Теоремы чевы и менелая. Решение задач с помощью теоремы менелая Прямоугольный треугольник теорема чевы менелая

— Что общего между теоремой Менелая и наркотиками?
— О них все знают, но никто не говорит.
Типичный разговор с учеником

Это прикольная теорема, которая поможет вам в тот момент, когда кажется, что уже ничего не поможет. В уроке мы сформулируем саму теорему, рассмотрим несколько вариантов её использования, а в качестве десерта вас ждёт суровое домашнее задание. Поехали!

Для начала — формулировка. Возможно, я дам не самую «красивую» версию теорему, но зато самую понятную и удобную.

Теорема Менелая. Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и некую прямую $l$, которая пересекает две стороны нашего треугольника внутренним образом и одну — на продолжении. Обозначим точки пересечения $M$, $N$ и $K$:

Треугольник $ABC$ и секущая $l$

Тогда верно следующее соотношение:

\[\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CK}{KA}=1\]

Хочу отметить: не надо зубрить расположение букв в этой злобной формуле! Сейчас я расскажу вам алгоритм, по которому вы всегда сможете восстановить все три дроби буквально на лету. Даже на экзамене в состоянии стресса. Даже если вы сидите за геометрией в 3 часа ночи и вообще уже ничего не понимаете.:)

Схема простая:

1. Чертим треугольник и секущую. Например, так, как показано в теореме. Обозначаем вершины и точки какими-нибудь буквами. Это может быть произвольны треугольник $ABC$ и прямая с точками $M$, $N$, $K$, либо какая-нибудь другая — суть не в этом.
2. Ставим ручку (карандаш, маркер, гусиное перо) в любую вершину треугольника и начинаем обход сторон этого треугольника с обязательным заходом в точки пересечения с прямой . Например, если сначала пойти из точки $A$ в точку $B$, то получим отрезки: $AM$ и $MB$, затем $BN$ и $NC$, а затем (внимание!) $CK$ и $KA$. Поскольку точка $K$ лежит на продолжении стороны $AC$, то при движении из $C$ в $A$ придётся временно свалить из треугольника.
3. А теперь просто делим соседние отрезки друг на друга ровно в том порядке, в котором мы получили их при обходе: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ — получим три дроби, произведение которых и даст нам единицу.

На чертеже это будет выглядеть вот так:

Простая схема, позволяющая восстановить формулу из т. Менелая

И сразу пара замечаний. Точнее, это даже не замечания, а ответы на типичные вопросы:

• Что будет, если прямая $l$ пройдёт через вершину треугольника? Ответ: ничего. Теорема Менелая в этом случае не работает.
• Что будет, если выбрать другую вершину для старта или пойти в другую сторону? Ответ: будет то же самое. Просто изменится последовательность дробей.

Думаю, с формулировкой разобрались. Давайте посмотрим, как вся эта дичь применяется для решения сложных геометрических задач.

Зачем всё это нужно?

Предупреждение. Чрезмерное применение теоремы Менелая для решения планиметрических задач может нанести непоправимый вред вашей психике, поскольку данная теорема значительно ускоряет вычисления и заставляет вспоминать другие важные факты из школьного курса геометрии.

Доказательство

Я не буду её доказывать.:)

Ладно, докажу:

Теперь осталось сравнить два полученных значения для отрезка $CT$:

\[\frac{AM\cdot BN\cdot CK}{BM\cdot CN\cdot AK}=1;\]

\[\frac{AM}{BM}\cdot \frac{BN}{CN}\cdot \frac{CK}{AK}=1;\]

Ну вот и всё. Осталось только «причесать» эту формулу, правильно расставив буквы внутри отрезков — и формула готова.:)

Класс: 9

Цели урока:

1. обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
2. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
3. развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
4. воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.

Задачи урока:

• Образовательная: повторить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.
• Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
• Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Учитель сообщает тему и цель урока.

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (10 мин.)

Учитель: На уроке вспомним теоремы Менелая и Чевы для того, чтобы успешно перейти к решению задач. Давайте вместе с вами посмотрим на экран, где представлен. Для какой теоремы дан этот рисунок? (теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.

Рисунок 1

Пусть точка A 1 лежит на стороне BC треугольника АВС, точка C 1 – на стороне AB, точка B 1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки A 1 , B 1 и C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.

Рисунок 2

Прямая AD пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВМС.

По теореме Менелая

Прямая МВ пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС.

По теореме Менелая

Учитель: Какой теореме соответствует рисунок? (теорема Чевы). Сформулируйте теорему.

Рисунок 3

Пусть в треугольнике АВС точка A 1 лежит на стороне ВС, точка B 1 – на стороне АС, точка C 1 – на стороне АВ. Отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство

III этап. Решение задач. (22 мин.)

Класс разбивается на 3 команды, каждая получает карточку с двумя различными задачами. Дается время на решение, затем на экране появляются <Рисунки 4-9>. По готовым чертежам к задачам представители команд поочередно объясняют свое решение. После каждого объяснения следует обсуждение, ответы на вопросы и проверка правильности решения на экране. В обсуждении принимают участие все члены команд. Чем активнее команда, тем выше она оценивается при подведении итогов.

Карточка 1.

1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение

2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 4

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 5

Пусть AM 1 , BM 2 , СM 3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM 1 , BM 2 и СM 3 пересекаются в одной точке.

Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Карточка 2.

1. На стороне PQтреугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите

2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 6

По условию NQ = LR, ПустьNA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 7

Покажем, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) AL 1 , BL 2 , CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника

Перемножая почленно полученные равенства, получаем

Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Карточка 3.

1. В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

2. Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 8

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 9

Пусть A 1 , B 1 и C 1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)

Учитель: Работа команд закончена и сейчас приступим к самостоятельной работе по индивидуальным карточкам для 2-х вариантов.

Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

Вариант 1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)

Вариант 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)

Работы сдаются учителю для проверки.

V этап. Итог урока (2 мин.)

Анализируются допущенные ошибки, отмечаются оригинальные ответы и замечания. Подводятся итоги работы каждой команды и выставляются оценки.

VI этап. Домашнее задание (1 мин.)

Домашнее задание составлено из задач №11, 12 стр. 289-290, №10 стр. 301 .

Заключительное слово учителя (1 мин).

Сегодня вы услышали со стороны математическую речь друг друга и оценили свои возможности. В дальнейшем, будем применять такие обсуждения для большего понимания предмета. Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория с практикой. Вам всем спасибо.

Литература:

1. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.

Класс: 9

Цели урока:

1. обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
2. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
3. развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
4. воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.

Задачи урока:

• Образовательная: повторить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.
• Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
• Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Учитель сообщает тему и цель урока.

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (10 мин.)

Учитель: На уроке вспомним теоремы Менелая и Чевы для того, чтобы успешно перейти к решению задач. Давайте вместе с вами посмотрим на экран, где представлен. Для какой теоремы дан этот рисунок? (теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.

Рисунок 1

Пусть точка A 1 лежит на стороне BC треугольника АВС, точка C 1 – на стороне AB, точка B 1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки A 1 , B 1 и C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.

Рисунок 2

Прямая AD пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВМС.

По теореме Менелая

Прямая МВ пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС.

По теореме Менелая

Учитель: Какой теореме соответствует рисунок? (теорема Чевы). Сформулируйте теорему.

Рисунок 3

Пусть в треугольнике АВС точка A 1 лежит на стороне ВС, точка B 1 – на стороне АС, точка C 1 – на стороне АВ. Отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство

III этап. Решение задач. (22 мин.)

Класс разбивается на 3 команды, каждая получает карточку с двумя различными задачами. Дается время на решение, затем на экране появляются <Рисунки 4-9>. По готовым чертежам к задачам представители команд поочередно объясняют свое решение. После каждого объяснения следует обсуждение, ответы на вопросы и проверка правильности решения на экране. В обсуждении принимают участие все члены команд. Чем активнее команда, тем выше она оценивается при подведении итогов.

Карточка 1.

1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение

2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 4

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 5

Пусть AM 1 , BM 2 , СM 3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM 1 , BM 2 и СM 3 пересекаются в одной точке.

Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Карточка 2.

1. На стороне PQтреугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите

2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 6

По условию NQ = LR, ПустьNA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 7

Покажем, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) AL 1 , BL 2 , CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника

Перемножая почленно полученные равенства, получаем

Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Карточка 3.

1. В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

2. Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 8

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 9

Пусть A 1 , B 1 и C 1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)

Учитель: Работа команд закончена и сейчас приступим к самостоятельной работе по индивидуальным карточкам для 2-х вариантов.

Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

Вариант 1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)

Вариант 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)

Работы сдаются учителю для проверки.

V этап. Итог урока (2 мин.)

Анализируются допущенные ошибки, отмечаются оригинальные ответы и замечания. Подводятся итоги работы каждой команды и выставляются оценки.

VI этап. Домашнее задание (1 мин.)

Домашнее задание составлено из задач №11, 12 стр. 289-290, №10 стр. 301 .

Заключительное слово учителя (1 мин).

Сегодня вы услышали со стороны математическую речь друг друга и оценили свои возможности. В дальнейшем, будем применять такие обсуждения для большего понимания предмета. Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория с практикой. Вам всем спасибо.

Литература:

1. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.

ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ

Теорема Чевы

Большинство замечательных точек треугольника могут быть по­лучены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A 1 , на стороне BC (или её про­должении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B 1 , C 1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середи­ны сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке).

Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позво­ляющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева .

Определение. Отрезки, соеди­няющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.

Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка

пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).

Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А 1 , В 1 , С 1 , такие, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда

.

Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB 1 и секущей CC 1 (точку пересечения чевиан обозначим Z ):

,

а второй раз для треугольника B 1 BC и секущей AA 1 :

.

Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы.

Теорема 4. (Обратная теорема Чевы) . Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A 1 , В 1 и C 1 выполняется условие Чевы:

,

то прямые AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке .

Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая.

Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы.

Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение. Рассмотрим соотношение

для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке.

Теорема (теорема Чевы) . Пусть точки лежат на сторонах и треугольника соответственно. Пусть отрезки и пересекаются в одной точке. Тогда

(обходим треугольник по часовой стрелке).

Доказательство. Обозначим через точку пересечения отрезков и . Опустим из точек и перпендикуляры на прямую до пересечения с ней в точках и соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники и имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. и :

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и подобны по острому углу.

Аналогично получаем

и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Про медианы:

1. Разместим в вершинах треугольника ABC единичные массы.
2. Центр масс точек A и B находится посередине AB. Центр масс всей системы должен находиться на медиане к стороне AB, так как центр масс треугольника ABC - это центр масса центра масс точек A и B, и точки C.
(запутанно получилось)
3. Аналогично - ЦМ должен лежать на медиане к сторонам AC и BC
4. Так как ЦМ - единственная точка, то, следовательно все эти три медианы должны пересекаться в ней.

Кстати, сразу же следует, что пересечением они делятся в отношении 2:1. Так как масса центра масс точек A и B равна 2, а масса точки C равна 1, следовательно, общий центр масс согласно теореме о пропорции будет делить медиану в отношении 2/1.

Спасибо большое, доступно изложено, думаю, будет не лишним представить док-во и при помощи методов геометрии масс, например:
Прямые AA1 и CC1 пересекаются в точке O; AC1: C1B = p и BA1: A1C = q. Нужно доказать, что прямая BB1 проходит через точку O тогда и только тогда, когда CB1: B1A = 1: pq.
Поместим в точки A, B и C массы 1, p и pq соответственно. Тогда точка C1 является центром масс точек A и B, а точка A1 - центром масс точек B и C. Поэтому центр масс точек A, B и C с данными массами является точкой O пересечения прямых CC1 и AA1. С другой стороны, точка O лежит на отрезке, соединяющем точку B с центром масс точек A и C. Если B1 - центр масс точек A и C с массами 1 и pq, то AB1: B1C = pq: 1. Остается заметить, что на отрезке AC существует единственная точка, делящая его в данном отношении AB1: B1C.

2. Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой . Таким образом, если в треугольнике ABC X , Y и Z - точки, лежащие на сторонах BC , CA , AB соответственно, то отрезки AX , BY , CZ являются чевианами. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1678 году опубликовал следующую очень полезную теорему:

Теорема 1.21. Если три чевианы AX, BY, CZ (по одной из каждой вершины) треугольника ABC конкурентны, то

|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 .

Рис. 3.

Когда мы говорим, что три прямые (или отрезка) конкурентны , то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через P . Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников. Ссылаясь на рисунок 3, мы имеем:

|BX| |XC| = SABX SAXC = SPBX SPXC = SABX− SPBX SAXC− SPXC = SABP SCAP .

Аналогично,

|CY| |YA| = SBCP SABP , |AZ| |ZB| = SCAP SBCP .

Теперь, если мы перемножим их, то получим

|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| = SABP SCAP · SBCP SABP · SCAP SBCP =1 .

Теорема, обратная к этой теореме, также верна:

Теорема 1.22. Если три чевианы AX, BY, CZ удовлетворяют соотношению

|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 ,

то они конкурентны .

Чтобы это показать, предположим, что две первые чевианы пересекаются в точке P , как и прежде, а третья чевиана, проходящая через точку P , будет CZ′ . Тогда, по теореме 1.21,

|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ′| |Z′B| =1 .

Но по предположению

|BX| |XC| · |CY| |YA| · |AZ| |ZB| =1 .

Следовательно,

|AZ| |ZB| = |AZ′| |Z′B| ,

точка Z′ совпадает с точкой Z , и мы доказали, что отрезки AX , BY и CZ конкурентны (, стр. 54 и , стр, 48, 317).

Теорема Менелая или теорема о полном четырехстороннике известна еще со времен Древней Греции. Название она получила в честь своего автора – древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (примерно 100 г. н.э.). Эта теорема очень красива и проста, но, к сожалению, в современном школьном курсе ей не уделено должного внимания. А, между тем, она во многих случаях помогает очень легко и изящно решать достаточно сложные геометрические задачи.

