नाई मुंडण करतो. बर्ट्रांड रसेलचा विरोधाभास

गेल्या शतकात आधीच सापडलेल्या विरोधाभासांपैकी सर्वात प्रसिद्ध म्हणजे बर्ट्रांड रसेलने शोधून काढलेले आणि जी. फर्ज यांना लिहिलेल्या पत्रात त्यांनी सांगितलेले विरोधाभास. रसेलने 1902 मध्ये तर्कशास्त्र आणि गणिताच्या क्षेत्रांशी संबंधित त्याचा विरोधाभास शोधला. झेड झर्मेलो (१८७१-१९५३) आणि डी. हिल्बर्ट या जर्मन गणितज्ञांनी गॉटिंगेनमध्ये एकाच वेळी याच विरोधीपणाची चर्चा केली होती. कल्पना हवेत होती आणि त्याच्या प्रकाशनाने बॉम्बचा स्फोट झाल्याची छाप दिली. रसेलच्या विरोधाभासाने फ्रेजच्या प्रणालीमध्ये काय नष्ट केले? // आधुनिक तर्कशास्त्र: विज्ञानातील सिद्धांत, इतिहास आणि अनुप्रयोगाच्या समस्या. - सेंट पीटर्सबर्ग, 2000. - पी. 512-514. . हिल्बर्टच्या मते, या विरोधाभासामुळे गणितातील संपूर्ण आपत्तीचा परिणाम झाला. सर्वात सोप्या आणि महत्त्वाच्या तार्किक पद्धती, सर्वात सामान्य आणि उपयुक्त संकल्पना धोक्यात आहेत. असे दिसून आले की कँटरच्या सेट सिद्धांतामध्ये, जे बहुतेक गणितज्ञांनी उत्साहाने स्वीकारले होते, असे विचित्र विरोधाभास आहेत ज्यापासून मुक्त होणे अशक्य आहे किंवा कमीतकमी खूप कठीण आहे. रसेलच्या विरोधाभासाने हे विरोधाभास विशेषतः स्पष्टपणे बाहेर आणले. त्या वर्षांतील सर्वात उत्कृष्ट गणितज्ञांनी त्याच्या ठरावावर तसेच कँटरच्या सेट सिद्धांताच्या इतर आढळलेल्या विरोधाभासांच्या ठरावावर काम केले. ताबडतोब हे स्पष्ट झाले की तर्कशास्त्रात किंवा गणितात, त्यांच्या अस्तित्वाच्या संपूर्ण दीर्घ इतिहासात, प्रतिद्वंद्वी दूर करण्यासाठी आधार म्हणून काम करू शकणारे काहीही विकसित केले गेले नाही. पारंपारिक विचारसरणीपासून दूर जाणे स्पष्टपणे आवश्यक होते. पण कुठल्या ठिकाणाहून आणि कोणत्या दिशेने? Courant R., Robbins G. गणित म्हणजे काय? - छ. II, § 4.5.

सिद्धांत मांडण्याच्या प्रस्थापित मार्गांपासून दूर जाणे किती मूलगामी असेल? अँटीनोमीच्या पुढील संशोधनासह, मूलभूतपणे नवीन दृष्टिकोनाची आवश्यकता असल्याची खात्री हळूहळू वाढत गेली. त्याच्या शोधाच्या अर्ध्या शतकानंतर, तर्कशास्त्र आणि गणिताच्या पायांतील तज्ञ एल. फ्रेन्केल आणि आय. बार-हिलेल यांनी कोणत्याही आरक्षणाशिवाय आधीच सांगितले आहे: “आमचा विश्वास आहे की पारंपारिक वापरून परिस्थितीतून बाहेर पडण्याचा कोणताही प्रयत्न (म्हणजेच, 20 व्या शतकापूर्वी वापरा) विचार करण्याच्या पद्धती, जे आतापर्यंत सातत्याने अयशस्वी ठरले आहेत, या उद्देशासाठी स्पष्टपणे अपुरे आहेत. आधुनिक अमेरिकन तर्कशास्त्रज्ञ एच. करी यांनी या विरोधाभासाबद्दल थोड्या वेळाने लिहिले: “19 व्या शतकात ज्ञात असलेल्या तर्कशास्त्राच्या दृष्टीने, परिस्थितीचे स्पष्टीकरण करणे शक्य नाही, जरी, अर्थातच, आपल्या सुशिक्षित युगात असे लोक असू शकतात जे पाहतील. (किंवा असे वाटते की ते पाहतील), काय चूक आहे” मिरोश्निचेन्को पी.एन. रसेलच्या विरोधाभासाने फ्रेजच्या प्रणालीमध्ये काय नष्ट केले? // आधुनिक तर्कशास्त्र: विज्ञानातील सिद्धांत, इतिहास आणि अनुप्रयोगाच्या समस्या. - सेंट पीटर्सबर्ग, 2000. - पी. 512-514..

रसेलचा विरोधाभास त्याच्या मूळ स्वरूपात सेट किंवा वर्ग या संकल्पनेशी संबंधित आहे. आपण वेगवेगळ्या वस्तूंच्या संचाबद्दल बोलू शकतो, उदाहरणार्थ, सर्व लोकांच्या संचाबद्दल किंवा नैसर्गिक संख्यांच्या संचाबद्दल. पहिल्या संचाचा एक घटक प्रत्येक असेल वैयक्तिक, दुसऱ्याचा घटक प्रत्येक नैसर्गिक संख्या आहे. सेटला स्वतःला काही वस्तू मानणे आणि सेटच्या सेटबद्दल बोलणे देखील परवानगी आहे. तुम्ही सर्व संचांचा संच किंवा सर्व संकल्पनांचा संच यासारख्या संकल्पना देखील सादर करू शकता. कोणत्याही अनियंत्रित संचाबाबत, तो स्वतःचा घटक आहे की नाही हे विचारणे वाजवी वाटते. ज्या सेटमध्ये स्वतःला घटक म्हणून समाविष्ट नाही त्यांना सामान्य म्हटले जाईल. उदाहरणार्थ, सर्व लोकांचा संच एक व्यक्ती नाही, ज्याप्रमाणे अणूंचा संच अणू नाही. त्यांचे स्वतःचे घटक असलेले सेट असामान्य असतील. उदाहरणार्थ, एक संच जो सर्व संचांना एकत्र करतो तो एक संच असतो आणि म्हणून स्वतःला एक घटक म्हणून समाविष्ट करतो.

ते बरेच असल्याने, कोणीही त्याबद्दल विचारू शकतो, मग ते सामान्य किंवा असामान्य आहे. उत्तर मात्र निराशाजनक आहे. जर ते सामान्य असेल तर, त्याच्या व्याख्येनुसार, त्यात स्वतःला एक घटक म्हणून समाविष्ट करणे आवश्यक आहे, कारण त्यात सर्व सामान्य संच आहेत. परंतु याचा अर्थ असा की हा एक असामान्य संच आहे. आमचा संच हा एक सामान्य संच आहे असे गृहीत धरल्याने विरोधाभास निर्माण होतो. याचा अर्थ ते सामान्य असू शकत नाही. दुसरीकडे, ते एकतर असामान्य असू शकत नाही: एक असामान्य संच स्वतःला एक घटक म्हणून समाविष्ट करतो आणि आमच्या संचाचे घटक फक्त सामान्य संच आहेत. परिणामी, आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचतो की सर्व सामान्य संचांचा संच एकतर सामान्य किंवा असामान्य असू शकत नाही.

तर, योग्य घटक नसलेल्या सर्व संचांचा संच हा स्वतःचा घटक असतो आणि जर तो असा घटक नसेल तरच. हा स्पष्ट विरोधाभास आहे. आणि हे सर्वात प्रशंसनीय गृहितकांच्या आधारे आणि वरवर निर्विवाद पावले उचलून प्राप्त केले गेले. विरोधाभास सूचित करतो की असा संच अस्तित्वात नाही. पण ते अस्तित्वात का असू शकत नाही? शेवटी, त्यात स्पष्टपणे परिभाषित स्थिती पूर्ण करणाऱ्या वस्तूंचा समावेश होतो आणि ही स्थिती स्वतःच काही प्रमाणात अपवादात्मक किंवा अस्पष्ट वाटत नाही. जर असा साधा आणि स्पष्टपणे परिभाषित केलेला संच अस्तित्वात नसेल, तर शक्य आणि अशक्य संचांमध्ये नेमका काय फरक आहे? प्रश्नातील सेटच्या अस्तित्वात नसल्याबद्दलचा निष्कर्ष अनपेक्षित वाटतो आणि चिंतेचे कारण बनतो. हे सेटची आमची सामान्य संकल्पना अनाकार आणि अव्यवस्थित बनवते आणि काही नवीन विरोधाभासांना जन्म देऊ शकत नाही याची शाश्वती नाही.

कुरंट आर., रॉबिन्स जी. गणित म्हणजे काय? - छ. II, § 4.5. . ते तयार करण्यासाठी, आपल्याला कोणत्याही जटिल तांत्रिक संकल्पनांची आवश्यकता नाही, जसे की काही इतर विरोधाभासांच्या बाबतीत "सेट" आणि "सेटचे घटक" या संकल्पना पुरेसे आहेत. परंतु ही साधेपणा फक्त त्याच्या मूलभूत स्वरूपाविषयी बोलते: ती सेटबद्दलच्या आपल्या तर्काच्या सर्वात खोल पायावर स्पर्श करते, कारण ती काही विशेष प्रकरणांबद्दल बोलत नाही, परंतु सामान्यत: सेटबद्दल बोलते.

विरोधाभास रसेलच्या विरोधाभासाच्या इतर रूपांमध्ये विशिष्टपणे गणितीय वर्ण नाही. हे संच संकल्पना वापरते, परंतु विशेषतः गणिताशी संबंधित कोणत्याही विशेष गुणधर्मांना स्पर्श करत नाही.

जर आपण विरोधाभास पूर्णपणे तार्किक अटींमध्ये सुधारला तर हे स्पष्ट होते. प्रत्येक मालमत्तेसाठी, सर्व संभाव्यतेने, ते स्वतःला लागू होते की नाही हे विचारू शकते. गरम असण्याचा गुणधर्म, उदाहरणार्थ, स्वतःला लागू होत नाही, कारण तो स्वतःच गरम नसतो; कंक्रीट असण्याचा गुणधर्म देखील स्वतःचा संदर्भ देत नाही, कारण ती एक अमूर्त मालमत्ता आहे. पण अमूर्त असण्याचा, अमूर्त असण्याचा गुणधर्म स्वतःला लागू होतो.

या स्व-अलागू गुणधर्मांना अलागू म्हणू या. स्वतःला लागू न होण्याचा गुणधर्म लागू होतो का? हे निष्पन्न झाले की एक अपात्रता असे नसेल तरच लागू होणार नाही. हे अर्थातच विरोधाभासी आहे. रसेलच्या अँटिनोमीची तार्किक, मालमत्ता-संबंधित आवृत्ती त्याच्या गणितीय, सेट-संबंधित आवृत्तीइतकीच विरोधाभासी आहे.

रसेलने S.L. Katrechko द्वारे शोधलेल्या विरोधाभासाची खालील लोकप्रिय आवृत्ती देखील प्रस्तावित केली. रसेलचा बार्बर विरोधाभास आणि प्लेटो-अरिस्टॉटल डायलेक्टिक // आधुनिक तर्कशास्त्र: विज्ञानातील सिद्धांत, इतिहास आणि अनुप्रयोगाच्या समस्या. - सेंट पीटर्सबर्ग, 2002. - pp. 239-242.. कल्पना करूया की एका गावातील कौन्सिलने न्हाव्याची कर्तव्ये खालीलप्रमाणे परिभाषित केली आहेत: गावातल्या सर्व पुरुषांची मुंडण करणे जे स्वतःचे दाढी करत नाहीत आणि फक्त हीच माणसे. . त्याने स्वतःचे दाढी करावी का? तसे असेल तर तो स्वत:चे दाढी करणाऱ्यांवर उपचार करेल, परंतु जे स्वत: चे दाढी करतात, त्यांनी दाढी करू नये. तसे न केल्यास, तो स्वतःचे दाढी न करणाऱ्यांपैकी एक असेल आणि म्हणून त्याला स्वतःचे दाढी करावी लागेल. अशाप्रकारे आपण या निष्कर्षावर पोहोचतो की हा नाई स्वत:ची मुंडण करतो आणि जर त्याने स्वतःची दाढी केली नाही तरच. हे अर्थातच अशक्य आहे.

