Текстовая HTML-версия публикации

Конспект урока алгебры в 7 классе

Тема урока: «МЕДИАНА УПОРЯДОЧЕННОГО РЯДА».

учитель Озёрной школы филиал МКОУ Бурковская СОШ Ерёменко Татьяна Алексеевна
Цели:
понятие медианы как статистической характеристики упорядоченного ряда; формировать умение находить медиану для упорядоченных рядов с четным и нечетным числом членов; формировать умение интерпретировать значения медианы в зависимости от практической ситуации, закрепление понятия среднего арифметического набора чисел. Развивать навыки самостоятельной работы. Формировать интерес к математике.
Ход урока

Устная работа.
Даны ряды: 1) 4; 1; 8; 5; 1; 2) ; 9; 3; 0,5; ; 3) 6; 0,2; ; 4; 6; 7,3; 6. Найдите: а) наибольшее и наименьшее значения каждого ряда; б) размах каждого ряда; в) моду каждого ряда.
II. Объяснение нового материала.
Работа по учебнику. 1. Рассматрим задачу с п. 10 учебника. Что означает упорядоченный ряд? Подчеркну, что перед нахождением медианы нужно всегда упорядочить ряд данных. 2.На доске знакомимся с правилами нахождения медианы для рядов с четным и нечетным числом членов:
Медианой

упорядоченного

ряда
чисел
с

нечетным

числом

членов
называется число, записанное посередине, а
медианой

упорядоченного ряда
чисел
с четным числом членов
называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посредине.
Медианой

произвольного

ряда
называется медиана 1 3 1 7 5 4

соответствующего упорядоченного ряда.
Отмечу, что показатели- среднее арифметическое, мода и медиана по

разному

характеризуют

данные,

полученные

результате

наблюдений.

III. Формирование умений и навыков.
1-я группа. Упражнения на применение формул нахождения медианы упорядоченного и неупорядоченного ряда. 1.
№ 186.
Решение: а) Число членов ряда п = 9; медиана Ме = 41; б) п = 7, ряд упорядочен, Ме = 207; в) п = 6, ряд упорядочен, Ме = = 21; г) п = 8, ряд упорядочен, Ме = = 2,9. Ответ: а) 41; б) 207; в) 21; г) 2,9. Учащиеся комментируют способ нахождения медианы. 2. Найдите среднее арифметическое и медиану ряда чисел: а) 27, 29, 23, 31, 21, 34; в) ; 1. б) 56, 58, 64, 66, 62, 74. Решение: Для нахождения медианы необходимо каждый ряд упорядочить: а) 21, 23, 27, 29, 31, 34. п = 6; X = = 27,5; Ме = = 28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125 ; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 +

б) 56, 58, 62, 64, 66, 74. п = 6; X = 63,3; Ме = = 63; в) ; 1. п = 5; X = : 5 = 3: 5 = 0,6; Ме = . 3.
№ 188
(устно). Ответ: да; б) нет; в) нет; г) да. 4. Зная, что в упорядоченном ряду содержится т чисел, где т – нечетное число, укажите номер члена, являющегося медианой, если т равно: а) 5; б) 17; в) 47; г) 201. Ответ: а) 3; б) 9; в) 24; г) 101. 2-я группа. Практические задачи на нахождение медианы соответствующего ряда и интерпретацию полученного результата. 1.
№ 189.
Решение: Число членов ряда п = 12. Для нахождения медианы ряд нужно упорядочить: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194. Медиана ряда Ме = = 176. Выработка за месяц была больше медианы у следующих членов артели: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125 ; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 174 178 22 xx + + =

