Множество действительных чисел имеет мощность континуума. Континуум (теория множеств)

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными .

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка несчетно.

Доказательство.

Пусть множество точек отрезка счетно. Значит, эти точки можно перенумеровать, т. е. расположить в виде последовательности x 1 , x 2 … x n , … .

Разобьем отрезок на три равные части. Где бы ни находилась точка x 1 , она не может принадлежать всем отрезкам , , . Поэтому среди них есть отрезок D 1 , не содержащий точку x 1 (рис. 1.7). Возьмем этот отрезок D 1 и разделим его на три равные части. Среди них всегда есть отрезок D 2 , не содержащий точку x 2 . Разделим этот отрезок на три равные части и т. д. Получим последовательность отрезков D 1 É D 2 É D 3 É…ÉD n É… . В силу аксиомы Кантора сходится к некоторой точке x при n ® ¥. По построению эта точка x принадлежит каждому отрезку D 1 , D 2 , D 3 ,…, D n , …, т. е. она не может совпадать ни с одной из точек x 1 , x 2 , … x n , …, т. е. последовательность x 1 , x 2 … x n , …не исчерпывает всех точек отрезка , что противоречит первоначальному предположению. Теорема доказана.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка называется множеством мощности континуума .

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Пример 1.24 .

Из рис. 1.8 следует, что множество точек параболы y = x 2 эквивалентно множеству точек прямой –¥ < x < ¥ и, следовательно, имеет мощность континуума.

Установить мощность континуума можно также, используя следующие теоремы о множествах мощности континуума (приводятся без доказательств).

Теорема 1. Множество всех подмножеств счетного множества счетно.

Теорема 2. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 3. Множество всех точек n- мерного пространства при любом n имеет мощность континуума.

Теорема 4. Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 5. Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a , b ] имеет мощность континуума.

Итак, мощности бесконечных множеств могут различаться. Мощность континуума больше, чем мощность счетного множества. Ответ на вопрос, существуют ли множества более высокой мощности, чем мощность континуума, дает следующая теорема (приводится без доказательства).

Теорема о множествах высшей мощности. Множество всех подмножеств данного множества имеет более высокую мощность, чем данное множество.

Из этой теоремы следует, что множеств с максимально большой мощностью не существует.

Контрольные вопросы к теме 1.

1. Пусть a Î А . Следует ли отсюда, что {a } А ?

2. В каком случае А А ÇВ ?

3. Назовите множество, которое является подмножеством любого множества.

4. Может ли быть множество эквивалентно своему подмножеству?

5. Мощность какого множества больше: множества натуральных чисел или множества точек отрезка ?

Рассматривая свойства счетных множеств, мы стремились доказать счетность тех или иных бесконечных множеств. Однако все ли бесконечные множества счетны? Чтобы обнаружить несчетные множества, пришлось преодолеть немало трудностей. И Б. Больцано, и Г. Кантор, чувствуя, что идея установления взаимно однозначного соответствия есть ключ к поиску мощности бесконечных множеств, были близки к решению вопроса одновременно. Б. Больцано первым пришел к способу оценки бесконечных множеств путем установления взаимно однозначного соответствия, а Г. Кантор первым сумел найти несчетное множество. Оно бесконечно и не эквивалентно множеству натуральных чисел.

ТЕОРЕМА. Отрезок числовой прямой содержит
несчетное множество точек.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО .

Предположим противное: – счетное множество точек. Пронумеруем их:

Любая ли точка этого отрезка оказывается включенной в данную последовательность?

Для доказательства теоремы следует найти такую точку на отрезке , которая не охватывается данной последовательностью.

