Metodele pentru descrierea matematică a unui proces aleatoriu Markov care are loc într-un sistem cu stări discrete depind de momentele de timp - cunoscute dinainte sau aleatorii - tranzițiile („sărituri”) ale sistemului de la stare la stare pot avea loc.

Un proces aleatoriu se numește proces cu timp discret dacă tranzițiile sistemului de la stare la stare sunt posibile numai în momente de timp strict definite, prefixate: . În intervalele de timp dintre aceste momente, sistemul S își menține starea.

Un proces aleatoriu se numește proces cu timp continuu dacă trecerea sistemului de la stare la stare este posibilă în orice moment, necunoscut dinainte, aleatoriu.

Să considerăm mai întâi un proces aleator Markov cu stări discrete și timp discret.

Să existe un sistem fizic S, care poate fi în stările:

Mai mult, tranzițiile („sărituri”) ale sistemului de la stare la stare sunt posibile numai în momentele:

Vom numi aceste momente „etape” sau „etape” ale procesului și vom considera procesul aleator care are loc în sistemul S ca o funcție a argumentului întreg: (numărul pasului).

Procesul aleatoriu care are loc în sistem este că în momente succesive de timp sistemul S se află într-una sau alta stare, comportându-se, de exemplu, după cum urmează:

În general, în anumite momente sistemul poate nu numai să-și schimbe starea, ci și să rămână același, de exemplu:

Să fim de acord să notăm evenimentul că după pași sistemul este în starea Pentru orice k evenimente

formează un grup complet și sunt incompatibile.

Procesul care are loc în sistem poate fi reprezentat ca o secvență (lanț) de evenimente, de exemplu:

O astfel de secvență aleatorie de evenimente se numește lanț Markov dacă, pentru fiecare pas, probabilitatea de tranziție de la orice stare la oricare nu depinde de când și cum a ajuns sistemul la starea respectivă.

Vom descrie un lanț Markov folosind așa-numitele probabilități de stare. Să presupunem că în orice moment de timp (după orice pas) sistemul S poate fi în una din stările:

adică unul din grupul complet de evenimente incompatibile va avea loc:

Să notăm probabilitățile acestor evenimente:

Probabilități după primul pas,

Probabilități după a doua etapă; si in general dupa pasul:

Este ușor de observat că pentru fiecare număr de pas

întrucât acestea sunt probabilităţile ca evenimentele incompatibile să formeze un grup complet.

Vom numi probabilități

probabilități de stare; Să stabilim sarcina: găsiți probabilitățile stărilor sistemului pentru orice k.

Să descriem stările sistemului sub forma unui grafic (Fig. 4.6), unde săgețile indică posibile tranziții ale sistemului de la stare la stare într-un singur pas.

Un proces aleatoriu (lanțul Markov) poate fi imaginat ca și cum un punct reprezentând sistemul S se mișcă (rătăcește) aleatoriu de-a lungul graficului stării, sărind de la o stare la alta în anumite momente și uneori (în cazul general) și oprindu-se pentru un anumit număr de pași în aceeași stare. De exemplu, succesiunea tranzițiilor

poate fi reprezentat pe un grafic de stare ca o secvență de diferite poziții ale unui punct (vezi săgețile punctate care descriu tranzițiile de la stare la stare în Fig. 4.7). „Întârzierea” sistemului într-o stare la a treia etapă este reprezentată de o săgeată care părăsește starea și se întoarce la ea.

Pentru orice pas (timp sau număr), există unele probabilități ca sistemul să treacă de la orice stare la oricare alta (unele dintre ele sunt egale cu zero dacă o tranziție directă într-un singur pas este imposibilă), precum și probabilitatea sistemului. întârzierea într-o stare dată.

Vom numi aceste probabilități probabilități de tranziție ale lanțului Markov.

Un lanț Markov se numește omogen dacă probabilitățile de tranziție nu depind de numărul pasului. În caz contrar, lanțul Markov este numit neomogen.

Să considerăm mai întâi un lanț Markov omogen. Fie sistemul S să aibă stări posibile Să presupunem că pentru fiecare stare cunoaștem probabilitatea de tranziție la orice altă stare într-un singur pas (inclusiv probabilitatea de întârziere în această stare). Să notăm probabilitatea de tranziție într-un pas de la starea S la starea va fi probabilitatea de întârziere a sistemului în stare. Notăm probabilitățile de tranziție sub forma unui tabel dreptunghiular (matrice):

Unele dintre probabilitățile de tranziție pot fi zero: aceasta înseamnă că sistemul nu poate trece de la o stare la alta într-un singur pas. De-a lungul diagonalei principale a matricei probabilităților de tranziție sunt probabilitățile ca sistemul să nu părăsească starea, ci să rămână în ea.

Folosind evenimentele introduse mai sus, probabilitățile de tranziție pot fi scrise ca probabilități condiționate:

Rezultă că suma termenilor din fiecare rând al matricei (2.3) trebuie să fie egală cu unu, deoarece, indiferent în ce stare se afla sistemul înainte de pas, evenimentele sunt incompatibile și formează un grup complet.

Când luăm în considerare lanțurile Markov, este adesea convenabil să folosiți un grafic de stare în care săgețile au probabilitățile de tranziție corespunzătoare (vezi Fig. 4.8). Vom numi un astfel de grafic „graf de stare etichetat”.

Rețineți că în fig. 4.8, nu sunt indicate toate probabilitățile de tranziție, ci numai acelea dintre ele care nu sunt egale cu zero și modifică starea sistemului, adică cu „probabilitatea de întârziere” nu este necesar să se indică pe grafic, deoarece fiecare dintre ele completează la unu suma probabilităților de tranziție corespunzătoare tuturor săgeților care emană din această stare. De exemplu, pentru graficul din fig. 4.8

Dacă din starea S; nu emană nicio săgeată (tranziția de la ea la orice altă stare este imposibilă), probabilitatea de întârziere corespunzătoare este egală cu unu.

Având la dispoziție un grafic de stare etichetat (sau, echivalent, o matrice de probabilități de tranziție) și cunoscând starea inițială a sistemului, puteți găsi probabilitățile de stare

după orice pas.

Să arătăm cum se face.

Să presupunem că în momentul inițial (înainte de primul pas) sistemul este într-o anumită stare, de exemplu, Atunci, pentru momentul inițial (0) vom avea:

adică probabilitățile tuturor stărilor sunt egale cu zero, cu excepția probabilității stării inițiale care este egală cu unu.