1) Квитко; 4) Бобков; 2) Баранов; 5) Рылов; 3) Антонов; 6) Астафьев. Ответ: 176. 2.
№ 192.
Решение: Упорядочим ряд данных: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42; число членов ряда п = 20. Размах A = x max – x min = 42 – 30 = 12. Мода Мо = 32 (это значение встречается 6 раз – чаще других). Медиана Ме = = 35. В данном случае размах показывает наибольший разброс времени на обработку детали; мода показывает наиболее типическое значение времени обработки; медиана – время обработки, которое не превысили половина токарей. Ответ: 12; 32; 35.
IV. Итог урока.
– Что называется медианой ряда чисел? – Может ли медиана ряда чисел не совпадать ни с одним из чисел ряда? – Какое число является медианой упорядоченного ряда, содержащего 2п чисел? 2п – 1 чисел? – Как найти медиану неупорядоченного ряда?
Домашнее задание:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =

В результате систематизации и обработки первичных материалов статистического наблюдения получают упорядоченные ряды цифровых показателей, характеризующих либо изменение размера явления во времени (ряд динамики, о котором будет идти речь в теме «Ряды динамики»), либо распределение единиц совокупности по тем или иным варьирующим признакам в статике (ряд распределения).

Ряд распределения - это ряд цифровых показателей, представляющих собой распределение единиц совокупности по одному признаку, разновидности которого расположены в определенной последовательности.

Элементами ряда распределения являются: варианты и частоты .

Вариантами ( ) называются отдельные значения группировочного признака, которые он принимает в вариационном ряду. Варианты могут выражаться числами положительными и отрицательными, абсолютными и относительными. Числа, которые показывают, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения, называются частотами () . Численность единиц в каждой группе может быть выражена не только численностью единиц (частотами) , но и в долях (процентах) от общей численности единиц совокупности (частостями) . Сумма частостей равна 1, если они выражены в долях единицы, и 100%, если они выражены в процентах.

В зависимости от статистической природы вариантов различают два вида рядов распределения: атрибутивные и вариационные .

Ряды, построенные по качественному признаку, называют атрибутивными (например, распределение населения по полу, распределение предприятий по форме собственности и др.).

Ряды распределения по количественному признаку называют вариационными (распределение населения по размеру дохода, распределение банков по размеру активов).

Так как вариация признака может быть дискретной (прерывной) и непрерывной, то различают вариационные ряды дискретные и непрерывные (интервальные). В дискретный вариационных рядах значения вариантов выражаются целыми числами и отличаются друг от друга на вполне определенную величину (одну или несколько единиц). Примерами дискретных вариационных рядов являются: распределение семей по числу детей, распределение квартир по числу комнат и т.д.

При непрерывной вариации признака его величина может принимать как целые, так и дробные значения, то есть любые значения в определенном интервале (возраст, стаж работы, прибыль и т.д.). Для рядов распределения с равными интервалами частоты дают представление о степени заполненности интервала единицами совокупности. Для рядов распределения с неравными интервалами в целях сравнения заполнености интервалов рассчитывается плотность распределения, то есть число единиц совокупности (частота, частость), приходящееся в среднем на единицу ширины интервала. Плотность распределения может быть абсолютной (отношение частоты к ширине интервала) и относительной (отношение частости к ширине интервала).

Ряды распределения могут строиться по накопленным частотам (частостям), которые показывают, какое число единиц имеют величину варианта, не большую данной. Такие ряды распределения называют кумулятивными.

Для изображения рядов распределения применяются различные графики.

Так, распределение населения региона по месту жительства может быть изображено с помощью секторной диаграммы (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Распределение населения региона по месту

Для изображения вариационных рядов применяются линейные и плоскостные диаграммы, построенные в прямоугольной системе координат.

Дискретные вариационные ряды, варианты у которых выражаются целыми числами, изображаются в виде полигона распределения. Полигон распределения представляет собой замкнутый многоугольник, абсциссами вершин которого являются значения варьирующего признака, а ординатами - соответствующие им частоты или частости (рис. 5.2).

Рис.5.2. Распределение одиночек и семей города по числу совместно

проживающих.

Графическое изображение непрерывных вариационных рядов осуществляется с помощью так называемой гистограммы. Для построения гистограммы на оси абсцисс в соответствии с принятым масштабом откладывают границы интервалов, на которых строятся прямоугольники. Высоты этих прямоугольников пропорциональны плотностям распределения соответствующих интервалов. На рис. 4.3 изображена гистограмма распределения населения региона по размеру среднедушевого совокупного дохода в месяц в 2000г.