नाईबद्दलचा युक्तिवाद असा न्हावी अस्तित्वात असल्याच्या गृहीतकावर आधारित आहे. परिणामी विरोधाभासाचा अर्थ असा आहे की हे गृहितक खोटे आहे, आणि गावातील एकही रहिवासी नाही जो त्या सर्वांचे मुंडण करेल आणि फक्त तेच गावकरी जे स्वतःचे दाढी करत नाहीत. नाईची कर्तव्ये पहिल्या दृष्टीक्षेपात विरोधाभासी वाटत नाहीत, म्हणून एक असू शकत नाही असा निष्कर्ष काहीसा अनपेक्षित वाटतो. पण हा निष्कर्ष विरोधाभासी नाही. गावातील न्हाव्याने पूर्ण करणे आवश्यक आहे ही अट खरेतर अंतर्गत विरोधाभासी आहे आणि म्हणूनच ती पूर्ण करणे अशक्य आहे. गावात असा केशभूषाकार असू शकत नाही त्याच कारणास्तव त्यामध्ये अशी कोणतीही व्यक्ती नाही जी स्वतःपेक्षा मोठी असेल किंवा जो त्याच्या जन्मापूर्वी जन्माला आला असेल मिरोश्निचेन्को पी.एन. रसेलच्या विरोधाभासाने फ्रेजच्या प्रणालीमध्ये काय नष्ट केले? // आधुनिक तर्कशास्त्र: विज्ञानातील सिद्धांत, इतिहास आणि अनुप्रयोगाच्या समस्या. - सेंट पीटर्सबर्ग, 2000. - पी. 512-514..

नाईबद्दलच्या वादाला स्यूडो-विरोधाभास म्हणता येईल. त्याच्या कोर्समध्ये, ते रसेलच्या विरोधाभास सारखेच आहे आणि म्हणूनच ते मनोरंजक आहे. पण तरीही तो खरा विरोधाभास नाही.

त्याच छद्म-विरोधाभासाचे आणखी एक उदाहरण म्हणजे कॅटलॉगबद्दल प्रसिद्ध युक्तिवाद. एका विशिष्ट लायब्ररीने एक ग्रंथसूची कॅटलॉग संकलित करण्याचा निर्णय घेतला, ज्यामध्ये त्या सर्व आणि फक्त त्या ग्रंथसूची कॅटलॉगचा समावेश असेल ज्यात स्वतःचे दुवे नाहीत. अशा डिरेक्टरीत स्वतःची लिंक असावी का? असे कॅटलॉग तयार करण्याची कल्पना अव्यवहार्य आहे हे दाखवणे कठीण नाही; ते फक्त अस्तित्त्वात असू शकत नाही, कारण त्यात एकाच वेळी स्वतःचा संदर्भ समाविष्ट करणे आवश्यक आहे आणि ते समाविष्ट करू नये.

हे लक्षात घेणे मनोरंजक आहे की स्वतःचा संदर्भ नसलेल्या सर्व निर्देशिकांचे कॅटलॉग करणे ही अंतहीन, कधीही न संपणारी प्रक्रिया मानली जाऊ शकते. चला असे गृहीत धरू की के 1 म्हणुन एखादी डिरेक्टरी संकलित केली गेली होती, ज्यामध्ये स्वतःच्या लिंक्स नसलेल्या सर्व डिरेक्टरींचा समावेश होतो. K1 च्या निर्मितीसह, आणखी एक निर्देशिका दिसू लागली ज्यामध्ये स्वतःचा दुवा नव्हता. समस्या सर्व कॅटलॉगची संपूर्ण कॅटलॉग तयार करणे आहे ज्यात स्वतःचा उल्लेख नाही, हे उघड आहे की K1 हा उपाय नाही. तो त्या डिरेक्टरीपैकी एकाचा उल्लेख करत नाही - स्वतः. K1 मध्ये स्वतःचा हा उल्लेख समाविष्ट करून, आम्हाला कॅटलॉग K2 मिळतो. त्यात K1 चा उल्लेख आहे, पण K2 चा नाही. K2 मध्ये असा उल्लेख जोडून, ​​आम्हाला KZ मिळतो, जो स्वतःचा उल्लेख नसल्यामुळे पुन्हा अपूर्ण आहे. आणि पुढे आणि शेवट न करता.

आणखी एका तार्किक विरोधाभासाचा उल्लेख केला जाऊ शकतो - "डच महापौरांचा विरोधाभास", नाईच्या विरोधाभास सारखाच. हॉलंडमधील प्रत्येक नगरपालिकेत महापौर असणे आवश्यक आहे आणि दोन भिन्न नगरपालिकांमध्ये एकच महापौर असू शकत नाही. काहीवेळा असे दिसून येते की महापौर आपल्या नगरपालिकेत राहत नाही. समजा एखादा कायदा मंजूर केला गेला आहे ज्यानुसार विशिष्ट प्रदेश S हा केवळ अशा महापौरांसाठी दिला जातो जे त्यांच्या नगरपालिकांमध्ये राहत नाहीत आणि या सर्व महापौरांना या प्रदेशात स्थायिक होण्यासाठी निर्देश देतात. आपण पुढे असे गृहीत धरू या की यापैकी इतके महापौर आहेत की प्रदेश S ही स्वतंत्र नगरपालिका बनवते. या विशेष नगरपालिकेचे महापौर एस कुठे राहायचे? साध्या तर्काने असे दिसून येते की जर एखाद्या विशेष नगरपालिकेचा महापौर S च्या प्रदेशात राहत असेल तर त्याने तेथे राहू नये आणि त्याउलट, जर तो प्रदेशात राहत नसेल तर त्याने या प्रदेशात रहावे. हा विरोधाभास नाईच्या विरोधाभास सारखाच आहे हे अगदी स्पष्ट आहे.

"त्याच्या" विरोधाभासावर उपाय सुचविणारा रसेल हा पहिला होता. त्यांनी सुचवलेल्या उपायाला "प्रकार सिद्धांत" असे म्हणतात: एक संच (वर्ग) आणि त्याचे घटक वेगवेगळ्या तार्किक प्रकारांचे असतात, संचाचा प्रकार त्याच्या घटकांच्या प्रकारापेक्षा जास्त असतो, ज्यामुळे रसेलचा विरोधाभास दूर होतो (प्रकार सिद्धांत देखील वापरला गेला होता. प्रसिद्ध "लबाड" विरोधाभास सोडवण्यासाठी रसेल). तथापि, अनेक गणितज्ञांनी रसेलचे समाधान स्वीकारले नाही, असा विश्वास आहे की त्याने एस.एल. कॅट्रेचकोच्या गणितीय विधानांवर खूप कठोर निर्बंध लादले आहेत. रसेलचा बार्बर विरोधाभास आणि प्लेटो-अरिस्टॉटल डायलेक्टिक // आधुनिक तर्कशास्त्र: विज्ञानातील सिद्धांत, इतिहास आणि अनुप्रयोगाच्या समस्या. - सेंट पीटर्सबर्ग, 2002. - पृष्ठ 239-242..

परिस्थिती इतर तार्किक विरोधाभासांसारखीच आहे. फॉन राईट लिहितात, “तर्कशास्त्राच्या विरुद्धार्थी गोष्टी त्यांच्या शोधापासून आम्हाला गोंधळात टाकल्या आहेत आणि कदाचित नेहमीच आम्हाला गोंधळात टाकतील. मला वाटतं, आपण त्यांना समाधानाच्या प्रतीक्षेत असलेल्या समस्यांइतकं नाही, तर चिंतनासाठी अक्षम्य कच्चा माल मानलं पाहिजे. ते महत्त्वाचे आहेत कारण त्यांच्याबद्दल विचार करणे सर्व तर्कशास्त्रातील सर्वात मूलभूत प्रश्नांवर आणि म्हणूनच सर्व विचारांवर परिणाम करते" राइट जी.एच. पार्श्वभूमी 20 व्या शतकातील तर्कशास्त्र आणि तत्वज्ञान // मुद्दे. तत्वज्ञान 1992. क्रमांक 8..

सर्व संच ज्यात स्वतःचा घटक नसतो. त्यात स्वतःला एक घटक आहे का? तसे असल्यास, व्याख्येनुसार, ते एक घटक असू नये - एक विरोधाभास. जर नाही, तर, व्याख्येनुसार, ते एक घटक असणे आवश्यक आहे - पुन्हा एक विरोधाभास.

रसेलच्या विरोधाभासातील विरोधाभास वादात अंतर्गत विरोधाभासी संकल्पनेच्या वापरामुळे उद्भवतो. सर्व संचांचे संचआणि सेटसह काम करताना शास्त्रीय तर्कशास्त्राच्या कायद्यांच्या अमर्यादित वापराच्या शक्यतेबद्दलच्या कल्पना. या विरोधाभासावर मात करण्यासाठी अनेक मार्ग प्रस्तावित केले गेले आहेत. सर्वात प्रसिद्ध म्हणजे सेट सिद्धांतासाठी एक सुसंगत औपचारिकता सादर करणे, ज्याच्या संबंधात सेटसह कार्य करण्याचे सर्व "खरोखर आवश्यक" (विशिष्ट अर्थाने) मार्ग स्वीकार्य असतील. अशा औपचारिकतेच्या चौकटीत, अस्तित्वाबद्दल विधान सर्व संचांचे संचअपरिवर्तनीय असेल.

खरंच, सर्व संचांचा संच अस्तित्वात आहे असे मानू या. मग, निवडीच्या स्वयंसिद्धतेनुसार, एक संच देखील अस्तित्वात असणे आवश्यक आहे ज्याचे घटक ते आहेत आणि फक्त तेच संच ज्यात स्वतःला घटक म्हणून समाविष्ट नाही. तथापि, संचाच्या अस्तित्वाची धारणा रसेलच्या विरोधाभास ठरते. परिणामी, सिद्धांताच्या सुसंगततेमुळे, संचाच्या अस्तित्वाबद्दलचे विधान या सिद्धांतामध्ये वजा करता येत नाही, जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.

"सेव्हिंग" सेट सिद्धांताच्या वर्णन केलेल्या कार्यक्रमाच्या अंमलबजावणीदरम्यान, अनेक संभाव्य स्वयंसिद्धीकरण प्रस्तावित केले गेले होते (झेर्मेलो-फ्रेंकेल सिद्धांत ZF, न्यूमन-बर्नेस-गोडेल सिद्धांत एनबीजी, इ.), परंतु यापैकी कोणत्याहीसाठी कोणताही पुरावा सापडला नाही. आजपर्यंतचे सिद्धांत. शिवाय, गॉडेलने अपूर्णतेच्या प्रमेयांची मालिका विकसित करून दाखवल्याप्रमाणे, असा पुरावा अस्तित्वात असू शकत नाही (काही अर्थाने).

शोध आणखी एक प्रतिक्रिया रसेलचा विरोधाभास L. E. Ya. चा अंतर्ज्ञानवाद दिसून आला.

