МЭӨ 5-р зуунд эртний Грекийн философич Зено Элеа өөрийн алдартай апориа томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байна, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад математикийн шинжилгээ, олонлогын онол, шинэ физик, философийн хандлагыг оролцуулсан; ; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдвэрлэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн Апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс . Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн төхөөрөмж хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэлгээний инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай утгад ашигладаг. Физик талаас нь харвал энэ нь Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид бүрэн зогстол цаг удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг бүрэн шийдэж чадахгүй. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх ёстой хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор биш, хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч байгаа зүйл бол цаг хугацааны хоёр цэг, орон зайн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.

2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг

Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.

Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.

Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер өөр гүүрүүдийг барьсан.

Математикчид “намайг бод, би гэртээ байна” гэх, эс тэгвээс “математик хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг” гэсэн хэллэгийн ард яаж нуугдаж байсан ч тэдгээрийг бодит байдалтай салшгүй холбодог хүйн ​​зангилаа байдаг. Энэ хүйн ​​бол мөнгө. Математик олонлогын онолыг математикчдад өөрсдөө хэрэгжүүлцгээе.

Математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авах болно гэдгийг математикчд тайлбарлая. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.

Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийн тухай дурсан санаж эхэлнэ: янз бүрийн зоосон мөнгө өөр өөр хэмжээтэй, атомын талст бүтэц, зохион байгуулалт нь зоос бүрийн хувьд өвөрмөц байдаг ...

Одоо надад хамгийн сонирхолтой асуулт байна: олон багцын элементүүд олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байна вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ойрхон ч биш юм.

Энд харах. Бид ижил талбайтай хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдийг сонгодог. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.

Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.

2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг

Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөө нарын хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ тэд бөө учраас үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, эс бөгөөс бөө нар зүгээр л үхэх болно.

Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.

Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.

1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

2. Бид үр дүнгийн нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хуваасан. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.

3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ. Одоо энэ бол математик.

12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нарын заадаг “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.

Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тиймээс өөр өөр тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тоон баруун талд байрлах доод үсэг болгон заадаг. 12345 гэсэн том тоогоор би толгойгоо хуурахыг хүсэхгүй байна, нийтлэл дэх 26 дугаарыг авч үзье. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй. Үр дүнг харцгаая.

Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.

Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг тооллын систем нь тоонуудын хэмжүүрийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжих өөр өөр нэгжтэй ижил үйлдэл нь тэдгээрийг харьцуулсны дараа өөр өөр үр дүнд хүргэдэг бол энэ нь математиктай ямар ч холбоогүй болно.

Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ нь математикийн үйлдлийн үр дүн нь тоон хэмжээ, ашигласан хэмжүүрийн нэгж, энэ үйлдлийг хэн гүйцэтгэж байгаагаас хамаарахгүй байх үед юм.

Хаалган дээр гарын үсэг зурна уу Тэр хаалгыг онгойлгоод:

Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийг тэнгэрт өргөгдсөнийхөө ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?

Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.

Хэрэв дизайны урлагийн ийм бүтээл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол

Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.

Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж бодохгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг мэдрэх хүчтэй хэвшмэл ойлголттой. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.

1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ нь "баасан хүн" буюу арван зургаатын тооллын "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.

Геометрийн хувьд дараахь төрлийн параллелепипедийг ялгадаг: тэгш өнцөгт параллелепипед (параллелепипедийн нүүр нь тэгш өнцөгт); баруун параллелепипед (түүний хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгтийн үүрэг гүйцэтгэдэг); налуу параллелепипед (түүний хажуугийн нүүр нь перпендикуляраар ажилладаг); куб нь яг ижил хэмжээтэй параллелепипед бөгөөд шоогийн нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Параллелепипед нь налуу эсвэл шулуун байж болно.

Параллелепипедийн гол элементүүд нь танилцуулсан геометрийн дүрсийн нийтлэг ирмэггүй хоёр нүүр нь эсрэгээрээ, байгаа нь зэргэлдээ байдаг. Нэг нүүрэнд хамаарахгүй параллелепипедийн оройнууд нь эсрэгээрээ ажилладаг. Параллелепипед нь хэмжээстэй байдаг - эдгээр нь нийтлэг оройтой гурван ирмэг юм.