Рис.5.3. Распределение населения региона по размеру среднедушевого

совокупного дохода в месяц в 2000г. (по данным бюджетных

обследований семей).

При неравных интервалах гистограмма строится только по плотности распределения.

Для графического изображения вариационных рядов используется также кумулятивная кривая (кумулята). Для ее построения на оси абсцисс откладывается значение дискретного признака (или границы интервала), а на оси ординат - нарастающие итоги частот или частостей, соответствующие этим значениям признака (или верхним границам интервала). Кумулята распределения населения региона по размеру среднедушевого совокупного дохода в месяц приведена на рис.5.4.

Рис.5.4. Кумулята распределения населения региона по размеру

среднедушевого совокупного дохода в месяц в 2000г.

(по данным бюджетных обследований семей).

С помощью кумулятивных кривых можно графически изображать процесс концентрации. Для графического изображения явления концентрации используются нарастающие итоги показателей. Для этого нужно иметь в групповой таблице кроме сумм накопленных частостей также суммы накопленных значений важнейших признаков (группировочного в первую очередь), выраженных в процентах к итогу. На оси абсцисс откладывают нарастающие итоги частостей, а соответствующие нарастающие итоги показателей - на оси ординат. Соединив отрезками прямых найденные таким образом точки, получают ломаные линии, которые называют кривыми концентрации.

Ряд распределения - это последовательность чисел с указанием качественного или количественного значения признака и частоты его встречаемости.

Виды рядов распределения классифицируются по разным принципам.

По степени упорядоченности ряды делят на:

неупорядоченные

упорядоченные

Неупорядоченный ряд - это такой ряд, в котором значения признака записаны в порядке поступления вариантов при исследовании.

Пример: При исследовании роста группы студентов были записаны его значения в см (175,170,168,173,179).

Упорядоченный ряд - это ряд, полученный из неупорядоченного в котором значения признака перезаписаны в порядке возрастания или убывания. Упорядоченный ряд называется ранжированным, а процедура ранжирования

(упорядочивания) называется сортировкой.

Пример: (Рост 168,170,173,175,179)

По виду признака ряды распределения делятся на:

атрибутивные

вариационные.

Атрибутивный ряд - это ряд, составленный на основе качественного признака.

Вариационный ряд - это ряд, составленный на основе количественного признака.

Вариационные ряды подразделяются на дискретные, непрерывные и интервальные.

Вариационные дискретные, непрерывные и интервальные ряды названы по соответствующему признаку, который лежит в основе составления ряда. Например, ряд по размеру обуви является дискретным по массе тела - непрерывным.

Способы представления рядов в практической и научной медицине делятся на три группы:

Табличное представление;

Аналитическое представление (в виде формулы);

Графическое представление.

1. Простейшая таблица представляет собой два столбца или две строки, в одной из которых записаны значения признака x i в упорядоченном виде, а в другой - относительная или абсолютная частота его встречаемости n i , f i .

Пример: табличное представление оценок в группе x i и числа их получивших студентов n i .

x i
n i

2. Графическое представление рядов основано на табличных данных. Графики строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтали всегда откладывают значения признака х i , а по вертикали абсолютную или относительную частоту n i .

Основные способы представления графиков:

Диаграмма в отрезках.

Гистограмма

Полигон частот.

Вариационная (частотная) кривая.

Диаграмма в отрезках - это график представления ряда в виде вертикальных прямых-отрезков, положение которых на горизонтали определяется значением признака, а длина отрезка пропорциональна его абсолютной или относительной частоте.

Пример: диаграмма в отрезках для оценок успеваемости группы.

n i

5 4 3 2 XI

Обычно диаграммы в отрезках строят для дискретно заданных признаков при небольшом числе вариантов.

