समान बेससह लॉगरिदमचे विभाजन. लॉगरिदम, उदाहरणे, उपायांची गणना

मूलभूत गुणधर्म.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

समान मैदाने

log6 4 + log6 9.

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया.

लॉगरिदम सोडवण्याची उदाहरणे

लॉगरिदमच्या बेस किंवा युक्तिवादात पदवी असल्यास काय? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

अर्थात, ODZ लॉगरिथम पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण आहेत: a > 0, a ≠ 1, x >

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

हे देखील पहा:

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, तुम्ही नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 आहे आणि लिओ टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षाच्या दुप्पट आहे.

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही कळेल.

लॉगरिदमची उदाहरणे

अभिव्यक्तींचा लॉगरिथम घ्या

उदाहरण १
अ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

गुणधर्म 3,5 द्वारे आम्ही गणना करतो

2.

3.

उदाहरण 2 जर x शोधा

उदाहरण 3. लॉगरिदमचे मूल्य दिले जाऊ द्या

जर लॉग(x) ची गणना करा

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक संभाव्य मार्गाने जोडले, वजा केले आणि रूपांतरित केले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मूलभूत गुणधर्म.

हे नियम माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय कोणतीही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - सर्वकाही एका दिवसात शिकता येते. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदमची बेरीज आणि वजाबाकी

समान बेससह दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

तर, लॉगॅरिथमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगॅरिथमच्या समान आहे आणि फरक हा भागफलाचा लॉगरिदम आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे - समान मैदाने. जर आधार वेगळे असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीची गणना करण्यात मदत करतील जरी त्याचे वैयक्तिक भाग विचारात घेतले जात नाहीत ("लोगॅरिथम काय आहे" धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

लॉगरिदमचे बेस समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 − log2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 − log3 5.

पुन्हा, बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

जसे आपण पाहू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिथमने बनलेली आहेत, ज्याचा स्वतंत्रपणे विचार केला जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर अगदी सामान्य संख्या निघतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, नियंत्रण - सर्व गांभीर्याने समान अभिव्यक्ती (कधीकधी - अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) परीक्षेत ऑफर केली जातात.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम त्यांच्या पहिल्या दोन अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, ODZ लॉगरिथम पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण ठरतात: a > 0, a ≠ 1, x > 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडे लागू करण्यास शिका, उदा. लॉगरिदमच्या चिन्हापूर्वी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता. हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

पहिल्या सूत्रानुसार युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

लक्षात घ्या की भाजक हा लॉगरिथम आहे ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे आहे:

मला वाटते शेवटचे उदाहरण स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत, आम्ही फक्त भाजकांसह कार्य करतो.

लॉगरिदमची सूत्रे. लॉगरिदम ही उपायांची उदाहरणे आहेत.

त्यांनी अंशांच्या रूपात तेथे उभे असलेल्या लॉगरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद सादर केला आणि निर्देशक काढले - त्यांना "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजक यांची संख्या समान आहे: log2 7. log2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले होते. परिणाम उत्तर आहे: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषत: जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. बेस वेगळे असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन बेसमध्ये संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. आम्ही त्यांना प्रमेय स्वरूपात तयार करतो:

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x ठेवले तर आपल्याला मिळेल:

हे दुस-या सूत्रावरून पुढे आले आहे की लॉगरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद अदलाबदल केला जाऊ शकतो, परंतु संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, उदा. लॉगरिदम भाजकामध्ये आहे.

ही सूत्रे क्वचितच सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यमापन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशी कार्ये आहेत जी नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवता येत नाहीत. यापैकी काहींचा विचार करूया:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमचे वितर्क अचूक घातांक आहेत. चला निर्देशक काढूया: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम फ्लिप करूया:

घटकांच्या क्रमपरिवर्तनातून उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केला आणि नंतर लॉगरिदम काढले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला ते लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

अनेकदा सोडवण्याच्या प्रक्रियेत दिलेल्या बेसमध्ये लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, n ही संख्या युक्तिवादात घातांक बनते. n ही संख्या पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ते फक्त लॉगरिथमचे मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. याला असे म्हणतात:

खरंच, b संख्या इतकी वाढवली की या अंशातील b संख्या a दिली तर काय होईल? ते बरोबर आहे: ही समान संख्या आहे a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर "हँग" करतात.

नवीन बेस रूपांतरण सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

लक्षात घ्या की log25 64 = log5 8 - फक्त बेस आणि लॉगरिदमचा वितर्क मधून स्क्वेअर काढला. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम दिल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहिती नसेल, तर युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन 🙂 मधून हे खरे काम होते

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना गुणधर्म म्हणणे कठीण आहे - उलट, हे लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये सापडतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

1. logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: या बेसपासून कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक आहे.
2. loga 1 = 0 आहे. बेस a काहीही असू शकतो, पण जर तर्क एक असेल तर लॉगरिदम शून्य असेल! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

हे देखील पहा:

संख्या b चा बेस a चे लॉगरिदम ही अभिव्यक्ती दर्शवते. लॉगरिदमची गणना करणे म्हणजे अशी शक्ती x () शोधणे ज्यावर समानता सत्य आहे

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

वरील गुणधर्म माहित असणे आवश्यक आहे, कारण, त्यांच्या आधारावर, जवळजवळ सर्व समस्या आणि उदाहरणे लॉगरिदमच्या आधारे सोडविली जातात. उर्वरित विदेशी गुणधर्म या सूत्रांसह गणितीय हाताळणीद्वारे मिळवता येतात

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

लॉगरिदमची बेरीज आणि फरक (3.4) साठी सूत्रांची गणना करताना बरेचदा आढळतात. उर्वरित काहीसे जटिल आहेत, परंतु अनेक कार्यांमध्ये ते जटिल अभिव्यक्ती सुलभ करण्यासाठी आणि त्यांची मूल्ये मोजण्यासाठी अपरिहार्य आहेत.

लॉगरिदमची सामान्य प्रकरणे

काही सामान्य लॉगरिदम असे आहेत ज्यात बेस अगदी दहा, घातांक किंवा ड्यूस आहे.
बेस टेन लॉगरिथमला सामान्यतः बेस टेन लॉगरिथम म्हणतात आणि फक्त lg(x) असे दर्शवले जाते.

रेकॉर्डमध्ये मूलभूत गोष्टी लिहिल्या जात नाहीत हे रेकॉर्डवरून दिसून येते. उदाहरणार्थ

नैसर्गिक लॉगरिथम हा लॉगरिदम आहे ज्याचा आधार घातांक आहे (ln(x) दर्शविला जातो).

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, तुम्ही नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 आहे आणि लिओ टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षाच्या दुप्पट आहे. हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही कळेल.

आणि दुसरा महत्त्वाचा बेस दोन लॉगरिदम आहे

फंक्शनच्या लॉगरिदमचे व्युत्पन्न व्हेरिएबलने भागलेल्या एकाच्या बरोबरीचे असते

इंटिग्रल किंवा अँटीडेरिव्हेटिव्ह लॉगरिथम अवलंबनाद्वारे निर्धारित केले जाते

लॉगरिदम आणि लॉगरिदमशी संबंधित समस्यांच्या विस्तृत वर्गाचे निराकरण करण्यासाठी वरील सामग्री आपल्यासाठी पुरेसे आहे. सामग्री आत्मसात करण्यासाठी, मी शालेय अभ्यासक्रम आणि विद्यापीठांमधून फक्त काही सामान्य उदाहरणे देईन.

लॉगरिदमची उदाहरणे

अभिव्यक्तींचा लॉगरिथम घ्या

उदाहरण १
अ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

गुणधर्म 3,5 द्वारे आम्ही गणना करतो

2.
लॉगरिदमच्या भिन्न गुणधर्मानुसार, आपल्याकडे आहे

3.
गुणधर्म 3.5 वापरून आपण शोधतो

नियमांची मालिका वापरून एक उशिर जटिल अभिव्यक्ती फॉर्ममध्ये सरलीकृत केली आहे

लॉगरिदम मूल्ये शोधत आहे

उदाहरण 2 जर x शोधा

निर्णय. गणनासाठी, आम्ही शेवटच्या टर्मपर्यंत गुणधर्म 5 आणि 13 लागू करतो

रेकॉर्डमध्ये बदला आणि शोक करा

बेस समान असल्याने, आम्ही अभिव्यक्ती समान करतो

लॉगरिदम. प्रथम स्तर.