Эсрэг талын оройг холбосон шугамыг диагональ гэж нэрлэдэг. Нэг цэгт огтлолцсон параллелепипедийн дөрвөн диагональ нь нэгэн зэрэг хагас хуваагдана.

Параллелепипедийн диагональыг тодорхойлохын тулд асуудлын нөхцлөөс мэдэгдэж буй талууд ба ирмэгийг тодорхойлох шаардлагатай. Мэдэгдэж байгаа гурван хавиргатай А , IN , ХАМТ параллелепипед дээр диагональ зур. Бүх өнцөг нь зөв гэж хэлдэг параллелепипедийн шинж чанарын дагуу диагональ нь тодорхойлогддог. Параллелепипедийн аль нэг нүүрнээс диагональ зур. Диагональуудыг нүүрний диагональ, параллелепипедийн хүссэн диагональ ба мэдэгдэж буй ирмэг нь гурвалжин үүсгэх байдлаар зурах ёстой. Гурвалжин үүссэний дараа энэ диагоналийн уртыг ол. Нөгөө гурвалжны диагональ нь гипотенузын үүрэг гүйцэтгэдэг тул үүнийг квадрат язгуурын доор авах ёстой Пифагорын теоремыг ашиглан олж болно. Ингэснээр бид хоёр дахь диагональын утгыг мэддэг. Үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжин дахь параллелепипедийн эхний диагональыг олохын тулд үл мэдэгдэх гипотенузыг (Пифагорын теоремыг ашиглан) олох шаардлагатай. Үүнтэй ижил жишээг ашиглан параллелепипед дотор байгаа үлдсэн гурван диагональуудыг дараалан олж, тэгш өнцөгт гурвалжин үүсгэх диагональуудын нэмэлт бүтцийг хийж, Пифагорын теоремыг ашиглан шийд.

Тэгш өнцөгт параллелепипед (PP) нь призмээс өөр зүйл биш бөгөөд түүний суурь нь тэгш өнцөгт юм. PP-ийн хувьд бүх диагональууд тэнцүү бөгөөд энэ нь түүний диагональуудын аль нэгийг дараах томъёогоор тооцоолно гэсэн үг юм.

a, c - PP-ийн суурийн талууд;

c нь түүний өндөр юм.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг харгалзан өөр нэг тодорхойлолтыг өгч болно.

PP диагональ нь декартын координатын систем дэх x, y, z координатуудаар тодорхойлогдсон орон зайн аль ч цэгийн радиус вектор юм. Цэг хүртэлх энэ радиус векторыг эхээс зурсан. Мөн цэгийн координатууд нь радиус векторын (PP-ийн диагональ) координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд байх болно.

1055; төсөөлөл нь энэ параллелепипедийн оройтой давхцаж байна.

Параллелепипед ба түүний төрлүүд

Хэрэв бид түүний нэрийг эртний Грек хэлнээс шууд орчуулбал энэ нь параллель хавтгайгаас бүрдсэн дүрс болох нь харагдаж байна. Параллелепипедийн дараах ижил төстэй тодорхойлолтууд байдаг.

• параллелограмм хэлбэрийн суурьтай призм;
• нүүр бүр нь параллелограмм болох олон өнцөгт.

Түүний төрлүүд нь түүний суурь дээр ямар дүрс, хажуугийн хавирга хэрхэн чиглүүлж байгаагаас хамааран ялгагдана. Ерөнхийдөө бид ярьдаг налуу параллелепипед, суурь болон бүх нүүр нь параллелограмм. Хэрэв өмнөх үзэмжийн хажуугийн нүүрнүүд тэгш өнцөгт хэлбэртэй бол түүнийг дуудах шаардлагатай болно шууд. Тэгээд тэгш өнцөгтМөн суурь нь 90º өнцөгтэй.

Түүгээр ч барахгүй геометрийн хувьд тэд сүүлчийнх нь бүх ирмэгүүд параллель байгаа нь мэдэгдэхүйц байхаар дүрслэхийг хичээдэг. Дашрамд хэлэхэд математикч, зураачдын гол ялгаа энд байна. Сүүлийнх нь хэтийн төлөвийн хуулийн дагуу биеийг дамжуулах нь чухал юм. Мөн энэ тохиолдолд хавирганы параллелизм нь бүрэн үл үзэгдэх болно.