Гистограмма - это график в виде ступенчатой фигуры из примыкающих друг к другу прямоугольников, основаниями которых являются интервалы значений признаков, а высоты прямоугольников пропорциональны частоте или частости (количеству объектов, попавших в интервал). Площади прямоугольников соответствуют численности групп, в данном интервале.

Гистограммы - это графики интервальных рядов. Их строят преимущественно для больших объемов совокупностей.

Пример : Гистограмма нормального распределения эритроцитов в крови человека. По горизонтали - диаметр клеток х i (мк ), по вертикали - частота n i числа клеток в интервале.

n i

2 4 6 8 10 12 x i

П олигон (многоугольник) частот - график ряда, представленный ломаной линией точки - вершины которой соответствуют серединам интервалов, а высота точки над горизонталью пропорциональна частоте или частости.

Полигоны строят для непрерывных и дискретных вариационных рядов в тех случаях, когда в интервалах выделены средние значения признака. Полигоны предпочтительнее гистограмм при непрерывных рядах распределения

Пример: полигон частот на основе гистограммы распределения эритроцитов в крови человека.

n i

2 4 6 8 10 12 x i

Вариационная (частотная) кривая - график ряда, полученный при условии, что объем совокупности, стремится к бесконечности (N →∞) , а длина самого интервала стремится к нулю (Δх →0) .

Для практических статистических расчетов в качестве стандартов выделено четыре группы частотных распределений:

1. Прямоугольное распределение.

   Колоколообразное унимодальное (одновершинное) распределение.

   Бимодальное (двухвершинное) распределение.

   Экспоненциальное распределение:

нарастающее,

убывающее.

n i

x i

x i

x i

x i

Прямоугольному распределению подчиняются случайные равновероятные события.

Колоколообразному симметричному распределению подчиняется широкий класс явлений (показатели умственного и физического развития, рост, масса, и др). На практике наиболее часто встречается симметричное унимодальное распределение, поэтому его классическая форма называется нормальным распределением.

Бимодальному распределению соответствует, например успеваемость студентов имеющих и не имеющих большого перерыва в учебе.

Экспоненциально убывающему распределению соответствует распределение доходов в капиталистическом обществе, (частота убывает при возрастании дохода).

РЯД (араб. силсила) понятие, использовавшееся в классической арабо мусульманской философии при обсуждении вопросов упорядоченности сущего, возможности его существования, причинности. Понятие ряда связано с понятиями конечности, бесконечности … Философская энциклопедия

ряд - натуральный ряд чисел упорядоченный список значений — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы натуральный ряд чиселупорядоченный список… …

шкала средства измерений - шкала Часть показывающего устройства средства измерений, представляющая собой упорядоченный ряд отметок вместе со связанной с ними нумерацией. Примечание. Отметки на шкалах могут быть нанесены равномерно или неравномерно. В связи с этим шкалы… … Справочник технического переводчика

ТАБЛИЦЫ СМЕРТНОСТИ - ТАБЛИЦЫ СМЕРТНОСТИ, таблицы смертности и средней продолжительности жизни, таблицы дожития, упорядоченный ряд взаимосвязанных величин, показывающих уменьшение с возрастом вследствие смерти нек рой совокупности родившихся; система возрастных (т. е …

сообщение - 3.15 сообщение: Строка байтов, передаваемая устройством сопряжения карте или наоборот, исключая знаки, ориентированные на управление передачей, как определено в ИСО/МЭК 7816 3. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Множество с нечеткими границами, когда переход от принадлежности элементов множеству к непри надлежности их множеству происходит постепенно, нерезко. В классической логике элемент х из соответствующей предметной области принадлежит или не… … Словарь терминов логики

- (от греч. tipos отпечаток, форма) 1) учение о классификации, упорядочении и систематизации сложных объектов, в основе которых лежат понятия о нечетких множествах и о типе; 2) учение о классификации сложных объектов, связанных между собой… … Словарь терминов логики

Для термина «Шкала» см. другие значения. Шкала (лат. scala лестница) часть показывающего устройства средства измерений … Википедия