शब्दरचना पर्याय

या विरोधाभासाची अनेक लोकप्रिय सूत्रे आहेत. त्यापैकी एकाला पारंपारिकपणे नाईचा विरोधाभास म्हणतात आणि तो याप्रमाणे जातो:

गावातील एका नाईला आदेश दिला “जो स्वत:ची मुंडण करत नाही अशाची मुंडण करणे आणि जो स्वत:ची मुंडण करतो त्याची मुंडण करू नये”. त्याने स्वतःशी कसे वागावे?

दुसरा पर्याय:

एका देशात एक हुकूम जारी करण्यात आला: "सर्व शहरांच्या महापौरांनी त्यांच्या स्वतःच्या शहरात नाही, तर महापौरांच्या खास शहरात राहायला हवे". नगराध्यक्षांच्या नगराध्यक्षांनी कुठे राहावे?

आणि आणखी एक:

एका विशिष्ट लायब्ररीने एक ग्रंथसूची कॅटलॉग संकलित करण्याचा निर्णय घेतला ज्यामध्ये ते सर्व आणि फक्त तेच ग्रंथसूची कॅटलॉग समाविष्ट असतील ज्यात स्वतःचे दुवे नाहीत. अशा डिरेक्टरीत स्वतःची लिंक असावी का?

देखील पहा

साहित्य

• कौरंट आर., रॉबिन्स जी.गणित म्हणजे काय? - छ. II, § 4.5
• मिरोश्निचेन्को पी. एन.रसेलच्या विरोधाभासाने फ्रेजच्या प्रणालीमध्ये काय नष्ट केले? // आधुनिक तर्कशास्त्र: विज्ञानातील सिद्धांत, इतिहास आणि अनुप्रयोगाच्या समस्या. - सेंट पीटर्सबर्ग, 2000. - पी. 512-514.
• कात्रेच्को एस. एल.रसेलचा बार्बर विरोधाभास आणि प्लेटोचा द्वंद्वात्मक - ॲरिस्टॉटल // आधुनिक तर्कशास्त्र: विज्ञानातील सिद्धांत, इतिहास आणि अनुप्रयोगाच्या समस्या. - सेंट पीटर्सबर्ग, 2002. - पी. 239-242.
• मार्टिन गार्डनरबरं, अंदाज लावा काय! = अहाहा! पकडला. कोडे आणि आनंदासाठी विरोधाभास. - एम.: मीर, 1984. - पृष्ठ 22-23. - 213 पी.

नोट्स

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

इतर शब्दकोशांमध्ये "रसेलचा विरोधाभास" काय आहे ते पहा:

- (ग्रीक विरोधाभास अनपेक्षित, विचित्र) व्यापक अर्थाने: एक विधान जे सामान्यतः स्वीकारल्या जाणाऱ्या, प्रस्थापित मतापासून झपाट्याने वेगळे होते, "बिनशर्त बरोबर" दिसते त्यास नकार; संकुचित अर्थाने, दोन विरोधी विधाने, साठी... ... फिलॉसॉफिकल एनसायक्लोपीडिया

रसेलचा विरोधाभास, 1903 मध्ये बर्ट्रांड रसेलने शोधला आणि नंतर स्वतंत्रपणे ई. झर्मेलोने पुन्हा शोधला, हा एक सेट-सैद्धांतिक अँटीनोमी आहे जो कँटरच्या भोळ्या सेट सिद्धांताच्या भाषेची अपूर्णता दर्शवितो, आणि त्याची विसंगती नाही. विरुद्धार्थी... ... विकिपीडिया

विरोधाभास- PARADOX (ग्रीक पॅरा बाहेरील आणि doxa मते). 1) व्यापक (गैर-तार्किक) अर्थाने, परंपरा, कायदा, नियम, सर्वसामान्य प्रमाण किंवा सामान्य ज्ञानाद्वारे पुष्टी केलेल्या, सामान्यतः स्वीकारल्या जाणाऱ्या मतांसह एक किंवा दुसऱ्या प्रकारे संघर्षात (विविधतेने) येणारी प्रत्येक गोष्ट. ज्ञानकोश आणि विज्ञानाचे तत्वज्ञान

एक प्रस्ताव जो अद्याप स्पष्ट नाही, परंतु, अपेक्षेच्या विरुद्ध, सत्य व्यक्त करतो. प्राचीन तर्कशास्त्रात, विरोधाभास हे एक विधान होते ज्याचे पॉलीसेमी प्रामुख्याने त्याच्या शुद्धतेशी किंवा अयोग्यतेशी संबंधित होते. मध्ये…… फिलॉसॉफिकल एनसायक्लोपीडिया

- (सर्व स्थापित वर्गांच्या वर्गाचा विरोधाभास) सेट सिद्धांतातील विरोधाभास, जो बुराली फोर्टी विरोधाभासाचे सामान्यीकरण आहे. रशियन गणितज्ञ डी. मिरीमानोव्ह यांच्या नावावरून. सामग्री 1 शब्दरचना ... विकिपीडिया

हे दर्शविते की सर्व क्रमिक संख्यांच्या संचाच्या अस्तित्वाच्या गृहीतकामुळे विरोधाभास निर्माण होतात आणि म्हणून, सेट सिद्धांत ज्यामध्ये अशा संचाचे बांधकाम शक्य आहे ते विरोधाभासी आहे. सामग्री 1 सूत्रीकरण 2 इतिहास ... विकिपीडिया

- (ग्रीक विरोधाभासातून अनपेक्षित, विचित्र) एक अनपेक्षित, असामान्य (किमान फॉर्ममध्ये) निर्णय (विधान, प्रस्ताव), या विषयावरील सामान्यतः स्वीकारल्या जाणाऱ्या, पारंपारिक मताशी तीव्रपणे मतभेद आहेत. या अर्थाने, "विरोधाभासात्मक" हे विशेषण... ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया

कँटरचा विरोधाभास हा संच सिद्धांताचा विरोधाभास आहे, जो दर्शवितो की सर्व संचांच्या अस्तित्वाची धारणा विरोधाभासांना कारणीभूत ठरते आणि म्हणूनच, एक सिद्धांत ज्यामध्ये अशा संचाचे बांधकाम विरोधाभासी आहे... ... विकिपीडिया

या शब्दाचे इतर अर्थ आहेत, विरोधाभास (अर्थ) पहा. रॉबर्ट बॉयल. एक शाश्वत गती मशीन अस्तित्वात नाही याचा पुरावा योजना विरोधाभास ... विकिपीडिया

पुस्तके

• तर्कशास्त्रातील डोमेन सार्वत्रिकतेच्या आधिभौतिक संकल्पनेचा नाश. विवाद फ्रीगे-श्रोएडर, बीव्ही बिर्युकोव्ह. हे पुस्तक "तर्कांचे विश्व" - तर्कशास्त्रातील विषय क्षेत्र या संकल्पनेशी संबंधित गणितीय तर्कशास्त्राच्या नाट्यमय इतिहासाचे परीक्षण करते. दोघांच्या दृश्यांची टक्कर...

रसेलचा विरोधाभास (रसेलची विरुद्धार्थी, तसेच रसेल-झर्मेलो विरोधाभास) - एक सेट-सिद्धांतिक विरोधाभास (अँटीनोमी) 1901 मध्ये बर्ट्रांड रसेलने शोधून काढला, जो फ्रेगेच्या तार्किक प्रणालीची विसंगती दर्शवितो, जो जॉर्ज कँटरच्या निरागस सेट सिद्धांताला औपचारिक करण्याचा प्रारंभिक प्रयत्न होता. हे अर्न्स्ट झर्मेलो यांनी पूर्वी शोधले होते, परंतु प्रकाशित केले नाही.

चालू अनौपचारिक भाषाविरोधाभास खालीलप्रमाणे वर्णन केले जाऊ शकते. सेटचा स्वतःचा घटक नसल्यास आपण त्याला “सामान्य” म्हणण्यास सहमती देऊ या. उदाहरणार्थ, सर्व लोकांचा संच "सामान्य" आहे कारण सेट स्वतः एक व्यक्ती नाही. "असामान्य" संचाचे उदाहरण म्हणजे सर्व संचांचा संच, कारण तो स्वतःच एक संच आहे आणि म्हणूनच तो स्वतः एक योग्य घटक आहे.

आम्ही फक्त सर्व "सामान्य" संचांचा समावेश असलेल्या सेटचा विचार करू शकतो; रसेल सेट . हा संच “सामान्य” आहे की नाही हे ठरवण्याचा प्रयत्न करताना विरोधाभास निर्माण होतो, म्हणजेच त्यात स्वतःला एक घटक आहे की नाही. दोन शक्यता आहेत.

• एकीकडे, जर ते "सामान्य" असेल तर ते स्वतःला एक घटक म्हणून समाविष्ट केले पाहिजे, कारण त्यामध्ये सर्व "सामान्य" संच असतात. परंतु नंतर ते "सामान्य" असू शकत नाही कारण "सामान्य" संच ते आहेत ज्यात स्वतःचा समावेश नाही.
• आम्ही फक्त असे गृहीत धरू शकतो की हा संच "असामान्य" आहे. तथापि, ते स्वतःला घटक म्हणून समाविष्ट करू शकत नाही, कारण व्याख्येनुसार त्यात फक्त "सामान्य" संच असणे आवश्यक आहे. परंतु जर ते स्वतःला घटक म्हणून समाविष्ट करत नसेल तर तो एक "सामान्य" संच आहे.

कोणत्याही परिस्थितीत, परिणाम एक विरोधाभास आहे.

विश्वकोशीय YouTube

1 / 5

✪ व्याख्यान 1. संचाची व्याख्या. डी मॉर्गनचे कायदे. रसेलचा विरोधाभास. वेअरस्ट्रासचे प्रमेय

✪ 3 रसेलचा विरोधाभास

✪ बर्ट्रांड रसेल यांचा भावी पिढ्यांना सल्ला

✪ व्याख्यान 21: भोळे सेट सिद्धांत आणि अस्पष्ट तर्क

✪ मॉन्टी हॉल पॅराडॉक्स - नंबरफाइल

उपशीर्षके

विरोधाभास तयार करणे

रसेलचा विरोधाभास निरागस सेट सिद्धांतामध्ये तयार केला जाऊ शकतो. म्हणून, भोळे सेट सिद्धांत विसंगत आहे. भोळे सेट सिद्धांताचा एक विवादास्पद तुकडा, ज्याला बायनरी सदस्यत्व संबंधासह प्रथम-ऑर्डर सिद्धांत म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते ∈ (\डिस्प्लेस्टाइल \in )आणि वाटप योजना: निष्कलंक सेट सिद्धांतामध्ये एक मुक्त चल असलेल्या प्रत्येक तार्किक सूत्रासाठी एक स्वयंसिद्ध आहे

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff P(x))).

ही स्वयंसिद्ध योजना सांगते की कोणत्याही स्थितीसाठी P(x) (\displaystyle P(x))अनेक आहेत y , (\डिस्प्लेस्टाइल y,)यांचा समावेश आहे x , (\displaystyle x,)जे अट पूर्ण करतात P(x) (\displaystyle P(x)) .

रसेलचा विरोधाभास खालीलप्रमाणे तयार करण्यासाठी हे पुरेसे आहे. द्या P(x) (\displaystyle P(x))एक सूत्र आहे x ∉ x. (\displaystyle x\notin x.)(ते आहे P(x) (\displaystyle P(x))म्हणजे अनेक x (\displaystyle x)स्वतःला एक घटक म्हणून समाविष्ट करत नाही, किंवा, आमच्या शब्दावलीत, एक "सामान्य" संच आहे.) नंतर, निवडीच्या स्वयंसिद्धतेनुसार, एक संच आहे y (\डिस्प्लेस्टाइल y)(रसेल सेट) असे

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

कारण हे कोणासाठीही खरे आहे x , (\displaystyle x,)हे देखील खरे आहे x = y. (\displaystyle x=y.)ते आहे

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\प्रदर्शन शैली y\in y\iff y\notin y.)