लॉगरिदमचे मूल्य देऊ द्या

जर लॉग(x) ची गणना करा

ऊत्तराची: संज्ञांच्या बेरजेद्वारे लॉगरिदम लिहिण्यासाठी व्हेरिएबलचा लॉगरिथम घ्या

लॉगरिदम आणि त्यांच्या गुणधर्मांशी परिचित होण्याची ही फक्त सुरुवात आहे. गणनेचा सराव करा, तुमची व्यावहारिक कौशल्ये समृद्ध करा - लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी तुम्हाला लवकरच अधिग्रहित ज्ञानाची आवश्यकता असेल. अशी समीकरणे सोडवण्याच्या मूलभूत पद्धतींचा अभ्यास केल्यावर, आम्ही दुसर्‍या तितक्याच महत्त्वाच्या विषयासाठी तुमचे ज्ञान वाढवू - लॉगरिदमिक असमानता ...

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक संभाव्य मार्गाने जोडले, वजा केले आणि रूपांतरित केले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मूलभूत गुणधर्म.

हे नियम माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय कोणतीही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - सर्वकाही एका दिवसात शिकता येते. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदमची बेरीज आणि वजाबाकी

समान बेससह दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

तर, लॉगॅरिथमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगॅरिथमच्या समान आहे आणि फरक हा भागफलाचा लॉगरिदम आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे - समान मैदाने. जर आधार वेगळे असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीची गणना करण्यात मदत करतील जरी त्याचे वैयक्तिक भाग विचारात घेतले जात नाहीत ("लोगॅरिथम काय आहे" धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log6 4 + log6 9.

लॉगरिदमचे बेस समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 − log2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 − log3 5.

पुन्हा, बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

जसे आपण पाहू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिथमने बनलेली आहेत, ज्याचा स्वतंत्रपणे विचार केला जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर अगदी सामान्य संख्या निघतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, नियंत्रण - सर्व गांभीर्याने समान अभिव्यक्ती (कधीकधी - अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) परीक्षेत ऑफर केली जातात.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया. लॉगरिदमच्या बेस किंवा युक्तिवादात पदवी असल्यास काय? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम त्यांच्या पहिल्या दोन अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, ODZ लॉगरिथम पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण ठरतात: a > 0, a ≠ 1, x > 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडे लागू करण्यास शिका, उदा. लॉगरिदमच्या चिन्हापूर्वी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता.

लॉगरिदम कसे सोडवायचे

हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

पहिल्या सूत्रानुसार युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

लक्षात घ्या की भाजक हा लॉगरिथम आहे ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे आहे:

मला वाटते शेवटचे उदाहरण स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत, आम्ही फक्त भाजकांसह कार्य करतो. त्यांनी अंशांच्या रूपात तेथे उभे असलेल्या लॉगरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद सादर केला आणि निर्देशक काढले - त्यांना "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजक यांची संख्या समान आहे: log2 7. log2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले होते. परिणाम उत्तर आहे: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषत: जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. बेस वेगळे असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन बेसमध्ये संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. आम्ही त्यांना प्रमेय स्वरूपात तयार करतो:

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x ठेवले तर आपल्याला मिळेल:

हे दुस-या सूत्रावरून पुढे आले आहे की लॉगरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद अदलाबदल केला जाऊ शकतो, परंतु संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, उदा. लॉगरिदम भाजकामध्ये आहे.

ही सूत्रे क्वचितच सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यमापन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशी कार्ये आहेत जी नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवता येत नाहीत. यापैकी काहींचा विचार करूया:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमचे वितर्क अचूक घातांक आहेत. चला निर्देशक काढूया: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम फ्लिप करूया:

घटकांच्या क्रमपरिवर्तनातून उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केला आणि नंतर लॉगरिदम काढले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला ते लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

अनेकदा सोडवण्याच्या प्रक्रियेत दिलेल्या बेसमध्ये लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, n ही संख्या युक्तिवादात घातांक बनते. n ही संख्या पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ते फक्त लॉगरिथमचे मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. याला असे म्हणतात:

खरंच, b संख्या इतकी वाढवली की या अंशातील b संख्या a दिली तर काय होईल? ते बरोबर आहे: ही समान संख्या आहे a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर "हँग" करतात.

नवीन बेस रूपांतरण सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

लक्षात घ्या की log25 64 = log5 8 - फक्त बेस आणि लॉगरिदमचा वितर्क मधून स्क्वेअर काढला. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम दिल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहिती नसेल, तर युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन 🙂 मधून हे खरे काम होते

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना गुणधर्म म्हणणे कठीण आहे - उलट, हे लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये सापडतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

1. logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: या बेसपासून कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक आहे.
2. loga 1 = 0 आहे. बेस a काहीही असू शकतो, पण जर तर्क एक असेल तर लॉगरिदम शून्य असेल! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

a (a > 0, a ≠ 1) बेस करण्यासाठी b (b > 0) चे लॉगरिदम b मिळवण्यासाठी तुम्हाला a संख्या वाढवणे आवश्यक आहे तो घातांक आहे.

b चा बेस 10 लॉगरिदम असे लिहिता येईल लॉग(ब), आणि बेस e चे लॉगरिदम (नैसर्गिक लॉगरिदम) - ln(b).

लॉगरिदमसह समस्या सोडवताना अनेकदा वापरले जाते:

लॉगरिदमचे गुणधर्म

चार मुख्य आहेत लॉगरिदमचे गुणधर्म.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 आणि y > 0 समजा.

गुणधर्म 1. उत्पादनाचा लॉगरिदम

उत्पादनाचा लॉगरिदम बेरीज समान आहेलॉगरिदम:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

गुणधर्म 2. भागफलाचा लॉगरिदम

भागफलाचा लॉगरिदमलॉगरिदमच्या फरकाच्या समान आहे:

log a (x / y) = log a x - log a y

गुणधर्म 3. पदवीचे लॉगरिदम

पदवी लॉगरिदमपदवी आणि लॉगरिदमच्या गुणानुरूप समान आहे:

लॉगरिदमचा आधार घातांकात असल्यास, दुसरे सूत्र लागू होते:

गुणधर्म 4. रूटचा लॉगरिदम

हा गुणधर्म पदवीच्या लॉगरिथमच्या गुणधर्मावरून मिळू शकतो, कारण nव्या अंशाचे मूळ 1/n च्या बळाच्या बरोबरीचे आहे:

एका बेसमधील लॉगरिदमवरून दुसर्‍या बेसमधील लॉगरिदमवर जाण्याचे सूत्र

लॉगरिदमसाठी विविध कार्ये सोडवताना हे सूत्र देखील वापरले जाते:

विशेष प्रकरण:

लॉगरिदमची तुलना (असमानता)

समजा आपल्याकडे समान आधारांसह लॉगरिदम अंतर्गत f(x) आणि g(x) 2 कार्ये आहेत आणि त्यांच्यामध्ये असमानतेचे चिन्ह आहे:

त्यांची तुलना करण्यासाठी, तुम्हाला प्रथम लॉगरिदमचा पाया पाहण्याची आवश्यकता आहे a:

• जर a > 0, तर f(x) > g(x) > 0
• जर ०< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

लॉगरिदमसह समस्यांचे निराकरण कसे करावे: उदाहरणे

लॉगरिदमसह कार्येकार्य 5 आणि कार्य 7 मधील ग्रेड 11 साठी गणितातील USE मध्ये समाविष्ट केले आहे, तुम्ही आमच्या वेबसाइटवर योग्य विभागांमध्ये उपायांसह कार्ये शोधू शकता. तसेच, लॉगरिदम असलेली कार्ये गणितातील टास्कच्या बँकेत आढळतात. साइटवर शोधून तुम्ही सर्व उदाहरणे शोधू शकता.

लॉगरिदम म्हणजे काय

शालेय गणित अभ्यासक्रमात लॉगरिदम हा नेहमीच कठीण विषय मानला जातो. लॉगरिथमच्या अनेक भिन्न व्याख्या आहेत, परंतु काही कारणास्तव बहुतेक पाठ्यपुस्तके त्यापैकी सर्वात जटिल आणि दुर्दैवी वापरतात.

आम्ही लॉगरिथम सोप्या आणि स्पष्टपणे परिभाषित करू. यासाठी एक टेबल तयार करूया:

तर, आमच्याकडे दोन शक्ती आहेत.

