Условие существования горизонтальной асимптоты. Как найти асимптоты графика функции? Сколько асимптот может быть у графика функции

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

На рисунке 3.10. приведены графические примеры вертикальной , горизонтальных и наклонной асимптот.

Нахождение асимптот графика основано на следующих трех теоремах.

Теорема о вертикальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой окрестности точки x 0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности, т.е. Тогда прямая x = x 0 является вертикальной асимптотой графика функции у = f(х).

Очевидно, что прямая х = х 0 не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х 0 , так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.

Теорема о горизонтальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции.

Замечание. Если конечен только один из пределов , то функция имеет соответственно левостороннюю либо правостороннюю горизонтальную асимптоту.

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема о наклонной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы . Тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции.

Без доказательства.

Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней, если в базе соответствующих пределов стоит бесконечность определенного знака.

Исследование функций и построение их графиков обычно включает следующие этапы:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность-нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты, исследовав точки разрыва и поведение функции на границах области определения, если они конечны.

4. Найти горизонтальные или наклонные асимптоты, исследовав поведение функции в бесконечности.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Дифференциал функции

Можно доказать, что если функция имеет при некоторой базе предел, равный конечному числу, то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины при той же базе (и наоборот): .

Применим это теорему к дифференцируемой функции: .

Таким образом, приращение функции Dу состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно Dх, т.е. f `(x)Dх; 2) нелинейного относительно Dх, т.е. a(Dx)Dх. При этом, так как , это второе слагаемое представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем Dх (при стремлении Dх к нулю оно стремится к нулю еще быстрее).

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f `(x)Dх.

Найдем дифференциал функции у = х.

Так как dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх, то dx = Dх, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Поэтому формулу для дифференциала функции можно записать в виде dy = f `(x)dх. Именно поэтому одно из обозначений производной представляет собой дробь dy/dх.

Геометрический смысл дифференциала проиллюстрирован
рисунком 3.11. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку М(х, у). Дадим аргументу х приращение Dх. Тогда функция y = f(x) получит приращение Dy = f(x + Dх) - f(x). Проведем касательную к графику функции в точке М, которая образует угол a с положительным направлением оси абсцисс, т.е. f `(x) = tg a. Из прямоугольного треугольника MKN
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение Dх.

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Однако, существует важное свойство дифференциала функции, которым не обладает ее производная – это инвариантность формы дифференциала .

Из определения дифференциала для функции y = f(x) дифференциал dy = f `(x)dх. Если эта функция y является сложной, т.е. y = f(u), где u = j(х), то y = f и f `(x) = f `(u)*u`. Тогда dy = f `(u)*u`dх. Но для функции
u = j(х) дифференциал du = u`dх. Отсюда dy = f `(u)*du.

Сравнивая между собой равенства dy = f `(x)dх и dy = f `(u)*du, убедимся, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной u. Это свойство дифференциала и получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в этих двух формулах все же есть различие: в первой из них дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. dx = Dx, а во в торой дифференциал функции du есть лишь линейная часть приращения этой функции Du и только при малых Dх du » Du.

Если расстояние d от точки кривой у = f (х), имеющей бесконечную ветвь, до некоторой определенной прямой по мере удаления точки по этой кривой в бесконечность стре­мится к нулю, то прямая называется асимптотой кривой.

Различают асимптоты: 1) горизонтальные, 2) вертикальные и 3) наклонные.

1. Кривая у = f (х) имеет горизонтальную асимптоту у =b только в том случае, когда существует конечный предел функции f (х) при , и этот предел равен b , т. е. если

2. Кривая у = f (х) имеет вертикальную асимптоту х = а, если при . Для опре­деления вертикальных асимптот надо отыскать те значения аргу­мента, вблизи которых f (х) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Если такими значениями аргумента являются а1, а2, …, то уравнения вертикальных асимптот будут

х = а1, х =а2…

3. Для определения наклонной асимптоты у = kx + b кривой у = f (х) надо найти числа k и b из формул

(следует отдельно рассматривать случаи ). Наклонные асимптоты у кривой у = f (х) существуют в том и только в том случае, когда эти пределы имеют ко­нечное значение. При определении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.