यावरून असे दिसून येते की भोळ्या संचाच्या सिद्धांतामध्ये एक विरोधाभास प्राप्त होतो.

रसेल संच अस्तित्वात नाही असे गृहीत धरल्यास विरोधाभास निर्माण होणार नाही. तथापि, ही धारणा स्वतःच विरोधाभासी आहे: कँटरच्या सेट सिद्धांतामध्ये असे मानले जाते की कोणतीही मालमत्ता या मालमत्तेचे समाधान करणाऱ्या घटकांचा संच ठरवते. "सामान्य" असण्याच्या संचाचा गुणधर्म चांगल्या प्रकारे परिभाषित केलेला दिसत असल्याने, सर्व "सामान्य" संचांचा संच असणे आवश्यक आहे. आता हा सिद्धांत म्हणतात भोळे सेट सिद्धांत .

विरोधाभासाच्या लोकप्रिय आवृत्त्या

रसेलच्या विरोधाभासाच्या अनेक आवृत्त्या आहेत. विरोधाभासाच्या विपरीत, ते, एक नियम म्हणून, औपचारिक भाषेत व्यक्त केले जाऊ शकत नाहीत.

लबाड विरोधाभास

रसेलचा विरोधाभास लबाडाच्या विरोधाभासाशी संबंधित आहे, जो प्राचीन काळापासून ज्ञात आहे, जो खालील प्रश्नात आहे. खालील विधान दिले आहे:

हे विधान खोटे आहे.

हे विधान खरे आहे की नाही? हे विधान खरे किंवा खोटे असू शकत नाही हे दाखवणे सोपे आहे.

रसेलने या विरोधाभासाबद्दल लिहिले:

रसेलने स्वतः लबाड विरोधाभास अशा प्रकारे स्पष्ट केला. विधानांबद्दल काहीही सांगण्यासाठी, आपण अद्याप परिभाषित न केलेल्या संकल्पनांचा वापर न करता, "विधान" ही संकल्पना स्वतःच परिभाषित केली पाहिजे. अशाप्रकारे पहिल्या प्रकारच्या विधानांची व्याख्या करणे शक्य आहे, जे विधानांबद्दल काहीही सांगत नाहीत. मग आपण दुसऱ्या प्रकारची विधाने परिभाषित करू शकतो जी पहिल्या प्रकारच्या विधानांबद्दल बोलतात आणि असेच. "हे विधान खोटे आहे" हे विधान यापैकी कोणत्याही व्याख्येखाली येत नाही आणि त्यामुळे त्याचा काही अर्थ नाही.

नाईचा विरोधाभास

रसेलने विरोधाभासाच्या पुढील आवृत्तीचा उल्लेख केला आहे, जो त्याला कोणीतरी सुचवलेले कोडे म्हणून तयार केले आहे.

एखाद्या गावात एक न्हावी असू द्या जो स्वत: मुंडण न करणाऱ्या सर्व गावकऱ्यांना आणि फक्त त्यांनाच मुंडण करतो. नाई स्वतःचे दाढी करतो का?

कोणत्याही उत्तरामुळे विरोधाभास निर्माण होतो. हा विरोधाभास त्याच्या विरोधाभासाच्या समतुल्य नाही आणि सहज सोडवला जातो असे रसेलने नमूद केले आहे. खरंच, जसा रसेलचा विरोधाभास दाखवतो की रसेल सेट नाही, तसाच नाईचा विरोधाभास दाखवतो की असा नाई अस्तित्वात नाही. फरक असा आहे की अशा न्हाव्याच्या अस्तित्वात आश्चर्यकारक काहीही नाही: प्रत्येक मालमत्तेसाठी एक नाई आहे जो ही मालमत्ता असलेल्या लोकांची दाढी करतो. तथापि, काही चांगल्या-परिभाषित मालमत्तेद्वारे परिभाषित केलेल्या घटकांचा कोणताही संच नाही ही वस्तुस्थिती संचांच्या भोळ्या कल्पनेला विरोध करते आणि स्पष्टीकरण आवश्यक आहे.

कॅटलॉग बद्दल पर्याय

रसेलच्या विरोधाभासाचे सर्वात जवळचे सूत्र त्याच्या सादरीकरणाची खालील आवृत्ती आहे:

ग्रंथसूची कॅटलॉग ही पुस्तके आहेत जी इतर पुस्तकांचे वर्णन करतात. काही निर्देशिका इतर निर्देशिकांचे वर्णन करू शकतात. काही निर्देशिका स्वतःचे वर्णन देखील करू शकतात. स्वतःचे वर्णन न करणाऱ्या सर्व डिरेक्टरीज कॅटलॉग करणे शक्य आहे का?

या निर्देशिकेने स्वतःचे वर्णन करावे की नाही हे ठरवण्याचा प्रयत्न करताना विरोधाभास उद्भवतो. फॉर्म्युलेशनची स्पष्ट समानता असूनही (हा प्रत्यक्षात रसेलचा विरोधाभास आहे, ज्यामध्ये सेटऐवजी कॅटलॉग वापरले जातात), हा विरोधाभास, नाईच्या विरोधाभास प्रमाणेच, सहजपणे सोडवला जातो: असा कॅटलॉग संकलित केला जाऊ शकत नाही.

ग्रेलिंग-नेल्सन विरोधाभास

हा विरोधाभास जर्मन गणितज्ञांनी तयार केला होता कर्ट ग्रेलिंगआणि 1908 मध्ये लिओनार्ड-नेल्सन. हे वास्तवात रसेलच्या विरोधाभासाच्या मूळ आवृत्तीचे भाषांतर आहे, जे त्याने प्रेडिकेट लॉजिकच्या संदर्भात (फ्रेगेला लिहिलेले पत्र पहा), गणित नसलेल्या भाषेत सांगितले आहे.

आम्ही विशेषण म्हणू चिंतनशील, जर या विशेषणात या विशेषणाने परिभाषित केलेली मालमत्ता असेल. उदाहरणार्थ, विशेषण “रशियन”, “पॉलिसिलॅबिक” - त्यांना परिभाषित करणारे गुणधर्म आहेत (“रशियन” हे विशेषण रशियन आहे, आणि “पॉलिसिलॅबिक” हे विशेषण पॉलिसिलॅबिक आहे), म्हणून ते प्रतिक्षेपी आहेत, आणि विशेषण “जर्मन”, “ मोनोसिलॅबिक" आहेत चिंतनशील. "अप्रतिबिंबित" हे विशेषण प्रतिक्षेपी असेल की नाही?

कोणत्याही उत्तरामुळे विरोधाभास निर्माण होतो. नाईच्या विरोधाभासाच्या विपरीत, या विरोधाभासाचे निराकरण इतके सोपे नाही. आम्ही फक्त असे म्हणू शकत नाही की असे विशेषण ("अप्रतिबिंबित") अस्तित्वात नाही, कारण आम्ही ते फक्त परिभाषित केले आहे. विरोधाभास उद्भवतो कारण "अप्रतिबिंबित" या शब्दाची व्याख्या स्वतःच चुकीची आहे. या संज्ञेची व्याख्या यावर अवलंबून आहे मूल्येविशेषण ज्यावर ते लागू होते. आणि "अप्रतिबिंबित" हा शब्द स्वतःच परिभाषेत एक विशेषण असल्याने, एक दुष्ट वर्तुळ उद्भवते.

कथा

रसेलला कदाचित मे किंवा जून 1901 मध्ये त्याचा विरोधाभास सापडला असेल. स्वत: रसेलच्या म्हणण्यानुसार, तो कँटरच्या विरोधाभासी वस्तुस्थितीच्या पुराव्यामध्ये त्रुटी शोधण्याचा प्रयत्न करत होता (ज्याला कँटरचा विरोधाभास म्हणून ओळखले जाते) की कोणतीही कमाल कार्डिनल संख्या नाही (किंवा सर्व संचांचा संच). परिणामी, रसेलला एक सोपा विरोधाभास मिळाला. रसेलने त्याचा विरोधाभास इतर तर्कशास्त्रज्ञांना, विशेषत: व्हाईटहेड आणि पियानो यांना कळवला. 16 जून 1902 रोजी फ्रेगेला लिहिलेल्या पत्रात त्यांनी लिहिले की त्यांना "" मध्ये एक विरोधाभास सापडला आहे. संकल्पनात्मक गणना" - फ्रेजचे पुस्तक, 1879 मध्ये प्रकाशित झाले. फ्रेगेची फंक्शनची व्याख्या वापरून त्यांनी तर्कशास्त्राच्या दृष्टीने आणि नंतर सेट सिद्धांताच्या दृष्टीने त्याचा विरोधाभास सांगितला:

मला फक्त एकाच ठिकाणी अडचणी आल्या. तुम्ही म्हणता (पृ. 17) की फंक्शन स्वतःच अज्ञात म्हणून कार्य करू शकते. मलाही असेच वाटायचे. पण आता खालील विरोधाभासामुळे असे मत मला संशयास्पद वाटते. द्या w predicate: "स्वतःवर लागू होऊ शकत नाही असे predicate असणे." करू शकतो wस्वत: ला लागू करणे? कोणतेही उत्तर उलट सूचित करते. म्हणून आपण असा निष्कर्ष काढला पाहिजे w- एक predicate नाही. त्याचप्रमाणे, त्या वर्गांचा असा कोणताही वर्ग (संपूर्ण) नाही जो संपूर्णपणे घेतलेला, स्वतःचा नाही. यावरून मी असा निष्कर्ष काढतो की काही वेळा ठराविक संच पूर्ण अस्तित्व तयार करत नाही.

मूळ मजकूर (जर्मन)

Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht kwerdenannir. कान मॅन डब्ल्यू वॉन सिच सेल्बस्ट प्रॅडिसीरेन? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet.

फ्रेगेला हे पत्र प्राप्त झाले जेव्हा त्याने अंकगणिताच्या मूलभूत कायद्याच्या दुसऱ्या खंडावर काम पूर्ण केले (जर्मन: Grundgesetze der Arithmetik). फ्रेगेला त्याचा सेट सिद्धांत दुरुस्त करण्यासाठी वेळ नव्हता. त्याने फक्त दुसऱ्या खंडात एका खात्यासह परिशिष्ट जोडले आणि त्याच्या विरोधाभासाचे विश्लेषण, जे प्रसिद्ध टिप्पणीने सुरू झाले:

एखाद्या शास्त्रज्ञाने आपले काम पूर्ण केल्यावर त्याच्या पायाखालची जमीन सरकवण्यापेक्षा वाईट काहीही घडण्याची शक्यता नाही. माझे काम पूर्ण झाल्यानंतर मला बर्ट्रांड रसेलचे पत्र मिळाले तेव्हा मला हीच परिस्थिती आली.

मूळ मजकूर (जर्मन)

Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. इन diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte.

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)),

ज्यामध्ये असे म्हटले आहे की मालमत्तेचे समाधान करणारे अनेक घटक तयार करणे शक्य आहे P (x), (\ डिस्प्लेस्टाइल P(x),)त्याने खालील स्वयंसिद्ध वापरण्याचा प्रस्ताव दिला:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) आणि z ≠ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\colon P(x)\)),

अशाप्रकारे लोकसमुदाय स्वतःचा एक घटक होण्याची शक्यता नाहीशी करते. तथापि, एक लहान [ कोणते?] रसेलच्या विरोधाभासातील बदल हे सिद्ध करते की हे स्वयंसिद्ध देखील विरोधाभास ठरते.

रसेलने त्याच्या पुस्तकात त्याचा विरोधाभास प्रकाशित केला गणिताची तत्त्वे"1903 मध्ये.

खाली रसेलच्या विरोधाभासांपासून मुक्त स्वयंसिद्ध प्रणाली तयार करण्यासाठी अनेक संभाव्य पध्दती आहेत.