ГИПОТЕТИЧЕСКОГО ПОКОЛЕНИЯ ТАБЛИЦЫ СМЕРТНОСТИ - ГИПОТЕТИЧЕСКОГО ПОКОЛЕНИЯ ТАБЛИЦЫ СМЕРТНОСТИ, таблицы смертности календарного периода, упорядоченный ряд взаимосвязанных величин, показывающих уменьшение с возрастом вследствие смерти нек рой условной совокупности родившихся, проживших всю жизнь… … Демографический энциклопедический словарь

РЕАЛЬНОГО ПОКОЛЕНИЯ ТАБЛИЦЫ СМЕРТНОСТИ - РЕАЛЬНОГО ПОКОЛЕНИЯ ТАБЛИЦЫ СМЕРТНОСТИ, упорядоченный ряд взаимосвязанных величин, показывающих уменьшение с возрастом вследствие смерти определённой совокупности родившихся реального поколения (см. Таблицы смертности). Р. п. т. с. строятся… … Демографический энциклопедический словарь

ТАБЛИЦЫ РОЖДАЕМОСТИ - ТАБЛИЦЫ РОЖДАЕМОСТИ, упорядоченный ряд чисел, показывающих изменение во времени частоты и др. характеристик процесса деторождения в нек рой совокупности женщин. Числовая модель рождаемости в реальной или гипотетич. когорте. Т. р. дают полное… … Демографический энциклопедический словарь

Статистика это точная наука, изучающая методы сбора, анализа и обработки данных, которые описывают массовые действия, явления и процессы Математическая статистика – это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений с целью выявления существующих закономерностей.

Статистика изучает: численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и многое другое. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов. В настоящее время статистика начинает изучаться уже в средней школе, в ВУЗах это обязательный предмет, потому что связан со многими науками и отраслями. Чтобы увеличить количество продаж в магазине, чтобы улучшить качество знаний в школе, чтобы двигать страну по экономическому росту, надо проводить статистические исследования и делать соответствующие выводы. И это должен уметь каждый.

Формирование умений первичной обработки статистических данных; изображение и анализ количественной информации, представленной в разных формах (в виде таблиц, диаграмм, графиков реальной зависимостей); формирование представлений о важных статистических идеях, а именно: идее оценивания и идее проверки статистических гипотез; формирование умений сравнивать вероятности наступления случайных событий с результатами конкретных экспериментов. Главные цели изучения элементов статистики

Содержание Ряд данных Объем ряда данных Размах ряда данных Мода ряда данных Медиана ряда Среднее арифметическое Упорядоченные ряды данныхУпорядоченные ряды данных Таблица распределения данныхТаблица распределения данных Подведём итоги Номинативный ряд данных Частота результата Процентная частота Группировка данных Способы обработки данных Подведём итоги

Определение Модой ряда данных называется число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Ряд данных может иметь или не иметь моду. Так, в ряду данных 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 каждое из чисел 47 и 52 встречается два раза, а остальные числа - менее двух раз. В таких случаях условились считать, что ряд имеет две моды: 47 и 52.

Выполни задание: Так, в ряду данных 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 каждое из чисел 47 и 52 встречается два раза, а остальные числа - менее двух раз. В таких случаях условились считать, что ряд имеет две моды: 47 и 52. В институте сдавали зачет по высшей математике. В группе было 10 человек, и они получили соответствующие оценки: 3, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 5. Определите моду данного ряда. Ответ: 4

Определение Медиана с нечётным числом членов – это число, записанное посередине. Медиана с чётным числом членов - это среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Например: определить медиану ряда чисел 1) 6; -4; 5; -2; -3; 3; 3; -2; 3. Ответ: -3 2) -1; 0; 2; 1; -1; 0;2; -1. Ответ: 0

Определение Среднее арифметическое - ЭТО частное от деления суммы чисел ряда на их количество. Например: дан ряд чисел -1; 0; 2; 1; -1; 0; 2; -1. Тогда среднее арифметическое будет равно: ((-1)+0+2+(-1)):8 =2:8=0,25

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Задание: охарактеризовать успеваемость ученика Иванова по математике за четвертую четверть. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ: 1.Сбор информации: Выписаны оценки из журнала: 5,4,5,3,3,5,4,4,4. 2.Обработка полученных данных: объём = 9 размах = = 2 мода = 4 медиана = 3 среднее арифметическое =() : 9 4 Характеристика успеваемости: ученик не всегда готов к уроку. В основном учится на «4». За четверть выходит «4».