Оруулсан тэмдэглэгээний тухай

Доорх томъёонд хүснэгтэд заасан тэмдэглэгээ хүчинтэй байна.

Налуу параллелепипедийн томъёо

Эхний болон хоёрдугаар бүсийн хувьд:

Гурав дахь нь параллелепипедийн эзлэхүүнийг тооцоолох явдал юм.

Суурь нь параллелограмм тул түүний талбайг тооцоолохын тулд та тохирох илэрхийллийг ашиглах хэрэгтэй.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн томъёо

Эхний цэгтэй төстэй - талбайн хоёр томъёо:

Мөн эзлэхүүний хувьд өөр нэг зүйл:

Эхний даалгавар

Нөхцөл байдал. Тэгш өнцөгт параллелепипед өгөгдсөн бөгөөд түүний эзэлхүүнийг олох шаардлагатай. Диагональ нь мэдэгдэж байгаа - 18 см - бөгөөд энэ нь хажуугийн нүүрний хавтгай ба хажуугийн ирмэгтэй тус тус 30 ба 45 градусын өнцөг үүсгэдэг.

Шийдэл.Асуудлын асуултанд хариулахын тулд та гурван тэгш өнцөгт гурвалжны бүх талыг мэдэх хэрэгтэй. Тэд эзлэхүүнийг тооцоолоход шаардлагатай ирмэгүүдийн шаардлагатай утгыг өгөх болно.

Эхлээд та 30º өнцөг хаана байгааг олж мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд параллелограммын үндсэн диагональ зурсан цэгээс хажуугийн нүүрний диагональ зурах хэрэгтэй. Тэдний хоорондох өнцөг нь шаардлагатай байх болно.

Суурийн талуудын утгуудын аль нэгийг өгөх эхний гурвалжин нь дараах байдалтай байна. Энэ нь шаардлагатай тал болон хоёр зурсан диагональуудыг агуулдаг. Энэ нь тэгш өнцөгт юм. Одоо та эсрэг талын хөл (суурийн тал) ба гипотенузын (диагональ) харьцааг ашиглах хэрэгтэй. Энэ нь 30º-ийн синустай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, суурийн үл мэдэгдэх талыг диагональ нь 30º эсвэл ½-ийн синусаар үржүүлсэнээр тодорхойлогдоно. Үүнийг "а" үсгээр тэмдэглэе.

Хоёр дахь нь мэдэгдэж буй диагональ, 45º хэлбэртэй ирмэгийг агуулсан гурвалжин байх болно. Энэ нь мөн тэгш өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд та хөлний гипотенузын харьцааг дахин ашиглаж болно. Өөрөөр хэлбэл, хажуугийн ирмэгийг диагональ хүртэл. Энэ нь 45º косинустай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, "c" нь диагональ ба косинусын 45º-ийн үржвэр гэж тооцогддог.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).

Ижил гурвалжинд та өөр хөл олох хэрэгтэй. Гурав дахь үл мэдэгдэх "in" -ийг тооцоолохын тулд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай. Үүнийг "x" үсгээр тэмдэглэе. Үүнийг Пифагорын теоремыг ашиглан хялбархан тооцоолж болно.

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (см).

Одоо бид өөр нэг тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзэх хэрэгтэй. Энэ нь аль хэдийн мэдэгдэж байсан "c", "x" талуудыг агуулдаг бөгөөд тоолох шаардлагатай "b" талууд:

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (см).

Гурван хэмжигдэхүүн бүгд мэдэгдэж байна. Та эзлэхүүний томъёог ашиглаж, тооцоолж болно:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).

Хариулт:параллелепипедийн эзэлхүүн 729√2 см3.

Хоёр дахь даалгавар

Нөхцөл байдал. Та параллелепипедийн эзлэхүүнийг олох хэрэгтэй. Үүн дээр параллелограммын суурь дээр байрлах талууд нь 3 ба 6 см, мөн түүний хурц өнцөг нь 45º байна. Хажуугийн хавирга нь суурь руу 30º налуутай бөгөөд 4 см-тэй тэнцүү байна.