लॉगरिदम - गुणधर्म, सूत्रे, कसे सोडवायचे

जर तुम्ही खालच्या ओळीतून क्रमांक घेतला, तर हा क्रमांक मिळविण्यासाठी तुम्हाला दोन वाढवावे लागतील अशी शक्ती तुम्हाला सहज सापडेल. उदाहरणार्थ, 16 मिळविण्यासाठी, आपल्याला दोन ते चौथ्या पॉवर वाढवण्याची आवश्यकता आहे. आणि 64 मिळवण्यासाठी, तुम्हाला दोन ते सहाव्या पॉवर वाढवण्याची आवश्यकता आहे. हे टेबलवरून पाहिले जाऊ शकते.

आणि आता - खरं तर, लॉगरिथमची व्याख्या:

वितर्क x चा आधार a ही संख्या x मिळवण्यासाठी a संख्या वाढवणे आवश्यक असलेली शक्ती आहे.

नोटेशन: लॉग a x \u003d b, जेथे a बेस आहे, x हा वितर्क आहे, b प्रत्यक्षात लॉगरिदम समान आहे.

उदाहरणार्थ, 2 3 = 8 ⇒ लॉग 2 8 = 3 (8 चा आधार 2 लॉगरिदम तीन आहे कारण 2 3 = 8). कदाचित 2 64 = 6 लॉग देखील होईल, कारण 2 6 = 64.

दिलेल्या बेससाठी संख्येचा लॉगरिदम शोधण्याच्या ऑपरेशनला म्हणतात. चला तर मग आमच्या टेबलवर एक नवीन पंक्ती जोडूया:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्दैवाने, सर्व लॉगरिदम इतके सहज मानले जात नाहीत. उदाहरणार्थ, लॉग 2 5 शोधण्याचा प्रयत्न करा. संख्या 5 टेबलमध्ये नाही, परंतु तर्कशास्त्र असे ठरवते की लॉगरिदम सेगमेंटवर कुठेतरी असेल. कारण २ २< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

अशा संख्यांना अपरिमेय म्हणतात: दशांश बिंदू नंतरच्या संख्या अनिश्चित काळासाठी लिहिल्या जाऊ शकतात आणि त्या कधीही पुनरावृत्ती होत नाहीत. लॉगरिथम असमंजसपणाचे ठरल्यास, ते असे सोडणे चांगले आहे: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 5 100.

हे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे की लॉगरिदम ही दोन चल (बेस आणि आर्ग्युमेंट) असलेली अभिव्यक्ती आहे. सुरुवातीला, बरेच लोक गोंधळ करतात की मूळ कुठे आहे आणि वाद कुठे आहे. त्रासदायक गैरसमज टाळण्यासाठी, फक्त चित्र पहा:

आमच्यापुढे लॉगरिदमच्या व्याख्येपेक्षा अधिक काही नाही. लक्षात ठेवा: लॉगरिदम ही शक्ती आहे, ज्यावर तुम्हाला युक्तिवाद मिळविण्यासाठी आधार वाढवणे आवश्यक आहे. हा पाया आहे जो शक्तीपर्यंत वाढविला जातो - चित्रात ते लाल रंगात हायलाइट केले आहे. तो आधार नेहमी तळाशी आहे की बाहेर वळते! हा अद्भुत नियम मी माझ्या विद्यार्थ्यांना पहिल्याच धड्यात सांगतो - आणि कोणताही गोंधळ नाही.

लॉगरिदम कसे मोजायचे

आम्ही व्याख्या शोधून काढली - लॉगरिदम कसे मोजायचे हे शिकणे बाकी आहे, म्हणजे. "लॉग" चिन्हापासून मुक्त व्हा. सुरुवातीला, आम्ही लक्षात घेतो की व्याख्येतून दोन महत्त्वपूर्ण तथ्ये अनुसरण करतात:

1. युक्तिवाद आणि आधार नेहमी शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे. हे परिमेय घातांकाद्वारे पदवीच्या व्याख्येवरून येते, ज्यावर लॉगरिदमची व्याख्या कमी केली जाते.
2. पाया एकतापेक्षा वेगळा असणे आवश्यक आहे, कारण कोणत्याही शक्तीचे एकक अद्याप एक युनिट आहे. यामुळे, "दोन मिळविण्यासाठी कोणती शक्ती वाढवावी लागेल" हा प्रश्न निरर्थक आहे. अशी पदवी नाही!

असे निर्बंध म्हणतात वैध श्रेणी(ODZ). लॉगरिथमचा ODZ असे दिसते: लॉग a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

लक्षात घ्या की संख्या b (लोगॅरिथमचे मूल्य) वर कोणतेही निर्बंध लादलेले नाहीत. उदाहरणार्थ, लॉगरिदम नकारात्मक असू शकतो: लॉग 2 0.5 = −1, कारण 0.5 = 2 −1 .

तथापि, आता आम्ही केवळ संख्यात्मक अभिव्यक्तींचा विचार करत आहोत, जेथे लॉगरिथमचे ODZ माहित असणे आवश्यक नाही. सर्व निर्बंध आधीच समस्यांच्या संकलकांनी विचारात घेतले आहेत. परंतु जेव्हा लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता लागू होतात, तेव्हा DHS आवश्यकता अनिवार्य होतील. खरंच, आधार आणि युक्तिवादात खूप मजबूत बांधकामे असू शकतात, जी वरील निर्बंधांशी संबंधित असणे आवश्यक नाही.

आता लॉगरिदमची गणना करण्यासाठी सामान्य योजनेचा विचार करा. यात तीन चरणांचा समावेश आहे:

1. बेस a आणि वितर्क x एक पेक्षा लहान शक्य बेससह घात म्हणून व्यक्त करा. वाटेत, दशांश अपूर्णांकांपासून मुक्त होणे चांगले आहे;
2. चल b साठी समीकरण सोडवा: x = a b ;
3. परिणामी संख्या b हे उत्तर असेल.

इतकंच! लॉगरिथम असमंजसपणाचे निघाल्यास, हे पहिल्या चरणावर आधीच पाहिले जाईल. पाया एकापेक्षा मोठा असणे आवश्यक आहे: हे त्रुटीची शक्यता कमी करते आणि गणना मोठ्या प्रमाणात सुलभ करते. त्याचप्रमाणे दशांश अपूर्णांकांसह: जर तुम्ही त्यांना ताबडतोब सामान्यमध्ये रूपांतरित केले तर अनेक वेळा कमी त्रुटी असतील.

ही योजना विशिष्ट उदाहरणांवर कशी कार्य करते ते पाहूया:

कार्य. लॉगरिदमची गणना करा: लॉग 5 25

1. चला आधार आणि युक्तिवाद पाच च्या घात म्हणून दर्शवू: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

चला समीकरण बनवू आणि सोडवू:
लॉग 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. उत्तर मिळाले: 2.

कार्य. लॉगरिथमची गणना करा:

कार्य. लॉगरिदमची गणना करा: लॉग 4 64

1. चला आधार आणि युक्तिवाद दोन ची शक्ती म्हणून दर्शवू: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. चला समीकरण बनवू आणि सोडवू:
   लॉग 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. उत्तर मिळाले: 3.

कार्य. लॉगरिदमची गणना करा: लॉग 16 1

1. चला आधार आणि युक्तिवाद दोनची घात म्हणून दर्शवू: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. चला समीकरण बनवू आणि सोडवू:
   लॉग 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. प्रतिसाद मिळाला: 0.

कार्य. लॉगरिदमची गणना करा: लॉग 7 14

1. चला आधार आणि युक्तिवाद सात ची शक्ती म्हणून दर्शवू: 7 = 7 1 ; 14 ही सातची शक्ती म्हणून दर्शविली जात नाही, कारण 7 1< 14 < 7 2 ;
2. मागील परिच्छेदावरून असे दिसते की लॉगरिथमचा विचार केला जात नाही;
3. उत्तर कोणतेही बदल नाही: लॉग 7 14.

शेवटच्या उदाहरणावर एक लहान टीप. संख्या ही दुसर्‍या संख्येची अचूक पॉवर नाही याची खात्री कशी करायची? अगदी सोपे - फक्त मुख्य घटकांमध्ये ते विघटित करा. विस्तारामध्ये किमान दोन वेगळे घटक असल्यास, संख्या ही अचूक शक्ती नसते.

कार्य. संख्येच्या अचूक शक्ती आहेत का ते शोधा: 8; 48; 81; 35; चौदा.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - अचूक पदवी, कारण फक्त एक गुणक आहे;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ही अचूक शक्ती नाही कारण दोन घटक आहेत: 3 आणि 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - अचूक पदवी;
35 = 7 5 - पुन्हा अचूक पदवी नाही;
14 \u003d 7 2 - पुन्हा अचूक पदवी नाही;

हे देखील लक्षात घ्या की मूळ संख्या स्वतःच नेहमी स्वतःच्या अचूक शक्ती असतात.

दशांश लॉगरिदम

काही लॉगरिदम इतके सामान्य आहेत की त्यांना एक विशेष नाव आणि पद आहे.

x वितर्क हा बेस 10 लॉगरिथम आहे, म्हणजे x मिळविण्यासाठी 10 वाढवणे आवश्यक आहे. पदनाम: lgx.

उदाहरणार्थ, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; lg 1000 = 3 - इ.

आतापासून, जेव्हा पाठ्यपुस्तकात “Find lg 0.01” सारखा वाक्प्रचार येतो, तेव्हा हे टायपो नाही हे जाणून घ्या. हा दशांश लॉगरिथम आहे. तथापि, जर तुम्हाला अशा पदनामाची सवय नसेल, तर तुम्ही नेहमी ते पुन्हा लिहू शकता:
लॉग x = लॉग 10 x

जे काही सामान्य लॉगरिदमसाठी सत्य आहे ते दशांशांसाठी देखील सत्य आहे.

नैसर्गिक लॉगरिदम

आणखी एक लॉगरिथम आहे ज्याचे स्वतःचे नोटेशन आहे. एका अर्थाने ते दशांशापेक्षाही महत्त्वाचे आहे. हा नैसर्गिक लॉगरिथम आहे.

x वितर्क हे बेस e चे लॉगरिदम आहे, म्हणजे. x ही संख्या मिळविण्यासाठी e संख्या वाढवण्याची आवश्यकता आहे. पदनाम: lnx.

अनेकजण विचारतील: ई संख्या काय आहे? ही एक अपरिमेय संख्या आहे, त्याचे अचूक मूल्य शोधणे आणि लिहिणे शक्य नाही. येथे फक्त प्रथम क्रमांक आहेत:
e = 2.718281828459…

ही संख्या काय आहे आणि ती का आवश्यक आहे याचा शोध आम्ही घेणार नाही. फक्त लक्षात ठेवा की e हा नैसर्गिक लॉगरिथमचा आधार आहे:
ln x = log e x

अशा प्रकारे ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - इ. दुसरीकडे, ln 2 ही अपरिमेय संख्या आहे. सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही परिमेय संख्येचा नैसर्गिक लॉगरिथम अपरिमेय असतो. अर्थातच, एकता वगळता: ln 1 = 0.

नैसर्गिक लॉगरिदमसाठी, सामान्य लॉगरिदमसाठी सत्य असलेले सर्व नियम वैध आहेत.

हे देखील पहा:

लॉगरिदम. लॉगरिथमचे गुणधर्म (लोगॅरिथमची शक्ती).

लॉगरिदम म्हणून संख्या कशी दर्शवायची?

आम्ही लॉगरिथमची व्याख्या वापरतो.

लॉगरिदम हे लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली संख्या मिळविण्यासाठी बेस वाढवण्याची आवश्यकता असलेल्या शक्तीचे सूचक आहे.

अशा प्रकारे, a ला लॉगॅरिथम म्हणून विशिष्ट संख्या c दर्शवण्यासाठी, तुम्हाला लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली लॉगरिदमचा पाया सारखाच आधार असलेली घात लावावी लागेल आणि ही संख्या c घातांकात लिहावी लागेल:

लॉगरिथमच्या रूपात, आपण पूर्णपणे कोणतीही संख्या दर्शवू शकता - सकारात्मक, ऋण, पूर्णांक, अपूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय:

चाचणी किंवा परीक्षेच्या तणावपूर्ण परिस्थितीत a आणि c मध्ये गोंधळ न होण्यासाठी, तुम्ही खालील नियम लक्षात ठेवण्यासाठी वापरू शकता:

जे खाली आहे ते खाली जाते, जे वर आहे ते वर जाते.

उदाहरणार्थ, तुम्ही संख्या 2 ला लॉगॅरिथम ते बेस 3 म्हणून दर्शवू इच्छिता.

आपल्याकडे दोन संख्या आहेत - 2 आणि 3. या संख्या बेस आणि घातांक आहेत, ज्या आपण लॉगरिथमच्या चिन्हाखाली लिहू. यापैकी कोणती संख्या पदवीच्या पायावर लिहिली जावी आणि कोणती - वर, घातांकामध्ये हे निर्धारित करणे बाकी आहे.

लॉगरिदमच्या रेकॉर्डमधील बेस 3 तळाशी आहे, याचा अर्थ जेव्हा आपण 3 च्या बेसवर लॉगरिदम म्हणून ड्यूसचे प्रतिनिधित्व करतो, तेव्हा आपण बेसवर 3 देखील लिहू.

२ हे ३ पेक्षा जास्त आहे. आणि पदवीच्या नोटेशनमध्ये, आम्ही तीनच्या वर दोन लिहितो, म्हणजे घातांकात:

लॉगरिदम. प्रथम स्तर.

लॉगरिदम

लॉगरिथम सकारात्मक संख्या bकारणाने a, कुठे a > 0, a ≠ 1, हा घातांक आहे ज्यावर संख्या वाढवणे आवश्यक आहे. a, मिळ्वणे b.

लॉगरिथमची व्याख्याथोडक्यात असे लिहिले जाऊ शकते:

ही समानता यासाठी वैध आहे b > 0, a > 0, a ≠ 1.त्याला सहसा म्हणतात लॉगरिदमिक ओळख.
संख्येचा लॉगरिदम शोधण्याच्या क्रियेला म्हणतात लॉगरिथम

लॉगरिदमचे गुणधर्म:

उत्पादनाचा लॉगरिदम:

भागाकाराच्या भागाचे लॉगरिदम:

लॉगरिदमचा पाया बदलणे:

पदवी लॉगरिदम:

रूट लॉगरिथम:

पॉवर बेससह लॉगरिदम:

दशांश आणि नैसर्गिक लॉगरिदम.

दशांश लॉगरिदमसंख्या त्या संख्येच्या बेस 10 लॉगरिदमला कॉल करतात आणि   lg लिहा b
नैसर्गिक लॉगरिदमसंख्या या संख्येच्या लॉगरिदमला बेसवर कॉल करतात ई, कुठे ईएक अपरिमेय संख्या आहे, अंदाजे 2.7 च्या समान आहे. त्याच वेळी, ते ln लिहितात b.

बीजगणित आणि भूमितीवरील इतर टिपा

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक संभाव्य मार्गाने जोडले, वजा केले आणि रूपांतरित केले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मूलभूत गुणधर्म.

हे नियम माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय कोणतीही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - सर्वकाही एका दिवसात शिकता येते. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदमची बेरीज आणि वजाबाकी

एकाच बेससह दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉग a x आणि लॉग a y. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

तर, लॉगॅरिथमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगॅरिथमच्या समान आहे आणि फरक हा भागफलाचा लॉगरिदम आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे - समान मैदाने. जर आधार वेगळे असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीची गणना करण्यात मदत करतील जरी त्याचे वैयक्तिक भाग विचारात घेतले जात नाहीत ("लोगॅरिथम काय आहे" धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

लॉगरिदमचे बेस समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log 2 48 − log 2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log 3 135 − log 3 5.

पुन्हा, बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
लॉग 3 135 − लॉग 3 5 = लॉग 3 (135: 5) = लॉग 3 27 = 3.

जसे आपण पाहू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिथमने बनलेली आहेत, ज्याचा स्वतंत्रपणे विचार केला जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर अगदी सामान्य संख्या निघतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, नियंत्रण - सर्व गांभीर्याने समान अभिव्यक्ती (कधीकधी - अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) परीक्षेत ऑफर केली जातात.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया. लॉगरिदमच्या बेस किंवा युक्तिवादात पदवी असल्यास काय? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम त्यांच्या पहिल्या दोन अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, ODZ लॉगरिथम पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण ठरतात: a > 0, a ≠ 1, x > 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडे लागू करण्यास शिका, उदा. लॉगरिदमच्या चिन्हापूर्वी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता.

लॉगरिदम कसे सोडवायचे

हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log 7 49 6 .

पहिल्या सूत्रानुसार युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
लॉग ७ ४९ ६ = ६ लॉग ७ ४९ = ६ २ = १२

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

लक्षात घ्या की भाजक हा लॉगरिदम आहे ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 2 4 ; ४९ = ७२. आमच्याकडे आहे:

मला वाटते शेवटचे उदाहरण स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत, आम्ही फक्त भाजकांसह कार्य करतो. त्यांनी अंशांच्या रूपात तेथे उभे असलेल्या लॉगरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद सादर केला आणि निर्देशक काढले - त्यांना "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजकांची संख्या समान आहे: लॉग 2 7. लॉग 2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले होते. परिणाम उत्तर आहे: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषत: जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. बेस वेगळे असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन बेसमध्ये संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. आम्ही त्यांना प्रमेय स्वरूपात तयार करतो:

लॉगॅरिथम लॉग a x देऊ द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x ठेवले तर आपल्याला मिळेल:

हे दुस-या सूत्रावरून पुढे आले आहे की लॉगरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद अदलाबदल केला जाऊ शकतो, परंतु संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, उदा. लॉगरिदम भाजकामध्ये आहे.

ही सूत्रे क्वचितच सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यमापन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशी कार्ये आहेत जी नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवता येत नाहीत. यापैकी काहींचा विचार करूया:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log 5 16 log 2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमचे वितर्क अचूक घातांक आहेत. चला सूचक काढू: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम फ्लिप करूया:

घटकांच्या क्रमपरिवर्तनातून उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केला आणि नंतर लॉगरिदम काढले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log 9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला ते लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

अनेकदा सोडवण्याच्या प्रक्रियेत दिलेल्या बेसमध्ये लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते.

या प्रकरणात, सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, n ही संख्या युक्तिवादात घातांक बनते. n ही संख्या पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ते फक्त लॉगरिथमचे मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. याला असे म्हणतात:

खरंच, b संख्या इतकी वाढवली की या अंशातील b संख्या a दिली तर काय होईल? ते बरोबर आहे: ही समान संख्या आहे a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर "हँग" करतात.

नवीन बेस रूपांतरण सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

नोंद घ्या की log 25 64 = log 5 8 - फक्त बेसमधून स्क्वेअर काढला आणि लॉगरिदमचा वितर्क. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम दिल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहिती नसेल, तर युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन 🙂 मधून हे खरे काम होते

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना गुणधर्म म्हणणे कठीण आहे - उलट, हे लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये सापडतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

1. log a a = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: या बेसपासून कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक आहे.
2. log a 1 = 0 आहे. बेस a काहीही असू शकतो, पण जर तर्क एक असेल तर लॉगरिदम शून्य असेल! कारण 0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

तुम्हाला माहिती आहेच की, अभिव्यक्तींचा शक्तींसह गुणाकार करताना, त्यांचे घातांक नेहमी जोडतात (a b * a c = a b + c). हा गणिती नियम आर्किमिडीजने काढला आणि नंतर, 8 व्या शतकात, गणितज्ञ विरासेनने पूर्णांक निर्देशकांची तक्ता तयार केली. लॉगरिदमच्या पुढील शोधासाठी त्यांनीच काम केले. हे फंक्शन वापरण्याची उदाहरणे जवळजवळ सर्वत्र आढळू शकतात जेथे साध्या बेरीजमध्ये अवजड गुणाकार सुलभ करणे आवश्यक आहे. तुम्ही हा लेख वाचण्यात 10 मिनिटे घालवल्यास, आम्ही तुम्हाला लॉगरिदम काय आहेत आणि त्यांच्यासह कसे कार्य करावे हे समजावून सांगू. सोपी आणि सुलभ भाषा.

गणितातील व्याख्या

लॉगरिदम ही खालील स्वरूपाची अभिव्यक्ती आहे: लॉग a b=c, म्हणजेच कोणत्याही नॉन-ऋणात्मक संख्येचा (म्हणजे कोणताही धनात्मक) "b" त्याच्या बेस "a" मधील लॉगरिदम "c" ची शक्ती मानली जाते. , ज्यासाठी बेस "a" वाढवणे आवश्यक आहे, जेणेकरून शेवटी "b" मूल्य मिळेल. उदाहरणे वापरून लॉगरिथमचे विश्लेषण करू या, एक अभिव्यक्ती लॉग आहे असे म्हणू या 2 8. उत्तर कसे शोधायचे? हे अगदी सोपे आहे, तुम्हाला अशी पदवी शोधणे आवश्यक आहे की 2 ते आवश्यक पदवीपर्यंत तुम्हाला 8 मिळतील. तुमच्या मनात काही आकडेमोड केल्यावर आम्हाला 3 क्रमांक मिळेल! आणि बरोबर आहे, कारण 2 ते 3 च्या घात उत्तरात 8 संख्या देते.

लॉगरिदमचे प्रकार

बर्‍याच विद्यार्थी आणि विद्यार्थ्यांसाठी, हा विषय क्लिष्ट आणि समजण्यासारखा नाही, परंतु खरं तर, लॉगरिदम इतके भयानक नाहीत, मुख्य गोष्ट म्हणजे त्यांचे सामान्य अर्थ समजून घेणे आणि त्यांचे गुणधर्म आणि काही नियम लक्षात ठेवणे. लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीचे तीन भिन्न प्रकार आहेत:

1. नैसर्गिक लॉगॅरिथम ln a, जेथे आधार हा यूलर क्रमांक आहे (e = 2.7).
2. दशांश a, जेथे पाया 10 आहे.
3. बेस a>1 पर्यंत b कोणत्याही संख्येचा लॉगरिदम.

लॉगरिदमिक प्रमेयांचा वापर करून सरलीकरण, कपात आणि त्यानंतरच्या एका लॉगरिथममध्ये घट यासह, त्यापैकी प्रत्येक मानक पद्धतीने सोडवला जातो. लॉगरिदमची योग्य मूल्ये प्राप्त करण्यासाठी, एखाद्याने त्यांचे गुणधर्म आणि त्यांच्या निर्णयांमध्ये क्रियांचा क्रम लक्षात ठेवला पाहिजे.

नियम आणि काही निर्बंध

गणितामध्ये, अनेक नियम-मर्यादा आहेत ज्या स्वयंसिद्ध म्हणून स्वीकारल्या जातात, म्हणजेच ते चर्चेच्या अधीन नसतात आणि सत्य असतात. उदाहरणार्थ, संख्यांना शून्याने विभाजित करणे अशक्य आहे आणि ऋण संख्यांमधून सम अंशाचे मूळ काढणे देखील अशक्य आहे. लॉगरिदमचे स्वतःचे नियम देखील आहेत, ज्याचे अनुसरण करून आपण लांब आणि क्षमता असलेल्या लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीसह देखील कसे कार्य करावे हे सहजपणे शिकू शकता:

• बेस "a" नेहमी शून्यापेक्षा मोठा असणे आवश्यक आहे आणि त्याच वेळी 1 च्या बरोबरीचे नसावे, अन्यथा अभिव्यक्तीचा अर्थ गमावेल, कारण "1" आणि "0" कोणत्याही प्रमाणात त्यांच्या मूल्यांच्या समान असतात;
• जर a > 0, नंतर a b > 0, असे दिसून येते की "c" शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे.

लॉगरिदम कसे सोडवायचे?

उदाहरणार्थ, 10 x \u003d 100 या समीकरणाचे उत्तर शोधण्याचे कार्य देण्यात आले होते. हे खूप सोपे आहे, तुम्हाला अशी शक्ती निवडणे आवश्यक आहे, ज्याची संख्या दहा वाढवून आम्हाला 100 मिळेल. हे अर्थातच 10 आहे. २ \u003d १००.

आता ही अभिव्यक्ती लॉगरिदमिक म्हणून दर्शवू. आम्हाला लॉग 10 100 = 2 मिळतो. लॉगॅरिदम सोडवताना, सर्व क्रिया व्यावहारिकपणे एका दिलेल्या क्रमांकासाठी लॉगरिदमचा आधार किती प्रमाणात प्रविष्ट केला पाहिजे हे शोधण्यासाठी एकत्रित होतात.