रसेलचा प्रकार सिद्धांत

रसेलच्या विरोधाभासापासून मुक्त सिद्धांत मांडणारा पहिला माणूस स्वतः रसेल होता. त्याने प्रकारांचा सिद्धांत विकसित केला, ज्याची पहिली आवृत्ती रसेल आणि व्हाईटहेडच्या पुस्तकात आली गणिताची तत्त्वे"1903 मध्ये. या सिद्धांताचा आधार पुढील कल्पना आहे: या सिद्धांतातील साध्या वस्तूंचा प्रकार 0 असतो, साध्या वस्तूंच्या संचामध्ये प्रकार 1 असतो, साध्या वस्तूंच्या संचामध्ये प्रकार 2 असतो आणि असेच बरेच काही. अशा प्रकारे, कोणताही संच स्वतःला घटक म्हणून असू शकत नाही. या सिद्धांतामध्ये सर्व संचांचा संच किंवा रसेल संच यांची व्याख्या करता येत नाही. विधाने आणि गुणधर्मांसाठी समान पदानुक्रम सादर केला जातो. साध्या वस्तूंबद्दलची विधाने प्रकार 1 ची आहेत, प्रकार 1 च्या विधानांच्या गुणधर्मांबद्दलची विधाने प्रकार 2 ची आहेत, इत्यादी. सर्वसाधारणपणे, फंक्शन, व्याख्येनुसार, ते ज्या व्हेरिएबल्सवर अवलंबून असते त्यापेक्षा उच्च प्रकारचे असते. हा दृष्टीकोन आपल्याला केवळ रसेलच्या विरोधाभासातूनच नव्हे तर लबाड विरोधाभास (), ग्रेलिंग-नेल्सन विरोधाभास आणि बुराली-फोर्टी विरोधाभासांसह इतर अनेक विरोधाभासांपासून मुक्त होण्यास अनुमती देतो. रसेल आणि व्हाईटहेड यांनी 1910-1913 मध्ये प्रकाशित झालेल्या प्रिन्सिपिया मॅथेमॅटिका या त्यांच्या तीन खंडांच्या कार्यात सर्व गणिते टाइप सिद्धांताच्या स्वयंसिद्धापर्यंत कशी कमी करायची हे दाखवले.

तथापि, या पद्धतीमध्ये अडचणी आल्या. विशेषतः, वास्तविक संख्यांच्या संचासाठी सर्वोच्च सारख्या संकल्पना परिभाषित करताना समस्या उद्भवतात. व्याख्येनुसार, सर्वोच्च हे सर्व सर्वोच्चांपैकी सर्वात लहान आहे. म्हणून, अचूक वरची सीमा निर्धारित करताना, वास्तविक संख्यांचा संच वापरला जातो. याचा अर्थ असा की अचूक सर्वोच्च एक वस्तू अधिक आहे उच्च प्रकार, कसे वास्तविक संख्या. याचा अर्थ ती स्वतःच खरी संख्या नाही. हे टाळण्यासाठी, तथाकथित परिचय करणे आवश्यक होते कमीपणाचे स्वयंसिद्ध. त्याच्या मनमानीपणामुळे, अनेक गणितज्ञांनी कमी करण्यायोग्य स्वयंसिद्धता स्वीकारण्यास नकार दिला आणि रसेलने स्वतः याला त्याच्या सिद्धांतातील दोष म्हटले. याव्यतिरिक्त, सिद्धांत अतिशय जटिल असल्याचे बाहेर वळले. परिणामी, त्याचा मोठ्या प्रमाणावर वापर झाला नाही.

Zermelo-Frenkel सेट सिद्धांत

गणिताच्या स्वयंसिद्धीकरणासाठी सर्वात प्रसिद्ध दृष्टीकोन म्हणजे झर्मेलो-फ्रेंकेल (झेडएफ) सेट सिद्धांत, जो विस्तार म्हणून उद्भवला. Zermelo च्या सिद्धांत(1908). रसेलच्या विपरीत, झर्मेलोने तार्किक तत्त्वे कायम ठेवली आणि सेट सिद्धांताचे केवळ स्वयंसिद्ध बदल केले. या दृष्टिकोनाची कल्पना अशी आहे की स्वयंसिद्धांच्या विशिष्ट संचाचा वापर करून आधीपासून तयार केलेल्या संचांमधून तयार केलेले संच वापरण्याची परवानगी आहे. उदाहरणार्थ, Zermelo च्या स्वयंसिद्धांपैकी एक म्हणते की दिलेल्या संचाच्या (बूलियन स्वयंसिद्ध) सर्व उपसंचांचा संच तयार करणे शक्य आहे. दुसरे स्वयंसिद्ध ( वाटप योजना) म्हणते की प्रत्येक संचातून एक दिलेली गुणधर्म असलेल्या घटकांचा उपसंच निवडू शकतो. झर्मेलो सेट सिद्धांत आणि भोळे सेट सिद्धांत यांच्यातील हा मुख्य फरक आहे: भोळे सेट सिद्धांतामध्ये आपण दिलेल्या गुणधर्म असलेल्या सर्व घटकांच्या संचाचा विचार करू शकतो, तर झर्मेलो सेट सिद्धांतामध्ये आपण आधीपासून तयार केलेल्या सेटमधून फक्त उपसंच निवडू शकतो. झरमेलो सेट सिद्धांतामध्ये, सर्व संचांचा संच तयार करणे अशक्य आहे. त्यामुळे तेथे रसेल संच बांधणे अशक्य आहे.

वर्ग

कधीकधी गणितामध्ये सर्व संचांचा संपूर्ण विचार करणे उपयुक्त ठरते, उदाहरणार्थ सर्व गटांच्या संकलनाचा विचार करणे. हे करण्यासाठी, सेट सिद्धांत वर्गाच्या संकल्पनेद्वारे विस्तारित केला जाऊ शकतो, उदाहरणार्थ, न्यूमन-बर्नेस-गोडेल (NBG) प्रणालीमध्ये. या सिद्धांतामध्ये, सर्व संचांचा संग्रह आहे वर्ग. तथापि, हा वर्ग एक संच नाही आणि कोणत्याही वर्गाचा सदस्य नाही, जो रसेलचा विरोधाभास टाळतो.

एक मजबूत सिस्टीम जी क्वांटिफायर वर्गांद्वारे घेण्यास अनुमती देते आणि केवळ सेटद्वारे नाही, उदाहरणार्थ, मोर्स-केली सेट सिद्धांत(MK) या सिद्धांतामध्ये, मुख्य संकल्पना ही संकल्पना आहे वर्ग, पण नाही सेट. या सिद्धांतामध्ये, संच असे वर्ग मानले जातात जे स्वतः काही वर्गांचे घटक आहेत. या सिद्धांतात सूत्र z ∈ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\))सूत्राच्या समतुल्य मानले जाते

P(z) आणि ∃ y . z ∈ y (\displaystyle P(z)\ &\ \ अस्तित्वात आहे y.z\in y).

कारण ∃y z ∈ y (\डिस्प्लेस्टाइल \अस्तित्वात y.z\in y)या सिद्धांताचा अर्थ तो वर्ग z (\displaystyle z)आहे अनेक, हे सूत्र असे समजून घेतले पाहिजे ( x: P (x) ) (\displaystyle \(x\colon P(x)\))सर्वांचा वर्ग आहे सेट(वर्ग नाही) z (\displaystyle z), असे की P(z) (\displaystyle P(z)). या सिद्धांतातील रसेलचा विरोधाभास या वस्तुस्थितीद्वारे सोडवला जातो की प्रत्येक वर्ग एक संच नसतो.

आम्ही पुढे जाऊन वर्गांच्या संग्रहाचा विचार करू शकतो - समूह, समूहांचे संग्रह आणि असेच.

गणितावर परिणाम

गणिताचे स्वयंसिद्धीकरण

रसेलच्या विरोधाभासाने, 20 व्या शतकाच्या सुरुवातीस शोधलेल्या इतर गणितीय प्रतिशब्दांसह, गणिताच्या पायाच्या पुनरावृत्तीला चालना दिली, ज्यामुळे गणिताचे समर्थन करण्यासाठी स्वयंसिद्ध सिद्धांतांची निर्मिती झाली, ज्यापैकी काही वर नमूद केल्या आहेत.

तयार केलेल्या सर्व नवीन स्वयंसिद्ध सिद्धांतांमध्ये, 20 व्या शतकाच्या मध्यापर्यंत ज्ञात असलेले विरोधाभास (रसेलच्या विरोधाभासासह) काढून टाकण्यात आले. तथापि, भविष्यात नवीन समान विरोधाभास शोधले जाऊ शकत नाहीत हे सिद्ध करणे (ही तयार केलेल्या स्वयंसिद्ध सिद्धांतांच्या सुसंगततेची समस्या आहे) या समस्येच्या आधुनिक समजानुसार, अशक्य असल्याचे दिसून आले (अपूर्णतेबद्दल गोडेलची प्रमेये पहा).

अंतर्ज्ञानवाद

समांतर, गणितात एक नवीन चळवळ उभी राहिली, ज्याला अंतर्ज्ञान म्हणतात, ज्याचे संस्थापक एल.ई. या. अंतर्ज्ञानवाद रसेलच्या विरोधाभास आणि इतर विरोधी प्रतिवादांपासून स्वतंत्रपणे उद्भवला. तथापि, सेट थिअरीमधील अँटिनोमीजच्या शोधामुळे अंतर्ज्ञानवाद्यांचा तार्किक तत्त्वांवरील अविश्वास वाढला आणि अंतर्ज्ञानवादाच्या निर्मितीला वेग आला. अंतर्ज्ञानवादाचा मुख्य प्रबंध म्हणते की एखाद्या वस्तूचे अस्तित्व सिद्ध करण्यासाठी, त्याच्या बांधकामासाठी एक पद्धत सादर करणे आवश्यक आहे. अंतर्ज्ञानवादी सर्व संचांचा संच म्हणून अशा अमूर्त संकल्पना नाकारतात. अंतर्ज्ञानवाद वगळलेल्या तृतीयाचा कायदा नाकारतो; तथापि, हे लक्षात घेतले पाहिजे की वगळलेल्या तृतीयाच्या कायद्याला रसेलच्या विरोधी किंवा इतर कोणत्याही विरोधाभासाची आवश्यकता नाही (कोणत्याही अँटीनोमीमध्ये हे सिद्ध झाले आहे की अ (\डिस्प्लेस्टाइल अ)नकार आवश्यक आहे अ (\डिस्प्लेस्टाइल अ)आणि नकार अ (\डिस्प्लेस्टाइल अ) entails अ , (\डिस्प्लेस्टाइल अ,)तथापि पासून (A ⇒ ¬ A) आणि (¬ A ⇒ A) (\ प्रदर्शन शैली (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A))अंतर्ज्ञानवादी तर्कशास्त्रातही एक विरोधाभास आहे). हे देखील लक्षात घेण्यासारखे आहे की नंतरच्या काळात अंतर्ज्ञानी गणितातील विरोधाभासांच्या स्वयंसिद्धीकरणांमध्ये रसेलच्या सारखेच आढळले, जसे की Girard च्या विरोधाभासमूळ फॉर्म्युलेशनमध्ये मार्टिन-लोफ.