Шийдэл.Асуудлын асуултанд хариулахын тулд та налуу параллелепипедийн эзэлхүүний хувьд бичсэн томъёог авах хэрэгтэй. Гэхдээ энэ хоёр хэмжээ нь тодорхойгүй байна.

Суурийн талбай, өөрөөр хэлбэл параллелограммыг мэдэгдэж буй талууд ба тэдгээрийн хоорондох хурц өнцгийн синусыг үржүүлэх шаардлагатай томъёогоор тодорхойлно.

S o = 3 * 6 нүгэл 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см 2).

Хоёр дахь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн бол өндөр юм. Суурийн дээрх дөрвөн оройн аль нэгээс нь зурж болно. Үүнийг тэгш өнцөгт гурвалжнаас олж болно, түүний өндөр нь хөл, хажуугийн ирмэг нь гипотенуз юм. Энэ тохиолдолд 30º өнцөг нь үл мэдэгдэх өндрийн эсрэг байрлана. Энэ нь бид хөлний гипотенузын харьцааг ашиглаж болно гэсэн үг юм.

n = 4 * нүгэл 30º = 4 * 1/2 = 2.

Одоо бүх утгууд мэдэгдэж байгаа бөгөөд эзлэхүүнийг тооцоолж болно.

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).

Хариулт:эзэлхүүн нь 18 √2 см 3.

Гурав дахь даалгавар

Нөхцөл байдал. Хэрэв параллелепипед шулуун гэдгийг мэдэж байвал түүний эзлэхүүнийг ол. Суурийн талууд нь 2 ба 3 см-тэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хоорондох хурц өнцөг нь 60º байна. Параллелепипедийн жижиг диагональ нь суурийн том диагональтай тэнцүү байна.

Шийдэл.Параллелепипедийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид суурийн талбай ба өндрийн томъёог ашиглана. Хоёр хэмжигдэхүүн нь тодорхойгүй боловч тооцоолоход хялбар байдаг. Эхнийх нь өндөр юм.

Параллелепипедийн жижиг диагональ нь том суурийн хэмжээтэй давхцдаг тул тэдгээрийг ижил d үсгээр тэмдэглэж болно. Параллелограммын хамгийн том өнцөг нь 120º, учир нь энэ нь хурц өнцөгтэй 180º-ийг үүсгэдэг. Суурийн хоёр дахь диагональыг "x" үсгээр тэмдэглэе. Одоо суурийн хоёр диагональуудын хувьд бид косинусын теоремуудыг бичиж болно.

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Квадратгүйгээр утгыг олох нь утгагүй юм, учир нь дараа нь тэд дахин хоёр дахь зэрэглэлд нэмэгдэх болно. Өгөгдлийг орлуулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Одоо параллелепипедийн хажуугийн ирмэг болох өндөр нь гурвалжин дахь хөл болж хувирна. Гипотенуз нь биеийн мэдэгдэж буй диагональ байх ба хоёр дахь хөл нь "x" байх болно. Бид Пифагорын теоремыг бичиж болно:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Эндээс: n = √12 = 2√3 (см).

Одоо хоёр дахь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн бол суурийн талбай юм. Үүнийг хоёр дахь асуудалд дурдсан томъёогоор тооцоолж болно.

S o = 2 * 3 нүгэл 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см 2).

Бүх зүйлийг эзлэхүүний томъёонд нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг авна.

V = 3√3 * 2√3 = 18 (см 3).

Хариулт: V = 18 см 3.

Дөрөв дэх даалгавар

Нөхцөл байдал. Дараах нөхцлийг хангасан параллелепипедийн эзэлхүүнийг олж мэдэх шаардлагатай: суурь нь 5 см-ийн талтай дөрвөлжин; хажуугийн нүүр нь ромб хэлбэртэй; Суурийн дээр байрлах оройн аль нэг нь сууринд байрлах бүх оройноос ижил зайд байна.