Для этого разделим отрезок на три равные части (рис. 7.8). Получим отрезки:

Хотя бы на одном из них нет точки . Выделив его, делим новый отрезок, являющийся подмножеством отрезка , снова на три равные части и выделим ту, на которой нет точки (на этой “трети” не будет и точки , и точки , как это было установлено выше). Далее новый отрезок опять делим на три равные части и выбираем ту из них, где нет точки а 3 (как показано, точек и на ней также не будет), и так далее. В результате на n- м шаге мы получаем отрезок длины

На котором также нет точек , , ,..., . Продолжая бесконечно этот процесс, мы находим точку а, которая не включена в последовательность

Действительно, а– общая точка этих отрезков. Будучи точкой отрезка , она должна входить в указанную последовательность, но это невозможно, потому что, какое бы n мы ни взяли, точка а n не может принадлежать соответствующему отрезку, а точка а будет ему принадлежать, следовательно, а отлична от всех а n , что и доказывает теорему.

Мощность множеств, эквивалентных отрезку , назовем МОЩНОСТЬЮ КОНТИНУУМА и обозначим буквой c.

Укажем некоторые из таких множеств.

Рассмотрим отрезок . Формула

устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством и множеством . Следовательно, имеет мощность континуума.

Кроме того, множества:

имеют ту же мощность континуума c, так как отличаются от множества конечным числом точек, что сохраняет их мощность.

Совершенно неожиданный результат получил Г. Кантор, предполагая первоначально, что квадрат со стороной, равной 1, содержит “больше” точек, чем отрезок . Они оказались эквивалентными.

Действительно, если квадрат расположить в системе координат XOY, как это указано на рис. 7.9, то всякой его внутренней точке W, имеющей координаты

можно поставить в соответствие точку интервала :

Разным точкам W квадрата будут соответствовать разные точки интервала . Можно показать (используя более строгие рассуждения), что такое однозначное соответствие будет взаимно однозначным, поэтому множество точек квадрата со стороной, равной 1, и отрезок имеют одинаковую мощность. Более того, не только квадрат, но, например, куб или шар, содержит “столько же” точек, сколько отрезок .

Сравнение множества натуральных чисел, N, являющегося счетным, и несчетного множества точек отрезка вызывает вопрос: имеются ли множества промежуточной мощности? Иначе говоря, есть ли бесконечное множество, в котором количество элементов “больше”, чем натуральных чисел, и “меньше”, чем точек на отрезке ? Это есть знаменитая проблема КОНТИНУУМА, которая до сих пор волнует многих математиков. В начале шестидесятых годов ХХ-го столетия было установлено, что существуют как системы аксиом, в которых гипотеза континуума истинна, так и аксиоматические построения, в которых она ложна.

В теории множеств доказаны следующие интересные утверждения:

1. Для любого множества Aсуществует множество большей мощности.

2. Множества самой большой мощности не существует.

3. Множество всех подмножеств множества A имеет мощность большую, чем мощность A.

4. Множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность континуума.

Теория множеств полна проблем и парадоксов, которые и в настоящее время вызывают интерес у исследователей. Вот, например, парадокс Б. Рассела.

Пусть M – множество всех множеств, а N – множество всех его подмножеств. Тогда мощность множества N всех подмножеств должна быть больше мощности множества M (по утверждению 3). Но по определению N – подмножество , отсюда, N=M.

§2. Множества мощности континуума.

Все рассмотренные до сих пор бесконечные множества были счетными, то есть равномощными множеству N натуральных чисел. Кантору принадлежит следующая замечательная теорема, которая утверждает, что существуют бесконечные множества, не являющиеся счетными. Способ, которым доказывается эта теорема, называется “диагональным процессом”, или “диагональной конструкцией” Кантора. Он с успехом используется и во многих других рассуждениях.

Теорема 2.1.

Множество C = {0, 1} N всех бесконечных последовательностей из 0 и 1 несчетно.

Доказательство.

Пусть X C – любое счетное подмножество. Можно записать: X = {x 1 , x 2 , …}. Каждый элемент множества X – бесконечная последовательность: x j =  j 1 ,  j 2 , …, где  jk {0, 1}. Построим новую бесконечную последовательность y = 1- 11 , 1- 22 , 1- 33 , …. Заметим, что j: y  x j , поскольку j-ые члены этих последовательностей различны:  jj  1- jj . Следовательно, yX и потому X  C . Это и означает, что C несчетно.

Определение.

Всякое множество равномощное C называется множеством мощности континуума.

Как было отмечено в предыдущем разделе, }