विकर्ण युक्तिवाद (स्वयं-लागू)

रसेलच्या तर्कामुळे विरोधाभास होतो हे असूनही, या तर्काची मुख्य कल्पना बहुतेक वेळा गणितीय प्रमेयांच्या पुराव्यामध्ये वापरली जाते. वर नमूद केल्याप्रमाणे, रसेलने सर्वात मोठ्या कार्डिनल नंबरच्या अस्तित्वात नसल्याच्या कँटरच्या पुराव्याचे विश्लेषण करून त्याचा विरोधाभास प्राप्त केला. ही वस्तुस्थिती सर्व संचांच्या संचाच्या अस्तित्वाचा विरोधाभास करते, कारण त्याचे मुख्यत्व जास्तीत जास्त असावे. तथापि, कँटोरच्या प्रमेयानुसार, दिलेल्या संचाच्या सर्व उपसमूहांच्या संचामध्ये संचापेक्षा जास्त कार्डिनॅलिटी असते. या वस्तुस्थितीचा पुरावा खालील गोष्टींवर आधारित आहे तिरकस युक्तिवाद?!:

प्रत्येक घटकाप्रमाणे एक-ते-एक पत्रव्यवहार असू द्या x (\displaystyle x)सेट X (\displaystyle X)उपसंच जुळते s x (\displaystyle s_(x))सेट एक्स. (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स.)द्या d (\ प्रदर्शन शैली d)घटकांचा समावेश असलेला संच असेल x (\displaystyle x)असे की x ∈ s x (\displaystyle x\in s_(x)) (कर्ण संच). मग या संचाला पूरक s = d ¯ (\displaystyle s=(\overline (d)))यापैकी काहीही असू शकत नाही s x . (\displaystyle s_(x).)परिणामी, पत्रव्यवहार वन-टू-वन नव्हता.

अगणितता सिद्ध करण्यासाठी कँटरने कर्ण युक्तिवाद वापरला वास्तविक संख्या 1891 मध्ये. (वास्तविक संख्येच्या अगणिततेचा हा त्याचा पहिला पुरावा नाही, तर सर्वात सोपा आहे).

संबंधित विरोधाभास

वर चर्चा केल्याशिवाय अनेक विरोधाभासांमध्ये स्वयं-लागूता वापरली जाते:

• सर्वशक्तिमानतेचा विरोधाभास हा मध्ययुगीन प्रश्न आहे: "सर्वशक्तिमान देव असा दगड तयार करू शकतो का जो तो स्वतः उचलू शकत नाही?"
• बुरली-फोर्टी विरोधाभास (1897) हे क्रमिक संख्यांसाठी कँटरच्या विरोधाभासाचे ॲनालॉग आहे.
• मिरीमानोव्हचा विरोधाभास (1917) हे सर्व स्थापित वर्गांच्या वर्गासाठी बुराली-फोर्टी विरोधाभासाचे सामान्यीकरण आहे.
• Richard's paradox (1905) हा एक अर्थविषयक विरोधाभास आहे जो गणित आणि मेटामॅथेमॅटिक्सची भाषा वेगळे करण्याचे महत्त्व दर्शवितो.
• Berry's paradox (1906) ही रसेलने प्रकाशित केलेल्या रिचर्डच्या विरोधाभासाची सोपी आवृत्ती आहे.
• Kleene-Rosser विरोधाभास(1935) - λ-कॅल्क्युलसच्या दृष्टीने रिचर्डच्या विरोधाभासाचे सूत्रीकरण.
• The Curry paradox (1941) हे Kleene-Rosser विरोधाभासाचे सरलीकरण आहे.
• Girard च्या विरोधाभास(1972) - संज्ञांमध्ये बुरली-फोर्टी विरोधाभास तयार करणे अंतर्ज्ञान प्रकार सिद्धांत .
• - बेरीच्या विरोधाभासाची आठवण करून देणारा अर्धा विनोद करणारा विरोधाभास.

नोट्स

1. गोदेहार्ड लिंक (2004) रसेलचा विरोधाभास शंभर वर्षे, सह. 350, ISBN 9783110174380 , .
2. रसेलची अँटीनोमी // तर्कशास्त्राचा शब्दकोश. Ivin A. A., Nikiforov A. L.- एम.: तुमानिट, व्लाडोस, 1997. - 384 पी. - ISBN 5-691-00099-3.
3. अँड्र्यू डेव्हिड इर्विन, हॅरी ड्यूश.रसेलचा विरोधाभास // द स्टॅनफोर्ड एनसायक्लोपीडिया ऑफ फिलॉसॉफी / एडवर्ड एन झाल्टा - 2014-01-01.
4. अँटिनोमी- गणितीय विश्वकोशातील लेख. ए.जी. ड्रॅगलिन
5. ए.एस. गेरासिमोव्ह.गणितीय-तर्कशास्त्र आणि सिद्धांत-संगणकतेचा अभ्यासक्रम. - तिसरी आवृत्ती, दुरुस्त आणि विस्तारित. - सेंट पीटर्सबर्ग: LEMA, 2011. - pp. 124-126. - 284 पी.

आमच्या शतकात सापडलेला सर्वात प्रसिद्ध विरोधाभास म्हणजे बी. रसेल यांनी शोधलेला अँटीनोमी. कल्पना हवेतच होती आणि तिच्या प्रकाशनाचा परिणाम बॉम्बस्फोटाचा झाला. डी. हिल्बर्टच्या म्हणण्यानुसार, "संपूर्ण आपत्तीचा परिणाम" गणितामध्ये हा विरोधाभास निर्माण झाला. सर्वात सोप्या आणि महत्त्वाच्या तार्किक पद्धती, सर्वात सामान्य आणि उपयुक्त संकल्पना धोक्यात आहेत. ताबडतोब हे स्पष्ट झाले की तर्कशास्त्रात किंवा गणितात, त्यांच्या अस्तित्वाच्या संपूर्ण दीर्घ इतिहासात, प्रतिद्वंद्वी दूर करण्यासाठी आधार म्हणून काम करू शकणारे काहीही विकसित केले गेले नाही. पारंपारिक विचारसरणीपासून दूर जाणे स्पष्टपणे आवश्यक होते.

रसेलचा विरोधाभास त्याच्या मूळ स्वरूपात सेट किंवा वर्ग या संकल्पनेशी संबंधित आहे. आपण वेगवेगळ्या वस्तूंच्या संचाबद्दल बोलू शकतो, उदाहरणार्थ सर्व लोकांच्या संचाबद्दल किंवा नैसर्गिक संख्यांच्या संचाबद्दल. पहिल्या संचाचा एक घटक प्रत्येक वैयक्तिक व्यक्ती असेल, दुसऱ्या संचाचा एक घटक प्रत्येक नैसर्गिक संख्या असेल. सेटला स्वतःला काही वस्तू मानणे आणि सेटच्या सेटबद्दल बोलणे देखील परवानगी आहे. तुम्ही सर्व संचांचा संच किंवा सर्व संकल्पनांचा संच यासारख्या संकल्पना देखील सादर करू शकता. कोणत्याही अनियंत्रित संचाबाबत, तो स्वतःचा घटक आहे की नाही हे विचारणे वाजवी वाटते. ज्या सेटमध्ये स्वतःला घटक म्हणून समाविष्ट नाही त्यांना सामान्य म्हटले जाईल. उदाहरणार्थ, सर्व लोकांचा संच एक व्यक्ती नाही, ज्याप्रमाणे अणूंचा संच अणू नाही. त्यांचे स्वतःचे घटक असलेले सेट असामान्य असतील. उदाहरणार्थ, एक संच जो सर्व संचांना एकत्र करतो तो एक संच असतो आणि म्हणून स्वतःला एक घटक म्हणून समाविष्ट करतो. अर्थात, प्रत्येक संच एकतर सामान्य किंवा असामान्य आहे.

आता आपण सर्व सामान्य संचांचा विचार करू. ते बरेच असल्याने, कोणीही त्याबद्दल विचारू शकतो, मग ते सामान्य किंवा असामान्य आहे. उत्तर मात्र निराशाजनक आहे. जर ते सामान्य असेल, तर त्याच्या व्याख्येनुसार ते स्वतःला एक घटक म्हणून समाविष्ट करणे आवश्यक आहे, कारण त्यात सर्व सामान्य संच आहेत. परंतु याचा अर्थ असा की हा एक असामान्य संच आहे. आमचा संच हा एक सामान्य संच आहे असे गृहीत धरल्याने विरोधाभास निर्माण होतो. याचा अर्थ ते सामान्य असू शकत नाही. दुसरीकडे, ते एकतर असामान्य असू शकत नाही: एक असामान्य संच स्वतःला एक घटक म्हणून समाविष्ट करतो आणि आमच्या संचाचे घटक फक्त सामान्य संच आहेत. परिणामी, आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचतो की सर्व सामान्य संचांचा संच एकतर सामान्य किंवा असामान्य असू शकत नाही.

तर, योग्य घटक नसलेल्या सर्व संचांचा संच हा स्वतःचा घटक असतो आणि जर तो असा घटक नसेल तरच. हा स्पष्ट विरोधाभास आहे.

विरोधाभास सूचित करतो की असा संच अस्तित्वात नाही. पण ते अस्तित्वात का असू शकत नाही? शेवटी, त्यात स्पष्टपणे परिभाषित स्थिती पूर्ण करणाऱ्या वस्तूंचा समावेश होतो आणि ही स्थिती स्वतःच काही प्रमाणात अपवादात्मक किंवा अस्पष्ट वाटत नाही. जर असा साधा आणि स्पष्टपणे परिभाषित केलेला संच अस्तित्वात नसेल, तर शक्य आणि अशक्य संचांमध्ये नेमका काय फरक आहे? प्रश्नातील सेटच्या अस्तित्वात नसल्याबद्दलचा निष्कर्ष अनपेक्षित वाटतो आणि चिंतेचे कारण बनतो. हे सेटची आमची सामान्य संकल्पना अनाकार आणि अव्यवस्थित बनवते आणि काही नवीन विरोधाभासांना जन्म देऊ शकत नाही याची शाश्वती नाही.

रसेलचा विरोधाभास त्याच्या अत्यंत सामान्यतेसाठी उल्लेखनीय आहे. ते तयार करण्यासाठी, आपल्याला कोणत्याही जटिल तांत्रिक संकल्पनांची आवश्यकता नाही, जसे की काही इतर विरोधाभासांच्या बाबतीत "सेट" आणि "सेटचे घटक" या संकल्पना पुरेसे आहेत. परंतु ही साधेपणा फक्त त्याच्या मूलभूत स्वरूपाविषयी बोलते: ती सेटबद्दलच्या आपल्या तर्काच्या सर्वात खोल पायावर स्पर्श करते, कारण ती काही विशेष प्रकरणांबद्दल बोलत नाही, परंतु सामान्यत: सेटबद्दल बोलते.

रसेलचा विरोधाभास विशेषतः गणिती स्वरूपाचा नाही. हे संच संकल्पना वापरते, परंतु विशेषतः गणिताशी संबंधित कोणत्याही विशेष गुणधर्मांना स्पर्श करत नाही. जर आपण विरोधाभास पूर्णपणे तार्किक अटींमध्ये सुधारला तर हे स्पष्ट होते.

प्रत्येक मालमत्तेसाठी, सर्व संभाव्यतेने, ते स्वतःला लागू होते की नाही हे विचारू शकते. गरम असण्याचा गुणधर्म, उदाहरणार्थ, स्वतःला लागू होत नाही, कारण तो स्वतःच गरम नसतो; कंक्रीट असण्याचा गुणधर्म देखील स्वतःचा संदर्भ देत नाही, कारण ती एक अमूर्त मालमत्ता आहे. पण अमूर्त असण्याचा, अमूर्त असण्याचा गुणधर्म स्वतःला लागू होतो. या स्व-अलागू गुणधर्मांना अलागू म्हणू या. स्वतःला लागू न होण्याचा गुणधर्म लागू होतो का? हे निष्पन्न झाले की एक अपात्रता जर ती नसेल तरच लागू होणार नाही. हे अर्थातच विरोधाभासी आहे, रसेलच्या अँटीनोमीची तार्किक, मालमत्ता-संबंधित आवृत्ती त्याच्या गणितीय, सेट-संबंधित आवृत्तीइतकीच विरोधाभासी आहे.