Шийдэл.Эхлээд та нөхцөл байдлыг шийдвэрлэх хэрэгтэй. Талбайн талаар эхний цэгтэй асуулт байхгүй. Хоёр дахь нь ромбуудын тухай параллелепипед налуу байгааг тодорхой харуулж байна. Түүнээс гадна ромбын талууд ижил тул түүний бүх ирмэг нь 5 см-тэй тэнцүү байна. Гурав дахь нь үүнээс зурсан гурван диагональ тэнцүү болох нь тодорхой болно. Эдгээр нь хажуугийн нүүрэн дээр байрладаг хоёр бөгөөд сүүлчийнх нь параллелепипед дотор байдаг. Мөн эдгээр диагональ нь ирмэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тэд бас 5 см урттай байдаг.

Эзлэхүүнийг тодорхойлохын тулд та налуу параллелепипедийн хувьд бичсэн томъёо хэрэгтэй болно. Үүнд дахин тодорхой тоо хэмжээ байхгүй байна. Гэсэн хэдий ч дөрвөлжин хэлбэртэй тул суурийн талбайг тооцоолоход хялбар байдаг.

S o = 5 2 = 25 (см 2).

Өндөртэй холбоотой нөхцөл байдал арай илүү төвөгтэй байдаг. Энэ нь параллелепипед, дөрвөлжин пирамид, тэгш өнцөгт гурвалжин гэсэн гурван зурагт ийм байх болно. Энэ сүүлчийн нөхцөл байдлыг ашиглах нь зүйтэй.

Энэ нь өндөр учраас энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хөл юм. Түүний доторх гипотенуз нь мэдэгдэж буй ирмэг байх бөгөөд хоёр дахь хөл нь дөрвөлжингийн диагоналын хагастай тэнцүү байна (өндөр нь бас медиан). Мөн суурийн диагональ олоход хялбар байдаг:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2.5 √2 (см).

V = 25 * 2.5 √2 = 62.5 √2 (см 3).

Хариулт: 62.5 √2 (см 3).

Призмийг нэрлэдэг параллелепипед, хэрэв суурь нь параллелограмм бол. см. Зураг 1.

Параллелепипедийн шинж чанарууд:

Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд нь параллель (өөрөөр хэлбэл параллель хавтгайд байрладаг) ба тэнцүү байна.

Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцдог ба энэ цэгээр хуваагдана.

Параллелепипедийн зэргэлдээх нүүрүүд– нийтлэг ирмэгтэй хоёр нүүр.

Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрүүд– нийтлэг ирмэггүй нүүр царай.

Параллелепипедийн эсрэг талын оройнууд– нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр орой.

Параллелепипедийн диагональ– эсрэг талын оройг холбосон сегмент.

Хэрэв хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал параллелепипед гэж нэрлэдэг. шууд.

Суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг тэгш өнцөгт. Бүх нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй призмийг нэрлэдэг шоо.

Параллелепипед- суурь нь параллелограмм болох призм.

Баруун параллелепипед- хажуугийн ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байрладаг параллелепипед.

Тэгш өнцөгт параллелепипедсуурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед юм.

Шоо– тэнцүү ирмэгтэй тэгш өнцөгт параллелепипед.

параллелепипедсуурь нь параллелограмм болох призм гэж нэрлэгддэг; Тиймээс параллелепипед зургаан нүүртэй бөгөөд тэдгээр нь бүгд параллелограмм юм.

Эсрэг нүүрүүд нь хосоороо тэнцүү, зэрэгцээ байна. Параллелепипед дөрвөн диагональтай; Тэд бүгд нэг цэг дээр огтлолцдог ба түүн дээр хагас хуваагдана. Ямар ч нүүрийг суурь болгон авч болно; эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна: V = Sh.

Дөрвөн хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй параллелепипедийг шулуун параллелепипед гэнэ.

Зургаан нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипедийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. см. Зураг 2.

Баруун параллелепипедийн эзэлхүүн (V) нь суурийн талбай (S) ба өндрийн (h) үржвэртэй тэнцүү байна. V = Ш .

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хувьд үүнээс гадна томъёо нь тохирно V=abc, энд a,b,c ирмэгүүд байна.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ (d) нь түүний ирмэгүүдтэй харьцаагаар холбогддог d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Тэгш өнцөгт параллелепипед- хажуугийн ирмэг нь сууринд перпендикуляр, суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй параллелепипед.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн шинж чанарууд:

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн зургаан нүүр бүгд тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх хоёр өнцөгт өнцөг зөв байна.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ квадрат нь түүний гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна (нийтлэг оройтой гурван ирмэгийн урт).