अज्ञात पदवीचे मूल्य अचूकपणे निर्धारित करण्यासाठी, आपण पदवीच्या सारणीसह कसे कार्य करावे हे शिकले पाहिजे. हे असे दिसते:

तुम्ही बघू शकता, तुमच्याकडे तांत्रिक मानसिकता आणि गुणाकार सारणीचे ज्ञान असल्यास काही घातांकांचा अंतर्ज्ञानाने अंदाज लावला जाऊ शकतो. तथापि, मोठ्या मूल्यांसाठी पॉवर टेबल आवश्यक असेल. ज्यांना गणिताच्या गुंतागुंतीच्या विषयांमध्ये काहीही समजत नाही त्यांनाही याचा वापर करता येतो. डाव्या स्तंभात संख्या (बेस a) आहेत, संख्यांची वरची पंक्ती ही पॉवर c चे मूल्य आहे, ज्यावर संख्या a वाढवली आहे. पेशींमधील छेदनबिंदूवर, संख्यांची मूल्ये निर्धारित केली जातात, जी उत्तरे आहेत (a c =b). उदाहरणार्थ, 10 क्रमांकाचा पहिला सेल घ्या आणि त्याचा वर्ग करा, आपल्याला 100 मूल्य मिळेल, जे आपल्या दोन पेशींच्या छेदनबिंदूवर सूचित केले आहे. सर्व काही इतके सोपे आणि सोपे आहे की अगदी वास्तविक मानवतावादी देखील समजेल!

समीकरणे आणि असमानता

असे दिसून आले की काही विशिष्ट परिस्थितींमध्ये, घातांक हा लॉगरिथम आहे. म्हणून, कोणतीही गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ती लॉगरिदमिक समीकरण म्हणून लिहिली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, 3 4 =81 हे 81 ते बेस 3 चा लॉगरिदम म्हणून लिहिता येईल, जे चार आहे (लॉग 3 81 = 4). नकारात्मक शक्तींसाठी, नियम समान आहेत: 2 -5 = 1/32 आम्ही लॉगरिदम म्हणून लिहितो, आम्हाला लॉग 2 (1/32) = -5 मिळेल. गणितातील सर्वात आकर्षक विभागांपैकी एक म्हणजे "लोगॅरिथम" हा विषय. आम्ही समीकरणांची उदाहरणे आणि सोल्यूशन्स थोड्या कमी, त्यांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केल्यानंतर लगेच विचार करू. आता असमानता कशा दिसतात आणि त्यांना समीकरणांमधून कसे वेगळे करायचे ते पाहू.

खालील फॉर्मची अभिव्यक्ती दिली आहे: लॉग 2 (x-1) > 3 - ते आहे लॉगरिदमिक असमानता, कारण अज्ञात मूल्य "x" लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली आहे. आणि अभिव्यक्तीमध्ये देखील दोन प्रमाणांची तुलना केली जाते: बेस दोनमधील इच्छित संख्येचा लॉगरिदम क्रमांक तीनपेक्षा मोठा आहे.

लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता यांच्यातील सर्वात महत्त्वाचा फरक असा आहे की लॉगरिदमसह समीकरणे (उदाहरणार्थ, 2 x = √9 चे लॉगरिदम) उत्तरामध्ये एक किंवा अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मूल्ये दर्शवतात, तर असमानता सोडवताना, दोन्ही श्रेणी स्वीकार्य मूल्ये आणि हे कार्य खंडित करणारे बिंदू. परिणामी, उत्तर हे समीकरणाच्या उत्तराप्रमाणे वैयक्तिक संख्यांचा साधा संच नसून सतत मालिका किंवा संख्यांचा संच आहे.

लॉगरिदम बद्दल मूलभूत प्रमेये

लॉगरिदमची मूल्ये शोधण्यासाठी आदिम कार्ये सोडवताना, त्याचे गुणधर्म ज्ञात नसतील. तथापि, जेव्हा लॉगरिदमिक समीकरणे किंवा असमानतेचा विचार केला जातो, तेव्हा सर्व प्रथम, लॉगरिदमचे सर्व मूलभूत गुणधर्म स्पष्टपणे समजून घेणे आणि व्यवहारात लागू करणे आवश्यक आहे. आपण नंतर समीकरणांच्या उदाहरणांसह परिचित होऊ, चला प्रथम प्रत्येक मालमत्तेचे अधिक तपशीलवार विश्लेषण करूया.

1. मूळ ओळख यासारखी दिसते: a logaB =B. हे फक्त तेव्हाच लागू होते जेव्हा a 0 पेक्षा जास्त असेल, एकाशी समान नसेल आणि B शून्यापेक्षा मोठा असेल.
2. उत्पादनाचा लॉगरिथम खालील सूत्रामध्ये दर्शविला जाऊ शकतो: लॉग d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. या प्रकरणात, पूर्वस्थिती आहे: d, s 1 आणि s 2 > 0; a≠1. लॉगरिदमच्या या सूत्रासाठी उदाहरणे आणि समाधानासह तुम्ही पुरावा देऊ शकता. a s 1 = f 1 ला लॉग करू या आणि a s 2 = f 2 ला लॉग करू या, नंतर a f1 = s 1 , a f2 = s 2. आपल्याला मिळेल s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (डिग्री गुणधर्म ), आणि पुढे व्याख्येनुसार: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, जे सिद्ध करायचे होते.
3. भागाचे लॉगरिथम असे दिसते: लॉग a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. सूत्राच्या रूपातील प्रमेय खालील फॉर्म घेते: लॉग a q b n = n/q log a b.

या सूत्राला "लोगॅरिथमच्या अंशाची मालमत्ता" असे म्हणतात. हे सामान्य अंशांच्या गुणधर्मांसारखे दिसते आणि हे आश्चर्यकारक नाही कारण सर्व गणिते नियमित पोस्ट्युलेट्सवर अवलंबून असतात. चला पुरावा पाहू.

b \u003d t ला लॉग करू द्या, ते t \u003d b बाहेर वळते. तुम्ही दोन्ही भाग m पॉवर वर वाढवल्यास: a tn = b n ;

पण a tn = (a q) nt/q = b n असल्याने, म्हणून a q b n = (n*t)/t लॉग करा, नंतर a q b n = n/q लॉग a b ला लॉग करा. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

समस्या आणि असमानतेची उदाहरणे

लॉगरिथम समस्यांचे सर्वात सामान्य प्रकार म्हणजे समीकरणे आणि असमानतेची उदाहरणे. ते जवळजवळ सर्व समस्या पुस्तकांमध्ये आढळतात आणि गणिताच्या परीक्षेच्या अनिवार्य भागामध्ये देखील समाविष्ट केले जातात. विद्यापीठात प्रवेश घेण्यासाठी किंवा उत्तीर्ण होण्यासाठी प्रवेश परीक्षागणितात, अशा समस्यांचे निराकरण कसे करावे हे आपल्याला माहित असणे आवश्यक आहे.

दुर्दैवाने, लॉगरिदमचे अज्ञात मूल्य सोडवण्यासाठी आणि निर्धारित करण्यासाठी कोणतीही एक योजना किंवा योजना नाही, तथापि, प्रत्येक गणितीय असमानता किंवा लॉगरिदमिक समीकरणासाठी काही नियम लागू केले जाऊ शकतात. सर्व प्रथम, आपण अभिव्यक्ती सरलीकृत किंवा सामान्य स्वरूपात कमी केली जाऊ शकते की नाही हे शोधले पाहिजे. जर तुम्ही त्यांचे गुणधर्म योग्यरित्या वापरत असाल तर तुम्ही दीर्घ लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती सुलभ करू शकता. लवकरच त्यांची ओळख करून घेऊया.

लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवताना, आपल्यासमोर कोणत्या प्रकारचे लॉगरिथम आहे हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे: अभिव्यक्तीच्या उदाहरणामध्ये नैसर्गिक लॉगरिथम किंवा दशांश असू शकतात.

येथे ln100, ln1026 उदाहरणे आहेत. त्यांचे समाधान या वस्तुस्थितीवर उकळते की आपल्याला अनुक्रमे 100 आणि 1026 च्या बेस 10 च्या बरोबरीची डिग्री निश्चित करणे आवश्यक आहे. नैसर्गिक लॉगरिदमच्या निराकरणासाठी, लॉगरिदमिक ओळख किंवा त्यांचे गुणधर्म लागू करणे आवश्यक आहे. विविध प्रकारच्या लॉगरिदमिक समस्या सोडवण्याची उदाहरणे पाहू.

लॉगरिदम सूत्र कसे वापरावे: उदाहरणे आणि उपायांसह

तर, लॉगरिदमवर मुख्य प्रमेय वापरण्याची उदाहरणे पाहू.