बी. रसेलने त्याला शोधलेल्या विरोधाभासाची खालील लोकप्रिय आवृत्ती देखील प्रस्तावित केली. “नाई त्या सर्वांना आणि फक्त शहरातील रहिवासी मुंडण करतो जे स्वतःचे दाढी करत नाहीत. न्हावी कोण मुंडण करतो? नाईचा विरोधाभास या वस्तुस्थितीत आहे की या प्रश्नाचे उत्तर देणे अशक्य आहे.

परिस्थिती समजून घेण्यासाठी, शहरातील रहिवाशांना तीन गटांमध्ये विभागूया. हे ब्रेकडाउन डाव्या आकृतीमध्ये दर्शविले आहे: जे स्वत: मुंडण करतात ते शीर्षस्थानी आहेत; ज्यांचे मुंडण केले आहे ते खालचे आहेत; जे अजिबात दाढी करत नाहीत (भिक्षू, मुले, स्त्रिया...) ते लंबवर्तुळाच्या बाहेर आहेत.

प्रथम स्थितीचा परिणाम (१) विचारात घेऊ. नाईला दाढी करू द्या, जे स्वतःचे दाढी करत नाहीत, म्हणजेच लंबवर्तुळाचा संपूर्ण खालचा अर्धा भाग (शेडिंग नाईच्या ग्राहकांना चिन्हांकित करते). परंतु अट (१) त्याला मुंडण करणाऱ्याचे, म्हणजे स्वतःचे दाढी करण्याची परवानगी देते. अट (1) त्याला लंबवर्तुळाच्या वरच्या अर्ध्या भागात स्वतःला ठेवण्याची परवानगी देते, जिथे रहिवासी स्वतः मुंडण करतात आणि तिथे स्वतःचे दाढी करतात. हे मधल्या चित्रात दाखवले आहे.

जर अट (२) लागू होत असेल आणि नाई फक्त त्यांचीच मुंडण करतो जे स्वतःचे दाढी करत नाहीत, याचा अर्थ असा आहे की तो लंबवर्तुळाच्या खालच्या अर्ध्या भागाचा मुंडण करतो आणि स्वतःची दाढी करत नाही, म्हणजेच तो वरच्या अर्ध्या भागामध्ये नाही. लंबवर्तुळ परंतु खालच्या अर्ध्या भागातील रहिवाशांना नाई व्यतिरिक्त कोणीतरी मुंडण करू शकते. आणि नाई या लोकांमध्ये असू शकतो (उजवे चित्र). त्यामुळे न्हाव्याला त्याच्या मित्राकडून मुंडण करता येते आणि नाई लंबवर्तुळाच्या खालच्या अर्ध्या भागाच्या छायांकित भागाची मुंडण करेल.

पण जर (१) आणि (२) दोन्ही अटी लागू झाल्या तर नाईला लंबवर्तुळात स्थान नाही. म्हणजे तो मुळीच दाढी करत नाही. आणि येथे कोणताही विरोधाभास नाही. म्हणून, तो एकतर साधू आहे, किंवा रोबोट आहे, किंवा एक मूल आहे, किंवा एक स्त्री आहे, किंवा शहराचा रहिवासी नाही आहे... आणि जर पुरुषांशिवाय शहरात कोणीही नसेल तर, आणि म्हणून, देखावा लंबवर्तुळ रिकामे आहे, नंतर अटी (1) आणि (2) पूर्ण करणारा न्हावी अस्तित्वात नाही. या प्रकरणात दाढी कोणी केली हे विचारणे मूर्खपणाचे आहे. अशा अनेक नाई रिक्त आहेत.

आणि इथे आमच्या लक्षात आले की, "कोण न्हावी दाढी करते?" हा प्रश्न विचारला गेला, तो अगदी सुरुवातीपासूनच चुकीचा होता, अगदी क्लासिक प्रश्नाप्रमाणे: "तुम्ही तुमच्या वडिलांना का मारता?" न्हाव्याला कोण मुंडण करते हे विचारण्याआधी, कोणीतरी त्याचे मुंडण करत आहे हे तुम्ही मान्य केले पाहिजे.

केशभूषाबद्दलच्या वादाला छद्म-विरोधाभास म्हणता येईल. त्याच्या कोर्समध्ये, ते रसेलच्या विरोधाभास सारखेच आहे आणि म्हणूनच ते मनोरंजक आहे. पण तरीही तो खरा विरोधाभास नाही.

त्याच छद्म-विरोधाभासाचे आणखी एक उदाहरण म्हणजे कॅटलॉगबद्दल प्रसिद्ध युक्तिवाद.

एका विशिष्ट लायब्ररीने एक ग्रंथसूची कॅटलॉग संकलित करण्याचा निर्णय घेतला, ज्यामध्ये त्या सर्व आणि फक्त त्या ग्रंथसूची कॅटलॉगचा समावेश असेल ज्यात स्वतःचे दुवे नाहीत. अशा डिरेक्टरीत स्वतःची लिंक असावी का? असे कॅटलॉग तयार करण्याची कल्पना अव्यवहार्य आहे हे दाखवणे कठीण नाही; ते फक्त अस्तित्त्वात असू शकत नाही, कारण त्यात एकाच वेळी स्वतःचा संदर्भ समाविष्ट करणे आवश्यक आहे आणि ते समाविष्ट करू नये. हे लक्षात घेणे मनोरंजक आहे की स्वतःचा संदर्भ नसलेल्या सर्व निर्देशिकांचे कॅटलॉग करणे ही अंतहीन, कधीही न संपणारी प्रक्रिया मानली जाऊ शकते.

चला असे गृहीत धरू की एखाद्या वेळी डिरेक्टरी संकलित केली गेली होती, K1 म्हणा, ज्यामध्ये त्याच्यापेक्षा वेगळ्या सर्व डिरेक्टरी समाविष्ट केल्या होत्या ज्यात स्वतःची लिंक नसलेली असते. K1 च्या निर्मितीसह, आणखी एक निर्देशिका दिसू लागली ज्यामध्ये स्वतःचा दुवा नव्हता. समस्या स्वतःचा उल्लेख न करणाऱ्या सर्व डिरेक्टरीजचा संपूर्ण कॅटलॉग तयार करण्याची असल्याने, K1 हा उपाय नाही हे उघड आहे. तो त्या डिरेक्टरीपैकी एकाचा उल्लेख करत नाही - स्वतः. K1 मध्ये स्वतःचा हा उल्लेख समाविष्ट करून, आम्हाला K2 कॅटलॉग मिळेल. त्यात K1 चा उल्लेख आहे पण K2 नाही. K2 मध्ये असा उल्लेख जोडल्यास, आम्हाला K3 मिळतो, जो स्वतःचा उल्लेख नसल्यामुळे पुन्हा अपूर्ण आहे. आणि असेच अविरतपणे.

एका गावातील एका नाईच्या दुकानाच्या मालकाने पुढील सूचना पोस्ट केली: “मी त्यांची दाढी करतो आणि फक्त तेच गावकरी जे स्वतःचे दाढी करत नाहीत.” प्रश्न असा आहे की न्हाव्याचे दाढी कोण करते?

विकास गणितीय तर्कसंगणक तंत्रज्ञान आणि प्रोग्रामिंगच्या विकासाच्या संदर्भात 20 व्या शतकात विशेषतः तीव्र झाले.

Ø व्याख्या गणितीय तर्कशास्त्र- हे आधुनिक फॉर्मतर्कशास्त्र, जे पूर्णपणे औपचारिकतेवर अवलंबून असते गणितीय पद्धती. हे काटेकोरपणे परिभाषित केलेल्या वस्तू आणि निर्णयांसह केवळ निष्कर्षांचा अभ्यास करते, ज्यासाठी ते खरे किंवा खोटे हे अस्पष्टपणे ठरवणे शक्य आहे.

गणितीय तर्कशास्त्राची मुख्य (अपरिभाषित) संकल्पना ही संकल्पना आहे “ साधे विधान" विधान जे एक विधान असते त्याला सामान्यतः साधे किंवा प्राथमिक म्हणतात.

Ø व्याख्या विधानएक घोषणात्मक वाक्य आहे जे खरे किंवा खोटे असे म्हटले जाऊ शकते.

विधाने सत्य I किंवा असत्य L असू शकतात.

उदाहरण: पृथ्वी ग्रह सौर यंत्रणा. (खरे); प्रत्येक समांतरभुज चौकोन असतो (असत्य)

अशी विधाने आहेत जी खरी आहेत की खोटी हे निश्चितपणे सांगता येत नाही. "आज हवामान चांगले आहे" (कोणावर अवलंबून)

उदाहरणविधान "पाऊस पडत आहे"- साधे, आणि ते खरे की खोटे हे खिडकीच्या बाहेरचे हवामान कसे आहे यावर अवलंबून असते. जर खरच पाऊस पडत असेल तर ते विधान खरे आहे आणि जर ऊन असेल आणि पावसाची वाट पाहणे व्यर्थ आहे, तर विधान "पाऊस पडत आहे"खोटे असेल.

उदाहरण"" हे विधान नाही (त्याचा काय अर्थ होतो हे माहित नाही).

"द्वितीय वर्षाचा विद्यार्थी" हे विधान नाही

Ø व्याख्याप्राथमिकउच्चार इतर उच्चारांमधून व्यक्त करता येत नाहीत.

Ø व्याख्यासंमिश्रविधाने - विधाने जी प्राथमिक विधाने वापरून व्यक्त केली जाऊ शकतात.

उदाहरण"22 संख्या सम आहे" हे एक साधे विधान आहे.

विधानांचे सत्य प्रस्थापित करण्यासाठी दोन मुख्य पध्दती आहेत: प्रायोगिक (प्रायोगिक) आणि तार्किक.

येथे अनुभवजन्य दृष्टीकोनविधानाचे सत्य निरीक्षण, मोजमाप आणि प्रयोगांद्वारे स्थापित केले जाते.

तार्किक दृष्टिकोनविधानाचे सत्य इतर विधानांच्या सत्याच्या आधारे स्थापित केले जाते, म्हणजे तथ्यांचा अवलंब न करता, त्यांच्या सामग्रीनुसार, म्हणजे औपचारिकपणे. हा दृष्टिकोन युक्तिवादात समाविष्ट केलेल्या विधानांमधील तार्किक कनेक्शन ओळखणे आणि वापरणे यावर आधारित आहे.

2.2 प्रस्तावित तर्क

सर्वप्रथम, तुम्हाला संकल्पना परिभाषित करणे आवश्यक आहे, कारण समान विभागाला अनेकदा वेगळ्या पद्धतीने म्हटले जाते: गणितीय तर्कशास्त्र, प्रस्तावित तर्कशास्त्र, प्रतीकात्मक तर्कशास्त्र, द्वि-मूल्य तर्कशास्त्र, प्रस्तावित तर्कशास्त्र, बुलियन बीजगणित...

Ø व्याख्याप्रस्तावित तर्क- तर्कशास्त्राची एक शाखा ज्यामध्ये विधानांची सत्यता किंवा असत्यता या प्रश्नाचा विचार केला जातो आणि ई पासून विधाने तयार करण्याच्या पद्धतीचा अभ्यास करून त्यावर निर्णय घेतला जातो. प्राथमिक(पुढे विघटित आणि विश्लेषण केलेले नाही) विधाने ("आणि"), वियोग ("किंवा"), नकार ("नाही"), निहितार्थ ("जर..., नंतर...") च्या तार्किक क्रिया वापरून इ.

Ø Propositional Calculus ची व्याख्याही एक स्वयंसिद्ध तार्किक प्रणाली आहे, ज्याचे स्पष्टीकरण प्रस्तावांचे बीजगणित आहे.

सर्वात जास्त स्वारस्य म्हणजे एक औपचारिक प्रणाली तयार करणे जी, सर्व संभाव्य विधानांमध्ये, तार्किक कायदे (योग्यरित्या तयार केलेले तर्क, तार्किक निष्कर्ष, टोटोलॉजीज, सामान्यतः वैध विधान) ओळखते.