Теорема 1 (теорема Менелая) . Пусть ∆ABC пересечен прямой, не параллельной стороне AB и пересекающей две его стороны AC и BC соответственно в точках F и E, а прямую AB в точке D (рис. 1) ,

тогда А F FC * CE EB * BD DA = 1

Примечание. Чтобы легко запомнить эту формулу, можно воспользоваться следующим правилом: двигаться вдоль контура треугольника от вершины до точки пересечения с прямой и от точки пересечения до следующей вершины.

Доказательство. Из вершин A, B, C треугольника проведем соответственно три параллельные прямые до пересечения с секущей прямой. Получим три пары подобных треугольников (признак подобия по двум углам). Из подобия треугольников вытекают следующие равенства

А теперь перемножим данные полученные равенства:

Теорема доказана.

Чтобы ощутить всю прелесть данной теоремы, попробуем решить предложенную ниже геометрическую задачу двумя разными способами: используя вспомогательное построение и с помощью теоремы Менелая .

Задача 1.

В ∆ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении 2: 1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису?

Решение.

С помощью вспомогательного построения :

Пусть S – точка пересечения биссектрисы AD и медианы CE. Достроим ∆ASB до параллелограмма ASBK. (рис. 2)

Очевидно, что SE = EK, так как точка пересечения параллелограмма делит диагонали пополам. Рассмотрим теперь треугольники ∆CBK и ∆CDS. Нетрудно заметить, что они подобны (признак подобия по двум углам: и как внутренние односторонние углы при параллельных прямых AD и KB и секущей CB). Из подобия треугольника вытекает следующее:

Используя условие, получим:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

Теперь заметим, что KB = AS, как противолежащие стороны параллелограмма. Тогда

AS SD = KB SD = CB CD = 3

С помощью теоремы Менелая .

Рассмотрим ∆ABD и применим к нему теорему Менелая (прямая, проходящая через точки C, S, E – секущая прямая):

BE EA * AS SD * DC CB = 1

По условию теоремы имеем BE/EA = 1 , так как CE – медиана, а DC/CB = 1/3, как мы уже подсчитали ранее.

1 * AS SD * 1 3 = 1

Отсюда получаем AS/SD = 3 На первый взгляд оба решения достаточно компактны и примерно равноценны. Однако, идея дополнительного построения для школьников часто оказывается очень сложна и совсем не очевидна, тогда как, зная теорему Менелая, ему достаточно лишь правильно ее применить.

Рассмотрим еще одну задачу, в которой очень изящно работает теорема Менелая.

Задача 2.

На сторонах AB и BC ∆ABC даны соответственно точки M и N такие, что выполняются следующие равенства

AM MB = CN NA = 1 2

В каком соотношении точка S пересечения отрезков BN и CM делит каждый из этих отрезков (рис. 3)?

Решение.

Рассмотрим ∆ABN. Применим теорему Менелая для этого треугольника (прямая, проходящая через точки M, S, C – секущая прямая)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

Из условия задачи имеем: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Подставим эти результаты и получим:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

Отсюда BS/SN = 6. А, значит, точка S пересечения отрезков BN и CM делит отрезок BN в отношении 6: 1.

Рассмотрим ∆ACM. Применим теорему Менелая для этого треугольника (прямая, проходящая через точки N, S, B – секущая прямая):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

Из условия задачи имеем: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

Подставим эти результаты и получим:

2 * CS SM * 2 3 = 1

Отсюда CS/SM = 3/4

А, значит, точка S пересечения отрезков BN и CM делит отрезок CM в отношении 3: 4.

Справедлива и обратная теорема к теореме Менелая. Она часто оказывается еще более полезной. Особенно хорошо она работает в задачах на доказательства. Нередко с ее помощью красиво, легко и быстро решаются даже олимпиадные задачи.

Теорема 2 (Обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC и точки D, E, F принадлежат соответственно прямым BC, AC, AB (отметим, что они могут лежать как на сторонах треугольника ABC, так и на их продолжениях) (рис. 4) .

Тогда, если AF FC * CE EB * BD DA = 1

то точки D, E, F лежат на одной прямой.

Доказательство. Докажем теорему методом от противного. Предположим, что соотношение из условия теоремы выполняется, но точка F не лежит на прямой DE (рис. 5).

Обозначим точку пересечения прямых DE и AB буквой O. Теперь применим теорему Менелая и получим: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Но, с другой стороны, равенство BF FA = BO OA

не может выполняться.

Поэтому соотношение из условия теоремы не может быть выполнено. Получили противоречие.

Теорема доказана.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.