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональууд тэнцүү байна.

Бүх нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипедийг шоо гэж нэрлэдэг. Кубын бүх ирмэгүүд тэнцүү байна; кубын эзэлхүүнийг (V) томъёогоор илэрхийлнэ V=a 3, энд a нь кубын ирмэг юм.

Ахлах ангийн сурагчдад тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүн болон бусад үл мэдэгдэх параметрүүдийг олохын тулд Улсын нэгдсэн шалгалтын бодлогыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад тустай. Өмнөх жилүүдийн туршлагаас харахад ийм даалгавар нь олон төгсөгчдийн хувьд нэлээд хэцүү байдаг.

Үүний зэрэгцээ ямар ч түвшний сургалттай ахлах сургуулийн сурагчид тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзлэхүүн эсвэл талбайг хэрхэн олохыг ойлгох ёстой. Зөвхөн энэ тохиолдолд тэд математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэн үр дүнд үндэслэн өрсөлдөх чадвартай оноо авах боломжтой болно.

Санаж байх ёстой гол цэгүүд

• Параллелепипедийг бүрдүүлдэг параллелограммууд нь түүний нүүр, талууд нь ирмэгүүд юм. Эдгээр дүрсүүдийн оройг олон өнцөгтийн орой гэж үздэг.
• Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх диагональ тэнцүү байна. Энэ нь шулуун олон талт хэлбэртэй тул хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
• Параллелепипед нь суурь дээрээ параллелограммтай призм тул энэ зураг нь призмийн бүх шинж чанартай байдаг.
• Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хажуугийн ирмэг нь суурьтай перпендикуляр байна. Тиймээс тэд түүний оргилууд юм.

Школковотой хамт Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдээрэй!

Хичээлээ аль болох хялбар, үр дүнтэй болгохын тулд манай математикийн порталыг сонго. Эндээс та улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд шаардлагатай бүх материалыг олох болно.

Школково боловсролын төслийн мэргэжилтнүүд энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү шилжихийг санал болгож байна: эхлээд бид онол, үндсэн томъёо, энгийн асуудлуудыг шийдлээр нь өгч, дараа нь аажмаар шинжээчийн түвшний даалгавар руу шилждэг. Жишээлбэл, та дасгал хийж болно.

Та шаардлагатай үндсэн мэдээллийг "Онолын мэдээлэл" хэсгээс олох болно. Та мөн "Тэгш өнцөгт параллелепипед" сэдвээр онлайнаар асуудлыг шийдэж эхлэх боломжтой. "Каталог" хэсэгт янз бүрийн хүндрэлтэй дасгалуудыг багтаасан өргөн сонголттой. Ажлын мэдээллийн сан тогтмол шинэчлэгддэг.

Яг одоо тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүнийг хялбархан олох боломжтой эсэхийг хараарай. Аливаа ажилд дүн шинжилгээ хийх. Хэрэв дасгал хийх нь танд хялбар бол илүү хэцүү ажил руу шилжинэ. Хэрэв тодорхой бэрхшээл тулгарвал бид танд Школково алсын портал дахь хичээлүүдийг хуваарьт оруулахаар өдөрөө төлөвлөхийг зөвлөж байна.

Тэгш өнцөгт параллелепипед (PP) нь призмээс өөр зүйл биш бөгөөд түүний суурь нь тэгш өнцөгт юм. PP-ийн хувьд бүх диагональууд тэнцүү бөгөөд энэ нь түүний диагональуудын аль нэгийг дараах томъёогоор тооцоолно гэсэн үг юм.

• a, PP-ийн суурь руу;

  түүний өндөртэй.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг харгалзан өөр нэг тодорхойлолтыг өгч болно.

PP диагональ нь декартын координатын систем дэх x, y, z координатуудаар тодорхойлогдсон орон зайн аль ч цэгийн радиус вектор юм. Цэг хүртэлх энэ радиус векторыг эхээс зурсан. Мөн цэгийн координатууд нь радиус векторын (PP-ийн диагональ) координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд байх болно. Төсөл нь энэ параллелепипедийн оройтой давхцаж байна.