Самостоятельно: Надо найти объём ряда, размах ряда, моду, медиану и среднее арифметическое: Карточка 1. 22,5; 23; 21,5; 22; 23. Карточка 2. 6; -4; 5; -2; -3; 3; 3; -2; 3. Карточка 3. 12,5; 12; 12; 12,5; 13; 12,5; 13. Карточка 4. -1; 0; 2; 1; -1; 0; 2; -1. Карточка; 130; 124; 131. Карточка; 100; 110.

Проверим Карточка 1. объём ряда = 5 размах ряда = 10 мода = 23 медиана = 21,5 среднее арифметическое = 13,3 Карточка 3. объём ряда = 7 размах ряда = 1 мода = 12,5 медиана = 12,5 среднее арифметическое = 12,5 Карточка 2. объём ряда = 9 размах ряда = 10 мода = 3 медиана = -3 среднее арифметическое = 1 Карточка 4. объём ряда = 8 размах ряда = 3 мода = -1 медиана = 0 среднее арифметическое = 0,25

Определение Упорядоченными рядами данных называются ряды, в которых данные расположены по какому то правилу Как упорядочить ряд чисел? (Записать числа так, чтобы каждое последующее число было не меньше (не больше) предыдущего); или записать некоторые названия «по алфавиту»…

Выполни задание: Дан ряд чисел: -1;-3;-3;-2;3;3;2;0;3;3;-3;-3;1;1;-3;-1 Упорядочить его по возрастанию чисел. Решение: -3;-3;-3;-3;-3;-2;-1;-1;0;1;1;2;3;3;3;3 Получился упорядоченный ряд. Сами данные в нем не изменились, изменился только порядок их следования.

Определение Таблица распределения данных – это таблица упорядоченного ряда, в котором вместо повторений одного и того же числа записывается количество повторений. И наоборот, если известна таблица распределения, то можно составить упорядоченный ряд данных. Например: Из нее получается такой упорядоченный ряд: -3;-3;-3;-1;-1;-1;-1;5;5;7;8;8;8;8;8 Результат измерения-3578 Сколько раз встречается в ряде данных34215

Выполни задание: В женском обувном магазине провели статистические исследования и составили соответствующую таблицу по цене обуви и количества продаж: Цена (руб.): Количество: Для данных показателей надо найти статистические характеристики: составить упорядоченный ряд данных объем ряда данных размах ряда моду ряда медиану ряда среднее арифметическое ряда данных

Подведём итоги: Мы познакомились с начальными понятиями того, как происходит статистическая обработка данных: 1)данные всегда являются результатом какого-либо измерения 2)у ряда некоторых данных можно найти: объём, размах, моду, медиану и среднее арифметическое 3) любой ряд данных можно упорядочить и составить таблицу распределения данных

Определение Номинативный ряд данных – это НЕ ЧИСЛОВЫЕ ДАННЫЕ, а например, имена; названия; номинации… Например: список финалистов чемпионатов мира по футболу с 1930 года: Аргентина, Чехословакия, Венгрия, Бразилия, Венгрия, Швеция, Чехословакия, ФРГ, Италия, Нидерланды, Нидерланды, ФРГ, ФРГ, Аргентина, Италия, Бразилия, Германия, Франция

Определение Вероятность случайного события равна дроби, в знаменателе которой содержится число всех равновероятных возможностей, из которых состоит достоверное событие, а в числителе – число тех возможностей, при которых рассматриваемое событие происходит Например:

34 График: