Avion în spațiu - informații necesare. Modalități de definire a unui plan Trei moduri de a defini un plan

Avionul este una dintre cele mai importante figuri din planimetrie, așa că trebuie să înțelegeți bine ce este. În cadrul acestui material, vom formula însuși conceptul de plan, vom arăta cum este notat în scris și vom introduce notațiile necesare. Apoi vom lua în considerare acest concept în comparație cu un punct, o dreaptă sau alt plan și vom analiza opțiunile pentru poziția lor relativă. Toate definițiile vor fi ilustrate grafic, iar axiomele necesare vor fi formulate separat. În ultimul paragraf vom indica cum să definiți corect un plan în spațiu în mai multe moduri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Un plan este una dintre cele mai simple figuri din geometrie, împreună cu o linie dreaptă și un punct. Am explicat deja mai devreme că un punct și o dreaptă sunt plasate pe un plan. Dacă plasăm acest plan în spațiu tridimensional, atunci vom obține puncte și linii în spațiu.

În viață, o idee despre ceea ce este un avion ne poate fi oferită de obiecte precum suprafața unei podele, a unei mese sau a peretelui. Dar trebuie să ținem cont că în viață dimensiunile lor sunt limitate, dar aici conceptul de plan este asociat cu infinitul.

Vom nota drepte și puncte situate în spațiu similar celor situate pe un plan - folosind litere latine mici și mari (B, A, d, q etc.) Dacă, în condițiile problemei, avem două puncte care sunt situate pe o linie dreaptă, atunci puteți alege denumiri care vor corespunde între ele, de exemplu, linia dreaptă D B și punctele D și B.

Pentru a reprezenta un plan în scris, se folosesc în mod tradițional litere grecești mici, cum ar fi α, γ sau π.

Dacă avem nevoie de o reprezentare grafică a unui plan, atunci de obicei se folosește un spațiu închis de formă arbitrară sau un paralelogram.

Planul este de obicei considerat împreună cu linii drepte, puncte și alte planuri. Problemele cu acest concept conțin de obicei unele variante ale locației lor una față de alta. Să luăm în considerare cazuri individuale.

Primul mod de poziție relativă este ca punctul să fie situat pe un plan, adică. îi aparține. Putem formula o axiomă:

Definiția 1

Există puncte în orice plan.

Acest aranjament se mai numește trecerea planului printr-un punct. Pentru a indica acest lucru în scris, se folosește simbolul ∈. Deci, dacă trebuie să scriem sub formă de litere că un anumit plan π trece printr-un punct A, atunci scriem: A ∈ π.

Dacă un anumit plan este dat în spațiu, atunci numărul de puncte care îi aparțin este infinit. Ce număr minim de puncte va fi suficient pentru a defini un plan? Răspunsul la această întrebare este următoarea axiomă.

Definiția 2

Un singur plan trece prin trei puncte care nu sunt situate pe aceeași linie dreaptă.

Cunoscând această regulă, puteți introduce o nouă denumire pentru avion. În loc de o literă greacă mică, putem folosi numele punctelor care se află în ea, de exemplu, planul A B C.

Un alt mod de poziție relativă a unui punct și a unui plan poate fi exprimat folosind cea de-a treia axiomă:

Definiția 3

Puteți selecta cel puțin 4 puncte care nu vor fi în același plan.

Am menționat deja mai sus că pentru a desemna un avion în spațiu, trei puncte vor fi suficiente, iar al patrulea poate fi situat atât în ​​el, cât și în afara lui. Dacă trebuie să indicați în scris că un punct nu aparține unui plan dat, atunci se folosește semnul ∉. O notație de forma A ∉ π se citește corect ca „punctul A nu aparține planului π”

Grafic, ultima axiomă poate fi reprezentată astfel:

Cea mai simplă opțiune este ca linia dreaptă să fie în plan. Atunci vor fi cel puțin două puncte ale acestei linii situate în ea. Să formulăm axioma:

Definiția 4

Dacă cel puțin două puncte ale unei linii date sunt într-un anumit plan, aceasta înseamnă că toate punctele acestei linii sunt situate în acest plan.

Pentru a nota apartenența unei drepte la un anumit plan, folosim același simbol ca și pentru un punct. Dacă scriem „a ∈ π”, atunci aceasta va însemna că avem o dreaptă a, care este situată în planul π. Să reprezentăm acest lucru în figură:

A doua variantă a poziţiei relative este atunci când linia dreaptă intersectează planul. În acest caz, vor avea un singur punct comun - punctul de intersecție. Pentru a scrie acest aranjament sub formă de litere, folosim simbolul ∩. De exemplu, expresia a ∩ π = M se citește ca „linia a intersectează planul π într-un punct M”. Dacă avem un punct de intersecție, atunci avem și unghiul la care dreapta intersectează planul.

Grafic, acest aranjament arată astfel:

Dacă avem două drepte, dintre care una se află într-un plan și cealaltă îl intersectează, atunci ele sunt perpendiculare una pe cealaltă. În scris acest lucru este indicat prin simbolul ⊥. Vom analiza caracteristicile acestei poziții într-un articol separat. În figură, acest aranjament va arăta astfel:

Dacă rezolvăm o problemă care implică un plan, trebuie să știm care este vectorul normal al planului.

Definiția 5

Vectorul normal al unui plan este un vector care se află pe o dreaptă perpendiculară pe plan și nu este egal cu zero.

Exemple de vectori plani normali sunt prezentate în figură:

Al treilea caz de poziție relativă a unei drepte și a unui plan este paralelismul lor. În acest caz, ele nu au un singur punct comun. Pentru a indica astfel de relații în scris, se folosește simbolul ∥. Dacă avem o notație de forma a ∥ π, atunci ar trebui citită astfel: „dreapta a este paralelă cu planul ∥”. Vom analiza acest caz mai detaliat în articolul despre planuri paralele și drepte.

Dacă o linie dreaptă este situată în interiorul unui plan, atunci o împarte în două părți egale sau inegale (semiplan). Atunci o astfel de linie dreaptă va fi numită granița semiplanurilor.

Orice 2 puncte situate în același semiplan se află pe aceeași parte a graniței, iar două puncte aparținând semiplanurilor diferite se află pe părți opuse ale graniței.

1. Cea mai simplă opțiune este ca două avioane să coincidă unul cu celălalt. Atunci vor avea cel puțin trei puncte comune.

2. Un plan poate intersecta altul. Aceasta creează o linie dreaptă. Să derivăm axioma:

Definiția 6

Dacă două plane se intersectează, atunci se formează o linie dreaptă comună între ele, pe care se află toate punctele de intersecție posibile.

Pe grafic va arăta astfel:

În acest caz, se formează un unghi între planuri. Dacă este egal cu 90 de grade, atunci planurile vor fi perpendiculare unul pe celălalt.

3. Două plane pot fi paralele unul cu celălalt, adică să nu aibă un singur punct de intersecție.

Dacă nu avem două, ci trei sau mai multe planuri care se intersectează, atunci o astfel de combinație se numește de obicei un mănunchi sau o grămadă de planuri. Vom scrie mai multe despre asta într-un articol separat.

În acest paragraf ne vom uita la ce metode există pentru definirea unui plan în spațiu.

1. Prima metodă se bazează pe una dintre axiome: un singur plan trece prin 3 puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. Prin urmare, putem defini un plan pur și simplu specificând trei astfel de puncte.

Dacă avem un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional în care se specifică un plan folosind această metodă, atunci putem crea o ecuație pentru acest plan (pentru mai multe detalii, vezi articolul corespunzător). Să ilustrăm această metodă în figură:

2. A doua metodă este de a defini un plan folosind o dreaptă și un punct care nu se află pe această dreaptă. Aceasta rezultă din axioma despre un plan care trece prin 3 puncte. Vezi poza:

3. A treia metodă este de a specifica un plan care trece prin două drepte care se intersectează (după cum ne amintim, în acest caz există și un singur plan.) Să ilustrăm metoda astfel:

4. A patra metodă se bazează pe linii paralele. Să ne amintim ce drepte se numesc paralele: trebuie să se afle în același plan și să nu aibă un singur punct de intersecție. Se pare că dacă indicăm două astfel de linii în spațiu, atunci vom putea astfel defini pentru ele acel plan unic. Dacă avem un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu în care un plan a fost deja definit în acest fel, atunci putem deriva ecuația unui astfel de plan.

În figură, această metodă va arăta astfel:

Dacă ne amintim ce este un semn de paralelism, putem deriva un alt mod de a defini un plan:

Definiția 7

Dacă avem două drepte care se intersectează care se află într-un anumit plan, care sunt paralele cu două drepte dintr-un alt plan, atunci aceste planuri în sine vor fi paralele.

Astfel, dacă precizăm un punct, putem preciza planul care trece prin el și planul cu care va fi paralel. În acest caz, putem deriva și ecuația planului (avem un material separat despre aceasta).

Să ne amintim o teoremă studiată într-un curs de geometrie:

Definiția 8

Un singur plan poate trece printr-un anumit punct din spațiu, care va fi paralel cu o dreaptă dată.

Aceasta înseamnă că puteți defini un plan specificând un punct specific prin care va trece și o linie care va fi perpendiculară pe acesta. Dacă un plan este definit în acest fel într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci putem scrie o ecuație a planului pentru el.

De asemenea, putem specifica nu o linie dreaptă, ci un vector normal al planului. Apoi se va putea formula o ecuație generală.

Ne-am uitat la principalele moduri în care puteți defini un avion în spațiu.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Poziția unui plan în spațiu este determinată de cele trei puncte ale sale care nu se află pe aceeași dreaptă. Prin urmare, pentru a defini un plan pe o diagramă, este suficient să specificați trei dintre punctele sale (Fig. 206). Planul poate fi definit printr-un punct și o dreaptă (Fig. 207, a), două drepte paralele (Fig. 207, b), două drepte care se intersectează (Fig. 207, c), un triunghi (Fig. 207). , d).

Puteți defini un plan cu urme. Urma unui plan este linia dreaptă de-a lungul căreia acest plan intersectează planul de proiecție. În fig. 208 Pv - trasă frontală a planului P, Рн - trasă orizontală a planului P, Pw - urmă de profil a planului P.

Diverse cazuri de aranjare a planurilor în raport cu planurile de proiecție

Planul general - un plan situat oblic faţă de toate planurile de proiecţie (Fig. 208). Un astfel de plan se intersectează cu trei plane de proiecție de-a lungul liniilor drepte, care sunt urme ale acestui plan. Fiecare pereche de urme converge într-un punct numit punctul de fugă al urmelor plane și este situată pe axa de proiecție. Un plan de poziție generală are trei puncte de fugă, care sunt desemnate Px, Py, Pz. În aceste puncte planul intersectează axele de coordonate. Figurile plane situate într-un plan general sunt proiectate cu distorsiuni.

Planul de proiecție - un plan perpendicular pe orice plan de proiecție.

Plan de proiecție orizontal - plan perpendicular pe planul orizontal al proiecţiilor H (Fig. 209).

Planul de proiecție frontală - plan perpendicular pe planul frontal de proiecţie (Fig. 210).

Plan de proiectare a profilului - plan perpendicular pe planul de profil al proiecţiilor (Fig. 211).

Planul de proiecție este proiectat pe planul de proiecție pe care este perpendicular pe o dreaptă. Pa Fig. 209 planul P se proiectează orizontal, ΔАВС, situat în planul P, este proiectat într-un segment de linie dreaptă care coincide cu urma planului Рн. În fig. 210 ΔDEF, aparținând planului R proiectat frontal, este proiectat într-un segment care coincide cu urma planului Rv. În fig. 211 ΔKMN, situat în planul de proiectare a profilului Q, este proiectat pe planul W într-un segment care coincide cu urma planului Qw. Prin urmare, planurile de proiecție sunt adesea folosite ca planuri auxiliare în diferite construcții. De exemplu, pentru a desena un plan care se proiectează orizontal prin dreapta AB (Fig. 212), este suficient să se deseneze o urmă orizontală a acestui plan prin proiecția orizontală a dreptei AB, deoarece tot ceea ce se află în acest plan, inclusiv dreapta AB. , este proiectat pe traseul său orizontal. Urma frontală a planului care se proiectează frontal coincide cu proiecția frontală a dreptei a"b" (Fig. 213). Urmele planurilor de proiecție pe alte planuri de proiecție sunt perpendiculare pe axele de proiecție corespunzătoare (vezi Fig. 209, 210, 211).

Orez. 212 Fig. 213

Planurile perpendiculare pe două plane de proiecție sunt paralele cu cel de-al treilea plan de proiecție . Figurile geometrice aflate în aceste planuri sunt proiectate fără distorsiuni pe planul de proiecție la care acest plan este paralel (Fig. 214, 215; 216). Astfel de planuri se numesc la fel ca planul de proiecție paralel cu care sunt situate: plan orizontal (Fig. 214), plan frontal (Fig. 215), plan de profil (Fig. 216).

Acum vom enumera principalele modalități de a defini un anumit plan în spațiu.

În primul rând, un plan poate fi definit prin fixarea a trei puncte în spațiu care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Această metodă se bazează pe axioma: prin oricare trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă, există un singur plan.

Dacă un sistem de coordonate dreptunghiular este fixat în spațiu tridimensional și un plan este specificat prin specificarea coordonatele celor trei puncte diferite ale sale care nu se află pe aceeași dreaptă, atunci putem scrie ecuația planului care trece prin cele trei date date. puncte.

Următoarele două metode de definire a unui plan sunt o consecință a celei anterioare. Ele se bazează pe corolare ale axiomei despre un plan care trece prin trei puncte:

· un plan trece printr-o dreaptă și un punct care nu se află pe ea, și numai unul (vezi și ecuația articolului a unui plan care trece printr-o dreaptă și un punct);

· un singur plan trece prin două drepte care se intersectează (recomandăm să vă familiarizați cu materialul din articol: ecuația unui plan care trece prin două drepte care se intersectează).

A patra metodă de definire a unui plan în spațiu se bazează pe definirea dreptelor paralele. Amintiți-vă că două drepte din spațiu sunt numite paralele dacă se află în același plan și nu se intersectează. Astfel, indicând două drepte paralele în spațiu, vom determina singurul plan în care se află aceste drepte.

Dacă în spațiul tridimensional față de un sistem de coordonate dreptunghiular este specificat un plan în modul indicat, atunci putem crea o ecuație pentru un plan care trece prin două drepte paralele.

Semnul paralelismului a două planuri ne oferă o altă modalitate de a defini un plan. Să ne amintim formularea acestei caracteristici: dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte ale altui plan, atunci astfel de planuri sunt paralele. Prin urmare, putem specifica un anumit plan dacă specificăm punctul prin care trece și planul cu care este paralel.

La lecțiile de geometrie din liceu se demonstrează următoarea teoremă: printr-un punct fix în spațiu trece un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată. Astfel, putem defini un plan dacă precizăm punctul prin care trece și o dreaptă perpendiculară pe acesta.

Dacă un sistem de coordonate dreptunghiular este fixat în spațiul tridimensional și un plan este specificat în modul indicat, atunci este posibil să se construiască o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.

În loc de o dreaptă perpendiculară pe plan, puteți specifica unul dintre vectorii normali ai acestui plan. În acest caz, este posibil să scrieți o ecuație generală a planului.

Puteți găsi informațiile care vă interesează și în motorul de căutare științifică Otvety.Online. Utilizați formularul de căutare:

Mai multe despre subiectul Metode pentru definirea unui avion:

1. 13. Tulburări de gândire: după tempo, structură, intenție. Valoarea diagnostică a simptomelor.
2. Direcții principale în studiul tulburărilor de gândire în schizofrenie.
3. Clasificarea tulburărilor de gândire în lucrările lui B.V. Zeigarnik.
4. 8. Analiza specificului metodelor de psihologie specială în comparație cu metodele altor ramuri ale psihologiei: utilizarea tehnicilor standardizate (teste), utilizarea chestionarelor, metoda de analiză a produselor de activitate.
5. 14. Metode de studiere a zonei figurilor geometrice și de dezvoltare a abilităților de măsurare a acesteia. Familiarizarea cu unitățile de măsură de suprafață și relațiile lor. Particularități ale percepției unui școlar junior. Luând în considerare legile și principiile educației atunci când studiem zona formelor geometrice.

Metode pentru specificarea unui plan care determină în mod unic poziția planului în spațiu (vezi Fig. 16):

a) trei puncte care nu se află pe aceeași linie;

b) o dreaptă și un punct în afara dreptei;

c) drepte paralele;

d) linii de intersectare.

e) figură plată;

Pe diagramă, planul este definit de proiecțiile elementelor și urme geometrice enumerate. Aceste elemente se numesc determinant plan (∆).

Planul în spațiu poate fi specificat prin urme (vezi Fig. 17). Urma unui plan este linia de intersecție a unui plan dat cu planul de proiecție. Într-un sistem de trei planuri de proiecție, planul poziției generale p(nu perpendicular și nu paralel cu planurile de proiecție) poate avea trei urme - orizontale ( R 1 ), față ( R 2 ), profil ( R 3 ); Рх, Ру, Рz- punctele de fuga ale pistelor (Fig. 17)

3.2. Avioane cu o anumită poziție.

Planurile cu o anumită poziție includ:

Planuri de proiecție, de ex. planuri perpendiculare pe unul dintre planurile de proiecție (Fig. 18);

Planurile de nivel sunt plane paralele cu unul dintre planurile de proiecție (Fig. 19).

3.3. Avioane de proiecție

Caracteristicile planurilor de proiecție:

1. O proiecție a oricărui element situat în planul proeminent coincide cu urma corespunzătoare a acestui plan;

2. Pe diagramă, unghiul de înclinare a unui plan dat față de planul de proiecție este proiectat în valoarea adevărată (Fig. 18).

3.4. Avioane de nivel

O caracteristică a planurilor de nivel este că orice figură plată situată într-un astfel de plan este proiectată pe un plan paralel cu acesta fără distorsiuni, de exemplu. la valoarea adevărată (Fig. 19).

Pentru a construi elemente situate într-un plan general, trebuie să urmați două reguli:

O dreaptă aparține unui plan dacă trece prin două puncte situate în plan sau dacă trece printr-un punct situat în plan și paralel cu o altă dreaptă situată în acest plan (Fig. 20);

Un punct se află într-un plan dacă se află pe o dreaptă situată în acest plan (Fig. 21).

3.6. Liniile principale ale avionului.

Orizontală (h) - o linie dreaptă întinsă în plan și situată în același timp paralelă cu planul P 1 (Figura 22). frontal ( f) - o linie dreaptă situată în plan și paralelă cu planul P 2 . Linia de cea mai mare înclinare este o linie dreaptă situată într-un plan și perpendiculară fie pe orizontale, fie pe fronturile planului. Folosind linia de cea mai mare înclinare, se determină unghiul de înclinare a planului față de planurile de proiecție. Linia de cea mai mare înclinare situată perpendicular pe orizontalele planului se mai numește și linia de pantă a planului (VC Fig. 22).

Folosind linia pantei, se determină unghiul de înclinare al planului ABC faţă de planul orizontal de proiecţie. Pentru a face acest lucru, este necesar să se determine dimensiunea sa naturală folosind metoda unui triunghi dreptunghic, iar unghiul dintre dimensiunea naturală și proiecția orizontală va fi unghiul dorit.

3.7. Întrebări de autotest.

Enumerați și descrieți metode grafice pentru definirea unui plan într-un desen complex.

Ce se înțelege prin urma unui avion?

Ce plan se numește plan de proiectare și care sunt caracteristicile sale grafice în desen?

Dați caracteristici grafice planurilor: orizontal - proiectare, frontal - proiectare, profil - proiectare.

Care plan se numește planul nivelului?

Ce plan se numește orizontal? Frontal?

Profil? Desenați-le pe desen.

Numiți semnele de apartenență la un plan drept, punctele planului.

Arată în desen cum o linie dreaptă poate fi închisă într-un plan.

Numiți liniile principale ale planului.

Cum se determină unghiul de înclinare al unui plan față de planul orizontal al proiecțiilor?

Orice figură geometrică scufundată în spațiu este formată dintr-un anumit set de puncte din spațiu. Un avion, ca una dintre figurile geometrice, este o colecție de multe puncte. Din această definiție a unui plan, este posibil să se stabilească modalități de definire a poziției acestuia în spațiu. Pentru a face acest lucru, este suficient să vă amintiți axioma combinației - prin trei puncte care nu se află pe aceeași linie, puteți desena un plan și numai unul.

În fig. 21 prezintă modalități de a seta poziția avionului în spațiu:

a – trei puncte care nu se află pe aceeași linie;

b – o dreaptă și un punct luate în afara dreptei;

c – două drepte care se intersectează;

d – două drepte paralele.

Într-un desen complex (Fig. 22), planul poate fi specificat:

a – proiecții a trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă;

b – proiecții ale unei drepte și ale unui punct luate în afara dreptei;

c – proiecţiile a două drepte care se intersectează;

Fiecare dintre cele prezentate în Fig. 22 de moduri de a defini un plan într-un desen pot fi convertite dintr-unul în altul. Deci, de exemplu, trasând o dreaptă prin punctele A și B (Fig. 22, a), obținem alocarea planului prezentată în Fig. 22, b. De aici puteți trece la metoda prezentată în Fig. 22, d, dacă prin punctul C tragem o dreaptă paralelă cu dreapta AB. Dacă punctele A, B și C sunt conectate în perechi prin linii drepte, atunci obținem triunghiul ABC - o figură plată (Fig. 23), ale cărei proiecții pot defini un plan în desen.

Trebuie amintit întotdeauna că planul, ca figură geometrică, este nelimitat și, prin urmare, nu poate fi limitat la construcții numai în aria acestui triunghi, deoarece, în cazul general, proiecțiile planului ocupă în întregime fiecare dintre ele. planuri de proiecție: orizontală P I, frontală P 2 și profil P 3.

Mai clar, planul poate fi definit folosind linii drepte de-a lungul cărora intersectează planurile de proiecție (Fig. 24, a).

Aceste linii se numesc urme ale planului. În general, ambele piste trebuie să se intersecteze într-un punct de pe axa de proiecție, care este numit „punctul de dispariție al pistelor”.

Din întreaga varietate de poziții ale planului în raport cu un sistem dat de planuri de proiecție, acestea se disting de obicei când.