Să găsim probabilitățile stărilor după primul pas. Știm că înainte de primul pas sistemul este evident într-o stare

Aceasta înseamnă că în timpul primului pas va intra în stări cu probabilități

scris pe un rând al matricei probabilităților de tranziție. Astfel, probabilitățile stărilor după primul pas vor fi:

Să găsim probabilitățile stărilor după al doilea pas:

Le vom calcula folosind formula probabilității totale, cu ipoteze:

După primul pas, sistemul a fost capabil

După primul pas, sistemul a fost capabil

După primul pas, sistemul a fost capabil

Sunt cunoscute probabilitățile ipotezelor (vezi (2.4)); probabilitățile condiționate de tranziție la o stare sub fiecare ipoteză sunt de asemenea cunoscute și scrise în matricea probabilităților de tranziție. Folosind formula probabilității totale obținem:

sau, mult mai scurt,

În formula (2.6), însumarea se extinde în mod formal la toate stările de fapt, este necesar să se țină seama doar de acelea dintre ele pentru care probabilitățile de tranziție sunt diferite de zero, adică acele stări din care o tranziție la o stare; (sau o întârziere a acesteia).

Astfel, se cunosc probabilitățile stărilor după pasul al doilea. Evident, după al treilea pas sunt definite în mod similar:

si in general dupa pasul:

Deci, probabilitățile stărilor după un pas sunt determinate de formula recurentă (2.8) prin probabilitățile stărilor după un pas; acelea, la randul lor, prin probabilitatile starii de dupa pas etc.

Exemplul 1. Patru focuri sunt trase la o anumită țintă în momente de timp

Stări posibile ale țintei (sistemului):

Ținta este nevătămată;

Ținta este ușor deteriorată;

Ținta a primit daune semnificative;

Ținta este complet uluită (nu poate funcționa). Graficul de stare a sistemului etichetat este prezentat în Fig. 4.9.

În momentul inițial, ținta este în starea (nedeteriorată). Determinați probabilitățile stărilor țintei după patru lovituri. Din graficul de stare avem;

5.1. Procese aleatorii și clasificarea lor

Un proces aleatoriu (RP) este un proces sau un fenomen al cărui comportament în timp și rezultatul nu pot fi prezis în prealabil. Exemple de procese aleatorii: dinamica modificărilor cursurilor de schimb sau a acțiunilor, veniturile sau profitul unei organizații în timp, volumele vânzărilor de mărfuri etc.
Dacă un proces aleatoriu își poate schimba starea doar într-un moment strict definit în timp, atunci se numește proces în timp discret.
Dacă o schimbare de stare este posibilă la un moment arbitrar în timp, atunci acesta este un SP cu timp continuu.
Dacă în orice moment SP este o variabilă aleatorie discretă (valoarea sa poate fi listată și două valori adiacente pot fi identificate), atunci acesta este un proces cu o stare discretă.
Dacă în orice moment starea se poate schimba continuu, fără probleme și este imposibil să distingem două state vecine, atunci acesta este un SP cu o stare continuă.
Astfel, sunt posibile 4 tipuri de asociații în participațiune:
1) SP cu timp continuu și stare continuă (de exemplu: temperatura aerului la un moment dat, se modifică fără probleme în orice moment).
2) SP cu timp continuu și stare discretă (exemplu: numărul de vizitatori dintr-un magazin se modifică cu un multiplu de unu în orice moment).
3) SP cu timp discret și stare continuă (exemplu: dinamica cursului de schimb, cursul de schimb se modifică fără probleme în momentul tranzacționării valutare).
4) SP cu timp discret și stare discretă (exemplu: numărul de pasageri în transport se modifică în multipli de unu și numai în anumite momente de timp, la opriri).
Să luăm în considerare un sistem S, în care la un moment dat în timp la SP are scurgeri. Acest proces se numește Markov dacă pentru orice moment de timp t> la, comportamentul sistemului în viitor depinde numai de starea în care se afla sistemul la un moment dat în timp la t= la, și nu depinde în niciun fel de cum, când și în ce stări a fost în trecut când t< t O . Cu alte cuvinte, „trecutul” procesului Markov nu afectează în niciun fel „viitorul” (doar prin „prezent”).

5.2. Fluxuri de evenimente.

Cel mai simplu tip de SP sunt fluxurile de evenimente. Un flux de evenimente este o anumită secvență de evenimente similare care au loc în momente aleatorii (de exemplu, apeluri telefonice, vizitatori ai magazinului, mașini care trec pe lângă o intersecție etc.). Ele se referă la SP-uri cu o stare discretă și timp continuu. Din punct de vedere matematic, fluxul de evenimente poate fi descris ca puncte aleatorii pe axa timpului.

Dacă evenimentele dintr-un flux au loc individual și nu în grupuri de mai multe evenimente, atunci un astfel de flux se numește obișnuit. Un flux de evenimente se numește flux fără consecințe dacă pentru orice intervale de timp care nu se suprapun style="color:red"> numărul de evenimente dintr-un interval nu afectează în niciun fel câte și cum vor avea loc evenimente într-un alt interval. Un flux obișnuit fără consecințe se numește flux Poisson. Cea mai importantă caracteristică a oricărui flux de evenimente este intensitatea acestuia - numărul mediu de evenimente care au avut loc în flux într-o unitate de timp.
Strâns legată de intensitate este cantitatea , care are semnificația intervalului de timp mediu dintre două evenimente. Dacă intervalele dintre evenimentele învecinate sunt variabile aleatoare care sunt independente unele de altele, atunci un astfel de flux de evenimente se numește flux Palm.
Dacă intensitatea fluxului de evenimente nu depinde de timp, atunci un astfel de flux se numește staționar. Dacă evenimentele au loc într-un flux la intervale regulate, atunci se numește regulat.
Un flux staționar Poisson se numește flux simplu. În modelarea economică se folosesc cu precădere fluxurile Poisson, inclusiv cele mai simple. Pentru ei sunt valabile următoarele teoreme:
1) Numărul de evenimente care au avut loc într-un flux Poisson este o variabilă aleatoare distribuită conform legii lui Poisson. Probabilitatea ca într-un flux Poisson cu intensitate pe un interval de timp ( t 1 ; t 2) se va întâmpla exact k evenimente este egal cu:
, Unde .
Dacă fluxul este cel mai simplu, atunci .
2) Intervalul dintre evenimente sau timpul de așteptare pentru următorul eveniment Tîntr-un flux Poisson există o variabilă aleatoare distribuită conform legii exponențiale, adică probabilitatea ca următorul eveniment să se producă nu mai devreme de t, este egal cu:
.
Dacă fluxul este cel mai simplu, atunci
Exemplu : Magazinul primește în medie 20 de clienți pe oră. Determinați probabilitatea ca: a) să fie 2 cumpărători în 5 minute; b) in 10 minute vor fi minim 3 cumparatori; c) in 3 minute nu vor mai fi cumparatori.
Soluţie. Alegerea a 1 minut pe unitate de timp, intensitatea fluxului Poisson de clienți ai magazinului (20 clienți pe oră sau 1/3 client pe minut).
A) k=2, t 1 =0, t 2 =5,