Пример. Найти асимптоты кривой

Решение. Горизонтальных асимптот нет. Вертикальную асимптоту находим из условия

2х + 3 = 0 => х = - 3/2, при этом у
, когда
, у
, когда
. Определим наклонные асимптоты, уравнение которых имеет вид: у = kx + b

Так как k и b имеют конечные значения и равны между собой при х
и при х
, то имеется единственная наклонная асимптота, уравнение которой

Общее исследование функции

Под полным исследованием функции обычно понимается решение таких вопросов:

Определение области существования функции.

Выявление вопроса о четности и нечетности функции.

Определение точек разрыва функции.

Определение асимптот графика функции.

Определение интервалов возрастания и убывания функции.

Определение экстремума функции.

Определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции.

Определение точек перегиба.

Нахождение пересечения с осями координат.

Построение графика функции.

Пример. Исследуем функцию

D (y) = (
). Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

Точек разрыва нет.

Вертикальных асимптот нет;
, наклонных асимптот нет.

5, 6.
. Критические точки х = -2, х = 0.

	( )				( )
Знак		= 0
Поведение функции	Возрастает	3			Возрастает

7, 8.
,
при х = 1,
не существует при х = 0.

	( )				( )
Знак		=		= 0
Поведение функции	Выпукла верх	Не является точкой перегиба	Выпукла верх	Точка перегиба	Выпукла вниз

9.
х =0 и х = -5.

Задание 1

Вычислить определитель матрицы А второго порядка

Вычислить определитель матрицы В третьего порядка

Вычислить определитель матрицы В, разложив его по какой-либо строке и какому либо столбцу

Вычислить определитель матрицы В, пользуясь свойствами определителей. Свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10

Задание 2

1. Решить методом Крамера систему уравнений Ах = а

Решить методом Крамера систему уравнений В x = b

Решить методом Гаусса систему уравнений В x = b

Задание 3.

Ах = а

Решить матричным методом систему уравнений В x = b

Задание 4.

Вычислить ранг матрицы.

1., 2.
;

3.
4.

5.
6.

7.
8

9.
10.

Задание 5

Даны две вершины треугольника Δ АВС: А (х 1 ,у 1 ), В (х 2 ,у 2 ) и точка D (x 3 , y 3 )пересечения высот:

а) составить уравнение высот, медиан, биссектрис треугольника Δ АВС .

б) найти уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам.

в) определить длины высот треугольника и расстояние от точки М (х 4 , у 4 ) до сторон треугольника.

	x 1	y 1	x 2	y 2	x 3	y 3	x 4	y 4

Задание 6.

Даны координаты вершин пирамиды АВС D : А (х 1 ,у 1 , z 1 ), В (х 2 ,у 2 , z 3 ) ,C (x 2 , y 2 , z 2 ) ,D (х 4 , у 4 , z 3 )

1) длину ребра АВ; .

2) угол между ребрами АВ и А D ;

3) угол меду ребром AD и гранью ABC ;

4) площадь грани ABC ;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой AB ;

7) уравнение плоскости ABC ;

8) уравнение высоты, опущенной из вершиныD на грань ABC .

n

x 1

y 1

z 1

x 2

y 2

z 2

x 3

y 3

z 3

x 4

y 4

z 4

Задание 7.

Задание 8. Найти область определения функции

5.

7.

8.

9.

10.

Задание 9.Построить график функции

1.

2.

3.

4

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задание 10 .Найти пределы функции

1.а)
, б)
, в)
,

г)
, д)

2.а)
, б)
, в)
,

г)
, д)

3.а)
, б)
, в)
,

г)
, д)

4. а)
, б)
, в)
,

г)
, д)

5.а)
, б)
, в)
,

г)
, д)

6.а)
, б)
, в)
,

г)
, д)

7. а)
, б)
, в)
,

г)
, д)

8.а)
, б)
, в)
,

г)
, д)

9.а)
, б)
, в)
,

г)
, д)

10.а)
, б)
, в)
,

г)
, д)

Задание 11. Найти производную

1.
, б),

в)
, г)
, д)
, е)

2. а)
, б)
, в)
,

г)
, д)
,е)

3. а), б)
, в)
, г)
, д)
, e)

4. а)
, б)
, в)
,

г)
, д)
, e)

5. а)
, б)
, в)
, г)
, д)
,

е)

6. а)
, б)
, в)
, г)
, д)
,

е)

7. а)
, б),

в)
, г)
, д)
,

е)

8. а)
, б)
, в)
, г)
, д)
,

е)

9. а)
, б)
, в)
,

г)
, д)
, е)

10. а)
, б)
, в)
,

г)
, д)
, е)

Задание 12. Показать, что функция удовлетворяет равенству

Задание 13. Найти вторую производную функции, заданной параметрически.

1 .
6.

2.
7

3.
8

4.
9.

5.
10.

Задание 14. Найти пределы, пользуясь правилом Лопиталя

Задание 15. Найти экстремумы заданных функций.

1.
6.

2.
7.

3.
8.

4.
9.

5.
10.

Задание 16. Найти наибольшее и наименьшее значение на указанных отрезках и на указанных интервалах.

Задание 17. Провести полное исследование данных функций и начертить их графики.

1.
6.

2.
7.

3.
8.

4.
9.

5.
10.

Литература:

Баврин И.И. Курс высшей математики.-М.:Просвящение,1992.-400 с.

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М, 1967г,608 с

Общий курс высшей математики для экономистов, под ред В.И.Ермакова-М. «Инфра-М».1999 г.-655 с.

Теуш В.Л. Курс высшей математики. - М.: Советская наука, 1958г, 270 с.

Шипачев В.С. Высшая математика: Учебное пособие М. Высшая школа,1990.-479с.

Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко и др.; М: ЮНИТИ, 2002. – 461 с.

Валєєв К.Г, Джалладова І.А Вища математика: Навч. Посібник.

Понятие асимптот

Одним из важных этапов построения графиков функций является поиск асимптот. С асимптотами мы встречались неоднократно: при построении графиков функций , y=tgx , y=сtgx . Мы определяли их как линии, к которым «стремится» график функции, но никогда их не пересечет. Пришло время дать точное определение асимптот.

Асимптоты бывают трех видов: вертикальная, горизонтальная и наклонная. На чертеже асимптоты принято обозначать пунктирными линиями.

Рассмотрим следующий искусственно составленный график функции (рис. 16.1), на примере которого хорошо видны все виды асимптот:

Дадим определение каждому виду асимптот:

1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой функции , если .

2. Прямая у=с называется горизонтальной асимптотой функции , если .

3. Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой функции , если .

Геометрически определение наклонной асимптоты означает, что при →∞ график функции сколь угодно близко подходит к прямой у=kx+b , т.е. они практически совпадают. Разность практически одинаковых выражений стремится к нулю.

Отметим, что горизонтальные и наклонные асимптоты рассматриваются только при условии →∞. Иногда их различают на горизонтальные и наклонные асимптоты при →+∞ и →-∞.

Алгоритм поиска асимптот

Для поиска асимптот можно использовать следующий алгоритм:

Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.

• Если с – число, то у=с – горизонтальная асимптота;
• Если с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем – их нет.

Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:

Пример 16.1. Найдите асимптоты кривой .

Решение х -1≠0; х ≠1.

Проверим, является ли прямая х= 1 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х= 1: .

х= 1 - вертикальная асимптота.

с = .

с = = . Т.к. с =2 (число), то у=2 – горизонтальная асимптота.

Так как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.

х= 1 и горизонтальную асимптоту у=2. Для наглядности график данной функции представлен на рис. 16.2.

Пример 16.2 . Найдите асимптоты кривой .

Решение . 1. Найдем область определения функции: х -2≠0; х ≠2.

Проверим, является ли прямая х= 2 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х= 2: .

Получили, что , следовательно, х= 2 - вертикальная асимптота.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : с = .

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: с = = . Т.к. с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

3. Для поиска наклонных асимптот находим :

Получили неопределенность вида , воспользуемся правилом Лопиталя: = =1.Итак, 1. Найдем b по формуле: .

b= = =

Получили, что b= 2. Тогда у=kx+b – наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: у=x+2.

Рис. 16.3

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х= 2 и наклонную асимптоту у=x+2. Для наглядности график функции представлен на рис. 16.3.

Контрольные вопросы:

Лекция 17. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА

В данной лекции мы подведем итог всему ранее изученному материалу. Конечная цель нашего долгого пути – уметь исследовать любую аналитически заданную функцию и строить ее график. Важными звеньями нашего исследования будут исследование функции на экстремумы, определение интервалов монотонности, выпуклости и вогнутости графика, поиск точек перегиба, асимптот графика функции.

С учетом всех вышеперечисленных аспектов приведем схему исследования функции и построения графика .

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность-нечетность:

· если , то функция четная (график четной функции симметричен относительно оси Оу );

· если , то функция нечетная (график нечетной функции симметричен относительно начала координат);

· в противном случае функция ни четная, ни нечетная.

3. Исследовать функцию на периодичность (среди изучаемых нами функций периодическими могут быть только тригонометрические функции).

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат:

· Ох : у =0 (решаем уравнение лишь в том случае, если можем использовать известные нам методы);

· Оу : х =0.

5. Найти первую производную функции и критические точки первого рода.

6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

7. Найти вторую производную функции и критические точки второго рода.

8. Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции и точки перегиба.

9. Найти асимптоты графика функции.

10. Построить график функции. При построении следует учесть случаи возможного расположения графика вблизи асимптот :

11. При необходимости выбрать контрольные точки для более точного построения.

Рассмотрим схему исследования функции и построения ее графика на конкретных примерах:

Пример 17.1 . Постройте график функции .

Решение . 1. Данная функция определена на всей числовой прямой за исключением х =3, т.к. в этой точке знаменатель обращается в ноль.

2. Для определения четности и нечетности функции найдем :

Видим, что и , следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

3. Функция непериодическая.

4. Найдем точки пересечения с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью Ох примем у =0. Получим уравнение: . Итак, точка (0; 0) – точка пересечения с осями координат.

5. Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби: = = = = .

Для нахождения критических точек найдем точки, в которых производная функции равна 0 или не существует.

Если =0, следовательно, . Произведение тогда равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0: или .

х -3) 2 равен 0, т.е. не существует при х =3.

Итак, функция имеет три критические точки первого рода: ; ; .

6. На числовой оси отметим критические точки первого рода, причем точку отмечаем выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена.

Расставляем знаки производной = на каждом промежутке:

т.min

т.max

На промежутках, где , исходная функция возрастает (при (-∞;0] ), где - убывает (при ).

Точка х =0 является точкой максимума функции. Для нахождения максимума функции найдем значение функции в точке 0: .

Точка х =6 является точкой минимума функции. Для нахождения минимума функции найдем значение функции в точке 6: .

Результаты исследований можно занести в таблицу. Число строк в таблице фиксировано и равно четырем, а число столбцов зависит от исследуемой функции. В ячейки первой строки последовательно заносят интервалы, на которые критические точки разбивают область определения функции, включая сами критические точки. Во избежание ошибок при построении точки, не принадлежащие области определения, можно в таблицу не включать.

Во второй строке таблицы расставляются знаки производной на каждом из рассматриваемых промежутков и значение производной в критических точках. В соответствии со знаками производной функции в третьей строке отмечаются промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.

Последняя строка служит для обозначения максимума и минимума функции.

х	(-∞;0)		(0;3)		(3;6)		(6;+ ∞)
	+		-		-		+
f(x)
Выводы		max				min

7. Найдем вторую производную функции как производную от первой производной: = =

Вынесем в числителе х -3 за скобки и выполним сокращение:

Приведем в числителе подобные слагаемые: .

Найдем критические точки второго рода: точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует.

0, если =0. Данная дробь не может равняться нулю, следовательно, точек, в которых вторая производная функции равна нулю, нет.

Не существует, если знаменатель (х -3) 3 равен 0, т.е. не существует при х =3. :Ох , Оу , начало отсчета, единицы измерения по каждой оси.

Прежде чем строить график функции, нужно:

· провести асимптоты пунктирными линиями;

· отметить точки пересечения с осями координат;

Рис. 17.1

отметить максимум и минимум функции, причем рекомендуется прямо на чертеже обозначить максимум и минимум функции дугами: k или ;

· пользуясь полученными данными о промежутках возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, построить график функции. Ветви графика должны «стремиться» к асимптотам, но их не пересекать.

· проверить, соответствует ли график функции проведенному исследованию: если функция четная или нечетная, то соблюдена ли симметрия; соответствуют ли теоретически найденным промежутки возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

11. Для более точного построения можно выбрать несколько контрольных точек. Например, найдем значения функции в точках -2 и 7:

Корректируем график с учетом контрольных точек.

Контрольные вопросы:

Каков алгоритм построения графика функции?

Может ли функция иметь экстремум в точках, не принадлежащих области определении?

ГЛАВА 3. 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

Определение . Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точкиграфика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат .

По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные , горизонтальные, наклонные.

Очевидно, горизонтальные являются частными случаями наклонных (при ).

Нахождение асимптот графика функции основано на следующих утверждениях.

Теорема 1 . Пусть функция определена хотя бы в некоторой полуокрестности точкии хотя бы один из ее односторонних пределов в этой точке бесконечен, т.е. равенили. Тогда прямаяявляется вертикальной асимптотой графика функции .

Таким образом, вертикальные асимптоты графика функции следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения (если это конечные числа).

Теорема 2 . Пусть функция определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции. Тогда прямаяесть горизонтальная асимптота графика функции.

Может случиться, что , а, причеми- конечные числа, тогда график имеет две различные горизонтальные асимптоты: левостороннюю и правостороннюю. Если же существует лишь один из конечных пределов или, то график имеет либо одну левостороннюю, либо одну правостороннюю горизонтальную асимптоту.

Теорема 3 . Пусть функция определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существуют конечные пределыи. Тогда прямаяявляется наклонной асимптотой графика функции .

Заметим, что если хотя бы один из указанных пределов бесконечен, то наклонной асимптоты нет.

Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть односторонней.

Пример . Найдите все асимптоты графика функции .

Решение .

Функция определена при . Найдем ее односторонние пределы в точках.

Так как и(два других односторонних предела можно уже не находить), то прямыеиявляются вертикальными асимптотами графика функции.

Вычислим

(применим правило Лопиталя) =.

Значит, прямая - горизонтальная асимптота.

Так как горизонтальная асимптота существует, то наклонные уже не ищем (их нет).

Ответ : график имеет две вертикальные асимптоты и одну горизонтальную.

Общие исследование функции y = f (x ).

Область определения функции. Найти ее область определения D (f ) . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений E (f ) . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения E (f ) откладывается до нахождения экстремумов функции.)

Особые свойства функции. Выяснить общие свойства функции: четность, нечетность, периодичность и т.п. Не любая функция обладает такими свойствами, как четность либо нечетность. Функция заведомо не является ни четной, ни нечетной, если ее область определения несимметрична относительно точки 0 на оси Ox . Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.

Вертикальные асимптоты. Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определенияD (f ), если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она не определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.

Наклонные и горизонтальные асимптоты. Если область определения D (f ) вклоючает в себя лучи вида (a;+) или (−;b), то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при x+или x−соответственно, т.е. найти limxf(x).Наклонные асимптоты : y = kx + b, где k=limx+xf(x) и b=limx+(f(x)−x).Горизонтальны асимптоты : y = b, где limxf(x)=b.

Нахождение точек пересечения графика с осями . Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удается решить лишь приближунно, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости . Это делается с помощью исследования знака второй производной f(x). Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции. Найдя f(x) , мы решаем неравенство f(x)0. На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство f(x)0, мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута). Определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.

Регистрация участников открыта. Получите свой билет на Марс по этой ссылке .

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.

Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".