаа гаргахгүйн тулд бага зэрэгтэй олон гишүүнтүүдийг ихэвчлэн ашигладаг.

Зангилааны тодорхой дарааллаар сегмент дээр функцийг утгын хамт зааж өгье, энд. Алгебрийн интерполяцийн даалгавар нь интерполяцийн нөхцлийг хангасан зэрэгтэй олон гишүүнтийг бий болгох явдал юм.

Анхны цэгүүдэд өгөгдсөн утгыг авч, -ээс ихгүй өвөрмөц олон гишүүнт байдаг нь мэдэгдэж байна. Олон гишүүнт коэффициентийг тэгшитгэлийн системээс тодорхойлж болно.

Энэ системийн тодорхойлогч нь Вандермонде тодорхойлогч тул систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Жишээ.Функцтэй давхцах интерполяцийн олон гишүүнт байгуул цэгүүдэд.

Шийдэл.Болъё , тэгэхээр бидэнд байна

Тиймээс цагт.

Лагранжийн олон гишүүнт

Бид олон гишүүнтийг градусын багцын шугаман хослол хэлбэрээр хайх болно:.

Энэ тохиолдолд бид 1-тэй тэнцүү байх нэгийг эс тооцвол бүх интерполяцийн зангилааны олон гишүүнтийг шаардах болно. Эдгээр нөхцөл нь хэлбэрийн олон гишүүнт хангагдсан эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

.

Үнэхээр,. Илэрхийллийн илтгэгч нь 0. Аналогиар бид:

,

Эдгээр томъёог анхны олон гишүүнтэд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ томьёог Лагранж интерполяцийн олон гишүүнт гэж нэрлэдэг.

Жишээ.Цэгүүд дэх функцтэй давхцах Лагранжийн интерполяцийн олон гишүүнтийг байгуул

.

Шийдэл.Ширээ хийцгээе

Эдгээр утгыг Лагранжийн томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв функц нь 3-р дарааллыг багтаасан хүртэл тасралтгүй дифференциалагддаг бол Лагранж хэлбэрийн интерполяцийн олон гишүүнтийн үлдсэн гишүүн дараах хэлбэртэй байна.

интерполяцийн зангилаа ба цэгийг агуулсан хамгийн бага сегментийн дотоод цэг хаана байна.

Төгсгөлийн ялгаа бүхий Ньютоны олон гишүүнт

Ижил зайтай интерполяцийн зангилааны тохиолдлыг авч үзье, өөрөөр хэлбэл - алхам гэж нэрлэдэг.

Төгсгөлийн ялгааны тухай ойлголтыг танилцуулъя. Зангилаа дахь функцийн утгуудыг мэдэгдээрэй. Функцийн утгуудын ялгааг гаргая:

Эдгээр ялгааг нэгдүгээр эрэмбийн ялгаа гэж нэрлэдэг.

Та хоёр дахь эрэмбийн ялгааг гаргаж болно:

K-р эрэмбийн ялгааг ижил төстэй байдлаар байгуулав.

Төгсгөлийн ялгааг функцийн утгаар шууд илэрхийлье.

Тиймээс, ямар ч k хувьд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Зангилаа дахь ялгааны утгуудын хувьд энэ томъёог бичье.

Хязгаарлагдмал ялгааг ашиглан бид тодорхойлж болно

Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнтийг бүтээх ажилд орцгооё. Бид энэ олон гишүүнтийг хэлбэрээр хайх болно

Олон гишүүнтийн график нь өгөгдсөн зангилаануудаар дамжих ёстой, өөрөөр хэлбэл. Олон гишүүнтийн коэффициентийг олохын тулд бид эдгээр нөхцлийг ашигладаг.

Эндээс коэффициентүүдийг олъё:

Тиймээс аливаа -р коэффициентийн хувьд томъёо нь хэлбэрийг авна

.

Эдгээр томьёог Ньютоны олон гишүүнтийн илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараах хэлбэрийг олж авна.

Үр дүнгийн томъёог өөр хэлбэрээр бичиж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хувьсагчийг танилцуулж байна.

Энэ тохиолдолд

Эдгээр хамаарлыг харгалзан Ньютоны олон гишүүнт томъёог дараах байдлаар бичиж болно

Үүссэн илэрхийлэл нь аргументийн өөрчлөлтийн бүх хэсэгт энэ функцийг ойролцоолуулж болно. Гэсэн хэдий ч (тооцооллын нарийвчлалыг нэмэгдүүлэх, үүссэн томъёоны нэр томьёоны тоог багасгах үүднээс) зөвхөн тухайн тохиолдлоор хязгаарлах, өөрөөр хэлбэл энэ томьёог хүн бүрт ашиглахыг зөвлөж байна. Бусад тохиолдолд оронд нь ifpri-г хүлээн авна уу. Энэ тохиолдолд интерполяцийн олон гишүүнтийг дараах байдлаар бичиж болно

Үүссэн томъёог Ньютоны анхны интерполяцийн олон гишүүнт гэж нэрлэдэг. Энэхүү интерполяцийн томъёог ихэвчлэн авч үзэж буй сегментийн зүүн тал дахь цэгүүд дэх функцийн утгыг тооцоолоход ашигладаг. Үүнийг дараах байдлаар тайлбарлав: ялгааг функцийн утгуудаар тооцдог ба. Ийм учраас бид их хэмжээний үнээр илүү өндөр захиалгыг тооцоолж чадахгүй.

Харж буй сегментийн баруун хагасын хувьд баруунаас зүүн тийш ялгааг тооцоолох нь дээр. Энэ тохиолдолд Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнтийг дараах хэлбэрээр авч болно.

Үүссэн томьёог хоёр дахь хоцрогдсон интерполяцийн олон гишүүнт гэж нэрлэдэг.

Жишээ.Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнтийг ашиглан функцийг хүснэгтээр өгөгдсөн болохыг тооцоол

Шийдэл.Бид хязгаарлагдмал ялгааны хүснэгтийг үүсгэдэг.

Тооцоолохын тулд Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнтийг дэвшүүлье

Жишээ.Хүснэгтийг зааж өгсөн. олох.

Тооцоолохдоо бид тавьдаг

.

Тооцоолохдоо бид тавьдаг

.

Ньютоны томьёогийн алдааг урагш хойш нь тооцоод үзье.

Ойролцоогоор ялгах томьёо нь Ньютоны анхны интерполяцийн томъёонд тулгуурладаг. Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнт хэлбэртэй байна

Хоёр гишүүнийг үржүүлснээр бид олж авна

учир нь , Тэр

Үүний нэгэн адил та ямар ч дарааллын функцүүдийн деривативыг тооцоолж болно.

Зарим тохиолдолд үндсэн хүснэгтийн цэгүүдээс функцүүдийн деривативуудыг олох шаардлагатай байдаг. Хүснэгтийн утгыг анхны утга гэж үзэж болох тул үүнийг тавихад бид байна

Ньютоны нэгдүгээр эрэмбийн олон гишүүнтийн деривативын хувьд алдааг томъёогоор тооцоолж болно ,

Ньютоны олон гишүүнт хязгаарлагдмал ялгааны тоо хаана байна.

Жишээ.Хүснэгтэнд өгөгдсөн функцийг ол.

Шийдэл.

Алдааг тооцоолохдоо бид дараахь зүйлийг авна.

.

Үнэхээр, .

Тиймээс үр дүн нь дөрөв дэх цифр хүртэл давхцаж байна.