b) k ≥3, t 1 =0, t 2 =10, să găsim probabilitatea ca evenimentul opus să se producă, că vor fi mai puțin de 3 cumpărători;
.
c) prin a doua teoremă t=3, .

5.3. Markov SP, cu stare discretă

În modelarea sistemelor economice probabilistice (stochastice), Markov SP este foarte des folosit. Să considerăm un SP cu o stare discretă și timp continuu. Apoi toate stările sale pot fi enumerate: S 1 ,S 2 ,…, S n.
Toate tranzițiile posibile între stări pot fi descrise folosind un grafic de stări.
Un graf de stare este un graf ordonat ale cărui vârfuri sunt stări posibile S i iar între două stări există o margine - o săgeată, dacă este posibilă o tranziție directă între stări.
De exemplu, un magazin poate fi în următoarele stări:
S 1 - există clienți care sunt serviți,
S 2 – fără clienți,
S 3 – bunurile sunt primite,
S 4 – contabilizarea mărfurilor, care apare uneori după ce a fost primită.
Apoi funcționarea magazinului poate fi descrisă printr-un grafic de stare

Pentru a calcula principalele caracteristici ale sistemului, este necesar să se cunoască indicatorii probabilistici în timpul tranziției între stări.
Să luăm în considerare 2 stări S iȘi Sj. Intensitatea fluxului de tranziție este numărul mediu de tranziții de la stare S i intr-o stare Sj pe unitatea de timp pe care sistemul o petrece în stat S i. Dacă se cunoaşte timpul mediu T ij, în care sistemul se desfășoară S iînainte de a intra în Sj, atunci putem scrie: .
Intensitățile fluxurilor tranzitorii sunt indicate pe graficul de stare lângă săgețile corespunzătoare. Sarcina principală în astfel de modele este de a determina probabilitățile stărilor, care au semnificația fracțiunii medii de timp pe care sistemul o petrece în această stare.
Pentru a găsi probabilitățile stărilor, este compilat un sistem de ecuații
(*)
Acest sistem poate fi compilat conform următoarelor reguli:
1) Numărul de ecuații din sistem este egal cu numărul de stări.
2) Fiecare stat Sj corespunde ecuației cu număr j.
3) În partea stângă a fiecărei ecuații se află suma intensităților (stă deasupra săgeților) pentru toate săgețile incluse în stare Sjînmulțit cu probabilitățile stărilor din care ies săgețile;
4) În partea dreaptă a ecuațiilor se află suma intensităților provenite din Sj shooter, această sumă este înmulțită cu probabilitatea Pijamale.
Cu toate acestea, sistemul de ecuații (*) este degenerat și pentru a găsi o soluție unică în acest sistem, orice ecuație trebuie înlocuită cu o condiție de normalizare:
.
Exemplul 1: Linia de asamblare automată a întreprinderii se defectează în medie o dată pe lună și se repara în medie 3 zile. În plus, în medie de 2 ori pe lună este supusă întreținerii, care durează în medie 1 zi. În medie, într-un caz din trei, se descoperă o problemă în timpul întreținerii și linia este reparată. Determinați ce profit mediu aduce linia într-o lună, dacă pentru o zi de funcționare fără probleme, profitul este de 15 mii de ruble. O zi de procesare tehnică costă 20 de mii de ruble, iar o zi de reparații costă 30 de mii de ruble.
Soluţie. Să găsim probabilitățile stărilor egale cu ponderile timpului de operare, reparare și întreținere. Lasa:
S 1 - linia funcționează,
S 2 - întreținere,
S 3 - reparare.

Compunem un sistem de ecuații. În stare S 1 inclus 2 săgeți: afară S 2 cu intensitate 20 și afară S 3 cu intensitatea 10, deci partea stângă a primei ecuații arată astfel: . De la stat S 1 sunt două săgeți cu intensitățile 2 și 1, deci partea dreaptă a primei ecuații a sistemului va lua forma: . În mod similar, pe baza statelor S 2 și S 3 compunem a doua și a treia ecuație. Ca urmare, sistemul va arăta astfel:

Totuși, acest sistem este degenerat și pentru a-l rezolva este necesară înlocuirea oricărei ecuații (de exemplu, prima) cu o condiție de normalizare: . Ca rezultat, obținem sistemul:

Exprimăm din ecuația 1 și a 2-a R 1 și R 3 prin R 2: , și înlocuind rezultatul în a 3-a ecuație, găsim:, , . Înmulțim probabilitățile cu 30 de zile ale lunii și constatăm că în medie pe lună linia funcționează 24,3 zile, întreținere - 1,6 zile, reparații - 4,1 zile. Rezultă că profitul mediu va fi de 24,3×15-1,6×20-4,1×30=209,5 mii de ruble.
Exemplul 2: O agenție de turism angajează un agent de vânzări și un manager. În medie, la agenție vin 2 clienți pe oră. Dacă vânzătorul este liber, deservește clientul, dacă este ocupat, atunci managerul servește clientul, dacă ambii sunt ocupați, clientul pleacă. Timpul mediu de service pentru un agent de vânzări este de 20 de minute, pentru un manager – 30 de minute. Fiecare client aduce un profit mediu de 100 de ruble.
Determinați profitul mediu pe oră al agenției și numărul mediu de clienți pierduți pe oră.
Soluţie. Determinăm starea sistemului:
S 1 – vânzătorul și managerul sunt liberi,
S 2 – vânzătorul este ocupat, managerul este liber,
S 3 – vânzătorul este liber, managerul este ocupat,
S 4 – amândoi sunt ocupați.
Construim un grafic de stare:

Compunem un sistem de ecuații, înlocuind a 4-a ecuație cu condiția de normalizare:

Rezolvând sistemul de ecuații, găsim:
.
Prin urmare, vânzătorul este angajat în service P 2 + P 4 =0,25+0,15=0,4, adică 40% din timp. Dacă ar deservi 100% din timp, atunci ar deservi 3 clienți pe oră, dar în realitate: 3 × 0,4 = 1,2 și aduce un profit de 120 de ruble într-o oră. Managerul lucrează P 3 + P 4 =0,11+0,15=0,26, adică 26% din timp și, prin urmare, va deservi 2 × 0,26=0,52 clienți pe oră și aduce un profit de 52 de ruble pe oră. Profitul mediu pentru 1 oră va fi de 172 de ruble. Clienții se pierd în starea S 4 . Deoarece P 4 = 0,15, atunci 15% din 2 clienți posibili sau 0,3 clienți se pierd pe oră. Pierderile se ridică la 30 de ruble pe oră din cauza clienților pierduti.

5.4. Procese de moarte și reproducere.

În multe sisteme economice în care funcționează societatea în participațiune, apar situații când din orice stat (cu excepția primului și ultimului) S i tranziția este posibilă doar către statele vecine S i+1 și S i-1 . astfel de procese se numesc procese de moarte și reproducere și sunt descrise printr-un grafic de stare.


Intensitățile se numesc intensități de reproducere, iar m i– intensitatea morții. Pentru a afla probabilitatea fiecărei stări, se folosesc următoarele formule:
, (+)
, , …, .
Exemplu 5.1. În flotă sunt 5 mașini. Fiecare dintre ele se defectează în medie de 4 ori pe an, iar reparațiile durează în medie 1 lună. Determinați în ce proporție de timp toate mașinile sunt reparabile și numărul mediu de mașini reparabile la un moment arbitrar.
Soluţie. Introduceți stările sistemului:
S 0 – toate mașinile sunt stricate,
S 1 – 1 mașina este în stare bună,
S 2 – 2 mașini sunt operaționale,
S 3 – 3 mașini sunt operaționale,
S 4 – 4 mașini sunt operaționale,
S 5 – 5 mașini sunt operaționale.
Să construim un grafic de stare și să aranjam intensitățile de tranziție.
De exemplu, pentru a merge de la S 1 in S 0 avem o situație: 1 mașină funcționează corect și se defectează, asta se întâmplă de 4 ori pe an, adică. intensitatea este 4. Pentru trecerea de la S 2 in S 1: 2 mașini funcționează corect și fiecare dintre ele se defectează de 4 ori pe an, adică. intensitatea este 8. Intensitățile rămase ale morții sunt aranjate prin analogie.
Pentru a merge de la S 4 in S 5 avem o situație: 1 mașină este defectă și este în curs de reparație, aceasta durează 1 lună sau de 12 ori pe an, i.e. intensitatea este de 12. A trece de la S 3 in S 4 avem o situație: 2 mașini sunt defecte și fiecare dintre ele poate fi reparată cu o intensitate de 12, adică. intensitatea totală este de 24. Intensitățile de reproducere rămase sunt dispuse prin analogie.

Calculăm folosind formulele (+) probabilitățile stărilor egale cu fracția medie din timpul în care sistemul se află în aceste stări.


, = 0,088, , ,
Toate mașinile sunt reparabile în starea S5, proporția medie de timp în care mașinile sunt reparabile este de 0,24. Numărul mediu de mașini reparabile este găsit ca așteptare matematică:

Exemplul 5.2. Organizația acceptă cereri din partea publicului pentru lucrări de reparații. Cererile sunt acceptate telefonic, pe doua linii si sunt deservite de doua dispecerate. Dacă o linie este ocupată, aplicația este comutată automat la a doua. Dacă ambele linii sunt ocupate, aplicația se pierde. Timpul mediu pentru a răspunde unei cereri este de 6 minute. În medie, o aplicație aduce un profit de 30 de ruble. Care este profitul pe oră? Este recomandabil să organizați un al treilea canal cu un al treilea dispecer dacă întreținerea acestuia va costa 150 de ruble pe oră?
Soluţie. Să considerăm mai întâi un sistem cu două canale.
Să introducem stări posibile:
S 0 – fără solicitări (ambele telefoane sunt gratuite),
S 1 – o solicitare este deservită (un telefon este ocupat),
S 2 – două solicitări sunt deservite (ambele telefoane sunt ocupate).
Graficul de stare va arăta astfel:

Găsirea probabilităților stărilor. Conform formulelor date (+):

În medie, 54% din aplicații se pierd pe oră, sau 0,54 × 30 = 16,2 aplicații. Sunt servite 13,8 aplicații pe oră, iar profitul mediu este de 13,8 × 30 = 414 ruble.
Să luăm acum în considerare situația cu trei rânduri. În acest caz, trei operatori deservesc 3 linii telefonice, iar un apel primit vine la orice linie liberă. Sunt posibile următoarele stări:
S 0 – fără solicitări (trei telefoane sunt gratuite),
S 1 – o solicitare este deservită (un telefon este ocupat),
S 2 – două solicitări sunt deservite (două telefoane sunt ocupate),
S 3 – trei solicitări sunt deservite (toate telefoanele sunt ocupate).

Folosind formulele (+) găsim probabilitățile stărilor:
,
.
În medie, 35% din aplicații sunt pierdute, sau 10,4 aplicații pe oră. 19.6 cereri sunt deservite. Profitul mediu este de 588 de ruble pe oră. Profitul a crescut cu 174. La costuri de 150 de ruble pe oră, este recomandabil să se introducă un al treilea canal de servicii.

MOSCOVA, 30 iulie – RIA Novosti. Fizicienii de la IKBFU I. Kant a examinat unul dintre posibilele modele matematice ale energiei întunecate și a descoperit că viitorul Universului nostru poate fi mult mai imprevizibil și catastrofal decât se credea anterior. Rezultatele cercetării au fost publicate în revista științifică foarte apreciată „The European Physical Journal C”.

„Luând în considerare o nouă clasă de singularități (stări în care unul sau altul parametru devine infinit) face ca viitorul Universului nostru să fie imprevizibil și periculos. În această lucrare, am arătat că unele singularități pot apărea complet brusc, aproape în orice moment al timpului. Nici o stea, nici măcar galaxiile nu vor supraviețui unei asemenea catastrofe”, a spus unul dintre autorii studiului, profesor la Universitatea Federală Immanuel Kant, Artem Yurov.

La sfârșitul secolului XX și începutul secolului XXI, s-au făcut o serie de descoperiri importante în cosmologie: au fost descoperite dovezi indirecte ale expansiunii inflaționiste a Universului, materie și energie întunecată și unde gravitaționale. În 1998, oamenii de știință au descoperit că Universul nostru nu doar se extinde, ci se extinde într-un ritm accelerat.

Oamenii de știință cred că motivul acestei accelerări este așa-numitul „sector întunecat” al Universului. Conform datelor observaționale, conținutul total al Universului nostru este format din doar 4,9% din materia barionică cunoscută nouă, restul de 95,1% se află în „sectorul întunecat”, care constă din materie întunecată misterioasă (26,8%) și chiar mai misterioasă. energie întunecată (68,3%).

Există trei ipoteze principale despre ce este energia întunecată. Potrivit primei, energia întunecată este o constantă cosmologică - o densitate constantă de energie care umple uniform spațiul Universului. A doua ipoteză definește energia întunecată ca un fel de chintesență - un câmp dinamic, a cărui densitate energetică se poate modifica în spațiu și timp. Potrivit celui de-al treilea, energia întunecată este o manifestare a gravitației modificate la distanțe de ordinul mărimii părții vizibile a Universului.

„Viitorul Universului nostru depinde de care dintre aceste modele este corectă. Dacă a doua ipoteză este corectă și energia întunecată este într-adevăr chintesența, atunci viitorul poate fi plin de surprize surprinzătoare și neplăcute. În special, singularitățile pot apărea chiar în timpul accelerației. De exemplu, presiunea medie a chintesenței poate „exploda” brusc, a remarcat profesorul Yurov.

Faptul că o astfel de catastrofă este posibilă a fost calculat în 2004 de profesorul de la Universitatea Cambridge, John Barrow. Un studiu matematic mai complet al acestei probleme le-a permis fizicienilor Serghei Odintsov, Shinichi Nojiri si Shinji Tsujikawa sa clasifice astfel de posibile singularitati catastrofale ale viitorului.

Un grup de fizicieni de la IKBFU Kant, sub conducerea profesorului Artem Yurov, a sugerat și a arătat matematic că ar putea exista o întreagă clasă de singularități care nu sunt acoperite de clasificarea Odintsov-Nojiri-Tsujikawa. Aceasta înseamnă că Universul nostru poate muri brusc. Colegii străini au devenit interesați de cercetările fizicienilor ruși, care au fost realizate cu sprijinul Proiectului 5-100. În special, John Barrow a adresat o scrisoare autorilor.

„Modelul despre care vorbim este unul dintre sutele de modele ale nașterii și morții Universului nostru. Autorii de la Immanuel Kant IKBFU au considerat corect un model cu un potențial specific de câmp scalar și au arătat că factorul de scară îi poate schimba dramatic comportamentul. Pentru specialiști, această lucrare este de interes Ar trebui să fie reținută pentru viitor, deoarece se pare că nu contrazice datele de observație moderne”, a spus cosmologul, profesor la Universitatea Națională de Cercetare Nucleară MEPhI Serghei Rubin.

Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după. N. E. Bauman.

Catedra de Matematică Superioară.

Temele pentru curs

"Teoria probabilității".

Opțiunea numărul 5.

Completat de: Kotlyarov A.S.

Grupa: MT6-62

Verificat de: Shahov

Moscova. 2000

Sarcina 1. Se aruncă două zaruri în același timp. Aflați probabilitatea ca suma punctelor aruncate:

3. cuprinse în interval.

Soluţie.

Întregul spațiu al posibilelor evenimente:

={(1,1);(1,2);(1,3);.......................(1,6);

(2,1);(2,2); ..............................(2,6);

........................................................

(6,1);(6,2);...............................(6,6)}.

Numărul de opțiuni posibile N=36.

Evenimentul A – suma punctelor este 7.

A=((1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)).

Probabilitatea evenimentului A: P(A)=

Evenimentul B – suma punctelor este mai mică de 8.

B=((1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);

(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);

(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);

(4,1);(4,2);(4,3);

Probabilitatea evenimentului B:

Evenimentul C – suma punctelor este mai mare de 6.

C=((1,6);(2,5);(2,6);(3,4);(3,5);(3,6);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6);(5, 2);.........(5,6);(6,1);.......(6, 6)).

Probabilitatea evenimentului C:

Evenimentul D – suma punctelor aruncate este conținută în interval.

D=((1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1);(3,2) ;(4,1)).

Probabilitatea evenimentului D:

Sarcina 2. Unele dispozitive de service primesc două solicitări. Fiecare poate ajunge oricând în 100 de minute. Timpul de service pentru prima solicitare este de 5 minute, a doua - 25 de minute. Dacă se primește o cerere pentru un dispozitiv ocupat, cererea nu este acceptată. Când o cerere este primită cel puțin în ultimul moment, aplicația este deservită. Găsiți probabilitatea ca:

Ambele cereri vor fi deservite (eveniment A);

O cerere va fi deservită (evenimentul B).

R
decizie.

Să notăm: X – ora de sosire a cererii 1,

Y - ora sosirii cererii 2.

Ambele cereri vor fi deservite:

a) Aplicația 1 a fost prima: YX+5,

(zona D1);

b) Aplicația 2 a fost prima: XY+25,

(zona D2);

Va fi depusă o singură cerere:

a) cererea 1:

0X95; Y75 (zona D5)

b) cererea 2:

0Y75; X95 (zona D6)

c) ordinul 2 sosit în timpul executării ordinului 1:

XYX+5 (zona D3)

d) ordinul 1 sosit în timpul executării ordinului 2: Y XY+25 (zona D4)

Probabilitatea ca o cerere să fie deservită:

Sarcina 3. Este dat un circuit electric al unui sistem format din 5 elemente. Eveniment - defectarea elementului i pe o anumită perioadă de timp. Probabilitățile de funcționare fără defecțiuni sunt date:

Evenimentul A este funcționarea fără defecțiuni a întregului sistem pentru perioada de timp luată în considerare. Necesar:

R
decizie.

Al doilea nod, format din elementele 3 și 4, eșuează dacă ambele elemente eșuează, adică. are loc un eveniment (
).

Întregul circuit va eșua dacă ambele noduri nu conduc curentul, adică:

(
)(
)

Fiabilitatea sistemului:

Problema 4 . Dintr-un lot care conține 12 produse, inclusiv 7 de cea mai bună calitate, 6 produse sunt selectate secvenţial la întâmplare pentru control. Găsiți probabilitatea ca printre produsele selectate să fie exact 5 de cea mai bună nota, cu condiția ca eșantionul să fie realizat:

Bine ai revenit,

fără întoarcere.

Soluţie.

1 ) Lasă evenimentul (i=1,2,3,4,5) - extragerea produsului de cea mai bună calitate;

eveniment (i=1,2,3,4,5) - extragerea unui produs care nu este de cea mai înaltă calitate.

Din 12 sunt extrase 6 produse. Să găsim numărul de combinații posibile:

.

Evenimentul B de care ne interesează este cel din cei 6 selectați, 5 sunt de cea mai mare nota. Să găsim o combinație de 6 cu 1:

Probabilitatea evenimentului B:

……………………………………………………

Sarcina 5. Depozitul a primit piese fabricate pe trei utilaje. Prima mașină a produs 60% din piese, a doua - 10%, iar a treia - 30%. Probabilitatea de a produce un defect la o mașină i este egală cu:

Determinați probabilitatea ca:

produsul preluat din depozit s-a dovedit a fi defect (eveniment A);

produsul defect a fost fabricat pe mașina i-a (eveniment Bi).

Soluţie.

evenimentul Hi este că produsul a fost fabricat pe mașina i-a

;
;
;

Sarcina 6. Au fost trase 4 focuri cu o probabilitate constantă de lovire de 0,6.

Pentru variabila aleatoare m a numărului de lovituri pe țintă, găsiți:

distribuția probabilității;

funcția de distribuție și reprezentați-o grafic;

probabilitatea ca o variabilă aleatoare să se încadreze în intervalul ]0,5,2[;

așteptări matematice, varianță și abatere standard.

Soluţie.

1) să notăm:

1. lovit 1 dată

   lovit de 2 ori

   lovit de 3 ori

   lovit de 4 ori

2) găsiți funcția de distribuție:

0X1: F(X)=P(m1)=P(m=0)=0,0256;

1X2: F(X)=P(m2)=P(m=0)+P(m=1)=0,0256+0,1536=0,1792;

2X3: F(X)=P(m3)=P(m=0)+P(m=1)+P(m=2)=0,1792+0,3456=0,5248;

3X4: F(X)=P(m4)=P(m3)+P(m=3)=0,5248+0,3456=0,8704;

4X5: F(X)=P(m5)=P(m4)+P(m=5)=0,8704+0,1296=1 ;

Să determinăm probabilitatea ca o variabilă aleatorie m să cadă în intervalul ]0.5;2[ :

P(0,5m2)=P(m=2)=0,3456;

Pentru a determina așteptările matematice, folosim formula:

Dispersie:

Deviație standard:

.

Sarcina nr. 7

O variabilă continuă aleatoare are o densitate de probabilitate f(x) = 32*t*e

Necesar:

1.) Găsiți funcția de distribuție F(x).

2.) Reprezentați grafice ale funcției de distribuție F(x) și ale densității de probabilitate f(x).

3.) Calculați probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în (0,5; 2)

Soluţie.

1.)F(x) = 32*t*e dt = -e + 1

2.) Graficele sunt prezentate mai jos

3.) Găsim probabilitatea de a cădea într-un interval aleator astfel:

P(0,5< < 2) = F(0.5) – F(2) = 0.0001

4.)

Sarcina 8. Este dată densitatea de probabilitate f(x) a variabilei aleatoare . Variabila aleatoare  este legată de variabila aleatoare  prin dependență funcțională
. Găsi:

Aşteptarea şi varianţa unei variabile aleatoare , folosind densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare ;

Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare  și reprezentați-o grafic;

Așteptarea și varianța matematică a variabilei aleatoare , folosind densitatea de probabilitate găsită a variabilei aleatoare .

Soluţie.

1. Așteptări matematice:

2. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare :

3. Așteptări matematice:

Dispersia unei variabile aleatoare :

Caracteristicile numerice calculate prin diferite metode sunt aceleași.

Sarcina 9. Dat un sistem de două variabile aleatoare (,), a cărui lege de distribuție este dată de Tabelul 1. Aflați:

Legile distribuției variabilelor aleatoare  și ;

Așteptări și varianțe matematice ale variabilelor aleatoare  și ;

Soluţie.

distribuția variabilei aleatoare :

(2)=0.18+0.15+0.08=0.51

(3)=0.04+0.12+0.12=0.28

(5)=0.06+0.05+0.10=0.21

distribuția variabilei aleatoare :

(-1)=0.18+0.04+0.06=0.28

(0)=0.15+0.12+0.05=0.32

(1)=0.08+0.12+0.10=0.30

(2)=0.10

Dispersia variabilei aleatoare :

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare :

Dispersia unei variabile aleatoare :

Punct de corelare:

Coeficient de corelație:

(2/0)=
;

(3/0)=

(5/0)=

Distribuții condiționate

Așteptări matematice condiționate:

Problema 10. Sistemul de variabile aleatoare continue (,) este distribuit uniform în regiunea D, mărginită de dreptele x=1, y=0,
x>0;găsiți:

Soluţie.

1. Deoarece distribuția este uniformă, atunci f(x;y)=const. Găsim densitatea probabilității comune din condiția de normalizare:

2. Densitățile de probabilitate ale variabilelor aleatoare  și :

.
; x;

; y[-2;0];

Așteptări și varianțe matematice ale variabilelor aleatoare  și :

;

;

;

;

;

;

;

Problema 11. Aflați așteptarea și varianța matematică a variabilei aleatoare, =a+b+с, unde (,) este sistemul de variabile aleatoare din problema 10. a=2; b=-3; c=3.

Soluţie.

Găsim așteptările matematice:

Dispersie:

=.

3. Dinamica fluxurilor financiare arată că în orice moment Societatea poate fi răspunzătoare pentru obligațiile sale.

4. Rezultatele proiectului (se presupune că factorul de reducere în calcule este de 8% pe an):

rezultate din implementarea proiectului (Fig. 6.4.);

rezultatele acumulate din implementarea proiectului (Fig. 6.5.);

Din ultimul grafic prezentat reiese clar că data de începere a restituirii fondurilor este 2001 (al doilea an de la începerea proiectului) iar perioada de rambursare este de 7 ani (luând în considerare actualizarea - 9 ani).

Profitul cumulat redus este de 1.466.000 USD.

7. STRUCTURA RISCURILOR ŞI MĂSURI DE PREVENIRE 7.1 Principalii factori de risc

Principalii factori care generează principalele riscuri ale implementării proiectului și creează o amenințare reală la adresa existenței companiei sunt:

trecerea de la finanțarea de stat la finanțarea în comun a facilității cu structuri comerciale (modificări ale statutului și organizării muncii);

rate ridicate de creștere planificată a serviciilor (înființarea unei afaceri fundamental noi);

piața este ocupată de alții, iar în prezent organizațiile concurente mai puternice necesită eforturi extraordinare pentru a cuceri o nișă de piață în șase luni până la un an.

7.2.Structura și analiza riscurilor și măsurile de minimizare a acestora 7.2.1.Riscuri politice

Asociat cu instabilitatea legislației economice, fiscale, bancare, funciare și de altă natură din Federația Rusă, lipsa de sprijin sau opoziție din partea guvernului etc.

Măsuri de diminuare a riscurilor:

dezvoltarea politicii fiscale interne;

formarea mediului extern de afaceri (parteneri, consorții, grupuri financiare și industriale);

participarea activă a fondatorilor în interacțiunea cu agențiile guvernamentale;

acordarea statutului medical instituţiei.

7.2.2.Riscuri juridice

Asociate cu legislație imperfectă, documente întocmite neclar, măsuri judiciare neclare în cazul unor neînțelegeri între fondatori (de exemplu, într-o instanță străină etc.), întârzieri ale Antreprenorului.

Măsuri de diminuare a riscurilor:

formularea clară și lipsită de ambiguitate a articolelor relevante din documente;

atragerea de specialiști cu experiență practică în acest domeniu pentru pregătirea documentelor;

alocarea resurselor financiare necesare pentru plata unor avocați și traducători de înaltă calitate.

7.2.3.Riscuri tehnice

Asociat cu complexitatea lucrării și cu lipsa actuală de proiectare tehnică.

Posibila subutilizare a echipamentelor și întârzieri în introducerea sistemelor tehnice.

Măsuri de diminuare a riscurilor:

dezvoltarea accelerată (sau obținerea de garanții de la furnizori) a coordonării tehnice a echipamentelor și complexelor tehnice;

incheierea de contracte la cheie cu sanctiuni pentru neconcordante si termene nerespectate;

asigurare de risc tehnic.

7.2.4.Riscuri de producţie

Acestea sunt asociate în primul rând cu posibilitatea unor întârzieri în punerea în funcțiune a noilor echipamente tehnice și cu o calitate insuficientă a serviciilor furnizate.

Potențialul de a produce servicii de calitate în viitor este mare.

Un risc semnificativ poate fi lipsa personalului înalt calificat (pentru furnizarea de servicii hoteliere).

Măsuri de diminuare a riscurilor:

planificarea clară și managementul implementării proiectelor;

dezvoltarea accelerată a conceptelor de design, inclusiv a criteriilor de calitate;

dezvoltarea și utilizarea unui sistem bine gândit de control al calității serviciilor în toate etapele creării acestuia;

justificarea și alocarea unor resurse financiare suficiente pentru achiziționarea de echipamente de înaltă calitate;

pregătirea personalului calificat (inclusiv în străinătate).

7.2.5.Riscul socio-psihologic intern

La înființarea acestui tip de afaceri pot apărea următoarele riscuri socio-psihologice:

tensiune socială în echipă;

lipsa, fluctuația de personal profesionist;

prezența unei poziții distructive.

Măsuri de diminuare a riscurilor:

selectarea personalului profesionist (inclusiv testare), instruire dacă este necesar;

dezvoltarea unui mecanism de stimulare a angajaților, inclusiv participarea la rezultatele muncii Companiei;

sistem de conștientizare end-to-end pe mai multe niveluri a echipei și a managerilor;

dezvoltarea unei abordări eficiente a formării și repartizării fondului de salarii.

7.2.6.Riscuri de marketing

Asociate cu posibile întârzieri la intrarea pe piață, alegerea incorectă (fără a ține cont de nevoile pieței) a serviciilor, alegerea incorectă a strategiei de marketing, erori în politica de preț etc.

Întârzierile în intrarea pe piață pot fi cauzate atât de motivele de producție și tehnice discutate mai sus, cât și de lipsa de dorință a companiei de a implementa și promova eficient potențialul său tehnic, de producție, artistic și de altă natură pe piață, ceea ce necesită un program de marketing și implementarea serviciului. care respectă standardele internaționale.

Deoarece în prezent nu există un program la scară largă de activități de marketing, evaluarea gradului în care problemele de marketing sunt rezolvate este scăzută. În timp ce pentru o companie care își propune să câștige cote de piață de la firmele concurente, sarcinile de marketing ar trebui să fie o prioritate maximă.

Analiza concurenților arată că concurența va fi dură, concurenții au o serie de avantaje. În acest sens, este necesar să înțelegeți cu atenție principalele dvs. avantaje și să vă concentrați principalele eforturi și resurse asupra lor.

Măsuri de diminuare a riscurilor:

crearea unui serviciu de marketing puternic;

dezvoltarea strategiei de marketing;

dezvoltarea și implementarea politicii de produs (sortament) și subordonarea activităților tuturor departamentelor față de aceasta (de exemplu, prin dezvoltarea și utilizarea tehnologiei de management bazate pe rezultate);

dezvoltarea și implementarea unui program de activități de marketing;

efectuarea unei game complete de cercetări de marketing etc.

7.2.7.Riscuri financiare

Ele sunt asociate în primul rând cu asigurarea veniturilor, care depinde în primul rând de publicitate, precum și cu atragerea investițiilor.

Versiunea de lucru a planului financiar (Anexa 1) presupune că principalele venituri financiare sunt furnizate prin utilizarea numerelor. O reducere a prețului sau a gradului de ocupare a camerelor dintr-un complex hotelier duce la dificultăți serioase în implementarea proiectului.

Măsuri de diminuare a riscurilor:

cercetarea urgentă a cerințelor consumatorilor de servicii;

dezvoltarea și utilizarea unui sistem bine gândit de control al calității serviciilor în toate etapele creării acestora;

justificarea și alocarea unor resurse financiare suficiente pentru crearea și achiziționarea de echipamente de înaltă calitate;

utilizarea abordării diversificării surselor de venit, în primul rând prin legătura „birou-camera”;

intrarea pe bursa.

Un alt factor de risc financiar major este necesitatea de a obține investiții mari în timp util.

Prezența investițiilor este o condiție necesară pentru demararea unui proiect: cu cât acestea sunt întârziate mai mult, cu atât începerea proiectului va fi mai întârziată.

Astfel, investiția este cel mai dur și mai vital factor.

Măsuri de diminuare a riscurilor:

varietate de scheme de finanțare a proiectelor propuse;

dezvoltarea unei strategii investiționale și financiare, al cărei scop este intrarea în zona de funcționare profitabilă;

realizarea unui set de măsuri de căutare a resurselor investiţionale şi creditare.

Următorii pași pentru dezvoltatorii și proprietarii proiectului:

efectuarea de diagnosticare aprofundată a problemelor proiectului;

realizarea unui set de măsuri de căutare a resurselor de investiții și creditare;

organizarea muncii colective a managementului de nivel superior si mediu cu consultanti pentru elaborarea unei strategii si a unui program specific de activitati, legate in primul rand de marketing, publicitate si diversificare si asigurarea:

înființarea unei societăți pe acțiuni;

eficienta economica ridicata a proiectului;

minimizarea riscului;

formarea si proiectarea organizatorica a echipelor pentru implementarea activitatilor desfasurate;

cautarea de parteneri strategici straini care au experienta in crearea de institutii similare si care sunt capabili sa ofere suport tehnic si investitional.

#FIȘIER: Buisnes-Plan.INF
#TOPIC: Plan de afaceri „CREAREA UNUI COMPLEX HOTELER”
#SECȚIUNEA: Management
#SCOP: Plan de afaceri
#FORMAT: WinWord
#

Tabelul 3.2.

Caracteristicile calitative ale hotelurilor din Moscova

№

Numele hotelului

Adresa hotelului

Categorie

Numar de locuri

Numerele totale

str. Zelenodolskaya, 3, clădirea 2

Strada Botanicheskaya, 41

Aleea Plotnikov, 12

A 10-a aniversare a Sf. Octombrie, 11

Aerostar

Leningradsky Prospekt, 37

Aeroflot

Leningradsky Prospekt, 37

str. Smolenskaya, 8

Budapesta

linii Petrovskie, 18/22

Leninsky Prospekt, 2/1

Vila Peredelkino

Chobotovskaya aleea 1, 2a

Aleea Dokuchaev, 2

str. Gostinichnaya, 9a

str. Yaroslavskaya, 17

Danilovskaya

Banda Starodanilovsky B., 5

str. Yagodnaya, 15

inel de aur

str. Smolenskaya, 5

Bulevardul Vernadsky, 16

Liaozovskaya

Dmitrovskoe sh., 108

str. Vavilova, 7a

Filevskaya B.ul., 25

Metalurgist

Aleea Oktyabrsky, 12

Tineret

Autostrada Dmitrovskoe, 27

str. Ibragimova, 30

Nikonovka

Aleea Nikonovsky, 3/1

str. Kosygina, 15

Royal-Zenith

Strada Tamanskaya, 49, camera B

Autostrada Yaroslavskoe, 116, clădirea 2

De Nord

Sushchevsky Val, 50 de ani

Etajul șapte

Bulevardul Vernadsky, 88, bloc 1, etaj 7

str. Krylatskaya, 2

Leninsky Prospekt, 90/2

Leninsky Prospekt, 38

B-dul Litovsky, 3a

1812 goda st., 6a

Casa Centrală de Turism

Leninsky Prospekt, 146

Strada Verkhnie Polya, 27

Electron-1

Bd. Andropova, 38, bloc 2

Electron-2

Nagornaya, 19 ani

Balaklavsky pr-t, 2, clădirea 2

Yaroslavskaya

str. Yaroslavskaya, 8

Tabelul 3.3.

Caracteristicile serviciilor hoteliere din Moscova

№

Numele hotelului

In.p lux

Kr. carduri

Adm. Președintele Federației Ruse

circ

Aerostar

Aeroflot

Budapesta

Vila Peredelkino

Danilovskaya

patriarhat

inel de aur

Adm. Președintele Federației Ruse

Liaozovskaya

Min. econ.

Metalurgist

Tineret

Nikonovka

Royal-Zenith

De Nord

Etajul șapte

Casa Centrală de Turism

Electron-1

Electron-2

Yaroslavskaya

Anexa 2

Plan financiar

Tabel 1: Investiții de capital în proiect (dinamică și structură), mii USD

Tabelul 2: Surse de finanțare, mii USD

№

Centre de investiții

Creditori ruși

Partener străin

Rezultatele proiectului returnarea capitalului de lucru profit din proiect

Tabelul 3: Plăți pentru împrumuturi, mii USD

Dobândă la împrumut 12% pe an

Plăți: o dată pe an

Plăți totale 0,0 MII

№

Centre de investiții

Împrumut împrumutat

Credit acumulat

Dobândă

Plata dobânzii

Tabelul 4: Structura costurilor, mii USD

№

Index

Costuri de operare

Depreciere

Salariile personalului

Acumulări salariale

Pretul

Tabelul 5: Structura veniturilor, mii USD

№

Centru de profit

Taxa pe camera

Inchiriere de birouri

Inchiriere depozit

Venit suplimentar

Tabelul 6: Formarea și distribuirea profitului, mii USD

Cota de impozit pe venit 30%

Cota impozitului pe proprietate 2"%

№

Index

Pretul

la profit pe proprietate

Profit net acoperire a creditului pentru reinvestire dividendele

Dividende

Elemente de cost Pentru anul de raportare Sumă, rub. Procent din costul total pentru anul, % Pe zi de pat, frec. 1 Salariile personalului principal al complexului hotelier 1056000 21,31 172,21 2 Impozit social unificat (26% din salariu) 274560 5,54 44,77 3 Mese în camere (mic dejun) 766500 15,47 125 125 125, 84,77 176,46 5 .. .

Inginer, service reparatii, service peisagistica, serviciu comunicatii si telecomunicatii, inspectori de incendiu si siguranta. Serviciile auxiliare asigură funcționarea complexului hotelier, oferind spălătorie, curățătorie chimică, croitorie etc. Serviciile suplimentare asigură servicii contra cost. Acestea includ: un centru de afaceri, un centru de sport și fitness...