1. उत्पादनाच्या लॉगॅरिथमचा गुणधर्म अशा कार्यांमध्ये वापरला जाऊ शकतो जेथे b संख्याचे मोठ्या मूल्याचे सोप्या घटकांमध्ये विघटन करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512. उत्तर 9 आहे.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - जसे आपण पाहू शकता, लॉगरिदमच्या डिग्रीचा चौथा गुणधर्म लागू करून, आम्ही पहिल्या दृष्टीक्षेपात एक जटिल आणि न सोडवता येणारी अभिव्यक्ती सोडवण्यात व्यवस्थापित केले. फक्त बेस फॅक्टराइज करणे आणि नंतर लॉगरिदमच्या चिन्हातून घातांक मूल्ये घेणे आवश्यक आहे.

परीक्षेतील कार्ये

लॉगरिदम बहुतेकदा प्रवेश परीक्षांमध्ये आढळतात, विशेषत: युनिफाइड स्टेट परीक्षेत (सर्व शालेय पदवीधरांसाठी राज्य परीक्षा) लॉगरिदमिक समस्या. सहसा ही कार्ये केवळ भाग A (परीक्षेतील सर्वात सोपा चाचणी भाग) मध्येच नसतात तर भाग C (सर्वात कठीण आणि प्रचंड कार्ये) मध्ये देखील असतात. परीक्षेचा अर्थ "नैसर्गिक लॉगरिदम" या विषयाचे अचूक आणि परिपूर्ण ज्ञान आहे.

उदाहरणे आणि समस्यांचे निराकरण अधिकारी कडून घेतले जाते पर्याय वापरा. अशी कार्ये कशी सोडवली जातात ते पाहूया.

दिलेला लॉग 2 (2x-1) = 4. उपाय:
चला अभिव्यक्ती पुन्हा लिहू, थोडेसे log 2 (2x-1) = 2 2 सोपे करून, लॉगरिदमच्या व्याख्येनुसार आपल्याला 2x-1 = 2 4 मिळेल, म्हणून 2x = 17; x = 8.5.

• सर्व लॉगरिदम समान बेसवर कमी केले जातात जेणेकरून समाधान अवजड आणि गोंधळात टाकणारे नाही.
• लॉगरिदमच्या चिन्हाखालील सर्व अभिव्यक्ती सकारात्मक म्हणून दर्शविल्या जातात, म्हणून, अभिव्यक्तीच्या घातांकाचा घातांक काढताना, जो लॉगरिथमच्या चिन्हाखाली आहे आणि त्याचा आधार म्हणून, लॉगरिदम अंतर्गत उरलेली अभिव्यक्ती सकारात्मक असणे आवश्यक आहे.

त्याच्या व्याख्येवरून घेतले. आणि म्हणून संख्येचा लॉगरिदम bकारणाने aघातांक म्‍हणून परिभाषित केले जाते जिच्‍यावर संख्‍या वाढवणे आवश्‍यक आहे aनंबर मिळवण्यासाठी b(लोगॅरिथम फक्त सकारात्मक संख्यांसाठी अस्तित्वात आहे).

या फॉर्म्युलेशनवरून हे गणना होते x=log a b, समीकरण सोडवण्यासाठी समतुल्य आहे ax=b.उदाहरणार्थ, लॉग 2 8 = 3कारण 8 = 2 3 . लॉगॅरिथमचे फॉर्म्युलेशन हे समर्थन करणे शक्य करते की जर b=a c, नंतर संख्येचा लॉगरिदम bकारणाने aसमान सह. हे देखील स्पष्ट आहे की लॉगरिथमचा विषय एका संख्येच्या पॉवरच्या विषयाशी जवळून संबंधित आहे.

लॉगरिदमसह, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, आपण कार्य करू शकता बेरीज, वजाबाकीची क्रियाआणि प्रत्येक संभाव्य मार्गाने परिवर्तन करा. परंतु लॉगरिदम या सामान्य संख्या नसतात हे लक्षात घेता, त्यांचे स्वतःचे विशेष नियम येथे लागू होतात, ज्यांना मूलभूत गुणधर्म.

लॉगरिदमची बेरीज आणि वजाबाकी.

एकाच बेससह दोन लॉगरिदम घ्या: लॉग xआणि लॉग a y. नंतर काढा बेरीज आणि वजाबाकी ऑपरेशन्स करणे शक्य आहे:

लॉग a x+ log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

लॉग अ(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = लॉग x 1 + लॉग x 2 + लॉग x 3 + ... + लॉग a x k.

पासून भागफल लॉगरिथम प्रमेयेलॉगरिदमचा आणखी एक गुणधर्म मिळू शकतो. हे सर्वज्ञात आहे की लॉग a 1=0, म्हणून,

लॉग a 1 /b= लॉग a 1 - लॉग a b= -लॉग a b.

तर एक समानता आहे:

log a 1 / b = - log a b.

दोन परस्पर परस्पर संख्यांचे लॉगरिदमत्याच आधारावर फक्त चिन्हात एकमेकांपासून भिन्न असतील. त्यामुळे:

लॉग 3 9= - लॉग 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

लॉगरिदमची स्वीकार्य श्रेणी (ODZ).

आता निर्बंधांबद्दल बोलूया (ODZ - व्हेरिएबल्सच्या स्वीकार्य मूल्यांचे क्षेत्र).

आम्ही लक्षात ठेवतो की, उदाहरणार्थ, वर्गमूळ ऋण संख्यांवरून घेता येत नाही; किंवा जर आपल्याकडे अपूर्णांक असेल, तर भाजक शून्याच्या बरोबरीचा असू शकत नाही. लॉगरिदमसाठी समान प्रतिबंध आहेत:

म्हणजेच, युक्तिवाद आणि आधार दोन्ही शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे आणि आधार समान असू शकत नाही.

अस का?

चला सोपी सुरुवात करूया: चला असे म्हणूया. मग, उदाहरणार्थ, संख्या अस्तित्त्वात नाही, कारण आपण कितीही पदवी वाढवली तरीही ती नेहमीच बाहेर येते. शिवाय, ते कोणत्याहीसाठी अस्तित्वात नाही. परंतु त्याच वेळी, ते कोणत्याही गोष्टीच्या बरोबरीचे असू शकते (त्याच कारणासाठी - ते कोणत्याही डिग्रीच्या समान आहे). म्हणून, ऑब्जेक्टमध्ये काही स्वारस्य नाही आणि ते फक्त गणितातून बाहेर फेकले गेले.

आमच्या बाबतीतही अशीच समस्या आहे: कोणत्याही सकारात्मक प्रमाणात - हे, परंतु ते नकारात्मक शक्तीवर अजिबात वाढविले जाऊ शकत नाही, कारण शून्याने भागाकार परिणाम होईल (मी तुम्हाला याची आठवण करून देतो).

जेव्हा आपल्याला अपूर्णांक शक्ती (ज्याला मूळ म्हणून दर्शविले जाते:. उदाहरणार्थ, (म्हणजे), परंतु अस्तित्वात नाही) वाढवण्याच्या समस्येचा सामना करावा लागतो.

म्हणून, नकारात्मक कारणे त्यांच्याशी गोंधळ करण्यापेक्षा फेकणे सोपे आहे.

बरं, आधार a हा आपल्यासाठी फक्त सकारात्मक आहे, मग आपण तो कितीही वाढवला तरीही, आपल्याला नेहमीच एक कठोर सकारात्मक संख्या मिळेल. त्यामुळे युक्तिवाद सकारात्मक असला पाहिजे. उदाहरणार्थ, ती अस्तित्वात नाही, कारण ती कोणत्याही प्रमाणात ऋण संख्या असणार नाही (आणि अगदी शून्य, म्हणून ती अस्तित्वातही नाही).

लॉगरिदमच्या समस्यांमध्ये, पहिली पायरी म्हणजे ODZ लिहून ठेवणे. मी एक उदाहरण देईन:

चला समीकरण सोडवू.

व्याख्या आठवा: लॉगॅरिथम ही अशी शक्ती आहे ज्यावर युक्तिवाद प्राप्त करण्यासाठी बेस वाढविला जाणे आवश्यक आहे. आणि स्थितीनुसार, ही पदवी समान आहे: .

आम्हाला नेहमीचे चतुर्भुज समीकरण मिळते: . आम्ही व्हिएटा प्रमेय वापरून त्याचे निराकरण करतो: मुळांची बेरीज समान आहे आणि उत्पादन. उचलण्यास सोपे, हे संख्या आहेत आणि.

पण तुम्ही लगेचच उत्तरात हे दोन्ही क्रमांक घेऊन लिहून घेतल्यास, तुम्हाला कार्यासाठी 0 गुण मिळू शकतात. का? चला विचार करूया की या मुळांना सुरुवातीच्या समीकरणात बदलल्यास काय होईल?