औपचारिक सिद्धांत, नैसर्गिक (बोललेली) भाषा न वापरता, त्यांच्या स्वतःच्या औपचारिक भाषेची आवश्यकता असते ज्यामध्ये त्यातील अभिव्यक्ती लिहिल्या जातात.

Ø व्याख्याएक औपचारिक प्रणाली जी विधाने व्युत्पन्न करते जी टोटोलॉजी असतात आणि फक्त त्यांना म्हणतात प्रस्तावित कॅल्क्युलस(IV).

औपचारिक IW प्रणालीची व्याख्या याद्वारे केली जाते:

तार्किक जोडणी दर्शविण्यासाठी कोणती चिन्हे सर्वोत्तम वापरली जातात?

आपण खालील नोटेशन्सवर राहू या: नकार, संयोग, वियोग, निहितार्थ आणि समतुल्य. सामान्यतः, कनेक्टिव्ह वापरण्याच्या परिणामांची तार्किक मूल्ये टेबलच्या स्वरूपात (तथाकथित सत्य सारण्या) लिहिली जातात.

2.3तार्किक जोडणी................................................ ......

नैसर्गिक भाषेत, रचना करताना संयोजकांची भूमिका जटिल वाक्येसाधे खालील द्वारे खेळले जातात व्याकरणाचा अर्थ:

संयोग “आणि”, “किंवा”, “नाही”;

शब्द "जर ... नंतर", "एकतर ... किंवा"

"जर आणि फक्त तर", इ.

प्रपोझिशनल लॉजिकमध्ये, जटिल विधाने तयार करण्यासाठी वापरलेले तार्किक संयोजक अचूकपणे परिभाषित केले जाणे आवश्यक आहे.

विधानांवर तार्किक संयोजक (ऑपरेशन्स) विचार करूया ज्यामध्ये कंपाऊंड स्टेटमेंट्सची सत्य मूल्ये केवळ घटक विधानांच्या सत्य मूल्यांद्वारे निर्धारित केली जातात, त्यांच्या अर्थाने नाही.

पाच मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाणारे लॉजिकल कनेक्टिव्ह आहेत.

नकार (चिन्हाने दर्शविलेले),

संयोग (चिन्ह),

विच्छेदन (चिन्ह v),

निहितार्थ (चिन्ह)

समतुल्यता (चिन्ह).

Ø व्याख्यानकारविधाने P - विधान P असत्य असेल तरच सत्य आहे.

Ø व्याख्यासंयोगदोन विधाने P आणि Q - एक विधान जे सत्य असेल आणि जर दोन्ही विधाने सत्य असतील तरच.

Ø व्याख्यावियोगदोन विधाने P आणि Q - एक विधान जे खोटे असेल आणि फक्त जर दोन्ही विधाने असत्य असतील.

Ø व्याख्यातात्पर्यदोन विधाने P आणि Q - एक विधान जे खोटे आहे जर आणि फक्त P सत्य असेल आणि Q असत्य असेल. विधान P म्हणतात पार्सलद्वारेपरिणाम, आणि विधान Q आहे निष्कर्षपरिणाम

Ø व्याख्यासमतुल्यतादोन विधाने P आणि Q - एक विधान जे P आणि Q ची सत्य मूल्ये जुळली तरच सत्य आहे.

तर्कशास्त्राच्या बीजगणितात “जर...” “तर...” या शब्दांचा वापर त्यांच्या रोजच्या भाषणात वापरण्यापेक्षा वेगळा आहे, जिथे, नियम म्हणून, आमचा विश्वास आहे की जर विधान एक्सअसत्य आहे, तर विधान “जर एक्स, ते येथे"काही अर्थ नाही. याव्यतिरिक्त, फॉर्मचे वाक्य तयार करणे “जर एक्स, ते येथे"रोजच्या बोलण्यात, आपण नेहमी त्या वाक्याचा अर्थ घेतो येथेवाक्यावरून पुढे येते एक्स. मध्ये "जर, नंतर" शब्द वापरणे गणितीय तर्कयाची आवश्यकता नाही, कारण ते विधानांचा अर्थ विचारात घेत नाही.

2.4 लॉजिकल ऑपरेशन्स

डिजिटल तंत्रज्ञानाचा आधार तीन तार्किक ऑपरेशन्स आहेत जे सर्व संगणक आउटपुट अधोरेखित करतात. ही तीन तार्किक क्रिया आहेत: AND, OR, NOT, ज्यांना "मशीन लॉजिकचे तीन स्तंभ" म्हणतात.

तुम्ही लॉजिकल कनेक्टिव्ह किंवा तार्किक ऑपरेशन्स लागू करू शकता जे स्वतंत्र गणिताच्या कोर्सपासून विधानांपर्यंत ओळखले जातात. या प्रकरणात तो बाहेर वळते सूत्रे. जेव्हा सर्व अक्षर मूल्ये बदलली जातात तेव्हा सूत्रे विधान बनतात.

मूलभूत तार्किक ऑपरेशन्सची सत्य सारणी.

लॉजिकल ऑपरेशन्स वापरून एकमेकांशी संबंधित अनेक व्हेरिएबल्सना लॉजिकल फंक्शन म्हणतात.

कोणत्याही कॅल्क्युलसच्या वर्णनामध्ये या कॅल्क्युलस (वर्णमाला) च्या चिन्हांचे वर्णन, चिन्हांचे अंतिम कॉन्फिगरेशन असलेली सूत्रे आणि व्युत्पन्न सूत्रांची व्याख्या समाविष्ट असते.

2.5 प्रस्तावित कॅल्क्युलसची वर्णमाला

प्रस्तावित कॅल्क्युलस वर्णमालामध्ये तीन श्रेणींची चिन्हे असतात:

त्यापैकी पहिले वियोग किंवा तार्किक जोडण्याचे चिन्ह आहे, दुसरे संयुक्त किंवा तार्किक गुणाकाराचे चिन्ह आहे, तिसरे निहितार्थ किंवा तार्किक परिणामाचे चिन्ह आहे आणि चौथे नकाराचे चिन्ह आहे.

प्रपोझिशनल कॅल्क्युलसमध्ये इतर कोणतीही चिन्हे नाहीत

2.6 सूत्रे

प्रोपोझिशनल कॅल्क्युलस फॉर्म्युले हे प्रोपोझिशनल कॅल्क्युलस वर्णमालेतील चिन्हांचे अनुक्रम आहेत.

सूत्रे दर्शविण्यासाठी आम्ही वापरतो राजधानी अक्षरेलॅटिन वर्णमाला. ही अक्षरे कॅल्क्युलस चिन्हे नाहीत. ते केवळ सूत्रांचे प्रतीक आहेत.

Ø व्याख्या सूत्र-योग्यरित्या तयार केलेले कंपाऊंड स्टेटमेंट:

1) प्रत्येक अक्षर आहे सुत्र.

2) जर , सूत्रे आहेत, तर , , , , हे देखील सूत्र आहेत.

अर्थात, शब्द: ) हे सूत्र नाहीत (या शब्दांपैकी तिसऱ्या शब्दात बंद कंस नसतो आणि चौथ्यामध्ये कंस नसतो).

लक्षात घ्या की लॉजिकल कनेक्टिव्हच्या संकल्पना येथे कोणत्याही प्रकारे निर्दिष्ट केल्या नाहीत. सहसा, सूत्रांच्या लेखनात काही सरलीकरणे सादर केली जातात. उदाहरणार्थ, सूत्र लिहिण्यामध्ये, प्रस्तावित बीजगणिताच्या समान नियमांनुसार कंस वगळले जातात.

Ø व्याख्या.सूत्र म्हणतात टाटॉलॉजी, जर ते कोणत्याही अक्षर मूल्यांसाठी फक्त सत्य मूल्ये स्वीकारत असेल.

Ø व्याख्याअक्षरांच्या कोणत्याही मूल्यासाठी असत्य असे सूत्र म्हणतात विरोधाभास

Ø व्याख्यासूत्र म्हणतात व्यवहार्य, जर व्हेरिएबल्सच्या सत्य मूल्यांच्या वितरणाच्या विशिष्ट संचावर ते मूल्य AND घेते.

Ø व्याख्यासूत्र म्हणतात खंडन करण्यायोग्य, जर, व्हेरिएबल्सच्या सत्य मूल्यांच्या विशिष्ट वितरणाखाली, ते मूल्य L घेते.

उदाहरणव्याख्येच्या कलम 2 नुसार सूत्रे आहेत.

त्याच कारणास्तव, शब्द सूत्रे असतील:

सोबतच एक सूत्र, संकल्पना उपसूत्रकिंवा सूत्राचे भाग.

1. उपसूत्रप्राथमिक सूत्र स्वतः आहे.

2. जर सूत्राला फॉर्म असेल, तर त्याचे उपसूत्र आहेत: स्वतः, सूत्र A आणि सूत्र A चे सर्व उपसूत्र.

3. जर एखाद्या सूत्राचे फॉर्म (A*B) असेल (यापुढे, * या चिन्हाद्वारे आपल्याला तीन चिन्हांपैकी कोणतेही अर्थ आहेत), तर त्याचे उपसूत्र आहेत: स्वतः, सूत्र A आणि B आणि सूत्र A आणि B चे सर्व उपसूत्र.

उदाहरणसूत्रासाठी त्याचे उपसूत्र असतील:

- शून्य खोलीचे उपसूत्र,

पहिल्या खोलीचे उपसूत्र,

दुसऱ्या खोलीचे उपसूत्र,

तिसऱ्या खोलीचे उपसूत्र,

चौथ्या खोलीचे उपसूत्र.

अशाप्रकारे, जसे आपण “सूत्राच्या रचनेत खोलवर जाऊ” तेव्हा आपण वाढत्या खोलीचे उपसूत्र हायलाइट करतो

स्वतंत्र गणिताच्या कोर्सवरून आपल्याला मूलभूत तार्किक समतुल्यता (समतुल्यता) माहित आहेत, जी टॅटोलॉजीची उदाहरणे आहेत. सर्व तार्किक कायदे टोटोलॉजी असणे आवश्यक आहे.

कधीकधी कायदे म्हणतात अनुमानाचे नियम,जे परिसरातून योग्य निष्कर्ष ठरवतात.

2.7 प्रस्तावित तर्कशास्त्राचे कायदे

तर्कशास्त्राच्या बीजगणितामध्ये संयुक्त आणि वियोगाच्या कार्यांसंबंधीचे विनियोगात्मक आणि सहयोगी कायदे असतात आणि वियोगासंबंधी संयुक्त वितरक नियम असतात;

म्हणून, संख्यांच्या बीजगणितात (कंस उघडणे, कंसात टाकणे, कंसाच्या बाहेर एक सामान्य घटक ठेवणे) तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताच्या सूत्रांवर समान परिवर्तन केले जाऊ शकते.

प्रपोझिशनल लॉजिकच्या मूलभूत नियमांचा विचार करूया.

1. कम्युटेटिव्हिटी:

, .

2. सहवास:

3. वितरण:

4. निर्दोषता: , .

5. दुहेरी नकाराचा नियम: .

6. तिसरा वगळण्याचा कायदा: .

7. विरोधाभासाचा नियम: .

8. डी मॉर्गनचे कायदे:

9. निर्दोषतेचे कायदे(तार्किक स्थिरांकांसह ऑपरेशनचे गुणधर्म)

तर्कशास्त्राच्या बीजगणितामध्ये कोणतेही घातांक आणि गुणांक नसतात. एकसमान "घटक" चे संयोजन त्यांच्यापैकी एकाशी समतुल्य आहे

येथे , आणि कोणतीही अक्षरे आहेत.

उदाहरणे.सूत्र एक टॅटोलॉजी आहे.