Тэгш өнцөгт параллелепипед нь 6 нүүрээс бүрдэх олон талт хэлбэрийн нэг хэлбэр бөгөөд түүний суурь нь тэгш өнцөгт юм. Диагональ гэдэг нь параллелограммын эсрэг талын оройг холбосон шугамын хэсэг юм.

Диагоналын уртыг олох томъёо нь диагональ квадрат нь параллелограммын гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.



Би интернетээс параллелепипед дотор байгаа бүх зүйлийн бүрэн жагсаалт бүхий сайн диаграмм хүснэгтийг олсон. Диагональ олох томьёо байдаг бөгөөд үүнийг d гэж тэмдэглэнэ.

Параллелепипедийн ирмэг, орой болон бусад чухал зүйлсийн дүрс байдаг.



Тэгш өнцөгт параллелепипедийн урт, өндөр, өргөн (a,b,c) нь мэдэгдэж байгаа бол диагональыг тооцоолох томъёо дараах байдалтай байна.



Ихэвчлэн багш нар оюутнууддаа нүцгэн томьёо санал болгодоггүй, харин дараах асуултуудыг асууж өөрсдөө гаргаж авахын тулд хүчин чармайлт гаргадаг.

• Бид юу мэдэх хэрэгтэй вэ, бидэнд ямар өгөгдөл байгаа вэ?
• Тэгш өнцөгт параллелепипед ямар шинж чанартай вэ?
• Пифагорын теорем энд хамаарах уу? Хэрхэн?
• Пифагорын теоремыг хэрэгжүүлэх хангалттай өгөгдөл байна уу, эсвэл бусад тооцоолол шаардлагатай юу?

Ихэвчлэн тавьсан асуултуудад хариулсны дараа оюутнууд энэ томъёог бие даан амархан гаргаж авдаг.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональууд тэнцүү байна. Мөн түүний эсрэг талын нүүрний диагональууд. Нэг оройноос гарч буй параллелограммын ирмэгүүдийн уртыг мэдэх замаар диагональ уртыг тооцоолж болно. Энэ урт нь түүний ирмэгүүдийн уртын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.



Кубоид бол 6 нүүрээс бүрдэх, тус бүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй олон талтуудын нэг юм. Диагональ гэдэг нь параллелограммын эсрэг талын оройг холбосон сегмент юм. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн урт, өргөн, өндрийг тус тус a, b, c гэж авбал түүний диагональ (D) томьёо дараах байдалтай байна: D^2=a^2+b^2+c. ^2.



Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональнь түүний эсрэг талын оройг холбосон сегмент юм. Тэгэхээр бидэнд байгаа куб хэлбэртэйдиагональ d ба a, b, c талуудтай. Параллелепипедийн нэг шинж чанар нь дөрвөлжин юм диагональ урт d нь түүний a, b, c гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү. Тиймээс ийм дүгнэлт гарч байна диагональ уртдараах томъёог ашиглан хялбархан тооцоолж болно.



Мөн:

Параллелепипедийн өндрийг хэрхэн олох вэ?

• Диагональ квадрат, дөрвөлжин параллелепипедийн шинж чанар (дөрвөлжин параллелепипедийн шинж чанарыг харна уу) нь түүний гурван өөр талын квадратуудын (өргөн, өндөр, зузаан) нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүний дагуу дөрвөлжин параллелепипедийн диагональууд нь язгууртай тэнцүү байна. энэ нийлбэр.

  Сургуулийн геометрийн сургалтын хөтөлбөрийг би санаж байна, бид үүнийг хэлж чадна: параллелепипедийн диагональ нь түүний гурван талын нийлбэрээс авсан квадрат язгууртай тэнцүү (тэдгээрийг a, b, c жижиг үсгээр тэмдэглэсэн).

  Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагоналын урт нь түүний талуудын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.

  Сургуулийн хичээлийн хөтөлбөрөөс миний мэдэж байгаагаар 9-р анги, хэрэв би андуураагүй бол, хэрэв санах ойд үйлчилдэг бол тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ нь бүх гурван талын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.

  диагональ квадрат нь өргөн, өндөр, уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд энэ томъёонд үндэслэн бид хариултыг авах болно, диагональ нь түүний гурван өөр хэмжээсийн нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь үсэгтэй байна. ncz abc гэж тэмдэглэнэ