हे स्पष्टपणे खोटे आहे, कारण आधार नकारात्मक असू शकत नाही, म्हणजेच मूळ "तृतीय-पक्ष" आहे.

अशा अप्रिय युक्त्या टाळण्यासाठी, आपण समीकरण सोडवणे सुरू करण्यापूर्वीच आपल्याला ODZ लिहून ठेवण्याची आवश्यकता आहे:

मग, मुळे मिळाल्यावर आणि आम्ही लगेच रूट टाकून देतो आणि योग्य उत्तर लिहितो.

उदाहरण १(स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न करा) :

समीकरणाचे मूळ शोधा. जर अनेक मुळे असतील तर, तुमच्या उत्तरात लहान मुळे दर्शवा.

निर्णय:

सर्व प्रथम, ODZ लिहू:

आता आपल्याला लॉगरिदम काय आहे हे आठवते: युक्तिवाद मिळविण्यासाठी आपल्याला कोणत्या शक्तीवर आधार वाढवण्याची आवश्यकता आहे? दुसऱ्या मध्ये. म्हणजे:

असे दिसते की लहान रूट समान आहे. परंतु हे तसे नाही: ODZ नुसार, रूट तृतीय-पक्ष आहे, म्हणजेच ते मुळीच नाही दिलेले समीकरण. अशा प्रकारे, समीकरणाचे फक्त एक मूळ आहे: .

उत्तर: .

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

लॉगरिथमची सामान्य शब्दात व्याख्या आठवा:

लॉगरिदम ऐवजी दुसऱ्या समानतेमध्ये बदला:

याला समानता म्हणतात मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख. जरी तत्वतः ही समानता फक्त वेगळ्या पद्धतीने लिहिलेली आहे लॉगरिथमची व्याख्या:

ही शक्ती आहे जी मिळवण्यासाठी तुम्हाला वाढवण्याची गरज आहे.

उदाहरणार्थ:

खालील उदाहरणे सोडवा:

उदाहरण २

अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

निर्णय:

विभागातील नियम आठवा:, म्हणजे, पॉवरची डिग्री वाढवताना, निर्देशक गुणाकार केले जातात. चला ते लागू करूया:

उदाहरण ३

ते सिद्ध करा.

निर्णय:

लॉगरिदमचे गुणधर्म

दुर्दैवाने, कार्ये नेहमीच इतकी सोपी नसतात - बर्‍याचदा आपल्याला प्रथम अभिव्यक्ती सुलभ करणे आवश्यक आहे, ते नेहमीच्या स्वरूपात आणणे आवश्यक आहे आणि त्यानंतरच मूल्याची गणना करणे शक्य होईल. हे जाणून घेणे सर्वात सोपे आहे लॉगरिदमचे गुणधर्म. चला तर मग लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म जाणून घेऊ. मी त्या प्रत्येकाला सिद्ध करेन, कारण कोणताही नियम कुठून आला हे तुम्हाला माहीत असल्यास लक्षात ठेवणे सोपे आहे.

हे सर्व गुणधर्म लक्षात ठेवले पाहिजेत; त्यांच्याशिवाय, लॉगरिदमसह बहुतेक समस्या सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत.

आणि आता लॉगरिदमच्या सर्व गुणधर्मांबद्दल अधिक तपशीलवार.

मालमत्ता १:

पुरावा:

चला तर मग.

आमच्याकडे आहे: , h.t.d.

गुणधर्म 2: लॉगरिदमची बेरीज

समान आधार असलेल्या लॉगरिदमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिथमच्या बरोबरीची आहे: .

पुरावा:

चला तर मग. चला तर मग.

उदाहरण:अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: .

निर्णय: .

तुम्ही नुकतेच शिकलेले सूत्र लॉगरिदमची बेरीज सुलभ करण्यात मदत करते, फरक नाही, जेणेकरून हे लॉगरिदम लगेच एकत्र केले जाऊ शकत नाहीत. परंतु तुम्ही याच्या उलट करू शकता - पहिल्या लॉगॅरिथमचे दोन भाग "ब्रेक" करा: आणि येथे वचन दिलेले सरलीकरण आहे:
.
याची गरज का आहे? बरं, उदाहरणार्थ: काय फरक पडतो?

आता हे उघड आहे.

आता स्वतःसाठी सोपे करा:

कार्ये:

उत्तरे:

गुणधर्म 3: लॉगरिदममधील फरक:

पुरावा:

सर्व काही परिच्छेद 2 प्रमाणेच आहे:

चला तर मग.

चला तर मग. आमच्याकडे आहे:

शेवटच्या मुद्द्याचे उदाहरण आता आणखी सोपे आहे:

अधिक क्लिष्ट उदाहरण: . स्वत: ला अंदाज लावा की कसे ठरवायचे?

येथे हे लक्षात घेतले पाहिजे की लॉगरिदम वर्गाबाबत आपल्याकडे एकच सूत्र नाही. हे अभिव्यक्तीसारखेच आहे - हे लगेच सरलीकृत केले जाऊ शकत नाही.

म्हणून, लॉगरिदम बद्दलच्या सूत्रांपासून आपण विषयांतर करूया आणि विचार करूया की आपण गणितात सहसा कोणती सूत्रे वापरतो? सातव्या वर्गापासून!

हे आहे - . ते सर्वत्र आहेत या वस्तुस्थितीची आपल्याला सवय करावी लागेल! आणि घातांकात, आणि त्रिकोणमितीय, आणि मध्ये तर्कहीन कार्येते भेटले. म्हणून, ते लक्षात ठेवले पाहिजे.

जर तुम्ही पहिल्या दोन संज्ञा बारकाईने पाहिल्या तर हे स्पष्ट होते चौरसांचा फरक:

तपासण्यासाठी उत्तरः

स्वतःला साधे करा.

उदाहरणे

उत्तरे.

गुणधर्म 4: लॉगरिदमच्या युक्तिवादातून घातांकाची व्युत्पत्ती:

पुरावा:आणि येथे आपण लॉगरिथमची व्याख्या देखील वापरतो: चला, मग. आमच्याकडे आहे: , h.t.d.

आपण हा नियम याप्रमाणे समजू शकता:

म्हणजेच, तर्काची डिग्री गुणांक म्हणून लॉगरिदमच्या पुढे नेली जाते.

उदाहरण:अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

निर्णय: .

स्वतःसाठी ठरवा:

उदाहरणे:

उत्तरे:

गुणधर्म 5: लॉगरिदमच्या पायावरून घातांकाची व्युत्पत्ती:

पुरावा:चला तर मग.

आमच्याकडे आहे: , h.t.d.
लक्षात ठेवा: पासून मैदानपदवी म्हणून प्रस्तुत केले जाते उलटसंख्या, मागील केस विपरीत!

गुणधर्म 6: बेसपासून घातांकाची व्युत्पत्ती आणि लॉगरिदमचा युक्तिवाद:

किंवा अंश समान असल्यास: .

मालमत्ता 7: नवीन बेसवर संक्रमण:

पुरावा:चला तर मग.

आमच्याकडे आहे: , h.t.d.

गुणधर्म 8: बेस आणि लॉगरिदमचा युक्तिवाद स्वॅप करणे:

पुरावा:हे सूत्र 7 चे एक विशेष प्रकरण आहे: जर आपण बदलले तर आपल्याला मिळेल: , p.t.d.

आणखी काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण ४

अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

आम्ही लॉगरिदम क्रमांक 2 ची मालमत्ता वापरतो - समान आधार असलेल्या लॉगरिदमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिदमच्या समान आहे:

उदाहरण ५

अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

निर्णय:

आम्ही लॉगरिदम क्रमांक 3 आणि क्रमांक 4 ची मालमत्ता वापरतो:

उदाहरण 6

अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

निर्णय:

मालमत्ता क्रमांक 7 वापरणे - बेस 2 वर जा:

उदाहरण 7

अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

निर्णय:

तुम्हाला लेख कसा वाटला?

जर तुम्ही या ओळी वाचत असाल तर तुम्ही संपूर्ण लेख वाचला असेल.

आणि मस्त आहे!

आता सांगा तुम्हाला लेख कसा वाटला?

तुम्ही लॉगरिदम सोडवायला शिकलात का? नसेल तर अडचण काय आहे?

खाली टिप्पण्यांमध्ये आम्हाला लिहा.

आणि हो, तुमच्या परीक्षेसाठी शुभेच्छा.

युनिफाइड स्टेट परीक्षा आणि OGE आणि सर्वसाधारणपणे जीवनात